Hvor mange kombinasjoner er 2 av 10. Kombinatorikk: grunnleggende regler og formler. Permutasjoner og sannsynlighetsteori

Alle N elementer, og ingen gjentas, så er dette et problem med antall permutasjoner. Løsningen kan finnes enkel. Det første stedet i en rad kan være et av N elementer, derfor er det N alternativer. På andreplass - hvilken som helst, bortsett fra den som allerede er brukt for førsteplassen. Derfor, for hvert av de N alternativene som allerede er funnet, er det (N - 1) andreplassalternativer, og det totale antallet kombinasjoner blir N*(N - 1).
Det samme kan gjentas for de resterende elementene i serien. For den aller siste plassen er det bare ett alternativ igjen - det siste gjenværende elementet. For den nest siste er det to alternativer, og så videre.
Derfor, for en serie av N ikke-repeterende elementer, er de mulige permutasjonene lik produktet av alle heltall fra 1 til N. Dette produktet kalles faktorialet til N og betegnes N! (les "en factorial").

I det forrige tilfellet falt antall mulige elementer og antall plasser i raden sammen, og antallet var lik N. Men en situasjon er mulig når det er færre plasser i raden enn det er mulige elementer. Med andre ord, antall elementer i prøven er lik et visst antall M, og M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Først kan det være lurt å telle det totale antallet mulige måter som M elementer ut av N kan ordnes i en rad. Disse måtene kalles arrangementer.
For det andre kan forskeren være interessert i antall måter M-elementer kan velges fra N. I dette tilfellet er ikke lenger rekkefølgen på elementene viktig, men to alternativer må avvike fra hverandre med minst ett element . Slike metoder kalles kombinasjoner.

For å finne antall plasseringer av M-elementer ut av N, kan du ty til samme metode for resonnement som ved permutasjoner. Det kan fortsatt være N elementer i første omgang, N - 1 på andre plass, og så videre. Men for den siste plassen er antallet mulige alternativer ikke lik én, men (N - M + 1), siden når plasseringen er fullført, vil det fortsatt være (N - M) ubrukte elementer.
Dermed er antallet plasseringer av M elementer fra N lik produktet av alle heltall fra (N - M + 1) til N, eller, hva er det samme, kvotienten N!/(N - M)!.

Det er klart at antall kombinasjoner av M elementer fra N vil være mindre enn antall plasseringer. For hver mulig kombinasjon er det en M! mulige plasseringer avhengig av rekkefølgen på elementene i denne kombinasjonen. Derfor, for å finne denne mengden, må du dele antall plasseringer av M elementer fra N med N!. Med andre ord, antall kombinasjoner av M elementer fra N er lik N!/(M!*(N - M)!).

KOMBINATORIKK

Kombinatorikk er en gren av matematikken som studerer problemene med å velge og arrangere elementer fra et visst grunnleggende sett i samsvar med gitte regler. Formler og prinsipper for kombinatorikk brukes i sannsynlighetsteori for å beregne sannsynligheten for tilfeldige hendelser og følgelig oppnå lovene for distribusjon av tilfeldige variabler. Dette lar oss igjen studere mønstrene til tilfeldige massefenomener, noe som er svært viktig for en korrekt forståelse av de statistiske mønstrene som manifesterer seg i naturen og teknologien.

Regler for addisjon og multiplikasjon i kombinatorikk

Sumregel. Hvis to handlinger A og B utelukker hverandre, og handling A kan utføres på m måter, og B på n måter, så kan en av disse handlingene (enten A eller B) utføres på n + m måter.

Eksempel 1.

Det er 16 gutter og 10 jenter i klassen. På hvor mange måter kan du tildele én tjenestevakt?

Løsning

Enten en gutt eller en jente kan settes til tjeneste, d.v.s. Vaktlederen kan være hvilken som helst av de 16 guttene eller hvilken som helst av de 10 jentene.

Ved å bruke sumregelen finner vi at én vaktleder kan tildeles på 16+10=26 måter.

Produktregel. La det være k handlinger som kreves for å utføres sekvensielt. Hvis den første handlingen kan utføres på n 1 måter, den andre handlingen på n 2 måter, den tredje på n 3 måter, og så videre til den kth handlingen som kan utføres på n k måter, så kan alle k handlinger sammen utføres :

måter.

Eksempel 2.

Det er 16 gutter og 10 jenter i klassen. På hvor mange måter kan to tjenestemenn utnevnes?

