Tangent til en sirkel. Komplette leksjoner - Kunnskapshypermarked. Tangentlinje Hva er en tangentvinkel

En rett linje i forhold til en sirkel kan være i følgende tre posisjoner:

Avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen. I dette tilfellet ligger alle punktene på linjen utenfor sirkelen.

Avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen. I dette tilfellet har den rette linjen punkter som ligger inne i sirkelen, og siden den rette linjen er uendelig i begge retninger, blir den krysset av sirkelen i 2 punkter.

Avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen. Rett linje er tangent.

En rett linje som bare har ett punkt til felles med en sirkel kalles tangent til sirkelen.

Fellespunktet kalles i dette tilfellet kontaktpunkt.

Muligheten for eksistensen av en tangent, og dessuten trukket gjennom et hvilket som helst punkt i sirkelen som et tangenspunkt, bevises av følgende teorem.

Teorem. Hvis en linje er vinkelrett på radius i enden som ligger på sirkelen, så er denne linjen en tangent.

La O (fig) være sentrum av en sirkel og OA noe av dens radius. Gjennom slutten A trekker vi MN ^ OA.

Det kreves å bevise at linjen MN er tangent, dvs. at denne linjen har bare ett felles punkt A med sirkelen.

La oss anta det motsatte: la MN ha et annet felles punkt med sirkelen, for eksempel B.

Da vil rett linje OB være en radius og derfor lik OA.

Men dette kan ikke være det, siden hvis OA er perpendikulær, så må OB være tilbøyelig til MN, og den skrånende er større enn perpendikulæren.

Omvendt teorem. Hvis en linje er tangent til en sirkel, er radiusen trukket til tangenspunktet vinkelrett på den.

La MN være tangens til sirkelen, A tangenspunktet og O sentrum av sirkelen.

Det kreves for å bevise at OA^MN.

La oss anta det motsatte, dvs. La oss anta at perpendikulæren som faller fra O til MN ikke vil være OA, men en annen linje, for eksempel OB.

La oss ta BC = AB og utføre OS.

Da vil OA og OS være skråstilt, like langt fra den perpendikulære OB, og derfor OS = OA.

Det følger av dette at sirkelen, tatt i betraktning vår antagelse, vil ha to fellespunkter med linjen MN: A og C, dvs. MN vil ikke være en tangent, men en sekant, som motsier betingelsen.

Konsekvens. Gjennom et gitt punkt på en sirkel kan man trekke en tangent til denne sirkelen, og bare én, siden man gjennom dette punktet kan tegne en vinkelrett, og bare én, til radiusen som er trukket inn i den.

Teorem. En tangent som er parallell med en akkord deler buen dekket av akkorden i to ved kontaktpunktet.

La rett linje AB (fig.) berøre sirkelen ved punkt M og være parallell med akkord CD.

Vi må bevise at ÈCM = ÈMD.

Ved å trekke diameteren ME gjennom tangenspunktet får vi: EM ^ AB, og derfor EM ^ CB.

Derfor CM=MD.

Oppgave. Tegn en tangent til en gitt sirkel gjennom et gitt punkt.

Hvis et gitt punkt er på en sirkel, tegner du en radius gjennom den og en vinkelrett rett linje gjennom enden av radien. Denne linjen vil være den ønskede tangenten.

La oss vurdere tilfellet når punktet er gitt utenfor sirkelen.

La det kreves (fig.) å tegne en tangent til en sirkel med sentrum O gjennom punktet A.

For å gjøre dette, fra punkt A, som sentrum, beskriver vi en bue med radius AO, og fra punkt O, som sentrum, skjærer vi denne buen i punktene B og C med en kompassåpning lik diameteren til den gitte sirkelen .

Etter å ha tegnet akkordene OB og OS, kobler vi punkt A med punktene D og E, hvor disse akkordene skjærer den gitte sirkelen.

Linjene AD og AE er tangent til sirkel O.

Faktisk, fra konstruksjonen er det klart at rørene AOB og AOC er likebente (AO = AB = AC) med basene OB og OS lik diameteren til sirkelen O.

Siden OD og OE er radier, så er D midten av OB, og E er midten av OS, noe som betyr at AD og AE er medianer trukket til basene til likebenede rør, og derfor vinkelrett på disse basene. Hvis linjene DA og EA er vinkelrett på radiene OD og OE, så er de tangent.

Konsekvens. To tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel er like og danner like vinkler med den rette linjen som forbinder dette punktet med sentrum.

Så AD=AE og ÐOAD = ÐOAE (fig.), fordi rektangulær tr-ki AOD og AOE, som har en felles hypotenuse AO og like ben OD og OE (som radier), er like.

