Kvadratne enačbe. Popolna in nepopolna kvadratna enačba. Definicija in primeri nepopolnih kvadratnih enačb. Izrazite kvadratno enačbo s koreninami

V sodobni družbi je zmožnost delovanja z enačbami, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, lahko uporabna na številnih področjih dejavnosti in se pogosto uporablja v praksi v znanstvenem in tehničnem razvoju. To lahko dokazuje zasnova morskih in rečnih plovil, letal in raket. S pomočjo takšnih izračunov se določijo poti gibanja različnih teles, vključno z vesoljskimi predmeti. Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb se uporabljajo ne le pri ekonomskem napovedovanju, pri načrtovanju in gradnji zgradb, ampak tudi v najbolj običajnih vsakdanjih okoliščinah. Morda jih potrebujete na kampiranju, na športnih dogodkih, v trgovinah pri nakupovanju in v drugih zelo pogostih situacijah.

Razčlenimo izraz na sestavne faktorje

Stopnja enačbe je določena z največjo vrednostjo stopnje spremenljivke, ki jo podani izraz vsebuje. Če je enako 2, se taka enačba imenuje kvadratna enačba.

Če govorimo v jeziku formul, potem lahko te izraze, ne glede na to, kako izgledajo, vedno pripeljemo do oblike, ko je leva stran izraza sestavljena iz treh izrazov. Med njimi: ax 2 (to je spremenljivka na kvadrat s svojim koeficientom), bx (neznanka brez kvadrata s svojim koeficientom) in c (prosta komponenta, to je navadno število). Vse to je na desni strani enako 0. V primeru, ko takšen polinom nima enega od svojih sestavnih členov, razen osi 2, se imenuje nepopolna kvadratna enačba. Najprej je treba obravnavati primere z rešitvijo takih problemov, pri katerih vrednosti spremenljivk ni težko najti.

Če je izraz videti, kot da ima na desni strani izraza dva člena, natančneje ax 2 in bx, je x najlažje poiskati tako, da spremenljivko postavite v oklepaj. Zdaj bo naša enačba videti takole: x(ax+b). Nadalje postane očitno, da bodisi x=0 ali pa se problem zmanjša na iskanje spremenljivke iz naslednjega izraza: ax+b=0. To narekuje ena od lastnosti množenja. Pravilo pravi, da zmnožek dveh faktorjev daje 0 le, če je eden od njiju nič.

Primer

x=0 ali 8x - 3 = 0

Kot rezultat dobimo dva korena enačbe: 0 in 0,375.

S tovrstnimi enačbami je mogoče opisati gibanje teles pod vplivom gravitacije, ki so se začela premikati iz določene točke, vzete za izhodišče. Tu ima matematični zapis naslednjo obliko: y = v 0 t + gt 2 /2. Z zamenjavo potrebnih vrednosti, enačenjem desne strani z 0 in iskanjem možnih neznank lahko ugotovite čas, ki je pretekel od trenutka, ko se telo dvigne do trenutka, ko pade, pa tudi številne druge količine. Toda o tem bomo govorili kasneje.

Faktoriranje izraza

Zgoraj opisano pravilo omogoča reševanje teh težav v bolj zapletenih primerih. Razmislite o primerih z rešitvijo kvadratnih enačb te vrste.

X2 - 33x + 200 = 0

Ta kvadratni trinom je popoln. Najprej transformiramo izraz in ga razčlenimo na faktorje. Dva sta: (x-8) in (x-25) = 0. Posledično imamo dva korena 8 in 25.

Primeri z rešitvijo kvadratnih enačb v 9. razredu omogočajo, da ta metoda najde spremenljivko v izrazih ne le drugega, ampak celo tretjega in četrtega reda.

Na primer: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri faktoriziranju desne strani na faktorje s spremenljivko so trije, to so (x + 1), (x-3) in (x + 3).

Posledično postane očitno, da ima ta enačba tri korenine: -3; - ena; 3.

