Нескінченна спадна геометрична прогресія онлайн. Формула суми перших членів ДП. Завдання на обчислення складних відсотків

ЧИСЛОВІ НАСЛІДКИ VI

§ l48. Сума нескінченно спадної геометричної прогресії

Досі, говорячи про суми, ми завжди припускали, що кількість доданків у цих сумах звичайно (наприклад, 2, 15, 1000 і т. д.). Але при вирішенні деяких завдань (особливо вищої математики) доводиться стикатися і з сумами нескінченної кількості доданків

S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Що ж являють собою такі суми? За визначенням сумою нескінченного числа доданків a 1 , a 2 , ..., a n , ... називається межа суми S n перших п чисел, коли п -> ∞ :

S = S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Межа (2), звісно, може існувати, а може й не існувати. Відповідно до цього говорять, що сума (1) існує чи не існує.

Як з'ясувати, чи існує сума (1) у кожному конкретному випадку? Загальне вирішення цього питання виходить далеко за межі нашої програми. Однак існує один важливий окремий випадок, який ми маємо зараз розглянути. Йтиметься про підсумовування членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

Нехай a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ...- нескінченно спадна геометрична прогресія. Це означає, що | q |< 1. Сумма первых п членів цієї прогресії дорівнює

З основних теорем про межі змінних величин (див. § 136) отримуємо:

Але 1 = 1, a q n = 0. Тому

Отже, сума нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює першому члену цієї прогресті, поділеному на одиницю мінус знаменник цієї прогресії.

1) Сума геометричної прогресії 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... дорівнює

а сума геометричної прогресії 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... дорівнює

2) Простий періодичний дріб 0,454545... звернути у звичайний.

Для вирішення цього завдання представимо цей дріб у вигляді нескінченної суми:

Права частина цієї рівності є сумою нескінченно спадної геометричної прогресії, перший член якої дорівнює 45/100, а знаменник 1/100. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило звернення простих періодичних дробів у прості (див. гл. II, § 38):

Для обігу простого періодичного дробу до звичайного потрібно вчинити так: у чисельнику поставити період десяткового дробу, а знаменнику - число, що складається з дев'яток, взятих стільки разів, скільки знаків у періоді десяткового дробу.

3) Змішаний періодичний дріб 0,58333.... звернути у звичайний.

Представимо цей дріб у вигляді нескінченної суми:

У правій частині цієї рівності всі складові, починаючи з 3/1000, утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію, перший член якої дорівнює 3/1000, а знаменник 1/10. Тому

Описаним способом може бути отримано і загальне правило обігу змішаних періодичних дробів у прості (див. гл. II, § 38). Ми свідомо не наводимо його тут. Запам'ятовувати це громіздке правило не потрібно. Набагато корисніше знати, що будь-який змішаний періодичний дріб можна представити у вигляді суми нескінченно спадної геометричної прогресії та деякого числа. А формулу

для суми нескінченно спадної геометричної прогресії потрібно, звичайно, пам'ятати.

Як вправу пропонуємо вам, крім наведених нижче завдань № 995-1000, ще раз звернутися до задачі № 301 § 38 .

Вправи

995. Що називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії?

996. Знайти суми нескінченно спадних геометричних прогресій:

997. При яких значеннях х прогресія

є нескінченно спадаючою? Знайти суму такої прогресії.

998. У рівносторонній трикутник зі стороною а вписаний за допомогою з'єднання середин його сторін новий трикутник; у цей трикутник тим самим способом вписаний новий трикутник і так далі до нескінченності.

а) суму периметрів усіх цих трикутників;

б) суму їх площ.

999. У квадрат зі стороною а вписаний шляхом з'єднання середин його сторін новий квадрат; у цей квадрат так само вписаний квадрат і так далі до нескінченності. Знайти суму периметрів усіх цих квадратів та суму їх площ.

1000. Скласти нескінченно спадаючу геометричну прогресію, таку, щоб сума її дорівнювала 25/4, а сума квадратів її членів дорівнювала 625/24.

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член, що дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме не дорівнює нулю число.

Поняття геометричної прогресії

Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, …, bn, ….

Відношення будь-якого члена геометричної похибки до її попереднього члена дорівнює одному й тому ж числу, тобто b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = …. Це випливає безпосередньо з визначення арифметичної прогресії. Це число називають знаменником геометричної прогресії. Зазвичай знаменник геометричної прогресії позначають буквою q.

Сума нескінченної геометричної прогресії при | q |<1

Одним із способів завдання геометричної прогресії є завдання першого члена b1 і знаменника геометричної похибки q. Наприклад, b1=4, q=-2. Ці дві умови задають геометричну прогресію 4, -8, 16, -32, ….

Якщо q>0 (q не одно 1), то прогресія є монотонною послідовністю. Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, … є монотонно зростаючою послідовністю (b1=2, q=2).

