Düzenli bir beşgenin inşası. Teknik çizim. Düzenli çokgenlerin inşası Düzenli beşgen şeması

Bu şekil, bir alanı döşemek için kullanılamayan minimum sayıda köşeye sahip bir çokgendir. Sadece bir beşgenin kenarları kadar köşegen sayısı vardır. Rastgele bir düzenli çokgenin formüllerini kullanarak, beşgenin sahip olduğu tüm gerekli parametreleri belirleyebilirsiniz. Örneğin, belirli bir yarıçapa sahip bir daireye yazın veya belirli bir yan kenarı temel alarak oluşturun.

Bir kiriş nasıl doğru çizilir ve hangi çizim malzemelerine ihtiyacınız olacak? Bir parça kağıt alın ve herhangi bir yere bir nokta koyun. Ardından bir cetvel takın ve belirtilen noktadan sonsuza kadar bir çizgi çizin. Düz bir çizgi çizmek için "Shift" tuşuna basın ve istediğiniz uzunlukta bir çizgi çizin. Çizimden hemen sonra "Format" sekmesi açılacaktır. Çizginin seçimini kaldırın ve çizginin başında bir nokta belirdiğini göreceksiniz. Bir yazıt oluşturmak için "Yazıt çiz" butonuna tıklayın ve yazıtın yer alacağı bir alan oluşturun.

Bir beşgen inşa etmenin ilk yolu daha "klasik" olarak kabul edilir. Ortaya çıkan şekil normal bir beşgen olacaktır. Dodecagon bir istisna değildir, bu nedenle pusula kullanılmadan yapımı imkansız olacaktır. Düzgün bir beşgen oluşturma görevi, bir daireyi beş eşit parçaya bölme görevine indirgenmiştir. En basit araçları kullanarak bir pentagram çizebilirsiniz.

Bunu başarmak ve bağımsız olarak orantıları ve bağımlılıkları bulmak için uzun süre mücadele ettim, ancak başarılı olamadım. Ünlü matematikçiler tarafından geliştirilen, düzgün bir beşgen inşa etmek için birkaç farklı seçenek olduğu ortaya çıktı. İlginç olan nokta, irrasyonel sayıların kullanılması gerekeceğinden, bu sorunun aritmetik olarak ancak yaklaşık olarak tam olarak çözülebilmesidir. Ama geometrik olarak çözülebilir.

Dairelerin bölünmesi. Bu doğruların daire ile kesişme noktaları karenin köşeleridir. R yarıçaplı bir çemberde (Adım 1) dikey bir çap çizin. Bir doğru ve bir dairenin N birleşme noktasında, doğru daireye teğettir.

Bir kağıt şeridi ile alma

T-kare ve 30X60° kare kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Böyle bir üçgenin köşeleri, bir pusula ve 30 ve 60 ° açılara sahip bir kare veya yalnızca bir pusula kullanılarak oluşturulabilir. 2-3 tarafını oluşturmak için, T-karesini kesikli çizgilerle gösterilen konuma getirin ve 2 noktasından geçerek üçgenin üçüncü köşesini tanımlayacak düz bir çizgi çizin. 1. noktayı daire üzerinde işaretliyoruz ve onu beşgenin köşelerinden biri olarak alıyoruz. Bulunan köşeleri seri olarak birbirine bağlarız. Heptagon, F kutbundan gelen ışınlar çizilerek ve dikey çapın tuhaf bölümleriyle oluşturulabilir.

İpin diğer ucunda ise kalem takılır ve takılır. Bir yıldızı nasıl çizeceğinizi biliyorsanız, ancak bir beşgen çizmeyi bilmiyorsanız, kurşun kalemle bir yıldız çizin, ardından yıldızın bitişik uçlarını birbirine bağlayın ve ardından yıldızın kendisini silin. Sonra bir sayfa kağıt koyun (masanın üzerine dört düğme veya iğne ile sabitlemek daha iyidir). Bu 5 şeridi hareketsiz kalmaları için iğne veya iğne ile bir kağıda iğneleyin. Ardından ortaya çıkan beşgeni daire içine alın ve bu şeritleri sayfadan çıkarın.

Örneğin, Sovyet geçmişi veya Çin'in bugünü hakkında bir resim için beş köşeli bir yıldız (pentagram) çizmemiz gerekiyor. Doğru, bunun için perspektifte bir yıldız çizimi oluşturabilmeniz gerekiyor. Benzer şekilde, kağıt üzerine kalemle bir şekil çizebileceksiniz. Düzgün ve güzel görünmesi için bir yıldızı nasıl doğru çizeceğinizi hemen cevaplayamazsınız.

Merkezden, 2 ışını, aralarındaki açı 72 derece olacak şekilde daireye indirin (iletki). Bir dairenin beş parçaya bölünmesi, sıradan bir pusula veya iletki kullanılarak gerçekleştirilir. Düzgün bir beşgen, altın oranın oranlarını içeren figürlerden biri olduğu için, ressamlar ve matematikçiler uzun zamandır yapımıyla ilgileniyorlar. Pergel ve cetvel kullanılarak yapılan bu yapım ilkeleri, Öklid Unsurları'nda ortaya konulmuştur.