Izvleček kvadratnega korena

Drug primer nepopolne enačbe drugega reda je izraz, zapisan v jeziku črk tako, da je desna stran zgrajena iz komponent ax 2 in c. Tu se za pridobitev vrednosti spremenljivke prosti člen prenese na desno stran, nato pa se iz obeh strani enakosti izvleče kvadratni koren. Upoštevati je treba, da sta v tem primeru običajno dva korena enačbe. Izjema so le enačbe, ki sploh ne vsebujejo člena c, kjer je spremenljivka enaka nič, ter različice izrazov, ko se desna stran izkaže za negativno. V slednjem primeru sploh ni rešitev, saj zgornjih dejanj ni mogoče izvesti s koreninami. Upoštevati je treba primere rešitev tovrstnih kvadratnih enačb.

V tem primeru bosta korena enačbe števili -4 in 4.

Izračun površine zemljišča

Potreba po tovrstnih izračunih se je pojavila že v starih časih, saj je bil razvoj matematike v tistih daljnih časih v veliki meri posledica potrebe po čim natančnejšem določanju površin in obodov zemljišč.

Upoštevati je treba tudi primere z rešitvijo kvadratnih enačb, sestavljenih na podlagi tovrstnih problemov.

Recimo, da obstaja pravokoten kos zemlje, katerega dolžina je 16 metrov večja od širine. Morali bi ugotoviti dolžino, širino in obseg mesta, če je znano, da je njegova površina 612 m 2.

Če se lotimo posla, bomo najprej naredili potrebno enačbo. Označimo širino odseka z x, potem bo njegova dolžina (x + 16). Iz zapisanega sledi, da je ploščina določena z izrazom x (x + 16), ki je po pogoju našega problema 612. To pomeni, da je x (x + 16) \u003d 612.

Rešitev popolnih kvadratnih enačb, in ta izraz je ravno to, ni mogoče izvesti na enak način. Zakaj? Čeprav njegova leva stran še vedno vsebuje dva faktorja, njun produkt sploh ni enak 0, zato so tukaj uporabljene druge metode.

Diskriminator

Najprej bomo naredili potrebne transformacije, nato pa bo videz tega izraza videti tako: x 2 + 16x - 612 = 0. To pomeni, da smo prejeli izraz v obliki, ki ustreza predhodno določenemu standardu, kjer a=1, b=16, c= -612.

To je lahko primer reševanja kvadratnih enačb skozi diskriminanto. Tu se izvedejo potrebni izračuni po shemi: D = b 2 - 4ac. Ta pomožna vrednost ne omogoča le iskanja želenih vrednosti v enačbi drugega reda, temveč določa število možnih možnosti. V primeru D>0 sta dva od njih; za D=0 je en koren. V primeru D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreninah in njihovi formuli

V našem primeru je diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. To pomeni, da ima naša težava odgovor. Če veste, je treba reševanje kvadratnih enačb nadaljevati z uporabo spodnje formule. Omogoča vam izračun korenin.

To pomeni, da je v predstavljenem primeru: x 1 =18, x 2 =-34. Druga možnost v tej dilemi ne more biti rešitev, saj velikosti parcele ni mogoče meriti v negativnih vrednostih, kar pomeni, da je x (to je širina parcele) 18 m, od tu izračunamo dolžino: 18+16=34, obseg pa 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Primeri in naloge

Nadaljujemo s študijem kvadratnih enačb. Spodaj bodo podani primeri in podrobna rešitev nekaterih izmed njih.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prenesimo vse na levo stran enačbe, naredimo transformacijo, to pomeni, da dobimo obliko enačbe, ki se običajno imenuje standardna in jo enačimo na nič.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ko dodamo podobne, določimo diskriminanco: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Torej bo naša enačba imela dve korenini. Izračunamo jih po zgornji formuli, kar pomeni, da bo prvi enak 4/3, drugi pa 1.

2) Zdaj bomo razkrili uganke drugačne vrste.

