Bygging av en vanlig femkant. Teknisk tegning. Konstruksjon av regulære polygoner Vanlig femkantskjema

Denne figuren er en polygon med minimum antall hjørner som ikke kan brukes til å flislegge et område. Bare en femkant har samme antall diagonaler som sidene. Ved å bruke formlene for en vilkårlig regulær polygon kan du bestemme alle nødvendige parametere som femkanten har. For eksempel, skriv den inn i en sirkel med en gitt radius, eller bygg den på grunnlag av en gitt sideside.

Hvordan tegne en bjelke riktig og hvilke tegningsutstyr trenger du? Ta et stykke papir og merk en prikk hvor som helst. Fest deretter en linjal og tegn en linje fra det angitte punktet til uendelig. For å tegne en rett linje, trykk på "Shift"-tasten og tegn en linje med ønsket lengde. Umiddelbart etter tegning åpnes "Format"-fanen. Fjern markeringen av linjen og du vil se at en prikk har dukket opp på begynnelsen av linjen. For å lage en inskripsjon klikker du på "Tegn en inskripsjon"-knappen og oppretter et felt der inskripsjonen skal ligge.

Den første måten å konstruere en femkant på regnes som mer "klassisk". Den resulterende figuren vil være en vanlig femkant. Dodecagon er intet unntak, så konstruksjonen vil være umulig uten bruk av et kompass. Oppgaven med å konstruere en vanlig femkant er redusert til oppgaven med å dele en sirkel i fem like deler. Du kan tegne et pentagram med de enkleste verktøyene.

Jeg slet lenge med å prøve å oppnå dette og selvstendig finne proporsjoner og avhengigheter, men jeg lyktes ikke. Det viste seg at det er flere forskjellige alternativer for å konstruere en vanlig femkant, utviklet av kjente matematikere. Det interessante er at aritmetisk kan dette problemet bare løses tilnærmet nøyaktig, siden irrasjonelle tall må brukes. Men det kan løses geometrisk.

Inndeling av sirkler. Skjæringspunktene til disse linjene med sirkelen er hjørnene til kvadratet. Tegn en vertikal diameter i en sirkel med radius R (trinn 1). Ved konjugasjonspunktet N til en linje og en sirkel er linjen tangent til sirkelen.

Mottar med en papirremse

En vanlig sekskant kan konstrueres ved å bruke en T-kvadrat og en 30X60° firkant. Toppene til en slik trekant kan konstrueres ved hjelp av et kompass og en firkant med vinkler på 30 og 60 °, eller bare ett kompass. For å bygge side 2-3, sett T-firkanten til posisjonen vist av de stiplede linjene, og tegn en rett linje gjennom punkt 2, som vil definere trekantens tredje toppunkt. Vi markerer punkt 1 på sirkelen og tar den som en av toppunktene i femkanten. Vi kobler de funnet toppunktene i serie med hverandre. Heptagonen kan konstrueres ved å trekke stråler fra F-polen og gjennom odde inndelinger av den vertikale diameteren.

Og i den andre enden av tråden er blyanten satt og besatt. Hvis du vet hvordan du tegner en stjerne, men ikke vet hvordan du tegner en femkant, tegner du en stjerne med en blyant, kobler deretter de tilstøtende endene av stjernen sammen, og sletter deretter selve stjernen. Legg deretter et papirark (det er bedre å fikse det på bordet med fire knapper eller nåler). Fest disse 5 strimlene til et stykke papir med nåler eller nåler slik at de forblir urørlige. Sirkel deretter den resulterende femkanten og fjern disse stripene fra arket.

For eksempel må vi tegne en femspiss stjerne (pentagram) for et bilde om den sovjetiske fortiden eller om nåtiden til Kina. Sant nok, for dette må du være i stand til å lage en tegning av en stjerne i perspektiv. På samme måte vil du kunne tegne en figur med blyant på papir. Hvordan tegne en stjerne riktig, slik at den ser jevn og vakker ut, vil du ikke svare med en gang.

Fra midten, senk 2 stråler ned på sirkelen slik at vinkelen mellom dem er 72 grader (gradskive). Delingen av en sirkel i fem deler utføres ved hjelp av et vanlig kompass eller gradskive. Siden en vanlig femkant er en av figurene som inneholder proporsjonene til det gylne snitt, har malere og matematikere lenge vært interessert i konstruksjonen. Disse prinsippene for konstruksjon med bruk av et kompass og en rettlinje ble fremsatt i de euklidiske elementene.