Løsning

Enten en gutt eller en jente kan oppnevnes som førstemann på vakt. Fordi Det er 16 gutter og 10 jenter i klassen, da kan du utpeke førstemann på vakt på 16+10=26 måter.

Etter at vi har valgt første vaktleder, kan vi velge den andre blant de resterende 25 personene, d.v.s. 25 måter.

I følge multiplikasjonsteoremet kan to ledsagere velges på 26*25=650 måter.

Kombinasjoner uten repetisjon. Kombinasjoner med repetisjoner

Et klassisk problem i kombinatorikk er problemet med antall kombinasjoner uten repetisjoner, hvis innhold kan uttrykkes ved spørsmålet: hvor mange måter Kan velge m fra n forskjellige elementer?

Eksempel 3.

Du må velge 4 av 10 forskjellige bøker tilgjengelig som gave. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning

Vi må velge 4 bøker av 10, og rekkefølgen av valg spiller ingen rolle. Dermed må du finne antall kombinasjoner av 10 elementer av 4:

.

Tenk på problemet med antall kombinasjoner med repetisjoner: det er r identiske objekter av hver av n forskjellige typer; hvor mange måter Kan velge m() fra disse (n*r) elementer?

.

Eksempel 4.

Konditoriet solgte 4 typer kaker: Napoleoner, eclairs, sandkaker og butterkaker. På hvor mange måter kan du kjøpe 7 kaker?

Løsning

Fordi Blant 7 kaker kan det være kaker av samme type, da bestemmes antall måter 7 kaker kan kjøpes på av antall kombinasjoner med repetisjoner på 7 til 4.

.

Plasseringer uten repetisjon. Plasseringer med repetisjoner

Et klassisk problem i kombinatorikk er problemet med antall plasseringer uten repetisjoner, hvis innhold kan uttrykkes ved spørsmålet: hvor mange måter Kan velge Og post Av m annerledes steder m fra n annerledes varer?

Eksempel 5.

Noen aviser har 12 sider. Det er nødvendig å plassere fire fotografier på sidene til denne avisen. På hvor mange måter kan dette gjøres hvis ingen side i avisen skal inneholde mer enn ett fotografi?

Løsning.

I denne oppgaven velger vi ikke bare fotografier, men plasserer dem på bestemte sider i avisen, og hver side i avisen skal ikke inneholde mer enn ett fotografi. Dermed er problemet redusert til det klassiske problemet med å bestemme antall plasseringer uten repetisjoner av 12 elementer av 4 elementer:

Dermed kan 4 bilder på 12 sider ordnes på 11 880 måter.

Også et klassisk problem i kombinatorikk er problemet med antall plasseringer med repetisjoner, hvis innhold kan uttrykkes ved spørsmålet: hvor mange måter Kan Dubhæren Og post Av m annerledes steder m fra n elementer,Medklar hvilken Det er det samme?

Eksempel 6.

Gutten hadde fortsatt frimerker med tallene 1, 3 og 7 fra brettspillsettet sitt. Han bestemte seg for å bruke disse stemplene til å sette femsifrede tall på alle bøkene for å lage en katalog. Hvor mange forskjellige femsifrede tall kan en gutt lage?

Permutasjoner uten repetisjon. Permutasjoner med repetisjoner

Et klassisk problem i kombinatorikk er problemet med antall permutasjoner uten repetisjon, hvis innhold kan uttrykkes ved spørsmålet: hvor mange måter Kan post n diverse gjenstander på n annerledes steder?

Eksempel 7.

Hvor mange "ord" på fire bokstaver kan du lage av bokstavene i ordet "ekteskap"?

Løsning

Den generelle befolkningen er de 4 bokstavene i ordet "ekteskap" (b, p, a, k). Antallet "ord" bestemmes av permutasjonene til disse 4 bokstavene, dvs.

For tilfellet når det blant de valgte n elementene er identiske (utvalg med retur), kan problemet med antall permutasjoner med repetisjoner uttrykkes ved spørsmålet: På hvor mange måter kan n objekter plassert på n forskjellige steder omorganiseres hvis det blant n objekter er k forskjellige typer (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Eksempel 8.

Hvor mange forskjellige bokstavkombinasjoner kan lages av bokstavene i ordet "Mississippi"?