Ugotovimo, ali tukaj sploh obstajajo korenine x 2 - 4x + 5 = 1? Da bi dobili izčrpen odgovor, polinom pripeljemo do ustrezne znane oblike in izračunamo diskriminanco. V tem primeru ni treba reševati kvadratne enačbe, saj bistvo problema sploh ni v tem. V tem primeru je D \u003d 16 - 20 \u003d -4, kar pomeni, da res ni korenin.

Vietov izrek

Kvadratne enačbe je priročno reševati z zgornjimi formulami in diskriminanto, ko iz vrednosti slednje izvlečemo kvadratni koren. Vendar se to ne zgodi vedno. Vendar pa obstaja veliko načinov za pridobitev vrednosti spremenljivk v tem primeru. Primer: reševanje kvadratnih enačb z uporabo Vietovega izreka. Ime je dobil po človeku, ki je živel v Franciji v 16. stoletju in je imel sijajno kariero zahvaljujoč svojemu matematičnemu talentu in povezavam na dvoru. Njegov portret si lahko ogledate v članku.

Vzorec, ki ga je slavni Francoz opazil, je bil naslednji. Dokazal je, da je vsota korenov enačbe enaka -p=b/a, njihov produkt pa ustreza q=c/a.

Zdaj pa poglejmo konkretne naloge.

3x2 + 21x - 54 = 0

Zaradi enostavnosti transformirajmo izraz:

x 2 + 7x - 18 = 0

Z uporabo izreka Vieta nam bo to dalo naslednje: vsota korenin je -7, njihov produkt pa -18. Od tu dobimo, da so koreni enačbe številki -9 in 2. Po preverjanju se bomo prepričali, da se te vrednosti spremenljivk res ujemajo z izrazom.

Graf in enačba parabole

Koncepti kvadratne funkcije in kvadratnih enačb so tesno povezani. Primeri tega so bili navedeni že prej. Zdaj pa si poglejmo nekaj matematičnih ugank nekoliko podrobneje. Vsako enačbo opisane vrste je mogoče vizualno predstaviti. Takšno odvisnost, narisano v obliki grafa, imenujemo parabola. Njegove različne vrste so prikazane na spodnji sliki.

Vsaka parabola ima vrh, to je točko, iz katere izhajajo njene veje. Če je a>0, gredo visoko do neskončnosti, pri a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualne predstavitve funkcij pomagajo rešiti vse enačbe, vključno s kvadratnimi. Ta metoda se imenuje grafična. In vrednost spremenljivke x je koordinata abscise v točkah, kjer se premica grafa seka z 0x. Koordinate oglišča lahko najdete s pravkar podano formulo x 0 = -b / 2a. In če nadomestite dobljeno vrednost v prvotno enačbo funkcije, lahko ugotovite y 0, to je drugo koordinato vrha parabole, ki pripada osi y.

Presečišče vej parabole z abscisno osjo

Primerov z reševanjem kvadratnih enačb je veliko, obstajajo pa tudi splošni vzorci. Upoštevajmo jih. Jasno je, da je presečišče grafa z osjo 0x za a>0 možno le, če ima y 0 negativne vrednosti. In za a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sicer pa D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Iz grafa parabole lahko določite tudi korenine. Velja tudi obratno. Če torej ni enostavno dobiti vizualne predstavitve kvadratne funkcije, lahko desno stran izraza enačite z 0 in rešite nastalo enačbo. In če poznamo točke presečišča z osjo 0x, je lažje risati.

Iz zgodovine

S pomočjo enačb, ki vsebujejo kvadratno spremenljivko, v starih časih niso samo delali matematičnih izračunov in določali površine geometrijskih oblik. Starodavni so takšne izračune potrebovali za velika odkritja na področju fizike in astronomije, pa tudi za izdelavo astroloških napovedi.

Kot kažejo sodobni znanstveniki, so bili prebivalci Babilona med prvimi, ki so rešili kvadratne enačbe. Zgodilo se je štiri stoletja pred začetkom našega štetja. Seveda so bili njihovi izračuni bistveno drugačni od trenutno sprejetih in so se izkazali za veliko bolj primitivne. Na primer, mezopotamski matematiki niso imeli pojma o obstoju negativnih števil. Prav tako niso bili seznanjeni z drugimi subtilnostmi tistih, ki jih pozna vsak študent našega časa.

