Tangente an einen Kreis. Komplette Lektionen - Wissens-Hypermarkt. Tangentenlinie Was ist ein Tangentenwinkel?

1. Der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden ist größer als der Radius. In diesem Fall liegen alle Punkte der Geraden außerhalb des Kreises.


2. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden ist kleiner als der Radius. In diesem Fall hat die Gerade Punkte, die innerhalb des Kreises liegen, und da die Gerade in beide Richtungen unendlich ist, wird sie vom Kreis an zwei Punkten geschnitten.


3. Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden ist gleich dem Radius. Gerade ist Tangente.

Eine Gerade, die mit einem Kreis nur einen Punkt gemeinsam hat, heißt Tangente zum Kreis.

Der gemeinsame Punkt heißt in diesem Fall Anlaufstelle.

Die Möglichkeit der Existenz einer Tangente, die darüber hinaus als Tangentenpunkt durch jeden Punkt des Kreises gezogen wird, wird durch den folgenden Satz bewiesen.

Satz. Steht eine Gerade an ihrem auf dem Kreis liegenden Ende senkrecht zum Radius, so ist diese Gerade eine Tangente.

Sei O (Abb.) der Mittelpunkt eines Kreises und OA ein Teil seines Radius. Durch sein Ende A zeichnen wir MN ^ OA.

Es muss nachgewiesen werden, dass die Gerade MN tangential ist, d.h. dass diese Gerade mit dem Kreis nur einen gemeinsamen Punkt A hat.

Nehmen wir das Gegenteil an: MN habe einen weiteren gemeinsamen Punkt mit dem Kreis, zum Beispiel B.

Dann wäre die Gerade OB ein Radius und daher gleich OA.

Dies kann jedoch nicht sein, denn wenn OA senkrecht ist, muss OB zu MN geneigt sein, und die geneigte ist größer als die Senkrechte.

Umkehrsatz. Wenn eine Linie einen Kreis tangiert, steht der zum Tangentialpunkt gezeichnete Radius senkrecht dazu.

Sei MN die Tangente an den Kreis, A der Tangentenpunkt und O der Mittelpunkt des Kreises.

Es muss nachgewiesen werden, dass OA^MN.

Nehmen wir das Gegenteil an, d.h. Nehmen wir an, dass die von O nach MN fallende Senkrechte nicht OA ist, sondern eine andere Linie, zum Beispiel OB.

Nehmen wir BC = AB und führen OS aus.

Dann sind OA und OS geneigt und gleich weit von der Senkrechten OB entfernt, und daher ist OS = OA.

Daraus folgt, dass der Kreis unter Berücksichtigung unserer Annahme zwei gemeinsame Punkte mit der Geraden MN haben wird: A und C, d.h. MN wird keine Tangente, sondern eine Sekante sein, was der Bedingung widerspricht.

Folge. Durch jeden gegebenen Punkt auf einem Kreis kann man eine Tangente an diesen Kreis ziehen, und zwar nur eine, da man durch diesen Punkt nur eine Senkrechte zum darin eingezeichneten Radius ziehen kann.

Satz. Eine Tangente parallel zu einer Sehne teilt den durch die Sehne begrenzten Bogen am Berührungspunkt in zwei Hälften.

Lassen Sie die Gerade AB (Abb.) den Kreis im Punkt M berühren und parallel zum Akkord CD verlaufen.

Wir müssen beweisen, dass ÈCM = ÈMD.

Wenn wir den Durchmesser ME durch den Tangentenpunkt ziehen, erhalten wir: EM ^ AB und daher EM ^ CB.

Daher CM=MD.

Aufgabe. Zeichne durch einen gegebenen Punkt eine Tangente an einen gegebenen Kreis.

Wenn ein gegebener Punkt auf einem Kreis liegt, zeichnen Sie einen Radius durch ihn und eine senkrechte Gerade durch das Ende des Radius. Diese Linie ist die gewünschte Tangente.

Betrachten wir den Fall, dass der Punkt außerhalb des Kreises liegt.

Es sei erforderlich (Abb.), eine Tangente an einen Kreis mit Mittelpunkt O durch Punkt A zu zeichnen.

Dazu beschreiben wir vom Punkt A als Mittelpunkt aus einen Bogen mit dem Radius AO und vom Punkt O als Mittelpunkt aus schneiden wir diesen Bogen in den Punkten B und C mit einer Kompassöffnung, die dem Durchmesser des gegebenen Kreises entspricht .

Nachdem wir dann die Sehnen OB und OS gezeichnet haben, verbinden wir Punkt A mit den Punkten D und E, an denen diese Sehnen den gegebenen Kreis schneiden.

Die Linien AD und AE tangieren den Kreis O.

Tatsächlich geht aus der Konstruktion hervor, dass die Rohre AOB und AOC gleichschenklig sind (AO = AB = AC), wobei die Grundflächen OB und OS dem Durchmesser des Kreises O entsprechen.

Da OD und OE Radien sind, ist D die Mitte von OB und E die Mitte von OS, was bedeutet, dass AD und AE Mediane sind, die zu den Basen gleichschenkliger Rohre und daher senkrecht zu diesen Basen gezogen werden. Stehen die Geraden DA und EA senkrecht auf den Radien OD und OE, dann sind sie Tangenten.