Düzgün bir beşgen, beş özdeş açı oluşturan beş düz çizginin kesişmesinden oluşan geometrik bir şekildir. Bu rakama Pentagon denir. Sanatçıların çalışmaları beşgenle yakından ilgilidir - çizimleri düzenli geometrik şekillere dayanır. Bunu yapmak için, hızlı bir şekilde bir beşgen inşa etmeyi bilmeniz gerekir.

Bu rakam neden ilginç? Bina bir beşgen şeklindedir Amerika Birleşik Devletleri Savunma Bakanlığı. Bu, uçuşun yüksekliğinden çekilen fotoğraflarda görülebilir. Doğada, şekli bir beşgene benzeyen kristaller ve taşlar yoktur. Sadece bu şekilde yüz sayısı köşegen sayısıyla çakışıyor.

Düzenli bir beşgenin parametreleri

Dikdörtgen bir beşgenin, geometrideki her şekil gibi kendi parametreleri vardır. Gerekli formülleri bilerek, bir beşgen oluşturma sürecini kolaylaştıracak bu parametreleri hesaplayabilirsiniz. Hesaplama yöntemleri ve formüller:

• çokgenlerde tüm açıların toplamı 360 derecedir. Normal bir beşgende sırasıyla tüm açılar eşittir, merkez açı şu şekilde bulunur: 360/5 \u003d 72 derece;
• iç köşe şu şekilde bulunur: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 derece. Tüm iç açıların toplamı: 108*5 = 540 derece.

Beşgenin kenarı, problem ifadesinde zaten verilen parametreler kullanılarak bulunur:

• beşgenin etrafına bir daire çizilirse ve yarıçapı biliniyorsa, kenar aşağıdaki formüle göre bulunur: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
• Beşgenin içine çizilen dairenin yarıçapı biliniyorsa, çokgenin kenarını hesaplama formülü şöyledir: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r .
• Beşgenin bilinen köşegeni ile tarafı şu şekilde hesaplanır: a \u003d D / 1.618.

beşgenin alanı, tarafı gibi, zaten bulunan parametrelere bağlıdır:

• yazılı dairenin bilinen yarıçapını kullanarak alan şu şekilde bulunur: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• beşgenin etrafındaki sınırlı daire, aşağıdaki formülü kullanarak alanı bulmanızı sağlar: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2.3776 * R2.
• beşgenin kenarına bağlı olarak: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Pentagon'u İnşa Etmek

Cetvel ve pusula kullanarak, içine veya kenarlarından birine çizilmiş bir daireye dayalı olarak normal bir beşgen oluşturabilirsiniz.

Yazılı bir daireye dayalı bir beşgen nasıl çizilir? Bunu yapmak için bir pusula ve bir cetvel stoklayın ve aşağıdaki adımları izleyin:

1. Önce O merkezli bir daire çizmeniz, ardından üzerinde bir nokta seçmeniz gerekir, A - beşgenin tepesi. Merkezden yukarı doğru bir çizgi çizilir.
2. Daha sonra, dairenin merkezi olan O'dan da geçen OA düz çizgisine dik bir segment oluşturulur. Çemberle kesişimi B noktasıyla gösterilir. O.V. segmenti C noktasıyla ikiye bölünür.
3. C noktası, A'dan geçen yeni bir dairenin merkezi olacaktır. D noktası, birinci şeklin sınırları içinde OB düz çizgisiyle kesiştiği noktadır.
4. Bundan sonra, merkezi A noktası olan D'den üçüncü bir daire çizilir. İlk şekil ile iki noktada kesişir, bunlar E ve F harfleriyle gösterilmelidir.
5. Bir sonraki dairenin merkezi E noktasındadır ve A'dan geçer ve orijinali ile kesişimi yeni G noktasındadır.
6. Bu şekildeki son daire, F merkezli bir A noktasından çizilmiştir. H noktası, ilk daire ile kesiştiği yere yerleştirilmiştir.
7. İlk çemberde, atılan tüm adımlardan sonra, bölümlerle bağlanması gereken beş nokta belirdi. Böylece düzgün bir beşgen AE GHF elde edildi.

Normal bir beşgen farklı bir şekilde nasıl inşa edilir? Bir cetvel ve pusula yardımıyla beşgen biraz daha hızlı inşa edilebilir. Bunun için ihtiyacınız var:

1. Öncelikle, merkezi O noktası olan bir daire çizmek için bir pusula kullanmanız gerekir.
2. OA yarıçapı çizilir - bir daire üzerine çizilen bir parça. B noktası ile ikiye bölünmüştür.
3. OA yarıçapına dik bir OS segmenti çizilir, B ve C noktaları düz bir çizgi ile bağlanır.
4. Bir sonraki adım, çap çizgisi üzerinde bir pusula ile BC segmentinin uzunluğunu çizmektir. D noktası, OA segmentine dik görünüyor B ve D noktaları bağlanarak yeni bir segment oluşturuyor.
5. Beşgenin kenar boyutunu elde etmek için C ve D noktalarını birleştirmeniz gerekir.
6. D bir pusula yardımıyla bir daireye aktarılır ve E noktası ile gösterilir. E ve C'yi birleştirerek normal bir beşgenin ilk kenarını elde edebilirsiniz. Bu talimatın ardından, ilki gibi diğer kenarlarını oluşturmaya devam ederek, eşit kenarlı bir beşgenin nasıl hızlı bir şekilde inşa edileceğini öğrenebilirsiniz.

