สร้างห้าเหลี่ยมปกติ เทคนิคการวาดภาพ. การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปห้าเหลี่ยมปกติ

รูปนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนมุมน้อยที่สุดซึ่งไม่สามารถใช้เพื่อปูกระเบื้องพื้นที่ได้ มีเพียงรูปห้าเหลี่ยมเท่านั้นที่มีจำนวนเส้นทแยงมุมเท่ากับด้านของมัน เมื่อใช้สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติตามอำเภอใจ คุณสามารถกำหนดพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดที่เป็นรูปห้าเหลี่ยมได้ ตัวอย่างเช่น จารึกไว้ในวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด หรือสร้างตามด้านข้างที่กำหนด

วิธีการวาดลำแสงอย่างถูกต้องและอุปกรณ์การวาดภาพที่คุณต้องการ? หยิบกระดาษแล้วทำเครื่องหมายจุดที่ใดก็ได้ จากนั้นแนบไม้บรรทัดและลากเส้นจากจุดที่ระบุไปยังจุดสิ้นสุด หากต้องการวาดเส้นตรง ให้กดปุ่ม "Shift" แล้วลากเส้นตามความยาวที่ต้องการ ทันทีหลังจากวาด แท็บ "รูปแบบ" จะเปิดขึ้น ยกเลิกการเลือกบรรทัด แล้วคุณจะเห็นว่ามีจุดปรากฏขึ้นที่จุดเริ่มต้นของบรรทัด หากต้องการสร้างคำจารึก ให้คลิกปุ่ม "วาดคำจารึก" และสร้างฟิลด์ที่จะระบุคำจารึก

วิธีแรกในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมนั้นถือว่า "คลาสสิก" มากกว่า ตัวเลขที่ได้จะเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ แปดเหลี่ยมก็ไม่มีข้อยกเว้น ดังนั้นการก่อสร้างจะเป็นไปไม่ได้เลยหากไม่ใช้เข็มทิศ งานสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติจะลดลงเหลืองานแบ่งวงกลมออกเป็นห้าส่วนเท่าๆ กัน คุณสามารถวาดรูปดาวห้าแฉกโดยใช้เครื่องมือที่ง่ายที่สุด

ฉันพยายามเป็นเวลานานในการพยายามบรรลุสิ่งนี้และค้นหาสัดส่วนและการพึ่งพาอย่างอิสระ แต่ฉันไม่ประสบความสำเร็จ ปรากฎว่ามีตัวเลือกต่าง ๆ มากมายสำหรับการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ ซึ่งพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียง ประเด็นที่น่าสนใจคือ ในทางเลขคณิตปัญหานี้สามารถแก้ไขได้อย่างแม่นยำโดยประมาณเท่านั้น เนื่องจากจะต้องใช้จำนวนอตรรกยะ แต่สามารถแก้ไขได้ทางเรขาคณิต

การแบ่งวงกลม. จุดตัดของเส้นเหล่านี้กับวงกลมคือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ในวงกลมรัศมี R (ขั้นตอนที่ 1) วาดเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้ง ที่จุดผัน N ของเส้นตรงและวงกลม เส้นนั้นจะสัมผัสกับวงกลม

รับด้วยแถบกระดาษ

สามารถสร้างรูปหกเหลี่ยมปกติได้โดยใช้รูปตัว T และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 30X60° จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เข็มทิศและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุม 30 และ 60 ° หรือเข็มทิศเพียงอันเดียว ในการสร้างด้าน 2-3 ให้ตั้ง T-square ไปที่ตำแหน่งที่แสดงโดยเส้นประ และลากเส้นตรงผ่านจุดที่ 2 ซึ่งจะกำหนดจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยม เราทำเครื่องหมายจุดที่ 1 บนวงกลมและถือเป็นจุดยอดหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยม เราเชื่อมต่อจุดยอดที่พบในอนุกรมเข้าด้วยกัน รูปห้าเหลี่ยมสามารถสร้างได้โดยการวาดรังสีจากขั้ว F และผ่านการแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้งแบบคี่

และที่ปลายอีกด้านของด้าย ดินสอถูกตั้งไว้และหมกมุ่น หากคุณรู้วิธีวาดดาว แต่ไม่รู้วิธีวาดรูปห้าเหลี่ยม ให้วาดดาวด้วยดินสอ จากนั้นต่อปลายดาวที่อยู่ติดกันเข้าด้วยกัน แล้วลบดาวออก จากนั้นวางกระดาษหนึ่งแผ่น (ควรติดไว้บนโต๊ะด้วยปุ่มสี่ปุ่มหรือเข็ม) ปักหมุดหรือเข็มหมุดหรือเข็มทั้ง 5 แถบนี้ลงบนแผ่นกระดาษเพื่อให้ไม่ขยับเขยื้อน จากนั้นวงกลมรูปห้าเหลี่ยมที่เกิดขึ้นและนำแถบเหล่านี้ออกจากแผ่นงาน

ตัวอย่างเช่น เราต้องวาดรูปดาวห้าแฉก (รูปดาวห้าแฉก) สำหรับรูปภาพเกี่ยวกับอดีตของสหภาพโซเวียตหรือเกี่ยวกับปัจจุบันของจีน จริงสำหรับสิ่งนี้คุณต้องสามารถสร้างรูปวาดของดาวในมุมมองได้ ในทำนองเดียวกัน คุณจะสามารถวาดรูปด้วยดินสอบนกระดาษ วิธีวาดดาวอย่างถูกต้องเพื่อให้ดูสวยงามคุณจะไม่ตอบทันที

จากจุดศูนย์กลาง ลดรังสี 2 ดวงลงบนวงกลมเพื่อให้มุมระหว่างกันคือ 72 องศา (ไม้โปรแทรกเตอร์) การแบ่งวงกลมออกเป็นห้าส่วนนั้นใช้เข็มทิศหรือไม้โปรแทรกเตอร์ธรรมดา เนื่องจากรูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นหนึ่งในตัวเลขที่มีสัดส่วนของส่วนสีทอง จิตรกรและนักคณิตศาสตร์จึงสนใจในการก่อสร้างมานานแล้ว หลักการสร้างโดยใช้เข็มทิศและเส้นตรงเหล่านี้ได้กำหนดไว้ในองค์ประกอบยุคลิด

