Jak wykonać skan - wykrój na stożek lub stożek ścięty o zadanym rozmiarze. Proste obliczenie przemiatania. Objętość stożka, jego obliczenie Objętość wąsów stożka

Wśród różnorodnych brył geometrycznych jednym z najciekawszych jest stożek. Powstaje poprzez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego nóg.

Jak znaleźć objętość stożka - podstawowe pojęcia

Zanim zaczniesz obliczać objętość stożka, powinieneś zapoznać się z podstawowymi pojęciami.

• Okrągły stożek - podstawą takiego stożka jest okrąg. Jeśli podstawą jest elipsa, parabola lub hiperbola, wówczas figury nazywane są stożkami eliptycznymi, parabolicznymi lub hiperbolicznymi. Warto pamiętać, że dwa ostatnie rodzaje stożków mają nieskończoną objętość.
• Stożek ścięty to część stożka znajdująca się między podstawą a płaszczyzną równoległą do tej podstawy, znajdującą się między wierzchołkiem a podstawą.
• Wysokość - odcinek prostopadły do ​​podstawy, zwolniony od góry.
• Tworząca stożka to odcinek łączący granicę podstawy i wierzchołka.

Objętość stożka

Aby obliczyć objętość stożka, stosuje się wzór V=1/3*S*H, gdzie S to pole podstawy, a H to wysokość. Ponieważ podstawą stożka jest okrąg, jego pole oblicza się ze wzoru S= nR^2, gdzie n = 3,14, R jest promieniem koła.

Zdarza się, że niektóre parametry są nieznane: wysokość, promień lub tworząca. W takim przypadku warto odwołać się do twierdzenia Pitagorasa. Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, składający się z dwóch trójkątów prostokątnych, gdzie l to przeciwprostokątna, a H i R to ramiona. Wtedy l=(H^2+R^2)^1/2.

Objętość ściętego stożka

Stożek ścięty to stożek z odciętym wierzchołkiem.

Aby znaleźć objętość takiego stożka, potrzebujesz wzoru:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

gdzie n=3,14, r to promień okręgu przekroju, R to promień dużej podstawy, H to wysokość.

Przekrój osiowy stożka ściętego będzie trapezem równoramiennym. Dlatego jeśli konieczne jest znalezienie długości tworzącej stożka lub promienia jednego z okręgów, warto skorzystać ze wzorów na znalezienie boków i podstaw trapezu.

Oblicz objętość stożka, jeśli jego wysokość wynosi 8 cm, a promień podstawy 3 cm.

Dane: H=8 cm, R=3 cm.

Najpierw znajdź pole podstawy, stosując wzór S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Teraz, korzystając ze wzoru V=1/3*S*H, obliczamy objętość stożka.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Figury w kształcie stożków można znaleźć wszędzie: pachołki parkingowe, wieże budynków, abażury lamp. Dlatego wiedza o tym, jak znaleźć objętość stożka, może czasem przydać się zarówno w życiu zawodowym, jak i codziennym.

Zamiast słowa „wzór” czasami używa się „zamiatania”, ale termin ten jest niejednoznaczny: na przykład rozwiertak jest narzędziem do zwiększania średnicy otworu, aw technice elektronicznej istnieje koncepcja rozwiertaka. Dlatego, chociaż jestem zobowiązany do użycia słowa „cope sweep”, aby wyszukiwarki mogły znaleźć ten artykuł za ich pomocą, użyję słowa „wzorzec”.

Zbudowanie wzoru na stożek to prosta sprawa. Rozważmy dwa przypadki: dla pełnego stożka i dla stożka ściętego. Na zdjęciu (Kliknij, aby powiększyć) pokazane są szkice takich stożków i ich wzory. (Od razu zauważam, że będziemy mówić tylko o prostych stożkach z okrągłą podstawą. W kolejnych artykułach rozważymy stożki z owalną podstawą i pochylonymi stożkami).

1. Pełny stożek

Oznaczenia:

Parametry wzoru są obliczane według wzorów:
;
;
gdzie .

2. Ścięty stożek

Oznaczenia:

Wzory do obliczania parametrów wzoru:
;
;
;
gdzie .
Zauważ, że te wzory są również odpowiednie dla pełnego stożka, jeśli podstawimy .

Czasami podczas konstruowania stożka wartość kąta w jego wierzchołku (lub w urojonym wierzchołku, jeśli stożek jest ścięty) ma fundamentalne znaczenie. Najprostszym przykładem jest sytuacja, gdy potrzebujesz jednego stożka, aby ściśle pasował do drugiego. Oznaczmy ten kąt literą (patrz rysunek).
W tym przypadku możemy go użyć zamiast jednej z trzech wartości wejściowych: , lub . Dlaczego „razem o", nie razem mi"? Bo do skonstruowania stożka wystarczą trzy parametry, a wartość czwartego oblicza się na podstawie wartości pozostałych trzech. Dlaczego dokładnie trzy, a nie dwa lub cztery, to pytanie wykraczające poza zakres tego artykułu. Tajemniczy głos mówi mi, że ma to jakiś związek z trójwymiarowością obiektu „stożek”. (Porównaj z dwoma początkowymi parametrami dwuwymiarowego segmentu koła, z których obliczyliśmy wszystkie inne parametry w artykule).

