Uendelig avtagende geometrisk progresjon online. Formelen for summen av de første n medlemmene av fastlegen. Problemer med å beregne renters rente

NUMERISKE SEKVENSER VI

§ l48. Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon

Til nå, når vi snakker om summer, har vi alltid antatt at antall ledd i disse summene er endelig (for eksempel 2, 15, 1000 osv.). Men når man løser noen problemer (spesielt høyere matematikk), må man forholde seg til summene av et uendelig antall ledd

S= en 1 + en 2 + ... + en n + ... . (1)

Hva er disse beløpene? Per definisjon summen av et uendelig antall ledd en 1 , en 2 , ..., en n , ... kalles grensen for summen S n først P tall når P -> ∞ :

S=S n = (en 1 + en 2 + ... + en n ). (2)

Limit (2) kan selvfølgelig eksistere eller ikke. Følgelig sies summen (1) å eksistere eller ikke å eksistere.

Hvordan finne ut om summen (1) eksisterer i hvert enkelt tilfelle? En generell løsning på dette spørsmålet går langt utenfor rammen av programmet vårt. Det er imidlertid en viktig spesiell sak som vi må vurdere nå. Vi vil snakke om summeringen av vilkårene for en uendelig avtagende geometrisk progresjon.

La en 1 , en 1 q , en 1 q 2, ... er en uendelig avtagende geometrisk progresjon. Dette betyr at | q |< 1. Сумма первых P medlemmer av denne progresjonen er lik

Fra de grunnleggende teoremene om grensene for variabler (se § 136) får vi:

Men 1 = 1, a q n = 0. Derfor

Så summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon er lik første ledd i denne fremgangen delt på én minus nevneren for denne progresjonen.

1) Summen av den geometriske progresjonen 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... er

og summen av en geometrisk progresjon er 12; -6; 3; - 3/2 , ... lik

2) En enkel periodisk brøk 0,454545 ... blir til en vanlig.

For å løse dette problemet, representerer vi denne brøken som en uendelig sum:

Høyre side av denne likheten er summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon, hvor den første leddet er 45/100, og nevneren er 1/100. Derfor

På den måten som er beskrevet kan også hovedregelen for omregning av enkle periodiske brøker til vanlige brøker fås (se kapittel II, § 38):

For å konvertere en enkel periodisk brøk til en vanlig, må du gå frem som følger: legg inn perioden til desimalbrøken i telleren, og i nevneren - et tall som består av ni tatt like mange ganger som det er sifre i perioden av desimalbrøken.

3) Blandet periodisk brøk 0,58333 .... blir til en vanlig brøk.

La oss representere denne brøken som en uendelig sum:

På høyre side av denne likheten danner alle ledd, fra 3/1000, en uendelig avtagende geometrisk progresjon, hvor den første ledd er 3/1000, og nevneren er 1/10. Derfor

På den beskrevne måten kan også hovedregelen for omdannelse av blandede periodiske fraksjoner til vanlige fraksjoner fås (se kapittel II, § 38). Vi tar det bevisst ikke med her. Det er ikke nødvendig å huske denne tungvinte regelen. Det er mye mer nyttig å vite at enhver blandet periodisk brøk kan representeres som summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon og et eller annet tall. Og formelen

for summen av en uendelig minkende geometrisk progresjon, må man selvfølgelig huske.

Som en øvelse inviterer vi deg, i tillegg til oppgave nr. 995-1000 nedenfor, til nok en gang å gå over til oppgave nr. 301 § 38.

Øvelser

995. Hva kalles summen av en uendelig minkende geometrisk progresjon?

996. Finn summene av uendelig avtagende geometriske progresjoner:

997. For hvilke verdier X progresjon

er uendelig avtagende? Finn summen av en slik progresjon.

998. I en likesidet trekant med en side en en ny trekant er innskrevet ved å forbinde midtpunktene på sidene; en ny trekant er skrevet inn i denne trekanten på samme måte, og så videre ad infinitum.

a) summen av omkretsene til alle disse trekantene;

b) summen av deres arealer.

999. I en firkant med en side en en ny firkant er innskrevet ved å forbinde midtpunktene på sidene; en firkant er skrevet inn i denne ruten på samme måte, og så videre i det uendelige. Finn summen av omkretsen til alle disse rutene og summen av arealene deres.

1000. Lag en uendelig avtagende geometrisk progresjon, slik at summen er lik 25 / 4, og summen av kvadratene av leddene er lik 625 / 24.

En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor det første leddet er ikke-null, og hvert neste ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null.