Folge. Zwei Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, sind gleich und bilden mit der Geraden, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet, gleiche Winkel.

Also AD=AE und ÐOAD = ÐOAE (Abb.), weil rechteckige tr-ki AOD und AOE mit einer gemeinsamen Hypotenuse AO und gleichen Beinen OD und OE (als Radien) gleich sind.

Beachten Sie, dass das Wort „Tangente“ hier das tatsächliche „Tangentensegment“ von einem bestimmten Punkt zum Kontaktpunkt bedeutet.

Aufgabe. Zeichnen Sie eine Tangente an einen gegebenen Kreis O parallel zu einer gegebenen Geraden AB (Abb.).

Wir senken vom Mittelpunkt O eine Senkrechte OS auf AB ab und zeichnen durch den Punkt D, an dem diese Senkrechte den Kreis schneidet, EF || AB.

Die gesuchte Tangente ist EF.

Tatsächlich, da OS ^ AB und EF || AB, dann EF ^ OD, und die Linie senkrecht zum Radius an ihrem auf dem Kreis liegenden Ende ist eine Tangente.

Aufgabe. Zeichnen Sie eine gemeinsame Tangente an zwei Kreise O und O 1 (Abb.).

Analyse. Nehmen wir an, dass das Problem gelöst ist.

Sei AB die gemeinsame Tangente, A und B die Tangentialpunkte.

Wenn wir einen dieser Punkte finden, zum Beispiel A, können wir natürlich auch den anderen leicht finden.

Zeichnen wir die Radien OA und O 1 B. Diese Radien stehen senkrecht zur gemeinsamen Tangente und sind parallel zueinander.

Wenn wir also aus O 1 O 1 C || zeichnen BA, dann ist die Pipeline OCO 1 am Scheitelpunkt C rechteckig.

Wenn wir also einen Kreis von O als Mittelpunkt mit dem Radius OS beschreiben, dann berührt er die Gerade O 1 C im Punkt C.

Der Radius dieses Hilfskreises ist bekannt: Er ist gleich OA – CA = OA – O 1 B, d.h. es ist gleich der Differenz zwischen den Radien dieser Kreise.

Konstruktion. Vom Mittelpunkt O aus beschreiben wir einen Kreis mit einem Radius, der der Differenz dieser Radien entspricht.

Von O 1 ziehen wir eine Tangente O 1 C an diesen Kreis (auf die in der vorherigen Aufgabe angegebene Weise).

Durch den Tangentenpunkt C zeichnen wir den Radius OS und setzen ihn fort, bis er den gegebenen Kreis im Punkt A trifft. Abschließend zeichnen wir von A aus AB parallel zu CO 1.

Auf genau die gleiche Weise können wir eine weitere gemeinsame Tangente A 1 B 1 konstruieren (Abb.). Direkte Linien AB und A 1 B 1 werden aufgerufen extern gemeinsame Tangenten.

Sie können zwei weitere ausgeben intern Tangenten wie folgt:

Analyse. Nehmen wir an, dass das Problem gelöst ist (Abb.). Sei AB der gewünschte Tangens.

Zeichnen wir die Radien OA und O 1 B zu den Tangentenpunkten A und B. Da diese Radien beide senkrecht zur gemeinsamen Tangente stehen, sind sie parallel zueinander.

Wenn wir also aus O 1 O 1 C || zeichnen BA und OA weiter bis Punkt C, dann steht OS senkrecht zu O 1 C.

Infolgedessen berührt der durch den Radius OS vom Punkt O als Mittelpunkt beschriebene Kreis die Gerade O 1 C im Punkt C.

Der Radius dieses Hilfskreises ist bekannt: Er ist gleich OA+AC = OA+O 1 B, d.h. er ist gleich der Summe der Radien der gegebenen Kreise.

Konstruktion. Von O als Mittelpunkt aus beschreiben wir einen Kreis mit einem Radius, der der Summe dieser Radien entspricht.

Von O 1 ziehen wir eine Tangente O 1 C an diesen Kreis.

Wir verbinden den Kontaktpunkt C mit O.

Schließlich zeichnen wir durch Punkt A, an dem OS den gegebenen Kreis schneidet, AB = O 1 C.

Auf ähnliche Weise können wir eine weitere interne Tangente A 1 B 1 konstruieren.

Allgemeine Definition von Tangente

Lassen Sie eine Tangente AT und eine Sekante AM durch Punkt A zu einem Kreis mit Mittelpunkt ziehen (Abb.).

Lassen Sie uns diese Sekante um Punkt A drehen, sodass der andere Schnittpunkt B immer näher an A heranrückt.

Dann nähert sich die Senkrechte OD, die von der Mitte zur Sekante abgesenkt wird, immer mehr dem Radius OA an, und der Winkel AOD kann kleiner werden als jeder kleine Winkel.

Der durch Sekante und Tangente gebildete Winkel MAT ist gleich dem Winkel AOD (aufgrund der Rechtwinkligkeit ihrer Seiten).

