Tarama nasıl yapılır - bir koni için bir model veya belirli bir boyutta kesik bir koni. Basit süpürme hesaplaması. Koninin hacmi, hesaplanması Koninin bıyık hacmi

Çeşitli geometrik cisimler arasında en ilginç olanlardan biri konidir. Bir dik üçgenin bacaklarından birinin etrafında döndürülmesiyle oluşturulur.

Bir koninin hacmi nasıl bulunur - temel kavramlar

Bir koninin hacmini hesaplamaya başlamadan önce, temel kavramları öğrenmelisiniz.

• Dairesel koni - böyle bir koninin tabanı bir dairedir. Taban bir elips, parabol veya hiperbol ise, şekiller eliptik, parabolik veya hiperbolik koniler olarak adlandırılır. Son iki tür koninin sonsuz bir hacme sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.
• Kesik bir koni, taban ile bu tabana paralel bir düzlem arasında yer alan ve üst ile taban arasında yer alan bir koninin bir parçasıdır.
• Yükseklik - üstten serbest bırakılan tabana dik bir segment.
• Bir koninin generatriksi, tabanın ve tepenin sınırını birleştiren bir segmenttir.

koni hacmi

Bir koninin hacmini hesaplamak için V=1/3*S*H formülü kullanılır; burada S taban alanı, H yüksekliktir. Koninin tabanı bir daire olduğundan, alanı S= nR^2 formülüyle bulunur, burada n = 3.14, R dairenin yarıçapıdır.

Bazı parametrelerin bilinmediği bir durum vardır: yükseklik, yarıçap veya generatrix. Bu durumda Pisagor teoremine başvurmaya değer. Koninin eksenel bölümü, l'nin hipotenüs ve H ve R'nin bacaklar olduğu iki dik açılı üçgenden oluşan bir ikizkenar üçgendir. O zaman l=(H^2+R^2)^1/2.

Kesik Koni Hacmi

Kesik bir koni, tepesi kesik bir konidir.

Böyle bir koninin hacmini bulmak için aşağıdaki formüle ihtiyacınız vardır:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

burada n=3.14, r kesit dairenin yarıçapı, R büyük tabanın yarıçapı, H yüksekliktir.

Kesik koninin eksenel bölümü bir ikizkenar yamuk olacaktır. Bu nedenle, bir koninin ana matrisinin uzunluğunu veya dairelerden birinin yarıçapını bulmak gerekiyorsa, bir yamuğun kenarlarını ve tabanlarını bulmak için formüller kullanmaya değer.

Yüksekliği 8 cm ve taban yarıçapı 3 cm olan koninin hacmini bulunuz.

Verilen: H=8 cm, R=3 cm.

İlk önce S=nR^2 formülünü uygulayarak tabanın alanını bulun.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Şimdi V=1/3*S*H formülünü kullanarak koninin hacmini buluyoruz.

D=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Koni biçimli figürler her yerde bulunur: park konileri, bina kuleleri, abajur. Bu nedenle, bir koninin hacminin nasıl bulunacağını bilmek bazen hem profesyonel hem de günlük hayatta işe yarayabilir.

Bazen "desen" kelimesi yerine "süpürme" kullanılır, ancak bu terim belirsizdir: örneğin, bir rayba, bir deliğin çapını artırmak için bir araçtır ve elektronik teknolojisinde bir rayba kavramı vardır. Bu nedenle, arama motorlarının bunları kullanarak bu makaleyi bulabilmesi için “koni süpürme” kelimesini kullanmak zorunda olmama rağmen, “kalıp” kelimesini kullanacağım.

Bir koni için bir model oluşturmak basit bir konudur. İki durumu ele alalım: dolu bir koni için ve kesik bir koni için. resim üzerinde (Büyütmek için tıklayın) bu tür konilerin eskizleri ve desenleri gösterilmektedir. (Sadece yuvarlak tabanlı düz konilerden bahsedeceğimizi hemen not ediyorum. İlerleyen yazılarda oval tabanlı ve eğimli konileri ele alacağız).

1. Tam konik

Tanımlar:

Desen parametreleri aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
;
;
Nerede .

2. Kesik koni

Tanımlar:

Desen parametrelerini hesaplamak için formüller:
;
;
;
Nerede .
Yerine koyarsak bu formüllerin tam koni için de uygun olduğuna dikkat edin.

Bazen, bir koni oluştururken, tepe noktasındaki (veya koni kesikse hayali tepe noktasındaki) açının değeri esastır. En basit örnek, bir koninin diğerine sıkıca oturması gerektiği zamandır. Bu açıyı bir harfle gösterelim (resme bakın).
Bu durumda, üç giriş değerinden biri yerine onu kullanabiliriz: , veya . neden "birlikte Ö", birlikte değil e"? Çünkü bir koni oluşturmak için üç parametre yeterlidir ve dördüncünün değeri diğer üçünün değerleri üzerinden hesaplanır. Neden iki ya da dört değil de tam olarak üç, bu makalenin kapsamı dışında kalan bir sorudur. Gizemli bir ses bana bunun bir şekilde "koni" nesnesinin üç boyutluluğuyla bağlantılı olduğunu söylüyor. (Makalede diğer tüm parametrelerini hesapladığımız iki boyutlu daire parçası nesnesinin ilk iki parametresiyle karşılaştırın.)

