Quadratische Gleichungen. Vollständige und unvollständige quadratische Gleichung. Definition und Beispiele unvollständiger quadratischer Gleichungen Drücken Sie eine quadratische Gleichung durch Wurzeln aus

In der modernen Gesellschaft kann die Fähigkeit, mit Gleichungen zu operieren, die eine quadrierte Variable enthalten, in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis bei wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen weit verbreitet. Dies kann durch das Design von See- und Flussschiffen, Flugzeugen und Raketen belegt werden. Mit Hilfe solcher Berechnungen werden die Bewegungsbahnen verschiedener Körper, einschließlich Weltraumobjekte, bestimmt. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, in der Planung und Konstruktion von Gebäuden, sondern auch in den gewöhnlichsten Alltagsumständen verwendet. Sie können auf Campingausflügen, bei Sportveranstaltungen, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen benötigt werden.

Lassen Sie uns den Ausdruck in Teilfaktoren zerlegen

Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der gegebene Ausdruck enthält. Wenn es gleich 2 ist, wird eine solche Gleichung als quadratische Gleichung bezeichnet.

Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, dann lassen sich diese Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer dann in die Form bringen, wenn die linke Seite des Ausdrucks aus drei Gliedern besteht. Darunter: ax 2 (d. h. eine Variable im Quadrat mit ihrem Koeffizienten), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (freie Komponente, dh eine gewöhnliche Zahl). All dies ist auf der rechten Seite gleich 0. Wenn ein solches Polynom keinen seiner konstituierenden Terme hat, mit Ausnahme von ax 2, wird es eine unvollständige quadratische Gleichung genannt. Beispiele mit der Lösung solcher Probleme, bei denen der Wert der Variablen nicht schwer zu finden ist, sollten zunächst betrachtet werden.

Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er zwei Terme auf der rechten Seite des Ausdrucks, genauer gesagt ax 2 und bx, ist es am einfachsten, x zu finden, indem man die Variable in Klammern setzt. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Außerdem wird offensichtlich, dass entweder x = 0 ist oder das Problem darauf reduziert wird, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax + b = 0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation vorgegeben. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen null ist.

Beispiel

x=0 oder 8x - 3 = 0

Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter der Wirkung der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt, der als Ursprung genommen wird, zu bewegen begannen. Hier hat die mathematische Schreibweise folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Indem Sie die notwendigen Werte ersetzen, die rechte Seite mit 0 gleichsetzen und mögliche Unbekannte finden, können Sie die Zeit ermitteln, die vom Moment des Aufsteigens des Körpers bis zum Moment des Fallens verstrichen ist, sowie viele andere Größen. Aber wir werden später darüber sprechen.

Faktorisieren eines Ausdrucks

Die oben beschriebene Regel ermöglicht es, diese Probleme in komplexeren Fällen zu lösen. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen dieser Art.

X2 - 33x + 200 = 0

Dieses quadratische Trinom ist vollständig. Zuerst transformieren wir den Ausdruck und zerlegen ihn in Faktoren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen in Klasse 9 ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.

Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wenn die rechte Seite in Faktoren mit einer Variablen faktorisiert wird, gibt es drei davon, nämlich (x + 1), (x-3) und (x + 3).

Als Ergebnis wird offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -eines; 3.

Ziehen der Quadratwurzel

Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so geschrieben ist, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c gebildet wird. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und danach die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichheit gezogen. Es sollte beachtet werden, dass in diesem Fall normalerweise zwei Wurzeln der Gleichung vorhanden sind. Einzige Ausnahmen sind Gleichheiten, die den Term c überhaupt nicht enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen die rechte Seite negativ ausfällt. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die obigen Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen dieser Art sollten betrachtet werden.

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.

Berechnung der Grundstücksfläche

Die Notwendigkeit für diese Art von Berechnungen entstand in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik in jenen fernen Zeiten größtenteils auf die Notwendigkeit zurückzuführen war, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.