En vanlig femkant er en geometrisk figur som er dannet av skjæringspunktet mellom fem rette linjer som skaper fem identiske vinkler. Denne figuren kalles Pentagon. Kunstnernes arbeid er nært knyttet til femkanten - tegningene deres er basert på vanlige geometriske former. For å gjøre dette, må du vite hvordan du raskt bygger en femkant.

Hvorfor er denne figuren interessant? Bygningen er formet som en femkant Forsvarsdepartementet i USA. Dette kan sees på bildene tatt fra høyden av flyturen. I naturen er det ingen krystaller og steiner, hvis form vil ligne en femkant. Bare i denne figuren faller antall ansikter sammen med antall diagonaler.

Parametre for en vanlig femkant

En rektangulær femkant, som hver figur i geometri, har sine egne parametere. Når du kjenner de nødvendige formlene, kan du beregne disse parametrene, noe som vil lette prosessen med å bygge en femkant. Beregningsmetoder og formler:

• summen av alle vinkler i polygoner er 360 grader. I en vanlig femkant er alle vinkler like, henholdsvis den sentrale vinkelen er funnet på denne måten: 360/5 \u003d 72 grader;
• det indre hjørnet finnes på denne måten: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 grader. Summen av alle innvendige vinkler: 108*5 = 540 grader.

Siden av femkanten er funnet ved å bruke parameterne som allerede er gitt i problemformuleringen:

• hvis en sirkel er omskrevet rundt femkanten og dens radius er kjent, er siden funnet i henhold til følgende formel: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Hvis radiusen til sirkelen innskrevet i femkanten er kjent, er formelen for å beregne siden av polygonen: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Med en kjent diagonal av femkanten, beregnes siden som følger: a \u003d D / 1.618.

Området til femkanten, i likhet med siden, avhenger av parametrene som allerede er funnet:

• ved å bruke den kjente radiusen til den innskrevne sirkelen, blir området funnet som følger: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• den omskrevne sirkelen rundt femkanten lar deg finne området ved å bruke følgende formel: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• avhengig av siden av femkanten: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Bygge Pentagon

Du kan bygge en vanlig femkant ved hjelp av en linjal og et kompass, basert på en sirkel innskrevet i den eller en av sidene.

Hvordan tegne en femkant basert på en innskrevet sirkel? For å gjøre dette, fyll opp et kompass og en linjal og gjør følgende:

1. Først må du tegne en sirkel med sentrum O, velg deretter et punkt på den, A - toppen av femkanten. En linje trekkes fra midten til toppen.
2. Deretter konstrueres et segment vinkelrett på den rette linjen OA, som også går gjennom O - sentrum av sirkelen. Skjæringspunktet med sirkelen er indikert med punkt B. Segmentet O.V. er halvert av punkt C.
3. Punkt C vil bli sentrum av en ny sirkel som går gjennom A. Punkt D er skjæringspunktet med den rette linjen OB innenfor grensene til den første figuren.
4. Etter det tegnes en tredje sirkel gjennom D, hvis sentrum er punkt A. Den skjærer den første figuren på to punkter, de må betegnes med bokstavene E og F.
5. Den neste sirkelen har sitt senter i punktet E og går gjennom A, og dens skjæringspunkt med den opprinnelige er i det nye punktet G.
6. Den siste sirkelen i denne figuren er tegnet gjennom et punkt, A med senter F. Punkt H er plassert i skjæringspunktet med det opprinnelige.
7. På den første sirkelen, etter alle trinnene som ble tatt, dukket det opp fem punkter, som må være forbundet med segmenter. Således ble en vanlig femkant AE G H F oppnådd.

Hvordan bygge en vanlig femkant på en annen måte? Ved hjelp av linjal og kompass kan femkanten bygges litt raskere. For dette trenger du:

1. Først må du bruke et kompass for å tegne en sirkel, hvis sentrum er punktet O.
2. Radius OA er tegnet - et segment som er plottet på en sirkel. Den er delt i to av punkt B.
3. Et segment OS er tegnet vinkelrett på radius OA, punktene B og C er forbundet med en rett linje.
4. Neste trinn er å plotte lengden av segment BC med et kompass på diametrallinjen. Punkt D vises vinkelrett på segment OA. Punkt B og D er koblet sammen og danner et nytt segment.
5. For å få størrelsen på siden av femkanten, må du koble til punktene C og D.
6. D ved hjelp av et kompass overføres til en sirkel og er indikert med punktet E. Ved å koble E og C, kan du få den første siden av en vanlig femkant. Etter denne instruksjonen kan du lære hvordan du raskt bygger en femkant med like sider, og fortsetter å bygge de andre sidene som den første.