Poniżej znajdują się wzory, za pomocą których określa się czwarty parametr stożka, gdy podano trzy.

4. Metody konstruowania wzorca

• Oblicz wartości na kalkulatorze i zbuduj wzór na papierze (lub od razu na metalu) za pomocą kompasu, linijki i kątomierza.
• Wprowadź formuły i dane źródłowe do arkusza kalkulacyjnego (na przykład Microsoft Excel). Uzyskany wynik służy do zbudowania wzoru za pomocą edytora graficznego (np. CorelDRAW).
• skorzystaj z mojego programu, który narysuje na ekranie i wydrukuje wzór na stożek o zadanych parametrach. Ten wzór można zapisać jako plik wektorowy i zaimportować do programu CorelDRAW.

5. Nie równoległe podstawy

Jeśli chodzi o stożki ścięte, program Cones nadal buduje wzory dla stożków, które mają tylko równoległe podstawy.
Dla tych, którzy szukają sposobu na zbudowanie wzoru ściętego stożka z nierównoległymi podstawami, oto link podany przez jednego z odwiedzających witrynę:
Stożek ścięty o nierównoległych podstawach.

Rozwinięcie powierzchni stożka jest figurą płaską uzyskaną przez połączenie powierzchni bocznej i podstawy stożka z określoną płaszczyzną.

Opcje konstrukcji zamiatania:

Rozwój prawego okrągłego stożka

Rozwinięciem powierzchni bocznej prawego stożka kołowego jest wycinek kołowy, którego promień jest równy długości tworzącej powierzchni stożkowej l, a kąt środkowy φ jest określony wzorem φ=360*R/ l, gdzie R jest promieniem obwodu podstawy stożka.

W wielu problemach geometrii wykreślnej preferowanym rozwiązaniem jest przybliżenie (zastąpienie) stożka wpisaną w niego ostrosłupem i skonstruowanie przybliżonego przeciągnięcia, na którym wygodnie jest narysować linie leżące na powierzchni stożkowej.

Algorytm konstrukcji

1. W powierzchnię stożka wpisujemy ostrosłup wielokątny. Im więcej ścian bocznych wpisanej piramidy, tym dokładniejsza zgodność między rzeczywistym a przybliżonym skanem.
2. Budujemy rozwinięcie powierzchni bocznej piramidy metodą trójkąta. Punkty należące do podstawy stożka są połączone gładką krzywą.

Przykład

Na poniższym rysunku regularna sześciokątna piramida SABCDEF jest wpisana w prawy okrągły stożek, a przybliżone rozwinięcie jej powierzchni bocznej składa się z sześciu trójkątów równoramiennych - ścian piramidy.

Rozważmy trójkąt S 0 A 0 B 0 . Długości jego boków S 0 A 0 i S 0 B 0 są równe tworzącej l powierzchni stożkowej. Wartość A 0 B 0 odpowiada długości A'B'. Aby zbudować trójkąt S 0 A 0 B 0 w dowolnym miejscu rysunku odkładamy odcinek S 0 A 0 =l, po którym rysujemy okręgi o promieniu S 0 B 0 =l i A 0 B 0 = A'B' odpowiednio z punktów S 0 i A 0. Łączymy punkt przecięcia okręgów B 0 z punktami A 0 i S 0 .

Ściany S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 piramidy SABCDEF są zbudowane podobnie jak trójkąt S 0 A 0 B 0 .

Punkty A, B, C, D, E i F leżące u podstawy stożka są połączone gładką krzywą - łukiem koła, którego promień jest równy l.

Skośny rozwój stożka

Rozważ procedurę konstruowania przeciągnięcia bocznej powierzchni nachylonego stożka metodą aproksymacji.