รูปห้าเหลี่ยมปกติเป็นรูปเรขาคณิตที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงห้าเส้นที่สร้างมุมที่เหมือนกันห้ามุม ตัวเลขนี้เรียกว่าเพนตากอน ผลงานของศิลปินมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับรูปห้าเหลี่ยม - ภาพวาดของพวกเขาใช้รูปทรงเรขาคณิตปกติ ในการทำเช่นนี้คุณต้องรู้วิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยมอย่างรวดเร็ว

ทำไมตัวเลขนี้ถึงน่าสนใจ? ตัวอาคารเป็นรูปห้าเหลี่ยม กระทรวงกลาโหมสหรัฐอเมริกา. สามารถเห็นได้จากภาพถ่ายที่ถ่ายจากความสูงของเที่ยวบิน ในธรรมชาติไม่มีคริสตัลและหินซึ่งมีรูปร่างคล้ายห้าเหลี่ยม เฉพาะในรูปนี้จำนวนใบหน้าตรงกับจำนวนเส้นทแยงมุม

พารามิเตอร์ของห้าเหลี่ยมปกติ

ห้าเหลี่ยมมุมฉากก็เหมือนกับทุกรูปในเรขาคณิต มีพารามิเตอร์ของมันเอง เมื่อรู้สูตรที่จำเป็นแล้ว คุณสามารถคำนวณพารามิเตอร์เหล่านี้ได้ ซึ่งจะช่วยอำนวยความสะดวกในกระบวนการสร้างรูปห้าเหลี่ยม วิธีการคำนวณและสูตร:

• ผลรวมของทุกมุมในรูปหลายเหลี่ยมคือ 360 องศา ในรูปห้าเหลี่ยมปกติทุกมุมเท่ากันตามลำดับมุมศูนย์กลางจะพบในลักษณะนี้: 360/5 \u003d 72 องศา;
• หามุมด้านในด้วยวิธีนี้: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 องศา ผลรวมของมุมภายในทั้งหมด: 108*5 = 540 องศา

ด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมพบได้โดยใช้พารามิเตอร์ที่กำหนดไว้แล้วในคำชี้แจงปัญหา:

• หากวงกลมถูกล้อมรอบรอบรูปห้าเหลี่ยมและทราบรัศมีของมันจะพบด้านตามสูตรต่อไปนี้: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ \u003d 1.1756*ร.
• หากทราบรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปห้าเหลี่ยม สูตรคำนวณด้านของรูปหลายเหลี่ยมคือ: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r .
• ด้วยเส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมที่รู้จัก ด้านของมันถูกคำนวณดังนี้: a \u003d D / 1.618

พื้นที่ของห้าเหลี่ยมเช่นเดียวกับด้านข้างขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่พบแล้ว:

• ใช้รัศมีที่ทราบของวงกลมที่จารึกไว้จะพบพื้นที่ดังนี้: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r
• วงกลมที่ล้อมรอบห้าเหลี่ยมช่วยให้คุณหาพื้นที่โดยใช้สูตรต่อไปนี้: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2.3776 * R2
• ขึ้นอยู่กับด้านของห้าเหลี่ยม: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205* a2

สร้างเพนตากอน

คุณสามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติได้โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียน โดยอิงจากวงกลมที่เขียนไว้หรือด้านใดด้านหนึ่ง

จะวาดรูปห้าเหลี่ยมตามวงกลมที่จารึกไว้ได้อย่างไร? ในการทำเช่นนี้ ให้ตุนเข็มทิศและไม้บรรทัดและทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

1. ก่อนอื่นคุณต้องวาดวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลาง O จากนั้นเลือกจุด A - ด้านบนของรูปห้าเหลี่ยม มีการลากเส้นจากจุดศูนย์กลางไปด้านบน
2. จากนั้นสร้างส่วนที่ตั้งฉากกับเส้นตรง OA ซึ่งผ่าน O - ศูนย์กลางของวงกลมด้วย จุดตัดกับวงกลมระบุด้วยจุด B ส่วน O.V. แบ่งครึ่งด้วยจุด C
3. จุด C จะกลายเป็นศูนย์กลางของวงกลมใหม่ที่ผ่าน A จุด D คือจุดตัดกับเส้นตรง OB ภายในขอบเขตของรูปแรก
4. หลังจากนั้นวงกลมที่สามจะถูกวาดผ่าน D ซึ่งจุดศูนย์กลางคือจุด A ตัดกับตัวเลขแรกที่จุดสองจุดโดยต้องแสดงด้วยตัวอักษร E และ F
5. วงกลมถัดไปมีจุดศูนย์กลางที่จุด E และผ่าน A และจุดตัดกับวงกลมเดิมอยู่ที่จุดใหม่ G
6. วงกลมสุดท้ายในรูปนี้วาดผ่านจุด A โดยมีจุดศูนย์กลาง F จุด H จะอยู่ที่จุดตัดกับจุดเริ่มต้น
7. ในวงกลมแรกหลังจากทำตามขั้นตอนทั้งหมดแล้วจะมีห้าจุดปรากฏขึ้นซึ่งจะต้องเชื่อมต่อกันด้วยส่วนต่างๆ ดังนั้นจึงได้รูปห้าเหลี่ยมปกติ AE G H F

จะสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติด้วยวิธีอื่นได้อย่างไร? ด้วยความช่วยเหลือของไม้บรรทัดและเข็มทิศ คุณสามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมได้เร็วขึ้นเล็กน้อย สำหรับสิ่งนี้คุณต้อง:

1. ก่อนอื่นคุณต้องใช้เข็มทิศเพื่อวาดวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางคือจุด O
2. มีการวาดรัศมี OA ซึ่งเป็นส่วนที่ลงจุดบนวงกลม มันถูกแบ่งโดยจุด B
3. OS ส่วนถูกวาดในแนวตั้งฉากกับรัศมี OA จุด B และ C เชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรง
4. ขั้นตอนต่อไปคือการพล็อตความยาวของส่วน BC ด้วยเข็มทิศบนเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง จุด D ปรากฏตั้งฉากกับส่วน OA จุด B และ D เชื่อมต่อกัน สร้างส่วนใหม่
5. เพื่อให้ได้ขนาดด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยมคุณต้องเชื่อมต่อจุด C และ D
6. D ด้วยความช่วยเหลือของเข็มทิศจะถูกถ่ายโอนไปยังวงกลมและระบุด้วยจุด E เมื่อเชื่อมต่อ E และ C คุณจะได้ด้านแรกของรูปห้าเหลี่ยมปกติ ทำตามคำแนะนำนี้ คุณจะได้เรียนรู้วิธีสร้างรูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันอย่างรวดเร็ว และสร้างด้านอื่นๆ ต่อไปเหมือนด้านแรก