Konseptet med geometrisk progresjon

Den geometriske progresjonen er betegnet med b1,b2,b3, …, bn, … .

Forholdet mellom et ledd i den geometriske feilen og dets forrige ledd er lik det samme tallet, det vil si b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Dette følger direkte av definisjonen av en aritmetisk progresjon. Dette tallet kalles nevneren for en geometrisk progresjon. Vanligvis er nevneren for en geometrisk progresjon betegnet med bokstaven q.

Summen av en uendelig geometrisk progresjon for |q|<1

En måte å sette en geometrisk progresjon på er å sette dens første ledd b1 og nevneren for den geometriske feilen q. For eksempel, b1=4, q=-2. Disse to betingelsene gir en geometrisk progresjon på 4, -8, 16, -32, ….

Hvis q>0 (q er ikke lik 1), er progresjonen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen, 2, 4,8,16,32, ... en monotont økende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nevneren q=1 i den geometriske feilen, vil alle medlemmer av den geometriske progresjonen være lik hverandre. I slike tilfeller sies progresjonen å være en konstant sekvens.

For at den numeriske sekvensen (bn) skal være en geometrisk progresjon, er det nødvendig at hver av dens medlemmer, fra den andre, er det geometriske gjennomsnittet av naboelementene. Det vil si at det er nødvendig å oppfylle følgende ligning
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, der n tilhører settet med naturlige tall N.

La oss nå sette (Xn) - en geometrisk progresjon. Nevneren for den geometriske progresjonen q, med |q|∞).
Hvis vi nå betegner med S summen av en uendelig geometrisk progresjon, vil følgende formel gjelde:
S=xl/(1-q).

Tenk på et enkelt eksempel:

Finn summen av en uendelig geometrisk progresjon 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

For å finne S bruker vi formelen for summen av en uendelig aritmetisk progresjon. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor det første leddet er ikke-null, og hvert neste ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null.

Den geometriske progresjonen er angitt b1,b2,b3, …, bn, … .

Monotonisk og konstant sekvens

Hvis q>0 (q er ikke lik 1), så er progresjonen monoton sekvens. For eksempel er sekvensen, 2, 4,8,16,32, ... en monotont økende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nevneren q=1 i den geometriske feilen, vil alle medlemmer av den geometriske progresjonen være lik hverandre. I slike tilfeller sies progresjonen å være konstant sekvens.

Formel for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon

Formelen for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon er:

bn=b1*q^(n-1),

hvor n tilhører settet med naturlige tall N.

Formelen for summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon

Formelen for summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon er:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) hvor q ikke er lik 1.

Tenk på et enkelt eksempel:

I geometrisk progresjon finner b1=6, q=3, n=8 Sn.

For å finne S8 bruker vi formelen for summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Formelen for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon er en veldig enkel ting. Både i mening og generelt. Men det er alle slags problemer for formelen til det n-te medlemmet - fra veldig primitive til ganske alvorlige. Og i prosessen med vårt bekjentskap vil vi definitivt vurdere dem begge. Vel, la oss møtes?)

Så, for det første, faktisk formeln

Der er hun:

b n = b 1 · q n -1

Formel som en formel, ikke noe overnaturlig. Den ser enda enklere og mer kompakt ut enn den lignende formelen for . Betydningen av formelen er også enkel, som en filtstøvel.

Denne formelen lar deg finne ALLE medlemmer av en geometrisk progresjon ETTER NUMMER " n".

Som du kan se, er betydningen en fullstendig analogi med en aritmetisk progresjon. Vi kjenner tallet n - vi kan også beregne leddet under dette tallet. Hva vi ønsker. Ikke multiplisere sekvensielt med "q" mange, mange ganger. Det er hele poenget.)

Jeg forstår at på dette nivået av arbeid med progresjoner, bør alle mengdene som er inkludert i formelen allerede være klare for deg, men jeg anser det som min plikt å tyde hver enkelt. For sikkerhets skyld.

Så la oss gå:

b 1 – den første medlem av en geometrisk progresjon;

q – ;

n– medlemsnummer;

b n – nth (nth) medlem av en geometrisk progresjon.

Denne formelen kobler sammen de fire hovedparametrene for enhver geometrisk progresjon - bn, b 1 , q og n. Og rundt disse fire nøkkelfigurene dreier alt-alle oppgaver i progresjon.

"Og hvordan vises det?"- Jeg hører et nysgjerrig spørsmål ... Elementært! Se!

Hva er lik sekund progresjonsmedlem? Ikke noe problem! Vi skriver direkte:

b 2 = b 1 q

Og det tredje medlemmet? Ikke noe problem heller! Vi multipliserer det andre leddet igjen påq.

