Kako narediti skeniranje - vzorec za stožec ali prisekan stožec določene velikosti. Enostaven izračun pometanja. Prostornina stožca, njegov izračun Prostornina brkov stožca

Med različnimi geometrijskimi telesi je eno najzanimivejših stožec. Nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od njegovih krakov.

Kako najti prostornino stožca - osnovni pojmi

Preden začnete računati prostornino stožca, se morate seznaniti z osnovnimi koncepti.

• Krožni stožec - osnova takšnega stožca je krog. Če je osnova elipsa, parabola ali hiperbola, se figure imenujejo eliptični, parabolični ali hiperbolični stožci. Ne smemo pozabiti, da imata zadnji dve vrsti stožcev neskončno prostornino.
• Prisekani stožec je del stožca, ki se nahaja med osnovo in ravnino, vzporedno s to osnovo, ki se nahaja med vrhom in osnovo.
• Višina - segment, pravokoten na podlago, sproščen z vrha.
• Generatrica stožca je segment, ki povezuje mejo baze in vrha.

Volumen stožca

Za izračun prostornine stožca se uporablja formula V=1/3*S*H, kjer je S osnovna površina, H je višina. Ker je osnova stožca krog, je njegova ploščina določena s formulo S= nR^2, kjer je n = 3,14, R je polmer kroga.

Obstaja situacija, ko nekateri parametri niso znani: višina, polmer ali generatrisa. V tem primeru se je vredno zateči k Pitagorejskemu izreku. Osni prerez stožca je enakokraki trikotnik, sestavljen iz dveh pravokotnih trikotnikov, kjer je l hipotenuza, H in R pa kraka. Potem je l=(H^2+R^2)^1/2.

Volumen prisekanega stožca

Prisekani stožec je stožec z odrezanim vrhom.

Če želite najti prostornino takšnega stožca, potrebujete formulo:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

kjer je n=3,14, r je polmer presečnega kroga, R je polmer velike osnove, H je višina.

Osni prerez prisekanega stožca bo enakokraki trapez. Če je torej treba najti dolžino generatrix stožca ali polmer enega od krogov, je vredno uporabiti formule za iskanje stranic in osnov trapeza.

Poiščite prostornino stožca, če je njegova višina 8 cm in osnovni polmer 3 cm.

Podano: H=8 cm, R=3 cm.

Najprej poiščite površino baze z uporabo formule S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Zdaj z uporabo formule V=1/3*S*H najdemo prostornino stožca.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Stožčaste figure najdemo povsod: parkirni stožci, stavbni stolpi, senčnik za svetilke. Zato lahko znanje, kako najti prostornino stožca, včasih pride prav tako v poklicnem kot vsakdanjem življenju.

Namesto besede "vzorec" se včasih uporablja "sweep", vendar je ta izraz dvoumen: na primer, povrtalo je orodje za povečanje premera luknje, v elektronski tehnologiji pa obstaja koncept povrtala. Torej, čeprav sem dolžan uporabiti besede "cone sweep", da lahko iskalniki po njih najdejo ta članek, bom uporabil besedo "vzorec".

Izdelava vzorca za stožec je preprosta stvar. Razmislimo o dveh primerih: za polni stožec in za prisekan. Na sliki (kliknite za povečavo) prikazane so skice takih stožcev in njihovi vzorci. (Takoj ugotavljam, da bomo govorili samo o ravnih stožcih z okroglo bazo. Stožce z ovalno bazo in nagnjene stožce bomo obravnavali v naslednjih člankih).

1. Polni konus

Oznake:

Parametri vzorca se izračunajo po formulah:
;
;
kje .

2. Prisekani stožec

Oznake:

Formule za izračun parametrov vzorca:
;
;
;
kje .
Upoštevajte, da so te formule primerne tudi za polni stožec, če nadomestimo .

Včasih je pri konstruiranju stožca temeljna vrednost kota na njegovem vrhu (ali na namišljenem vrhu, če je stožec prisekan). Najenostavnejši primer je, ko potrebujete en stožec, da se tesno prilega drugemu. Označimo ta kot s črko (glej sliko).
V tem primeru ga lahko uporabimo namesto ene od treh vhodnih vrednosti: , ali . Zakaj "skupaj približno«, ne »skupaj e"? Ker so trije parametri dovolj za konstrukcijo stožca, vrednost četrtega pa se izračuna preko vrednosti ostalih treh. Zakaj ravno tri in ne dve ali štiri, je vprašanje, ki presega okvir tega članka. Skrivnostni glas mi pove, da je to nekako povezano s tridimenzionalnostjo predmeta "stožec". (Primerjajte z dvema začetnima parametroma dvodimenzionalnega objekta segmenta kroga, iz katerih smo v članku izračunali vse njegove druge parametre.)