Daher kann der Winkel MAT auch beliebig klein werden, wenn sich Punkt B A auf unbestimmte Zeit nähert.

Dies drückt sich mit anderen Worten wie folgt aus:

Eine Tangente ist die Grenzposition, zu der eine durch einen Tangentenpunkt gezogene Sekante tendiert, wenn sich der zweite Schnittpunkt dem Tangentialpunkt auf unbestimmte Zeit nähert.

Diese Eigenschaft wird als Definition einer Tangente verwendet, wenn es um jede Kurve geht.

Somit ist die Tangente an die Kurve AB (Abb.) die Grenzposition MT, zu der die Sekante MN tendiert, wenn sich der Schnittpunkt P unbegrenzt M nähert.

Beachten Sie, dass die so definierte Tangente mehr als einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve haben kann (wie in Abb. zu sehen ist).

Direkte ( MN), mit nur einem gemeinsamen Punkt mit dem Kreis ( A), angerufen Tangente zum Kreis.

Der gemeinsame Punkt heißt in diesem Fall Anlaufstelle.

Möglichkeit der Existenz Tangente und darüber hinaus durch einen beliebigen Punkt gezogen Kreis, als Tangentenpunkt, wird wie folgt bewiesen Satz.

Lassen Sie es erforderlich sein, um auszuführen Kreis mit Mitte Ö Tangente durch den Punkt A. Um dies vom Punkt aus zu tun A, wie von der Mitte aus beschreiben wir Bogen Radius A.O., und vom Punkt Ö Als Mittelpunkt schneiden wir diesen Bogen an den Punkten B Und MIT eine Kompasslösung, die dem Durchmesser des gegebenen Kreises entspricht.

Nach dem Ausgeben dann Akkorde O.B. Und Betriebssystem, verbinde den Punkt A mit Punkten D Und E, an dem sich diese Akkorde mit einem gegebenen Kreis schneiden. Direkte ANZEIGE Und A.E. - Tangenten an einen Kreis Ö. Tatsächlich ist dies aus der Konstruktion ersichtlich Dreiecke AOB Und AOC gleichschenklig(AO = AB = AC) mit Basen O.B. Und Betriebssystem, gleich dem Durchmesser des Kreises Ö.

Als Außendurchmesser Und O.E.- Radien also D - Mitte O.B., A E- Mitte Betriebssystem, Bedeutet ANZEIGE Und A.E. - Mediane, gezeichnet zu den Basen gleichschenkliger Dreiecke und daher senkrecht zu diesen Basen. Wenn gerade D.A. Und E.A. senkrecht zu den Radien Außendurchmesser Und O.E., dann werden sie - Tangenten.

Folge.

Zwei Tangenten, die von einem Punkt an einen Kreis gezogen werden, sind gleich und bilden mit der Geraden, die diesen Punkt mit dem Mittelpunkt verbindet, gleiche Winkel.

Also AD=AE und ∠ OAD = ∠OAE weil rechtwinklige Dreiecke AOD Und AOE, eine gemeinsame haben Hypotenuse A.O. und gleich Beine Außendurchmesser Und O.E.(als Radien) sind gleich. Beachten Sie, dass das Wort „Tangente“ hier eigentlich „ Tangentensegment” von einem bestimmten Punkt zum Kontaktpunkt.

Eine Gerade, die nur einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, wird Tangente an den Kreis genannt, und ihr gemeinsamer Punkt wird Tangentenpunkt der Geraden und des Kreises genannt.

Satz (Eigenschaft einer Tangente an einen Kreis)

Eine Tangente an einen Kreis verläuft senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Gegeben

A – Ansprechpartner

Beweisen:p OA

Nachweisen.

Beweisen wir es durch Widerspruch.

Nehmen wir an, dass p OA ist, dann ist OA zur Geraden p geneigt.

Wenn wir vom Punkt O aus eine Senkrechte OH zur Geraden p zeichnen, dann ist ihre Länge kleiner als der Radius: OH< ОА=r

Wir stellen fest, dass der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden p (OH) kleiner als der Radius (r) ist, was bedeutet, dass die Gerade p Sekante ist (d. h. sie hat zwei gemeinsame Punkte mit dem Kreis). was den Bedingungen des Satzes widerspricht (p ist Tangens).

Dies bedeutet, dass die Annahme falsch ist, daher steht die Gerade p senkrecht auf OA.

Satz (Eigenschaft von Tangentensegmenten, die von einem Punkt gezogen werden)

Tangentensegmente an einen Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit einer geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Gegeben: ca. (Oder)

AB und AC sind Tangenten an die Umgebung. (Oder)

Beweisen: AB=AC

Nachweisen

1) OB AB, OS AC, als Radien, die zum Tangentenpunkt gezogen werden (Tangenteneigenschaft)

2) Betrachten Sie tr. AOB usw. AOS – p/u

JSC – allgemein

OB=OS (als Radien)

Das bedeutet ABO = AOC (durch Hypotenuse und Bein). Somit,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Satz (Tangentialtest)

Geht eine Gerade durch das Ende eines auf einem Kreis liegenden Radius und steht senkrecht auf diesem Radius, dann ist sie eine Tangente.