Merk at her betyr ordet "tangens" det faktiske "tangenssegmentet" fra et gitt punkt til kontaktpunktet.

Oppgave. Tegn en tangent til en gitt sirkel O parallelt med en gitt rett linje AB (fig.).

Vi senker en perpendikulær OS til AB fra sentrum O og gjennom punktet D, hvor denne perpendikulæren skjærer sirkelen, tegner EF || AB.

Tangenten vi ser etter vil være EF.

Faktisk, siden OS ^ AB og EF || AB, deretter EF ^ OD, og linjen vinkelrett på radiusen ved dens ende som ligger på sirkelen, er en tangent.

Oppgave. Tegn en felles tangent til to sirkler O og O 1 (fig.).

Analyse. La oss anta at problemet er løst.

La AB være den felles tangenten, A og B tangenspunktene.

Åpenbart, hvis vi finner ett av disse punktene, for eksempel A, kan vi lett finne det andre.

La oss tegne radiene OA og O 1 B. Disse radiene, som er vinkelrette på den felles tangenten, er parallelle med hverandre.

Derfor, hvis fra O 1 trekker vi O 1 C || BA, da vil rørledningen OCO 1 være rektangulær ved toppunktet C.

Som et resultat, hvis vi beskriver en sirkel fra O som sentrum med radius OS, vil den berøre den rette linjen O 1 C ved punkt C.

Radien til denne hjelpesirkelen er kjent: den er lik OA – CA = OA - O 1 B, dvs. det er lik forskjellen mellom radiene til disse sirklene.

Konstruksjon. Fra sentrum O beskriver vi en sirkel med en radius lik forskjellen mellom disse radiene.

Fra O 1 trekker vi en tangent O 1 C til denne sirkelen (på den måten som er angitt i forrige oppgave).

Gjennom tangentpunktet C tegner vi radius OS og fortsetter den til den møter den gitte sirkelen i punktet A. Til slutt, fra A tegner vi AB parallelt med CO 1.

På nøyaktig samme måte kan vi konstruere en annen felles tangent A 1 B 1 (Fig.). Direkte linjer AB og A 1 B 1 kalles utvendig vanlige tangenter.

Du kan bruke to til innvendig tangenter som følger:

Analyse. La oss anta at problemet er løst (fig.). La AB være ønsket tangent.

La oss trekke radiene OA og O 1 B til tangentpunktene A og B. Siden disse radiene begge er vinkelrett på den felles tangenten, er de parallelle med hverandre.

Derfor, hvis fra O 1 trekker vi O 1 C || BA og fortsett OA til punkt C, så vil OS være vinkelrett på O 1 C.

Som et resultat vil sirkelen beskrevet av radius OS fra punkt O som sentrum berøre den rette linjen O 1 C ved punkt C.

Radiusen til denne hjelpesirkelen er kjent: den er lik OA+AC = OA+O 1 B, dvs. det er lik summen av radiene til de gitte sirklene.

Konstruksjon. Fra O som sentrum beskriver vi en sirkel med radius lik summen av disse radiene.

Fra O 1 trekker vi en tangent O 1 C til denne sirkelen.

Vi kobler kontaktpunktet C med O.

Til slutt, gjennom punkt A, der OS skjærer den gitte sirkelen, tegner vi AB = O 1 C.

På lignende måte kan vi konstruere en annen intern tangent A 1 B 1.

Generell definisjon av tangent

La en tangent AT og noe sekant AM trekkes gjennom punktet A til en sirkel med sentrum (fig.).

La oss rotere denne sekanten rundt punkt A slik at det andre skjæringspunktet B beveger seg nærmere og nærmere A.

Da vil den perpendikulære OD, senket fra sentrum til sekanten, nærme seg radius OA mer og mer, og vinkelen AOD kan bli mindre enn en hvilken som helst liten vinkel.

Vinkelen MAT dannet av sekanten og tangenten er lik vinkelen AOD (på grunn av vinkelrett på sidene deres).

Derfor, når punkt B nærmer seg A på ubestemt tid, kan vinkelen MAT også bli vilkårlig liten.

Dette uttrykkes med andre ord slik:

en tangent er grenseposisjonen som en sekant trukket gjennom et tangenspunkt tenderer til når det andre skjæringspunktet nærmer seg tangenspunktet på ubestemt tid.

Denne egenskapen tas som definisjonen av en tangent når man snakker om en hvilken som helst kurve.

Dermed er tangenten til kurven AB (fig.) grenseposisjonen MT som sekanten MN retter seg mot når skjæringspunktet P nærmer seg M uten grense.

Merk at tangenten som er definert på denne måten kan ha mer enn ett felles punkt med kurven (som kan sees på fig.).

direkte ( MN), har bare ett felles punkt med sirkelen ( EN), kalt tangent til sirkelen.