Spodaj so formule, s katerimi se določi četrti parameter stožca, ko so podani trije.

4. Metode za izdelavo vzorca

• Izračunajte vrednosti na kalkulatorju in zgradite vzorec na papirju (ali takoj na kovini) s pomočjo kompasa, ravnila in kotomera.
• Vnesite formule in izvorne podatke v preglednico (na primer Microsoft Excel). Dobljeni rezultat se uporabi za izdelavo vzorca z uporabo grafičnega urejevalnika (na primer CorelDRAW).
• uporabi moj program, ki bo narisal na ekran in izpisal vzorec za stožec z danimi parametri. Ta vzorec lahko shranite kot vektorsko datoteko in uvozite v CorelDRAW.

5. Nevzporedne baze

Kar zadeva prisekane stožce, program Cones še vedno gradi vzorce za stožce, ki imajo samo vzporedne baze.
Za tiste, ki iščejo način za sestavo vzorca prisekanega stožca z nevzporednimi osnovami, je tukaj povezava enega od obiskovalcev spletnega mesta:
Prisekan stožec z nevzporednimi osnovami.

Razvoj površine stožca je ravna figura, ki jo dobimo s kombinacijo stranske površine in osnove stožca z določeno ravnino.

Možnosti gradnje pometanja:

Razvoj pravilnega krožnega stožca

Razvitost stranske ploskve pravilnega krožnega stožca je krožni sektor, katerega polmer je enak dolžini generatrise stožčaste ploskve l, središčni kot φ pa je določen s formulo φ=360*R/ l, kjer je R polmer oboda osnove stožca.

V številnih problemih deskriptivne geometrije je prednostna rešitev aproksimacija (zamenjava) stožca s piramido, vpisano vanj, in konstrukcija približnega pometanja, na katerem je priročno risati črte, ki ležijo na stožčasti površini.

Algoritem gradnje

1. V stožčasto ploskev vpišemo mnogokotno piramido. Več kot je stranskih ploskev vpisane piramide, bolj natančno je ujemanje med dejanskim in približnim skeniranjem.
2. Gradimo razvoj stranske površine piramide z metodo trikotnika. Točki, ki pripadata dnu stožca, sta povezani z gladko krivuljo.

Primer

Na spodnji sliki je v pravilen krožni stožec vpisana pravilna šesterokotna piramida SABCDEF, približni razvitek njene stranske ploskve pa je sestavljen iz šestih enakokrakih trikotnikov - ploskev piramide.

Vzemimo trikotnik S 0 A 0 B 0 . Dolžini njegovih stranic S 0 A 0 in S 0 B 0 sta enaki generatrisi l stožčaste ploskve. Vrednost A 0 B 0 ustreza dolžini A'B'. Za izgradnjo trikotnika S 0 A 0 B 0 na poljubnem mestu risbe odložimo segment S 0 A 0 =l, po katerem narišemo kroge s polmerom S 0 B 0 =l in A 0 B 0 = A'B' iz točk S 0 oziroma A 0. Točko presečišča krožnic B 0 povežemo s točkama A 0 in S 0 .

Stranice S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 piramide SABCDEF so zgrajene podobno kot trikotnik S 0 A 0 B 0 .

Točke A, B, C, D, E in F, ki ležijo na dnu stožca, so povezane z gladko krivuljo - lokom kroga, katerega polmer je enak l.

Razvoj poševnega stožca

Razmislite o postopku konstruiranja premika stranske površine nagnjenega stožca z aproksimacijsko metodo.

Algoritem

1. V krog osnove stožca vpišemo šestkotnik 123456. Točke 1, 2, 3, 4, 5 in 6 povežemo z ogliščem S. Tako zgrajena piramida S123456 je z določeno stopnjo približka nadomestek stožčaste površine in se kot tak uporablja pri nadaljnjih konstrukcijah.
2. Naravne vrednosti robov piramide določimo z metodo vrtenja okoli projekcijske črte: v primeru je uporabljena os i, ki je pravokotna na vodoravno projekcijsko ravnino in poteka skozi točko S.
   Torej zaradi rotacije roba S5 njegova nova vodoravna projekcija S'5' 1 zavzame položaj, v katerem je vzporedna s čelno ravnino π 2 . V skladu s tem je S''5'' 1 naravna vrednost S5.
3. Konstruiramo razvoj stranske ploskve piramide S123456, sestavljene iz šestih trikotnikov: 0 1 0 . Konstrukcija vsakega trikotnika se izvede na treh straneh. Na primer, △S 0 1 0 6 0 ima dolžino S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

Stopnja ujemanja približnega pometanja z dejanskim je odvisna od števila ploskev včrtane piramide. Število obrazov je izbrano glede na enostavnost branja risbe, zahteve za njeno natančnost, prisotnost značilnih točk in črt, ki jih je treba prenesti na skeniranje.