Gegeben: OA – Radius des Kreises

Beweisen: p- Tangente an den Kreis

Nachweisen

OA – Radius des Kreises (je nach Bedingung) (OA=r)

OA – senkrecht von O zur Geraden p (OA =d)

Das bedeutet, dass r=OA=d ist, was bedeutet, dass die Gerade p und der Kreis einen gemeinsamen Punkt haben.

Daher ist die Linie p tangential zum Kreis. usw.

3.Eigenschaften von Akkorden und Sekanten.

Eigenschaften von Tangente und Sekante

DEFINITION

Umfang ist der Ort der Punkte mit gleichem Abstand von einem Punkt, der als Mittelpunkt des Kreises bezeichnet wird.

Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet, heißt Akkord(In der Abbildung ist dies ein Segment). Ein Akkord, der durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, heißt Durchmesser Kreise.

1. Die Tangente steht senkrecht auf dem Radius, der zum Berührungspunkt gezogen wird.

2. Tangentensegmente, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich.

3. Wenn eine Tangente und eine Sekante von einem außerhalb des Kreises liegenden Punkt gezogen werden, dann ist das Quadrat der Länge der Tangente gleich dem Produkt aus der Sekante und ihrem äußeren Teil.

Am häufigsten sind es geometrische Probleme, die Bewerbern, Absolventen und Teilnehmern an Mathematikolympiaden Schwierigkeiten bereiten. Schaut man sich die Statistiken des Einheitlichen Staatsexamens 2010 an, sieht man, dass etwa 12 % der Teilnehmer mit der geometrischen Aufgabe C4 begonnen haben und nur 0,2 % der Teilnehmer die volle Punktzahl erreicht haben, und im Allgemeinen stellte sich heraus, dass die Aufgabe bestanden hat das schwierigste von allen vorgeschlagenen.

Je früher wir Schülern schöne oder unerwartete Lösungsmöglichkeiten bieten, desto größer ist natürlich die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich ernsthaft und langfristig dafür interessieren und fesseln. Aber wie schwierig ist es, interessante und komplexe Probleme in der 7. Klasse zu finden, wenn das systematische Studium der Geometrie gerade erst beginnt. Was kann einem mathematisch interessierten Studenten geboten werden, der nur die Gleichheitszeichen von Dreiecken und die Eigenschaften benachbarter und vertikaler Winkel kennt? Man kann jedoch das Konzept einer Tangente an einen Kreis als gerade Linie einführen, die einen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat; Nehmen Sie an, dass der zum Kontaktpunkt gezeichnete Radius senkrecht zur Tangente ist. Natürlich lohnt es sich, alle möglichen Fälle der Anordnung zweier Kreise und gemeinsamer Tangenten an diese zu berücksichtigen, die von Null bis Vier gezogen werden können. Durch den Beweis der unten vorgeschlagenen Theoreme können Sie den Aufgabenkomplex für Siebtklässler erheblich erweitern. Gleichzeitig beweisen Sie nebenbei wichtige oder einfach nur interessante und unterhaltsame Fakten. Da viele Aussagen zudem nicht im Schulbuch enthalten sind, können sie im Kreisunterricht und mit den Absolventen bei der Wiederholung der Planimetrie besprochen werden. Diese Fakten erwiesen sich im letzten Studienjahr als relevant. Da viele diagnostische Arbeiten und die Arbeit des Einheitlichen Staatsexamens selbst ein Problem enthielten, zu dessen Lösung es notwendig war, die im Folgenden bewiesene Eigenschaft des Tangentensegments zu nutzen.

T 1 Segmente von Tangenten an einen aus gezeichneten Kreis
gleich einem Punkt (Abb. 1)

Dies ist der Satz, den Sie Siebtklässlern zunächst vorstellen können.
Im Beweisprozess verwendeten wir das Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke und kamen zu dem Schluss, dass der Mittelpunkt des Kreises auf der Winkelhalbierenden liegt BSA.
Unterwegs haben wir uns daran erinnert, dass die Winkelhalbierende der Ort der Punkte im inneren Bereich des Winkels ist, die von seinen Seiten gleich weit entfernt sind. Die Lösung eines alles andere als trivialen Problems basiert auf diesen Fakten, die selbst für diejenigen zugänglich sind, die gerade erst mit dem Studium der Geometrie beginnen.

1. Winkelhalbierende A, IN Und MIT konvexes Viereck A B C D sich in einem Punkt schneiden. Strahlen AB Und Gleichstrom sich in einem Punkt schneiden E, und die Strahlen
Sonne Und ANZEIGE am Punkt F. Beweisen Sie, dass es sich um ein nicht konvexes Viereck handelt AECF die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten sind gleich.

Lösung (Abb. 2). Lassen UM– Schnittpunkt dieser Winkelhalbierenden. Dann UM gleich weit von allen Seiten des Vierecks entfernt A B C D, also
ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Viereck eingeschrieben ist. Nach Theorem 1 Die folgenden Gleichheiten sind wahr: AR = A.K., ER = E.P., F.T. = FK. Addieren wir Term für Term die linke und rechte Seite und erhalten die richtige Gleichheit:

(AR + ER) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A.F. + (EU + PC). Als ST = RS, Das AE + F.C. = A.F. + EU, was bewiesen werden musste.