Fellespunktet kalles i dette tilfellet kontaktpunkt.

Mulighet for eksistens tangent, og dessuten trukket gjennom ethvert punkt sirkel, som et punkt av tangency, er bevist som følger teorem.

La det bli pålagt å utføre sirkel med sentrum O tangent gjennom punktet EN. For å gjøre dette fra punktet EN, som fra sentrum, beskriver vi bue radius A.O., og fra poenget O, som sentrum, skjærer vi denne buen ved punktene B Og MED en kompassløsning lik diameteren til den gitte sirkelen.

Etter å ha brukt da akkorder O.B. Og OS, koble til prikken EN med prikker D Og E, hvor disse akkordene krysser en gitt sirkel. Direkte AD Og A.E. - tangenter til en sirkel O. Faktisk, fra konstruksjonen er det klart at trekanter AOB Og AOC likebent(AO = AB = AC) med baser O.B. Og OS, lik diameteren til sirkelen O.

Fordi O.D. Og O.E.- radier altså D - midten O.B., A E- midten OS, Midler AD Og A.E. - medianer, trukket til basene til likebenede trekanter, og derfor vinkelrett på disse basene. Hvis rett D.A. Og E.A. vinkelrett på radiene O.D. Og O.E., så de - tangenter.

Konsekvens.

To tangenter trukket fra ett punkt til en sirkel er like og danner like vinkler med den rette linjen som forbinder dette punktet med sentrum.

Så AD=AE og ∠ OAD = ∠OAE fordi rette trekanter AOD Og AOE, har en felles hypotenusen A.O. og likeverdig bena O.D. Og O.E.(som radier), er like. Merk at her betyr ordet "tangens" faktisk " tangentsegment” fra et gitt punkt til kontaktpunktet.

En rett linje som bare har ett felles punkt med en sirkel kalles en tangent til sirkelen, og deres felles punkt kalles tangentpunktet til linjen og sirkelen.

Teorem (egenskapen til en tangent til en sirkel)

En tangent til en sirkel er vinkelrett på radiusen trukket til tangenspunktet.

Gitt

A – kontaktpunkt

Bevise:p OA

Bevis.

La oss bevise det med selvmotsigelse.

La oss anta at p er OA, så er OA skråstilt til den rette linjen p.

Hvis vi fra punkt O trekker en vinkelrett OH til rett linje p, vil lengden være mindre enn radiusen: OH< ОА=r

Vi finner at avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen p (OH) er mindre enn radiusen (r), som betyr at den rette linjen p er sekant (det vil si at den har to felles punkter med sirkelen), som motsier betingelsene for teoremet (p er tangent).

Dette betyr at antakelsen er feil, derfor er den rette linjen p vinkelrett på OA.

Teorem (Egenskapen til tangentsegmenter trukket fra ett punkt)

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje som går gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

Gitt: ca. (Eller)

AB og AC er tangenter til omgivelsene. (Eller)

Bevise: AB=AC

Bevis

1) OB AB, OS AC, som radier trukket til tangenspunktet (tangensegenskap)

2) Vurder tr. AOB osv. AOS – p/u

JSC – general

OB=OS (som radier)

Dette betyr ABO = AOC (ved hypotenuse og ben). Derfor,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Teorem (tangential test)

Hvis en linje går gjennom enden av en radius som ligger på en sirkel og er vinkelrett på denne radiusen, så er det en tangent.

Gitt: OA – radius av sirkelen

Bevise: p- tangent til sirkelen

Bevis

OA – radius av sirkelen (i henhold til betingelse) (OA=r)

OA – vinkelrett fra O til rett linje p (OA =d)

Dette betyr at r=OA=d, som betyr at den rette linjen p og sirkelen har ett felles punkt.

Derfor er linjen p tangent til sirkelen. etc.

3. Egenskaper til akkorder og sekanter.

Egenskaper for tangent og sekant

DEFINISJON

Omkrets er stedet for punkter like langt fra ett punkt, som kalles sentrum av sirkelen.

Et linjestykke som forbinder to punkter på en sirkel kalles akkord(i figuren er dette et segment). En akkord som går gjennom midten av en sirkel kalles diameter sirkler.

1. Tangenten er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet.

2. Tangentsegmenter trukket fra ett punkt er like.

3. Hvis en tangent og en sekant trekkes fra et punkt som ligger utenfor sirkelen, er kvadratet på lengden på tangenten lik produktet av sekanten og dens ytre del.