Som dette:

B 3 \u003d b 2 q

Husk nå at det andre leddet på sin side er lik b 1 q og bytt ut dette uttrykket med vår likhet:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Vi får:

B 3 = b 1 q 2

La oss nå lese vår oppføring på russisk: tredje ledd er lik første ledd multiplisert med q in sekund grad. Forstår du det? Ikke ennå? Ok, ett skritt til.

Hva er fjerde termin? Alt det samme! Multiplisere tidligere(dvs. tredje ledd) på q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Total:

B 4 = b 1 q 3

Og igjen oversetter vi til russisk: fjerde ledd er lik første ledd multiplisert med q in tredje grad.

Og så videre. Så hvordan er det? Fikk du med deg mønsteret? Ja! For alle ledd med et hvilket som helst tall, vil antallet like faktorer q (dvs. kraften til nevneren) alltid være ett mindre enn antallet til ønsket medlemn.

Derfor vil formelen vår være uten alternativer:

b n =b 1 · q n -1

Det er alt.)

Vel, la oss løse problemer, skal vi?)

Løse problemer på en formelnledd i en geometrisk progresjon.

La oss starte, som vanlig, med en direkte anvendelse av formelen. Her er et typisk problem:

Det er kjent eksponentielt b 1 = 512 og q = -1/2. Finn det tiende leddet i progresjonen.

Selvfølgelig kan dette problemet løses uten noen formler i det hele tatt. Akkurat som en geometrisk progresjon. Men vi må varme opp med formelen til det n-te leddet, ikke sant? Her bryter vi opp.

Våre data for å bruke formelen er som følger.

Det første begrepet er kjent. Dette er 512.

b 1 = 512.

Progresjonens nevner er også kjent: q = -1/2.

Det gjenstår bare å finne ut hva tallet på begrepet n er lik. Ikke noe problem! Er vi interessert i den tiende perioden? Så vi erstatter ti i stedet for n i den generelle formelen.

Og regn nøye ut aritmetikken:

Svar: -1

Som du kan se, viste den tiende terminen av progresjonen seg å være med minus. Ikke så rart: nevneren for progresjonen er -1/2, dvs. negativ Antall. Og dette forteller oss at tegnene på progresjonen vår veksler, ja.)

Alt er enkelt her. Og her er et lignende problem, men litt mer komplisert når det gjelder beregninger.

I geometrisk progresjon vet vi at:

b 1 = 3

Finn det trettende leddet i progresjonen.

Alt er det samme, bare denne gangen er nevneren for progresjonen - irrasjonell. Rot av to. Vel, ingen stor sak. Formelen er en universell ting, den takler alle tall.

Vi jobber direkte etter formelen:

Formelen fungerte selvfølgelig som den skulle, men ... det er her noen vil henge. Hva skal jeg gjøre videre med roten? Hvordan heve en rot til tolvte potens?

Hvordan-hvordan ... Du må forstå at enhver formel, selvfølgelig, er en god ting, men kunnskapen om all tidligere matematikk er ikke kansellert! Hvordan heve? Ja, husk egenskapene til grader! La oss endre roten til brøkgrad og - ved formelen for å heve en makt til en makt.

Som dette:

Svar: 192

Og alle ting.)

Hva er hovedvanskeligheten ved direkte anvendelse av formelen for n'te ledd? Ja! Den største vanskeligheten er jobb med grader! Nemlig eksponentisering av negative tall, brøker, røtter og lignende konstruksjoner. Så de som har problemer med dette, en presserende anmodning om å gjenta gradene og deres egenskaper! Ellers vil du senke farten i dette emnet, ja ...)

La oss nå løse typiske søkeproblemer et av elementene i formelen hvis alle de andre er gitt. For en vellykket løsning av slike problemer er oppskriften enkel og enkel å skremme - skriv formelennmedlem generelt! Rett i notatboken ved siden av tilstanden. Og så, fra tilstanden, finner vi ut hva som er gitt oss og hva som ikke er nok. Og vi uttrykker ønsket verdi fra formelen. Alt!

For eksempel et slikt ufarlig problem.

Det femte leddet i en geometrisk progresjon med nevneren 3 er 567. Finn det første leddet i denne progresjonen.

Ikke noe komplisert. Vi jobber direkte etter trolldommen.

Vi skriver formelen til det n-te leddet!

b n = b 1 · q n -1

Hva er gitt til oss? Først er nevneren for progresjonen gitt: q = 3.

I tillegg er vi gitt femte medlem: b 5 = 567 .

Alt? Ikke! Vi får også tallet n! Dette er en femmer: n = 5.

Jeg håper du allerede forstår hva som står i protokollen b 5 = 567 to parametere er skjult på en gang - dette er selve det femte medlemmet (567) og dets nummer (5). I en lignende leksjon om jeg allerede snakket om dette, men jeg tror det ikke er overflødig å minne om det her.)

Nå erstatter vi dataene våre i formelen:

567 = b 1 3 5-1

Vi vurderer aritmetikk, forenkler og får en enkel lineær ligning:

81 b 1 = 567

Vi løser og får:

b 1 = 7

Som du kan se, er det ingen problemer med å finne det første medlemmet. Men når man leter etter nevneren q og tall n det kan komme overraskelser. Og du må også være forberedt på dem (overraskelser), ja.)

For eksempel et slikt problem:

Det femte leddet i en geometrisk progresjon med en positiv nevner er 162, og det første leddet i denne progresjonen er 2. Finn progresjonens nevner.

Denne gangen får vi utdelt første og femte medlem, og blir bedt om å finne nevneren for progresjonen. Her starter vi.

Vi skriver formelennmedlem!

b n = b 1 · q n -1

Våre første data vil være som følger:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Ikke nok verdi q. Ikke noe problem! La oss finne det nå.) Vi erstatter alt vi vet i formelen.

Vi får:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

En enkel ligning av fjerde grad. Men nå - forsiktig! På dette stadiet av løsningen trekker mange studenter umiddelbart med glede ut roten (av fjerde grad) og får svaret q=3 .

Som dette:

q4 = 81

q = 3

Men generelt sett er dette et uferdig svar. Eller rettere sagt, ufullstendig. Hvorfor? Poenget er at svaret q = -3 passer også: (-3) 4 ville også vært 81!

Dette er fordi potensligningen x n = en alltid har to motsatte røtter på til og medn . Pluss og minus:

Begge passer.

For eksempel å løse (dvs. sekund grader)

x2 = 9

Av en eller annen grunn er du ikke overrasket over utseendet to røtter x=±3? Det er det samme her. Og med alle andre til og med grad (fjerde, sjette, tiende osv.) vil være den samme. Detaljer - i emnet om

Så den riktige løsningen vil være:

q 4 = 81

q= ±3

Ok, vi har funnet ut av tegnene. Hvilken er riktig - pluss eller minus? Vel, vi leser tilstanden til problemet igjen på jakt etter tilleggsinformasjon. Det kan selvfølgelig ikke eksistere, men i dette problemet slik informasjon tilgjengelig. I vår tilstand står det direkte at det gis en progresjon med positiv nevner.

Så svaret er åpenbart:

q = 3

Alt er enkelt her. Hva tror du ville skjedd hvis problemformuleringen var slik:

Det femte leddet i en geometrisk progresjon er 162, og det første leddet i denne progresjonen er 2. Finn progresjonens nevner.

Hva er forskjellen? Ja! I tilstanden ingenting ingen omtale av nevneren. Verken direkte eller indirekte. Og her ville problemet allerede ha to løsninger!

q = 3 og q = -3

Ja Ja! Og med pluss og minus.) Matematisk ville dette faktum bety at det finnes to progresjoner som passer til oppgaven. Og for hver - sin egen nevner. For moro skyld kan du trene og skrive ned de fem første termene av hver.)

La oss nå øve på å finne medlemsnummeret. Dette er den vanskeligste, ja. Men også mer kreativ.

Gitt en geometrisk progresjon:

3; 6; 12; 24; …

Hvilket tall er 768 i denne progresjonen?

Det første trinnet er det samme: skriv formelennmedlem!

b n = b 1 · q n -1

Og nå, som vanlig, erstatter vi dataene vi kjenner til. Hm... det passer ikke! Hvor er det første medlemmet, hvor er nevneren, hvor er alt annet?!

Hvor, hvor ... Hvorfor trenger vi øyne? Flafrende øyevipper? Denne gangen gis progresjonen til oss direkte i skjemaet sekvenser. Kan vi se første termin? Vi ser! Dette er en trippel (b 1 = 3). Hva med nevneren? Vi ser det ikke ennå, men det er veldig enkelt å telle. Hvis du selvfølgelig forstår.

Her vurderer vi. Direkte i henhold til betydningen av en geometrisk progresjon: vi tar noen av medlemmene (unntatt den første) og deler med den forrige.