I en femkant med samme sider er diagonalene like og danner en femspiss stjerne, som kalles et pentagram. Det gylne snitt er forholdet mellom størrelsen på diagonalen og siden av femkanten.

Pentagon er ikke egnet til å fylle flyet helt. Bruken av ethvert materiale i denne formen etterlater hull eller danner overlapping. Selv om naturlige krystaller av denne formen ikke eksisterer i naturen, når is dannes på overflaten av glatte kobberprodukter, vises molekyler i form av en femkant, som er forbundet i kjeder.

Den enkleste måten å få en vanlig femkant fra en papirremse er å knyte den i en knute og trykke litt ned. Denne metoden er nyttig for foreldre til førskolebarn som ønsker å lære småbarn å gjenkjenne geometriske former.

Video

Se hvordan du raskt kan tegne en femkant.

Konstruksjon av en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel.

Konstruksjonen av en sekskant er basert på det faktum at siden er lik radiusen til den omskrevne sirkelen. Derfor, for å bygge, er det nok å dele sirkelen i seks like deler og koble de funnet punktene til hverandre.

En vanlig sekskant kan konstrueres ved å bruke en T-kvadrat og en 30X60° firkant. For å utføre denne konstruksjonen tar vi den horisontale diameteren til sirkelen som halveringslinjen for vinkel 1 og 4, bygger sidene 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 og 7 - 2, hvoretter vi tegner sidene 5 - 6 og 3 - 2.

Toppene til en slik trekant kan konstrueres ved hjelp av et kompass og en firkant med vinkler på 30 og 60 °, eller bare ett kompass. Tenk på to måter å konstruere en likesidet trekant innskrevet i en sirkel.

Første vei(Fig. 61, a) er basert på det faktum at alle tre vinklene i trekanten 7, 2, 3 hver inneholder 60 °, og den vertikale linjen trukket gjennom punktet 7 er både høyden og halveringslinjen til vinkel 1. Siden vinkelen 0 - 1 - 2 er lik 30°, så for å finne siden 1 - 2 er det nok å konstruere en vinkel på 30° fra punkt 1 og side 0 - 1. For å gjøre dette, sett T-kvadrat og firkant som vist på figuren, tegn en linje 1 - 2, som vil være en av sidene i ønsket trekant. For å bygge side 2 - 3 setter du T-firkanten til posisjonen vist med de stiplede linjene, og tegner en rett linje gjennom punkt 2, som vil definere trekantens tredje toppunkt.

Andre vei er basert på det faktum at hvis du bygger en vanlig sekskant innskrevet i en sirkel, og deretter kobler dens toppunkter gjennom en, får du en likesidet trekant.

For å bygge en trekant, markerer vi toppunktet 1 på diameteren og tegner en diametral linje 1 - 4. Videre, fra punkt 4 med en radius lik D / 2, beskriver vi buen til den skjærer med sirkelen i punkt 3 og 2. De resulterende punktene vil være to andre hjørner av den ønskede trekanten.

Denne konstruksjonen kan gjøres ved hjelp av en firkant og et kompass.

Første vei er basert på det faktum at diagonalene til firkanten skjærer i midten av den omskrevne sirkelen og skråner til dens akser i en vinkel på 45°. Basert på dette installerer vi et T-kvadrat og et kvadrat med vinkler på 45 ° som vist i fig. 62, a, og merk punktene 1 og 3. Videre, gjennom disse punktene, tegner vi de horisontale sidene av kvadratet 4 - 1 og 3 -2 ved hjelp av en T-kvadrat. Deretter, ved å bruke en T-firkant langs benet på firkanten, tegner vi de vertikale sidene av firkanten 1 - 2 og 4 - 3.

Andre vei er basert på det faktum at hjørnene til kvadratet halverer sirkelbuene som er innelukket mellom endene av diameteren. Vi markerer punktene A, B og C i endene av to innbyrdes vinkelrette diametre, og fra dem med en radius y beskriver vi buene til de skjærer hverandre.

Videre, gjennom skjæringspunktene til buene, tegner vi hjelpelinjer, merket på figuren med heltrukne linjer. Deres skjæringspunkter med sirkelen vil definere toppunktene 1 og 3; 4 og 2. Toppene til det ønskede kvadratet oppnådd på denne måten er forbundet i serie med hverandre.

Konstruksjon av en vanlig femkant innskrevet i en sirkel.