Oftest er det geometriske problemer som skaper vanskeligheter for søkere, nyutdannede og deltakere i matematiske olympiader. Hvis du ser på statistikken for Unified State Exam 2010, kan du se at omtrent 12 % av deltakerne startet det geometriske problemet C4, og bare 0,2 % av deltakerne fikk full poengsum, og generelt viste problemet seg å være den vanskeligste av alle de foreslåtte.

Jo tidligere vi tilbyr skolebarn vakre eller uventede måter å løse problemer på, jo større er sannsynligheten for å få dem interessert og fengslet seriøst og i lang tid. Men hvor vanskelig det er å finne interessante og komplekse problemer på 7. trinn, når det systematiske studiet i geometri såvidt begynner. Hva kan tilbys en elev som er interessert i matematikk som bare kjenner tegnene på likhet i trekanter og egenskapene til tilstøtende og vertikale vinkler? Imidlertid kan man introdusere konseptet med en tangent til en sirkel, som en rett linje som har ett felles punkt med sirkelen; anta at radiusen trukket til kontaktpunktet er vinkelrett på tangenten. Selvfølgelig er det verdt å vurdere alle mulige tilfeller av arrangement av to sirkler og vanlige tangenter til dem, som kan trekkes fra null til fire. Ved å bevise teoremene som er foreslått nedenfor, kan du utvide oppgavesettet for sjuendeklassinger betydelig. Samtidig bevise viktige eller rett og slett interessante og underholdende fakta underveis. Siden mange utsagn ikke er inkludert i skoleboken, kan de dessuten diskuteres i sirkelklasser og med nyutdannede ved repetering av planimetri. Disse fakta viste seg å være relevante forrige studieår. Siden mange diagnostiske arbeider og selve arbeidet med Unified State Examination inneholdt et problem for løsningen som det var nødvendig å bruke egenskapen til tangentsegmentet vist nedenfor.

T 1 Segmenter av tangenter til en sirkel trukket fra
lik ett punkt (fig. 1)

Dette er teoremet som du først kan introdusere for sjuendeklassinger.
I bevisprosessen brukte vi likhetstegnet for rettvinklede trekanter og konkluderte med at sentrum av sirkelen ligger på halveringslinjen til vinkelen BSA.
Underveis husket vi at halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter i det indre området av vinkelen, like langt fra sidene. Løsningen på et langt fra trivielt problem er basert på disse fakta, tilgjengelig selv for de som nettopp har begynt å studere geometri.

1. Vinkelhalveringslinjer EN, I Og MED konveks firkant ABCD kryss på ett punkt. Stråler AB Og DC skjære hverandre i et punkt E, og strålene
Sol Og AD på punktet F. Bevis at en ikke-konveks firkant AECF summene av lengdene til motsatte sider er like.

Løsning (fig. 2). La OM– skjæringspunktet for disse halveringslinjene. Deretter OM like langt fra alle sider av firkanten ABCD, det er
er sentrum av en sirkel innskrevet i en firkant. Ved teorem 1 følgende likheter er sanne: AR = A.K., ER = E.P., F.T. = FK. La oss legge til venstre og høyre side ledd for ledd og få riktig likhet:

(AR + ER) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A.F. + (EU + PC). Fordi ST = RS, Det AE + F.C. = A.F. + EU, som var det som måtte bevises.

La oss vurdere et problem med en uvanlig formulering, for løsningen som det er tilstrekkelig å kjenne til teoremet 1 .

2. Er der n-en trekant hvis sider er sekvensielt 1, 2, 3, ..., n, som en sirkel kan skrives inn i?

Løsning. La oss si dette n-gon eksisterer. EN 1 EN 2 =1, …, EN n-1 EN n= n– 1,EN n EN 1 = n. B 1 , …, B n – tilsvarende kontaktpunkter. Så ved teorem 1 EN 1 B 1 = EN 1 B n< 1, n – 1 < EN n B n< n. Ved egenskapen til tangentsegmenter EN n B n= EN n B n-1. Men, EN n B n-1< EN n-1 EN n= n – 1. Motsigelse. Derfor nei n-Gon tilfredsstiller betingelsene for problemet.

T 2 Summene av de motsatte sidene av en firkant beskrevet om
sirkler er like (fig. 3)

Skolebarn beviser som regel lett denne egenskapen til den beskrevne firkanten. Etter å ha bevist teoremet 1 , det er en treningsøvelse. Vi kan generalisere dette faktum - summene av sidene i en omskrevet jevn trekant, tatt gjennom den ene siden, er like. For eksempel for en sekskant A B C D E F Ikke sant: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

3. Moskva statsuniversitet. I en firkant ABCD det er to sirkler: den første sirkelen berører sidene AB, BC Og AD, og den andre – sidene BC, CD Og AD. På sidene B.C. Og AD poeng tatt E Og F følgelig segmentet E.F. berører begge sirklene, og omkretsen av en firkant ABEF på 2p større enn omkretsen av firkanten ECDF. Finne AB, Hvis CD = a.

