So erstellen Sie einen Scan - ein Muster für einen Kegel oder einen Kegelstumpf einer bestimmten Größe. Einfache Sweep-Berechnung. Das Volumen des Kegels, seine Berechnung Das Volumen des Schnurrbarts des Kegels

Unter den verschiedenen geometrischen Körpern ist der Kegel einer der interessantesten. Es wird gebildet, indem ein rechtwinkliges Dreieck um eines seiner Beine gedreht wird.

So finden Sie das Volumen eines Kegels - Grundbegriffe

Bevor Sie mit der Berechnung des Volumens eines Kegels beginnen, sollten Sie sich mit den grundlegenden Konzepten vertraut machen.

• Kreiskegel - Die Basis eines solchen Kegels ist ein Kreis. Wenn die Basis eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel ist, werden die Figuren elliptische, parabolische oder hyperbolische Kegel genannt. Es sei daran erinnert, dass die letzten beiden Arten von Zapfen ein unendliches Volumen haben.
• Ein Kegelstumpf ist ein Teil eines Kegels, der sich zwischen der Basis und einer zu dieser Basis parallelen Ebene befindet, die sich zwischen der Spitze und der Basis befindet.
• Höhe - ein Segment senkrecht zur Basis, von oben freigegeben.
• Die Erzeugende eines Kegels ist ein Segment, das die Grenze der Basis und der Spitze verbindet.

Kegelvolumen

Zur Berechnung des Volumens eines Kegels wird die Formel V=1/3*S*H verwendet, wobei S die Grundfläche, H die Höhe ist. Da die Basis des Kegels ein Kreis ist, wird seine Fläche durch die Formel S = nR ^ 2 ermittelt, wobei n = 3,14, R der Radius des Kreises ist.

Es gibt eine Situation, in der einige der Parameter unbekannt sind: Höhe, Radius oder Erzeugende. In diesem Fall lohnt es sich, auf den Satz des Pythagoras zurückzugreifen. Der Axialschnitt des Kegels ist ein gleichschenkliges Dreieck, bestehend aus zwei rechtwinkligen Dreiecken, wobei l die Hypotenuse und H und R die Schenkel sind. Dann ist l=(H^2+R^2)^1/2.

Kegelstumpfvolumen

Ein Kegelstumpf ist ein Kegel mit abgeschnittener Spitze.

Um das Volumen eines solchen Kegels zu finden, benötigen Sie die Formel:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

wobei n=3,14, r der Radius des Schnittkreises, R der Radius der großen Basis, H die Höhe ist.

Der axiale Schnitt des Kegelstumpfes ist ein gleichschenkliges Trapez. Wenn es also notwendig ist, die Länge der Erzeugenden eines Kegels oder den Radius eines der Kreise zu finden, lohnt es sich, Formeln zum Ermitteln der Seiten und Basen eines Trapezes zu verwenden.

Berechne das Volumen eines Kegels, wenn seine Höhe 8 cm und der Basisradius 3 cm beträgt.

Gegeben: H=8 cm, R=3 cm.

Finden Sie zuerst die Fläche der Basis, indem Sie die Formel S=nR^2 anwenden.

S = 3,14 * 3 ^ 2 = 28,26 cm ^ 2

Mit der Formel V=1/3*S*H finden wir nun das Volumen des Kegels.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Kegelförmige Figuren sind überall zu finden: Parkkegel, Gebäudetürme, Lampenschirm. Daher kann es sowohl im Berufs- als auch im Alltag nützlich sein, zu wissen, wie man das Volumen eines Kegels ermittelt.

Anstelle des Wortes „Muster“ wird manchmal „Sweep“ verwendet, aber dieser Begriff ist mehrdeutig: Beispielsweise ist eine Reibahle ein Werkzeug zum Vergrößern des Durchmessers eines Lochs, und in der Elektronik gibt es ein Konzept einer Reibahle. Obwohl ich verpflichtet bin, die Wörter „Cone Sweep“ zu verwenden, damit Suchmaschinen diesen Artikel damit finden können, werde ich daher das Wort „Muster“ verwenden.

Das Erstellen eines Musters für einen Kegel ist eine einfache Sache. Betrachten wir zwei Fälle: für einen vollen Kegel und für einen abgeschnittenen. Auf dem Bild (klicken um zu vergrößern) Skizzen solcher Kegel und ihrer Muster werden gezeigt. (Ich merke gleich an, dass wir nur über gerade Kegel mit runder Basis sprechen werden. Wir werden in den folgenden Artikeln Kegel mit ovaler Basis und geneigte Kegel betrachten).

1. Volle Verjüngung

Bezeichnungen:

Musterparameter werden durch die Formeln berechnet:
;
;
wo .

2. Kegelstumpf

Bezeichnungen:

Formeln zur Berechnung von Musterparametern:
;
;
;
wo .
Beachten Sie, dass diese Formeln auch für den vollen Kegel geeignet sind, wenn wir ersetzen.

Manchmal ist beim Konstruieren eines Kegels der Wert des Winkels an seiner Spitze (oder an der imaginären Spitze, wenn der Kegel abgeschnitten ist) von grundlegender Bedeutung. Das einfachste Beispiel ist, wenn Sie einen Kegel benötigen, um genau in einen anderen zu passen. Lassen Sie uns diesen Winkel mit einem Buchstaben bezeichnen (siehe Bild).
In diesem Fall können wir es anstelle eines der drei Eingabewerte verwenden: , oder . Warum „gemeinsam um", nicht zusammen e"? Denn drei Parameter reichen aus, um einen Kegel zu konstruieren, und der Wert des vierten errechnet sich aus den Werten der anderen drei. Warum genau drei und nicht zwei oder vier, ist eine Frage, die den Rahmen dieses Artikels sprengen würde. Eine mysteriöse Stimme sagt mir, dass dies irgendwie mit der Dreidimensionalität des Objekts „Kegel“ zusammenhängt. (Vergleichen Sie mit den beiden Anfangsparametern des zweidimensionalen Kreissegmentobjekts, aus denen wir alle seine anderen Parameter im Artikel berechnet haben.)

Unten sind die Formeln, mit denen der vierte Parameter des Kegels bestimmt wird, wenn drei gegeben sind.

4. Verfahren zum Konstruieren eines Musters

• Berechnen Sie die Werte auf dem Taschenrechner und erstellen Sie mit Zirkel, Lineal und Winkelmesser ein Muster auf Papier (oder sofort auf Metall).
• Geben Sie Formeln und Quelldaten in eine Tabellenkalkulation (z. B. Microsoft Excel) ein. Das erhaltene Ergebnis wird zum Erstellen eines Musters unter Verwendung eines grafischen Editors (z. B. CorelDRAW) verwendet.
• Verwenden Sie mein Programm, das auf dem Bildschirm zeichnet und ein Muster für einen Kegel mit den angegebenen Parametern ausdruckt. Dieses Muster kann als Vektordatei gespeichert und in CorelDRAW importiert werden.

5. Nicht parallele Basen

Soweit Kegelstümpfe betroffen sind, baut das Cones-Programm immer noch Muster für Kegel, die nur parallele Basen haben.
Für diejenigen, die nach einer Möglichkeit suchen, ein Kegelstumpfmuster mit nicht parallelen Basen zu konstruieren, ist hier ein Link, der von einem der Website-Besucher bereitgestellt wurde:
Ein Kegelstumpf mit nicht parallelen Basen.

Die Entwicklung der Kegeloberfläche ist eine flache Figur, die durch Kombinieren der Seitenfläche und der Basis des Kegels mit einer bestimmten Ebene erhalten wird.

Sweep-Konstruktionsoptionen:

Entwicklung eines geraden Kreiskegels

Die Abwicklung der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels ist ein Kreissektor, dessen Radius gleich der Länge der Erzeugenden der Kegelfläche l ist und der Zentriwinkel φ durch die Formel φ=360*R/ l, wobei R der Radius des Umfangs der Basis des Kegels ist.

Bei einer Reihe von Problemen der darstellenden Geometrie ist die bevorzugte Lösung die Annäherung (Ersetzung) eines Kegels durch eine darin eingeschriebene Pyramide und die Konstruktion eines ungefähren Sweeps, auf dem es zweckmäßig ist, auf einer Kegelfläche liegende Linien zu zeichnen.

Konstruktionsalgorithmus

1. In die Kegelfläche schreiben wir eine polygonale Pyramide ein. Je mehr Seitenflächen die eingeschriebene Pyramide hat, desto genauer ist die Übereinstimmung zwischen dem tatsächlichen und dem ungefähren Scan.
2. Wir bauen eine Abwicklung der Seitenfläche der Pyramide nach der Dreiecksmethode. Die zur Basis des Kegels gehörenden Punkte sind durch eine glatte Kurve verbunden.

Beispiel

In der Abbildung unten ist eine regelmäßige sechseckige Pyramide SABCDEF in einen geraden Kreiskegel eingeschrieben, und eine ungefähre Entwicklung ihrer Seitenfläche besteht aus sechs gleichschenkligen Dreiecken - den Flächen der Pyramide.

Betrachten Sie ein Dreieck S 0 A 0 B 0 . Die Seitenlängen S 0 A 0 und S 0 B 0 sind gleich der Erzeugenden l der Kegelfläche. Der Wert A 0 B 0 entspricht der Länge A'B'. Um ein Dreieck S 0 A 0 B 0 an einer beliebigen Stelle der Zeichnung zu bauen, legen wir das Segment S 0 A 0 = l beiseite, danach zeichnen wir Kreise mit einem Radius S 0 B 0 = l und A 0 B 0 = A'B' von den Punkten S 0 bzw. A 0. Wir verbinden den Schnittpunkt der Kreise B 0 mit den Punkten A 0 und S 0 .

Die Flächen S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 der SABCDEF-Pyramide sind ähnlich aufgebaut wie das Dreieck S 0 A 0 B 0 .

Die Punkte A, B, C, D, E und F, die an der Basis des Kegels liegen, sind durch eine glatte Kurve verbunden - einen Kreisbogen, dessen Radius gleich l ist.

Schrägkegelentwicklung

Betrachten Sie das Verfahren zum Konstruieren eines Sweeps der Mantelfläche eines geneigten Kegels durch das Näherungsverfahren.

Algorithmus

1. In den Kreis der Kegelbasis schreiben wir das Sechseck 123456. Verbinden Sie die Punkte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 mit der Spitze S. Die so konstruierte Pyramide S123456 ist mit einer gewissen Näherung ein Ersatz für die Kegelfläche und wird als solche in weiteren Konstruktionen verwendet.
2. Wir bestimmen die natürlichen Werte der Kanten der Pyramide mit der Rotationsmethode um die Projektionslinie: Im Beispiel wird die i-Achse verwendet, die senkrecht zur horizontalen Projektionsebene steht und durch den Scheitelpunkt S verläuft.
   Als Folge der Drehung der Kante S5 nimmt ihre neue horizontale Projektion S'5' 1 also eine Position ein, in der sie parallel zur Frontalebene π 2 ist. Dementsprechend ist S''5'' 1 der natürliche Wert von S5.
3. Wir konstruieren eine Abwicklung der Seitenfläche der Pyramide S123456, bestehend aus sechs Dreiecken: 0 1 0 . Die Konstruktion jedes Dreiecks erfolgt auf drei Seiten. Zum Beispiel hat △S 0 1 0 6 0 die Länge S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Der Grad der Übereinstimmung des ungefähren Sweep mit dem tatsächlichen hängt von der Anzahl der Flächen der eingeschriebenen Pyramide ab. Die Anzahl der Flächen wird basierend auf der Leichtigkeit des Lesens der Zeichnung, den Anforderungen an ihre Genauigkeit und dem Vorhandensein charakteristischer Punkte und Linien ausgewählt, die auf den Scan übertragen werden müssen.

Übertragung einer Linie von der Oberfläche eines Kegels auf eine Abwicklung

Die auf der Kegeloberfläche liegende Linie n entsteht durch ihren Schnittpunkt mit einer bestimmten Ebene (Abbildung unten). Betrachten Sie den Algorithmus zum Konstruieren der Linie n auf dem Sweep.

Algorithmus

1. Finden Sie die Projektionen der Punkte A, B und C, in denen die Linie n die Kanten der Pyramide schneidet, die in den Kegel S123456 eingeschrieben ist.
2. Die tatsächliche Größe der Segmente SA, SB, SC ermitteln wir durch Rotieren um die Projektionslinie. In diesem Beispiel ist SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Wir finden die Position der Punkte A 0 , B 0 , C 0 auf den entsprechenden Kanten der Pyramide, indem wir die Segmente S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 beiseite legen, S 0 C 0 = S'' C'' 1 .
4. Wir verbinden die Punkte A 0 , B 0 , C 0 mit einer glatten Linie.

Kegelstumpfentwicklung

Das nachfolgend beschriebene Verfahren zum Konstruieren eines Bogens eines geraden Kreiskegelstumpfs basiert auf dem Ähnlichkeitsprinzip.

In der Geometrie ist ein Kegelstumpf ein Körper, der durch Drehung eines rechteckigen Trapezes um seine Seite entsteht, die senkrecht zur Grundfläche steht. Wie rechnen sie Kegelstumpfvolumen, kennt jeder aus dem Schulgeometriekurs, und in der Praxis wird dieses Wissen oft von Designern verschiedener Maschinen und Mechanismen, Entwicklern einiger Konsumgüter sowie Architekten verwendet.

Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes

Das Volumen eines Kegelstumpfes wird nach folgender Formel berechnet:

h- Kegelhöhe

r- Radius der oberen Basis

R- unterer Basisradius

v- Volumen des Kegelstumpfes

π - 3,14

Mit solchen geometrischen Körpern wie Kegelstümpfe, im Alltag trifft jeder ziemlich oft, wenn nicht ständig. Ihre Form hat eine Vielzahl von Behältern, die im Alltag weit verbreitet sind: Eimer, Gläser, einige Tassen. Es versteht sich von selbst, dass die Designer, die sie entwickelt haben, eine Formel verwendet haben müssen, die rechnet Kegelstumpfvolumen, da dieser Wert in diesem Fall sehr wichtig ist, da er ein so wichtiges Merkmal wie die Kapazität des Produkts bestimmt.

Ingenieurbauwerke, die sind Kegelstümpfe, ist häufig in großen Industrieunternehmen sowie in Wärme- und Kernkraftwerken zu sehen. Diese Form haben Kühltürme - Geräte, die große Wassermengen kühlen, indem sie einen Gegenstrom atmosphärischer Luft erzwingen. Am häufigsten werden diese Konstruktionen in Fällen verwendet, in denen es erforderlich ist, die Temperatur einer großen Flüssigkeitsmenge in kurzer Zeit erheblich zu senken. Die Entwickler dieser Strukturen müssen bestimmen Kegelstumpfvolumen die Rechenformel, die ganz einfach ist und allen bekannt ist, die einmal in der High School gut gelernt haben.

Details mit dieser geometrischen Form finden sich häufig im Design verschiedener technischer Geräte. Beispielsweise werden Zahnräder, die in Systemen verwendet werden, in denen es erforderlich ist, die Richtung der kinetischen Übertragung zu ändern, am häufigsten unter Verwendung von Kegelrädern implementiert. Diese Teile sind ein wesentlicher Bestandteil einer Vielzahl von Getrieben sowie automatischen und manuellen Getrieben, die in modernen Autos verwendet werden.

Die Form eines Kegelstumpfes hat einige Schneidwerkzeuge, die in der Produktion weit verbreitet sind, beispielsweise Fräser. Mit ihrer Hilfe können Sie geneigte Flächen in einem bestimmten Winkel bearbeiten. Zum Schärfen von Fräsern von Metall- und Holzbearbeitungsgeräten werden häufig Schleifscheiben verwendet, die ebenfalls Kegelstümpfe sind. Außerdem, Kegelstumpfvolumen Es ist erforderlich, die Konstrukteure von Dreh- und Fräsmaschinen zu bestimmen, bei denen ein mit konischen Schäften ausgestattetes Schneidwerkzeug (Bohrer, Reibahlen usw.) befestigt wird.