ในรูปห้าเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน เส้นทแยงมุมจะเท่ากันและเป็นรูปดาวห้าแฉกซึ่งเรียกว่ารูปดาวห้าแฉก อัตราส่วนทองคำคืออัตราส่วนของขนาดของเส้นทแยงมุมต่อด้านข้างของห้าเหลี่ยม

เพนตากอนไม่เหมาะสำหรับการเติมเครื่องบินให้เต็ม การใช้วัสดุใด ๆ ในแบบฟอร์มนี้ทำให้เกิดช่องว่างหรือแบบฟอร์มทับซ้อนกัน แม้ว่าผลึกธรรมชาติของรูปแบบนี้จะไม่มีอยู่ในธรรมชาติ แต่เมื่อน้ำแข็งก่อตัวบนพื้นผิวของผลิตภัณฑ์ทองแดงที่เรียบ โมเลกุลในรูปของห้าเหลี่ยมจะปรากฏขึ้นซึ่งเชื่อมต่อกันเป็นสายโซ่

วิธีที่ง่ายที่สุดในการรับรูปห้าเหลี่ยมปกติจากแถบกระดาษคือการมัดเป็นปมแล้วกดลงเล็กน้อย วิธีนี้มีประโยชน์สำหรับผู้ปกครองของเด็กก่อนวัยเรียนที่ต้องการสอนลูกวัยเตาะแตะให้รู้จักรูปทรงเรขาคณิต

วิดีโอ

ดูวิธีที่คุณสามารถวาดรูปห้าเหลี่ยมได้อย่างรวดเร็ว

สร้างเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติจารึกไว้ในวงกลม

การสร้างรูปหกเหลี่ยมนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าด้านนั้นเท่ากับรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ ดังนั้นในการสร้างก็เพียงพอที่จะแบ่งวงกลมออกเป็นหกส่วนเท่า ๆ กันและเชื่อมต่อจุดที่พบเข้าด้วยกัน

สามารถสร้างรูปหกเหลี่ยมปกติได้โดยใช้รูปตัว T และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 30X60° ในการดำเนินการก่อสร้างนี้ เราใช้เส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนของวงกลมเป็นเส้นแบ่งครึ่งของมุม 1 และ 4 สร้างด้าน 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 และ 7 - 2 หลังจากนั้นเราวาดด้าน 5 - 6 และ 3 - 2.

จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวสามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้เข็มทิศและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุม 30 และ 60 ° หรือเข็มทิศเพียงอันเดียว พิจารณาสองวิธีในการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าในวงกลม

วิธีแรก(รูปที่ 61, a) ขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่ามุมทั้งสามของสามเหลี่ยม 7, 2, 3 แต่ละมุมมี 60 ° และเส้นแนวตั้งที่ลากผ่านจุด 7 เป็นทั้งความสูงและเส้นแบ่งครึ่งของมุม 1 เนื่องจาก มุม 0 - 1 - 2 เท่ากับ 30° จากนั้น เพื่อหาด้าน 1 - 2 ก็เพียงพอที่จะสร้างมุม 30° จากจุดที่ 1 และด้าน 0 - 1 ในการทำเช่นนี้ให้ตั้งค่า T-square และสี่เหลี่ยมจัตุรัสดังที่แสดงในรูป ลากเส้น 1 - 2 ซึ่งจะเป็นด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมที่ต้องการ ในการสร้างด้าน 2 - 3 ให้ตั้ง T-square ไปที่ตำแหน่งที่แสดงโดยเส้นประ และลากเส้นตรงผ่านจุดที่ 2 ซึ่งจะกำหนดจุดยอดที่สามของสามเหลี่ยม

วิธีที่สองขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าถ้าคุณสร้างรูปหกเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลม แล้วเชื่อมต่อจุดยอดผ่านจุดหนึ่ง คุณจะได้รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ในการสร้างรูปสามเหลี่ยม เราทำเครื่องหมายจุดยอด 1 บนเส้นผ่านศูนย์กลางแล้ววาดเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 - 4 นอกจากนี้ จากจุดที่ 4 ที่มีรัศมีเท่ากับ D / 2 เราจะอธิบายส่วนโค้งจนกว่าจะตัดกับวงกลมที่จุดที่ 3 และ 2. จุดผลลัพธ์จะเป็นจุดยอดอีกสองจุดของรูปสามเหลี่ยมที่ต้องการ

การก่อสร้างนี้สามารถทำได้โดยใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสและวงเวียน

วิธีแรกขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสตัดกันที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบและเอียงไปยังแกนของมันที่มุม 45° จากนี้เราติดตั้ง T-square และสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีมุม 45 °ดังแสดงในรูปที่ 62, a และทำเครื่องหมายจุดที่ 1 และ 3 นอกจากนี้ เราวาดด้านแนวนอนของสี่เหลี่ยมจตุรัส 4 - 1 และ 3 -2 ด้วยความช่วยเหลือของจุดเหล่านี้ผ่านจุดเหล่านี้ 4 - 1 และ 3 -2 จากนั้นใช้ T-Square ที่ขาของสี่เหลี่ยม เราวาดด้านแนวตั้งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 1 - 2 และ 4 - 3

วิธีที่สองขึ้นอยู่กับความจริงที่ว่าจุดยอดของสี่เหลี่ยมแบ่งครึ่งส่วนโค้งของวงกลมที่ปิดอยู่ระหว่างปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง เราทำเครื่องหมายจุด A, B และ C ที่ส่วนท้ายของเส้นผ่านศูนย์กลางที่ตั้งฉากกันสองเส้นผ่านศูนย์กลาง และจากจุดเหล่านั้นด้วยรัศมี y เราจะอธิบายส่วนโค้งจนกว่าพวกมันจะตัดกัน

นอกจากนี้ผ่านจุดตัดของส่วนโค้งเราวาดเส้นเสริมโดยทำเครื่องหมายด้วยเส้นทึบบนร่าง จุดตัดกับวงกลมจะกำหนดจุดยอด 1 และ 3; 4 และ 2. จุดยอดของกำลังสองที่ต้องการด้วยวิธีนี้จะต่ออนุกรมกัน