Betrachten wir ein Problem mit ungewöhnlicher Formulierung, zu dessen Lösung es ausreicht, den Satz zu kennen 1 .

2. Gibt es N-ein Dreieck, dessen Seiten der Reihe nach 1, 2, 3, ... sind, N, in den sich ein Kreis einschreiben lässt?

Lösung. Sagen wir das N-gon existiert. A 1 A 2 =1, …, A n-1 A n= N– 1,A N A 1 = N. B 1 , …, B n – entsprechende Kontaktpunkte. Dann nach Satz 1 A 1 B 1 = A 1 B N< 1, N – 1 < A N B N< N. Durch die Eigenschaft von Tangentensegmenten A N B n= A N B n-1 . Aber, A N B n-1< A n-1 A n= N - 1. Widerspruch. Daher nein N-gon erfüllt die Bedingungen des Problems.

T 2 Die Summen der gegenüberliegenden Seiten eines beschriebenen Vierecks
Kreise sind gleich (Abb. 3)

Schulkinder können diese Eigenschaft des beschriebenen Vierecks in der Regel leicht nachweisen. Nach dem Beweis des Satzes 1 , es ist eine Trainingsübung. Wir können diese Tatsache verallgemeinern: Die Summen der Seiten eines umschriebenen geraden Dreiecks, genommen durch eine Seite, sind gleich. Zum Beispiel für ein Sechseck ABCDEF Rechts: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Lösung (Abb. 1). Da die Vierecke ABEF und ECDF zyklisch sind, gilt nach Satz 2 P ABEF = 2(AB + EF) und P ECDF = 2(CD + EF), gemäß der Bedingung

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = S. AB = a + p.

Lösung (Abb. 5). Nach Satz 1 MV = MX und RS = RH. Daher der Umfang des Dreiecks AMR gleich der Summe der Segmente AB Und Wechselstrom. Oder doppelte Tangente an den Exkreis für ein Dreieck AMR . Der Wert des MOP-Winkels wird durch den halben Winkel gemessen VOS, was nicht von der Wahl des Punktes abhängt X.

Lösung (Abb. 6). Methode eins (algebraisch). Lassen AK = AN = x, Dann BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, dann können wir eine Gleichung für erstellen x: b = x + (a – c + x). Wo .

Methode zwei (geometrisch). Schauen wir uns das Diagramm an. Segmente gleicher Tangenten, einzeln genommen, ergeben zusammen den Halbumfang
Dreieck. Rot und Grün bilden eine Seite A. Dann das Segment, das uns interessiert x = p – a. Natürlich stimmen die erzielten Ergebnisse überein.

. Z

4. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck mit Beinen eingeschrieben ist a, b und Hypotenuse Mit. Lösung (Abb. 8). T Ok, wie OMCN - Quadrat, dann ist der Radius des eingeschriebenen Kreises gleich dem Tangentensegment CN. .

5. Beweisen Sie, dass die Berührungspunkte des Inkreises und des Exkreises mit der Seite des Dreiecks symmetrisch zur Mitte dieser Seite sind.

Lösung (Abb. 9). Beachten Sie, dass AK ein Tangentialsegment des Exkreises für ein Dreieck ist ABC. Nach Formel (2) . VM- Liniensegment Tangente an den Inkreis für ein Dreieck ABC. Nach Formel (1) . AK = VM, und das bedeutet, dass die Punkte K und M gleich weit von der Mitte der Seite entfernt AB, Q.E.D.

6. Zwei gemeinsame äußere Tangenten und eine innere Tangente werden an zwei Kreise gezogen. Die innere Tangente schneidet die äußeren Tangenten in Punkten A, B und berührt die Kreise punktuell Eine 1 Und IN 1 . Beweise das AA 1 = BB 1.

Lösung (Abb. 10). Stopp... Was gibt es zu entscheiden? Dies ist lediglich eine andere Formulierung des vorherigen Problems. Offensichtlich ist einer der Kreise einbeschrieben und der andere ein Exkreis für ein bestimmtes Dreieck ABC. Und die Segmente AA 1 und BB 1 entsprechen Segmenten AK Und VM Aufgaben 5. Es ist bemerkenswert, dass das bei der Allrussischen Mathematikolympiade für Schüler vorgeschlagene Problem auf so offensichtliche Weise gelöst wird.

7. Die Seiten des Fünfecks in der Reihenfolge der Durchquerung sind 5, 6, 10, 7, 8. Beweisen Sie, dass in dieses Fünfeck kein Kreis eingeschrieben werden kann.

Lösung (Abb. 11). Nehmen wir das in einem Fünfeck an ABCDE Sie können einen Kreis einschreiben. Darüber hinaus die Parteien AB, B.C., CD, DE Und EA sind gleich 5, 6, 10, 7 bzw. 8. Markieren wir die Tangentenpunkte der Reihe nach - F, G, H, M Und N. Sei die Länge des Segments A.F. gleich X.

Dann B.F. = FD – A.F. = 5 – X = B.G.. G.C. = B.C. – B.G. = = 6 – (5 – X) = 1 + X = CH. Usw: HD = DM = 9 – X; MICH. = DE = X – 2, EIN = 10 – X.