Wir sollten auch Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf der Grundlage solcher Probleme erstellt wurden.

Nehmen wir also an, es gibt ein rechteckiges Stück Land, dessen Länge 16 Meter länger ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Geländes ermitteln, wenn bekannt ist, dass seine Fläche 612 m 2 beträgt.

Um zur Sache zu kommen, werden wir zuerst die notwendige Gleichung aufstellen. Lassen Sie uns die Breite des Abschnitts mit x bezeichnen, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau das, kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Wieso den? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt davon überhaupt nicht gleich 0, sodass hier andere Methoden verwendet werden.

Diskriminant

Zuerst werden wir die notwendigen Transformationen vornehmen, dann sieht dieser Ausdruck so aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Dies bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form erhalten haben, der dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wo a=1, b=16, c= -612.

Dies kann ein Beispiel für das Lösen quadratischer Gleichungen durch die Diskriminante sein. Hier werden die notwendigen Berechnungen nach dem Schema durchgeführt: D = b 2 - 4ac. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung zweiter Ordnung zu finden, er bestimmt die Anzahl der möglichen Optionen. Im Fall D > 0 gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall ist die Diskriminante: 256 - 4(-612) = 2704. Dies zeigt an, dass es für unser Problem eine Lösung gibt. Wenn Sie wissen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.

Das bedeutet im vorgestellten Fall: x 1 = 18, x 2 = -34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Größe des Grundstücks nicht in negativen Werten gemessen werden kann, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Daraus berechnen wir die Länge: 18+16=34, und der Umfang 2(34+18) = 104 (m 2).

Beispiele und Aufgaben

Wir setzen das Studium der quadratischen Gleichungen fort. Beispiele und eine detaillierte Lösung einiger davon werden unten angegeben.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite der Gleichheit übertragen, eine Transformation durchführen, das heißt, wir erhalten die Form der Gleichung, die normalerweise als Standardform bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nachdem wir ähnliche hinzugefügt haben, bestimmen wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung hat also zwei Wurzeln. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen gleich 4/3 und der zweite gleich 1 ist.

2) Jetzt werden wir Rätsel einer anderen Art enthüllen.

Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier überhaupt Wurzeln x 2 - 4x + 5 = 1 gibt? Um eine erschöpfende Antwort zu erhalten, bringen wir das Polynom auf die entsprechende bekannte Form und berechnen die Diskriminante. In diesem Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da die Essenz des Problems überhaupt nicht darin besteht. In diesem Fall ist D \u003d 16 - 20 \u003d -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Es ist bequem, quadratische Gleichungen durch die obigen Formeln und die Diskriminante zu lösen, wenn die Quadratwurzel aus dem Wert der letzteren gezogen wird. Aber dies geschieht nicht immer. Es gibt jedoch viele Möglichkeiten, in diesem Fall die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Es ist nach einem Mann benannt, der im Frankreich des 16. Jahrhunderts lebte und dank seines mathematischen Talents und seiner Verbindungen zum Hof ​​eine glänzende Karriere hatte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzose bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p=b/a ist und ihr Produkt q=c/a entspricht.

Betrachten wir nun bestimmte Aufgaben.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lassen Sie uns der Einfachheit halber den Ausdruck umwandeln:

x 2 + 7x - 18 = 0

Unter Verwendung des Vieta-Theorems erhalten wir Folgendes: Die Summe der Wurzeln ist -7 und ihr Produkt ist -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nachdem wir eine Überprüfung vorgenommen haben, stellen wir sicher, dass diese Werte der Variablen wirklich in den Ausdruck passen.