Løsning (fig. 1). Siden firkantene ABEF og ECDF er sykliske, så ved setning 2 P ABEF = 2(AB + EF) og P ECDF = 2(CD + EF), etter betingelse

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2p. AB – CD = s. AB = a + p.

Grunnoppgave 1. Direkte AB Og AC– tangenter i punkter I Og MED til en sirkel med sentrum i punktet O. Gjennom et vilkårlig punkt X buer Sol
en tangent til sirkelen er tegnet som skjærer segmentene AB Og AC på poeng M Og R hhv. Bevis at omkretsen av en trekant AMR og størrelsen på vinkelen MPA ikke avhengig av valget av punkt X.

Løsning (fig. 5). Ved teorem 1 MV = MX og RS = RH. Derfor omkretsen av trekanten AMR lik summen av segmentene AB Og AC. Eller dobbel tangens trukket til eksirkelen for en trekant AMR . Verdien av MOP-vinkelen måles med halve vinkelen VOS, som ikke avhenger av valg av punkt X.

Støtteoppgave 2a. I en trekant med sider a, b Og c påskrevet sirkel som berører siden AB og pek TIL. Finn lengden på segmentet AK.

Løsning (fig. 6). Metode én (algebraisk). La AK = AN = x, Deretter BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, så kan vi lage en ligning for x: b = x + (a – c + x). Hvor .

Metode to (geometrisk). La oss se på diagrammet. Segmenter med like tangenter, tatt en om gangen, summerer seg til halvperimeteren
triangel. Rødt og grønt utgjør en side EN. Deretter segmentet vi er interessert i x = p – a. De oppnådde resultatene er selvfølgelig sammenfallende.

Støtteoppgave 2b. Finn lengden på et tangentsegment AK, Hvis TIL– tangeringspunkt for eksirkelen med siden AB.Løsning (fig. 7). AK = AM = x, så BK = BN = c – x, CM = CN. Vi har ligningen b + x = a + (c – x). Hvor . Z Merk det fra referanseoppgaven 1 følger det CM = p Δ ABC. b + x = p; x = p – b. De resulterende formlene har anvendelse i følgende oppgaver.

4. Finn radiusen til en sirkel innskrevet i en rettvinklet trekant med ben a, b og hypotenusen Med. Løsning (fig. 8). T ok hvordan OMCN - kvadrat, så er radiusen til den innskrevne sirkelen lik tangentsegmentet CN. .

5. Bevis at tangenspunktene til den innskrevne og sirkler med siden av trekanten er symmetriske om midten av denne siden.

Løsning (fig. 9). Legg merke til at AK er et tangentsegment av eksirkelen for en trekant ABC. I henhold til formel (2) . VM- linjestykke tangent til insirkelen for en trekant ABC. I henhold til formel (1) . AK = VM, og dette betyr at poengene K og M like langt fra midten av siden AB, Q.E.D.

6. To vanlige ytre tangenter og en indre tangent tegnes til to sirkler. Den indre tangenten skjærer de ytre tangentene i punkter A, B og berører sirklene på punkter A 1 Og I 1. Bevis det AA 1 = BB 1.

Løsning (fig. 10). Stopp... Hva er det å bestemme? Dette er bare en annen formulering av det forrige problemet. Det er klart at en av sirklene er innskrevet og den andre er omkrets for en viss trekant ABC. Og segmentene AA 1 og BB 1 tilsvarer segmenter AK Og VM oppgaver 5. Det er bemerkelsesverdig at problemet som ble foreslått ved den all-russiske olympiaden for skolebarn i matematikk er løst på en så åpenbar måte.

7. Sidene av femkanten i rekkefølgen av traversering er 5, 6, 10, 7, 8. Bevis at en sirkel ikke kan skrives inn i denne femkanten.

Løsning (fig. 11). Anta at i en femkant ABCDE du kan skrive inn en sirkel. Dessuten partene AB, B.C., CD, DE Og EA er lik henholdsvis 5, 6, 10, 7 og 8. La oss markere tangentpunktene i rekkefølge - F, G, H, M Og N. La lengden på segmentet A.F. lik X.

Deretter B.F. = FD – A.F. = 5 – x = B.G.. G.C. = B.C. – B.G. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Og så videre: HD = DM = 9 – x; MEG. = NO = x – 2, AN = 10 – X.

Men, A.F. = AN. Det er 10 - X = X; X= 5. Imidlertid tangentsegmentet A.F. kan ikke like side AB. Den resulterende motsigelsen beviser at en sirkel ikke kan skrives inn i en gitt femkant.

