Побудова правильного п'ятикутника. Технічне креслення. Побудова правильних багатокутників Правильний п'ятикутник схема

Ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки п'ятикутник кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Скориставшись формулами для правильного довільного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон. Наприклад, вписати їх у коло із заданим радіусом чи побудувати з урахуванням заданої збоку.

Як правильно накреслити промінь і яке приладдя для креслення вам знадобиться? Візьміть аркуш паперу і позначте точку в довільному місці. Потім прикладіть лінійку і проведіть лінію, починаючи з зазначеної точки до нескінченності. Щоб накреслити рівну лінію, натисніть Shift і проведіть лінію потрібної довжини. Відразу після зображення відкриється вкладка «Формат». Заберіть виділення з лінії та побачите, що на початку лінії з'явилася точка. Для створення напису натисніть кнопку «Намалювати напис» та створіть поле, де буде напис.

Перший спосіб побудови п'ятикутника вважається більш «класичним». Фігура, що вийшла в результаті побудови, буде правильним п'ятикутником. Дванадцятикутник не є винятком, тому його побудова буде неможлива без застосування циркуля. Завдання побудови правильного п'ятикутника зводиться до завдання поділу кола п'ять рівних частин. Накреслити пентаграму можна за допомогою найпростіших інструментів.

Я довго бився, намагаючись цього досягти і самостійно знайти пропорції та залежності, але мені цього не вдалося. Виявилося, що існує кілька різних варіантів побудови правильного п'ятикутника, розроблених відомими математиками. Інересним моментів є те, що арифметично це завдання вирішити лише приблизно точно, оскільки доведеться використовувати ірраціональні числа. Натомість її можна вирішити геометрично.

Розподіл кіл. Точки перетину цих ліній з колом є вершинами квадрата. У радіусі R (Крок 1) слід провести вертикальний діаметр. У точці сполучення N прямої та кола пряма є дотичною до кола.

Отримання за допомогою смужки паперу

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля. Щоб побудувати бік 2-3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.

А на інший кінець нитки встановлюються олівець і одержимий. Якщо вмієте креслити зірку, але не вмієте п'ятикутник, накресліть олівцем зірку, потім з'єднайте між собою сусідні кінці зірки, а саму зірку потім зітріть. Потім покладіть аркуш паперу (краще закріпити його на столі за допомогою чотирьох кнопок або голочок). Приколоти ці 5 смужок до аркуша паперу кнопками або голочками, щоб вони залишалися нерухомими. Потім обведіть отриманий п'ятикутник і зніміть смужки з листка.

Наприклад, нам потрібно намалювати п'ятикутну зірку (пентаграму) для картини про Радянське минуле чи сьогодення Китаю. Щоправда, для цього потрібно вміти створити малюнок зірки в перспективі. Так само ви зможете намалювати фігуру олівцем на папері. Як правильно намалювати зірку, щоб вона виглядала рівно і красиво, відразу не відповиш.

З центру опусти на коло 2 променя, щоб кут між ними був 72 градуси (транспортиром). Розподіл кола п'ять частин здійснюється з допомогою звичайного циркуля чи транспортира. Оскільки правильний п'ятикутник — це одна з фігур, що містить пропорції золотого перерізу, його побудовою здавна цікавилися живописці і математики. Ці принципи побудови із застосуванням циркуля та лінійки були викладені ще у евклідових «Початках».

Правильний п'ятикутник є геометричною фігурою, яка утворюється перетином п'яти прямих, що створюють п'ять однакових кутів. Така фігура зветься пентагон. З п'ятикутником тісно пов'язана робота художників – їхні малюнки будуються на основі правильних геометричних фігур. Для цього необхідно знати, як швидко побудувати пентагон.

Чим цікава ця постать? Форму пентагону має будівля Міністерства оборони Сполучених Штатів Америки. Це можна побачити на фото з висоти польоту. У природі немає кристалів і каміння, форма яких нагадувала б пентагон. Лише у цій фігурі кількість граней збігається з числом діагоналей.

