Hvordan løse ulikheter med 2 variabler. Leksjonssammendrag "løsning av ulikhetssystemer med to variabler." med to variabler

Emne: Ligninger og ulikheter. Systemer av ligninger og ulikheter

Lekse:Ligninger og ulikheter med to variabler

La oss vurdere i generelle termer en ligning og en ulikhet med to variabler.

Ligning med to variabler;

Ulikhet med to variabler kan ulikhetstegnet være hva som helst;

Her er x og y variabler, p er et uttrykk som avhenger av dem

Et tallpar () kalles en delvis løsning av en slik likning eller ulikhet hvis vi, når vi erstatter dette paret i uttrykket, får den riktige likningen eller ulikheten, henholdsvis.

Oppgaven er å finne eller avbilde på et plan settet med alle løsninger. Du kan parafrasere denne oppgaven - finn stedet for punkt (GLP), konstruer en graf av en ligning eller ulikhet.

Eksempel 1 - løs likning og ulikhet:

Oppgaven innebærer med andre ord å finne GMT.

La oss vurdere løsningen på ligningen. I dette tilfellet kan verdien av variabelen x være hvilken som helst, så vi har:

Åpenbart er løsningen på ligningen settet med punkter som danner en rett linje

Ris. 1. Eksempel på ligningsgraf 1

Løsningene til en gitt ligning er spesielt punktene (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Løsningen på den gitte ulikheten er et halvplan plassert over linjen, inkludert selve linjen (se figur 1). Faktisk, hvis vi tar et punkt x 0 på linjen, så har vi likheten . Hvis vi tar et punkt i et halvplan over en linje, har vi . Hvis vi tar et punkt i halvplanet under linjen, vil det ikke tilfredsstille vår ulikhet: .

Vurder nå problemet med en sirkel og en sirkel.

Eksempel 2 - løs likning og ulikhet:

Vi vet at den gitte ligningen er ligningen til en sirkel med sentrum i origo og radius 1.

Ris. 2. Illustrasjon for eksempel 2

Ved et vilkårlig punkt x 0 har ligningen to løsninger: (x 0; y 0) og (x 0; -y 0).

Løsningen på en gitt ulikhet er et sett med punkter som ligger inne i sirkelen, uten å ta hensyn til selve sirkelen (se figur 2).

La oss vurdere en ligning med moduler.

Eksempel 3 - løs ligningen:

I dette tilfellet vil det være mulig å utvide modulene, men vi vil vurdere spesifikasjonene til ligningen. Det er lett å se at grafen til denne ligningen er symmetrisk om begge aksene. Så hvis punktet (x 0 ; y 0) er en løsning, så er punktet (x 0 ; -y 0) også en løsning, punktene (-x 0 ; y 0) og (-x 0 ; -y 0 ) er også en løsning .

Dermed er det nok å finne en løsning der begge variablene er ikke-negative og tar symmetri om aksene:

Ris. 3. Illustrasjon for eksempel 3

Så, som vi ser, er løsningen på ligningen et kvadrat.

La oss se på den såkalte arealmetoden ved å bruke et spesifikt eksempel.

Eksempel 4 - skildre settet med løsninger på ulikheten:

I henhold til metoden for domener, vurderer vi først og fremst funksjonen på venstre side hvis det er null på høyre side. Dette er en funksjon av to variabler:

I likhet med metoden med intervaller, beveger vi oss midlertidig bort fra ulikheten og studerer funksjonene og egenskapene til den sammensatte funksjonen.

ODZ: det betyr at x-aksen blir punktert.

Nå indikerer vi at funksjonen er lik null når telleren til brøken er lik null, vi har:

Vi bygger en graf av funksjonen.

Ris. 4. Graf over funksjonen, tatt i betraktning ODZ

Vurder nå områdene med konstant fortegn på funksjonen de er dannet av en rett linje og en brutt linje. innenfor den stiplede linjen er det område D 1. Mellom et segment av en stiplet linje og en rett linje - område D 2, under linjen - område D 3, mellom et segment av en stiplet linje og en rett linje - område D 4

I hvert av de valgte områdene beholder funksjonen sitt fortegn, noe som betyr at det er nok å sjekke et vilkårlig testpunkt i hvert område.

I området tar vi punktet (0;1). Vi har:

I området tar vi punktet (10;1). Vi har:

Dermed er hele regionen negativ og tilfredsstiller ikke den gitte ulikheten.

I området, ta punktet (0;-5). Vi har:

Dermed er hele regionen positiv og tilfredsstiller den gitte ulikheten.

1. Ulikheter med to variabler. Metoder for å løse et system med to ulikheter med to variabler: analytisk metode og grafisk metode.