8. En sirkel er innskrevet i en sekskant, sidene i omkretsrekkefølgen er 1, 2, 3, 4, 5. Finn lengden på den sjette siden.

Løsning. Selvfølgelig kan vi betegne et tangentsegment som X, som i forrige oppgave, lag en ligning og få svaret. Men det er mye mer effektivt å bruke et notat til teoremet 2 : summene av sidene til en omskrevet sekskant, tatt gjennom hverandre, er like.

Så 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Hvor X– ukjent sjette side, X = 3.

9. Moskva statsuniversitet, 2003. Det kjemiske fakultet, nr. 6(6). inn i en femkant ABCDE en sirkel er innskrevet, R– tangeringspunktet til denne sirkelen med siden Sol. Finn lengden på segmentet VR, hvis det er kjent at lengdene på alle sidene av femkanten er heltall, AB = 1, CD = 3.

Løsning (fig. 12). Siden lengdene på alle sider er heltall, er brøkdelene av lengdene til segmentene like BT, B.P., DM, DN, A.K. Og PÅ. Vi har PÅ + TV= 1, og brøkdeler av segmentlengder PÅ Og TB er like. Dette er kun mulig når PÅ + TV= 0,5. Ved teorem 1 VT + VR.
Midler, VR= 0,5. Merk at tilstanden CD= 3 viste seg å være uavhentede. Det er klart at forfatterne av problemet antok en annen løsning. Svar: 0,5.

10. I en firkant ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Sirkler innskrevet i trekanter ABD Og CBD trykk på et segment BD på poeng M Og N hhv. Finn lengden på segmentet MN.

Løsning (fig. 13). MN = DN – DM. I henhold til formel (1) for trekanter DBA Og DBC følgelig har vi:

11. Inn i en firkant ABCD du kan skrive inn en sirkel. Sirkler innskrevet i trekanter ABD Og CBD har radier R Og r hhv. Finn avstanden mellom sentrene til disse sirklene.

Løsning (fig. 13). Siden etter betingelse firkanten ABCD innskrevet, ved teorem 2 vi har: AB + DC = AD + BC. La oss bruke ideen om å løse det forrige problemet. . Dette betyr at kontaktpunktene til sirklene med segmentet DM matche opp. Avstanden mellom sentrene til sirklene er lik summen av radiene. Svar: R+r.

Faktisk er det bevist at tilstanden er i en firkant ABCD du kan skrive inn en sirkel, tilsvarende tilstanden - i en konveks firkant ABCD sirkler innskrevet i trekanter ABC Og ADC ta på hverandre. Det motsatte er sant.

Det foreslås å bevise disse to gjensidig omvendte påstandene i følgende problemstilling, som kan betraktes som en generalisering av denne.

12. I en konveks firkant ABCD (ris. 14) sirkler innskrevet i trekanter ABC Og ADC ta på hverandre. Bevis at sirkler innskrevet i trekanter ABD Og BDC også berøre hverandre.

13. I en trekant ABC med partene a, b Og c på siden Sol punkt merket D slik at sirkler innskrevet i trekanter ABD Og ACD trykk på et segment AD på et tidspunkt. Finn lengden på segmentet BD.

Løsning (fig. 15). La oss bruke formel (1) for trekanter ADC Og A.D.B., beregner DM to

Viser seg, D– kontaktpunkt med siden Sol sirkel innskrevet i en trekant ABC. Det motsatte er sant: hvis toppunktet til en trekant er koblet til tangenspunktet til en innskrevet sirkel på motsatt side, berører sirklene som er innskrevet i de resulterende trekantene hverandre.

14. Sentre OM 1 , OM 2 og OM 3 tre ikke-skjærende sirkler med samme radius er plassert ved toppunktene til en trekant. Fra poeng OM 1 , OM 2 , OM 3, er tangenter til disse sirklene tegnet som vist på figuren.

Det er kjent at disse tangentene, som krysser hverandre, dannet en konveks sekskant, hvis sider er malt røde og blå. Bevis at summen av lengdene til de røde segmentene er lik summen av lengdene til de blå.

Løsning (fig. 16). Det er viktig å forstå hvordan man bruker det faktum at gitte sirkler har like radier. Merk at segmentene BR Og DM er like, som følger av likheten til rette trekanter OM 1 BR Og O 2 B.M.. like måte D.L. = D.P., FN = FK. Vi legger til likhetene ledd for ledd, og trekker deretter fra de resulterende summene identiske segmenter av tangenter trukket fra toppunktene EN, MED, Og E sekskant A B C D E F: AR Og A.K., C.L. Og C.M., NO Og E.P.. Vi får det vi trenger.