Параметри правильного п'ятикутника

Прямокутний п'ятикутник, як кожна фігура в геометрії, має параметри. Знаючи необхідні формули, можна розрахувати ці параметри, що полегшить процес побудови пентагону. Способи та формули розрахунків:

• сума всіх кутів у багатокутниках дорівнює 360 градусам. У правильному п'ятикутнику всі кути дорівнюють, відповідно, центральний кут знаходиться таким способом: 360/5 = 72 градуси;
• внутрішній кут знаходиться так: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градусів. Сума всіх внутрішніх кутів: 108 * 5 = 540 градусів.

Сторона пентагону знаходиться за допомогою параметрів, які вже наведені в умові завдання:

• якщо навколо п'ятикутника описано коло і відомий його радіус, сторона знаходиться за такою формулою: a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin (72/2) = 1,1756*R.
• Якщо відомий радіус вписаної в пентагон кола, то формула розрахунку сторони багатокутника: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r.
• При відомій величині діагоналі пентагону його сторона розраховується так: а = D/1,618.

Площа пентагону так само, Як і його сторона, залежить від вже знайдених параметрів:

• за допомогою відомого радіусу вписаного кола площа знаходиться так: S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r.
• описане навколо п'ятикутника коло дозволяє знайти площу за такою формулою: S = (n*R2*sin α)/2 = 2,3776*R2.
• залежно від боку пентагону: S = (5 * a2 * tg 54 °) / 4 = 1,7205 * a2.

Побудова пентагону

Побудувати правильний п'ятикутник можна за допомогою лінійки та циркуля, на основі вписаного в нього кола або однієї зі сторін.

Як накреслити п'ятикутник на основі вписаного кола? Для цього необхідно запастися циркулем та лінійкою та зробити такі кроки:

1. Спочатку необхідно накреслити коло з центром О, після чого на ньому вибрати точку, А – вершину пентагону. Від центру до вершини проводиться відрізок.
2. Потім будується перпендикулярний прямий ОА відрізок, який також проходить через О - центр кола. Його перетин з колом позначається точкою В. Відрізок О. Ст ділиться навпіл точкою С.
3. Точка С стане центром нового кола, що проходить через А. Точка D - це її перетин з прямої ОВ у межах першої фігури.
4. Після цього проводиться третє коло через D, центром якого є точка А. Вона перетинається з першою фігурою у двох точках, їх необхідно позначити літерами Е та F.
5. Наступне коло має центр у точці Е і проходить через А, а її перетин з початкової знаходиться в новій точці G.
6. Остання коло в цьому малюнку проводиться через точку, А з центром F. На її перетині з початковою ставиться точка Н.
7. На першому колі після всіх зроблених кроків з'явилися п'ять точок, які необхідно з'єднати відрізками. Таким чином, вийшов правильний п'ятикутник АЕ G Н F.

Як побудувати правильний п'ятикутник в інший спосіб? За допомогою лінійки та циркулю пентагон можна побудувати трохи швидше. Для цього необхідно:

1. Спочатку необхідно за допомогою циркуля намалювати коло, центр якого - точка О.
2. Рисується радіус ОА - відрізок, який відкладається на коло. Його ділять навпіл крапкою У.
3. Перпендикулярно радіусу ОА накреслюється відрізок ОС, точки і З поєднуються прямий.
4. Наступним кроком є ​​відкладення довжини відрізка ПС за допомогою циркуля на діаметральній лінії. Перпендикулярно відрізку ОА з'являється точка D. Точки і D з'єднуються, утворюючи новий відрізок.
5. Щоб отримати величину сторони пентагону, необхідно з'єднати точки З і D.
6. D за допомогою циркуля переноситься на коло і позначається точкою Е. З'єднавши Е та С, можна отримати першу сторону правильного п'ятикутника. Дотримуючись цієї інструкції можна дізнатися про те, як швидко побудувати п'ятикутник з рівними сторонами, продовжуючи побудову решти його сторін подібно до першої.

У п'ятикутнику з однаковими сторонами діагоналі дорівнюють і утворюють п'ятикутну зірку, яка називається пентаграмою. Золотий переріз - це відношення величини діагоналі до пентагону.