Graph und Gleichung einer Parabel

Die Konzepte einer quadratischen Funktion und quadratischer Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits zuvor gegeben. Sehen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann visuell dargestellt werden. Eine solche in Form eines Graphen gezeichnete Abhängigkeit wird als Parabel bezeichnet. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, das heißt einen Punkt, an dem ihre Äste herauskommen. Wenn a > 0, gehen sie hoch bis unendlich, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen beim Lösen beliebiger Gleichungen, einschließlich quadratischer. Diese Methode wird Grafik genannt. Und der Wert der x-Variablen ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können durch die gerade angegebene Formel x 0 = -b / 2a gefunden werden. Und wenn Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, dh die zweite Koordinate des Parabelscheitels, der zur y-Achse gehört.

Der Schnittpunkt der Äste der Parabel mit der Abszissenachse

Es gibt viele Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Betrachten wir sie. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a > 0 nur möglich ist, wenn y 0 negative Werte annimmt. Und für ein<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sonst D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Aus dem Graphen einer Parabel können Sie auch die Nullstellen bestimmen. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn es nicht einfach ist, eine visuelle Darstellung einer quadratischen Funktion zu erhalten, können Sie die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher zu zeichnen.

Aus der Geschichte

Mit Hilfe von Gleichungen, die eine quadratische Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Fläche geometrischer Formen bestimmt. Die Alten brauchten solche Berechnungen für grandiose Entdeckungen auf dem Gebiet der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.

Wie moderne Wissenschaftler vermuten lassen, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Es geschah vier Jahrhunderte vor dem Aufkommen unserer Ära. Natürlich waren ihre Berechnungen grundlegend anders als die derzeit akzeptierten und stellten sich als viel primitiver heraus. Beispielsweise hatten mesopotamische Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedem Studenten unserer Zeit bekannt sind.

Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler von Babylon hat sich der Weise aus Indien, Baudhayama, der Lösung quadratischer Gleichungen angenommen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ankunft der Ära Christi. Die Gleichungen zweiter Ordnung, die Lösungsmethoden, die er angab, waren zwar die einfachsten. Neben ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa wurden quadratische Gleichungen erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts gelöst, aber später wurden sie von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihrer Arbeit verwendet.

Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Es werden die Fälle von reellen, multiplen und komplexen Wurzeln betrachtet. Faktorisierung eines quadratischen Trinoms. Geometrische Deutung. Beispiele für Wurzelfindung und Faktorisierung.

Siehe auch: Quadratische gleichungen online lösen

Grundlegende Formeln

Betrachten Sie die quadratische Gleichung:
(1) .
Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung(1) werden durch die Formeln bestimmt:
; .
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt, so lässt sich das Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren darstellen (faktorisiert):
.

Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
In Betracht ziehen Diskriminante einer quadratischen Gleichung:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
; .
Dann hat die Faktorisierung des quadratischen Trinoms die Form:
.
Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist die imaginäre Einheit, ;
und sind die Real- und Imaginärteile der Wurzeln:
; .
Dann

.

Grafische Interpretation

Wenn wir die Funktion grafisch darstellen
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn , schneidet der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten ().
Wenn , berührt der Graph die x-Achse an einem Punkt ().
Wenn , schneidet der Graph die x-Achse nicht ().

Nützliche Formeln im Zusammenhang mit quadratischen Gleichungen

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wir führen Transformationen durch und wenden die Formeln (f.1) und (f.3) an:




,
wo
; .

Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ist ersichtlich, dass die Gleichung

durchgeführt bei
und .
Das heißt, und sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.

Beispiele zur Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Beispiel 1

(1.1) .

.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.

Daraus erhalten wir die Zerlegung des quadratischen Trinoms in Faktoren:

.

Graph der Funktion y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die x-Achse an zwei Punkten.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die x-Achse (Achse) an zwei Punkten:
und .
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).

;
;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1) .

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich zur ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Da die Diskriminante Null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.

Dann hat die Faktorisierung des Trinoms die Form:
.

Graph der Funktion y = x 2 - 4 x + 4 berührt die x-Achse an einem Punkt.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die x-Achse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal faktorisiert wird:
,
dann heißt eine solche Wurzel ein Vielfaches. Das heißt, sie gehen davon aus, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.

