Πώς να κάνετε μια σάρωση - ένα μοτίβο για έναν κώνο ή έναν κόλουρο κώνο δεδομένου μεγέθους. Απλός υπολογισμός σάρωσης. Ο όγκος του κώνου, ο υπολογισμός του Ο όγκος του μουστακιού του κώνου

Ανάμεσα στην ποικιλία των γεωμετρικών σωμάτων, ένα από τα πιο ενδιαφέροντα είναι ο κώνος. Σχηματίζεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο γύρω από ένα από τα πόδια του.

Πώς να βρείτε τον όγκο ενός κώνου - βασικές έννοιες

Πριν αρχίσετε να υπολογίζετε τον όγκο ενός κώνου, θα πρέπει να εξοικειωθείτε με τις βασικές έννοιες.

Κυκλικός κώνος - η βάση ενός τέτοιου κώνου είναι ένας κύκλος. Εάν η βάση είναι έλλειψη, παραβολή ή υπερβολική, τότε τα σχήματα ονομάζονται ελλειπτικοί, παραβολικοί ή υπερβολικοί κώνοι. Αξίζει να θυμηθούμε ότι οι δύο τελευταίοι τύποι κώνων έχουν άπειρο όγκο.
Ένας κόλουρος κώνος είναι ένα μέρος ενός κώνου που βρίσκεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου παράλληλου προς αυτή τη βάση, που βρίσκεται μεταξύ της κορυφής και της βάσης.
Ύψος - ένα τμήμα κάθετο στη βάση, που απελευθερώνεται από την κορυφή.
Η γεννήτρια ενός κώνου είναι ένα τμήμα που συνδέει το περίγραμμα της βάσης και την κορυφή.

Όγκος κώνου

Για τον υπολογισμό του όγκου ενός κώνου χρησιμοποιείται ο τύπος V=1/3*S*H, όπου S είναι το εμβαδόν βάσης, H το ύψος. Εφόσον η βάση του κώνου είναι κύκλος, το εμβαδόν του βρίσκεται με τον τύπο S= nR^2, όπου n = 3,14, R είναι η ακτίνα του κύκλου.

Υπάρχει μια κατάσταση κατά την οποία ορισμένες από τις παραμέτρους είναι άγνωστες: ύψος, ακτίνα ή γεννήτρια. Σε αυτή την περίπτωση, αξίζει να καταφύγουμε στο Πυθαγόρειο θεώρημα. Η αξονική τομή του κώνου είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο, που αποτελείται από δύο ορθογώνια τρίγωνα, όπου l είναι η υποτείνουσα και H και R είναι τα σκέλη. Τότε l=(H^2+R^2)^1/2.

Περικομμένος όγκος κώνου

Ένας κόλουρος κώνος είναι ένας κώνος με κομμένη κορυφή.

Για να βρείτε τον όγκο ενός τέτοιου κώνου, χρειάζεστε τον τύπο:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

όπου n=3,14, r η ακτίνα του κύκλου της τομής, R η ακτίνα της μεγάλης βάσης, H το ύψος.

Το αξονικό τμήμα του κόλουρου κώνου θα είναι ισοσκελές τραπεζοειδές. Επομένως, εάν είναι απαραίτητο να βρείτε το μήκος της γεννήτριας ενός κώνου ή την ακτίνα ενός από τους κύκλους, αξίζει να χρησιμοποιήσετε τύπους για την εύρεση των πλευρών και των βάσεων ενός τραπεζοειδούς.

Βρείτε τον όγκο ενός κώνου αν το ύψος του είναι 8 cm και η ακτίνα της βάσης είναι 3 cm.

Δίνονται: H=8 cm, R=3 cm.

Αρχικά, βρείτε το εμβαδόν της βάσης εφαρμόζοντας τον τύπο S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Τώρα, χρησιμοποιώντας τον τύπο V=1/3*S*H, βρίσκουμε τον όγκο του κώνου.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Φιγούρες σε σχήμα κώνου βρίσκονται παντού: κώνοι στάθμευσης, πύργοι κτιρίων, σκιάστρο. Επομένως, το να γνωρίζετε πώς να βρείτε τον όγκο ενός κώνου μπορεί μερικές φορές να είναι χρήσιμο τόσο στην επαγγελματική όσο και στην καθημερινή ζωή.