Morda še prej kot babilonski znanstveniki se je reševanja kvadratnih enačb lotil modrec iz Indije Baudhayama. To se je zgodilo približno osem stoletij pred nastopom Kristusove dobe. Res je, da so bile enačbe drugega reda, metode za reševanje katerih je dal, najpreprostejše. Poleg njega so se za podobna vprašanja v starih časih zanimali tudi kitajski matematiki. V Evropi so kvadratne enačbe začeli reševati šele v začetku 13. stoletja, kasneje pa so jih pri svojem delu uporabljali tako veliki znanstveniki, kot so Newton, Descartes in številni drugi.

Formule za korenine kvadratne enačbe. Obravnavani so primeri pravih, večkratnih in kompleksnih korenov. Faktorizacija kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenov in faktorizacije.

Poglej tudi: Reševanje kvadratnih enačb na spletu

Osnovne formule

Razmislite o kvadratni enačbi:
(1) .
Korenine kvadratne enačbe(1) so določene s formulami:
; .
Te formule je mogoče kombinirati takole:
.
Ko so znani koreni kvadratne enačbe, lahko polinom druge stopnje predstavimo kot produkt faktorjev (faktoriziran):
.

Nadalje predpostavljamo, da gre za realna števila.
Razmislite diskriminanta kvadratne enačbe:
.
Če je diskriminanta pozitivna, ima kvadratna enačba (1) dva različna realna korena:
; .
Potem ima faktorizacija kvadratnega trinoma obliko:
.
Če je diskriminant enak nič, ima kvadratna enačba (1) dva večkratna (enaka) realna korena:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminanta negativna, ima kvadratna enačba (1) dva kompleksna konjugirana korena:
;
.
Tukaj je namišljena enota, ;
in so resnični in namišljeni deli korenin:
; .
Potem

.

Grafična interpretacija

Če funkcijo narišemo grafično
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko , graf seka abscisno os (os) v dveh točkah ().
Ko se graf dotakne osi x v eni točki ().
Ko je , graf ne prečka osi x ().

Uporabne formule, povezane s kvadratno enačbo

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izpeljava formule za korene kvadratne enačbe

Izvedemo transformacije in uporabimo formuli (f.1) in (f.3):




,
kje
; .

Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
Iz tega je razvidno, da enačba

izvedel pri
in .
To je in sta korenini kvadratne enačbe
.

Primeri določanja korenin kvadratne enačbe

Primer 1

(1.1) .

.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminatorja:
.
Ker je diskriminant pozitiven, ima enačba dva realna korena:
;
;
.

Od tu dobimo razgradnjo kvadratnega trinoma na faktorje:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prečka os x v dveh točkah.

Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Prečka os x (os) v dveh točkah:
in .
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).

;
;
.

Primer 2

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1) .

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminatorja:
.
Ker je diskriminant enak nič, ima enačba dva večkratna (enaka) korena:
;
.

Potem ima faktorizacija trinoma obliko:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 se v eni točki dotakne osi x.

Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. V eni točki se dotakne osi x (osi):
.
Ta točka je koren izvirne enačbe (2.1). Ker je ta koren dvakrat faktoriziran:
,
potem se tak koren imenuje večkratnik. To pomeni, da menijo, da obstajata dva enaka korena:
.

;
.

Primer 3

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1) .

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
(1) .
Prepišimo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminatorja:
.
Diskriminanta je negativna, . Zato pravih korenin ni.

Najdete lahko kompleksne korenine:
;
;
.

Potem


.

Graf funkcije ne prečka osi x. Pravih korenin ni.

Narišimo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne prečka abscise (osi). Zato pravih korenin ni.

Pravih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.

Ta tema se lahko sprva zdi zapletena zaradi številnih ne tako preprostih formul. Ne le, da imajo same kvadratne enačbe dolge vnose, temveč se koreni najdejo tudi prek diskriminante. Skupaj so tri nove formule. Ni prav enostavno zapomniti. To je mogoče le po pogostem reševanju takih enačb. Potem si bodo vse formule zapomnile same.