Якщо геометричної похибки знаменник q=1, всі члени геометричної прогресії дорівнюють між собою. У таких випадках говорять, що прогрес є постійною послідовністю.

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусіднім членом. Тобто необхідне виконання наступного рівняння
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2),для будь-якого n>0, де n належить множині натуральних чисел N.

Тепер покладемо (Xn) – геометрична прогресія. Знаменник геометричної прогресії q, причому | q | ∞).
Якщо тепер за S позначити суму нескінченно геометричної прогресії, тоді матиме місце така формула:
S = x1/(1-q).

Розглянемо простий приклад:

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ….

Для знаходження S скористаємося формулою суми нескінченно арифметичної прогресії. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Геометрична прогресія - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен наступний член дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме не дорівнює нулю число.

Геометрична прогресія позначається b1, b2, b3, …, bn, ….

Монотонна та постійна послідовність

Якщо q>0 (q не дорівнює 1), то прогресія є монотонною послідовністю.Наприклад, послідовність, 2, 4,8,16,32, … є монотонно зростаючою послідовністю (b1=2, q=2).

Якщо геометричної похибки знаменник q=1, всі члени геометричної прогресії дорівнюють між собою. У таких випадках кажуть, що прогрес є постійною послідовністю.

Формула n-ого члена геометричної прогресії

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn=b1*q^(n-1),

де n належить множині натуральних чисел N.

Формула суми n перших членів геометричної прогресії

Формула суми n перших членів геометричної прогресії має вигляд:

Sn = (bn * q - b1) / (q-1), де q не дорівнює 1.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1=6, q=3, n=8 знайти Sn.

Для знаходження S8 скористаємося формулою суми n перших членів геометричної прогресії.

S8 = (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) = 19680.

Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання формулу n-го члена зустрічаються всякі – від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?)

Отже, спершу власне сама формулаn

Ось вона:

b n = b 1 · q n -1

Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.

Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".

Як бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n – можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)

Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам уже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.

Отже, поїхали:

b 1 – першийчлен геометричної прогресії;

q – ;

n- Номер члена;

b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.

Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключових фігур і крутяться всі завдання по прогресії.

"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!

Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:

b 2 = b 1 ·q

А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.

Ось так:

B 3 = b 2 ·q

Згадаймо тепер, що другий член, у свою чергу, у нас дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вираз у нашу рівність:

B 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q · q = b 1 · q 2

Отримуємо:

B 3 = b 1 ·q 2

А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першому члену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.

Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Примножуємо попередній(тобто третій член) на q:

B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3

Разом:

B 4 = b 1 ·q 3

І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоюступеня.

І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на один менше, ніж номер шуканого членаn.

Отже, наша формула буде, без варіантів:

b n =b 1 · q n -1

Ось і всі справи.)

Ну що, вирішуємо завдання, напевно?)

Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії

Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось своєрідне завдання:

У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.

Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? От і розминаємось.

Наші дані для застосування формули є наступними.

Відомий перший член. Це 512.

b 1 = 512.

Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.

Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо у загальну формулу десятку замість n.

І акуратно вважаємо арифметику:

Відповідь: -1

Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.

Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.

У геометричній прогресії відомо, що:

b 1 = 3

Знайдіть тринадцятий член прогресії.

Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.

Працюємо прямо за формулою:

Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?

Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.

Ось так:

Відповідь: 192

І всі справи.)

У чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів тощо конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)

А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий жах - пишемо формулуn-го члена у загальному вигляді!Прямо в зошиту поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули потрібну величину. Всі!

Наприклад, така нешкідлива задача.

П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Нічого складного. Працюємо прямо за заклинанням.

Пишемо формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.

Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .

Всі? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.

Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані відразу два параметри - це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)

Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:

81 b 1 = 567

Вирішуємо та отримуємо:

b 1 = 7

Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.

Наприклад, таке завдання:

П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.

Пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наші вихідні дані будуть наступними:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.

Отримуємо:

162 = 2 ·q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .

Ось так:

q 4 = 81

q = 3

Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!

Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:

Обидва підходять.

Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)

x 2 = 9

Ви ж чомусь не дивуєтесь появи двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якою іншою парноїступенем (четвертим, шостим, десятим і т.д.) буде так само. Подробиці – у темі про

Тому правильне рішення буде таким:

q 4 = 81

q= ±3

Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткову інформацію.Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.

Тому відповідь очевидна:

q = 3

Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таке:

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

В чому різниця? Так! В умові нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!

q = 3 і q = -3

Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)

А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і творчіша.)

Дана геометрична прогресія:

3; 6; 12; 24; …

Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?

Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?

Де-де… А вічка нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .

Ось і рахуємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.