Kenarları aynı olan bir beşgende köşegenler eşittir ve pentagram adı verilen beş köşeli bir yıldızı oluşturur. Altın oran, köşegenin boyutunun beşgenin kenarına oranıdır.

Pentagon, uçağı tamamen doldurmak için uygun değil. Herhangi bir malzemenin bu formda kullanılması boşluklar bırakır veya formlar örtüşür. Bu formun doğal kristalleri doğada bulunmamakla birlikte, pürüzsüz bakır ürünlerin yüzeyinde buz oluştuğunda, zincirlerle birbirine bağlı beşgen şeklindeki moleküller ortaya çıkar.

Bir kağıt şeridinden normal bir beşgen elde etmenin en kolay yolu, onu bir düğümle bağlamak ve biraz bastırmaktır. Bu yöntem, yeni yürümeye başlayan çocuklarına geometrik şekilleri tanımayı öğretmek isteyen okul öncesi çocukların ebeveynleri için kullanışlıdır.

Video

Hızlı bir şekilde nasıl beşgen çizebileceğinizi görün.

Bir daire içine yazılmış düzenli bir altıgenin inşası.

Bir altıgenin yapısı, kenarının çevrelenmiş dairenin yarıçapına eşit olması gerçeğine dayanır. Bu nedenle inşa etmek için daireyi altı eşit parçaya bölmek ve bulunan noktaları birbirine bağlamak yeterlidir.

T-kare ve 30X60° kare kullanılarak düzgün bir altıgen oluşturulabilir. Bu yapıyı gerçekleştirmek için, dairenin yatay çapını 1 ve 4 açılarının açıortayı olarak alıyoruz, 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 ve 7 - 2 kenarlarını oluşturuyoruz, ardından 5 - 6 ve 3 kenarlarını çiziyoruz - 2.

Böyle bir üçgenin köşeleri, bir pusula ve 30 ve 60 ° açılara sahip bir kare veya yalnızca bir pusula kullanılarak oluşturulabilir. Bir daire içine alınmış bir eşkenar üçgen oluşturmanın iki yolunu düşünün.

ilk yol(Şekil 61, a), 7, 2, 3 üçgeninin her üç açısının da 60 ° içermesi ve 7 noktasından çizilen dikey çizginin 1 açısının hem yüksekliği hem de açıortayı olduğu gerçeğine dayanmaktadır. 0 - 1 - 2 açısı 30°'ye eşitse, 1 - 2 kenarını bulmak için 1 noktasından ve 0 - 1 kenarından 30°'lik bir açı oluşturmak yeterlidir. Bunu yapmak için, T kareyi ve kareyi şekilde gösterildiği gibi ayarlayın, istenen üçgenin kenarlarından biri olacak 1 - 2 çizgisini çizin. Kenar 2 - 3'ü oluşturmak için, T-kareyi kesikli çizgilerle gösterilen konuma getirin ve 2 noktasından geçerek üçgenin üçüncü köşesini tanımlayacak düz bir çizgi çizin.

ikinci yol bir daire içine alınmış düzgün bir altıgen oluşturursanız ve sonra köşelerini bire bağlarsanız, bir eşkenar üçgen elde ettiğiniz gerçeğine dayanır.

Bir üçgen oluşturmak için, çapta 1 tepe noktasını işaretliyoruz ve 1 - 4 çapında bir çizgi çiziyoruz. Ayrıca, yarıçapı D / 2'ye eşit olan 4. noktadan, 3. noktalarda daire ile kesişene kadar yayı tanımlıyoruz. ve 2. Ortaya çıkan noktalar, istenen üçgenin diğer iki köşesi olacaktır.

Bu yapı bir kare ve bir pusula kullanılarak yapılabilir.

ilk yol karenin köşegenlerinin çevrelenmiş çemberin merkezinde kesiştiği ve eksenlerine 45° açı yaptığı gerçeğine dayanmaktadır. Buna dayanarak, Şekil 1'de gösterildiği gibi bir T-kare ve 45 ° açılı bir kare yerleştiriyoruz. 62, a ve 1 ve 3 noktalarını işaretleyin. Ayrıca bu noktalardan bir T-kare yardımıyla 4 - 1 ve 3 -2 karesinin yatay kenarlarını çiziyoruz. Ardından, karenin ayağı boyunca bir T-kare kullanarak, karenin 1 - 2 ve 4 - 3 dikey kenarlarını çiziyoruz.

ikinci yol karenin köşelerinin, çapın uçları arasındaki çemberin yaylarını ikiye böldüğü gerçeğine dayanır. Karşılıklı olarak dik iki çapın uçlarında A, B ve C noktalarını işaretliyoruz ve bunlardan y yarıçapı ile yayları kesişene kadar tanımlıyoruz.