Üç verildiğinde koninin dördüncü parametresinin belirlendiği formüller aşağıdadır.

4. Bir model oluşturma yöntemleri

• Hesap makinesindeki değerleri hesaplayın ve bir pusula, cetvel ve iletki kullanarak kağıt üzerine (veya hemen metal üzerine) bir desen oluşturun.
• Formülleri ve kaynak verileri bir elektronik tabloya girin (örneğin, Microsoft Excel). Elde edilen sonuç, bir grafik düzenleyici (örneğin CorelDRAW) kullanılarak bir model oluşturmak için kullanılır.
• ekranda çizecek ve verilen parametrelerle bir koni için bir desen yazdıracak olan programımı kullanın. Bu desen bir vektör dosyası olarak kaydedilebilir ve CorelDRAW'a aktarılabilir.

5. Paralel olmayan tabanlar

Kesik koniler söz konusu olduğunda, Koniler programı yalnızca paralel tabanlı koniler için modeller oluşturmaya devam eder.
Tabanları paralel olmayan kesik bir koni modeli oluşturmanın bir yolunu arayanlar için, site ziyaretçilerinden birinin sağladığı bağlantıyı burada bulabilirsiniz:
Paralel olmayan tabanlara sahip kesik bir koni.

Koninin yüzeyinin gelişimi, koninin yan yüzeyi ile tabanının belirli bir düzlemde birleştirilmesiyle elde edilen düz bir şekildir.

Süpürme inşaat seçenekleri:

Sağ dairesel koninin gelişimi

Bir dik dairesel koninin yanal yüzeyinin gelişimi, yarıçapı l konik yüzeyin generatriksinin uzunluğuna eşit olan ve merkez açısı φ, φ=360*R/ formülüyle belirlenen dairesel bir sektördür. l, burada R, koninin tabanının çevresinin yarıçapıdır.

Bir dizi tanımlayıcı geometri probleminde, tercih edilen çözüm, bir koninin içine yazılı bir piramit ile yaklaştırılması (değiştirilmesi) ve üzerine konik bir yüzey üzerinde uzanan çizgiler çizmenin uygun olduğu yaklaşık bir taramanın oluşturulmasıdır.

İnşaat algoritması

1. Konik yüzeye çokgen bir piramit çiziyoruz. Yazılı piramidin yan yüzleri ne kadar çoksa, gerçek ve yaklaşık tarama arasındaki karşılık gelme o kadar doğru olur.
2. Üçgen yöntemini kullanarak piramidin yan yüzeyinin bir gelişimini oluşturuyoruz. Koninin tabanına ait noktalar düzgün bir eğri ile birbirine bağlanmıştır.

Örnek

Aşağıdaki şekilde, düzenli bir altıgen piramit SABCDEF dik dairesel bir koninin içine yazılmıştır ve yan yüzeyinin yaklaşık gelişimi altı ikizkenar üçgenden oluşur - piramidin yüzleri.

Bir S 0 A 0 B 0 üçgeni düşünün. S 0 A 0 ve S 0 B 0 kenarlarının uzunlukları, konik yüzeyin generatrisine l eşittir. A 0 B 0 değeri A'B' uzunluğuna karşılık gelir. Çizimin rastgele bir yerinde bir S 0 A 0 B 0 üçgeni oluşturmak için, S 0 A 0 =l parçasını bir kenara ayırırız, ardından S 0 B 0 =l ve A 0 B 0 = yarıçaplı daireler çizeriz. Sırasıyla S 0 ve A 0 noktalarından A'B'. B 0 dairelerinin kesişme noktasını A 0 ve S 0 noktalarıyla birleştiriyoruz.

SABCDEF piramidinin S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 yüzleri S 0 A 0 üçgenine benzer şekilde inşa edilmiştir 0 .

Koninin tabanında yatan A, B, C, D, E ve F noktaları, yarıçapı l'e eşit olan bir daire yayı olan yumuşak bir eğri ile bağlanır.

Eğik koni gelişimi

Yaklaştırma yöntemiyle eğimli bir koninin yanal yüzeyinin bir taramasını oluşturma prosedürünü düşünün.

algoritma

1. Altıgen 123456'yı koninin tabanının dairesine yazıyoruz. 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 noktalarını S köşesi ile birleştirin. konik yüzeyin yerini alır ve diğer yapılarda bu şekilde kullanılır.
2. Piramidin kenarlarının doğal değerlerini, çıkıntı çizgisi etrafında döndürme yöntemini kullanarak belirliyoruz: örnekte, yatay projeksiyon düzlemine dik olan ve S tepe noktasından geçen i ekseni kullanılmıştır.
   Böylece, S5 kenarının dönmesinin bir sonucu olarak, yeni yatay çıkıntısı S'5'ı, ön düzleme π2 paralel olduğu bir konum alır. Buna göre S''5'' 1, S5'in doğal değeridir.
3. Altı üçgenden oluşan S123456 piramidinin yanal yüzeyinin bir gelişimini inşa ediyoruz: 0 1 0 . Her üçgenin yapımı üç tarafta gerçekleştirilir. Örneğin, △S 0 1 0 6 0, S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6' uzunluğuna sahiptir.