Αντί για τη λέξη "μοτίβο", χρησιμοποιείται μερικές φορές "σκούπισμα", αλλά αυτός ο όρος είναι διφορούμενος: για παράδειγμα, το όργανο είναι ένα εργαλείο για την αύξηση της διαμέτρου μιας τρύπας και στην ηλεκτρονική τεχνολογία υπάρχει η έννοια του σκουπίσματος. Επομένως, αν και είμαι υποχρεωμένος να χρησιμοποιώ τις λέξεις "σκούπισμα κώνου" ώστε οι μηχανές αναζήτησης να μπορούν να βρουν αυτό το άρθρο χρησιμοποιώντας αυτές, θα χρησιμοποιήσω τη λέξη "μοτίβο".

Η κατασκευή ενός σχεδίου για έναν κώνο είναι μια απλή υπόθεση. Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις: για έναν πλήρη κώνο και για έναν κόλουρο. Στην εικόνα (κάντε κλικ για μεγέθυνση)παρουσιάζονται σκίτσα τέτοιων κώνων και τα σχέδια τους. (Σημειώνω αμέσως ότι θα μιλήσουμε μόνο για ίσιους κώνους με στρογγυλή βάση. Θα εξετάσουμε κώνους με οβάλ βάση και κεκλιμένους κώνους στα επόμενα άρθρα).

1. Πλήρες κωνικό

Ονομασίες:

Οι παράμετροι του μοτίβου υπολογίζονται από τους τύπους:
;
;
όπου .

2. Κόλουρος κώνος

Ονομασίες:

Τύποι για τον υπολογισμό των παραμέτρων του μοτίβου:
;
;
;
όπου .
Σημειώστε ότι αυτοί οι τύποι είναι κατάλληλοι και για τον πλήρη κώνο αν αντικαταστήσουμε .

Μερικές φορές, κατά την κατασκευή ενός κώνου, η τιμή της γωνίας στην κορυφή του (ή στη νοητή κορυφή, αν ο κώνος είναι κομμένος) είναι θεμελιώδης. Το απλούστερο παράδειγμα είναι όταν χρειάζεστε έναν κώνο για να χωρέσει άνετα στον άλλο. Ας υποδηλώσουμε αυτή τη γωνία με ένα γράμμα (βλ. εικόνα).
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να το χρησιμοποιήσουμε αντί για μία από τις τρεις τιμές εισόδου: , ή . Γιατί «μαζί σχετικά με", όχι μαζί μι"? Επειδή τρεις παράμετροι αρκούν για την κατασκευή ενός κώνου και η τιμή της τέταρτης υπολογίζεται μέσω των τιμών των άλλων τριών. Γιατί ακριβώς τρία, και όχι δύο ή τέσσερα, είναι ένα ερώτημα που ξεφεύγει από το σκοπό αυτού του άρθρου. Μια μυστηριώδης φωνή μου λέει ότι αυτό συνδέεται κατά κάποιο τρόπο με την τρισδιάστατη μορφή του αντικειμένου «κώνου». (Συγκρίνετε με τις δύο αρχικές παραμέτρους του αντικειμένου δισδιάστατου τμήματος κύκλου, από τις οποίες υπολογίσαμε όλες τις υπόλοιπες παραμέτρους του στο άρθρο.)

Παρακάτω είναι οι τύποι με τους οποίους προσδιορίζεται η τέταρτη παράμετρος του κώνου όταν δίνονται τρεις.

4. Μέθοδοι κατασκευής μοτίβου

Υπολογίστε τις τιμές στην αριθμομηχανή και δημιουργήστε ένα μοτίβο σε χαρτί (ή αμέσως σε μέταλλο) χρησιμοποιώντας πυξίδα, χάρακα και μοιρογνωμόνιο.
Εισαγάγετε τύπους και δεδομένα προέλευσης σε ένα υπολογιστικό φύλλο (για παράδειγμα, Microsoft Excel). Το αποτέλεσμα που προκύπτει χρησιμοποιείται για τη δημιουργία ενός μοτίβου χρησιμοποιώντας ένα πρόγραμμα επεξεργασίας γραφικών (για παράδειγμα, CorelDRAW).
χρησιμοποιήστε το πρόγραμμά μου, το οποίο θα σχεδιάσει στην οθόνη και θα εκτυπώσει ένα μοτίβο για έναν κώνο με τις δεδομένες παραμέτρους. Αυτό το μοτίβο μπορεί να αποθηκευτεί ως διανυσματικό αρχείο και να εισαχθεί στο CorelDRAW.