Ayrıca, yayların kesişme noktalarından, şekilde düz çizgilerle işaretlenmiş yardımcı çizgiler çizeriz. Daire ile kesişme noktaları, 1 ve 3 numaralı köşeleri tanımlayacaktır; 4 ve 2. Bu şekilde elde edilen istenen karenin köşeleri birbirine seri olarak bağlanır.

Bir daire içine yazılmış düzgün bir beşgenin inşası.

Bir daireye düzgün bir beşgen çizmek için aşağıdaki yapıları yaparız. 1. noktayı daire üzerinde işaretliyoruz ve onu beşgenin köşelerinden biri olarak alıyoruz. AO segmentini ikiye bölün. Bunu yapmak için, A noktasından AO yarıçapı ile, M ve B noktalarındaki daire ile kesişme noktasına kadar olan yayı tanımlarız. Bu noktaları düz bir çizgi ile birleştirerek, daha sonra 1 noktasına bağladığımız K noktasını elde ederiz. A7 segmentine eşit bir yarıçapla, yayı K noktasından H noktasındaki AO ​​çap çizgisi ile kesişme noktasına kadar tanımlarız. 1 noktasını H noktasıyla birleştirerek, beşgenin kenarını elde ederiz. Ardından, 1H parçasına eşit bir pusula açıklığı ile, 1 tepe noktasından daire ile kesişme noktasına kadar olan yayı tanımlayan, 2 ve 5 köşelerini buluruz. Aynı pusula açıklığı ile 2 ve 5 köşelerinden çentikler yaptıktan sonra, kalanını elde ederiz. köşeler 3 ve 4. Bulunan noktaları sırayla birbirine bağlarız.

Kenarı verilen düzgün bir beşgenin inşası.

Verilen kenarı boyunca düzgün bir beşgen oluşturmak için (Şekil 64), AB doğru parçasını altı eşit parçaya böleriz. AB yarıçaplı A ve B noktalarından, kesişmeleri K noktasını verecek olan yayları tanımlarız. Bu noktadan ve AB çizgisindeki 3. bölümden dikey bir çizgi çizeriz. Bu düz çizgi üzerindeki K noktasından ileride, 4/6 AB'ye eşit bir parça ayırıyoruz. 1. noktayı alıyoruz - beşgenin tepe noktası. Daha sonra, AB'ye eşit bir yarıçapla, 1 noktasından yayı daha önce A ve B noktalarından çizilen yaylarla kesişmeye kadar tanımlarız. Yayların kesişme noktaları, beşgen 2 ve 5'in köşelerini belirler. köşeler birbiri ile seri haldedir.

Bir daire içine yazılmış düzenli bir yedigenin inşası.

D çapında bir daire verilsin; içine normal bir yedigen yazmanız gerekir (Şek. 65). Dairenin dikey çapını yedi eşit parçaya bölün. D çemberinin çapına eşit yarıçapa sahip 7 noktasından, F noktasındaki yatay çapın devamı ile kesişene kadar yayı tanımlarız. F noktasına çokgenin direği denir. Nokta VII'yi yedigenin köşelerinden biri olarak alarak, F kutbundan dikey çapın eşit bölümlerinden ışınlar çizeriz; bunların daire ile kesişmesi yedigenin VI, V ve IV köşelerini belirleyecektir. IV, V ve VI noktalarından / - // - /// köşelerini elde etmek için daire ile kesişene kadar yatay çizgiler çizeriz. Bulunan köşeleri seri olarak birbirine bağlarız. Heptagon, F kutbundan gelen ışınlar çizilerek ve dikey çapın tuhaf bölümleriyle oluşturulabilir.

Yukarıdaki yöntem, herhangi bir sayıda kenarı olan düzgün çokgenler oluşturmak için uygundur.

Bir dairenin herhangi bir sayıda eşit parçaya bölünmesi Tablo'daki veriler kullanılarak da yapılabilir. Şekil 2, düzgün yazılı çokgenlerin kenarlarının boyutlarını belirlemeyi mümkün kılan katsayıları göstermektedir.

Düzenli yazılı çokgenlerin kenar uzunlukları.

Bu tablonun ilk sütunu bir düzgün yazılı çokgenin kenar sayısını, ikinci sütunu ise katsayılarını göstermektedir. Belirli bir çokgenin bir kenarının uzunluğu, verilen bir dairenin yarıçapının bu çokgenin kenar sayısına karşılık gelen bir faktörle çarpılmasıyla elde edilir.

Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü, bir beşgenin, beş iç açı oluşturan kesişen beş düz çizgi ve benzer şekle sahip herhangi bir nesne ile sınırlandığını söylüyor. Belirli bir çokgenin tüm kenarları ve açıları aynıysa, buna düzgün (beşgen) denir.

Düzenli bir beşgen hakkında ilginç olan nedir?

Amerika Birleşik Devletleri Savunma Bakanlığı'nın ünlü binası bu şekilde inşa edildi. Hacimli düzenli çokyüzlülerden yalnızca onikiyüzlü beşgen biçimli yüzlere sahiptir. Ve doğada, yüzleri normal bir beşgene benzeyen kristaller tamamen yoktur. Ayrıca bu şekil, bir alanı döşemek için kullanılamayan minimum sayıda köşeye sahip bir çokgendir. Sadece bir beşgenin kenarları kadar köşegen sayısı vardır. Katılıyorum, ilginç!