For å skrive inn en vanlig femkant i en sirkel, lager vi følgende konstruksjoner. Vi markerer punkt 1 på sirkelen og tar den som en av toppunktene i femkanten. Del segment AO i to. For å gjøre dette, med radius AO fra punkt A, beskriver vi buen til skjæringspunktet med sirkelen i punktene M og B. Forbinder vi disse punktene med en rett linje, får vi punktet K, som vi så kobler til punkt 1. Med en radius lik segmentet A7 beskriver vi buen fra punkt K til skjæringspunktet med den diametrale linjen AO​ ved punkt H. Forbinder punkt 1 med punkt H, får vi siden av femkanten. Så, med en kompassåpning lik segmentet 1H, som beskriver buen fra toppunkt 1 til skjæringspunktet med sirkelen, finner vi toppunkt 2 og 5. Etter å ha laget hakk fra toppunkt 2 og 5 med samme kompassåpning, får vi de resterende toppunkt 3 og 4. Vi kobler de funnet punktene sekvensielt med hverandre.

Bygging av en vanlig femkant gitt sin side.

For å konstruere en regulær femkant langs dens gitte side (fig. 64), deler vi segmentet AB i seks like deler. Fra punktene A og B med radius AB beskriver vi buer, hvis skjæringspunkt vil gi punktet K. Gjennom dette punktet og divisjon 3 på linjen AB tegner vi en vertikal linje. Lenger fra punktet K på denne rette linjen setter vi til side et segment lik 4/6 AB. Vi får punkt 1 - toppunktet til femkanten. Deretter, med en radius lik AB, fra punkt 1 beskriver vi buen til skjæringspunktet med buene som tidligere er tegnet fra punktene A og B. Skjæringspunktene til buene bestemmer toppunktene til femkanten 2 og 5. Vi kobler de funne hjørner i serie med hverandre.

Konstruksjon av en vanlig sjukant innskrevet i en sirkel.

La en sirkel med diameter D gis; du må skrive inn en vanlig sjukant i den (fig. 65). Del den vertikale diameteren til sirkelen i syv like deler. Fra punkt 7 med radius lik diameteren til sirkelen D beskriver vi buen til den skjærer fortsettelsen av den horisontale diameteren i punktet F. Punkt F kalles polygonens pol. Ved å ta punkt VII som en av toppunktene til heptagonen, trekker vi stråler fra polen F gjennom jevne inndelinger av den vertikale diameteren, hvis skjæringspunkt med sirkelen vil bestemme toppunktene VI, V og IV til heptagonen. For å få toppunkter / - // - /// fra punktene IV, V og VI tegner vi horisontale linjer til de krysser sirkelen. Vi kobler de funnet toppunktene i serie med hverandre. Heptagonen kan konstrueres ved å trekke stråler fra F-polen og gjennom odde inndelinger av den vertikale diameteren.

Metoden ovenfor er egnet for å konstruere vanlige polygoner med et hvilket som helst antall sider.

Delingen av en sirkel i et hvilket som helst antall like deler kan også gjøres ved å bruke dataene i tabellen. 2, som viser koeffisientene som gjør det mulig å bestemme dimensjonene til sidene til regulære innskrevne polygoner.

Sidelengder av vanlige innskrevne polygoner.

Den første kolonnen i denne tabellen viser antall sider av en vanlig innskrevet polygon, og den andre kolonnen viser koeffisientene. Lengden på en side av en gitt polygon fås ved å multiplisere radiusen til en gitt sirkel med en faktor som tilsvarer antall sider i denne polygonen.

Ozhegovs forklarende ordbok sier at en femkant er en avgrenset av fem kryssende rette linjer som danner fem indre vinkler, samt ethvert objekt med lignende form. Hvis en gitt polygon har alle de samme sidene og vinklene, kalles den en regulær (femkant).

Hva er interessant med en vanlig femkant?

Det var i denne formen den velkjente bygningen til USAs forsvarsdepartement ble bygget. Av de voluminøse regulære polyedrene er det bare dodekaeder som har femkantformede ansikter. Og i naturen er krystaller helt fraværende, hvis ansikter vil ligne en vanlig femkant. I tillegg er denne figuren en polygon med et minimum antall hjørner som ikke kan brukes til å flislegge et område. Bare en femkant har samme antall diagonaler som sidene. Enig, det er interessant!

Grunnleggende egenskaper og formler

Ved å bruke formlene for en vilkårlig regulær polygon kan du bestemme alle nødvendige parametere som femkanten har.