2. Systemer med to ulikheter med to variabler: registrering av resultatet av løsningen.

3. Sett med ulikheter med to variabler.

ULIKHETER OG SYSTEMER AV ULIKHET MED TO VARIABLER. Predikat av formen f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - uttrykk med variablene x og y definert på settet XxY kalles ulikhet med to variabler (med to ukjente) x og y. Det er klart at enhver ulikhet i formen med to variabler kan skrives i formen f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Løse ulikheten med to variabler er et par variabelverdier som konverterer en ulikhet til en sann numerisk ulikhet. Det er kjent at et par reelle tall (x, y) bestemmer unikt et punkt på koordinatplanet. Dette gjør det mulig å avbilde løsninger på ulikheter eller ulikheter med to variabler geometrisk, i form av et bestemt sett med punkter på koordinatplanet. Hvis ekv.

f(x, y)= 0 definerer en bestemt linje på koordinatplanet, så består settet med punkter i planet som ikke ligger på denne linjen av et begrenset antall områder C₁, C 2,..., S s(Fig. 17.8). I hvert av områdene C, funksjonen f(x, y) er forskjellig fra null, fordi punkter der f(x, y)= 0 tilhører grensene for disse områdene.

Løsning. La oss transformere ulikheten til formen x > y 2 + 2y - 3. La oss konstruere en parabel på koordinatplanet X= y 2 + 2y - 3. Det vil dele planet i to regioner G₁ og G 2 (Fig. 17.9). Siden abscissen til ethvert punkt ligger til høyre for parabelen X= y 2 + 2y- 3, større enn abscissen til et punkt som har samme ordinat, men som ligger på en parabel osv. ulikhet x>y g + 2y -3 er ikke streng, vil den geometriske representasjonen av løsninger på denne ulikheten være settet med punkter til planet som ligger på parabelen X= kl 2+ 2у - 3 og til høyre for den (fig. 17.9).

Ris. 17.10

Eksempel 17.15. Tegn på koordinatplanet settet med løsninger til systemet med ulikheter

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Løsning. En geometrisk representasjon av løsningen til systemet med ulikheter x > 0, y > 0 er settet med punkter for den første koordinatvinkelen. Geometrisk representasjon av løsninger på ulikheter x + y< 6 eller på< 6 - X er settet med punkter som ligger under linjen og på selve linjen, og fungerer som grafen for funksjonen y = 6 - X. Geometrisk representasjon av løsninger på ulikheter xy > 5 eller fordi X> 0 ulikheter y > 5/x er settet med punkter som ligger over grenen til hyperbelen som fungerer som grafen til funksjonen y = 5/x. Som et resultat får vi et sett med punkter av koordinatplanet som ligger i den første koordinatvinkelen under den rette linjen, som fungerer som grafen for funksjonen y = 6 - x, og over grenen til hyperbelen, som fungerer som grafen til funksjonen y = 5x(Fig. 17.10).

Kapittel III. NATURLIGE TAL OG NULL

, og enda mer systemer av ulikheter med to variabler, ser det ut til en ganske vanskelig oppgave. Imidlertid er det en enkel algoritme som hjelper til med å løse tilsynelatende svært komplekse problemer av denne typen enkelt og uten stor innsats. La oss prøve å finne ut av det.

La oss ha en ulikhet med to variabler av en av følgende typer:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

For å skildre settet med løsninger på en slik ulikhet på koordinatplanet, fortsett som følger:

1. Vi bygger en graf av funksjonen y = f(x), som deler planet i to områder.
2. Vi velger hvilket som helst av de resulterende områdene og vurderer et vilkårlig punkt i det. Vi sjekker gjennomførbarheten av den opprinnelige ulikheten for dette punktet. Hvis testen resulterer i en korrekt numerisk ulikhet, konkluderer vi med at den opprinnelige ulikheten er oppfylt i hele regionen som det valgte punktet tilhører. Dermed er settet med løsninger på ulikheten regionen som det valgte punktet tilhører. Hvis resultatet av kontrollen er en feil numerisk ulikhet, vil settet med løsninger på ulikheten være den andre regionen som det valgte punktet ikke tilhører.
3. Hvis ulikheten er streng, er grensene til regionen, det vil si punktene til grafen til funksjonen y = f(x), ikke inkludert i settet med løsninger, og grensen er avbildet med en stiplet linje. Hvis ulikheten ikke er streng, er grensene til regionen, det vil si punktene til grafen til funksjonen y = f(x), inkludert i settet med løsninger på denne ulikheten, og grensen i dette tilfellet er avbildet som en solid linje. La oss nå se på flere problemer om dette emnet.

Oppgave 1.

Hvilket sett med punkter er gitt av ulikheten x · y ≤ 4?