Пентагон непридатний для повного наповнення площини. Використання будь-якого матеріалу у цій формі залишає проміжки або утворює накладення. Хоча природних кристалів цієї форми немає у природі, але за утворення льоду лежить на поверхні гладких мідних виробів виникають молекули як пентагону, які з'єднані в ланцюжка.

Найбільш простий спосіб отримати правильний п'ятикутник зі смужки паперу – зав'язати її вузлом і трохи притиснути. Цей спосіб корисний для батьків дітей-дошкільнят, які хочуть навчити своїх малюків розпізнавати геометричні постаті.

Відео

Подивіться, як швидко накреслити п'ятикутник.

Побудова вписаного в коло правильного шестикутника.

Побудова шестикутника полягає в тому, що сторона його дорівнює радіусу описаного кола. Тому для побудови достатньо розділити коло на шість рівних частин і поєднати знайдені точки між собою.

Правильний шестикутник можна побудувати, користуючись рейсшиною та косинцем 30X60°. Для виконання цієї побудови приймаємо горизонтальний діаметр кола за бісектрису кутів 1 і 4, будуємо сторони 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 і 7 - 2, після чого проводимо сторони 5 - 6 і 3 - 2.

Вершини такого трикутника можна побудувати за допомогою циркуля та косинця з кутами 30 і 60° або тільки одного циркуля. Розглянемо два способи побудови вписаного в коло рівностороннього трикутника.

Перший спосіб(фіг. 61,a) заснований на тому, що всі три кути трикутника 7, 2, 3 містять по 60°, а вертикальна пряма, проведена через точку 7, є одночасно висотою і бісектрисою кута 1. Так як кут 0 - 1 - 2 дорівнює 30 °, то для знаходження сторони 1 - 2 достатньо побудувати по точці 1 і стороні 0 - 1 кут 30 °. Для цього встановлюємо рейсшину та косинець так, як це показано на фігурі, проводимо лінію 1 - 2, яка буде однією зі сторін шуканого трикутника. Щоб побудувати бік 2 - 3, встановлюємо рейсшину в положення, показане штриховими лініями, і через точку 2 проводимо пряму, яка визначить третю вершину трикутника.

Другий спосібзаснований на тому, що якщо побудувати правильний шестикутник, вписаний в коло, а потім з'єднати його вершини через одну, то вийде рівносторонній трикутник.

Для побудови трикутника намічаємо на діаметрі вершину точку 1 і проводимо діаметральну лінію 1 - 4. Далі з точки 4 радіусом, що дорівнює D/2, описуємо дугу до перетину з колом в точках 3 і 2. Отримані точки будуть двома іншими вершинами шуканого трикутника.

Цю будову можна виконати за допомогою косинця та циркуля.

Перший спосібзаснований на тому, що діагоналі квадрата перетинаються в центрі описаного кола і нахилені до осей під кутом 45°. Виходячи з цього, встановлюємо рейсшину та косинець з кутами 45° так, як це показано на фіг. 62 а, і відзначаємо точки 1 і 3. Далі через ці точки проводимо за допомогою рейсшини горизонтальні сторони квадрата 4 - 1 і 3 -2. Потім за допомогою рейсшини по катету косинця проводимо вертикальні сторони квадрата 1 – 2 та 4 – 3.

Другий спосібзаснований на тому, що вершини квадрата ділять навпіл дуги кола, укладені між кінцями діаметра. Намічаємо на кінцях двох взаємно перпендикулярних діаметрів точки А, В і С і з них радіусом описуємо дуги до взаємного їх перетину.

Далі через точки перетину дуг проводимо допоміжні прямі, відзначені на фігурі суцільними лініями. Крапки їх перетину з колом визначать вершини 1 та 3; 4 і 2. Отримані таким чином вершини квадрата, що шукається, з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного п'ятикутника.