Prenos črte s površine stožca na razvitje

Premica n, ki leži na površini stožca, nastane kot posledica njenega preseka z določeno ravnino (slika spodaj). Razmislite o algoritmu za konstruiranje črte n na premiku.

Algoritem

1. Poiščite projekcije točk A, B in C, v katerih premica n seka robove piramide, včrtane stožcu S123456.
2. Dejansko velikost odsekov SA, SB, SC določimo z vrtenjem okoli štrleče črte. V tem primeru je SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Poiščemo položaj točk A 0 , B 0 , C 0 na ustreznih robovih piramide, pri čemer odložimo segmente S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Točke A 0 , B 0 , C 0 povežemo z gladko črto.

Razvoj prisekanega stožca

Spodaj opisana metoda za konstruiranje premika desnega krožnega prisekanega stožca temelji na načelu podobnosti.

V geometriji je prisekan stožec telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli njegove stranice, ki je pravokotna na osnovo. Kako izračunajo volumen prisekanega stožca, vsi poznajo iz šolskega tečaja geometrije, v praksi pa to znanje pogosto uporabljajo oblikovalci različnih strojev in mehanizmov, razvijalci nekaterih potrošniških dobrin, pa tudi arhitekti.

Izračun prostornine prisekanega stožca

Formula za izračun prostornine prisekanega stožca

Prostornina prisekanega stožca se izračuna po formuli:

h- višina stožca

r- polmer zgornje baze

R- spodnji osnovni radij

V- prostornina prisekanega stožca

π - 3,14

S takimi geometrijskimi telesi, kot so prisekani stožci, v vsakdanjem življenju se vsakdo srečuje precej pogosto, če ne kar nenehno. Njihova oblika ima veliko različnih posod, ki se pogosto uporabljajo v vsakdanjem življenju: vedra, kozarci, nekatere skodelice. Ni treba posebej poudarjati, da so oblikovalci, ki so jih razvili, morali uporabiti formulo za izračun volumen prisekanega stožca, saj je ta vrednost v tem primeru zelo pomembna, saj določa tako pomembno lastnost, kot je zmogljivost izdelka.

Inženirske konstrukcije, ki so prisekani stožci, je pogosto mogoče videti v velikih industrijskih podjetjih, pa tudi v termoelektrarnah in jedrskih elektrarnah. To obliko imajo hladilni stolpi - naprave, namenjene hlajenju velikih količin vode s prisilnim nasprotnim tokom atmosferskega zraka. Najpogosteje se ti modeli uporabljajo v primerih, ko je potrebno v kratkem času znatno znižati temperaturo velike količine tekočine. Razvijalci teh struktur morajo določiti volumen prisekanega stožca formula za izračun, ki je precej preprosta in poznana vsem tistim, ki so se nekoč dobro učili v srednji šoli.

Podrobnosti te geometrijske oblike se pogosto pojavljajo pri oblikovanju različnih tehničnih naprav. Na primer, zobniki, ki se uporabljajo v sistemih, kjer je treba spremeniti smer kinetičnega prenosa, se najpogosteje izvajajo s stožčastimi zobniki. Ti deli so sestavni del najrazličnejših menjalnikov, pa tudi avtomatskih in ročnih menjalnikov, ki se uporabljajo v sodobnih avtomobilih.

Oblika prisekanega stožca ima nekatera rezalna orodja, ki se pogosto uporabljajo v proizvodnji, na primer rezkarji. Z njihovo pomočjo lahko obdelate nagnjene površine pod določenim kotom. Za ostrenje rezalnikov opreme za obdelavo kovin in lesa se pogosto uporabljajo abrazivna kolesa, ki so tudi prisekani stožci. Poleg tega volumen prisekanega stožca potrebno je določiti oblikovalce stružnih in rezkalnih strojev, ki vključujejo pritrditev rezalnega orodja, opremljenega s stožčastimi stebli (svedri, povrtala itd.).