Løsning

Det er 1 bokstav "m", 4 bokstaver "i", 3 bokstaver "c" og 1 bokstav "p", for totalt 9 bokstaver. Derfor er antall permutasjoner med repetisjoner lik

BAKGRUNNSSUMMERING FOR AVSNITTET "KOMBINATORIKK"

Venner! Siden jeg allerede har denne døde notatboken, skal jeg bruke den til å stille deg et problem som tre fysikere, to økonomer, en fra Polytechnic og en fra humaniora slet med i går. Vi har ødelagt hele hjernen vår og vi får hele tiden forskjellige resultater. Kanskje det er programmerere og matematiske genier blant dere, dessuten er problemet generelt en skole og veldig enkelt, vi kan rett og slett ikke utlede formelen. Fordi vi ga opp å studere de eksakte vitenskapene og i stedet, av en eller annen grunn, skriver vi bøker og tegner bilder. Beklager.

Så, bakgrunnen.

Jeg fikk et nytt bankkort, og som vanlig gjettet jeg lekent PIN-koden. Men ikke på rekke og rad. Jeg mener, la oss si at PIN-koden var 8794, og jeg sa 9748. Det vil si, jeg triumferende gjettet alle tallene, som var inneholdt i dette firesifrede nummeret. Vel ja, ikke selve nummeret, men bare dens komponenter Jeg lurte på. Men alle tallene stemmer! MERK - Jeg handlet tilfeldig, det vil si at jeg ikke trengte å ordne de allerede kjente tallene i riktig rekkefølge, jeg handlet ganske enkelt i ånden: her er det fire tall som er ukjente for meg, og jeg tror at blant dem kan det være 9, 7, 4 og 8, og rekkefølgen deres er ikke viktig. Vi spurte oss selv umiddelbart, hvor mange alternativer hadde jeg?(sannsynligvis for å forstå hvor kult det er at jeg bare tok det og gjettet). Det vil si, hvor mange kombinasjoner av fire tall måtte jeg velge mellom? Og så brøt naturligvis hele helvete løs. Hodene våre eksploderte hele kvelden, og vi endte alle opp med helt forskjellige svar! Jeg begynte til og med å skrive ut alle disse kombinasjonene i en notatbok på rad etter hvert som de økte, men ved fire hundre innså jeg at det var mer enn fire hundre (i alle fall, dette tilbakeviste svaret fra fysikeren Thrash, som forsikret meg om at det var fire hundre kombinasjoner, men likevel er dette ikke helt klart) - og ga opp.

Faktisk, essensen av spørsmålet. Hva er sannsynligheten for å gjette (i hvilken som helst rekkefølge) fire tall i et firesifret tall?

Eller ikke, la oss omformulere det (jeg er en humanist, tilgi meg, selv om jeg alltid har hatt en stor svakhet for matematikk) for å gjøre det klarere og mer presist. Hvor mange ikke-repeterende kombinasjoner av tall i rekken av ordenstall fra 0 til 9999? ( Vennligst ikke forveksle dette med spørsmålet "hvor mange kombinasjoner ikke-repeterende tall"!!! tall kan gjentas! Jeg mener, 2233 og 3322 er i dette tilfellet samme kombinasjon!!).

Eller enda mer spesifikk. Jeg må gjette ett tall av ti fire ganger. Men ikke på rekke og rad.

Vel, eller noe annet. Generelt må jeg finne ut hvor mange alternativer jeg hadde for den numeriske kombinasjonen som kortets PIN-kode ble satt sammen av. Hjelp, gode folk! Bare vær så snill, når du hjelper, ikke begynn å skrive umiddelbart at det er 9999 alternativer for disse(i går var dette det som kom til alle først), fordi dette er tull - tross alt, fra det perspektivet som bekymrer oss, er tallet 1234, tallet 3421, tallet 4312 og så videre det samme! Vel, ja, tallene kan gjentas, for det er en PIN-kode 1111 eller for eksempel 0007. Du kan tenke deg et bilnummer i stedet for en PIN-kode. La oss si, hva er sannsynligheten for å gjette alle de ensifrede tallene som utgjør bilnummeret? Eller, for å fjerne sannsynlighetsteorien helt - fra hvor mange tallkombinasjoner måtte jeg velge en?

Støtt svarene og resonnementene dine med noen presise formler, for i går ble vi nesten gale. Tusen takk alle sammen på forhånd!

P.S. En smart person, en programmerer, kunstner og oppfinner, foreslo ganske riktig den riktige løsningen på problemet, og ga meg flere minutter med godt humør: " Løsningen på problemet er dette: hun har tvangslidelser, behandlingen er denne: gifte seg og bakketomater. Hvis jeg var henne, ville jeg ikke vært mer opptatt av spørsmålet "hva er sannsynligheten", men av spørsmålet "hvorfor legger jeg merke til alle disse tallene"? Generelt er det ikke engang noe å legge til :)

Kalkulatoren nedenfor er designet for å generere alle kombinasjoner av n ganger m elementer.
Antall slike kombinasjoner kan beregnes ved hjelp av Elements of Combinatorics-kalkulatoren. Permutasjoner, plasseringer, kombinasjoner.

Beskrivelse av generasjonsalgoritmen under kalkulatoren.

Algoritme

Kombinasjoner genereres i leksikografisk rekkefølge. Algoritmen fungerer med ordinalindekser for settelementer.
La oss se på algoritmen ved å bruke et eksempel.
For enkelhets skyld bør du vurdere et sett med fem elementer, hvis indekser begynner med 1, nemlig 1 2 3 4 5.
Det er nødvendig å generere alle kombinasjoner av størrelse m = 3.
Den første kombinasjonen av den gitte størrelsen m initialiseres først - indekser i stigende rekkefølge
1 2 3
Deretter sjekkes det siste elementet, dvs. i = 3. Hvis verdien er mindre enn n - m + i, økes den med 1.
1 2 4
Det siste elementet kontrolleres igjen, og igjen økes det.
1 2 5
Nå er verdien av elementet lik maksimalt mulig: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, det forrige elementet med i = 2 er sjekket.
Hvis verdien er mindre enn n - m + i, økes den med 1, og for alle elementene som følger den, er verdien lik verdien til forrige element pluss 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Deretter sjekker vi igjen for i = 3.
1 3 5
Sjekk deretter for i = 2.
1 4 5
Så kommer turen til i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Og videre,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - den siste kombinasjonen, siden alle dens elementer er lik n - m + i.

Til tross for PIN-kodenes viktige rolle i verdens infrastruktur, har det ikke vært noen akademisk forskning på hvordan folk faktisk velger PIN-koder.

Cambridge University-forskerne Sören Preibusch og Ross Anderson har rettet opp situasjonen ved å publisere verdens første kvantitative analyse av vanskeligheten med å gjette en 4-sifret bank-PIN.

Ved å bruke data om passordlekkasjer fra ikke-bankkilder og nettbaserte undersøkelser fant forskerne at brukere tar valget av PIN-koder mye mer seriøst enn valget av passord for nettsteder: de fleste koder inneholder et nesten tilfeldig sett med tall. Men blant de første dataene er det også enkle kombinasjoner og fødselsdager - det vil si at med litt flaks kan en angriper ganske enkelt gjette den dyrebare koden.

Utgangspunktet for studien var et sett med 4-sifrede passordsekvenser fra RockYou-databasen (1,7 millioner), og en database med 200 tusen PIN-koder fra iPhone-skjermlåsprogrammet (databasen ble levert av applikasjonsutvikleren Daniel Amitay) . I grafene bygget fra disse dataene dukker det opp interessante mønstre - datoer, år, gjentatte tall og til og med PIN-koder som slutter på 69. Basert på disse observasjonene bygde forskere en lineær regresjonsmodell som estimerer populariteten til hver PIN-kode avhengig av 25 faktorer , for eksempel om koden er en DDMM-dato, om det er en stigende sekvens, og så videre. 79 % og 93 % av PIN-kodene i hvert sett oppfyller disse generelle betingelsene.

Så brukere velger 4-sifrede koder basert på bare noen få enkle faktorer. Hvis bank-PIN-koder ble valgt på denne måten, kunne 8-9 % av dem gjettes på bare tre forsøk! Men selvfølgelig er folk mye mer oppmerksomme på bankkoder. I mangel av et stort sett med ekte bankdata, undersøkte forskerne mer enn 1300 personer for å vurdere hvor forskjellige ekte PIN-koder var fra de som allerede var vurdert. Gitt spesifikke av studien, ble ikke respondentene spurt om kodene selv, men bare om deres samsvar med noen av faktorene ovenfor (økende, DDMM-format, etc.).

Det viste seg at folk virkelig velger bankpinkodene sine mye mer nøye. Omtrent en fjerdedel av respondentene bruker en tilfeldig PIN-kode generert av banken. Mer enn en tredjedel velger PIN-koden ved hjelp av et gammelt telefonnummer, student-ID-nummer eller et annet sett med tall som vises tilfeldig. I følge resultatene bruker 64 % av kortinnehaverne en pseudo-tilfeldig PIN-kode, som er mye høyere enn 23-27 % i tidligere eksperimenter med ikke-bankkoder. Ytterligere 5 % bruker et digitalt mønster (f.eks. 4545), og 9 % foretrekker et tastaturmønster (f.eks. 2684). Generelt har en angriper med seks forsøk (tre med minibank og tre med betalingsterminal) mindre enn 2 % sjanse for å gjette PIN-koden til andres kort.

100 mest populære PIN-koder

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. I praksis er det selvfølgelig mye lettere for en angriper å spionere på PIN-koden din enn å gjette den. Men du kan også beskytte deg mot å titte, selv i en tilsynelatende håpløs situasjon:

Kombinatorikk er en gren av matematikken som studerer spørsmål om hvor mange forskjellige kombinasjoner, under visse betingelser, kan lages av gitte objekter. Det grunnleggende om kombinatorikk er svært viktig for å estimere sannsynlighetene for tilfeldige hendelser, fordi Det er de som lar oss beregne det grunnleggende mulige antallet forskjellige alternativer for utvikling av hendelser.

Grunnformel for kombinatorikk

La det være k grupper av elementer, og den i-te gruppen består av n i elementer. La oss velge ett element fra hver gruppe. Da er det totale antallet N måter et slikt valg kan gjøres på, bestemt av forholdet N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Eksempel 1. La oss forklare denne regelen med et enkelt eksempel. La det være to grupper av elementer, og den første gruppen består av n 1 elementer, og den andre - av n 2 elementer. Hvor mange forskjellige elementpar kan lages fra disse to gruppene, slik at paret inneholder ett element fra hver gruppe? La oss si at vi tok det første elementet fra den første gruppen og, uten å endre det, gikk gjennom alle mulige par, og endret bare elementene fra den andre gruppen. Det kan være n 2 slike par for dette elementet. Så tar vi det andre elementet fra den første gruppen og lager også alle mulige par for det. Det vil også være n 2 slike par. Siden det bare er n 1 elementer i den første gruppen, vil totalt mulige alternativer være n 1 *n 2.

Eksempel 2. Hvor mange tresifrede partall kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis sifrene kan gjentas?
Løsning: n 1 =6 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 1, 2, 3, 4, 5, 6 som det første sifferet), n 2 =7 (fordi du kan ta et hvilket som helst tall fra 0 som det andre sifferet , 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (siden et hvilket som helst tall fra 0, 2, 4, 6 kan tas som det tredje sifferet).
Så, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

I tilfellet når alle grupper består av like mange elementer, dvs. n 1 =n 2 =...n k =n vi kan anta at hvert utvalg er gjort fra samme gruppe, og elementet etter seleksjon returneres til gruppen. Da er antallet på alle utvalgsmetodene n k . Denne metoden for seleksjon i kombinatorikk kalles prøver med retur.

Eksempel 3. Hvor mange firesifrede tall kan lages av sifrene 1, 5, 6, 7, 8?
Løsning. For hvert siffer i et firesifret tall er det fem muligheter, som betyr N=5*5*5*5=5 4 =625.

Tenk på et sett som består av n elementer. I kombinatorikk kalles dette settet generell befolkning.

Antall plasseringer av n elementer med m

Definisjon 1. Overnatting fra n elementer av m i kombinatorikk evt bestilt sett fra m ulike elementer valgt fra befolkningen i n elementer.

Eksempel 4. Ulike arrangementer av tre elementer (1, 2, 3) med to vil være settene (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Plasseringer kan avvike fra hverandre både i elementer og rekkefølge.

Antall plasseringer i kombinatorikk er angitt med A n m og beregnes med formelen:

Kommentar: n!=1*2*3*...*n (les: «en factorial»), i tillegg antas det at 0!=1.

Eksempel 5. Hvor mange tosifrede tall er det der titallet og enhetssifferet er forskjellige og odde?
Løsning: fordi Hvis det er fem oddetall, nemlig 1, 3, 5, 7, 9, så kommer denne oppgaven ned på å velge og plassere to av de fem forskjellige sifrene i to forskjellige posisjoner, dvs. de angitte tallene vil være:

Definisjon 2. Kombinasjon fra n elementer av m i kombinatorikk evt uordnet sett fra m ulike elementer valgt fra befolkningen i n elementer.

Eksempel 6. For settet (1, 2, 3) er kombinasjonene (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Antall kombinasjoner av n elementer, m hver

Antall kombinasjoner er angitt med C n m og beregnes med formelen:

Eksempel 7. På hvor mange måter kan en leser velge to bøker av seks tilgjengelige?

Løsning: Antall metoder er lik antall kombinasjoner av seks bøker av to, dvs. er lik:

Permutasjoner av n elementer

Definisjon 3. Permutasjon fra n elementer kalles noen bestilt sett disse elementene.

Eksempel 7a. Alle mulige permutasjoner av et sett som består av tre elementer (1, 2, 3) er: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Antall forskjellige permutasjoner av n elementer er betegnet med P n og beregnes med formelen P n =n!.

Eksempel 8. På hvor mange måter kan syv bøker av forskjellige forfattere ordnes på én rad i en hylle?

Løsning: Dette problemet handler om antall permutasjoner av syv forskjellige bøker. Det er P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 måter å ordne bøkene på.

Diskusjon. Vi ser at antall mulige kombinasjoner kan beregnes i henhold til forskjellige regler (permutasjoner, kombinasjoner, plasseringer) og resultatet vil bli annerledes, fordi Beregningsprinsippet og selve formlene er forskjellige. Ser du nøye på definisjonene, vil du legge merke til at resultatet avhenger av flere faktorer samtidig.

For det første, fra hvor mange elementer vi kan kombinere settene deres (hvor stor er totalen av elementer).

For det andre avhenger resultatet av størrelsen på settene med elementer vi trenger.

Til slutt er det viktig å vite om rekkefølgen av elementene i settet er viktig for oss. La oss forklare den siste faktoren ved å bruke følgende eksempel.

Eksempel 9. Det er 20 personer tilstede på foreldremøtet. Hvor mange ulike alternativer er det for sammensetningen av foreldreutvalget dersom det skal omfatte 5 personer?
Løsning: I dette eksemplet er vi ikke interessert i rekkefølgen av navn på komitélisten. Hvis de samme menneskene som et resultat viser seg å være en del av det, så er dette det samme alternativet for oss. Derfor kan vi bruke formelen til å beregne tallet kombinasjoner med 20 elementer 5 hver.

Ting vil være annerledes hvis hvert komitémedlem i utgangspunktet er ansvarlig for et spesifikt arbeidsområde. Da er det med samme listesammensetning av komiteen muligens 5 inni den! alternativer kombinasjonsmuligheter den saken. Antall forskjellige (både i sammensetning og ansvarsområde) alternativer bestemmes i dette tilfellet av antallet plasseringer med 20 elementer 5 hver.

Selvtestoppgaver
1. Hvor mange tresifrede partall kan lages fra sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, hvis sifrene kan gjentas?
Fordi Et partall på tredjeplass kan være 0, 2, 4, 6, dvs. firesifret. Andreplassen kan være hvilket som helst av de syv sifrene. Det første stedet kan være hvilket som helst av de syv sifrene unntatt null, dvs. 6 muligheter. Resultat =4*7*6=168.
2. Hvor mange femsifrede tall er det som leses likt fra venstre til høyre og fra høyre til venstre?
Det første stedet kan være et hvilket som helst tall unntatt 0, dvs. 9 muligheter. Et hvilket som helst tall kan være på andreplass, dvs. 10 muligheter. Tredjeplassen kan også være et hvilket som helst tall fra, dvs. 10 muligheter. Det fjerde og femte sifferet er forhåndsbestemt, de faller sammen med det første og andre, derfor er antallet slike tall 9*10*10=900.
3. Det er ti fag i klassen og fem leksjoner om dagen. På hvor mange måter kan du lage en tidsplan for én dag?

4. På hvor mange måter kan 4 delegater velges ut til en konferanse hvis det er 20 personer i gruppen?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. På hvor mange måter kan åtte forskjellige bokstaver legges i åtte forskjellige konvolutter, hvis bare én bokstav legges i hver konvolutt?
Du kan legge 1 av de åtte bokstavene i den første konvolutten, en av de resterende syv i den andre, en av de seks i den tredje osv. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. En kommisjon bestående av to matematikere og seks økonomer bør være sammensatt av tre matematikere og ti økonomer. På hvor mange måter kan dette gjøres?