Temel özellikler ve formüller

Rastgele bir düzenli çokgenin formüllerini kullanarak, beşgenin sahip olduğu tüm gerekli parametreleri belirleyebilirsiniz.

• Merkez açı α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• İç açı β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Buna göre iç açıları toplamı 540° dir.
• Köşegenin kenara oranı (1+√5)/2, yani (yaklaşık 1,618).
• Normal bir beşgenin kenar uzunluğu, bilinen parametreye bağlı olarak üç formülden biri kullanılarak hesaplanabilir:

• çevresine bir daire çizilmişse ve yarıçapı R biliniyorsa, a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• r yarıçaplı bir çemberin düzgün bir beşgen içine yerleştirilmesi durumunda, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• yarıçap yerine D köşegeninin değeri biliniyorsa, kenar şu şekilde belirlenir: a ≈ D / 1.618.

• Düzenli bir beşgenin alanı, bildiğimiz parametreye bağlı olarak yine belirlenir:
• yazılı veya çevrelenmiş bir daire varsa, iki formülden biri kullanılır:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r veya S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R2;

• alan, yalnızca a kenarının uzunluğu bilinerek de belirlenebilir:

S \u003d (5 * bir 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * bir 2.

Düzenli beşgen: inşaat

Bu geometrik şekil farklı şekillerde inşa edilebilir. Örneğin, belirli bir yarıçapa sahip bir daireye yazın veya belirli bir yan kenarı temel alarak oluşturun. Eylemlerin sırası, MÖ 300 civarında Euclid's Elements'te anlatılmıştır. Her durumda, bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacımız var. Belirli bir daireyi kullanarak inşa etme yöntemini düşünün.

1. İsteğe bağlı bir yarıçap seçin ve merkezini O noktasıyla işaretleyerek bir daire çizin.

2. Daire çizgisinde, beşgenimizin köşelerinden biri olarak hizmet edecek bir nokta seçin. Bu A noktası olsun. O ve A noktalarını düz bir doğru ile birleştirin.

3. O noktasından OA doğrusuna dik bir doğru çizin. Bu çizginin daire çizgisiyle kesiştiği noktayı B noktası olarak işaretleyin.

4. O ve B noktaları arasındaki mesafenin ortasına, C noktasını oluşturun.

5. Şimdi merkezi C noktasında olacak ve A noktasından geçecek bir daire çizin. OB çizgisiyle kesiştiği yer (ilk dairenin içinde olacak) D noktası olacaktır.

6. D'den geçen ve merkezi A olan bir daire çizin. İlk daireyle kesiştiği yerler E ve F noktalarıyla işaretlenmelidir.

7. Şimdi merkezi E olacak bir daire oluşturun. Bunu A'dan geçecek şekilde yapmanız gerekir. Orijinal dairenin diğer kesişimi belirtilmelidir.

8. Son olarak, F noktasında ortalanmış A'dan geçen bir daire çizin. Orijinal dairenin H noktasıyla başka bir kesişim noktasını işaretleyin.

9. Şimdi geriye sadece A, E, G, H, F köşelerini bağlamak kaldı. Normal beşgenimiz hazır olacak!

5.3. altın beşgen; Öklid'in inşası.

"Altın bölümün" harika bir örneği, normal bir beşgendir - dışbükey ve yıldız şeklindedir (Şek. 5).

Bir pentagram yapmak için normal bir beşgen inşa etmeniz gerekir.

O dairenin merkezi, A daire üzerinde bir nokta ve E OA segmentinin orta noktası olsun. O noktasında geri yüklenen OA yarıçapına dik olan daire ile D noktasında kesişir. Bir pusula kullanarak çap üzerinde CE = ED segmentini işaretleyin. Bir daire içine alınmış düzgün bir beşgenin bir kenarının uzunluğu DC'dir. Daire üzerinde DC segmentlerini bir kenara ayırıyoruz ve düzgün bir beşgen çizmek için beş puan alıyoruz. Beşgenin köşelerini bir köşegen boyunca birleştirip bir pentagram elde ediyoruz. Beşgenin tüm köşegenleri birbirini altın oranla bağlanan parçalara ayırır.

Beşgen yıldızın her bir ucu altın bir üçgendir. Kenarları üstte 36°'lik bir açı oluşturur ve yan tarafa serilen taban onu altın bölümle orantılı olarak böler.

Altın bir küboid de vardır - bu, 1.618, 1 ve 0.618 uzunluklarına sahip kenarları olan dikdörtgen bir paralel yüzlüdür.

Şimdi Öklid'in Elementler'de sunduğu kanıtı ele alalım.

çevrelenmiş dairenin merkezinden. İle başlayalım

segment ABE, ortadan bölünmüş ve

Öyleyse AC = AE olsun. Eşit açılar olan EBC ve CEB'yi a ile gösteriniz. AC=AE olduğundan, ACE açısı da a'ya eşittir. Bir üçgenin açılarının toplamının 180 derece olduğu teoremi ALL açısını bulmanızı sağlar: 180-2a'dır ve EAC açısı 3a - 180'dir. Ancak ABC açısı 180-a'dır. ABC üçgeninin açılarını toplarsak,

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Buradan 5a=360, yani a=72.