Splošni pogled na kvadratno enačbo

Tukaj je predlagana njihova eksplicitna notacija, ko je največja stopnja zapisana najprej in nato - v padajočem vrstnem redu. Pogosto pride do situacij, ko se pojma razlikujeta. Potem je bolje enačbo prepisati v padajočem vrstnem redu glede na stopnjo spremenljivke.

Uvedemo notacijo. Predstavljeni so v spodnji tabeli.

Če sprejmemo te zapise, se vse kvadratne enačbe zmanjšajo na naslednji zapis.

Poleg tega je koeficient a ≠ 0. To formulo označimo s številko ena.

Ko je enačba podana, ni jasno, koliko korenin bo v odgovoru. Ker je vedno možna ena od treh možnosti:

• raztopina bo imela dve korenini;
• odgovor bo ena številka;
• Enačba sploh nima korenin.

In čeprav odločitev ni pripeljana do konca, je težko razumeti, katera od možnosti bo v posameznem primeru izpadla.

Vrste zapisov kvadratnih enačb

Naloge imajo lahko različne vnose. Ne bodo vedno videti kot splošna formula kvadratne enačbe. Včasih bo manjkalo nekaj izrazov. Zgoraj napisano je popolna enačba. Če v njem odstranite drugi ali tretji izraz, dobite nekaj drugega. Te zapise imenujemo tudi kvadratne enačbe, le nepopolne.

Poleg tega lahko izginejo le izrazi, za katere koeficienta "b" in "c". Število "a" v nobenem primeru ne more biti enako nič. Ker se v tem primeru formula spremeni v linearno enačbo. Formule za nepopolno obliko enačb bodo naslednje:

Torej, obstajata samo dve vrsti, poleg popolnih obstajajo tudi nepopolne kvadratne enačbe. Naj bo prva formula številka dve, druga pa številka tri.

Diskriminanta in odvisnost števila korenin od njene vrednosti

To število je treba poznati, da lahko izračunamo korenine enačbe. Vedno ga je mogoče izračunati, ne glede na to, kakšna je formula kvadratne enačbe. Da bi izračunali diskriminanto, morate uporabiti spodaj napisano enakost, ki bo imela številko štiri.

Po zamenjavi vrednosti koeficientov v to formulo lahko dobite številke z različnimi znaki. Če je odgovor pritrdilen, bosta odgovor na enačbo dva različna korena. Z negativnim številom bodo korenine kvadratne enačbe odsotne. Če je enako nič, bo odgovor ena.

Kako se reši popolna kvadratna enačba?

Pravzaprav se je obravnava tega vprašanja že začela. Kajti najprej morate najti diskriminanco. Ko je razjasnjeno, da obstajajo korenine kvadratne enačbe in je njihovo število znano, morate uporabiti formule za spremenljivke. Če obstajata dve korenini, potem morate uporabiti takšno formulo.

Ker vsebuje znak "±", bosta na voljo dve vrednosti. Izraz pod znakom kvadratnega korena je diskriminanta. Zato lahko formulo prepišemo na drugačen način.

Formula pet. Iz istega zapisa je razvidno, da če je diskriminanta nič, bosta oba korena imela enake vrednosti.

Če rešitev kvadratnih enačb še ni izdelana, je bolje, da zapišete vrednosti vseh koeficientov, preden uporabite diskriminantne in spremenljive formule. Kasneje ta trenutek ne bo povzročal težav. Toda na samem začetku je zmeda.

Kako se reši nepopolna kvadratna enačba?

Tukaj je vse veliko preprostejše. Tudi dodatne formule niso potrebne. In ne boste potrebovali tistih, ki so že napisane za diskriminantno in neznano.