Щоб вписати в коло правильний п'ятикутник, робимо такі побудови. Намічаємо на колі точку 1 і приймаємо її за одну з вершин п'ятикутника. Ділимо відрізок АТ навпіл. Для цього радіусом АТ з точки А описуємо дугу до перетину з колом у точках M і В. З'єднавши ці точки прямий, отримаємо точку К, яку з'єднуємо потім з точкою 1. Радіусом, рівним відрізку A7, описуємо з точки До дугу до перетину з діаметральною лінією АТ у точці H. З'єднавши точку 1 з точкою H, отримаємо бік п'ятикутника. Потім розчином циркуля, рівним відрізку 1H, описавши дугу з вершини 1 до перетину з колом, знайдемо вершини 2 і 5. Зробивши тим самим розчином циркуля засічки з вершин 2 і 5, отримаємо решту вершин 3 і 4. Знайдені точки послідовно з'єднуємо між собою.

Побудова правильного п'ятикутника з цієї стороні.

Для побудови правильного п'ятикутника з даної стороні (фіг. 64) ділимо відрізок AB на шість рівних частин. З точок А і В радіусом AB описуємо дуги, перетин яких дасть точку К. Через цю точку і розподіл 3 на прямий AB проводимо вертикальну пряму. Далі від точки До цієї прямої відкладаємо відрізок, рівний 4/6 AB. Отримаємо точку 1-вершину п'ятикутника. Потім радіусом, що дорівнює АВ, з точки 1 описуємо дугу до перетину з дугами, раніше проведеними з точок А і В. Точки перетину дуг визначають вершини п'ятикутника 2 і 5. Знайдені вершини з'єднуємо послідовно між собою.

Побудова вписаного в коло правильного семикутника.

Нехай дано коло діаметра D; потрібно вписати до неї правильний семикутник (фіг. 65). Ділимо вертикальний діаметр кола на сім рівних частин. З точки 7 радіусом, що дорівнює діаметру кола D, описуємо дугу до перетину з продовженням горизонтального діаметра в точці F. Точку F назвемо полюсом багатокутника. Прийнявши точку VII за одну з вершин семикутника, проводимо з полюса F через парні поділки вертикального діаметра промені, перетин яких з колом визначать вершини VI, V і IV семикутника. Для отримання вершин / - // - /// З точок IV, V і VI проводимо до перетину з колом горизонтальні прямі. Знайдені вершини послідовно з'єднуємо між собою. Семикутник може бути побудований шляхом проведення променів із полюса F і через непарні поділки вертикального діаметра.

Наведений спосіб придатний для побудови правильних багатокутників із будь-яким числом сторін.

Розподіл кола на будь-яке число рівних частин можна проводити також, користуючись даними табл. 2, в якій наведені коефіцієнти, що дають можливість визначати розміри сторін правильних багатокутників вписаних.

Довжина сторін правильних вписаних багатокутників.

У першому стовпчику цієї таблиці вказані числа сторін правильного вписаного багатокутника, а в другій - коефіцієнти. Довжина сторони заданого багатокутника вийде від множення радіусу даного кола на коефіцієнт, що відповідає числу сторін цього багатокутника.

Тлумачний словник Ожегова говорить, що п'ятикутник є обмеженою п'ятьма прямими, що перетинаються, утворюють п'ять внутрішніх кутів, а також будь-який предмет подібної форми. Якщо в даного багатокутника всі сторони і кути однакові, він називається правильним (пентагоном).

Чим цікавий правильний п'ятикутник?

Саме в такій формі було збудовано всім відомий будинок Міноборони Сполучених Штатів. З правильних об'ємних багатогранників лише додекаедр має грані у формі пентагону. А в природі геть-чисто відсутні кристали, грані яких нагадували б правильний п'ятикутник. Крім того, ця фігура є багатокутником з мінімальною кількістю кутів, яким неможливо замостити площу. Тільки п'ятикутник кількість діагоналей збігається з кількістю його сторін. Погодьтеся, це цікаво!

Основні властивості та формули

Скориставшись формулами для правильного довільного багатокутника, можна визначити всі необхідні параметри, які має пентагон.

• Центральний кут α = 360/n = 360/5 = 72 °.
• Внутрішній кут β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. Відповідно сума внутрішніх кутів становить 540°.
• Відношення діагоналі до бокової сторони дорівнює (1 + 5) /2, тобто (приблизно 1,618).
• Довжина сторони, яку має правильний п'ятикутник, може бути розрахована за однією з трьох формул, залежно від того, який параметр вже відомий:

• якщо навколо нього описано коло і відомий його радіус R, то а = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• у разі коли коло c радіусом r вписано в правильний п'ятикутник, а = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• буває так, що замість радіусів відома величина діагоналі D, тоді сторону визначають наступним чином: а D/1,618.