สร้างเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติจารึกเป็นวงกลม

ในการสลักรูปห้าเหลี่ยมปกติในวงกลม เราทำสิ่งก่อสร้างต่อไปนี้ เราทำเครื่องหมายจุดที่ 1 บนวงกลมและถือเป็นจุดยอดหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยม แบ่งส่วน AO ออกเป็นสองส่วน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ด้วยรัศมี AO จากจุด A เราอธิบายส่วนโค้งไปยังจุดตัดกับวงกลมที่จุด M และ B เมื่อเชื่อมต่อจุดเหล่านี้ด้วยเส้นตรง เราจะได้จุด K ซึ่งเราจะเชื่อมต่อกับจุดที่ 1 ด้วยรัศมีเท่ากับส่วน A7 เราอธิบายส่วนโค้งจากจุด K ถึงจุดตัดด้วยเส้นเส้นผ่านศูนย์กลาง AO ที่จุด H การเชื่อมต่อจุดที่ 1 กับจุด H เราจะได้ด้านข้างของรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นเมื่อเปิดเข็มทิศเท่ากับส่วน 1H อธิบายส่วนโค้งจากจุดยอด 1 ถึงจุดตัดกับวงกลมเราจะพบจุดยอด 2 และ 5 เมื่อทำรอยบากจากจุดยอด 2 และ 5 ด้วยการเปิดเข็มทิศเดียวกัน เราจะได้ส่วนที่เหลือ จุดยอด 3 และ 4 เราเชื่อมต่อจุดที่พบตามลำดับซึ่งกันและกัน

สร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติโดยให้ด้านข้าง

ในการสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติตามด้านที่กำหนด (รูปที่ 64) เราแบ่งส่วน AB ออกเป็นหกส่วนเท่าๆ กัน จากจุด A และ B ที่มีรัศมี AB เราอธิบายส่วนโค้ง จุดตัดที่จะให้จุด K ผ่านจุดนี้และส่วนที่ 3 บนเส้น AB เราวาดเส้นแนวตั้ง เพิ่มเติมจากจุด K บนเส้นตรงนี้ เราแยกส่วนที่เท่ากับ 4/6 AB เราได้จุดที่ 1 - จุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม จากนั้นด้วยรัศมีเท่ากับ AB จากจุดที่ 1 เราอธิบายส่วนโค้งไปยังจุดตัดกับส่วนโค้งที่วาดก่อนหน้านี้จากจุด A และ B จุดตัดของส่วนโค้งกำหนดจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม 2 และ 5 เราเชื่อมต่อที่พบ จุดยอดอนุกรมกัน

สร้างเป็นรูปห้าเหลี่ยมจารึกเป็นวงกลม

ให้กำหนดวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง D คุณต้องใส่รูปหกเหลี่ยมปกติลงไป (รูปที่ 65) แบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้งของวงกลมออกเป็นเจ็ดส่วนเท่าๆ กัน จากจุดที่ 7 ที่มีรัศมีเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม D เราอธิบายส่วนโค้งจนกระทั่งมันตัดกับความต่อเนื่องของเส้นผ่านศูนย์กลางแนวนอนที่จุด F จุด F เรียกว่าขั้วของรูปหลายเหลี่ยม ใช้จุด VII เป็นหนึ่งในจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยม เราวาดรังสีจากขั้ว F ผ่านการแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้งที่เท่ากัน จุดตัดกับวงกลมจะเป็นตัวกำหนดจุดยอด VI, V และ IV ของรูปเจ็ดเหลี่ยม ในการรับจุดยอด / - // - /// จากจุด IV, V และ VI เราวาดเส้นแนวนอนจนกว่าจะตัดกับวงกลม เราเชื่อมต่อจุดยอดที่พบในอนุกรมเข้าด้วยกัน รูปห้าเหลี่ยมสามารถสร้างได้โดยการวาดรังสีจากขั้ว F และผ่านการแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางแนวตั้งแบบคี่

วิธีการข้างต้นเหมาะสำหรับการสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีด้านกี่ด้านก็ได้

การแบ่งวงกลมออกเป็นจำนวนเท่าๆ กันสามารถทำได้โดยใช้ข้อมูลในตาราง 2 ซึ่งแสดงค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้สามารถกำหนดขนาดของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ได้

ความยาวด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้

คอลัมน์แรกของตารางนี้แสดงจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เขียนไว้ และคอลัมน์ที่สองแสดงค่าสัมประสิทธิ์ ความยาวของด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดได้โดยการคูณรัศมีของวงกลมที่กำหนดด้วยปัจจัยที่สอดคล้องกับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมนี้

พจนานุกรมอธิบายของ Ozhegov กล่าวว่ารูปห้าเหลี่ยมนั้นล้อมรอบด้วยเส้นตรงห้าเส้นตัดกันซึ่งสร้างมุมภายในห้ามุม เช่นเดียวกับวัตถุใด ๆ ที่มีรูปร่างคล้ายกัน หากรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนดมีด้านและมุมเท่ากันทั้งหมด จะเรียกว่ารูปห้าเหลี่ยมปกติ

สิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับห้าเหลี่ยมปกติคืออะไร?

ในรูปแบบนี้สร้างอาคารที่มีชื่อเสียงของกระทรวงกลาโหมสหรัฐอเมริกา ในบรรดารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติขนาดใหญ่นั้น มีเพียงรูปทรงห้าเหลี่ยมเท่านั้นที่มีใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยม และโดยธรรมชาติแล้วไม่มีคริสตัลเลยซึ่งใบหน้าจะคล้ายกับรูปห้าเหลี่ยมทั่วไป นอกจากนี้ ตัวเลขนี้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนมุมขั้นต่ำซึ่งไม่สามารถใช้เพื่อปูกระเบื้องพื้นที่ได้ มีเพียงรูปห้าเหลี่ยมเท่านั้นที่มีจำนวนเส้นทแยงมุมเท่ากับด้านของมัน เห็นด้วยมันน่าสนใจ!