Najprej razmislite o nepopolni enačbi številka dve. V tej enačbi naj bi neznano vrednost vzeli iz oklepaja in rešili linearno enačbo, ki bo ostala v oklepaju. Odgovor bo imel dva korena. Prvi je nujno enak nič, ker obstaja faktor, sestavljen iz same spremenljivke. Drugo dobimo z reševanjem linearne enačbe.

Nepopolno enačbo pri številki tri rešimo s prenosom števila z leve strani enačbe na desno. Nato morate deliti s koeficientom pred neznanko. Ostaja le, da izvlečete kvadratni koren in ga ne pozabite dvakrat zapisati z nasprotnimi znaki.

Sledi nekaj dejanj, ki vam pomagajo pri učenju reševanja vseh vrst enačb, ki se spremenijo v kvadratne enačbe. Učencu bodo pomagali preprečiti napake zaradi nepazljivosti. Te pomanjkljivosti so vzrok za slabe ocene pri študiju obsežne teme "Kvadrične enačbe (8. razred)". Nato teh dejanj ne bo treba nenehno izvajati. Ker bo tam stabilna navada.

• Najprej morate napisati enačbo v standardni obliki. Se pravi, najprej izraz z največjo stopnjo spremenljivke, nato pa - brez stopnje in zadnji - le številka.

• Če se pred koeficientom "a" pojavi minus, lahko začetniku zaplete delo pri preučevanju kvadratnih enačb. Bolje se je znebiti. V ta namen je treba vse enakosti pomnožiti z "-1". To pomeni, da bodo vsi členi spremenili predznak v nasprotni.

• Na enak način je priporočljivo, da se znebite ulomkov. Enostavno pomnožite enačbo z ustreznim faktorjem, tako da se imenovalci izničijo.

Primeri

Rešiti je treba naslednje kvadratne enačbe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Prva enačba: x 2 - 7x \u003d 0. Je nepopolna, zato jo rešujemo, kot je opisano za formulo številka dve.

Po oklepajih se izkaže: x (x - 7) \u003d 0.

Prvi koren ima vrednost: x 1 \u003d 0. Drugi bo najden iz linearne enačbe: x - 7 \u003d 0. Zlahka je videti, da je x 2 \u003d 7.

Druga enačba: 5x2 + 30 = 0. Spet nepopolna. Le ta se reši, kot je opisano za tretjo formulo.

Po prenosu 30 na desno stran enačbe: 5x 2 = 30. Zdaj morate deliti s 5. Izkazalo se je: x 2 = 6. Odgovori bodo številke: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tretja enačba: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tu in spodaj se bo rešitev kvadratnih enačb začela tako, da jih prepišemo v standardno obliko: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Zdaj je čas, da uporabimo drugo uporaben nasvet in vse pomnožite z minus ena. Izkazalo se je x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Po četrti formuli morate izračunati diskriminanco: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To je pozitivno število. Iz zgoraj povedanega se izkaže, da ima enačba dva korena. Izračunati jih je treba po peti formuli. Glede na to se izkaže, da x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potem x 1 \u003d 3, x 2 = - 5.

Četrta enačba x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se pretvori v tole: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Njena diskriminanta je enaka tej vrednosti: -23. Ker je to število negativno, bo odgovor na to nalogo naslednji vnos: "Ni korenin."

Peto enačbo 12x + x 2 + 36 = 0 prepišemo takole: x 2 + 12x + 36 = 0. Po uporabi formule za diskriminanto dobimo število nič. To pomeni, da bo imel en koren, in sicer: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šesta enačba (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) zahteva transformacije, ki so sestavljene iz dejstva, da morate prinesti podobne izraze, preden odprete oklepaje. Na mestu prvega bo tak izraz: x 2 + 2x + 1. Po enakosti se pojavi ta vnos: x 2 + 3x + 2. Po preštetju podobnih členov bo enačba dobila obliko: x 2 - x \u003d 0. Postalo je nepopolno. Podobno kot je bilo že obravnavano nekoliko višje. Korenini tega bosta števili 0 in 1.

”, torej enačbe prve stopnje. V tej lekciji bomo raziskovali kaj je kvadratna enačba in kako to rešiti.