Her er et eksempel på et problem i stereometri, foreslått ved XII International Mathematical Tournament for High School Students "Cup in Memory of A. N. Kolmogorov".

16. Gitt en femkantet pyramide SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Det er en sfære w, som berører alle kanter av pyramiden og en annen kule w 1, som berører alle sider av basen A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 og fortsettelser av sideribbene SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 utover toppen av basen. Bevis at toppen av pyramiden er like langt fra toppene på basen. (Berlov S.L., Karpov D.V.)

Løsning. Skjæringspunktet mellom sfæren w og planet til noen av sfærens ansikter er den innskrevne sirkelen til ansiktet. Skjæringspunktet mellom kulen w 1 med hver av flatene SA i A i+1 – utsirkel tangent til siden A i A i+1 trekant SA i A i+1 og fortsettelser av de to andre sidene. La oss betegne tangenspunktet w 1 med fortsettelsen av siden SA i gjennom B i. I følge referanseoppgave 1 har vi det SB i = SB i +1 = p SAiAi+1, derfor er omkretsen til alle sideflatene til pyramiden like. La oss betegne kontaktpunktet til w med siden SA i gjennom C i. Deretter S.C. 1 = S.C. 2 = S.C. 3 = S.C. 4 = S.C. 5 = s,
siden tangentsegmentene er like. La C i A i = a i. Deretter p SAiAi +1 = s+a i +a i+1, og av likheten til omkretsene følger det at en 1 = en 3 = en 5 = en 2 = en 4, hvorfra S.A. 1 = S.A. 2 = S.A. 3 = S.A. 4 = S.A. 5 .

17. Unified State-eksamen. Diagnostisk arbeid 8.12.2009, P–4. Gitt en trapes ABCD, hvis grunnlag BC = 44,AD = 100, AB = CD= 35. Sirkel tangent til linjer AD Og A.C., berører siden CD på punktet K. Finn lengden på segmentet CK.BDC og BDA, berører sidene ВD på poeng E Og F. Finn lengden på segmentet E.F..

Løsning. To tilfeller er mulige (fig. 20 og fig. 21). Ved å bruke formel (1) finner vi lengdene på segmentene DE Og DF.

I det første tilfellet AD = 0,1AC, CD = 0,9A.C.. I den andre - AD = 0,125AC, CD = 1,125A.C.. Vi erstatter dataene og får svaret: 4.6 eller 5.5.

Problemer for uavhengig løsning/

1. Omkretsen til en likebenet trapes omskrevet rundt en sirkel er lik 2 gni. Finn projeksjonen av trapesens diagonal på den større basen. (1/2 r)

2. Åpen bank av Unified State eksamensproblemer i matematikk. AT 4. Til en sirkel innskrevet i en trekant ABC (fig. 22), tre tangenter er tegnet. Omkretsen til de kuttede trekantene er 6, 8, 10. Finn omkretsen til denne trekanten. (24)

3. Inn i en trekant ABC sirkelen er innskrevet. MN – tangent til sirkelen, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Finn omkretsen til trekanten MNC. (12)

4. Til en sirkel innskrevet i en firkant med siden a, tegnes en tangent som skjærer de to sidene. Finn omkretsen til den kuttede trekanten. (EN)

5. En sirkel er innskrevet i en femkant med sider EN, d, c, d Og e. Finn segmentene som tangenspunktet deler siden lik EN.

6. En sirkel er innskrevet i en trekant med sidene 6, 10 og 12. En tangent trekkes til sirkelen slik at den skjærer to langsider. Finn omkretsen til den kuttede trekanten. (16)

7. CD– medianen av trekanten ABC. Sirkler innskrevet i trekanter ACD Og BCD, trykk på segmentet CD på poeng M Og N. Finne MN, Hvis AC – Sol = 2. (1)

8. I en trekant ABC med partene a, b Og c på siden Sol punkt merket D. Til sirkler innskrevet i trekanter ABD Og ACD, en felles tangent er tegnet i kryss AD på punktet M. Finn lengden på segmentet ER. (Lengde ER avhenger ikke av punktets plassering D Og
lik ½ ( c + b – a))

9. En sirkel med radius er innskrevet i en rettvinklet trekant EN. Radiusen til sirkelen som tangerer hypotenusen og forlengelsen av bena er lik R. Finn lengden på hypotenusen. ( R–a)

10. I en trekant ABC lengden på sidene er kjent: AB = Med, AC = b, Sol = EN. En sirkel innskrevet i en trekant berører en side AB på punktet C 1. Eksirkelen berører forlengelsen av siden AB per poeng EN på punktet C 2. Bestem lengden på segmentet C 1 C 2. (b)

11. Finn lengdene på sidene i trekanten delt på tangenspunktet til den innskrevne sirkelen med radius 3 cm i segmenter på 4 cm og 3 cm (7, 24 og 25 cm i en rettvinklet trekant)

12. Soros Olympiade 1996, 2. runde, 11. klasse. Gitt en trekant ABC, på sidene av hvilke punkter er markert A 1, B 1, C 1. Radius av sirkler innskrevet i trekanter AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 lik i r. Radius av en sirkel innskrevet i en trekant A 1 B 1 C 1 er lik R. Finn radiusen til en sirkel innskrevet i en trekant ABC. (R +r).