Yani, BEC üçgeninin tabanındaki açıların her biri, üstteki açının iki katı, yani 36 dereceye eşittir. Bu nedenle, düzgün bir beşgen oluşturmak için, yalnızca merkezi E noktasında olan ve EC'yi X noktasında ve EB kenarını Y noktasında kesişen herhangi bir daire çizmek yeterlidir: XY doğru parçası, düzgün beşgenin kenarlarından biridir. daire; Tüm daireyi dolaşarak, diğer tüm tarafları bulabilirsiniz.

Şimdi AC=AE olduğunu ispatlıyoruz. C tepe noktasının, BE parçasının N orta noktasına düz bir doğru parçasıyla bağlandığını varsayalım. CB = CE olduğundan, CNE açısının dik açı olduğuna dikkat edin. Pisagor teoremine göre:

CN 2 \u003d 2 - (a / 2j) 2 \u003d 2 (1-4j 2)

Dolayısıyla (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2'ye sahibiz.

Yani AC = ja = jAB = AE, kanıtlanacak olan

5.4 Arşimet Sarmalı.

Kareleri altın dikdörtgenlerden sonsuza kadar sırayla keserek, her seferinde zıt noktaları bir dairenin çeyreği ile birleştirerek oldukça zarif bir eğri elde ederiz. İlk dikkat, adını taşıdığı antik Yunan bilim adamı Arşimet tarafından çekildi. Onu inceledi ve bu sarmalın denklemini çıkardı.

Şu anda, Arşimet sarmalı teknolojide yaygın olarak kullanılmaktadır.

6. Fibonacci sayıları.

Daha çok Fibonacci lakabıyla tanınan Pisalı İtalyan matematikçi Leonardo'nun adı (Fibonacci, Bonacci'nin oğlu olan filius Bonacci'nin kısaltmasıdır) dolaylı olarak altın oranla ilişkilidir.

1202'de "Liber abacci" yani "Abaküs Kitabı" kitabını yazdı. "Liber abacci", o zamanın neredeyse tüm aritmetik ve cebirsel bilgilerini içeren ve sonraki birkaç yüzyıl boyunca Batı Avrupa'da matematiğin gelişmesinde önemli bir rol oynayan hacimli bir eserdir. Özellikle, Avrupalıların Hindu ("Arap") rakamlarıyla tanışması bu kitaptan oldu.

Kitapta bildirilen materyal, bu incelemenin önemli bir bölümünü oluşturan çok sayıda problem üzerinde açıklanmaktadır.

Böyle bir sorunu düşünün:

Bir yılda bir çiftten kaç çift tavşan doğar?

Tavşanların doğası bir ay içinde bir çift olacak şekilde ise, birisi bu yıl içinde kaç çift tavşan doğacağını öğrenmek için her tarafı duvarla çevrili belirli bir yere bir çift tavşan yerleştirdi. tavşanlar bir başkasını üreyecek ve tavşanlar doğumlarından sonraki ikinci aydan itibaren doğum yapacaklar "

Şimdi tavşanlardan sayılara geçelim ve aşağıdaki sayısal diziyi ele alalım:

sen 1 , sen 2 … sen n

her terimin önceki iki terimin toplamına eşit olduğu, yani herhangi bir n>2 için

sen n \u003d sen n -1 + sen n -2.

Bu dizi asimptotik olarak (gittikçe daha yavaş yaklaşan) sabit bir ilişki eğilimindedir. Ancak bu oran irrasyoneldir, yani kesir kısmında sonsuz, öngörülemeyen ondalık basamak dizisine sahip bir sayıdır. Tam olarak ifade edilemez.

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesi bir öncekine bölünürse (örneğin, 13:8), sonuç irrasyonel değer olan 1.61803398875... civarında dalgalanan ve bazen onu aşan, bazen ona ulaşamayan bir değer olacaktır.

Dizinin asimptotik davranışı, irrasyonel bir Φ sayısı etrafındaki oranının sönümlü dalgalanmaları, dizinin birkaç ilk teriminin oranlarını gösterirsek daha anlaşılır hale gelebilir. Bu örnek, ikinci terimin birinciye, üçüncünün ikinciye, dördüncünün üçüncüye vs. olan ilişkisini gösterir:

1:1 = 1,0000, phi'den 0,6180 daha küçüktür

2:1 = 2,0000, yani 0,3820 daha fazla phi

3:2 = 1,5000, phi'den 0,1180 daha küçüktür

5:3 = 1,6667, yani 0,0486 daha fazla phi

8:5 = 1,6000, phi'den 0,0180 daha küçüktür

Fibonacci toplama dizisinde ilerledikçe, her yeni terim bir sonrakini elde edilemez F'ye giderek daha fazla yaklaşarak böler.

Kişi bilinçaltında İlahi oranı arar: rahatlık ihtiyacını karşılamak için buna ihtiyaç vardır.