Yaklaşık taramanın gerçek olana karşılık gelme derecesi, yazılı piramidin yüz sayısına bağlıdır. Yüz sayısı, çizimi okuma kolaylığına, doğruluğu için gerekliliklere, taramaya aktarılması gereken karakteristik noktaların ve çizgilerin varlığına göre seçilir.

Bir çizginin bir koninin yüzeyinden bir geliştirmeye aktarılması

Koninin yüzeyinde bulunan n çizgisi, belirli bir düzlemle kesişmesi sonucu oluşur (aşağıdaki şekil). Süpürmede satır n oluşturmak için algoritmayı düşünün.

algoritma

1. n çizgisinin S123456 konisinde yazılı piramidin kenarlarıyla kesiştiği A, B ve C noktalarının izdüşümlerini bulun.
2. SA, SB, SC segmentlerinin gerçek boyutunu çıkıntılı çizgi etrafında döndürerek belirliyoruz. Bu örnekte SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 segmentlerini ayırarak, piramidin karşılık gelen kenarlarında A 0 , B 0 , C 0 noktalarının konumunu buluyoruz, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. A 0 , B 0 , C 0 noktalarını düz bir çizgi ile birleştiriyoruz.

Kesik koni gelişimi

Aşağıda açıklanan, bir dik dairesel kesik koni taraması oluşturma yöntemi, benzerlik ilkesine dayanmaktadır.

Geometride kesik bir koni, dikdörtgen bir yamuğun tabana dik olan tarafı etrafında dönmesiyle oluşan bir gövdedir. nasıl hesaplıyorlar kesik koni hacmi, herkes okul geometri kursundan bilir ve pratikte bu bilgi genellikle çeşitli makine ve mekanizmaların tasarımcıları, bazı tüketim mallarının geliştiricileri ve mimarlar tarafından kullanılır.

Kesik bir koninin hacminin hesaplanması

Kesik bir koninin hacmini hesaplama formülü

Kesik bir koninin hacmi aşağıdaki formülle hesaplanır:

H- koni yüksekliği

R- üst tabanın yarıçapı

R- alt taban yarıçapı

v- kesik koninin hacmi

π - 3,14

gibi geometrik cisimlerle kesik koniler, günlük yaşamda, sürekli olmasa da herkes oldukça sık karşılaşır. Şekilleri, günlük yaşamda yaygın olarak kullanılan çok çeşitli kaplara sahiptir: kovalar, bardaklar, bazı bardaklar. Bunları geliştiren tasarımcıların hesaplayan bir formül kullanmış olmaları gerektiğini söylemeye gerek yok. kesik koni hacmi, çünkü bu değer bu durumda çok önemlidir, çünkü ürünün kapasitesi gibi önemli bir özelliği belirler.

Mühendislik yapıları, kesik koniler, genellikle büyük sanayi işletmelerinin yanı sıra termik ve nükleer santrallerde görülebilir. Soğutma kulelerinin sahip olduğu bu biçimdir - atmosferik havanın ters akışını zorlayarak büyük hacimlerde suyu soğutmak için tasarlanmış cihazlar. Çoğu zaman, bu tasarımlar, büyük miktarda sıvının sıcaklığını kısa sürede önemli ölçüde düşürmenin gerekli olduğu durumlarda kullanılır. Bu yapıların geliştiricileri belirlemelidir kesik koni hacmi oldukça basit olan ve bir zamanlar lisede iyi okuyan herkes tarafından bilinen hesaplama formülü.

Bu geometrik şekle sahip detaylar, çeşitli teknik cihazların tasarımında oldukça sık bulunur. Örneğin, kinetik aktarımın yönünün değiştirilmesi gereken sistemlerde kullanılan dişliler, çoğunlukla konik dişliler kullanılarak gerçekleştirilir. Bu parçalar, modern arabalarda kullanılan otomatik ve manuel şanzımanların yanı sıra çok çeşitli dişli kutularının ayrılmaz bir parçasıdır.

Kesik bir koninin şekli, üretimde yaygın olarak kullanılan bazı kesme aletlerine sahiptir, örneğin freze bıçakları. Onların yardımıyla eğimli yüzeyleri belirli bir açıda işleyebilirsiniz. Metal işleme ve ağaç işleme ekipmanlarının kesicilerini bilemek için genellikle kesik koniler olan aşındırıcı tekerlekler kullanılır. Ayrıca, kesik koni hacmi konik saplarla donatılmış bir kesici aletin (matkaplar, raybalar, vb.) sabitlenmesini içeren tornalama ve frezeleme makinelerinin tasarımcılarının belirlenmesi gerekmektedir.