• Площа правильного п'ятикутника визначається, знову ж таки, залежно від того, який параметр нам відомий:
• якщо є вписане або описане коло, то використовується одна з двох формул:

S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r або S = (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• площу можна також визначити, знаючи лише довжину бічної сторони:

S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .

Правильний п'ятикутник: побудова

Цю геометричну фігуру можна збудувати по-різному. Наприклад, вписати їх у коло із заданим радіусом чи побудувати з урахуванням заданої збоку. Послідовність дій була описана ще в «Початках» Евкліда приблизно 300 років до н. У будь-якому випадку, нам знадобляться циркуль та лінійка. Розглянемо спосіб побудови за допомогою заданого кола.

1. Виберіть довільний радіус і накресліть коло, позначивши його центр точкою O.

2. На лінії кола виберіть точку, яка буде однією з вершин нашого п'ятикутника. Нехай це буде точка А. З'єднайте точки О та А прямим відрізком.

3. Проведіть пряму через точку О перпендикулярно до прямої ОА. Місце перетину цієї прямої з лінією кола позначте, як точку В.

4. На середині відстані між точками О та В побудуйте точку С.

5. Тепер накресліть коло, центр якого буде в точці С і яка проходитиме через точку А. Місце її перетину з прямої OB (воно виявиться всередині самого першого кола) буде точкою D.

6. Побудуйте коло, що проходить через D, центр якого буде в А. Місця його перетину з початковим колом потрібно позначити точками Е та F.

7. Тепер побудуйте коло, центр якого буде в Е. Зробити це треба так, щоб воно проходило через А. Її інше місце перетину оригінального кола потрібно позначити

8. Нарешті, побудуйте коло через А з центром у точці F. Позначте інше місце перетину оригінального кола точкою H.

9. Тепер залишилося лише з'єднати вершини A, E, G, H, F. Наш правильний п'ятикутник буде готовим!

5.3. Золотий п'ятикутник; побудова Евкліда.

Чудовий приклад «золотого перерізу» є правильним п'ятикутником – опуклим і зірчастим (рис. 5).

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник.

Нехай О – центр кола, А – точка на колі та Е – середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіуса ОА, відновлений у точці О, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DC та отримаємо п'ять точок для накреслення правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Є і золотий кубоїд-це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.

Тепер розглянемо доказ, запропонований Евклідом у «Початках».

з центру описаного кола. Почнемо з

відрізка АВЕ, розділеного в середньому та

Отже, нехай АС = АЕ. Позначимо через a рівні кути ЄВС та ПЕВ. Оскільки АС=АЕ, то кут АСЕ також дорівнює a. Теорема у тому, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, дозволяє знайти кут ВСІ: він дорівнює 180-2a, а кут ЕАС - 3a - 180. Але тоді кут АВС дорівнює 180-a. Підсумовуючи кути трикутника АВС отримуємо,

180 = (3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Звідки 5a=360, отже a=72.

Отже, кожен з кутів при основі трикутника ВЕС удвічі більший за кут при вершині, що дорівнює 36 градусів. Отже, щоб побудувати правильний п'ятикутник, необхідно лише провести будь-яке коло з центром у точці Е, що перетинає ЄС у точці Х та сторону ЕВ у точці Y: відрізок XY служить однією зі сторін вписаного в коло правильного п'ятикутника; Обійшовши навколо всього кола, можна знайти і всі інші сторони.

Доведемо тепер, що АС = АЕ. Припустимо, що вершина З з'єднана відрізком прямої з серединою N відрізка ВЕ. Зауважимо, що оскільки СВ = РЄ, то кут СNЕ прямий. За теоремою Піфагора:

CN 2 = а 2 – (а/2j) 2 = а 2 (1-4j 2)

Звідси маємо (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Отже, АС = jа = jАВ = АЕ, що потрібно було довести

5.4.Спіраль Архімеда.