Aber, A.F. = EIN. Das sind 10 - X = X; X= 5. Allerdings das Tangentensegment A.F. kann nicht gleich sein AB. Der daraus resultierende Widerspruch beweist, dass ein Kreis nicht in ein gegebenes Fünfeck eingeschrieben werden kann.

8. Ein Kreis ist in ein Sechseck eingeschrieben; seine Seiten in der Reihenfolge der Umrundung sind 1, 2, 3, 4, 5. Ermitteln Sie die Länge der sechsten Seite.

Lösung. Natürlich können wir ein Tangentensegment als bezeichnen X Erstellen Sie wie im vorherigen Problem eine Gleichung und erhalten Sie die Antwort. Es ist jedoch viel effizienter und effektiver, eine Notiz zum Satz zu verwenden 2 : Die Summen der Seiten eines umschriebenen Sechsecks, durcheinander genommen, sind gleich.

Dann ist 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Wo X– unbekannte sechste Seite, X = 3.

Lösung (Abb. 12). Da die Längen aller Seiten ganze Zahlen sind, sind die Bruchteile der Längen der Segmente gleich BT, B.P., DM, DN, A.K. Und BEI. Wir haben BEI + Fernseher= 1 und Bruchteile der Segmentlängen BEI Und TB sind gleich. Dies ist nur möglich, wenn BEI + Fernseher= 0,5. Nach Theorem 1 VT + VR.
Bedeutet, VR= 0,5. Beachten Sie, dass die Bedingung CD= 3 erwies sich als nicht beansprucht. Offensichtlich gingen die Autoren des Problems von einer anderen Lösung aus. Antwort: 0,5.

10. In einem Viereck ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. In Dreiecke eingeschriebene Kreise ABD Und CBD Berühren Sie ein Segment BD an Punkten M Und N jeweils. Finden Sie die Länge des Segments MN.

Lösung (Abb. 13). MN = DN – DM. Nach Formel (1) für Dreiecke DBA Und DBC dementsprechend haben wir:

11. In ein Viereck A B C D Sie können einen Kreis einschreiben. In Dreiecke eingeschriebene Kreise ABD Und CBD Radien haben R Und R jeweils. Finden Sie den Abstand zwischen den Mittelpunkten dieser Kreise.

Lösung (Abb. 13). Da durch Bedingung das Viereck A B C D eingeschrieben, nach Satz 2 wir haben: AB + DC = AD + BC. Lassen Sie uns die Idee nutzen, das vorherige Problem zu lösen. . Dies bedeutet, dass die Berührungspunkte der Kreise mit dem Segment DM zusammenpassen. Der Abstand zwischen den Mittelpunkten der Kreise ist gleich der Summe der Radien. Antwort: R+r.

Tatsächlich wurde nachgewiesen, dass es sich um ein Viereck handelt A B C D Sie können einen Kreis entsprechend der Bedingung einschreiben - in ein konvexes Viereck A B C D Kreise, die in Dreiecke eingeschrieben sind ABC Und ADC sich gegenseitig berühren. Das Gegenteil ist wahr.

Es wird vorgeschlagen, diese beiden zueinander inversen Aussagen in der folgenden Aufgabe zu beweisen, die als Verallgemeinerung dieser Aufgabe betrachtet werden kann.

12. In einem konvexen Viereck A B C D (Reis. 14) Kreise, die in Dreiecke eingeschrieben sind ABC Und ADC sich gegenseitig berühren. Beweisen Sie, dass Kreise in Dreiecke eingeschrieben sind ABD Und BDC berühren sich auch gegenseitig.

13. In einem Dreieck ABC mit den Parteien a, b Und C auf der Seite Sonne Punkt markiert D so dass Kreise in Dreiecke eingeschrieben sind ABD Und ACD Berühren Sie ein Segment ANZEIGE an einer Stelle. Finden Sie die Länge des Segments BD.

Lösung (Abb. 15). Wenden wir Formel (1) auf Dreiecke an ADC Und A.D.B., berechnend DM zwei

Es stellt sich heraus, D– Kontaktpunkt mit der Seite Sonne Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist ABC. Das Gegenteil ist der Fall: Wenn die Spitze eines Dreiecks mit dem Berührungspunkt eines eingeschriebenen Kreises auf der gegenüberliegenden Seite verbunden ist, dann berühren sich die eingeschriebenen Kreise der resultierenden Dreiecke.

14. Zentren UM 1 , UM 2 und UM 3 Drei sich nicht schneidende Kreise mit demselben Radius befinden sich an den Eckpunkten eines Dreiecks. Aus Punkten UM 1 , UM 2 , UM In 3 werden Tangenten an diese Kreise gezeichnet, wie in der Abbildung gezeigt.

Es ist bekannt, dass diese sich schneidenden Tangenten ein konvexes Sechseck bildeten, dessen Seiten rot und blau bemalt sind. Beweisen Sie, dass die Summe der Längen der roten Segmente gleich der Summe der Längen der blauen Segmente ist.