คุณสมบัติและสูตรพื้นฐาน

เมื่อใช้สูตรสำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติตามอำเภอใจ คุณสามารถกำหนดพารามิเตอร์ที่จำเป็นทั้งหมดที่เป็นรูปห้าเหลี่ยมได้

• มุมศูนย์กลาง α = 360 / n = 360/5 = 72°
• มุมภายใน β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108° ดังนั้น ผลรวมของมุมภายในคือ 540°
• อัตราส่วนของเส้นทแยงมุมไปด้านข้างคือ (1+√5)/2 นั่นคือ (ประมาณ 1.618)
• ความยาวของด้านที่มีรูปห้าเหลี่ยมปกติสามารถคำนวณได้โดยใช้หนึ่งในสามสูตร ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ทราบอยู่แล้ว:

• ถ้าวงกลมล้อมรอบและทราบรัศมี R แล้ว a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• ในกรณีที่วงกลมที่มีรัศมี r ถูกจารึกไว้ในรูปห้าเหลี่ยมปกติ a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1.453*r;
• มันเกิดขึ้นที่ทราบค่าของเส้นทแยงมุม D แทนรัศมีจากนั้นด้านจะถูกกำหนดดังนี้: a ≈ D / 1.618

• พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมปกติถูกกำหนดอีกครั้งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เรารู้:
• หากมีวงกลมที่จารึกไว้หรือล้อมรอบ จะใช้หนึ่งในสองสูตร:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r หรือ S \u003d (n * R 2 * บาป α) / 2 ≈ 2.3776 * R 2;

• นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดพื้นที่ได้โดยรู้เพียงความยาวของด้าน a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1.7205 * a 2

รูปห้าเหลี่ยมปกติ: การก่อสร้าง

รูปทรงเรขาคณิตนี้สามารถสร้างได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น จารึกไว้ในวงกลมที่มีรัศมีที่กำหนด หรือสร้างตามด้านข้างที่กำหนด ลำดับของการกระทำได้อธิบายไว้ใน Euclid's Elements ประมาณ 300 ปีก่อนคริสตกาล ไม่ว่าในกรณีใดเราต้องการเข็มทิศและไม้บรรทัด พิจารณาวิธีการสร้างโดยใช้วงกลมที่กำหนด

1. เลือกรัศมีตามอำเภอใจแล้ววาดวงกลมโดยทำเครื่องหมายที่จุด O ตรงกลาง

2. บนเส้นวงกลม เลือกจุดที่จะใช้เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมของเรา ให้เป็นจุด A เชื่อมต่อจุด O และ A ด้วยเส้นตรง

3. ลากเส้นผ่านจุด O ตั้งฉากกับเส้น OA ทำเครื่องหมายจุดที่เส้นนี้ตัดกับเส้นวงกลมเป็นจุด B

4. ตรงกลางของระยะห่างระหว่างจุด O และ B ให้สร้างจุด C

5. ตอนนี้วาดวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางจะอยู่ที่จุด C และจะผ่านจุด A จุดตัดกับเส้น OB (จะอยู่ในวงกลมแรก) จะเป็นจุด D

6. สร้างวงกลมผ่าน D ซึ่งจุดศูนย์กลางจะอยู่ที่ A จุดตัดกับวงกลมเดิมจะต้องทำเครื่องหมายด้วยจุด E และ F

7. ตอนนี้สร้างวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางจะอยู่ใน E คุณต้องทำสิ่งนี้เพื่อให้ผ่าน A ต้องระบุจุดตัดอื่นของวงกลมเดิม

8. สุดท้าย วาดวงกลมผ่าน A ตรงกลางที่จุด F ทำเครื่องหมายจุดตัดอีกอันของวงกลมเดิมด้วยจุด H

9. ตอนนี้เหลือเพียงการเชื่อมต่อจุดยอด A, E, G, H, F รูปห้าเหลี่ยมปกติของเราจะพร้อมแล้ว!

5.3. ห้าเหลี่ยมทองคำ การสร้างยุคลิด

ตัวอย่างที่ยอดเยี่ยมของ "ส่วนสีทอง" คือรูปห้าเหลี่ยมปกติ - นูนและรูปดาว (รูปที่ 5)

ในการสร้างรูปห้าเหลี่ยม คุณต้องสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ

ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม A เป็นจุดบนวงกลม และ E เป็นจุดกึ่งกลางของส่วน OA ตั้งฉากกับรัศมี OA ซึ่งคืนค่าที่จุด O ตัดกับวงกลมที่จุด D ใช้เข็มทิศ ทำเครื่องหมายส่วน CE = ED บนเส้นผ่านศูนย์กลาง ความยาวของด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ในวงกลมคือ DC เราแยกส่วน DC ไว้บนวงกลมและได้รับห้าคะแนนสำหรับการวาดรูปห้าเหลี่ยมปกติ เราเชื่อมต่อมุมของรูปห้าเหลี่ยมผ่านเส้นทแยงมุมหนึ่งเส้นและรับรูปดาวห้าแฉก เส้นทแยงมุมทั้งหมดของรูปห้าเหลี่ยมแบ่งกันเป็นส่วนที่เชื่อมต่อกันด้วยอัตราส่วนทองคำ

ปลายแต่ละด้านของดาวห้าเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมทองคำ ด้านข้างทำมุม 36° ที่ด้านบน และฐานที่วางด้านข้างจะแบ่งส่วนที่เป็นสีทองตามสัดส่วน

นอกจากนี้ยังมีลูกบาศก์ทองคำ - นี่คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบที่มีความยาว 1.618, 1 และ 0.618

ตอนนี้พิจารณาข้อพิสูจน์ที่ Euclid เสนอใน Elements

จากจุดศูนย์กลางของวงกลม เริ่มต้นด้วย

ส่วน ABE แบ่งตรงกลางและ

ดังนั้นให้ AC = AE แสดงด้วยมุม EBC และ CEB ที่เท่ากัน เนื่องจาก AC=AE มุม ACE จึงเท่ากับ a ทฤษฎีบทที่ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศาช่วยให้คุณหามุมทั้งหมดได้ นั่นคือ 180-2a และมุม EAC คือ 3a - 180 แต่มุม ABC คือ 180-a สรุปมุมของสามเหลี่ยม ABC เราได้

180=(3ก -180) + (3ก-180) + (180 - ก)

โดยที่ 5a=360 ดังนั้น a=72

ดังนั้น แต่ละมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม BEC จะเป็นสองเท่าของมุมด้านบน เท่ากับ 36 องศา ดังนั้น เพื่อสร้างรูปห้าเหลี่ยมปกติ จำเป็นต้องวาดวงกลมใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด E ตัดกับ EC ที่จุด X และด้าน EB ที่จุด Y เท่านั้น: ส่วน XY คือด้านหนึ่งของรูปห้าเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้ใน วงกลม; เดินไปรอบ ๆ วงกลมทั้งหมดคุณจะพบด้านอื่น ๆ ทั้งหมด

ตอนนี้เราพิสูจน์แล้วว่า AC = AE สมมติว่าจุดยอด C เชื่อมต่อกันด้วยส่วนของเส้นตรงไปยังจุดกึ่งกลาง N ของส่วน BE โปรดทราบว่าเนื่องจาก CB = CE ดังนั้นมุม CNE จึงเป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

ดังนั้นเราจึงมี (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

ดังนั้น AC = ja = jAB = AE ซึ่งจะต้องพิสูจน์

5.4 เกลียวของอาร์คิมิดีส

การตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสี่เหลี่ยมผืนผ้าสีทองไปจนถึงระยะอนันต์ตามลำดับ แต่ละครั้งที่เชื่อมต่อจุดตรงข้ามด้วยหนึ่งในสี่ของวงกลม เราจะได้เส้นโค้งที่ค่อนข้างสวยงาม ความสนใจครั้งแรกถูกดึงดูดโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณชื่ออาร์คิมิดีสซึ่งเธอมีชื่อ เขาศึกษามันและอนุมานสมการของเกลียวนี้

ปัจจุบันเกลียวอาร์คิมิดีสถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในด้านเทคโนโลยี

6. ตัวเลขฟีโบนัชชี

ชื่อของ Leonardo นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีจากเมืองปิซาซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อเล่นของเขาว่า Fibonacci (Fibonacci เป็นตัวย่อของ filius Bonacci นั่นคือลูกชายของ Bonacci) มีความเกี่ยวข้องทางอ้อมกับอัตราส่วนทองคำ

ในปี 1202 เขาเขียนหนังสือ "Liber abacci" นั่นคือ "The Book of the abacus" "Liber abacci" เป็นผลงานชิ้นโตที่บรรจุความรู้ทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตเกือบทั้งหมดในยุคนั้น และมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุโรปตะวันตกในอีกไม่กี่ศตวรรษข้างหน้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากหนังสือเล่มนี้ชาวยุโรปเริ่มคุ้นเคยกับตัวเลขฮินดู ("อาหรับ")

เนื้อหาที่รายงานในหนังสือเล่มนี้ได้อธิบายถึงปัญหาจำนวนมากที่เป็นส่วนสำคัญของบทความนี้

พิจารณาปัญหาดังกล่าว:

กระต่าย 1 คู่เกิดกี่คู่ใน 1 ปี?

มีคนวางกระต่ายคู่หนึ่งไว้ในสถานที่แห่งหนึ่ง มีกำแพงล้อมรอบทุกด้าน เพื่อดูว่าปีนี้จะมีกระต่ายกี่คู่ ถ้าตามธรรมชาติของกระต่ายเป็นเช่นนั้น ในหนึ่งเดือนจะมีคู่หนึ่ง กระต่ายจะสืบพันธุ์อีกตัว และกระต่ายจะคลอดลูกตั้งแต่เดือนที่ 2 หลังคลอด "

ตอนนี้เรามาเปลี่ยนจากกระต่ายเป็นตัวเลขและพิจารณาลำดับตัวเลขต่อไปนี้:

คุณ 1 , คุณ 2 … คุณ น

ซึ่งแต่ละพจน์จะเท่ากับผลบวกของสองพจน์ก่อนหน้า นั่นคือ สำหรับ n>2 ใดๆ

คุณ n \u003d คุณ n -1 + คุณ n -2.

ลำดับนี้แบบไม่แสดงอาการ (เข้าใกล้มากขึ้นและช้าลง) มีแนวโน้มที่จะมีความสัมพันธ์คงที่ อย่างไรก็ตาม อัตราส่วนนี้เป็นจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ เป็นตัวเลขที่มีลำดับทศนิยมเป็นจำนวนอนันต์และคาดเดาไม่ได้ในส่วนที่เป็นเศษส่วน ไม่สามารถแสดงออกมาได้อย่างแน่ชัด

หากสมาชิกใดๆ ของลำดับฟีโบนัชชีถูกหารด้วยสมาชิกก่อนหน้า (เช่น 13:8) ผลลัพธ์จะเป็นค่าที่ผันผวนรอบๆ ค่าอตรรกยะ 1.61803398875... และบางครั้งก็เกิน บางครั้งก็ไม่ถึง

พฤติกรรมซีมโทติคของลำดับ ความผันผวนที่ลดลงของอัตราส่วนรอบจำนวนอตรรกยะ Φ สามารถเข้าใจได้มากขึ้นหากเราแสดงอัตราส่วนของพจน์แรกหลายพจน์ของลำดับ ตัวอย่างนี้แสดงความสัมพันธ์ของพจน์ที่สองกับพจน์แรก พจน์ที่สามกับพจน์ที่สอง พจน์ที่สี่กับพจน์ที่สาม และอื่น ๆ:

1:1 = 1.0000 ซึ่งน้อยกว่า phi เท่ากับ 0.6180

2:1 = 2.0000 ซึ่งมากกว่า 0.3820 พี

3:2 = 1.5000 ซึ่งน้อยกว่า phi เท่ากับ 0.1180

5:3 = 1.6667 ซึ่งมากกว่า 0.0486 พี

8:5 = 1.6000 ซึ่งน้อยกว่า phi 0.0180

เมื่อคุณเลื่อนไปตามลำดับผลบวกฟีโบนัชชี คำศัพท์ใหม่แต่ละคำจะแบ่งคำศัพท์ถัดไปด้วยการประมาณที่มากขึ้นเรื่อยๆ ให้กับค่า F ที่ไม่สามารถบรรลุได้

คน ๆ หนึ่งแสวงหาสัดส่วนของพระเจ้าโดยไม่รู้ตัว: มันเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อตอบสนองความต้องการความสะดวกสบายของเขา

เมื่อหารสมาชิกใดๆ ของลำดับฟีโบนัชชีด้วยสมาชิกถัดไป เราจะได้ส่วนกลับของ 1.618 (1: 1.618=0.618) แต่นี่ก็เป็นปรากฏการณ์ที่ไม่ธรรมดาและน่าทึ่งเช่นกัน เนื่องจากอัตราส่วนเดิมเป็นเศษส่วนอนันต์ อัตราส่วนนี้จึงไม่ควรสิ้นสุดด้วย

เมื่อหารแต่ละหมายเลขด้วยตัวเลขถัดไป เราจะได้ตัวเลข 0.382

การเลือกอัตราส่วนด้วยวิธีนี้ทำให้เราได้ค่าสัมประสิทธิ์ฟีโบนัชชีชุดหลัก: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236 เรายังพูดถึง 0.5 อีกด้วย อัตราส่วนทั้งหมดนี้มีบทบาทพิเศษโดยธรรมชาติและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ทางเทคนิค

ควรสังเกตว่า Fibonacci เตือนมนุษยชาติถึงลำดับของมันเท่านั้น เนื่องจากเป็นที่รู้จักกันในชื่อ Golden Section ในสมัยโบราณ

ดังที่เราได้เห็นอัตราส่วนทองคำเกิดขึ้นจากรูปห้าเหลี่ยมปกติ ดังนั้นตัวเลขฟีโบนัชชีจึงมีบทบาทในทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับห้าเหลี่ยมปกติ - รูปนูนและรูปดาว