Oppgave 4–8 er hentet fra oppgaveboken til Gordin R.K. «Geometry. Planimetri." Moskva. Forlag MCNMO. 2004.

Konseptet med en tangent til en sirkel

En sirkel har tre mulige relative posisjoner i forhold til en rett linje:

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er mindre enn radiusen, har den rette linjen to skjæringspunkter med sirkelen.

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er lik radiusen, har den rette linjen to skjæringspunkter med sirkelen.

Hvis avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen er større enn radiusen, har den rette linjen to skjæringspunkter med sirkelen.

La oss nå introdusere konseptet med en tangentlinje til en sirkel.

Definisjon 1

En tangent til en sirkel er en linje som har ett skjæringspunkt med seg.

Fellespunktet for sirkelen og tangenten kalles tangenspunktet (Figur 1).

Figur 1. Tangent til en sirkel

Teoremer relatert til begrepet en tangent til en sirkel

Teorem 1

Tangentegenskapsteorem: en tangent til en sirkel er vinkelrett på radiusen trukket til tangenspunktet.

Bevis.

Tenk på en sirkel med sentrum $O$. La oss tegne tangent $a$ ved punktet $A$. $OA=r$ (fig. 2).

La oss bevise at $a\bot r$

Vi vil bevise teoremet ved selvmotsigelse. Anta at tangenten $a$ ikke er vinkelrett på radiusen til sirkelen.

Figur 2. Illustrasjon av setning 1

Det vil si at $OA$ er tilbøyelig til tangenten. Siden vinkelrett på den rette linjen $a$ alltid er mindre enn den skråstilte til den samme rette linjen, er avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen mindre enn radiusen. Som vi vet, i dette tilfellet har den rette linjen to skjæringspunkter med sirkelen. Noe som motsier definisjonen av en tangent.

Derfor er tangenten vinkelrett på radiusen til sirkelen.

Teoremet er bevist.

Teorem 2

Omvendt av tangentegenskapsteoremet: Hvis en linje som går gjennom enden av radiusen til en sirkel er vinkelrett på radiusen, så er denne linjen tangent til denne sirkelen.

Bevis.

I henhold til betingelsene for oppgaven har vi at radien er en vinkelrett trukket fra sentrum av sirkelen til en gitt rett linje. Derfor er avstanden fra sentrum av sirkelen til den rette linjen lik lengden på radien. Som vi vet, i dette tilfellet har sirkelen bare ett skjæringspunkt med denne linjen. Ved definisjon 1 finner vi at denne linjen er tangent til sirkelen.

Teoremet er bevist.

Teorem 3

Segmenter av tangenter til en sirkel tegnet fra ett punkt er like og danner like vinkler med en rett linje som går gjennom dette punktet og sentrum av sirkelen.

Bevis.

La en sirkel med sentrum i punktet $O$ gis. To forskjellige tangenter er trukket fra punktet $A$ (som ligger på hele sirkelen). Fra kontaktpunktet $B$ og $C$, henholdsvis (fig. 3).

La oss bevise at $\angle BAO=\angle CAO$ og at $AB=AC$.

Figur 3. Illustrasjon av setning 3

Ved teorem 1 har vi:

Derfor er trekantene $ABO$ og $ACO$ rette trekanter. Siden $OB=OC=r$, og hypotenusen $OA$ er vanlig, er disse trekantene like i hypotenusen og ben.

Derfor får vi at $\angle BAO=\angle CAO$ og $AB=AC$.

Teoremet er bevist.

Eksempel på en oppgave om begrepet en tangent til en sirkel

Eksempel 1

Gitt en sirkel med sentrum i punktet $O$ og radius $r=3\ cm$. Tangenten $AC$ har et tangenspunkt $C$. $AO=4\ cm$. Finn $AC$.

Løsning.

La oss først skildre alt i figuren (fig. 4).

Figur 4.

Siden $AC$ er en tangent og $OC$ er en radius, får vi ved setning 1 at $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Vi fant ut at trekanten $ACO$ er rektangulær, noe som betyr at vi ved Pythagoras teorem har:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \