Hvordan lage en skanning - et mønster for en kjegle eller en avkortet kjegle av en gitt størrelse. Enkel sveipeberegning. Volumet av kjeglen, dens beregning Volumet av kjeglens bart

Blant mangfoldet av geometriske kropper er en av de mest interessante kjeglen. Den er dannet ved å rotere en rettvinklet trekant rundt det ene bena.

Hvordan finne volumet til en kjegle - grunnleggende konsepter

Før du begynner å beregne volumet til en kjegle, bør du gjøre deg kjent med de grunnleggende konseptene.

• Sirkulær kjegle - bunnen av en slik kjegle er en sirkel. Hvis basen er en ellipse, parabel eller hyperbel, kalles figurene elliptiske, parabolske eller hyperbolske kjegler. Det er verdt å huske at de to siste typene kjegler har et uendelig volum.
• En avkortet kjegle er en del av en kjegle plassert mellom basen og et plan parallelt med denne basen, plassert mellom toppen og basen.
• Høyde - et segment vinkelrett på basen, frigjort fra toppen.
• Generatrisen til en kjegle er et segment som forbinder grensen til basen og toppen.

Kjeglevolum

For å beregne volumet til en kjegle brukes formelen V=1/3*S*H, der S er grunnflaten, H er høyden. Siden bunnen av kjeglen er en sirkel, blir arealet funnet av formelen S= nR^2, hvor n = 3,14, R er radiusen til sirkelen.

Det er en situasjon der noen av parameterne er ukjente: høyde, radius eller generatrise. I dette tilfellet er det verdt å ty til Pythagoras teorem. Den aksiale delen av kjeglen er en likebenet trekant, bestående av to rettvinklede trekanter, der l er hypotenusen, og H og R er bena. Så l=(H^2+R^2)^1/2.

Avkortet kjeglevolum

En avkortet kjegle er en kjegle med en avskåret topp.

For å finne volumet til en slik kjegle trenger du formelen:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

hvor n=3,14, r er radiusen til snittsirkelen, R er radiusen til den store basen, H er høyden.

Den aksiale seksjonen av den avkortede kjeglen vil være en likebenet trapes. Derfor, hvis det er nødvendig å finne lengden på generatrisen til en kjegle eller radiusen til en av sirklene, er det verdt å bruke formler for å finne sidene og basene til en trapes.

Finn volumet til en kjegle hvis høyden er 8 cm og bunnradiusen er 3 cm.

Oppgitt: H=8 cm, R=3 cm.

Finn først arealet av basen ved å bruke formelen S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Nå, ved å bruke formelen V=1/3*S*H, finner vi volumet til kjeglen.

V=1/3*28,26*8=75,36cm^3

Kjegleformede figurer finnes overalt: parkeringskjegler, bygningstårn, lampeskjerm. Derfor kan det å vite hvordan man finner volumet til en kjegle noen ganger være nyttig både i det profesjonelle og i hverdagen.

I stedet for ordet "mønster", brukes noen ganger "sveip", men dette begrepet er tvetydig: for eksempel er en reamer et verktøy for å øke diameteren til et hull, og i elektronisk teknologi er det et konsept om en reamer. Derfor, selv om jeg er forpliktet til å bruke ordene "cone sweep" slik at søkemotorer kan finne denne artikkelen ved å bruke dem, vil jeg bruke ordet "pattern".

Å bygge et mønster for en kjegle er en enkel sak. La oss vurdere to tilfeller: for en full kjegle og for en avkortet. På bildet (Klikk for å forstørre) skisser av slike kjegler og deres mønstre vises. (Jeg merker med en gang at vi kun vil snakke om rette kjegler med rund base. Vi vil vurdere kjegler med oval base og skrå kjegler i de følgende artiklene).

1. Full avsmalning

Betegnelser:

Mønsterparametere beregnes av formlene:
;
;
hvor .

2. Avkuttet kjegle

Betegnelser:

Formler for beregning av mønsterparametere:
;
;
;
hvor .
Merk at disse formlene også er egnet for hele kjeglen hvis vi erstatter .

Noen ganger, når du konstruerer en kjegle, er verdien av vinkelen ved toppunktet (eller ved det imaginære toppunktet, hvis kjeglen er avkortet) grunnleggende. Det enkleste eksemplet er når du trenger en kjegle for å passe tett inn i en annen. La oss betegne denne vinkelen med en bokstav (se bilde).
I dette tilfellet kan vi bruke det i stedet for en av de tre inngangsverdiene: , eller . Hvorfor "sammen Om", ikke "sammen e"? Fordi tre parametere er nok til å konstruere en kjegle, og verdien av den fjerde beregnes gjennom verdiene til de tre andre. Hvorfor akkurat tre, og ikke to eller fire, er et spørsmål som ligger utenfor rammen av denne artikkelen. En mystisk stemme forteller meg at dette på en eller annen måte er forbundet med tredimensjonaliteten til "kjeglen"-objektet. (Sammenlign med de to innledende parameterne til det todimensjonale sirkelsegmentobjektet, som vi beregnet alle dets andre parametere fra i artikkelen.)

Nedenfor er formlene som den fjerde parameteren til kjeglen bestemmes med når tre er gitt.

4. Metoder for å konstruere et mønster

• Regn ut verdiene på kalkulatoren og bygg et mønster på papir (eller umiddelbart på metall) ved hjelp av kompass, linjal og gradskive.
• Skriv inn formler og kildedata i et regneark (for eksempel Microsoft Excel). Resultatet som oppnås brukes til å bygge et mønster ved hjelp av en grafisk editor (for eksempel CorelDRAW).
• bruk programmet mitt, som vil tegne på skjermen og skrive ut et mønster for en kjegle med de gitte parameterne. Dette mønsteret kan lagres som en vektorfil og importeres til CorelDRAW.

5. Ikke parallelle baser

Når det gjelder avkortede kjegler, bygger Cones-programmet fortsatt mønstre for kjegler som kun har parallelle baser.
For de som leter etter en måte å konstruere et avkortet kjeglemønster med ikke-parallelle baser, her er en lenke levert av en av de besøkende på nettstedet:
En avkortet kjegle med ikke-parallelle baser.

Utviklingen av kjeglens overflate er en flat figur oppnådd ved å kombinere sideflaten og bunnen av kjeglen med et visst plan.

Sveip konstruksjonsalternativer:

Utvikling av en høyre sirkulær kjegle

Utviklingen av sideoverflaten til en rett sirkulær kjegle er en sirkulær sektor, hvis radius er lik lengden av generatrisen til den koniske overflaten l, og den sentrale vinkelen φ bestemmes av formelen φ=360*R/ l, hvor R er radiusen til omkretsen til kjeglens base.

I en rekke problemer med beskrivende geometri er den foretrukne løsningen tilnærmingen (erstatningen) av en kjegle med en pyramide innskrevet i den og konstruksjonen av et omtrentlig sveip, som det er praktisk å tegne linjer som ligger på en konisk overflate.

Konstruksjonsalgoritme

1. Vi skriver inn en polygonal pyramide i den koniske overflaten. Jo flere sideflater av den innskrevne pyramiden, desto mer nøyaktig samsvarer det mellom den faktiske og omtrentlige skanningen.
2. Vi bygger en utvikling av sideflaten til pyramiden ved hjelp av trekantmetoden. Punktene som tilhører bunnen av kjeglen er forbundet med en jevn kurve.

Eksempel

I figuren nedenfor er en vanlig sekskantet pyramide SABCDEF innskrevet i en rett sirkulær kjegle, og en omtrentlig utvikling av dens sideoverflate består av seks likebenede trekanter - pyramidens overflater.

Betrakt en trekant S 0 A 0 B 0 . Lengdene på sidene S 0 A 0 og S 0 B 0 er lik generatrisen l til den koniske overflaten. Verdien A 0 B 0 tilsvarer lengden A'B'. For å bygge en trekant S 0 A 0 B 0 på et vilkårlig sted på tegningen, setter vi til side segmentet S 0 A 0 =l, hvoretter vi tegner sirkler med radius S 0 B 0 =l og A 0 B 0 = A'B' fra punktene S 0 og A 0 henholdsvis. Vi forbinder skjæringspunktet for sirkler B 0 med punktene A 0 og S 0 .

Overflatene S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 av SABCDEF-pyramiden er bygget på samme måte som trekanten S 0 A 0 B 0 .

Punktene A, B, C, D, E og F, som ligger ved bunnen av kjeglen, er forbundet med en jevn kurve - en sirkelbue, hvis radius er lik l.

Skrå kjegleutvikling

Vurder prosedyren for å konstruere et sveip av sideoverflaten til en skrå kjegle ved tilnærmingsmetoden.