;
.

Beispiel 3

Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1) .

Wir schreiben die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1) .
Schreiben wir die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Diskriminante finden:
.
Die Diskriminante ist negativ, . Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Sie können komplexe Wurzeln finden:
;
;
.

Dann


.

Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine wirklichen Wurzeln.

Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszisse (Achse) nicht. Daher gibt es keine wirklichen Wurzeln.

Es gibt keine wirklichen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.

Dieses Thema mag aufgrund der vielen nicht ganz einfachen Formeln zunächst kompliziert erscheinen. Nicht nur die quadratischen Gleichungen selbst haben lange Einträge, sondern auch die Wurzeln werden über die Diskriminante gefunden. Insgesamt gibt es drei neue Formeln. Nicht ganz leicht zu merken. Dies ist nur nach häufigem Lösen solcher Gleichungen möglich. Dann werden sich alle Formeln von selbst merken.

Gesamtansicht der quadratischen Gleichung

Hier wird ihre explizite Notation vorgeschlagen, wenn der größte Grad zuerst geschrieben wird und dann - in absteigender Reihenfolge. Oft gibt es Situationen, in denen die Begriffe auseinanderstehen. Dann ist es besser, die Gleichung in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen umzuschreiben.

Wir führen die Notation ein. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wenn wir diese Notationen akzeptieren, werden alle quadratischen Gleichungen auf die folgende Notation reduziert.

Außerdem ist der Koeffizient a ≠ 0. Diese Formel sei mit der Nummer eins bezeichnet.

Wenn die Gleichung gegeben ist, ist nicht klar, wie viele Wurzeln in der Antwort sein werden. Denn eine von drei Möglichkeiten ist immer möglich:

• die Lösung wird zwei Wurzeln haben;
• die Antwort wird eine Zahl sein;
• Die Gleichung hat überhaupt keine Wurzeln.

Und obwohl die Entscheidung nicht zu Ende geführt wird, ist es schwer zu verstehen, welche der Optionen in einem bestimmten Fall herausfallen wird.

Arten von Datensätzen quadratischer Gleichungen

Aufgaben können unterschiedliche Einträge haben. Sie werden nicht immer wie die allgemeine Formel einer quadratischen Gleichung aussehen. Manchmal fehlen einige Begriffe. Was oben geschrieben wurde, ist die vollständige Gleichung. Wenn Sie den zweiten oder dritten Begriff darin entfernen, erhalten Sie etwas anderes. Diese Datensätze werden auch quadratische Gleichungen genannt, nur unvollständig.

Außerdem können nur die Terme verschwinden, für die die Koeffizienten "b" und "c" verschwinden. Die Zahl „a“ darf unter keinen Umständen gleich Null sein. Denn in diesem Fall wird aus der Formel eine lineare Gleichung. Die Formeln für die unvollständige Form der Gleichungen lauten wie folgt:

Es gibt also nur zwei Arten, neben vollständigen gibt es auch unvollständige quadratische Gleichungen. Die erste Formel sei Nummer zwei und die zweite Nummer drei.

Die Diskriminante und die Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln von ihrem Wert

Diese Zahl muss bekannt sein, um die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Sie kann immer berechnet werden, egal wie die Formel der quadratischen Gleichung lautet. Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie die unten geschriebene Gleichheit verwenden, die die Nummer vier hat.

Nachdem Sie die Werte der Koeffizienten in diese Formel eingesetzt haben, können Sie Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen erhalten. Wenn die Antwort ja ist, dann wird die Antwort auf die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln sein. Bei einer negativen Zahl fehlen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn es gleich Null ist, ist die Antwort eins.

Wie wird eine vollständige quadratische Gleichung gelöst?

Tatsächlich hat die Betrachtung dieser Frage bereits begonnen. Denn zuerst müssen Sie die Diskriminante finden. Nachdem klar ist, dass es Wurzeln der quadratischen Gleichung gibt und ihre Anzahl bekannt ist, müssen Sie die Formeln für die Variablen verwenden. Wenn es zwei Wurzeln gibt, müssen Sie eine solche Formel anwenden.

Da es das „±“-Zeichen enthält, gibt es zwei Werte. Der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen ist die Diskriminante. Daher kann die Formel auf andere Weise umgeschrieben werden.

Formel fünf. Aus derselben Aufzeichnung ist ersichtlich, dass, wenn die Diskriminante Null ist, beide Wurzeln dieselben Werte annehmen.

Wenn die Lösung quadratischer Gleichungen noch nicht ausgearbeitet wurde, ist es besser, die Werte aller Koeffizienten aufzuschreiben, bevor Sie die Diskriminanz- und Variablenformeln anwenden. Später wird dieser Moment keine Schwierigkeiten verursachen. Aber ganz am Anfang herrscht Verwirrung.

Wie wird eine unvollständige quadratische Gleichung gelöst?

Hier ist alles viel einfacher. Es sind auch keine zusätzlichen Formeln erforderlich. Und Sie brauchen keine, die bereits für die Diskriminante und das Unbekannte geschrieben wurden.

Betrachten Sie zunächst die unvollständige Gleichung Nummer zwei. In dieser Gleichung soll es den unbekannten Wert aus der Klammer nehmen und die lineare Gleichung lösen, die in der Klammer bleiben wird. Die Antwort wird zwei Wurzeln haben. Die erste ist notwendigerweise gleich Null, weil es einen Faktor gibt, der aus der Variablen selbst besteht. Die zweite erhält man durch Lösen einer linearen Gleichung.

Die unvollständige Gleichung bei Nummer drei wird gelöst, indem die Zahl von der linken Seite der Gleichung auf die rechte übertragen wird. Dann müssen Sie durch den Koeffizienten vor dem Unbekannten dividieren. Es bleibt nur noch die Quadratwurzel zu ziehen und nicht zu vergessen, sie zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen aufzuschreiben.

Im Folgenden finden Sie einige Aktionen, mit denen Sie lernen, wie Sie alle Arten von Gleichungen lösen, die sich in quadratische Gleichungen verwandeln. Sie helfen dem Schüler, Fehler durch Unaufmerksamkeit zu vermeiden. Diese Mängel sind die Ursache für schlechte Noten beim Studium des umfangreichen Themas „Quadrische Gleichungen (Klasse 8)“. Anschließend müssen diese Aktionen nicht ständig durchgeführt werden. Weil es eine stabile Gewohnheit geben wird.

• Zuerst müssen Sie die Gleichung in Standardform schreiben. Das heißt, zuerst der Term mit dem größten Grad der Variablen und dann - ohne den Grad und den letzten - nur eine Zahl.

• Wenn vor dem Koeffizienten "a" ein Minus steht, kann es einem Anfänger die Arbeit erschweren, quadratische Gleichungen zu studieren. Es ist besser, es loszuwerden. Dazu müssen alle Gleichheiten mit „-1“ multipliziert werden. Dies bedeutet, dass alle Terme das Vorzeichen in das Gegenteil ändern.

• Auf die gleiche Weise wird empfohlen, Brüche loszuwerden. Multiplizieren Sie die Gleichung einfach mit dem entsprechenden Faktor, sodass sich die Nenner aufheben.

Beispiele

Es ist erforderlich, die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Die erste Gleichung: x 2 - 7x \u003d 0. Sie ist unvollständig und wird daher wie für Formel Nummer zwei beschrieben gelöst.

Nach dem Klammern stellt sich heraus: x (x - 7) \u003d 0.

Die erste Wurzel nimmt den Wert an: x 1 \u003d 0. Die zweite ergibt sich aus der linearen Gleichung: x - 7 \u003d 0. Es ist leicht zu erkennen, dass x 2 \u003d 7.