I det minste slik:

q = 24/12 = 2

Hva annet vet vi? Vi kjenner også noen medlemmer av denne progresjonen, lik 768. Under noen tall n:

b n = 768

Vi vet ikke nummeret hans, men vår oppgave er nettopp å finne ham.) Så vi leter etter. Vi har allerede lastet ned alle nødvendige data for substitusjon i formelen. Umerkelig.)

Her erstatter vi:

768 = 3 2n -1

Vi lager elementære - vi deler begge deler med tre og omskriver ligningen i vanlig form: det ukjente til venstre, det kjente til høyre.

Vi får:

2 n -1 = 256

Her er en interessant ligning. Vi må finne "n". Hva er uvanlig? Ja, jeg krangler ikke. Egentlig er det det enkleste. Det kalles så fordi det ukjente (i dette tilfellet er det nummeret n) står i indikator grad.

På bekjentskapsstadiet med en geometrisk progresjon (dette er niende klasse), læres ikke eksponentielle ligninger å løse, ja ... Dette er et tema for videregående skole. Men det er ikke noe forferdelig. Selv om du ikke vet hvordan slike ligninger løses, la oss prøve å finne vår n ledet av enkel logikk og sunn fornuft.

Vi begynner å diskutere. Til venstre har vi en toer til en viss grad. Vi vet ennå ikke nøyaktig hva denne graden er, men dette er ikke skummelt. Men på den annen side vet vi bestemt at denne graden er lik 256! Så vi husker i hvilken grad toeren gir oss 256. Husker du? Ja! PÅ åttende grader!

256 = 2 8

Hvis du ikke husket eller med erkjennelsen av graden av problemet, så er det også greit: vi hever bare de to sekvensielt til kvadratet, til kuben, til fjerde potens, femte, og så videre. Utvalget, faktisk, men på dette nivået, er litt av en tur.

På en eller annen måte får vi:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Så 768 er niende medlem av vår progresjon. Det er det, problemet løst.)

Svar: 9

Hva? Kjedelig? Lei av det elementære? Jeg er enig. Og jeg også. La oss gå til neste nivå.)

Mer komplekse oppgaver.

Og nå løser vi gåtene mer brått. Ikke akkurat superkul, men som du må jobbe litt med for å komme til svaret.

For eksempel slik.

Finn det andre leddet i en geometrisk progresjon hvis det fjerde leddet er -24 og det sjuende leddet er 192.

Dette er en klassiker i sjangeren. Noen to forskjellige medlemmer av progresjonen er kjent, men ett medlem til må finnes. Dessuten er alle medlemmer IKKE naboer. Det som forvirrer først, ja...

Som i vurderer vi to metoder for å løse slike problemer. Den første måten er universell. Algebraisk. Fungerer feilfritt med alle kildedata. Så det er der vi begynner.)

Vi maler hvert ledd etter formelen nmedlem!

Alt er nøyaktig det samme som med en aritmetisk progresjon. Bare denne gangen jobber vi med en annen generell formel. Det er alt.) Men essensen er den samme: vi tar og etter tur vi erstatter våre innledende data i formelen til det n-te leddet. For hvert medlem - sitt eget.

For fjerde semester skriver vi:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Det er. En ligning er fullført.

For syvende termin skriver vi:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Totalt ble det oppnådd to likninger for samme progresjon .

Vi setter sammen et system fra dem:

Til tross for det formidable utseendet er systemet ganske enkelt. Den mest åpenbare måten å løse på er den vanlige substitusjonen. Vi uttrykker b 1 fra den øvre ligningen og bytt inn i den nedre:

Litt fikling med den nedre ligningen (redusere eksponentene og dele med -24) gir:

q 3 = -8

Den samme ligningen kan man forresten komme frem til på en enklere måte! Hva? Nå vil jeg vise deg en annen hemmelig, men veldig vakker, kraftig og nyttig måte å løse slike systemer på. Slike systemer, i ligningene som de sitter fungerer bare. I hvert fall i ett. kalt termindelingsmetode en ligning til en annen.

Så vi har et system:

I begge ligningene til venstre - arbeid, og til høyre er bare et tall. Dette er et veldig godt tegn.) La oss ta og ... dele for eksempel den nedre ligningen med den øvre! Hva betyr, dele en ligning med en annen? Veldig enkelt. Vi tar venstre side en ligning (nedre) og vi deler henne på venstre side en annen ligning (øvre). Høyre side er lik: høyre sideén ligning vi deler på høyre side en annen.

Hele delingsprosessen ser slik ut:

Når vi nå reduserer alt som er redusert, får vi:

q 3 = -8

Hva er bra med denne metoden? Ja, fordi i prosessen med en slik inndeling kan alt dårlig og ubeleilig reduseres trygt og en helt ufarlig ligning gjenstår! Derfor er det så viktig å ha bare multiplikasjoner i minst én av systemets likninger. Det er ingen multiplikasjon - det er ingenting å redusere, ja ...

Generelt fortjener denne metoden (som mange andre ikke-trivielle måter å løse systemer på) til og med en egen leksjon. Jeg skal definitivt se nærmere på det. En dag…

Uansett hvordan du løser systemet, i alle fall, må vi nå løse den resulterende ligningen:

q 3 = -8

Ikke noe problem: vi trekker ut roten (kubikk) og - ferdig!

Vær oppmerksom på at det ikke er nødvendig å sette pluss/minus her ved uttrekk. Vi har en odde (tredje) grads rot. Og svaret er det samme, ja.

Så nevneren for progresjon er funnet. Minus to. Utmerket! Prosessen er i gang.)

For det første leddet (si fra den øverste ligningen) får vi:

Utmerket! Vi kjenner det første leddet, vi kjenner nevneren. Og nå har vi muligheten til å finne et hvilket som helst medlem av progresjonen. Inkludert den andre.)

For det andre medlemmet er alt ganske enkelt:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Svar: -6

Så vi har sortert ut den algebraiske måten å løse problemet på. Vanskelig? Ikke mye, jeg er enig. Langt og kjedelig? Ja, definitivt. Men noen ganger kan du redusere mengden arbeid betydelig. For dette er det grafisk måte. Godt gammelt og kjent for oss av .)

La oss tegne problemet!

Ja! Nøyaktig. Igjen skildrer vi progresjonen vår på tallaksen. Ikke nødvendigvis av en linjal, det er ikke nødvendig å opprettholde like intervaller mellom medlemmene (som forresten ikke vil være det samme, fordi progresjonen er geometrisk!), Men ganske enkelt skjematisk tegne sekvensen vår.

Jeg fikk det slik:

Se nå på bildet og tenk. Hvor mange like faktorer "q" deler fjerde og syvende medlemmer? Det stemmer, tre!

Derfor har vi full rett til å skrive:

-24q 3 = 192

Herfra er det nå lett å finne q:

q 3 = -8

q = -2

Det er flott, nevneren er allerede i lommen vår. Og nå ser vi på bildet igjen: hvor mange slike nevnere sitter mellom sekund og fjerde medlemmer? To! Derfor, for å registrere forholdet mellom disse medlemmene, vil vi heve nevneren kvadrat.

Her skriver vi:

b 2 · q 2 = -24 , hvor b 2 = -24/ q 2

Vi erstatter vår funnet nevner i uttrykket for b 2 , teller og får:

Svar: -6

Som du kan se, er alt mye enklere og raskere enn gjennom systemet. Dessuten, her trengte vi ikke engang å telle den første terminen i det hele tatt! I det hele tatt.)

Her er et så enkelt og visuelt veilys. Men det har også en alvorlig ulempe. gjettet? Ja! Det er bare bra for svært korte stykker av progresjon. De der avstandene mellom medlemmene av interesse for oss ikke er veldig store. Men i alle andre tilfeller er det allerede vanskelig å tegne et bilde, ja ... Da løser vi problemet analytisk, gjennom et system.) Og systemer er en universell ting. Håndtere et hvilket som helst nummer.

En annen episk:

Det andre leddet i den geometriske progresjonen er 10 mer enn det første, og det tredje leddet er 30 mer enn det andre. Finn nevneren for progresjonen.

Hva er kult? Ikke i det hele tatt! Alt det samme. Vi oversetter igjen tilstanden til problemet til ren algebra.

1) Vi maler hvert ledd etter formelen nmedlem!

Andre ledd: b 2 = b 1 q

Tredje ledd: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Vi skriver ned forholdet mellom medlemmene ut fra problemets tilstand.

Leser tilstanden: "Det andre leddet i en geometrisk progresjon er 10 mer enn det første." Stopp, dette er verdifullt!

Så vi skriver:

b 2 = b 1 +10

Og vi oversetter denne setningen til ren matematikk:

b 3 = b 2 +30

Vi har to ligninger. Vi kombinerer dem til et system:

Systemet ser enkelt ut. Men det er mange forskjellige indekser for bokstaver. La oss erstatte det andre og tredje medlemmet av uttrykket deres gjennom det første medlemmet og nevneren! Forgjeves, eller hva, vi malte dem?

Vi får:

Men et slikt system er ikke lenger en gave, ja ... Hvordan løser man dette? Dessverre, den universelle hemmelige trollformelen for å løse komplekse ikke-lineær Det finnes ingen systemer i matematikk og det kan det ikke være. Det er fantastisk! Men det første du bør tenke på når du prøver å knekke en så tøff nøtt er å finne ut Men er ikke en av systemets likninger redusert til en vakker form, som gjør det enkelt å for eksempel uttrykke en av variablene i form av en annen?

La oss gjette. Den første ligningen i systemet er klart enklere enn den andre. Vi vil torturere ham.) Hvorfor ikke prøve fra den første ligningen noe uttrykke gjennom noe? Siden vi ønsker å finne nevneren q, da ville det være mest fordelaktig for oss å uttrykke b 1 gjennom q.

Så la oss prøve å gjøre denne prosedyren med den første ligningen, ved å bruke de gode gamle:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Alt! Her har vi uttrykt unødvendig oss variabelen (b 1) gjennom nødvendig(q). Ja, ikke det enkleste uttrykket som er mottatt. En slags brøkdel ... Men systemet vårt er på et anstendig nivå, ja.)

Typisk. Hva du skal gjøre - vi vet.

Vi skriver ODZ (nødvendigvis!) :

q ≠ 1

Vi multipliserer alt med nevneren (q-1) og reduserer alle brøker:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vi deler alt med ti, åpner parentesene, samler alt til venstre:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Vi løser resultatet og får to røtter:

q 1 = 1

q 2 = 3

Det er bare ett endelig svar: q = 3 .

Svar: 3

Som du kan se, er måten å løse de fleste problemer for formelen til det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon alltid den samme: vi leser forsiktig tilstanden til problemet, og ved å bruke formelen til det n-te leddet, oversetter vi all nyttig informasjon til ren algebra.

Nemlig:

1) Vi skriver separat hvert medlem gitt i oppgaven i henhold til formelennmedlem.

2) Fra problemets tilstand oversetter vi forbindelsen mellom medlemmene til en matematisk form. Vi lager en likning eller et likningssystem.

3) Vi løser den resulterende ligningen eller likningssystemet, finn de ukjente parametrene for progresjonen.

4) I tilfelle et tvetydig svar, leser vi nøye tilstanden til problemet på jakt etter ytterligere informasjon (hvis noen). Vi sjekker også det mottatte svaret med betingelsene for ODZ (hvis noen).

Og nå viser vi hovedproblemene som oftest fører til feil i prosessen med å løse geometriske progresjonsproblemer.

1. Elementær aritmetikk. Operasjoner med brøker og negative tall.

2. Hvis minst ett av disse tre punktene er et problem, vil du uunngåelig ta feil i dette emnet. Dessverre... Så ikke vær lat og gjenta det som ble nevnt ovenfor. Og følg lenkene - gå. Noen ganger hjelper det.)

Modifiserte og tilbakevendende formler.

Og la oss nå se på et par typiske eksamensproblemer med en mindre kjent presentasjon av tilstanden. Ja, ja, du gjettet det! den modifisert og tilbakevendende formler for det n-te medlemmet. Vi har allerede møtt slike formler og jobbet i aritmetisk progresjon. Alt er likt her. Essensen er den samme.

For eksempel, et slikt problem fra OGE:

Den geometriske progresjonen er gitt av formelen b n = 3 2 n . Finn summen av første og fjerde ledd.

Denne gangen er progresjonen gitt til oss ikke helt som vanlig. En slags formel. Hva så? Denne formelen er også en formelnmedlem! Vi vet alle at formelen til det n-te leddet kan skrives både i generell form, gjennom bokstaver og for spesifikk progresjon. FRA spesifikk første ledd og nevner.

I vårt tilfelle får vi faktisk en generell termformel for en geometrisk progresjon med følgende parametere:

b 1 = 6

q = 2

La oss sjekke?) La oss skrive formelen til det n-te leddet i generell form og erstatte det i det b 1 og q. Vi får:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Vi forenkler ved å bruke faktorisering og potensegenskaper, og får:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Som du kan se, er alt rettferdig. Men målet vårt med deg er ikke å demonstrere utledningen av en spesifikk formel. Dette er en lyrisk digresjon. Rent for forståelse.) Målet vårt er å løse problemet i henhold til formelen som er gitt oss i tilstanden. Skjønner du det?) Så vi jobber med den modifiserte formelen direkte.