Algoritme

1. Vi skriver inn sekskanten 123456 i sirkelen til kjeglens basis.Koble punktene 1, 2, 3, 4, 5 og 6 med toppunktet S. Pyramiden S123456 konstruert på denne måten er, med en viss tilnærmingsgrad, en erstatning for den koniske overflaten og brukes som sådan i videre konstruksjoner.
2. Vi bestemmer de naturlige verdiene til kantene på pyramiden ved å bruke metoden for rotasjon rundt den fremspringende linjen: i eksemplet brukes i-aksen, som er vinkelrett på det horisontale projeksjonsplanet og passerer gjennom toppunktet S.
   Så, som et resultat av rotasjonen av kanten S5, inntar dens nye horisontale projeksjon S'5'1 en posisjon der den er parallell med frontplanet π2. Følgelig er S''5'' 1 naturverdien til S5.
3. Vi konstruerer en utvikling av sideflaten til pyramiden S123456, bestående av seks trekanter: 0 1 0 . Konstruksjonen av hver trekant utføres på tre sider. For eksempel har △S 0 1 0 6 0 lengden S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

Graden av korrespondanse av det omtrentlige sveipet til det faktiske avhenger av antall ansikter til den påskrevne pyramiden. Antall ansikter er valgt basert på hvor lett det er å lese tegningen, kravene til nøyaktigheten, tilstedeværelsen av karakteristiske punkter og linjer som må overføres til skanningen.

Overføring av en linje fra overflaten av en kjegle til en utvikling

Linjen n som ligger på overflaten av kjeglen er dannet som et resultat av dens skjæring med et visst plan (figur nedenfor). Tenk på algoritmen for å konstruere linje n på sveipet.

Algoritme

1. Finn projeksjonene til punktene A, B og C, der linjen n skjærer kantene på pyramiden innskrevet i kjeglen S123456.
2. Vi bestemmer den faktiske størrelsen på segmentene SA, SB, SC ved å rotere rundt den utstikkende linjen. I dette eksemplet, SA=S''A'', SB=S''B'' 1, SC=S''C'' 1 .
3. Vi finner posisjonen til punktene A 0 , B 0 , C 0 på de tilsvarende kantene av pyramiden, og setter til side segmentene S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 = S''C'' 1 .
4. Vi kobler punktene A 0 , B 0 , C 0 med en jevn linje.

Avkuttet kjegleutvikling

Metoden for å konstruere et sveip av en rett sirkulær avkortet kjegle, beskrevet nedenfor, er basert på likhetsprinsippet.

I geometri er en avkortet kjegle et legeme som er dannet ved rotasjon av en rektangulær trapes rundt den siden av den, som er vinkelrett på basen. Hvordan regner de avkortet kjeglevolum, alle kjenner fra skolegeometrikurset, og i praksis brukes denne kunnskapen ofte av designere av ulike maskiner og mekanismer, utviklere av noen forbruksvarer, samt arkitekter.

Beregning av volumet til en avkortet kjegle

Formelen for å beregne volumet til en avkortet kjegle

Volumet til en avkortet kjegle beregnes med formelen:

h- kjeglehøyde

r- radius av den øvre basen

R- bunnradius

V- volum av den avkortede kjeglen

π - 3,14

Med slike geometriske kropper som avkuttede kjegler, i hverdagen møter alle ganske ofte, om ikke konstant. Formen deres har et bredt utvalg av beholdere som er mye brukt i hverdagen: bøtter, glass, noen kopper. Det sier seg selv at designerne som utviklet dem må ha brukt en formel som regner avkortet kjeglevolum, siden denne verdien er veldig viktig i dette tilfellet, fordi den bestemmer en så viktig egenskap som kapasiteten til produktet.

Tekniske strukturer, som er avkuttede kjegler, kan ofte sees på store industribedrifter, samt termiske og kjernekraftverk. Det er denne formen kjøletårn har - enheter designet for å kjøle ned store mengder vann ved å tvinge en motstrøm av atmosfærisk luft. Oftest brukes disse designene i tilfeller der det er nødvendig å redusere temperaturen på en stor mengde væske betydelig på kort tid. Utviklerne av disse strukturene må bestemme avkortet kjeglevolum formelen for å regne som er ganske enkel og kjent for alle de som en gang studerte godt på videregående.

Detaljer med denne geometriske formen finnes ganske ofte i utformingen av forskjellige tekniske enheter. For eksempel er gir som brukes i systemer der det er nødvendig å endre retningen på kinetisk transmisjon, oftest implementert ved hjelp av vinkelgir. Disse delene er en integrert del av et bredt utvalg av girkasser, samt automatiske og manuelle girkasser som brukes i moderne kjøretøy.

Formen på en avkortet kjegle har noen skjæreverktøy som er mye brukt i produksjon, for eksempel freser. Med deres hjelp kan du behandle skrå overflater i en viss vinkel. For sliping av kuttere av metallbearbeidings- og trebearbeidingsutstyr brukes ofte slipeskiver, som også er avkuttede kjegler. I tillegg, avkortet kjeglevolum det er nødvendig å bestemme designere av dreie- og fresemaskiner, som involverer festing av et skjæreverktøy utstyrt med koniske skaft (bor, reamers, etc.).