• Sentralvinkel α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Innvendig vinkel β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Følgelig er summen av de indre vinklene 540°.
• Forholdet mellom diagonalen og siden er (1+√5)/2, dvs. (omtrent 1,618).
• Lengden på siden som en vanlig femkant har kan beregnes ved å bruke en av tre formler, avhengig av hvilken parameter som allerede er kjent:

• hvis en sirkel er omskrevet rundt den og dens radius R er kjent, så er a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• i tilfellet når en sirkel med radius r er innskrevet i en regulær femkant, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• det hender at i stedet for radier er verdien av diagonalen D kjent, da bestemmes siden som følger: a ≈ D / 1.618.

• Arealet til en vanlig femkant bestemmes igjen, avhengig av hvilken parameter vi kjenner:
• hvis det er en innskrevet eller omskrevet sirkel, brukes en av to formler:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r eller S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• området kan også bestemmes, bare vite lengden på siden a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Vanlig femkant: konstruksjon

Denne geometriske figuren kan konstrueres på forskjellige måter. For eksempel, skriv den inn i en sirkel med en gitt radius, eller bygg den på grunnlag av en gitt sideside. Handlingssekvensen ble beskrevet i Euklids elementer rundt 300 f.Kr. Uansett trenger vi et kompass og en linjal. Vurder konstruksjonsmetoden ved å bruke en gitt sirkel.

1. Velg en vilkårlig radius og tegn en sirkel, og merk midten med punktet O.

2. På sirkellinjen velger du et punkt som skal tjene som en av toppunktene til femkanten vår. La dette være punkt A. Koble punktene O og A med en rett linje.

3. Tegn en linje gjennom punktet O vinkelrett på linjen OA. Merk punktet der denne linjen skjærer sirkellinjen som punkt B.

4. Bygg punkt C midt i avstanden mellom punktene O og B.

5. Tegn nå en sirkel, hvis sentrum vil være i punktet C og som vil gå gjennom punktet A. Stedet for skjæringspunktet med linjen OB (det vil være innenfor den aller første sirkelen) vil være punktet D.

6. Konstruer en sirkel som går gjennom D, hvis sentrum vil være ved A. Stedene for dens skjæringspunkt med den opprinnelige sirkelen må merkes med punktene E og F.

7. Bygg nå en sirkel, hvis sentrum vil være i E. Du må gjøre dette slik at den går gjennom A. Dens andre skjæringspunkt av den opprinnelige sirkelen må angis

8. Tegn til slutt en sirkel gjennom A sentrert ved punktet F. Marker et annet skjæringspunkt for den opprinnelige sirkelen med punktet H.

9. Nå gjenstår det bare å koble toppunktene A, E, G, H, F. Vår vanlige femkant vil være klar!

5.3. gylden femkant; konstruksjonen av Euklid.

Et fantastisk eksempel på det "gyldne snittet" er en vanlig femkant - konveks og stjerneformet (fig. 5).

For å bygge et pentagram, må du bygge en vanlig femkant.

La O være sentrum av sirkelen, A et punkt på sirkelen og E midtpunktet av segment OA. Perpendikulæren til radius OA, gjenopprettet ved punkt O, skjærer sirkelen i punkt D. Bruk et kompass til å markere segmentet CE = ED på diameteren. Lengden på en side av en vanlig femkant innskrevet i en sirkel er DC. Vi setter til side segmenter DC på sirkelen og får fem poeng for å tegne en vanlig femkant. Vi kobler hjørnene på femkanten gjennom en diagonal og får et pentagram. Alle diagonaler i femkanten deler hverandre i segmenter forbundet med det gylne snitt.

Hver ende av den femkantede stjernen er en gylden trekant. Sidene danner en vinkel på 36° på toppen, og basen som er lagt på siden deler den i forhold til det gylne snitt.

Det er også en gylden kuboid - dette er et rektangulært parallellepiped med kanter med lengder på 1,618, 1 og 0,618.

Vurder nå beviset som tilbys av Euclid in the Elements.

fra midten av den omskrevne sirkelen. La oss begynne med

segment ABE, delt på midten og

Så la AC = AE. Angi de like vinklene EBC og CEB med a. Siden AC=AE er vinkelen ACE også lik a. Teoremet om at summen av vinklene til en trekant er 180 grader lar deg finne vinkelen ALL: den er 180-2a, og vinkelen EAC er 3a - 180. Men da er vinkelen ABC 180-a. Oppsummering av vinklene til trekanten ABC, får vi

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 -a)

Derfra 5a=360, så a=72.

Så hver av vinklene ved bunnen av trekanten BEC er to ganger vinkelen på toppen, lik 36 grader. Derfor, for å konstruere en regulær femkant, er det bare nødvendig å tegne en hvilken som helst sirkel sentrert ved punkt E, som skjærer EC ved punkt X og side EB ved punkt Y: segmentet XY er en av sidene av den vanlige femkanten som er innskrevet i sirkel; Går du rundt hele sirkelen, kan du finne alle de andre sidene.

Vi beviser nå at AC=AE. Anta at toppunktet C er forbundet med et rett linjestykke til midtpunktet N av stykket BE. Merk at siden CB = CE, så er vinkelen CNE en rett vinkel. I følge Pythagoras teorem:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Derfor har vi (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Så AC = ja = jAB = AE, som skulle bevises

5.4 Arkimedes spiral.

Ved å kutte av firkanter i rekkefølge fra gyldne rektangler til uendelig, hver gang vi forbinder motsatte punkter med en kvart sirkel, får vi en ganske elegant kurve. Den første oppmerksomheten ble trukket til henne av den gamle greske forskeren Archimedes, hvis navn hun bærer. Han studerte det og utledet ligningen for denne spiralen.

For tiden er Archimedes-spiralen mye brukt i teknologi.

6. Fibonacci-tall.

Navnet på den italienske matematikeren Leonardo fra Pisa, som er bedre kjent under kallenavnet Fibonacci (Fibonacci er en forkortelse av filius Bonacci, det vil si sønnen til Bonacci), er indirekte forbundet med det gylne snitt.

I 1202 han skrev boken «Liber abacci», det vil si «Kermerens bok». «Liber abacci» er et omfangsrikt verk som inneholder nesten all datidens aritmetiske og algebraiske kunnskap og spilte en betydelig rolle i utviklingen av matematikken i Vest-Europa i løpet av de neste århundrene. Spesielt var det fra denne boken at europeere ble kjent med hinduistiske ("arabiske") tall.

Materialet som er rapportert i boken er forklart om et stort antall problemer som utgjør en betydelig del av denne avhandlingen.

Tenk på et slikt problem:

Hvor mange par kaniner blir født fra ett par i løpet av ett år?

Noen plasserte et par kaniner på et bestemt sted, omsluttet på alle sider av en vegg, for å finne ut hvor mange kaninpar som vil bli født i løpet av dette året, hvis kaninene er av en slik natur at et par kaniner i løpet av en måned kaniner vil reprodusere en annen, og kaniner føder fra den andre måneden etter fødselen.

La oss nå gå fra kaniner til tall og vurdere følgende numeriske sekvens:

u 1 , u 2 … u n

der hvert ledd er lik summen av de to foregående, dvs. for alle n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Denne sekvensen asymptotisk (nærmer seg mer og saktere) har en tendens til en konstant sammenheng. Imidlertid er dette forholdet irrasjonelt, det vil si at det er et tall med en uendelig, uforutsigbar rekkefølge av desimaler i brøkdelen. Det kan ikke uttrykkes nøyaktig.

Hvis et medlem av Fibonacci-sekvensen deles med den som går foran (for eksempel 13:8), vil resultatet være en verdi som svinger rundt den irrasjonelle verdien 1,61803398875... og noen ganger overskrider den, noen ganger ikke når den.

Den asymptotiske oppførselen til sekvensen, de dempede fluktuasjonene i forholdet rundt et irrasjonelt tall Φ kan bli mer forståelig hvis vi viser forholdene til flere første ledd i sekvensen. Dette eksemplet viser forholdet mellom det andre leddet til det første, det tredje til det andre, det fjerde til det tredje, og så videre:

1:1 = 1,0000, som er mindre enn phi med 0,6180

2:1 = 2,0000, som er 0,3820 mer phi

3:2 = 1,5000, som er mindre enn phi med 0,1180

5:3 = 1,6667, som er 0,0486 mer phi

8:5 = 1,6000, som er mindre enn phi med 0,0180

Når du beveger deg langs Fibonacci-summeringssekvensen, vil hvert nytt ledd dele det neste med mer og mer tilnærming til det uoppnåelige F.

En person søker ubevisst etter den guddommelige proporsjonen: den er nødvendig for å tilfredsstille hans behov for trøst.

Når vi deler et hvilket som helst medlem av Fibonacci-sekvensen med den neste, får vi bare den gjensidige på 1,618 (1: 1,618=0,618). Men dette er også et veldig uvanlig, til og med bemerkelsesverdig fenomen. Siden det opprinnelige forholdet er en uendelig brøk, bør dette forholdet heller ikke ha noen ende.

Når vi deler hvert tall med det neste etter det, får vi tallet 0,382

Ved å velge forhold på denne måten får vi hovedsettet med Fibonacci-koeffisienter: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Vi nevner også 0.5. Alle spiller en spesiell rolle i naturen og spesielt i teknisk analyse.

Det skal bemerkes her at Fibonacci bare minnet menneskeheten om sekvensen hans, siden den var kjent i antikken under navnet Golden Section.

Det gylne snitt, som vi har sett, oppstår i forbindelse med den regulære femkanten, så Fibonacci-tallene spiller en rolle i alt som har med vanlige femkanter å gjøre – konvekse og stjerneformede.

Fibonacci-serien kunne ha forblitt bare en matematisk hendelse hvis det ikke var for det faktum at alle forskere av den gyldne divisjonen i plante- og dyreverdenen, for ikke å nevne kunst, alltid kom til denne serien som et aritmetisk uttrykk for den gyldne divisjonsloven . Forskere fortsatte å aktivt utvikle teorien om Fibonacci-tall og det gylne snitt. Yu. Matiyasevich ved hjelp av Fibonacci-tall løser Hilberts 10. problem (om løsningen av diofantiske ligninger). Det finnes elegante metoder for å løse en rekke kybernetiske problemer (søketeori, spill, programmering) ved hjelp av Fibonacci-tall og det gylne snitt. I USA opprettes til og med Mathematical Fibonacci Association, som har publisert et spesialtidsskrift siden 1963.

En av prestasjonene på dette området er oppdagelsen av generaliserte Fibonacci-tall og generaliserte gylne snitt. Fibonacci-serien (1, 1, 2, 3, 5, 8) og den "binære" tallserien oppdaget av ham 1, 2, 4, 8, 16 ... (det vil si en serie med tall opp til n) , hvor et hvilket som helst naturlig tall mindre enn n kan representeres som summen av noen tall i denne serien) ved første øyekast, er de helt forskjellige. Men algoritmene for deres konstruksjon er veldig like hverandre: i det første tilfellet er hvert tall summen av det forrige tallet med seg selv 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., i den andre - dette er summen av de to foregående tallene 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Er det mulig for å finne en generell matematisk formel fra hvilken og " binære serier, og Fibonacci-serien?

Faktisk, la oss sette en numerisk parameter S, som kan ha alle verdier: 0, 1, 2, 3, 4, 5... atskilt fra den forrige med S-trinn. Hvis vi betegner det n-te medlemmet av denne serien med S (n), får vi den generelle formelen S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Åpenbart, med S = 0, vil vi fra denne formelen få en "binær" serie, med S = 1 - en Fibonacci-serie, med S = 2, 3, 4. nye tallserier, som kalles S-Fibonacci-tall.

Generelt sett er den gyldne S-proporsjonen den positive roten av ligningen i den gyldne S-seksjonen x S+1 – x S – 1 = 0.

Det er lett å vise at ved S = 0 oppnås delingen av segmentet i to, og ved S = 1 oppnås det kjente klassiske gylne snittet.

Forholdene mellom nærliggende Fibonacci S-tall med absolutt matematisk nøyaktighet faller sammen i grensen med de gylne S-proporsjonene! Det vil si at gyldne S-snitt er numeriske invarianter av Fibonacci S-tall.

7. Gyldent snitt i kunst.

7.1. Gyldent snitt i maleri.

Når man ser på eksempler på det "gyldne snittet" i maleriet, kan man ikke annet enn å stoppe oppmerksomheten til Leonardo da Vincis arbeid. Hans identitet er et av historiens mysterier. Leonardo da Vinci sa selv: "La ingen som ikke er matematiker våge å lese verkene mine."

Det er ingen tvil om at Leonardo da Vinci var en stor kunstner, hans samtidige erkjente dette allerede, men hans personlighet og aktiviteter vil forbli innhyllet i mystikk, siden han ikke overlot til ettertiden en sammenhengende presentasjon av ideene sine, men bare tallrike håndskrevne skisser, bemerker som sier "både alle i verden."

Portrettet av Monna Lisa (Gioconda) har tiltrukket seg oppmerksomheten til forskere i mange år, som fant ut at komposisjonen til tegningen er basert på gylne trekanter som er deler av en vanlig stjerne femkant.

Også andelen av det gylne snitt vises i Shishkins maleri. I dette berømte maleriet av I. I. Shishkin er motivene til det gylne snittet tydelig synlige. Det sterkt opplyste furutreet (står i forgrunnen) deler lengden på bildet i henhold til det gylne snitt. Til høyre for furutreet er en ås opplyst av solen. Den deler høyre side av bildet horisontalt i henhold til det gylne snitt.

Raphaels maleri «The Massacre of the Innocents» viser et annet element i det gylne snitt – den gylne spiralen. På den forberedende skissen til Raphael er det tegnet røde linjer som løper fra det semantiske sentrum av komposisjonen - punktet der krigerens fingre lukket seg rundt barnets ankel - langs figurene til barnet, kvinnen som klemte ham til seg selv, krigeren med en hevet sverd og deretter langs figurene av samme gruppe på høyre side av skissen. Det er ikke kjent om Raphael bygde den gyldne spiralen eller følte den.

T. Cook brukte det gylne snitt når han analyserte maleriet av Sandro Botticelli "The Birth of Venus".

7.2. Pyramider av det gylne snitt.

De medisinske egenskapene til pyramidene, spesielt det gylne snitt, er viden kjent. I følge noen av de vanligste meningene virker rommet der en slik pyramide ligger større, og luften er mer gjennomsiktig. Drømmer begynner å bli husket bedre. Det er også kjent at det gylne snitt ble mye brukt i arkitektur og skulptur. Et eksempel på dette var: Pantheon og Parthenon i Hellas, bygningene til arkitektene Bazhenov og Malevich

8. Konklusjon.

Det må sies at det gylne snitt har en stor anvendelse i livene våre.

Det er bevist at menneskekroppen er delt i forhold til det gylne snitt av beltelinjen.

Skallet til nautilus er vridd som en gylden spiral.

Takket være det gylne snittet ble asteroidebeltet mellom Mars og Jupiter oppdaget - i proporsjon skulle det være en annen planet der.

Eksiteringen av strengen ved punktet som deler den i forhold til den gylne inndelingen vil ikke føre til at strengen vibrerer, det vil si at dette er kompensasjonspunktet.

På fly med elektromagnetiske energikilder opprettes rektangulære celler med andelen av det gylne snitt.

Gioconda er bygget på gylne trekanter, den gyldne spiralen er til stede i Raphaels maleri "Massacre of the Innocents".

Andel funnet i maleriet av Sandro Botticelli "The Birth of Venus"

Det er mange arkitektoniske monumenter bygget med det gylne snitt, inkludert Pantheon og Parthenon i Athen, bygningene til arkitektene Bazhenov og Malevich.

John Kepler, som levde for fem århundrer siden, eier utsagnet: "Geometri har to store skatter. Den første er Pythagoras teorem, den andre er inndelingen av et segment i ekstreme og gjennomsnittlige forhold"

Bibliografi

1. D. Pidow. Geometri og kunst. – M.: Mir, 1979.

2. Tidsskrift "Vitenskap og teknologi"

3. Magasinet "Quantum", 1973, nr. 8.

4. Tidsskrift "Matematikk i skolen", 1994, nr. 2; Nummer 3.

5. Kovalev F.V. Gyldent snitt i maleri. K .: Vyscha skole, 1989.

6. Stakhov A. Koder for det gylne snitt.

7. Vorobyov N.N. "Fibonacci-tall" - M.: Nauka 1964

8. "Matematikk - Encyclopedia for children" M .: Avanta +, 1998

9. Informasjon fra Internett.

Fibonacci-matriser og de såkalte «gyldne» matrisene, ny datamaskinaritmetikk, en ny kodingsteori og en ny teori om kryptografi. Essensen av den nye vitenskapen er revisjonen av all matematikk fra det gyldne snitt, og starter med Pythagoras, som selvfølgelig vil medføre nye og absolutt veldig interessante matematiske resultater i teorien. Rent praktisk – «gyllen» databehandling. Og fordi...

Dette resultatet vil ikke bli påvirket. Grunnlaget for det gyldne snitt er en invariant av de rekursive forholdene 4 og 6. Dette viser "stabiliteten" til det gyldne snitt, et av prinsippene for organisering av levende materie. Grunnlaget for det gylne snitt er også løsningen av to eksotiske rekursive sekvenser (fig. 4.) Fig. 4 rekursive Fibonacci-sekvenser Så...

Øret er j5 og avstanden fra øre til krone er j6. I denne statuen ser vi altså en geometrisk progresjon med nevneren j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Fig. 9). Dermed er det gyldne snitt et av de grunnleggende prinsippene i kunsten i antikkens Hellas. Rytmer i hjertet og hjernen. Menneskehjertet slår jevnt - omtrent 60 slag per minutt i hvile. Hjertet komprimeres som et stempel...