Послідовно відтинаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, щоразу з'єднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Він вивчав її та вивів рівняння цієї спіралі.

В даний час спіраль Архімед широко використовується в техніці.

6. Числа Фібоначчі.

Із золотим перетином побічно пов'язане ім'я італійського математика Леонардо з Пізи, який відомий більше на прізвисько Фібоначчі (Fibonacci - скорочене filius Bonacci, тобто син Боначчі)

У 1202р. їм була написана книга "Liber abacci", тобто "Книга про абака". "Liber abacci" являє собою об'ємну працю, що містить майже всі арифметичні та алгебраїчні відомості того часу і відіграв помітну роль у розвитку математики в Західній Європі протягом кількох наступних століть. Зокрема, саме з цієї книги європейці познайомилися з індуськими ("арабськими") цифрами.

Матеріал, що повідомляється в книзі, пояснюється на великій кількості завдань, що становлять значну частину цього трактату.

Розглянемо одне таке завдання:

Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народжується?

Хтось помістив пару кроликів у якомусь місці, обгородженому з усіх боків стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом цього року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів відтворить іншу, а народжують кролики з другого місяця після свого народження.

Перейдемо тепер від кроликів до чисел і розглянемо таку числову послідовність:

u 1 , u 2 … u n

у якій кожен член дорівнює сумі двох попередніх, тобто. при всякому n>2

u n = u n -1 + u n -2 .

Ця послідовність асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне деякому постійному співвідношенні. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто є числом з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр у дробовій частині. Його неможливо висловити достеменно.

Якщо якийсь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875... і через раз то перевищує, то не досягає його.

Асимптотична поведінка послідовності, що загасають коливання її співвідношення біля ірраціонального числа Ф можуть стати більш зрозумілими, якщо показати відносини кількох перших членів послідовності. У цьому прикладі наведено відношення другого члена до першого, третього до другого, четвертого до третього, і так далі:

1:1 = 1.0000, що менше фі на 0.6180

2:1 = 2.0000, що більше фі на 0.3820

3:2 = 1.5000, що менше фі на 0.1180

5:3 = 1.6667, що більше фі на 0.0486

8:5 = 1.6000, що менше фі на 0.0180

У міру просування по суммаційній послідовності Фібоначчі кожен новий член ділитиме наступний з дедалі більшим і більшим наближенням до недосяжного Ф.

Людина підсвідомо шукає Божественну пропорцію: вона потрібна задоволення її потреби у комфорті.

При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі на наступний за ним виходить просто зворотна до 1.618 величина (1: 1.618 = 0.618). Але це теж дуже незвичайне, навіть чудове явище. Оскільки початкове співвідношення - нескінченна дрібниця, у цього співвідношення також не повинно бути кінця.

При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне отримуємо число 0.382

Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір коефіцієнтів Фібоначчі: 4.235, 2.618, 1.618,0.618,0.382,0.236. Згадаємо також 0.5.

Тут слід зазначити, що Фібоначчі лише нагадав свою послідовність людству, оскільки вона була відома ще в найдавніші часи під назвою Золотий перетин.

Золотий перетин, як ми бачили, виникає у зв'язку з правильним п'ятикутником, тому й числа Фібоначчі грають роль у всьому, що стосується правильних п'ятикутників - опуклих і зірчастих.

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10 проблему Гільберта (про рішення Діофантових рівнянь). Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд чисел 1, 2, 4, 8, 16 ... (тобто ряд чисел до n де будь-яке натуральне число, менше n можна уявити сумою деяких чисел цього ряду) на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі?

Справді, задамося числовим параметром S, який може набувати будь-яких значень: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого – одиниці, а кожен із наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n член цього ряду ми позначимо через S (n), то отримаємо загальну формулу S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Очевидно, що за S = 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, за S = 1 –ряд Фібоначчі, за S = 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивним коренем рівняння золотого S-перетину x S+1 – x S – 1 = 0.

Неважко показати, що за S = 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а за S = 1 – знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-пропорціями! Тобто золоті S-перетини є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

7.Золотий перетин у мистецтві.

7.1. Золотий перетин у живописі.