Lösung (Abb. 16). Es ist wichtig zu verstehen, wie man die Tatsache nutzt, dass gegebene Kreise gleiche Radien haben. Beachten Sie, dass die Segmente BR Und DM sind gleich, was aus der Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke folgt UM 1 BR Und Ö 2 B.M.. Ebenfalls D.L. = D.P., FN = FK. Wir addieren die Gleichungen Term für Term und subtrahieren dann von den resultierenden Summen identische Tangentensegmente, die von den Eckpunkten gezogen werden A, MIT, Und E Hexagon ABCDEF: AR Und A.K., C.L. Und CM., DE Und E.P.. Wir bekommen, was wir brauchen.

Hier ist ein Beispiel für ein Problem in der Stereometrie, das beim XII. Internationalen Mathematikturnier für Oberstufenschüler „Pokal zum Gedenken an A. N. Kolmogorov“ vorgeschlagen wurde.

16. Gegeben sei eine fünfeckige Pyramide SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Es gibt eine Kugel w, die alle Kanten der Pyramide und einer weiteren Kugel berührt w 1, die alle Seiten der Basis berührt A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 und Fortsetzungen der seitlichen Rippen SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5über die Spitzen der Basis hinaus. Beweisen Sie, dass die Spitze der Pyramide den gleichen Abstand von den Spitzen der Basis hat. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

17. Einheitliches Staatsexamen. Diagnosearbeit 08.12.2009, S–4. Gegeben sei ein Trapez A B C D, deren Grundlagen BC = 44,ANZEIGE = 100, AB = CD= 35. Kreis tangential zu Linien ANZEIGE Und A.C., berührt die Seite CD am Punkt K. Finden Sie die Länge des Segments CK.BDC und BDA, berühren Sie die Seiten ВD an Punkten E Und F. Finden Sie die Länge des Segments E.F..

Lösung. Zwei Fälle sind möglich (Abb. 20 und Abb. 21). Mit Formel (1) ermitteln wir die Längen der Segmente DE Und DF.

Im ersten Fall ANZEIGE = 0,1Wechselstrom, CD = 0,9A.C.. In dieser Sekunde - ANZEIGE = 0,125Wechselstrom, CD = 1,125A.C.. Wir ersetzen die Daten und erhalten die Antwort: 4,6 oder 5,5.

Probleme zur eigenständigen Lösung/

1. Der Umfang eines um einen Kreis umschriebenen gleichschenkligen Trapezes ist gleich 2 reiben. Finden Sie die Projektion der Diagonale des Trapezes auf die größere Basis. (1/2r)

2. Offene Datenbank mit Problemen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik. UM 4. Zu einem Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist ABC (Abb. 22), Es werden drei Tangenten gezeichnet. Der Umfang der ausgeschnittenen Dreiecke beträgt 6, 8, 10. Finden Sie den Umfang dieses Dreiecks. (24)

3. In ein Dreieck ABC Kreis ist eingeschrieben. MN – Tangente an den Kreis, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Finden Sie den Umfang des Dreiecks MNC. (12)

4. Zu einem Kreis, der in ein Quadrat mit der Seite a eingeschrieben ist, wird eine Tangente gezogen, die seine beiden Seiten schneidet. Finden Sie den Umfang des ausgeschnittenen Dreiecks. (A)

5. Ein Kreis ist in ein Fünfeck mit Seiten eingeschrieben A, D, C, D Und e. Finden Sie die Segmente, in die der Tangentialpunkt die Seite teilt, die gleich ist A.

6. Ein Kreis ist in ein Dreieck mit den Seiten 6, 10 und 12 eingeschrieben. An den Kreis wird eine Tangente gezogen, die zwei Längsseiten schneidet. Finden Sie den Umfang des ausgeschnittenen Dreiecks. (16)

7. CD– Mittelwert des Dreiecks ABC. In Dreiecke eingeschriebene Kreise ACD Und BCD, berühren Sie das Segment CD an Punkten M Und N. Finden MN, Wenn Wechselstrom – Sonne = 2. (1)

8. In einem Dreieck ABC mit den Parteien a, b Und C auf der Seite Sonne Punkt markiert D. Zu Kreisen, die in Dreiecke eingeschrieben sind ABD Und ACD, eine gemeinsame Tangente wird schneidend gezeichnet ANZEIGE am Punkt M. Finden Sie die Länge des Segments BIN. (Länge BIN hängt nicht von der Position des Punktes ab D Und
gleich ½ ( c + b – a))

9. Ein Kreis mit Radius ist in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben A. Der Radius des Kreises, der die Hypotenuse und die Verlängerungen der Beine tangiert, ist gleich R. Finden Sie die Länge der Hypotenuse. ( R–a)

10. In einem Dreieck ABC die Längen der Seiten sind bekannt: AB = Mit, Wechselstrom = B, Sonne = A. Ein in ein Dreieck eingeschriebener Kreis berührt eine Seite AB am Punkt C 1. Der Exkreis berührt die Verlängerung der Seite AB pro Punkt A am Punkt C 2. Bestimmen Sie die Länge des Segments C 1 C 2. (B)

11. Ermitteln Sie die Längen der Seiten des Dreiecks, dividiert durch den Tangentenpunkt des eingeschriebenen Kreises mit einem Radius von 3 cm in Segmente von 4 cm und 3 cm (7, 24 und 25 cm in einem rechtwinkligen Dreieck).