Løsning.

1) Vi bygger en graf av ligningen x · y = 4. For å gjøre dette transformerer vi den først. Det er klart at x i dette tilfellet ikke blir til 0, siden vi ellers ville ha 0 · y = 4, noe som er feil. Dette betyr at vi kan dele ligningen vår på x. Vi får: y = 4/x. Grafen til denne funksjonen er en hyperbel. Den deler hele planet i to regioner: den mellom de to grenene av hyperbelen og den utenfor dem.

2) La oss velge et vilkårlig punkt fra den første regionen, la det være punkt (4; 2). La oss sjekke ulikheten: 4 · 2 ≤ 4 – usant.

Dette betyr at punktene i denne regionen ikke tilfredsstiller den opprinnelige ulikheten. Da kan vi konkludere med at settet med løsninger på ulikheten vil være den andre regionen som det valgte punktet ikke tilhører.

3) Siden ulikheten ikke er streng, tegner vi grensepunktene, det vil si punktene til grafen til funksjonen y=4/x, med en heltrukket linje.

La oss male punktsettet som definerer den opprinnelige ulikheten i gult (fig. 1).

Oppgave 2.

Tegn området definert på koordinatplanet av systemet

Løsning.

Til å begynne med bygger vi grafer for følgende funksjoner (fig. 2):

y = x 2 + 2 – parabel,

y + x = 1 – rett linje

x 2 + y 2 = 9 – sirkel.

La oss nå se på hver ulikhet separat.

1) y > x 2 + 2.

Vi tar punktet (0; 5), som ligger over grafen til funksjonen. La oss sjekke ulikheten: 5 > 0 2 + 2 – sant.

Følgelig tilfredsstiller alle punkter som ligger over den gitte parabelen y = x 2 + 2 den første ulikheten i systemet. La oss male dem gule.

2) y + x > 1.

Vi tar punktet (0; 3), som ligger over grafen til funksjonen. La oss sjekke ulikheten: 3 + 0 > 1 – sant.

Følgelig tilfredsstiller alle punkter som ligger over den rette linjen y + x = 1 den andre ulikheten til systemet. La oss male dem med grønn skyggelegging.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Vi tar punktet (0; -4), som ligger utenfor sirkelen x 2 + y 2 = 9. Vi sjekker ulikheten: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – feil.

Følgelig tilfredsstiller ikke alle punkter som ligger utenfor sirkelen x 2 + y 2 = 9 den tredje ulikheten i systemet. Da kan vi konkludere med at alle punkter som ligger innenfor sirkelen x 2 + y 2 = 9 tilfredsstiller den tredje ulikheten i systemet. La oss male dem med lilla skyggelegging.

Ikke glem at hvis ulikheten er streng, bør den tilsvarende grenselinjen tegnes med en stiplet linje. Vi får følgende bilde (fig. 3).

Søkeområdet er området der alle tre fargede områdene skjærer hverandre (fig. 4).

Spørsmål til notater

Skriv en ulikhet hvis løsning er en sirkel og peker innenfor sirkelen:

Finn punktene som løser ulikheten:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

La f(x,y) Og g(x, y)- to uttrykk med variabler X Og på og omfang X. Deretter ulikheter i formen f(x, y) > g(x, y) eller f(x, y) < g(x, y) kalt ulikhet med to variabler .

Betydningen av variabler x, y fra mange X, hvor ulikheten blir til en sann numerisk ulikhet, kalles det beslutning og er utpekt (x, y). Løs ulikhet - dette betyr å finne mange slike par.

Hvis hvert par tall (x, y) fra settet med løsninger til ulikheten, match punktet M(x, y), får vi settet med punkter på planet spesifisert av denne ulikheten. Han blir kalt graf over denne ulikheten . Grafen for en ulikhet er vanligvis et område på et plan.

Å skildre settet med løsninger på ulikheten f(x, y) > g(x, y), fortsett som følger. Bytt først ut ulikhetstegnet med et likhetstegn og finn en linje som har ligningen f(x,y) = g(x,y). Denne linjen deler flyet i flere deler. Etter dette er det nok å ta ett poeng i hver del og sjekke om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet f(x, y) > g(x, y). Hvis det utføres på dette punktet, vil det bli utført i hele delen der dette punktet ligger. Ved å kombinere slike deler får vi mange løsninger.

Oppgave. y > x.

Løsning. Først erstatter vi ulikhetstegnet med et likhetstegn og konstruerer en linje i et rektangulært koordinatsystem som har ligningen y = x.

Denne linjen deler flyet i to deler. Etter dette, ta ett poeng i hver del og sjekk om ulikheten er tilfredsstilt på dette punktet y > x.