5. Όχι παράλληλες βάσεις

Όσον αφορά τους κόλουρους κώνους, το πρόγραμμα Cones εξακολουθεί να δημιουργεί μοτίβα για κώνους που έχουν μόνο παράλληλες βάσεις.
Για όσους αναζητούν έναν τρόπο να κατασκευάσουν ένα μοτίβο κόλουρου κώνου με μη παράλληλες βάσεις, εδώ είναι ένας σύνδεσμος που παρέχεται από έναν από τους επισκέπτες του ιστότοπου:
Ένας κόλουρος κώνος με μη παράλληλες βάσεις.

Η ανάπτυξη της επιφάνειας του κώνου είναι μια επίπεδη μορφή που προκύπτει από το συνδυασμό της πλευρικής επιφάνειας και της βάσης του κώνου με ένα συγκεκριμένο επίπεδο.

Επιλογές σαρωτικής κατασκευής:

Ανάπτυξη δεξιού κυκλικού κώνου

Η ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας ενός δεξιού κυκλικού κώνου είναι ένας κυκλικός τομέας, η ακτίνα του οποίου είναι ίση με το μήκος της γεννήτριας της κωνικής επιφάνειας l και η κεντρική γωνία φ καθορίζεται από τον τύπο φ=360*R/ l, όπου R είναι η ακτίνα της περιφέρειας της βάσης του κώνου.

Σε μια σειρά προβλημάτων περιγραφικής γεωμετρίας, η προτιμώμενη λύση είναι η προσέγγιση (αντικατάσταση) ενός κώνου από μια πυραμίδα που είναι εγγεγραμμένη σε αυτόν και η κατασκευή μιας κατά προσέγγιση σάρωσης, πάνω στην οποία είναι βολικό να χαράσσονται γραμμές που βρίσκονται σε μια κωνική επιφάνεια.

Αλγόριθμος κατασκευής

Εγγράφουμε μια πολυγωνική πυραμίδα στην κωνική επιφάνεια. Όσο περισσότερες πλευρικές όψεις της εγγεγραμμένης πυραμίδας, τόσο πιο ακριβής είναι η αντιστοιχία μεταξύ της πραγματικής και της κατά προσέγγιση σάρωσης.
Κατασκευάζουμε ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του τριγώνου. Τα σημεία που ανήκουν στη βάση του κώνου συνδέονται με μια ομαλή καμπύλη.

Παράδειγμα

Στο παρακάτω σχήμα, μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα SABCDEF είναι εγγεγραμμένη σε έναν δεξιό κυκλικό κώνο και μια κατά προσέγγιση ανάπτυξη της πλευρικής της επιφάνειας αποτελείται από έξι ισοσκελή τρίγωνα - τις όψεις της πυραμίδας.

Θεωρήστε ένα τρίγωνο S 0 A 0 B 0 . Τα μήκη των πλευρών του S 0 A 0 και S 0 B 0 είναι ίσα με τη γεννήτρια l της κωνικής επιφάνειας. Η τιμή A 0 B 0 αντιστοιχεί στο μήκος A'B'. Για να φτιάξουμε ένα τρίγωνο S 0 A 0 B 0 σε μια αυθαίρετη θέση του σχεδίου, αφήνουμε στην άκρη το τμήμα S 0 A 0 =l, μετά από το οποίο σχεδιάζουμε κύκλους με ακτίνα S 0 B 0 =l και A 0 B 0 = Α'Β' από τα σημεία Σ 0 και Α 0 αντίστοιχα. Συνδέουμε το σημείο τομής των κύκλων B 0 με τα σημεία A 0 και S 0 .

Οι όψεις S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 της πυραμίδας SABCDEF είναι χτισμένες παρόμοια με το τρίγωνο S 0 A 0 Β 0 .

Τα σημεία A, B, C, D, E και F, που βρίσκονται στη βάση του κώνου, συνδέονται με μια ομαλή καμπύλη - ένα τόξο κύκλου, η ακτίνα του οποίου είναι ίση με l.