Zweite Gleichung: 5x2 + 30 = 0. Wieder unvollständig. Nur sie wird wie für die dritte Formel beschrieben gelöst.

Nachdem Sie 30 auf die rechte Seite der Gleichung übertragen haben: 5x 2 = 30. Jetzt müssen Sie durch 5 teilen. Es stellt sich heraus: x 2 = 6. Die Antworten sind Zahlen: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Dritte Gleichung: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hier und unten beginnt die Lösung quadratischer Gleichungen damit, sie in eine Standardform umzuschreiben: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Jetzt ist es Zeit, die zweite zu verwenden nützlicher Tipp und alles mit minus eins multiplizieren. Es stellt sich heraus, x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Nach der vierten Formel müssen Sie die Diskriminante berechnen: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es ist a positive Zahl. Aus dem oben Gesagten geht hervor, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Sie müssen nach der fünften Formel berechnet werden. Demnach stellt sich heraus, dass x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Dann x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Die vierte Gleichung x 2 + 8 + 3x \u003d 0 wird wie folgt umgewandelt: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ihre Diskriminante ist gleich diesem Wert: -23. Da diese Zahl negativ ist, lautet die Antwort auf diese Aufgabe der folgende Eintrag: "Es gibt keine Wurzeln."

Die fünfte Gleichung 12x + x 2 + 36 = 0 sollte wie folgt umgeschrieben werden: x 2 + 12x + 36 = 0. Nach Anwendung der Formel für die Diskriminante erhält man die Zahl Null. Dies bedeutet, dass es eine Wurzel haben wird, nämlich: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Die sechste Gleichung (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) erfordert Umformungen, die darin bestehen, dass man vor dem Öffnen der Klammern gleiche Terme bringen muss. Anstelle des ersten steht ein solcher Ausdruck: x 2 + 2x + 1. Nach Gleichheit erscheint dieser Eintrag: x 2 + 3x + 2. Nachdem ähnliche Terme gezählt wurden, nimmt die Gleichung die Form an: x 2 - x \u003d 0. Es ist unvollständig geworden . Ähnlich wurde es schon etwas höher angesetzt. Die Wurzeln davon werden die Zahlen 0 und 1 sein.

“, also Gleichungen ersten Grades. In dieser Lektion werden wir untersuchen was ist eine quadratische gleichung und wie man es löst.

Was ist eine quadratische gleichung

Wichtig!

Der Grad einer Gleichung wird durch den höchsten Grad bestimmt, auf dem die Unbekannte steht.

Wenn der maximale Grad, zu dem die Unbekannte steht, „2“ ist, dann haben Sie eine quadratische Gleichung.

Beispiele für quadratische Gleichungen

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Wichtig! Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung sieht so aus:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - der erste oder ältere Koeffizient;
• "b" - der zweite Koeffizient;
• "c" ist ein kostenloses Mitglied.

Um "a", "b" und "c" zu finden, müssen Sie Ihre Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung "ax 2 + bx + c \u003d 0" vergleichen.

Üben wir die Bestimmung der Koeffizienten „a“, „b“ und „c“ in quadratischen Gleichungen.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Wie man quadratische Gleichungen löst

Im Gegensatz zu linearen Gleichungen wird eine spezielle Gleichung verwendet, um quadratische Gleichungen zu lösen. Formel zur Wurzelfindung.

Denken Sie daran!

Um eine quadratische Gleichung zu lösen, benötigen Sie:

• bringen Sie die quadratische Gleichung auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c \u003d 0". Das heißt, nur "0" sollte auf der rechten Seite bleiben;
• Verwenden Sie die Formel für Wurzeln:

Lassen Sie uns ein Beispiel verwenden, um herauszufinden, wie man die Formel anwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Lösen wir die quadratische Gleichung.