Kaj je kvadratna enačba

Pomembno!

Stopnja enačbe je določena z najvišjo stopnjo neznanke.

Če je največja stopnja, do katere velja neznanka, "2", potem imate kvadratno enačbo.

Primeri kvadratnih enačb

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Pomembno! Splošna oblika kvadratne enačbe izgleda takole:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - prvi ali višji koeficient;
• "b" - drugi koeficient;
• "c" je brezplačen član.

Če želite najti "a", "b" in "c", morate svojo enačbo primerjati s splošno obliko kvadratne enačbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vadimo se v določanju koeficientov "a", "b" in "c" v kvadratnih enačbah.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kako rešiti kvadratne enačbe

Za razliko od linearnih enačb se za reševanje kvadratnih enačb uporablja posebna enačba. formula za iskanje korenin.

Ne pozabite!

Za rešitev kvadratne enačbe potrebujete:

• pripeljite kvadratno enačbo v splošno obliko "ax 2 + bx + c \u003d 0". To pomeni, da mora na desni strani ostati samo "0";
• uporabite formulo za korenine:

Uporabimo primer, da ugotovimo, kako uporabiti formulo za iskanje korenin kvadratne enačbe. Rešimo kvadratno enačbo.

X 2 - 3x - 4 = 0

Enačba "x 2 - 3x - 4 = 0" je že reducirana na splošno obliko "ax 2 + bx + c = 0" in ne zahteva dodatnih poenostavitev. Da bi jo rešili, se moramo le prijaviti formula za iskanje korenin kvadratne enačbe.

Določimo koeficiente "a", "b" in "c" za to enačbo.

Z njegovo pomočjo se reši vsaka kvadratna enačba.

V formuli "x 1; 2 \u003d" se korenski izraz pogosto zamenja
"b 2 − 4ac" na črko "D" in se imenuje diskriminanta. Koncept diskriminatorja je podrobneje obravnavan v lekciji "Kaj je diskriminant".

Razmislite o drugem primeru kvadratne enačbe.

x 2 + 9 + x = 7x

V tej obliki je precej težko določiti koeficiente "a", "b" in "c". Najprej pripeljemo enačbo v splošno obliko "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Zdaj lahko uporabite formulo za korenine.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Včasih v kvadratnih enačbah ni korenin. Do te situacije pride, ko se v formuli pod korenom pojavi negativno število.

Kvadratne enačbe se preučujejo v 8. razredu, zato tukaj ni nič zapletenega. Bistvena je sposobnost njihovega reševanja.

Kvadratna enačba je enačba oblike ax 2 + bx + c = 0, kjer so koeficienti a , b in c poljubna števila, a ≠ 0.

Preden preučimo posebne metode reševanja, omenimo, da lahko vse kvadratne enačbe razdelimo v tri razrede:

1. Nimajo korenin;
2. Imajo natanko eno korenino;
3. Imajo dve različni korenini.

To je pomembna razlika med kvadratnimi in linearnimi enačbami, kjer koren vedno obstaja in je edinstven. Kako ugotoviti, koliko korenin ima enačba? Za to obstaja čudovita stvar - diskriminator.

Diskriminator

Naj bo podana kvadratna enačba ax 2 + bx + c = 0. Potem je diskriminanta preprosto število D = b 2 − 4ac.

To formulo je treba poznati na pamet. Od kod prihaja, zdaj ni pomembno. Še ena stvar je pomembna: s predznakom diskriminante lahko določite, koliko korenin ima kvadratna enačba. namreč:

1. Če D< 0, корней нет;
2. Če je D = 0, obstaja natanko en koren;
3. Če je D > 0, bosta korena dva.

Upoštevajte: diskriminator označuje število korenin in ne sploh njihovih znakov, kot iz neznanega razloga mnogi mislijo. Oglejte si primere in vse vam bo jasno:

Naloga. Koliko korenin ima kvadratna enačba:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapišemo koeficiente prve enačbe in poiščemo diskriminanco:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminanta je torej pozitivna, zato ima enačba dva različna korena. Drugo enačbo analiziramo na enak način:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanta je negativna, korenin ni. Zadnja enačba ostaja:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je enak nič - koren bo ena.