Ανάπτυξη λοξού κώνου

Εξετάστε τη διαδικασία για την κατασκευή μιας σάρωσης της πλευρικής επιφάνειας ενός κεκλιμένου κώνου με τη μέθοδο της προσέγγισης.

Αλγόριθμος

Εγγράφουμε το εξάγωνο 123456 στον κύκλο της βάσης του κώνου. Συνδέστε τα σημεία 1, 2, 3, 4, 5 και 6 με την κορυφή S. Η πυραμίδα S123456 που κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο είναι, με ορισμένο βαθμό προσέγγισης, αντικατάσταση της κωνικής επιφάνειας και χρησιμοποιείται ως έχει σε περαιτέρω κατασκευές.
Καθορίζουμε τις φυσικές τιμές των άκρων της πυραμίδας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο περιστροφής γύρω από τη γραμμή προβολής: στο παράδειγμα, χρησιμοποιείται ο άξονας i, ο οποίος είναι κάθετος στο οριζόντιο επίπεδο προβολής και διέρχεται από την κορυφή S.
Άρα, ως αποτέλεσμα της περιστροφής της ακμής S5, η νέα του οριζόντια προβολή S'5' 1 παίρνει μια θέση στην οποία είναι παράλληλη με το μετωπικό επίπεδο π 2 . Αντίστοιχα, S''5'' 1 είναι η φυσική τιμή του S5.
Κατασκευάζουμε ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας της πυραμίδας S123456, που αποτελείται από έξι τρίγωνα: 0 1 0 . Η κατασκευή κάθε τριγώνου εκτελείται σε τρεις πλευρές. Για παράδειγμα, το △S 0 1 0 6 0 έχει μήκος S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Ο βαθμός αντιστοιχίας της κατά προσέγγιση σάρωσης με την πραγματική εξαρτάται από τον αριθμό των όψεων της εγγεγραμμένης πυραμίδας. Ο αριθμός των προσώπων επιλέγεται με βάση την ευκολία ανάγνωσης του σχεδίου, τις απαιτήσεις για την ακρίβειά του, την παρουσία χαρακτηριστικών σημείων και γραμμών που πρέπει να μεταφερθούν στη σάρωση.

Μεταφορά μιας γραμμής από την επιφάνεια ενός κώνου σε μια ανάπτυξη

Η γραμμή n που βρίσκεται στην επιφάνεια του κώνου σχηματίζεται ως αποτέλεσμα της τομής του με ένα συγκεκριμένο επίπεδο (σχήμα παρακάτω). Εξετάστε τον αλγόριθμο για την κατασκευή της γραμμής n στη σάρωση.

Αλγόριθμος

Να βρείτε τις προεξοχές των σημείων Α, Β και Γ, στα οποία η ευθεία n τέμνει τις ακμές της πυραμίδας που είναι εγγεγραμμένη στον κώνο S123456.
Καθορίζουμε το πραγματικό μέγεθος των τμημάτων SA, SB, SC περιστρέφοντας γύρω από τη γραμμή προβολής. Σε αυτό το παράδειγμα, SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
Βρίσκουμε τη θέση των σημείων A 0 , B 0 , C 0 στις αντίστοιχες ακμές της πυραμίδας, παραμερίζοντας τα τμήματα S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
Συνδέουμε τα σημεία A 0 , B 0 , C 0 με λεία γραμμή.

Ανάπτυξη κόλουρου κώνου

Η μέθοδος για την κατασκευή ενός σάρωσης ενός δεξιού κυκλικού κόλουρου κώνου, που περιγράφεται παρακάτω, βασίζεται στην αρχή της ομοιότητας.

Στη γεωμετρία, κόλουρος κώνος είναι ένα σώμα που σχηματίζεται από την περιστροφή ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς γύρω από εκείνη την πλευρά του, που είναι κάθετη στη βάση. Πώς υπολογίζουν όγκος κόλουρου κώνου, όλοι γνωρίζουν από το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας και στην πράξη αυτή η γνώση χρησιμοποιείται συχνά από σχεδιαστές διαφόρων μηχανών και μηχανισμών, προγραμματιστές ορισμένων καταναλωτικών αγαθών, καθώς και αρχιτέκτονες.