12. Soros-Olympiade 1996, 2. Runde, 11. Klasse. Gegeben sei ein Dreieck ABC, auf deren Seiten Punkte markiert sind A 1, B 1, C 1. Radien von Kreisen, die in Dreiecke eingeschrieben sind AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 gleich in R. Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist A 1 B 1 C 1 gleicht R. Finden Sie den Radius eines Kreises, der in ein Dreieck eingeschrieben ist ABC. (R +R).

Die Aufgaben 4–8 stammen aus R.K. Gordins Aufgabenbuch „Geometry. Planimetrie.“ Moskau. Verlag MCNMO. 2004.

Das Konzept einer Tangente an einen Kreis

Ein Kreis hat drei mögliche relative Positionen relativ zu einer geraden Linie:

Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Wenn der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden gleich dem Radius ist, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden größer als der Radius, dann hat die Gerade zwei Schnittpunkte mit dem Kreis.

Lassen Sie uns nun das Konzept einer Tangente an einen Kreis einführen.

Definition 1

Eine Tangente an einen Kreis ist eine Linie, die einen Schnittpunkt mit ihr hat.

Der gemeinsame Punkt des Kreises und der Tangente wird Tangentenpunkt genannt (Abbildung 1).

Abbildung 1. Tangente an einen Kreis

Theoreme im Zusammenhang mit dem Konzept einer Tangente an einen Kreis

Satz 1

Satz der Tangenteneigenschaft: Eine Tangente an einen Kreis steht senkrecht zum Radius, der zum Tangentenpunkt gezogen wird.

Nachweisen.

Betrachten Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt $O$. Zeichnen wir die Tangente $a$ am Punkt $A$. $OA=r$ (Abb. 2).

Beweisen wir, dass $a\bot r$

Wir werden den Satz durch Widerspruch beweisen. Angenommen, die Tangente $a$ steht nicht senkrecht zum Kreisradius.

Abbildung 2. Illustration von Satz 1

Das heißt, $OA$ ist zur Tangente geneigt. Da die Senkrechte zur Geraden $a$ immer kleiner ist als die zur gleichen Geraden geneigte, ist der Abstand vom Kreismittelpunkt zur Geraden kleiner als der Radius. Wie wir wissen, hat die Gerade in diesem Fall zwei Schnittpunkte mit dem Kreis. Was der Definition einer Tangente widerspricht.

Daher steht die Tangente senkrecht zum Kreisradius.

Der Satz ist bewiesen.

Satz 2

Umkehrung des Tangenteneigenschaftssatzes: Wenn eine Linie, die durch das Ende des Radius eines Kreises verläuft, senkrecht zum Radius steht, dann ist diese Linie eine Tangente an diesen Kreis.

Nachweisen.

Gemäß den Bedingungen des Problems gilt, dass der Radius eine Senkrechte ist, die vom Mittelpunkt des Kreises zu einer gegebenen Geraden gezogen wird. Daher ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zur Geraden gleich der Länge des Radius. Wie wir wissen, hat der Kreis in diesem Fall nur einen Schnittpunkt mit dieser Geraden. Nach Definition 1 finden wir, dass diese Linie den Kreis tangiert.

Der Satz ist bewiesen.

Satz 3

Tangentensegmente an einen Kreis, die von einem Punkt aus gezogen werden, sind gleich und bilden gleiche Winkel mit einer geraden Linie, die durch diesen Punkt und den Mittelpunkt des Kreises verläuft.

Nachweisen.

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$. Vom Punkt $A$ (der auf dem gesamten Kreis liegt) werden zwei verschiedene Tangenten gezogen. Vom Kontaktpunkt $B$ bzw. $C$ (Abb. 3).

Beweisen wir, dass $\angle BAO=\angle CAO$ und dass $AB=AC$.

Abbildung 3. Illustration von Satz 3

Nach Satz 1 gilt:

Daher sind die Dreiecke $ABO$ und $ACO$ rechtwinklige Dreiecke. Da $OB=OC=r$ und die Hypotenuse $OA$ gemeinsam ist, sind diese Dreiecke in Hypotenuse und Bein gleich.

Daher erhalten wir $\angle BAO=\angle CAO$ und $AB=AC$.

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel einer Aufgabe zum Konzept einer Tangente an einen Kreis

Beispiel 1

Gegeben sei ein Kreis mit Mittelpunkt im Punkt $O$ und Radius $r=3\ cm$. Die Tangente $AC$ hat einen Tangentenpunkt $C$. $AO=4\ cm$. Finden Sie $AC$.

Lösung.

Lassen Sie uns zunächst alles in der Abbildung darstellen (Abb. 4).

Figur 4.

Da $AC$ eine Tangente und $OC$ ein Radius ist, erhalten wir nach Satz 1, dass $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ ist. Wir haben herausgefunden, dass das Dreieck $ACO$ rechteckig ist, was bedeutet, dass wir nach dem Satz des Pythagoras Folgendes haben:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \