Online unendlich abnehmende geometrische Progression. Die Formel für die Summe der ersten n Mitglieder des GP. Probleme bei der Berechnung des Zinseszinses

NUMERISCHE FOLGEN VI

§ 148. Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression

Bisher haben wir, wenn wir von Summen sprechen, immer angenommen, dass die Anzahl der Terme in diesen Summen endlich ist (z. B. 2, 15, 1000 usw.). Aber beim Lösen mancher Probleme (insbesondere der höheren Mathematik) muss man sich mit den Summen unendlich vieler Terme auseinandersetzen

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Wie hoch sind diese Beträge? Per Definition die Summe unendlich vieler Terme a 1 , a 2 , ..., a n , ... heißt Grenzwert der Summe S n Erste P Zahlen wann P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Grenze (2) kann natürlich existieren oder nicht. Dementsprechend wird gesagt, dass die Summe (1) existiert oder nicht existiert.

Wie findet man heraus, ob die Summe (1) in jedem einzelnen Fall existiert? Eine allgemeine Lösung dieser Frage geht weit über den Rahmen unseres Programms hinaus. Es gibt jedoch einen wichtigen Spezialfall, den wir jetzt betrachten müssen. Wir werden über die Summierung der Terme einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression sprechen.

Lassen a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ist eine unendlich fallende geometrische Folge. Dies bedeutet, dass | q |< 1. Сумма первых P Mitglieder dieser Progression ist gleich

Aus den grundlegenden Sätzen über die Grenzen von Variablen (siehe § 136) erhalten wir:

Aber 1 = 1, a q n = 0. Daher

Die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression ist also gleich dem ersten Term dieser Progression dividiert durch eins minus dem Nenner dieser Progression.

1) Die Summe der geometrischen Progression ist 1, 1/3, 1/9, 1/27, ...

und die Summe einer geometrischen Folge 12 ist; -6; 3; - 3 / 2 , ... gleich

2) Ein einfacher periodischer Bruch 0,454545 ... verwandelt sich in einen gewöhnlichen.

Um dieses Problem zu lösen, stellen wir diesen Bruch als unendliche Summe dar:

Die rechte Seite dieser Gleichheit ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge, deren erster Term 45/100 und der Nenner 1/100 ist. Deshalb

Auf die beschriebene Weise erhält man auch die allgemeine Regel zur Umwandlung einfacher periodischer Brüche in gewöhnliche Brüche (siehe Kapitel II, § 38):

Um einen einfachen periodischen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch umzuwandeln, müssen Sie wie folgt vorgehen: Setzen Sie die Periode des Dezimalbruchs in den Zähler und in den Nenner - eine Zahl, die aus Neunen besteht, die so oft genommen werden, wie es Ziffern in der Periode gibt des Dezimalbruchs.

3) Gemischter periodischer Bruch 0,58333 .... wird zu einem gewöhnlichen Bruch.

Stellen wir diesen Bruch als unendliche Summe dar:

Auf der rechten Seite dieser Gleichheit bilden alle Terme ab 3/1000 eine unendlich abnehmende geometrische Folge, deren erster Term 3/1000 und der Nenner 1/10 ist. Deshalb

Auf die beschriebene Weise erhält man auch die allgemeine Regel für die Umwandlung von gemischten periodischen Brüchen in gewöhnliche Brüche (siehe Kapitel II, § 38). Wir nehmen es hier bewusst nicht auf. Diese umständliche Regel muss man sich nicht merken. Es ist viel nützlicher zu wissen, dass jeder gemischte periodische Bruch als Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge und einer Zahl dargestellt werden kann. Und die Formel

für die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression muss man sich natürlich merken.

Als Übung laden wir Sie ein, sich zusätzlich zu den Aufgaben Nr. 995-1000 unten noch einmal der Aufgabe Nr. 301 § 38 zuzuwenden.

Übungen

995. Wie nennt man die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Folge?

996. Finden Sie Summen von unendlich abnehmenden geometrischen Folgen:

997. Für welche Werte X Fortschreiten

nimmt unendlich ab? Finden Sie die Summe einer solchen Progression.

998. In einem gleichseitigen Dreieck mit einer Seite a ein neues Dreieck wird eingeschrieben, indem die Mittelpunkte seiner Seiten verbunden werden; in dieses Dreieck wird auf die gleiche Weise ein neues Dreieck eingeschrieben, und so weiter bis ins Unendliche.

a) die Summe der Umfänge all dieser Dreiecke;

b) die Summe ihrer Flächen.

999. In einem Quadrat mit einer Seite a ein neues Quadrat wird eingeschrieben, indem die Mittelpunkte seiner Seiten verbunden werden; ebenso wird in dieses Quadrat ein Quadrat eingeschrieben, und so weiter bis ins Unendliche. Finde die Summe der Umfänge all dieser Quadrate und die Summe ihrer Flächen.

1000. Machen Sie eine unendlich abnehmende geometrische Folge, so dass ihre Summe gleich 25 / 4 ist und die Summe der Quadrate ihrer Terme gleich 625 / 24 ist.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nächste Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Das Konzept der geometrischen Progression

Die geometrische Folge wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Das Verhältnis jedes Terms des geometrischen Fehlers zu seinem vorherigen Term ist gleich der gleichen Zahl, d. h. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+). 1)/Mrd. = …. Dies folgt direkt aus der Definition einer arithmetischen Progression. Diese Zahl wird als Nenner einer geometrischen Folge bezeichnet. Üblicherweise wird der Nenner einer geometrischen Folge mit dem Buchstaben q bezeichnet.

Die Summe einer unendlichen geometrischen Folge für |q|<1

Eine Möglichkeit, eine geometrische Folge festzulegen, besteht darin, ihren ersten Term b1 und den Nenner des geometrischen Fehlers q festzulegen. Beispiel: b1=4, q=-2. Diese beiden Bedingungen ergeben eine geometrische Progression von 4, -8, 16, -32, … .

Wenn q > 0 (q ist ungleich 1), dann ist die Progression eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton ansteigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q = 1 im geometrischen Fehler ist, dann sind alle Glieder der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen wird die Progression als eine konstante Sequenz bezeichnet.

Damit die Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, muss jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel der benachbarten Glieder sein. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Lassen Sie uns nun (Xn) setzen - eine geometrische Folge. Der Nenner der geometrischen Folge q, mit |q|∞).
Bezeichnen wir nun mit S die Summe einer unendlichen geometrischen Folge, so gilt folgende Formel:
S=x1/(1-q).

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

Finden Sie die Summe einer unendlichen geometrischen Folge 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Um S zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe einer unendlich arithmetischen Folge. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nächste Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist.

Der geometrische Verlauf ist bezeichnet b1,b2,b3, …, bn, … .

Monotone und konstante Folge

Wenn q > 0 (q ist ungleich 1), dann ist die Progression monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton ansteigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q = 1 im geometrischen Fehler ist, dann sind alle Glieder der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen spricht man von einer Progression konstante Folge.

Formel des n-ten Gliedes einer geometrischen Folge

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet:

bn=b1*q^(n-1),

wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge

Die Formel für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge lautet:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) wobei q ungleich 1 ist.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

In der geometrischen Folge b1=6, q=3, n=8 findet man Sn.

Um S8 zu finden, verwenden wir die Formel für die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge ist eine sehr einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch im Allgemeinen. Aber es gibt alle möglichen Probleme für die Formel des n-ten Glieds - von sehr primitiv bis zu ziemlich ernsthaften. Und im Verlauf unserer Bekanntschaft werden wir beide definitiv in Betracht ziehen. Na, treffen wir uns?)

Also eigentlich für den Anfang Formeln

Da ist sie:

b n = b 1 · q n -1

Formel als Formel, nichts Übernatürliches. Es sieht noch einfacher und kompakter aus als die ähnliche Formel für . Auch die Bedeutung der Formel ist einfach, wie bei einem Filzstiefel.

Mit dieser Formel können Sie JEDES Mitglied einer geometrischen Folge NACH SEINER NUMMER finden " n".

Wie Sie sehen können, ist die Bedeutung eine vollständige Analogie mit einer arithmetischen Progression. Wir kennen die Zahl n - wir können auch den Begriff unter dieser Zahl berechnen. Was wir wollen. Nicht viele, viele Male sequentiell mit "q" multiplizieren. Das ist der springende Punkt.)

Ich verstehe, dass Ihnen auf dieser Ebene der Arbeit mit Progressionen alle in der Formel enthaltenen Größen bereits klar sein sollten, aber ich halte es für meine Pflicht, jede einzelne zu entschlüsseln. Nur für den Fall.

So lass uns gehen:

b 1 – Der Erste Mitglied einer geometrischen Folge;

q – ;

n- Mitgliedsnummer;

b n – n. (nMai) Mitglied einer geometrischen Folge.

Diese Formel verbindet die vier Hauptparameter jeder geometrischen Progression - bn, b 1 , q und n. Und um diese vier Kennzahlen drehen sich alle Aufgaben in Progression.

"Und wie wird es angezeigt?"- Ich höre eine neugierige Frage ... Elementar! Aussehen!

Was ist gleich zweite Progressionsmitglied? Kein Problem! Wir schreiben direkt:

b 2 = b 1 q

Und das dritte Mitglied? Auch kein Problem! Wir multiplizieren den zweiten Term wieder anq.

So:

B 3 \u003d b 2q

Erinnern Sie sich nun daran, dass der zweite Term wiederum gleich b 1 q ist und setzen Sie diesen Ausdruck in unsere Gleichheit ein:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Wir bekommen:

B 3 = b 1 q 2

Lesen wir nun unseren Eintrag auf Russisch: dritte Term ist gleich dem ersten Term multipliziert mit q in zweite Grad. Verstehst du es? Noch nicht? Gut, noch ein Schritt.

Was ist der vierte Begriff? Alles das selbe! Multiplizieren früher(d. h. der dritte Term) auf q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Gesamt:

B 4 = b 1 q 3

Und wieder übersetzen wir ins Russische: vierte Term ist gleich dem ersten Term multipliziert mit q in dritte Grad.

Usw. Und wie? Hast du das Muster erwischt? Ja! Für jeden Term mit beliebiger Zahl ist die Anzahl der gleichen Faktoren q (d. h. die Potenz des Nenners) immer gleich eins weniger als die Nummer des gewünschten Mitgliedsn.

Daher lautet unsere Formel ohne Optionen:

b n =b 1 · q n -1

Das ist alles.)

Nun, lass uns Probleme lösen, sollen wir?)

Probleme mit einer Formel lösennTerm einer geometrischen Folge.

Beginnen wir wie gewohnt mit einer direkten Anwendung der Formel. Hier ein typisches Problem:

Das ist exponentiell bekannt b 1 = 512 und q = -1/2. Finden Sie den zehnten Term der Progression.

Natürlich lässt sich dieses Problem ganz ohne Formeln lösen. Genau wie eine geometrische Progression. Aber wir müssen uns mit der Formel des n-ten Terms aufwärmen, oder? Hier brechen wir auf.

Unsere Daten zur Anwendung der Formel sind wie folgt.

Der erste Term ist bekannt. Das ist 512.

b 1 = 512.

Auch der Nenner der Progression ist bekannt: q = -1/2.

Es bleibt nur herauszufinden, welcher Zahl der Term n gleich ist. Kein Problem! Interessieren wir uns für das zehnte Semester? Also ersetzen wir zehn statt n in der allgemeinen Formel.

Und berechnen Sie sorgfältig die Arithmetik:

Antwort 1

Wie Sie sehen können, war das zehnte Glied der Progression mit einem Minus versehen. Kein Wunder: Der Nenner der Progression ist -1/2, also Negativ Nummer. Und das sagt uns, dass sich die Zeichen unseres Fortschritts abwechseln, ja.)

Hier ist alles einfach. Und hier ist ein ähnliches Problem, aber etwas komplizierter in Bezug auf die Berechnungen.

In der geometrischen Progression wissen wir, dass:

b 1 = 3

Finden Sie den dreizehnten Term der Progression.

Alles ist gleich, nur diesmal der Nenner der Progression - irrational. Wurzel aus zwei. Nun, keine große Sache. Die Formel ist eine universelle Sache, sie kommt mit beliebigen Zahlen zurecht.

Wir arbeiten direkt nach der Formel:

Die Formel funktionierte natürlich so, wie sie sollte, aber ... hier werden einige hängen bleiben. Was tun als nächstes mit der Wurzel? Wie erhebt man eine Wurzel zur zwölften Potenz?

Wie-wie ... Sie müssen verstehen, dass jede Formel natürlich eine gute Sache ist, aber das Wissen über alle bisherigen Mathematik wird nicht aufgehoben! Wie erhöhen? Ja, denken Sie an die Eigenschaften von Graden! Ändern wir die Wurzel in Bruchgrad und - durch die Formel, eine Potenz zu einer Potenz zu erheben.

So:

Antwort: 192

Und alles.)

Was ist die Hauptschwierigkeit bei der direkten Anwendung der n-ten Termformel? Ja! Die Hauptschwierigkeit ist Arbeite mit Abschlüssen! Nämlich die Potenzierung von negativen Zahlen, Brüchen, Wurzeln und ähnlichen Konstruktionen. Also wer damit Probleme hat, eine dringende Bitte die Abschlüsse und deren Eigenschaften zu wiederholen! Andernfalls werden Sie in diesem Thema langsamer, ja ...)

Lassen Sie uns nun typische Suchprobleme lösen eines der Elemente der Formel wenn alle anderen gegeben sind. Für die erfolgreiche Lösung solcher Probleme ist das Rezept zum Grauen einfach und einfach - schreibe die FormelnMitglied überhaupt! Direkt im Notizbuch neben der Bedingung. Und dann finden wir anhand der Bedingung heraus, was uns gegeben wird und was nicht ausreicht. Und wir drücken den gewünschten Wert aus der Formel aus. Alles!

Zum Beispiel so ein harmloses Problem.

Der fünfte Term einer geometrischen Folge mit einem Nenner von 3 ist 567. Finden Sie den ersten Term dieser Folge.

Nichts kompliziertes. Wir arbeiten direkt nach dem Zauberspruch.

Wir schreiben die Formel des n-ten Terms!

b n = b 1 · q n -1

Was wird uns gegeben? Zunächst wird der Nenner der Progression angegeben: q = 3.

Darüber hinaus sind wir gegeben fünfte Amtszeit: b 5 = 567 .

Alles? Nein! Wir erhalten auch die Zahl n! Dies ist eine Fünf: n = 5.

Ich hoffe, Sie haben bereits verstanden, was in der Aufzeichnung steht b 5 = 567 zwei Parameter werden gleichzeitig ausgeblendet - dies ist das fünfte Mitglied selbst (567) und seine Nummer (5). In einer ähnlichen Lektion habe ich bereits darüber gesprochen, aber ich denke, es ist nicht überflüssig, hier daran zu erinnern.)

Jetzt setzen wir unsere Daten in die Formel ein:

567 = b 1 3 5-1

Wir betrachten Arithmetik, vereinfachen und erhalten eine einfache lineare Gleichung:

81 b 1 = 567

Wir lösen und erhalten:

b 1 = 7

Wie Sie sehen können, gibt es keine Probleme, das erste Mitglied zu finden. Aber bei der Suche nach dem Nenner q und Zahlen n es kann Überraschungen geben. Und man muss auch auf sie vorbereitet sein (Überraschungen), ja.)

Zum Beispiel ein solches Problem:

Der fünfte Term einer geometrischen Progression mit positivem Nenner ist 162, und der erste Term dieser Progression ist 2. Finden Sie den Nenner der Progression.

Dieses Mal erhalten wir das erste und fünfte Glied und werden gebeten, den Nenner der Progression zu finden. Hier fangen wir an.

Wir schreiben die FormelnMitglied!

b n = b 1 · q n -1

Unsere Anfangsdaten lauten wie folgt:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nicht genug Wert q. Kein Problem! Lass es uns jetzt finden.) Wir setzen alles, was wir wissen, in die Formel ein.

Wir bekommen:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Eine einfache Gleichung vierten Grades. Aber jetzt - sorgfältig! In diesem Stadium der Lösung ziehen viele Schüler sofort freudig die Wurzel (des vierten Grades) und erhalten die Antwort q=3 .

So:

q4 = 81

q = 3

Aber im Allgemeinen ist dies eine unvollendete Antwort. Oder besser gesagt unvollständig. Wieso den? Der Punkt ist, dass die Antwort q = -3 passt auch: (-3) 4 wäre auch 81!

Das liegt an der Leistungsgleichung x n = a hat immer zwei entgegengesetzte Wurzeln bei ebenn . Plus und Minus:

Beide passen.

Zum Beispiel lösen (d.h. zweite Grad)

x2 = 9

Aus irgendeinem Grund überrascht Sie das Aussehen nicht zwei Wurzeln x=±3? Hier ist es genauso. Und mit jedem anderen eben Grad (vierter, sechster, zehnter usw.) wird derselbe sein. Details - im Thema über

Die richtige Lösung wäre also:

q 4 = 81

q= ±3

Okay, wir haben die Zeichen herausgefunden. Was ist richtig – Plus oder Minus? Nun, wir lesen den Zustand des Problems erneut auf der Suche nach zusätzliche Information. Es kann natürlich nicht existieren, aber in diesem Problem solche Informationen verfügbar. In unserem Zustand ist direkt angegeben, dass eine Progression mit gegeben ist positiver Nenner.

Die Antwort liegt also auf der Hand:

q = 3

Hier ist alles einfach. Was würde Ihrer Meinung nach passieren, wenn die Problemstellung so wäre:

Der fünfte Term einer geometrischen Progression ist 162 und der erste Term dieser Progression ist 2. Finden Sie den Nenner der Progression.

Was ist der Unterschied? Ja! Im Zustand nichts keine Erwähnung des Nenners. Weder direkt noch indirekt. Und hier wäre das Problem schon zwei Lösungen!

q = 3 und q = -3

Ja Ja! Und mit Plus und Minus.) Mathematisch würde diese Tatsache bedeuten, dass es gibt zwei Progressionen die zur Aufgabe passen. Und für jeden - seinen eigenen Nenner. Üben Sie zum Spaß die ersten fünf Begriffe und schreiben Sie sie auf.)

Lassen Sie uns nun üben, die Mitgliedsnummer zu finden. Das ist das Schwierigste, ja. Aber auch kreativer.

Gegeben eine geometrische Progression:

3; 6; 12; 24; …

Welche Zahl ist 768 in dieser Progression?

Der erste Schritt ist derselbe: schreibe die FormelnMitglied!

b n = b 1 · q n -1

Und jetzt ersetzen wir wie üblich die uns bekannten Daten darin. Hm... das passt nicht! Wo ist das erste Glied, wo ist der Nenner, wo ist alles andere?!

Wo, wo ... Warum brauchen wir Augen? Flatternde Wimpern? Diesmal wird uns der Verlauf direkt im Formular mitgeteilt Sequenzen. Können wir den ersten Term sehen? Wir sehen! Dies ist ein Tripel (b 1 = 3). Was ist mit dem Nenner? Wir sehen es noch nicht, aber es ist sehr einfach zu zählen. Wenn Sie natürlich verstehen.

Hier überlegen wir. Direkt gemäß der Bedeutung einer geometrischen Folge: Wir nehmen eines seiner Mitglieder (außer dem ersten) und dividieren durch das vorherige.

Zumindest so:

q = 24/12 = 2

Was wissen wir noch? Wir kennen auch ein Mitglied dieser Progression, gleich 768. Unter einer Nummer n:

b n = 768

Wir kennen seine Nummer nicht, aber unsere Aufgabe besteht genau darin, ihn zu finden.) Also suchen wir. Wir haben bereits alle notwendigen Daten für die Substitution in der Formel heruntergeladen. Unmerklich.)

Hier ersetzen wir:

768 = 3 2n -1

Wir machen elementare - wir teilen beide Teile durch drei und schreiben die Gleichung in der üblichen Form um: das Unbekannte links, das Bekannte rechts.

Wir bekommen:

2 n -1 = 256

Hier ist eine interessante Gleichung. Wir müssen "n" finden. Was ist ungewöhnlich? Ja, ich widerspreche nicht. Eigentlich ist es das Einfachste. Es wird so genannt, weil das Unbekannte (in diesem Fall ist es die Zahl n) steht drin Indikator Grad.

In der Phase der Bekanntschaft mit einer geometrischen Progression (dies ist die neunte Klasse) wird das Lösen von Exponentialgleichungen nicht gelehrt, ja ... Dies ist ein Thema für die High School. Aber es gibt nichts Schreckliches. Auch wenn Sie nicht wissen, wie solche Gleichungen gelöst werden, versuchen wir, unsere zu finden n geleitet von einfacher Logik und gesundem Menschenverstand.

Wir beginnen zu diskutieren. Auf der linken Seite haben wir eine Zwei bis zu einem gewissen Grad. Wir wissen noch nicht, was genau dieser Grad ist, aber das ist nicht beängstigend. Aber andererseits wissen wir fest, dass dieser Grad gleich 256 ist! Wir erinnern uns also, inwieweit uns die Zwei 256 gibt. Erinnern Sie sich? Ja! BEI achte Grad!

256 = 2 8

Wenn Sie sich nicht erinnert haben oder mit dem Erkennen der Grade des Problems, dann ist es auch in Ordnung: Wir erheben die beiden einfach nacheinander zum Quadrat, zum Würfel, zur vierten Potenz, zur fünften und so weiter. Die Auswahl ist in der Tat, aber auf diesem Niveau, eine ziemliche Fahrt.

Auf die eine oder andere Weise erhalten wir:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Also 768 ist neunte Mitglied unserer Progression. Das ist es, Problem gelöst.)

Antwort: 9

Was? Langweilig? Müde von der Grundschule? Ich stimme zu. Und mir auch. Gehen wir zum nächsten Level.)

Komplexere Aufgaben.

Und jetzt lösen wir die Rätsel abrupter. Nicht gerade supercool, aber an denen man ein wenig arbeiten muss, um auf die Antwort zu kommen.

Zum Beispiel so.

Finden Sie den zweiten Term einer geometrischen Folge, wenn der vierte Term -24 und der siebte Term 192 ist.

Dies ist ein Klassiker des Genres. Etwa zwei verschiedene Mitglieder der Progression sind bekannt, aber ein weiteres Mitglied muss gefunden werden. Außerdem sind alle Mitglieder KEINE Nachbarn. Was zunächst verwirrt, ja ...

Wie in betrachten wir zwei Methoden zur Lösung solcher Probleme. Der erste Weg ist universell. Algebraisch. Funktioniert einwandfrei mit allen Quelldaten. Damit fangen wir an.)

Wir malen jeden Begriff gemäß der Formel nMitglied!

Alles ist genauso wie bei einer arithmetischen Progression. Nur diesmal arbeiten wir mit Ein weiterer allgemeine Formel. Das ist alles.) Aber die Essenz ist dieselbe: Wir nehmen und im Gegenzug wir setzen unsere Anfangsdaten in die Formel des n-ten Terms ein. Für jedes Mitglied - seine eigene.

Für den vierten Term schreiben wir:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Es gibt. Eine Gleichung ist vollständig.

Für den siebten Term schreiben wir:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Insgesamt wurden zwei Gleichungen für erhalten der gleiche Verlauf .

Daraus stellen wir ein System zusammen:

Trotz seines beeindruckenden Aussehens ist das System recht einfach. Der naheliegendste Lösungsweg ist die übliche Substitution. Wir drücken aus b 1 aus der oberen Gleichung und setze in die untere ein:

Ein wenig Fummelei mit der unteren Gleichung (Reduzierung der Exponenten und Division durch -24) ergibt:

q 3 = -8

Übrigens, die gleiche Gleichung kann auf einfachere Weise erreicht werden! Was? Jetzt zeige ich Ihnen einen anderen geheimen, aber sehr schönen, mächtigen und nützlichen Weg, um solche Systeme zu lösen. Solche Systeme, in deren Gleichungen sie sitzen funktioniert nur. Zumindest in einem. genannt Begriffsteilungsmethode eine Gleichung zur anderen.

Wir haben also ein System:

In beiden Gleichungen auf der linken Seite - Arbeit, und auf der rechten Seite ist nur eine Zahl. Das ist ein sehr gutes Zeichen.) Nehmen wir und ... dividieren, sagen wir, die untere Gleichung durch die obere! Was heißt, eine Gleichung durch eine andere dividieren? Sehr einfach. Wir nehmen linke Seite eine Gleichung (unten) und wir teilen sie an linke Seite eine andere Gleichung (oben). Die rechte Seite ist ähnlich: rechte Seite eine Gleichung wir teilen auf der rechte Seite Ein weiterer.

Der gesamte Teilungsprozess sieht folgendermaßen aus:

Wenn wir nun alles reduzieren, was reduziert ist, erhalten wir:

q 3 = -8

Was ist gut an dieser Methode? Ja, denn im Prozess einer solchen Teilung kann alles Schlechte und Unbequeme sicher reduziert werden und es bleibt eine völlig harmlose Gleichung! Deshalb ist es so wichtig zu haben nur Multiplikationen in mindestens einer der Gleichungen des Systems. Es gibt keine Multiplikation - es gibt nichts zu reduzieren, ja ...

Im Allgemeinen verdient diese Methode (wie viele andere nicht triviale Methoden zur Lösung von Systemen) sogar eine separate Lektion. Ich werde es mir auf jeden Fall genauer anschauen. Irgendwann mal…

Unabhängig davon, wie Sie das System lösen, müssen wir jetzt in jedem Fall die resultierende Gleichung lösen:

q 3 = -8

Kein Problem: wir ziehen die Wurzel (Kubik) und – fertig!

Bitte beachten Sie, dass hier beim Extrahieren kein Plus/Minus gesetzt werden muss. Wir haben eine Wurzel ungeraden (dritten) Grades. Und die Antwort ist die gleiche, ja.

Der Nenner der Progression ist also gefunden. Minus zwei. Exzellent! Das Verfahren läuft.)

Für den ersten Term (z. B. aus der oberen Gleichung) erhalten wir:

Exzellent! Wir kennen den ersten Term, wir kennen den Nenner. Und jetzt haben wir die Möglichkeit, jedes Mitglied der Progression zu finden. Einschließlich des zweiten.)

Für das zweite Mitglied ist alles ganz einfach:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Antwort: -6

Wir haben also den algebraischen Weg zur Lösung des Problems aussortiert. Schwierig? Nicht viel, da stimme ich zu. Lang und langweilig? Ja auf jeden Fall. Aber manchmal können Sie den Arbeitsaufwand erheblich reduzieren. Dafür gibt es grafische Weise. Gut alt und uns vertraut von .)

Zeichnen wir das Problem!

Ja! Genau so. Auch hier stellen wir unseren Fortschritt auf der Zahlenachse dar. Nicht unbedingt durch ein Lineal, es ist nicht notwendig, gleiche Abstände zwischen den Elementen einzuhalten (die übrigens nicht gleich sein werden, weil die Progression geometrisch ist!), Aber einfach schematisch Zeichnen Sie unsere Sequenz.

Ich habe es so bekommen:

Betrachten Sie nun das Bild und denken Sie nach. Wie viele gleiche Faktoren "q" teilen vierte und siebte Mitglieder? Richtig, drei!

Daher haben wir das Recht zu schreiben:

-24q 3 = 192

Von hier aus ist es nun einfach, q zu finden:

q 3 = -8

q = -2

Das ist großartig, den Nenner haben wir bereits in der Tasche. Und jetzt schauen wir uns das Bild noch einmal an: Wie viele solche Nenner sitzen dazwischen? zweite und vierte Mitglieder? Zwei! Um die Beziehung zwischen diesen Mitgliedern aufzuzeichnen, werden wir daher den Nenner erhöhen kariert.

Hier schreiben wir:

b 2 · q 2 = -24 , wo b 2 = -24/ q 2

Wir setzen unseren gefundenen Nenner in den Ausdruck für b 2 ein, zählen und erhalten:

Antwort: -6

Wie Sie sehen, ist alles viel einfacher und schneller als über das System. Außerdem brauchten wir hier nicht einmal den ersten Term zu zählen! Überhaupt.)

Hier ist so ein einfaches und visuelles Wegelicht. Aber es hat auch einen gravierenden Nachteil. Erraten? Ja! Es ist nur für sehr kurze Progressionsstücke gut. Solche, bei denen die Entfernungen zwischen den für uns interessanten Mitgliedern nicht sehr groß sind. Aber in allen anderen Fällen ist es schon schwierig, ein Bild zu zeichnen, ja ... Dann lösen wir das Problem analytisch, durch ein System.) Und Systeme sind eine universelle Sache. Beschäftige dich mit einer beliebigen Zahl.

Noch ein Epos:

Der zweite Term der geometrischen Folge ist um 10 größer als der erste und der dritte Term um 30 größer als der zweite. Finde den Nenner der Progression.

Was ist cool? Gar nicht! Alles das selbe. Wir übersetzen die Bedingung des Problems wieder in reine Algebra.

1) Wir malen jeden Begriff gemäß der Formel nMitglied!

Zweiter Term: b 2 = b 1 q

Dritter Term: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Wir schreiben die Beziehung zwischen den Mitgliedern aus der Bedingung des Problems auf.

Bedingung lesen: "Der zweite Term einer geometrischen Folge ist um 10 größer als der erste." Stopp, das ist wertvoll!

Also schreiben wir:

b 2 = b 1 +10

Und wir übersetzen diesen Satz in reine Mathematik:

b 3 = b 2 +30

Wir haben zwei Gleichungen. Wir verbinden sie zu einem System:

Das System sieht einfach aus. Aber es gibt viele verschiedene Indizes für Buchstaben. Ersetzen wir statt des zweiten und dritten Gliedes ihres Ausdrucks das erste Glied und den Nenner! Umsonst, oder was, haben wir sie gemalt?

Wir bekommen:

Aber ein solches System ist kein Geschenk mehr, ja ... Wie löst man das? Leider ist der universelle geheime Zauberspruch komplex zu lösen nichtlinear Es gibt keine Systeme in der Mathematik und kann es auch nicht geben. Es ist fantastisch! Aber das erste, was Ihnen in den Sinn kommen sollte, wenn Sie versuchen, eine so harte Nuss zu knacken, ist, es herauszufinden Aber ist nicht eine der Gleichungen des Systems auf eine schöne Form gebracht, die es zum Beispiel leicht macht, eine der Variablen durch eine andere auszudrücken?

Lass uns raten. Die erste Gleichung des Systems ist deutlich einfacher als die zweite. Wir werden ihn foltern.) Warum versuchen Sie es nicht mit der ersten Gleichung etwas durch ausdrücken etwas? Da wollen wir den Nenner finden q, dann wäre es für uns am vorteilhaftesten auszudrücken b 1 durch q.

Versuchen wir also, dieses Verfahren mit der ersten Gleichung durchzuführen, indem wir die guten alten verwenden:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b1 (q-1) = 10

Alles! Hier haben wir uns ausgedrückt nicht notwendig uns die Variable (b 1) durch notwendig(q). Ja, nicht der einfachste Ausdruck, den ich erhalten habe. Eine Art Bruchteil ... Aber unser System ist auf einem anständigen Niveau, ja.)

Typisch. Was zu tun ist – wir wissen es.

Wir schreiben ODZ (Notwendig!) :

q ≠ 1

Wir multiplizieren alles mit dem Nenner (q-1) und kürzen alle Brüche:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Wir teilen alles durch zehn, öffnen die Klammern, sammeln alles auf der linken Seite:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Wir lösen das Ergebnis und erhalten zwei Wurzeln:

q 1 = 1

q 2 = 3

Es gibt nur eine abschließende Antwort: q = 3 .

Antwort: 3

Wie Sie sehen können, ist die Lösung der meisten Probleme für die Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge immer dieselbe: Wir lesen aufmerksam Zustand des Problems und mit der Formel des n-ten Terms übersetzen wir alle nützlichen Informationen in reine Algebra.

Nämlich:

1) Wir schreiben jedes in der Aufgabe angegebene Mitglied gemäß der Formel separatnMitglied.

2) Aus der Bedingung des Problems übersetzen wir die Verbindung zwischen den Mitgliedern in eine mathematische Form. Wir stellen eine Gleichung oder ein Gleichungssystem auf.

3) Wir lösen die resultierende Gleichung oder das Gleichungssystem, finden die unbekannten Parameter der Progression.

4) Im Falle einer mehrdeutigen Antwort lesen wir den Zustand des Problems sorgfältig auf der Suche nach zusätzlichen Informationen (falls vorhanden). Wir überprüfen die erhaltene Antwort auch mit den Bedingungen der ODZ (falls vorhanden).

Und jetzt listen wir die Hauptprobleme auf, die am häufigsten zu Fehlern bei der Lösung geometrischer Progressionsprobleme führen.

1. Elementare Arithmetik. Operationen mit Brüchen und negativen Zahlen.

2. Wenn mindestens einer dieser drei Punkte ein Problem darstellt, dann werden Sie sich in diesem Thema unweigerlich irren. Leider... Seien Sie also nicht faul und wiederholen Sie, was oben erwähnt wurde. Und den Links folgen - los. Manchmal hilft es.)

Modifizierte und wiederkehrende Formeln.

Und jetzt schauen wir uns ein paar typische Prüfungsaufgaben mit einer weniger vertrauten Darstellung des Zustands an. Ja, ja, Sie haben es erraten! Das geändert und wiederkehrend Formeln des n-ten Mitglieds. Wir sind bereits auf solche Formeln gestoßen und haben in arithmetischer Folge gearbeitet. Hier ist alles ähnlich. Die Essenz ist die gleiche.

Zum Beispiel ein solches Problem von der OGE:

Der geometrische Verlauf ist durch die Formel gegeben b n = 3 2 n . Finden Sie die Summe des ersten und des vierten Terms.

Diesmal ist uns die Progression nicht ganz so gegeben wie sonst. Eine Art Formel. Na und? Diese Formel ist auch eine FormelnMitglied! Wir alle wissen, dass die Formel des n-ten Terms sowohl in allgemeiner Form als auch durch Buchstaben und für geschrieben werden kann spezifischer Verlauf. AUS Spezifisch erster Term und Nenner.

In unserem Fall erhalten wir nämlich eine allgemeine Begriffsformel für eine geometrische Folge mit folgenden Parametern:

b 1 = 6

q = 2

Lassen Sie uns überprüfen?) Schreiben wir die Formel des n-ten Terms in allgemeiner Form und ersetzen Sie sie b 1 und q. Wir bekommen:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Wir vereinfachen unter Verwendung von Faktorisierung und Potenzeigenschaften und erhalten:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Wie Sie sehen können, ist alles fair. Aber unser Ziel mit Ihnen ist nicht, die Herleitung einer bestimmten Formel zu demonstrieren. Das ist also ein lyrischer Exkurs. Rein zum Verständnis.) Unser Ziel ist es, das Problem nach der Formel zu lösen, die uns in der Bedingung gegeben wird. Fangen Sie es?) Wir arbeiten also direkt mit der modifizierten Formel.

Wir zählen den ersten Term. Ersatz n=1 in die allgemeine Formel:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

So. Ich bin übrigens nicht zu faul und mache Sie noch einmal auf einen typischen Fehler bei der Berechnung des ersten Terms aufmerksam. NICHT auf die Formel schauen b n= 3 2n, sofort zu schreiben, dass das erste Mitglied eine Troika ist! Es ist ein großer Fehler, ja ...)

Wir machen weiter. Ersatz n=4 und betrachten den vierten Term:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Und schließlich berechnen wir die erforderliche Menge:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Antwort: 54

Ein weiteres Problem.

Die geometrische Progression ist durch die Bedingungen gegeben:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Finde den vierten Term der Progression.

Hier ist die Progression durch die rekurrente Formel gegeben. Na ja, okay.) Wie man mit dieser Formel arbeitet - wir wissen es auch.

Hier handeln wir. Schritt für Schritt.

1) zwei zählen nacheinander Mitglied der Progression.

Der erste Term ist uns bereits gegeben. Minus sieben. Aber der nächste, zweite Term lässt sich leicht mit der rekursiven Formel berechnen. Wenn Sie verstehen, wie es funktioniert, natürlich.)

Hier betrachten wir den zweiten Term nach dem berühmten ersten:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Wir betrachten den Nenner der Progression

Auch kein Problem. Gerade, teilen zweite Schwanz an Der Erste.

Wir bekommen:

q = -21/(-7) = 3

3) Schreiben Sie die FormelnMitglied in der üblichen Form und betrachten das gewünschte Mitglied.

Wir kennen also den ersten Term, den Nenner auch. Hier schreiben wir:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Antwort: -189

Wie Sie sehen, unterscheidet sich die Arbeit mit solchen Formeln für eine geometrische Folge im Wesentlichen nicht von der für eine arithmetische Folge. Es ist nur wichtig, das allgemeine Wesen und die Bedeutung dieser Formeln zu verstehen. Nun, die Bedeutung der geometrischen Progression muss auch verstanden werden, ja.) Und dann gibt es keine dummen Fehler.

Nun, entscheiden wir selbst?)

Ganz elementare Aufgaben, zum Aufwärmen:

1. Angesichts einer geometrischen Folge, in der b 1 = 243 und q = -2/3. Finden Sie den sechsten Term der Progression.

2. Der gemeinsame Term einer geometrischen Folge ist durch die Formel gegeben b n = 5∙2 n +1 . Finden Sie die Nummer des letzten dreistelligen Mitglieds dieser Progression.

3. Die geometrische Progression ist gegeben durch die Bedingungen:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Finden Sie den fünften Term der Progression.

Etwas komplizierter:

4. Gegeben eine geometrische Folge:

b 1 =2048; q =-0,5

Was ist das sechste negative Glied davon?

Was scheint super schwierig zu sein? Gar nicht. Logik und Verständnis für die Bedeutung der geometrischen Progression werden gespeichert. Nun, natürlich die Formel des n-ten Terms.

5. Der dritte Term der geometrischen Progression ist -14 und der achte Term ist 112. Finden Sie den Nenner der Progression.

6. Die Summe des ersten und zweiten Glieds einer geometrischen Folge ist 75, und die Summe des zweiten und dritten Glieds ist 150. Finden Sie das sechste Glied der Folge.

Antworten (in Unordnung): 6; -3888; -eines; 800; -32; 448.

Das ist fast alles. Es bleibt nur zu lernen, wie man zählt die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge ja entdecken unendlich abnehmender geometrischer Verlauf und seine Menge. Übrigens eine sehr interessante und ungewöhnliche Sache! Mehr dazu in späteren Lektionen.)

Eine geometrische Folge ist eine numerische Folge, deren erster Term ungleich Null ist und jeder nächste Term gleich dem vorherigen Term multipliziert mit derselben Zahl ungleich Null ist. Die geometrische Folge wird mit b1,b2,b3, …, bn, … bezeichnet.

Eigenschaften einer geometrischen Folge

Wenn q > 0 (q ist ungleich 1), dann ist die Progression eine monotone Folge. Beispielsweise ist die Folge 2, 4,8,16,32, ... eine monoton ansteigende Folge (b1=2, q=2).

Wenn der Nenner q = 1 im geometrischen Fehler ist, dann sind alle Glieder der geometrischen Folge einander gleich. In solchen Fällen wird die Progression als eine konstante Sequenz bezeichnet.

Formel des n-ten Mitglieds der Progression

Damit die Zahlenfolge (bn) eine geometrische Folge ist, muss jedes ihrer Glieder, beginnend mit dem zweiten, das geometrische Mittel der benachbarten Glieder sein. Das heißt, es ist notwendig, die folgende Gleichung zu erfüllen - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), für jedes n>0, wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Die Formel für das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet:

bn=b1*q^(n-1), wobei n zur Menge der natürlichen Zahlen N gehört.

Betrachten Sie ein einfaches Beispiel:

In geometrischer Folge b1=6, q=3, n=8 finde bn.

Verwenden wir die Formel des n-ten Glieds einer geometrischen Folge.