Oppgave. Løs grafisk ulikheten
X 2 + på 2 £25.

La det gis to ulikheter f 1(x, y) > g 1(x, y) Og f 2(x, y) > g 2(x, y).

Systemer av sett av ulikheter med to variabler

System av ulikheter er deg selv sammen med disse ulikhetene. Systemløsning er enhver mening (x, y), som gjør hver av ulikhetene til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger systemer ulikheter er skjæringspunktet mellom sett med løsninger på ulikheter som danner et gitt system.

Sett med ulikheter er deg selv disjunksjon av disse ulikheter Sett løsning er enhver mening (x, y), som konverterer minst én av settet med ulikheter til en sann numerisk ulikhet. Mange løsninger helhet er en forening av sett med løsninger på ulikheter som danner et sett.

Oppgave. Løs ulikhetssystemet grafisk

Løsning. y = x Og X 2 + på 2 = 25. Vi løser hver ulikhet i systemet.

Grafen til systemet vil være settet med punkter på planet som er skjæringspunktet (dobbelt skravering) av settene med løsninger til den første og andre ulikheten.

Oppgave. Løs grafisk et sett med ulikheter

Øvelser for selvstendig arbeid

1. Løs ulikhetene grafisk: a) på> 2x; b) på< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 £4.

2. Løs ulikhetssystemene grafisk:

a) b)

Videoleksjonen "Systemer av ulikheter med to variabler" inneholder visuelt pedagogisk materiale om dette emnet. Leksjonen inkluderer vurdering av konseptet med å løse et system av ulikheter med to variabler, eksempler på å løse slike systemer grafisk. Formålet med denne videoleksjonen er å utvikle elevenes evne til å løse ulikhetssystemer med to variabler grafisk, for å lette forståelsen av prosessen med å finne løsninger på slike systemer og huske løsningsmetoden.

Hver beskrivelse av løsningen er ledsaget av tegninger som viser løsningen på problemet på koordinatplanet. Slike figurer viser tydelig egenskapene til å konstruere grafer og plasseringen av punkter som tilsvarer løsningen. Alle viktige detaljer og konsepter fremheves med farger. Dermed er en videoleksjon et praktisk verktøy for å løse lærerproblemer i klasserommet og frigjør læreren fra å presentere en standardblokk med materiale for individuelt arbeid med elever.

Videoleksjonen begynner med å introdusere emnet og vurdere et eksempel på å finne løsninger på et system som består av ulikheter x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Forståelsen av konklusjonene som trekkes om å løse et system av ulikheter styrkes ved å vurdere eksempler. Løsningen på systemet med ulikheter x 2 + y 2 vurderes først<=9 и x+y>=2. Åpenbart inkluderer løsninger på den første ulikheten på koordinatplanet sirkelen x 2 + y 2 = 9 og området innenfor den. Dette området i figuren er fylt med horisontal skyggelegging. Settet med løsninger til ulikheten x+y>=2 inkluderer linjen x+y=2 og halvplanet plassert over. Dette området er også indikert på planet med slag i en annen retning. Nå kan vi bestemme skjæringspunktet mellom to løsningssett i figuren. Den er inneholdt i et sirkelsegment x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Deretter analyserer vi løsningen til systemet med lineære ulikheter y>=x-3 og y>=-2x+4. På figuren, ved siden av oppgavetilstanden, er det konstruert et koordinatplan. En rett linje er konstruert på den, tilsvarende løsningene av ligningen y=x-3. Løsningsområdet for ulikheten y>=x-3 vil være området som ligger over denne linjen. Hun er skyggelagt. Settet med løsninger til den andre ulikheten er plassert over linjen y=-2x+4. Denne rette linjen er også konstruert på samme koordinatplan og løsningsområdet er skravert. Skjæringspunktet mellom to sett er vinkelen konstruert av to rette linjer, sammen med dens indre region. Løsningsområdet til systemet med ulikheter er fylt med dobbel skyggelegging.

Når man vurderer det tredje eksemplet, er tilfellet beskrevet når grafene til ligningene som tilsvarer systemets ulikheter er parallelle linjer. Det er nødvendig å løse systemet med ulikheter y<=3x+1 и y>=3x-2. En rett linje er konstruert på koordinatplanet som tilsvarer ligningen y=3x+1. Rekkevidde av verdier som tilsvarer løsninger av ulikheten y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Videoleksjonen "Systemer av ulikheter med to variabler" kan brukes som et visuelt hjelpemiddel i en leksjon på skolen eller erstatte lærerens forklaring når du studerer materialet på egen hånd. En detaljert, forståelig forklaring av løsning av ulikhetssystemer på koordinatplanet kan bidra til å presentere materiale under fjernundervisning.