Upoštevajte, da so bili za vsako enačbo izpisani koeficienti. Da, dolgo je, da, dolgočasno je - vendar ne boste mešali možnosti in ne delali neumnih napak. Izberite sami: hitrost ali kakovost.

Mimogrede, če si »napolnite roko«, vam čez nekaj časa ne bo več treba pisati vseh koeficientov. Takšne operacije boste izvajali v svoji glavi. Večina ljudi začne s tem nekje po 50-70 rešenih enačbah – na splošno ne tako veliko.

Korenine kvadratne enačbe

Zdaj pa preidimo na rešitev. Če je diskriminant D > 0, je mogoče korene najti po formulah:

Osnovna formula za korenine kvadratne enačbe

Ko je D = 0, lahko uporabite katero koli od teh formul - dobite isto število, ki bo odgovor. Končno, če D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prva enačba:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ enačba ima dva korena. Poiščimo jih:

Druga enačba:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ima enačba spet dva korena. Poiščimo jih

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \levo(-1 \desno))=3. \\ \end(align)\]

Na koncu še tretja enačba:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ enačba ima en koren. Uporabi se lahko katera koli formula. Na primer, prvi:

Kot lahko vidite iz primerov, je vse zelo preprosto. Če poznate formule in znate računati, ne bo težav. Najpogosteje pride do napak, ko se v formulo nadomestijo negativni koeficienti. Tukaj vam bo spet pomagala zgoraj opisana tehnika: preglejte formulo dobesedno, pobarvajte vsak korak - in se kmalu znebite napak.

Nepopolne kvadratne enačbe

Zgodi se, da je kvadratna enačba nekoliko drugačna od tiste, ki je navedena v definiciji. Na primer:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Zlahka je videti, da v teh enačbah manjka eden od členov. Takšne kvadratne enačbe je še lažje rešiti kot standardne: zanje ni treba niti izračunati diskriminante. Predstavimo torej nov koncept:

Enačbo ax 2 + bx + c = 0 imenujemo nepopolna kvadratna enačba, če je b = 0 ali c = 0, tj. koeficient spremenljivke x ali prostega elementa je enak nič.

Seveda je možen zelo težek primer, ko sta oba koeficienta enaka nič: b \u003d c \u003d 0. V tem primeru ima enačba obliko ax 2 \u003d 0. Očitno ima taka enačba en sam koren: x \u003d 0.

Razmislimo o drugih primerih. Naj bo b \u003d 0, potem dobimo nepopolno kvadratno enačbo oblike ax 2 + c \u003d 0. Nekoliko jo preoblikujemo:

Ker aritmetični kvadratni koren obstaja le iz nenegativnega števila, je zadnja enakost smiselna le, če je (−c / a ) ≥ 0. Sklep:

1. Če nepopolna kvadratna enačba oblike ax 2 + c = 0 izpolnjuje neenakost (−c / a ) ≥ 0, bosta korena dva. Formula je navedena zgoraj;
2. Če (−c / a)< 0, корней нет.

Kot lahko vidite, diskriminanta ni bila potrebna - v nepopolnih kvadratnih enačbah sploh ni zapletenih izračunov. Pravzaprav si niti ni treba zapomniti neenakosti (−c / a ) ≥ 0. Dovolj je izraziti vrednost x 2 in videti, kaj je na drugi strani enačaja. Če obstaja pozitivno število, bosta korena dva. Če je negativen, korenin sploh ne bo.

Opravimo zdaj enačbe oblike ax 2 + bx = 0, v katerih je prosti element enak nič. Tukaj je vse preprosto: vedno bosta dve korenini. Dovolj je faktorizirati polinom:

Produkt je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič. Od tod izvirajo korenine. Na koncu bomo analizirali več teh enačb:

Naloga. Rešite kvadratne enačbe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ni korenin, saj kvadrat ne more biti enak negativnemu številu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.