Переходячи до прикладів «золотого перерізу» у живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадок історії. Сам Леонардо да Вінчі говорив: «Нехай ніхто, не будучи математиком, не сміється читати мою працю».

Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість та діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, замітки, в яких говориться всім у світі».

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

Також пропорція золотого перерізу проявляється у картині Шишкіна. На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна очевидно проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (яка стоїть першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни - освітлений сонцем пагорб. Він ділить за золотим перерізом праву частину картини по горизонталі.

У картині Рафаеля "Побиття немовлят" проглядається інший елемент золотої пропорції - золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від смислового центру композиції - точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини - вздовж фігур дитини, жінки, що притискає її до себе, воїна із занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи у правій частині ескізу . Невідомо, чи Рафаель будував золоту спіраль чи відчував її.

Т.Кук використовував при аналізі картини Сандро Боттічеллі «народження Венери» золотий перетин.

7.2. Піраміди золотого перерізу.

Широко відомі медичні властивості пірамід, особливо золотого перерізу. За деякими найбільш поширеними думками, кімната, в якій знаходиться така піраміда, здається більше, а повітря - прозоріше. Сни починають запам'ятовуватись краще. Також відомо, що золотий перетин широко застосовувався в архітектурі та скульптурі. Прикладом стали: Пантеон і Парфенон у Греції, будівлі архітекторів Баженова і Малевича

8. Висновок.

Необхідно сказати, що золотий переріз має велике застосування у нашому житті.

Було доведено, що тіло людини ділиться в пропорції золотого перерізу лінією пояса.

Раковина наутілуса закручена подібно до золотої спіралі.

Завдяки золотому перерізу було відкрито пояс астероїдів між Марсом і Юпітером – за пропорцією там має бути ще одна планета.

Порушення струни в точці, що ділить її щодо золотого поділу, не викличе коливань струни, тобто це точка компенсації.

На літальних апаратах із електромагнітними джерелами енергії створюються прямокутні осередки з пропорцією золотого перерізу.

Джоконда побудована на золотих трикутниках, золота спіраль присутня на картині Рафаеля «Побиття немовлят».

Пропорція виявлена ​​в картині Сандро Боттічеллі «Народження Венери»

Відомо багато пам'яток архітектури, збудованих з використанням золотої пропорції, зокрема Пантеон та Парфенон в Афінах, будівлі архітекторів Баженова та Малевича.

Іоанну Кеплеру, який жив п'ять століть тому, належить висловлювання: "Геометрія має два великі скарби. Перше - це теорема Піфагора, друге - поділу відрізка в крайньому та середньому відношенні"

Список літератури

1. Д. Підоу. Геометрія та мистецтво. - М.: Світ, 1979.

2. Журнал "Наука та техніка"

3. Журнал «Квант», 1973 № 8.

4. Журнал «Математика в школі», 1994 № 2; №3.

5. Ковальов Ф.В. Золотий перетин у живописі. К.: Вища школа, 1989.

6. Стахов А. Коди золотої пропорції.

7.Воробйов Н.М. "Числа Фібоначчі" - М.: Наука 1964

8. "Математика - Енциклопедія для дітей" М: Аванта +, 1998

9. Інформація з Інтернету.

Матриць Фібоначчі та так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорія кодування та нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з погляду золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить теорії нові і напевно дуже цікаві математичні результати. У практичному відношенні – «золоту» комп'ютеризацію. А оскільки...

Чи не вплинуть на цей результат. Заснування золотої пропорції є інваріантом рекурсивних співвідношень 4 і 6. У цьому виявляється «стійкість» золотого перерізу, одного з принципів організації живої матерії. Також, основа золотої пропорції є рішенням двох екзотичних рекурсивних послідовностей (рис 4.) Рис. 4 Рекурсивні послідовності Фібоначчі так...

Юшка - j5, а відстань від вуха до верхівки - j6. Таким чином, у цій статуї ми бачимо геометричну прогресію із знаменником j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Рис.9). Таким чином, золотий перетин – один із основоположних принципів у мистецтві античної Греції. Ритми серця та мозку. Поступово б'ється серце людини – близько 60 ударів на хвилину у стані спокою. Серце як поршень стискає...