อนุกรมฟีโบนัชชีอาจเป็นเพียงเหตุการณ์ทางคณิตศาสตร์หากไม่ใช่เพราะข้อเท็จจริงที่ว่านักวิจัยทุกคนของการแบ่งทองคำในพืชและสัตว์โลก ไม่พูดถึงศิลปะ มาที่ซีรีส์นี้อย่างสม่ำเสมอในฐานะการแสดงออกทางเลขคณิตของกฎการแบ่งทองคำ . นักวิทยาศาสตร์ยังคงพัฒนาทฤษฎีจำนวนฟีโบนัชชีและอัตราส่วนทองคำอย่างต่อเนื่อง Yu. Matiyasevich โดยใช้ตัวเลข Fibonacci แก้ปัญหาที่ 10 ของ Hilbert (ในการแก้สมการ Diophantine) มีวิธีการที่ยอดเยี่ยมในการแก้ปัญหาทางไซเบอร์เนติกส์จำนวนหนึ่ง (ทฤษฎีการค้นหา เกม การเขียนโปรแกรม) โดยใช้ตัวเลขฟีโบนัชชีและส่วนสีทอง ในสหรัฐอเมริกา แม้แต่สมาคมฟีโบนัชชีทางคณิตศาสตร์ก็กำลังถูกสร้างขึ้น ซึ่งเผยแพร่วารสารพิเศษมาตั้งแต่ปี 1963

หนึ่งในความสำเร็จในด้านนี้คือการค้นพบตัวเลขฟีโบนัชชีทั่วไปและอัตราส่วนทองคำทั่วไป อนุกรมฟีโบนัชชี (1, 1, 2, 3, 5, 8) และชุดตัวเลข "ไบนารี่" ที่เขาค้นพบ 1, 2, 4, 8, 16 ... (นั่นคือชุดของตัวเลขสูงสุด n โดยที่จำนวนธรรมชาติใดๆ ที่น้อยกว่า n สามารถแสดงเป็นผลรวมของจำนวนบางตัวในอนุกรมนี้) เมื่อมองแวบแรก ตัวเลขเหล่านี้แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง แต่อัลกอริธึมสำหรับการก่อสร้างนั้นคล้ายคลึงกันมาก: ในกรณีแรก แต่ละหมายเลขคือผลรวมของหมายเลขก่อนหน้าโดยตัวมันเอง 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ... ในวินาที - นี่คือผลรวมของสองตัวเลขก่อนหน้า 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... เป็นไปได้ไหม เพื่อหาสูตรทางคณิตศาสตร์ทั่วไปจากชุดใดและ " ชุดเลขฐานสอง และชุดฟีโบนัชชี

อันที่จริง เรามาตั้งค่าพารามิเตอร์ตัวเลข S ซึ่งสามารถรับค่าใดก็ได้: 0, 1, 2, 3, 4, 5... แยกจากค่าก่อนหน้าด้วยขั้นตอน S หากเราระบุสมาชิกตัวที่ n ของอนุกรมนี้ด้วย S (n) เราจะได้สูตรทั่วไป S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1)

เห็นได้ชัดว่า ด้วย S = 0 จากสูตรนี้ เราจะได้อนุกรม "ไบนารี" โดยมี S = 1 - อนุกรมฟีโบนัชชี โดย S = 2, 3, 4 ชุดตัวเลขใหม่ ซึ่งเรียกว่าตัวเลข S-Fibonacci

โดยทั่วไปแล้ว สัดส่วน S สีทองคือรากบวกของสมการส่วน S สีทอง x S+1 – x S – 1 = 0

ง่ายต่อการแสดงให้เห็นว่าที่ S = 0 จะได้การแบ่งครึ่งส่วน และที่ S = 1 จะได้อัตราส่วนทองคำแบบคลาสสิกที่คุ้นเคย

อัตราส่วนของ Fibonacci S-number ที่อยู่ใกล้เคียงซึ่งมีความแม่นยำทางคณิตศาสตร์สัมบูรณ์ตรงกับขีดจำกัดของสัดส่วน S สีทอง! นั่นคือ ส่วน S สีทองคือค่าคงที่ของตัวเลข Fibonacci S-numbers

7. หมวดทองในงานศิลปะ

7.1. ส่วนสีทองในภาพวาด

หันไปดูตัวอย่าง "ส่วนสีทอง" ในภาพวาด เราหยุดความสนใจในงานของเลโอนาร์โด ดา วินชีไม่ได้ ตัวตนของเขาเป็นหนึ่งในความลึกลับของประวัติศาสตร์ Leonardo da Vinci กล่าวว่า: "อย่าให้ใครก็ตามที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์กล้าที่จะอ่านผลงานของฉัน"

ไม่ต้องสงสัยเลยว่า Leonardo da Vinci เป็นศิลปินที่ยิ่งใหญ่คนรุ่นเดียวกันของเขารับรู้สิ่งนี้แล้ว แต่บุคลิกและกิจกรรมของเขาจะยังคงปกคลุมไปด้วยความลึกลับเนื่องจากเขาจากไปเพื่อลูกหลานไม่ใช่การนำเสนอความคิดที่สอดคล้องกัน แต่มีเพียงภาพร่างและโน้ตที่เขียนด้วยลายมือจำนวนมาก ที่กล่าวว่า “ทั้งคนทั้งโลก”

ภาพเหมือนของ Monna Lisa (Gioconda) ดึงดูดความสนใจของนักวิจัยมาเป็นเวลาหลายปี ซึ่งพบว่าองค์ประกอบของภาพวาดนั้นมีพื้นฐานมาจากสามเหลี่ยมทองคำซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของห้าเหลี่ยมดาวปกติ

นอกจากนี้สัดส่วนของส่วนสีทองยังปรากฏในภาพวาดของ Shishkin ในภาพวาดที่มีชื่อเสียงนี้โดย I. I. Shishkin ลวดลายของส่วนสีทองจะมองเห็นได้ชัดเจน ต้นสนที่มีแสงสว่างจ้า (ยืนอยู่เบื้องหน้า) แบ่งความยาวของภาพตามอัตราส่วนทองคำ ทางด้านขวาของต้นสนเป็นเนินเขาที่ส่องแสงจากดวงอาทิตย์ มันแบ่งด้านขวาของภาพในแนวนอนตามอัตราส่วนทองคำ

ภาพวาดของราฟาเอล "การสังหารหมู่ของผู้บริสุทธิ์" แสดงองค์ประกอบอื่นของอัตราส่วนทองคำ - เกลียวทอง ในภาพร่างเตรียมการของราฟาเอล เส้นสีแดงถูกวาดโดยวิ่งจากศูนย์กลางความหมายขององค์ประกอบ - จุดที่นิ้วของนักรบปิดรอบข้อเท้าของเด็ก - ตามร่างของเด็ก ผู้หญิงจับเขาไว้กับตัวเอง นักรบที่มี ยกดาบขึ้นแล้วไปตามร่างของกลุ่มเดียวกันทางด้านขวาของภาพร่าง ไม่มีใครรู้ว่าราฟาเอลสร้างเกลียวทองคำหรือรู้สึกถึงมันหรือไม่

ที. คุกใช้ส่วนสีทองเมื่อวิเคราะห์ภาพวาดโดย Sandro Botticelli "The Birth of Venus"

7.2. ปิรามิดแห่งส่วนสีทอง

คุณสมบัติทางการแพทย์ของปิรามิดโดยเฉพาะส่วนที่เป็นสีทองนั้นเป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง ตามความคิดเห็นที่พบบ่อยที่สุดห้องที่มีปิรามิดตั้งอยู่นั้นดูใหญ่ขึ้นและอากาศก็โปร่งใสมากขึ้น ความฝันเริ่มเป็นที่จดจำได้ดีขึ้น เป็นที่รู้จักกันว่าอัตราส่วนทองคำถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในสถาปัตยกรรมและประติมากรรม ตัวอย่างเช่น: วิหารแพนธีออนและวิหารพาร์เธนอนในกรีซ อาคารของสถาปนิก Bazhenov และ Malevich

8. บทสรุป

ต้องบอกว่าอัตราส่วนทองคำมีประโยชน์อย่างมากในชีวิตของเรา

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าร่างกายมนุษย์ถูกแบ่งตามสัดส่วนของอัตราส่วนทองคำด้วยเส้นเข็มขัด

เปลือกของหอยโข่งบิดเป็นเกลียวทอง

ด้วยอัตราส่วนทองคำทำให้ค้นพบแถบดาวเคราะห์น้อยระหว่างดาวอังคารและดาวพฤหัสบดี - ตามสัดส่วนควรมีดาวเคราะห์ดวงอื่นอยู่ที่นั่น

การกระตุ้นของสตริงที่จุดที่แบ่งตามส่วนสีทองจะไม่ทำให้สตริงสั่น นั่นคือนี่คือจุดชดเชย

บนเครื่องบินที่มีแหล่งพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้า จะมีการสร้างเซลล์สี่เหลี่ยมที่มีสัดส่วนของส่วนสีทอง

Gioconda สร้างขึ้นบนสามเหลี่ยมทองคำ เกลียวทองมีอยู่ในภาพวาด "Massacre of the Innocents" ของ Raphael

สัดส่วนที่พบในภาพวาดของ Sandro Botticelli "The Birth of Venus"

มีอนุสรณ์สถานทางสถาปัตยกรรมหลายแห่งที่สร้างขึ้นโดยใช้อัตราส่วนทองคำ รวมทั้งวิหารแพนธีออนและวิหารพาร์เธนอนในกรุงเอเธนส์ อาคารของสถาปนิก Bazhenov และ Malevich

จอห์น เคปเลอร์ ซึ่งมีชีวิตอยู่เมื่อ 5 ศตวรรษก่อน เป็นเจ้าของคำกล่าวที่ว่า "เรขาคณิตมีสมบัติล้ำค่าสองอย่าง อย่างแรกคือทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างที่สองคือการแบ่งส่วนในอัตราส่วนสุดโต่งและอัตราส่วนเฉลี่ย"

บรรณานุกรม

1. ด. พิโดว์ เรขาคณิตและศิลปะ – ม.: มีร์, 2522.

2. วารสาร "วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี"

3. นิตยสาร "ควอนตัม", 2516, ฉบับที่ 8

4. วารสาร "คณิตศาสตร์ที่โรงเรียน", 2537, ฉบับที่ 2; หมายเลข 3

5. โควาเลฟ เอฟ.วี. ส่วนสีทองในภาพวาด K.: โรงเรียนวิสชา 2532

6. Stakhov A. รหัสของอัตราส่วนทองคำ

7. Vorobyov N.N. "ตัวเลขฟีโบนัชชี" - ม.: Nauka 1964

8. "คณิตศาสตร์ - สารานุกรมสำหรับเด็ก" ม.: Avanta +, 1998

9. ข้อมูลจากอินเทอร์เน็ต

เมทริกซ์ Fibonacci และเมทริกซ์ "ทองคำ" ที่เรียกว่า เลขคณิตคอมพิวเตอร์ใหม่ ทฤษฎีการเข้ารหัสใหม่ และทฤษฎีการเข้ารหัสใหม่ สาระสำคัญของวิทยาศาสตร์ใหม่คือการแก้ไขคณิตศาสตร์ทั้งหมดจากมุมมองของส่วนสีทองโดยเริ่มจาก Pythagoras ซึ่งแน่นอนว่าจะนำมาซึ่งผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ใหม่และน่าสนใจอย่างแน่นอนในทฤษฎี ในแง่ปฏิบัติ - การใช้คอมพิวเตอร์ "ทองคำ" และเพราะว่า...

ผลลัพธ์นี้จะไม่ได้รับผลกระทบ พื้นฐานของอัตราส่วนทองคำเป็นค่าคงที่ของอัตราส่วนแบบเรียกซ้ำ 4 และ 6 สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึง "ความมั่นคง" ของส่วนทองคำซึ่งเป็นหนึ่งในหลักการของการจัดระเบียบสิ่งมีชีวิต นอกจากนี้ พื้นฐานของอัตราส่วนทองคำคือคำตอบของลำดับการวนซ้ำที่แปลกใหม่สองลำดับ (รูปที่ 4) 4 ลำดับ Fibonacci แบบเรียกซ้ำ ดังนั้น...

หูคือ j5 และระยะห่างจากหูถึงมงกุฎคือ j6 ดังนั้น ในรูปปั้นนี้ เราจึงเห็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6 (รูปที่ 9) ดังนั้นอัตราส่วนทองคำจึงเป็นหนึ่งในหลักการพื้นฐานในศิลปะของกรีกโบราณ จังหวะของหัวใจและสมอง หัวใจมนุษย์เต้นสม่ำเสมอ - ประมาณ 60 ครั้งต่อนาทีขณะพัก หัวใจบีบตัวเหมือนลูกสูบ...