X 2 - 3x - 4 = 0

Die Gleichung "x 2 - 3x - 4 = 0" wurde bereits auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0" reduziert und bedarf keiner weiteren Vereinfachungen. Um es zu lösen, müssen wir uns nur bewerben Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.

Lassen Sie uns die Koeffizienten "a", "b" und "c" für diese Gleichung definieren.

Mit seiner Hilfe wird jede quadratische Gleichung gelöst.

In der Formel "x 1; 2 \u003d" wird der Wurzelausdruck oft ersetzt
"b 2 − 4ac" zum Buchstaben "D" und Diskriminante genannt. Das Konzept einer Diskriminante wird in der Lektion "Was ist eine Diskriminante" ausführlicher besprochen.

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel einer quadratischen Gleichung.

x 2 + 9 + x = 7x

In dieser Form ist es ziemlich schwierig, die Koeffizienten "a", "b" und "c" zu bestimmen. Bringen wir zuerst die Gleichung auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln verwenden.

X1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Es gibt Zeiten, in denen es keine Wurzeln in quadratischen Gleichungen gibt. Diese Situation tritt auf, wenn in der Formel unter der Wurzel eine negative Zahl erscheint.

Quadratische Gleichungen werden in der 8. Klasse studiert, also gibt es hier nichts Kompliziertes. Die Fähigkeit, sie zu lösen, ist unerlässlich.

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei die Koeffizienten a , b und c beliebige Zahlen sind und a ≠ 0.

Bevor wir spezifische Lösungsmethoden untersuchen, stellen wir fest, dass alle quadratischen Gleichungen in drei Klassen unterteilt werden können:

1. Keine Wurzeln haben;
2. Sie haben genau eine Wurzel;
3. Sie haben zwei unterschiedliche Wurzeln.

Dies ist ein wichtiger Unterschied zwischen quadratischen und linearen Gleichungen, bei denen die Wurzel immer existiert und eindeutig ist. Wie bestimmt man, wie viele Wurzeln eine Gleichung hat? Dafür gibt es eine wunderbare Sache - diskriminierend.

Diskriminant

Gegeben sei die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0. Dann ist die Diskriminante einfach die Zahl D = b 2 − 4ac .

Diese Formel muss man auswendig kennen. Woher es kommt, ist jetzt nicht wichtig. Wichtig ist noch etwas: Am Vorzeichen der Diskriminante kann man erkennen, wie viele Wurzeln eine quadratische Gleichung hat. Nämlich:

1. Wenn d< 0, корней нет;
2. Wenn D = 0, gibt es genau eine Wurzel;
3. Wenn D > 0, gibt es zwei Nullstellen.

Bitte beachten Sie: Die Diskriminante gibt die Anzahl der Wurzeln an und keineswegs ihre Vorzeichen, wie viele Leute aus irgendeinem Grund denken. Schauen Sie sich die Beispiele an und Sie werden alles selbst verstehen:

Eine Aufgabe. Wie viele Wurzeln haben quadratische Gleichungen:

1. x2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Wir schreiben die Koeffizienten für die erste Gleichung und finden die Diskriminante:
a = 1, b = –8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Die Diskriminante ist also positiv, also hat die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln. Wir analysieren die zweite Gleichung auf die gleiche Weise:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Wurzeln. Als letzte Gleichung bleibt:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Die Diskriminante ist gleich Null - die Wurzel wird eins sein.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten für jede Gleichung ausgeschrieben wurden. Ja, es ist lang, ja, es ist mühsam - aber Sie werden die Quoten nicht verwechseln und keine dummen Fehler machen. Wählen Sie selbst: Geschwindigkeit oder Qualität.

Übrigens, wenn Sie Ihre Hand „füllen“, müssen Sie nach einer Weile nicht mehr alle Koeffizienten ausschreiben. Sie werden solche Operationen in Ihrem Kopf durchführen. Die meisten Leute fangen irgendwo nach 50-70 gelösten Gleichungen damit an - im Allgemeinen nicht so sehr.

Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Kommen wir nun zur Lösung. Wenn die Diskriminante D > 0 ist, können die Wurzeln mit den Formeln gefunden werden:

Die Grundformel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Wenn D = 0 ist, können Sie jede dieser Formeln verwenden - Sie erhalten dieselbe Zahl, die die Antwort sein wird. Schließlich, wenn D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Erste Gleichung:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = –2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat zwei Wurzeln. Finden wir sie:

Zweite Gleichung:
15 − 2x − x2 = 0 ⇒ a = −1; b = –2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ die Gleichung hat wieder zwei Wurzeln. Lass sie uns finden

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Schließlich die dritte Gleichung:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ die Gleichung hat eine Wurzel. Jede Formel kann verwendet werden. Zum Beispiel das erste:

Wie Sie an den Beispielen sehen können, ist alles sehr einfach. Wenn Sie die Formeln kennen und zählen können, gibt es keine Probleme. Am häufigsten treten Fehler auf, wenn negative Koeffizienten in die Formel eingesetzt werden. Auch hier hilft wieder die oben beschriebene Technik: Formel buchstäblich anschauen, Schritt für Schritt malen – und Fehler ganz schnell wieder ausmerzen.

Unvollständige quadratische Gleichungen

Es kommt vor, dass die quadratische Gleichung etwas anders ist als in der Definition angegeben. Zum Beispiel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Es ist leicht zu erkennen, dass einer der Terme in diesen Gleichungen fehlt. Solche quadratischen Gleichungen sind noch einfacher zu lösen als Standardgleichungen: Sie müssen nicht einmal die Diskriminante berechnen. Lassen Sie uns also ein neues Konzept einführen:

Die Gleichung ax 2 + bx + c = 0 heißt unvollständige quadratische Gleichung, wenn b = 0 oder c = 0, d.h. der Koeffizient der Variablen x oder des freien Elements ist gleich Null.

Natürlich ist ein sehr schwieriger Fall möglich, wenn beide Koeffizienten gleich Null sind: b \u003d c \u003d 0. In diesem Fall hat die Gleichung die Form ax 2 \u003d 0. Offensichtlich hat eine solche Gleichung eine einzige Wurzel: x \u003d 0.

Betrachten wir andere Fälle. Sei b \u003d 0, dann erhalten wir eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c \u003d 0. Transformieren wir sie leicht:

Da die arithmetische Quadratwurzel nur aus einer nicht negativen Zahl besteht, macht die letzte Gleichheit nur Sinn, wenn (−c / a ) ≥ 0. Fazit:

1. Wenn eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 erfüllt, gibt es zwei Wurzeln. Die Formel ist oben angegeben;
2. Wenn (−c / a )< 0, корней нет.

Wie Sie sehen können, war die Diskriminante nicht erforderlich - es gibt überhaupt keine komplexen Berechnungen in unvollständigen quadratischen Gleichungen. Tatsächlich ist es nicht einmal notwendig, sich an die Ungleichung (−c / a ) ≥ 0 zu erinnern. Es reicht aus, den Wert von x 2 auszudrücken und zu sehen, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht. Wenn es eine positive Zahl gibt, gibt es zwei Wurzeln. Wenn negativ, gibt es überhaupt keine Wurzeln.

Betrachten wir nun Gleichungen der Form ax 2 + bx = 0, bei denen das freie Element gleich Null ist. Hier ist alles einfach: Es wird immer zwei Wurzeln geben. Es genügt, das Polynom zu faktorisieren:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Hier kommen die Wurzeln her. Abschließend werden wir einige dieser Gleichungen analysieren:

Eine Aufgabe. Lösen Sie quadratische Gleichungen:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Es gibt keine Wurzeln, weil das Quadrat kann nicht gleich einer negativen Zahl sein.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.