Fibonacci dizisinin herhangi bir üyesini bir sonrakine böldüğümüzde, sadece 1.618'in tersini elde ederiz (1: 1.618=0.618). Ancak bu aynı zamanda çok sıra dışı, hatta dikkate değer bir olgudur. Orijinal oran sonsuz bir kesir olduğundan, bu oranın da sonu olmamalıdır.

Her sayıyı kendisinden sonraki sayıya böldüğümüzde 0.382 sayısını elde ederiz.

Oranları bu şekilde seçerek, ana Fibonacci katsayıları setini elde ederiz: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.Ayrıca 0.5'ten bahsediyoruz.Hepsi doğada ve özellikle teknik analizde özel bir rol oynar.

Burada belirtmek gerekir ki Fibonacci, antik çağlarda Altın Kesit adıyla bilindiği için insanlığa kendi dizisini hatırlatmıştır.

Gördüğümüz gibi, altın oran düzgün beşgenle bağlantılı olarak ortaya çıkar, dolayısıyla Fibonacci sayıları düzgün beşgenlerle - dışbükey ve yıldız şeklindeki - ilgili her şeyde rol oynar.

Fibonacci dizisi, bitki ve hayvanlar dünyasında altın bölümün tüm araştırmacılarının, sanattan bahsetmeye bile gerek yok, her zaman bu diziye altın bölme yasasının aritmetik bir ifadesi olarak gelmeleri olmasaydı, yalnızca matematiksel bir olay olarak kalabilirdi. . Bilim adamları, Fibonacci sayıları ve altın oran teorisini aktif olarak geliştirmeye devam ettiler. Yu Matiyasevich, Fibonacci sayılarını kullanarak Hilbert'in 10. problemini çözüyor (Diophantine denklemlerinin çözümü üzerine). Fibonacci sayılarını ve altın bölümü kullanarak bir dizi sibernetik problemi (arama teorisi, oyunlar, programlama) çözmek için zarif yöntemler vardır. ABD'de, 1963'ten beri özel bir dergi yayınlayan Matematiksel Fibonacci Derneği bile kuruluyor.

Bu alandaki başarılardan biri, genelleştirilmiş Fibonacci sayılarının ve genelleştirilmiş altın oranların keşfidir. Fibonacci dizisi (1, 1, 2, 3, 5, 8) ve onun tarafından keşfedilen "ikili" sayı dizisi 1, 2, 4, 8, 16 ... (yani, n'ye kadar bir sayı dizisi) n'den küçük herhangi bir doğal sayının bu serideki bazı sayıların toplamı olarak temsil edilebildiği yerlerde) ilk bakışta tamamen farklıdırlar. Ancak bunların inşası için algoritmalar birbirine çok benzer: ilk durumda, her sayı bir önceki sayının kendisiyle toplamıdır 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., ikincisinde - bu, önceki iki sayının toplamıdır 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... mümkün mü hangi genel matematiksel formülü bulmak için " ikili dizi ve Fibonacci dizisi?

Aslında, herhangi bir değeri alabilen sayısal bir parametre S belirleyelim: 0, 1, 2, 3, 4, 5... öncekinden S adımlarla ayrılmış. Bu dizinin n'inci üyesini S (n) ile gösterirsek, S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) genel formülünü elde ederiz.

Açıkçası, S = 0 ile, bu formülden S = 1 ile bir "ikili" dizi elde edeceğiz - S = 2, 3, 4 ile bir Fibonacci dizisi. S-Fibonacci sayıları olarak adlandırılan yeni sayı dizileri.

Genel anlamda, altın S oranı, altın S kesiti denklemi x S+1 – x S – 1 = 0'ın pozitif köküdür.

S = 0'da segmentin ikiye bölünmesinin elde edildiğini ve S = 1'de bilinen klasik altın oranın elde edildiğini göstermek kolaydır.

Mutlak matematiksel doğrulukla komşu Fibonacci S-sayılarının oranları, altın S-oranlarıyla sınırda çakışıyor! Yani altın S-kesitler, Fibonacci S-sayılarının sayısal değişmezleridir.

7. Sanatta altın bölüm.

7.1. Resimde altın bölüm.

Resimdeki "altın bölüm" örneklerine dönersek, Leonardo da Vinci'nin çalışmalarına dikkat çekmekten başka bir şey yapılamaz. Kimliği tarihin gizemlerinden biridir. Leonardo da Vinci'nin kendisi şöyle dedi: "Matematikçi olmayan hiç kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin."

Leonardo da Vinci'nin harika bir sanatçı olduğuna şüphe yok, çağdaşları bunu zaten kabul etti, ancak kişiliği ve faaliyetleri, gelecek nesillere fikirlerinin tutarlı bir sunumunu değil, yalnızca çok sayıda el yazısıyla yazılmış eskizleri, notları bıraktığı için gizemle örtülmeye devam edecek. "hem dünyadaki herkes" diyenler.

Monna Lisa'nın (Gioconda) portresi, çizimin kompozisyonunun düzenli bir yıldız beşgenin parçaları olan altın üçgenlere dayandığını bulan araştırmacıların yıllardır ilgisini çekmiştir.