Хоча б ось так:

q = 24/12 = 2

Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:

b n = 768

Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Усі необхідні дані для підстановки у формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)

Ось і підставляємо:

768 = 3 · 2n -1

Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.

Отримуємо:

2 n -1 = 256

Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадку це номер n) стоїть у показникуступеня.

На етапі знайомства з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняння не вчать, так… Це тема старших класів. Але ж страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.

Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! У восьмийступеня!

256 = 2 8

Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.

Так чи інакше, ми отримаємо:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)

Відповідь: 9

Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)

Більш складні завдання.

А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.

Наприклад, така.

Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.

Це класика жанру. Відомі якісь два різних члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…

Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)

Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.

Для четвертого члена записуємо:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Є. Одне рівняння готове.

Для сьомого члена пишемо:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .

Збираємо з них систему:

Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Найочевидніший спосіб рішення – звичайна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо в нижнє:

Трохи повозившись з нижнім рівнянням (зменшивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:

q 3 = -8

До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосіб вирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного поділуодного рівняння інше.

Отже, перед нами система:

В обох рівняннях зліва – твір, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що означає, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиною аналогічно: праву частинуодного рівняння ділимона праву частинуіншого.

Весь процес поділу виглядає так:

Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:

q 3 = -8

Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може швидко скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоч би в одному з рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…

А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу детальніше. Колись…

Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:

q 3 = -8

Жодних проблем: витягаємо корінь (кубічний) і – готово!

Прошу помітити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)

Отже, знаменника прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)

Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:

Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-якого члена прогресії. В тому числі і другий.)

Для другого члена все дуже просто:

b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6

Відповідь: -6

Отже, спосіб алгебри вирішення задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)

Малюємо завдання!

Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервали між членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.

У мене вийшло ось так:

А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!

Отже, маємо повне право записати:

-24 ·q 3 = 192

Звідси тепер легко шукається q:

q 3 = -8

q = -2

От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.

Ось і пишемо:

b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2

Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:

Відповідь: -6

Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)

Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить лише для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, які нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.

Ще одне епічне завдання:

Другий член геометричної прогресії на 10 більше першого, а третій член на 30 більше другого. Знайдіть знаменник прогресії.

Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання до чистої алгебри.

1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Другий член: b 2 = b 1 ·q

Третій член: b 3 = b 1 · q 2

2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.

Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більше за перший".Стоп це цінно!

Так і пишемо:

b 2 = b 1 +10

І цю фразу перекладаємо у чисту математику:

b 3 = b 2 +30

Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:

Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, чи ми їх розписували?

Отримаємо:

А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам в голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне із рівнянь системи до гарного вигляду, що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?

От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше за друге. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвиразити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.

Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всі! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)

Типове. Що робити – знаємо.

Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :

q ≠ 1

Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:

q 1 = 1

q 2 = 3

Остаточна відповідь одна: q = 3 .

Відповідь: 3

Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена переводимо всю корисну інформацію в чисту алгебру.

А саме:

1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.

2) З умови завдання переводимо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.

3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.

4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).

А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.

1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.

2. Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)

Видозмінені та рекурентні формули.

А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичній прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.

Наприклад, таке завдання з ОДЕ:

Геометрична прогресія задана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.

На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.

У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 · 2n -1

Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:

b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n

Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.

Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:

b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6

Ось так. До речі, не полінуся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)

Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:

b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48

Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Відповідь: 54

Ще завдання.

Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Знайдіть четвертий член прогресії.

Тут прогрес задано рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.

Ось і діємо. За кроками.

1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.

Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член, легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.

Ось і вважаємо другий член за відомим першим:

b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21

2) Вважаємо знаменник прогресії

Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другийчлен на перший.

Отримуємо:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.

Отже, перший член знаємо, знаменник – також. Ось і пишемо:

b n= -7 · 3n -1

b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189

Відповідь: -189

Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну суть та зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.

Ну що, вирішуємо самостійно?)

Дуже елементарні завдання, для розминки:

1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.

2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.

3. Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Знайдіть п'ятий член прогресії.

Трохи складніше:

4. Дана геометрична прогресія:

b 1 =2048; q =-0,5

Чому дорівнює шостий негативний її член?

Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Та й формула n-го члена, само собою.

5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.

6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.

Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)

Властивості геометричної прогресії

Формула n-го члена прогресії

Для того, щоб числова послідовність (bn) була геометричною прогресією необхідно, щоб кожен її член, починаючи з другого, був середнім геометричним сусіднім членом. Тобто необхідно виконання наступного рівняння - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), для будь-якого n>0, де n належить множині натуральних чисел N.

Формула n-ого члена геометричної прогресії має вигляд:

bn=b1*q^(n-1), де n належить множині натуральних чисел N.

Розглянемо простий приклад:

У геометричній прогресії b1=6, q=3, n=8 знайти bn.

Скористаємося формулою n-ого члена геометричної прогресії.