Algorytm

1. W okrąg podstawy stożka wpisujemy sześciokąt 123456. Punkty 1, 2, 3, 4, 5 i 6 łączymy z wierzchołkiem S. Tak skonstruowana piramida S123456 jest z pewnym przybliżeniem zamiennik powierzchni stożkowej i jest stosowany jako taki w dalszych konstrukcjach.
2. Naturalne wartości krawędzi ostrosłupa określamy metodą obrotu wokół linii rzutu: w przykładzie zastosowano oś i, która jest prostopadła do poziomej płaszczyzny rzutu i przechodzi przez wierzchołek S.
   Tak więc w wyniku obrotu krawędzi S5 jej nowy rzut poziomy S'5' 1 przyjmuje położenie równoległe do płaszczyzny czołowej π 2 . W związku z tym S''5'' 1 jest wartością naturalną S5.
3. Konstruujemy rozwinięcie powierzchni bocznej ostrosłupa S123456, składające się z sześciu trójkątów: 0 1 0 . Konstrukcja każdego trójkąta jest wykonywana z trzech stron. Na przykład △S 0 1 0 6 0 ma długość S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Stopień zgodności przybliżonego przeciągnięcia z rzeczywistym zależy od liczby ścian wpisanego ostrosłupa. Liczba twarzy jest wybierana na podstawie łatwości odczytania rysunku, wymagań dotyczących jego dokładności, obecności charakterystycznych punktów i linii, które należy przenieść na skan.

Przeniesienie linii z powierzchni stożka na zabudowę

Linia n leżąca na powierzchni stożka powstaje w wyniku jej przecięcia z pewną płaszczyzną (rysunek poniżej). Rozważ algorytm konstruowania linii n na przeciągnięciu.

Algorytm

1. Znajdź rzuty punktów A, B i C, w których prosta n przecina krawędzie ostrosłupa wpisanego w stożek S123456.
2. Rzeczywisty rozmiar segmentów SA, SB, SC określamy obracając się wokół rzutowanej linii. W tym przykładzie SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Znajdujemy położenie punktów A 0 , B 0 , C 0 na odpowiednich krawędziach ostrosłupa, odkładając odcinki S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 do 0 = S''C'' 1 .
4. Punkty A 0 , B 0 , C 0 łączymy gładką linią.

Rozwój ściętego stożka

Opisana poniżej metoda konstruowania przeciągnięcia prawego okrągłego stożka ściętego opiera się na zasadzie podobieństwa.

W geometrii ścięty stożek jest ciałem utworzonym przez obrót prostokątnego trapezu wokół tej strony, która jest prostopadła do podstawy. Jak kalkulują objętość stożka ściętego, wszyscy znają ze szkolnego kursu geometrii, aw praktyce wiedza ta jest często wykorzystywana przez projektantów różnych maszyn i mechanizmów, konstruktorów niektórych dóbr konsumpcyjnych, a także architektów.

Obliczanie objętości stożka ściętego

Wzór na obliczenie objętości stożka ściętego

Objętość stożka ściętego oblicza się ze wzoru:

h- wysokość stożka

r- promień górnej podstawy

R- dolny promień podstawy

V- objętość ściętego stożka

π - 3,14

Z takimi geometrycznymi ciałami jak ścięte szyszki, w życiu codziennym każdy spotyka się dość często, jeśli nie stale. Ich kształt ma szeroką gamę pojemników szeroko stosowanych w życiu codziennym: wiaderka, szklanki, niektóre kubki. Jest rzeczą oczywistą, że projektanci, którzy je opracowali, musieli użyć wzoru, który oblicza objętość stożka ściętego, ponieważ ta wartość jest w tym przypadku bardzo ważna, ponieważ określa tak ważną cechę, jak pojemność produktu.

Konstrukcje inżynierskie, które są ścięte szyszki, często można zobaczyć w dużych przedsiębiorstwach przemysłowych, a także w elektrowniach cieplnych i jądrowych. Taką formę mają chłodnie kominowe - urządzenia przeznaczone do schładzania dużych ilości wody poprzez wymuszenie przeciwprądu powietrza atmosferycznego. Najczęściej konstrukcje te są stosowane w przypadkach, gdy wymagane jest znaczne obniżenie temperatury dużej ilości cieczy w krótkim czasie. Twórcy tych struktur muszą określić objętość stożka ściętego wzór na obliczenie, który jest dość prosty i znany wszystkim, którzy kiedyś dobrze się uczyli w szkole średniej.

Detale o tym geometrycznym kształcie są dość często spotykane w projektach różnych urządzeń technicznych. Na przykład przekładnie stosowane w układach, w których wymagana jest zmiana kierunku przeniesienia kinetycznego, najczęściej realizowane są za pomocą przekładni stożkowych. Części te są integralną częścią szerokiej gamy skrzyń biegów, a także automatycznych i manualnych skrzyń biegów stosowanych w nowoczesnych pojazdach.

Kształt ściętego stożka ma pewne narzędzia skrawające, które są szeroko stosowane w produkcji, na przykład frezy. Z ich pomocą możesz obrabiać nachylone powierzchnie pod pewnym kątem. Do ostrzenia frezów sprzętu do obróbki metalu i drewna często stosuje się ściernice, które są również ściętymi stożkami. Oprócz, objętość stożka ściętego wymagane jest określenie konstruktorów tokarek i frezarek, które polegają na mocowaniu narzędzia skrawającego wyposażonego w chwyty stożkowe (wiertła, rozwiertaki itp.).