Υπολογισμός του όγκου ενός κόλουρου κώνου

Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κόλουρου κώνου

Ο όγκος ενός κόλουρου κώνου υπολογίζεται από τον τύπο:

πh (R 2 + R × r + r 2)

η- ύψος κώνου

r- ακτίνα της άνω βάσης

R- κάτω ακτίνα βάσης

V- όγκος του κόλουρου κώνου

π - 3,14

Με τέτοια γεωμετρικά σώματα όπως κόλουρους κώνους, στην καθημερινότητα, όλοι συναντάμε αρκετά συχνά, αν όχι συνεχώς. Το σχήμα τους έχει μια μεγάλη ποικιλία από δοχεία που χρησιμοποιούνται ευρέως στην καθημερινή ζωή: κουβάδες, ποτήρια, μερικά φλιτζάνια. Είναι αυτονόητο ότι οι σχεδιαστές που τα ανέπτυξαν πρέπει να έχουν χρησιμοποιήσει έναν τύπο που υπολογίζει όγκος κόλουρου κώνου, αφού αυτή η τιμή είναι πολύ σημαντική σε αυτή την περίπτωση, γιατί καθορίζει ένα τόσο σημαντικό χαρακτηριστικό όπως η χωρητικότητα του προϊόντος.

Μηχανικές κατασκευές, οι οποίες είναι κόλουρους κώνους, μπορεί συχνά να παρατηρηθεί σε μεγάλες βιομηχανικές επιχειρήσεις, καθώς και σε θερμοηλεκτρικούς και πυρηνικούς σταθμούς. Είναι αυτή η μορφή που έχουν οι πύργοι ψύξης - συσκευές σχεδιασμένες να ψύχουν μεγάλους όγκους νερού εξαναγκάζοντας μια αντίθετη ροή ατμοσφαιρικού αέρα. Τις περισσότερες φορές, αυτά τα σχέδια χρησιμοποιούνται σε περιπτώσεις όπου απαιτείται να μειωθεί σημαντικά η θερμοκρασία μιας μεγάλης ποσότητας υγρού σε σύντομο χρονικό διάστημα. Οι προγραμματιστές αυτών των δομών πρέπει να καθορίσουν όγκος κόλουρου κώνουο τύπος υπολογισμού που είναι αρκετά απλός και γνωστός σε όλους όσοι κάποτε σπούδαζαν καλά στο λύκειο.

Λεπτομέρειες που έχουν αυτό το γεωμετρικό σχήμα βρίσκονται αρκετά συχνά στο σχεδιασμό διαφόρων τεχνικών συσκευών. Για παράδειγμα, τα γρανάζια που χρησιμοποιούνται σε συστήματα όπου απαιτείται αλλαγή της κατεύθυνσης της κινητικής μετάδοσης εφαρμόζονται συχνότερα με χρήση κωνικών γραναζιών. Αυτά τα ανταλλακτικά αποτελούν αναπόσπαστο μέρος μιας μεγάλης ποικιλίας κιβωτίων ταχυτήτων, καθώς και αυτόματων και χειροκίνητων κιβωτίων ταχυτήτων που χρησιμοποιούνται στα σύγχρονα αυτοκίνητα.

Το σχήμα ενός κόλουρου κώνου έχει μερικά εργαλεία κοπής που χρησιμοποιούνται ευρέως στην παραγωγή, για παράδειγμα, φρέζες. Με τη βοήθειά τους, μπορείτε να επεξεργαστείτε κεκλιμένες επιφάνειες σε μια συγκεκριμένη γωνία. Για το ακόνισμα κοπτικών εξοπλισμού μεταλλουργίας και ξυλουργικής, χρησιμοποιούνται συχνά λειαντικοί τροχοί, οι οποίοι είναι επίσης κολοβωμένοι κώνοι. Εκτός, όγκος κόλουρου κώνουΑπαιτείται ο προσδιορισμός των σχεδιαστών μηχανών τόρνευσης και φρεζαρίσματος, οι οποίες περιλαμβάνουν τη στερέωση ενός κοπτικού εργαλείου εξοπλισμένου με κωνικούς κορμούς (τρυπάνια, φρέζες κ.λπ.).