Ayrıca Shishkin'in resminde altın bölümün oranı da görülmektedir. I. I. Shishkin'in bu ünlü tablosunda altın bölümün motifleri açıkça görülmektedir. Parlak bir şekilde aydınlatılmış çam ağacı (ön planda duran) resmin uzunluğunu altın orana göre böler. Çam ağacının sağında güneş tarafından aydınlatılan bir tepecik var. Resmin sağ tarafını altın orana göre yatay olarak böler.

Raphael'in "Masumların Katliamı" adlı tablosu, altın oranın bir başka unsurunu - altın sarmalı gösteriyor. Raphael'in hazırlık taslağında, kompozisyonun semantik merkezinden -savaşçının parmaklarının çocuğun bileğini çevrelediği nokta- çocuk figürleri boyunca uzanan kırmızı çizgiler çizilir; kılıcı kaldırdı ve ardından taslağın sağ tarafında aynı grubun figürleri boyunca. Raphael'in altın spirali yapıp yapmadığı veya hissedip hissetmediği bilinmiyor.

T. Cook, Sandro Botticelli'nin "Venüs'ün Doğuşu" tablosunu incelerken altın bölümü kullandı.

7.2. Altın bölümün piramitleri.

Piramitlerin tıbbi özellikleri, özellikle de altın bölümü herkes tarafından bilinmektedir. En yaygın görüşlerden bazılarına göre, böyle bir piramidin bulunduğu oda daha büyük görünüyor ve hava daha şeffaf. Rüyalar daha iyi hatırlanmaya başlar. Altın oranın mimaride ve heykeltıraşlıkta da yaygın olarak kullanıldığı bilinmektedir. Bunun bir örneği Yunanistan'daki Pantheon ve Parthenon, mimarlar Bazhenov ve Malevich'in binalarıydı.

8. Sonuç.

Altın oranın hayatımızda büyük bir uygulaması olduğunu söylemeliyim.

İnsan vücudunun altın orana orantısal olarak bölündüğü kemer çizgisi ile kanıtlanmıştır.

Nautilus'un kabuğu altın bir sarmal gibi kıvrılmıştır.

Altın oran sayesinde, Mars ve Jüpiter arasındaki asteroit kuşağı keşfedildi - orantılı olarak orada başka bir gezegen olmalı.

Altın bölüme göre onu bölen noktada telin uyarılması telin titreşmesine neden olmaz, yani burası telafi noktasıdır.

Elektromanyetik enerji kaynaklarına sahip uçaklarda, altın bölümün oranına sahip dikdörtgen hücreler oluşturulur.

Gioconda altın üçgenler üzerine inşa edilmiştir, altın sarmal Raphael'in "Masumların Katliamı" tablosunda mevcuttur.

Sandro Botticelli'nin "Venüs'ün Doğuşu" tablosunda bulunan orantı

Atina'daki Pantheon ve Parthenon, mimarlar Bazhenov ve Malevich'in binaları da dahil olmak üzere altın oran kullanılarak inşa edilmiş birçok mimari anıt var.

Beş asır önce yaşamış olan John Kepler, "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır. Birincisi Pisagor teoremi, ikincisi bir doğru parçasının aşırı ve ortalama oranda bölünmesidir" sözünün sahibidir.

Kaynakça

1. D. Pidow. Geometri ve sanat. – M.: Mir, 1979.

2. Dergi "Bilim ve teknoloji"

3. "Quantum" Dergisi, 1973, Sayı 8.

4. "Okulda Matematik" Dergisi, 1994, Sayı 2; 3 numara.

5. Kovalev F.V. Resimde altın bölüm. K.: Vyscha okulu, 1989.

6. Stakhov A. Altın oranın kodları.

7. Vorobyov N.N. "Fibonacci sayıları" - M.: Nauka 1964

8. "Matematik - Çocuklar için Ansiklopedi" M .: Avanta +, 1998

9. İnternetten bilgi.

Fibonacci matrisleri ve sözde "altın" matrisler, yeni bilgisayar aritmetiği, yeni bir kodlama teorisi ve yeni bir kriptografi teorisi. Yeni bilimin özü, elbette teoride yeni ve kesinlikle çok ilginç matematiksel sonuçlar gerektirecek olan Pisagor'dan başlayarak tüm matematiğin altın bölüm açısından gözden geçirilmesidir. Pratik anlamda - "altın" bilgisayarlaşma. Ve çünkü...

Bu sonuç etkilenmeyecektir. Altın oranın temeli, yinelenen oranlar 4 ve 6'nın değişmezidir. Bu, canlı maddenin organizasyonunun ilkelerinden biri olan altın oranın "kararlılığını" gösterir. Ayrıca, altın oranın temeli, iki egzotik özyinelemeli dizinin çözümüdür (Şekil 4.) Şekil. 4 Yinelemeli Fibonacci Dizisi Yani...

Kulak j5 ve kulaktan tepeye olan mesafe j6'dır. Böylece, bu heykelde paydası j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6 olan geometrik bir ilerleme görüyoruz. (Şek. 9). Bu nedenle altın oran, antik Yunan sanatının temel ilkelerinden biridir. Kalbin ve beynin ritimleri. İnsan kalbi eşit şekilde atar - dinlenme halindeyken dakikada yaklaşık 60 atış. Kalp bir piston gibi sıkışır...