Vi teller første termin. Erstatning n=1 inn i den generelle formelen:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Som dette. Forresten, jeg er ikke for lat, og nok en gang vil jeg gjøre deg oppmerksom på en typisk tabbe med beregningen av første termin. IKKE se på formelen b n= 3 2n, skynder deg umiddelbart å skrive at det første medlemmet er en troika! Det er en stor feil, ja...)

Vi fortsetter. Erstatning n=4 og tenk på det fjerde begrepet:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Og til slutt beregner vi det nødvendige beløpet:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Svar: 54

Et annet problem.

Den geometriske progresjonen er gitt av forholdene:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Finn det fjerde leddet i progresjonen.

Her er progresjonen gitt av den tilbakevendende formelen. Vel ok.) Hvordan jobbe med denne formelen – Det vet vi også.

Her handler vi. Steg for steg.

1) teller to suksessiv medlem av progresjonen.

Den første perioden er allerede gitt til oss. Minus syv. Men det neste, andre leddet, kan enkelt beregnes ved hjelp av den rekursive formelen. Hvis du forstår hvordan det fungerer, selvfølgelig.)

Her tar vi for oss andre termin ifølge den berømte første:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Vi vurderer nevneren for progresjonen

Heller ikke noe problem. Rett, del sekund pikk på den første.

Vi får:

q = -21/(-7) = 3

3) Skriv formelennmedlem i vanlig form og vurdere ønsket medlem.

Så vi kjenner det første leddet, også nevneren. Her skriver vi:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Svar: -189

Som du kan se, er det å jobbe med slike formler for en geometrisk progresjon i hovedsak ikke forskjellig fra det for en aritmetisk progresjon. Det er bare viktig å forstå den generelle essensen og betydningen av disse formlene. Vel, meningen med geometrisk progresjon må også forstås, ja.) Og da blir det ingen dumme feil.

Vel, la oss bestemme på egen hånd?)

Ganske elementære oppgaver, for oppvarming:

1. Gitt en geometrisk progresjon der b 1 = 243, og q = -2/3. Finn sjette ledd i progresjonen.

2. Den vanlige termen for en geometrisk progresjon er gitt av formelen b n = 5∙2 n +1 . Finn nummeret til det siste tresifrede medlemmet i denne progresjonen.

3. Den geometriske progresjonen er gitt av betingelsene:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Finn det femte leddet i progresjonen.

Litt mer komplisert:

4. Gitt en geometrisk progresjon:

b 1 =2048; q =-0,5

Hva er det sjette negative leddet i det?

Hva virker supervanskelig? Ikke i det hele tatt. Logikk og forståelse av betydningen av geometrisk progresjon vil spare. Vel, formelen for det n-te leddet, selvfølgelig.

5. Det tredje leddet i den geometriske progresjonen er -14 og det åttende leddet er 112. Finn nevneren for progresjonen.

6. Summen av første og andre ledd i en geometrisk progresjon er 75, og summen av andre og tredje ledd er 150. Finn det sjette leddet i progresjonen.

Svar (i uorden): 6; -3888; -en; 800; -32; 448.

Det er nesten alt. Det gjenstår bare å lære å telle summen av de første n leddene i en geometrisk progresjon ja oppdage uendelig avtagende geometrisk progresjon og beløpet. En veldig interessant og uvanlig ting, forresten! Mer om det i senere leksjoner.)

En geometrisk progresjon er en numerisk sekvens, hvor det første leddet er ikke-null, og hvert neste ledd er lik det forrige leddet multiplisert med det samme tallet som ikke er null. Den geometriske progresjonen er betegnet med b1,b2,b3, …, bn, …

Egenskaper for en geometrisk progresjon

Hvis q>0 (q er ikke lik 1), er progresjonen en monoton sekvens. For eksempel er sekvensen, 2, 4,8,16,32, ... en monotont økende sekvens (b1=2, q=2).

Hvis nevneren q=1 i den geometriske feilen, vil alle medlemmer av den geometriske progresjonen være lik hverandre. I slike tilfeller sies progresjonen å være en konstant sekvens.

Formel for det n'te medlemmet av progresjonen

For at den numeriske sekvensen (bn) skal være en geometrisk progresjon, er det nødvendig at hver av dens medlemmer, fra den andre, er det geometriske gjennomsnittet av naboelementene. Det vil si at det er nødvendig å oppfylle følgende ligning - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), for enhver n>0, der n tilhører settet med naturlige tall N.

Formelen for det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon er:

bn=b1*q^(n-1), der n tilhører settet med naturlige tall N.

Tenk på et enkelt eksempel:

I geometrisk progresjon finner b1=6, q=3, n=8 bn.

La oss bruke formelen til det n-te medlemmet av en geometrisk progresjon.