Kvadratiske ligninger. Fullstendig og ufullstendig andregradsligning. Definisjon og eksempler på ufullstendige andregradsligninger Uttrykk en andregradsligning i form av røtter

I det moderne samfunnet kan evnen til å operere på ligninger som inneholder en kvadratisk variabel være nyttig innen mange aktivitetsfelt og er mye brukt i praksis i vitenskapelig og teknisk utvikling. Dette kan bevises ved utformingen av sjø- og elvefartøyer, fly og missiler. Ved hjelp av slike beregninger bestemmes banene for bevegelsen til forskjellige kropper, inkludert romobjekter. Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger brukes ikke bare i økonomisk prognoser, i design og konstruksjon av bygninger, men også i de mest vanlige hverdagslige omstendigheter. De kan være nødvendige på campingturer, på sportsarrangementer, i butikker når du handler og i andre svært vanlige situasjoner.

La oss dele uttrykket inn i komponentfaktorer

Graden av en ligning bestemmes av maksimalverdien til graden av variabelen som det gitte uttrykket inneholder. Hvis den er lik 2, kalles en slik likning en annengradsligning.

Hvis vi snakker i formlerspråket, kan disse uttrykkene, uansett hvordan de ser ut, alltid bringes til formen når venstre side av uttrykket består av tre ledd. Blant dem: akse 2 (det vil si en variabel kvadratisk med koeffisienten), bx (en ukjent uten kvadrat med koeffisienten) og c (fri komponent, det vil si et vanlig tall). Alt dette er lik 0 på høyre side. I tilfellet når et slikt polynom ikke har en av sine konstituerende ledd, med unntak av akse 2, kalles det en ufullstendig andregradsligning. Eksempler med løsning av slike problemer, der verdien av variablene ikke er vanskelig å finne, bør vurderes først.

Hvis uttrykket ser ut som det har to ledd på høyre side av uttrykket, nærmere bestemt ax 2 og bx, er det lettest å finne x ved å sette variabelen i parentes. Nå vil ligningen vår se slik ut: x(ax+b). Videre blir det åpenbart at enten x=0, eller problemet reduseres til å finne en variabel fra følgende uttrykk: ax+b=0. Dette er diktert av en av egenskapene til multiplikasjon. Regelen sier at produktet av to faktorer resulterer i 0 bare hvis en av dem er null.

Eksempel

x=0 eller 8x - 3 = 0

Som et resultat får vi to røtter av ligningen: 0 og 0,375.

Ligninger av denne typen kan beskrive bevegelsen til kropper under påvirkning av tyngdekraften, som begynte å bevege seg fra et bestemt punkt, tatt som opprinnelsen. Her har den matematiske notasjonen følgende form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ved å erstatte de nødvendige verdiene, likestille høyresiden med 0 og finne mulige ukjente, kan du finne ut tiden som har gått fra øyeblikket kroppen reiser seg til øyeblikket den faller, samt mange andre størrelser. Men vi skal snakke om dette senere.

Faktorering av et uttrykk

Regelen beskrevet ovenfor gjør det mulig å løse disse problemene i mer komplekse saker. Tenk på eksempler med løsning av andregradsligninger av denne typen.

X2 - 33x + 200 = 0

Dette kvadratiske trinomialet er komplett. Først transformerer vi uttrykket og dekomponerer det til faktorer. Det er to av dem: (x-8) og (x-25) = 0. Som et resultat har vi to røtter 8 og 25.

Eksempler med løsning av kvadratiske ligninger i grad 9 lar denne metoden finne en variabel i uttrykk ikke bare av andre, men til og med av tredje og fjerde orden.

For eksempel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Når du faktoriserer høyre side i faktorer med en variabel, er det tre av dem, det vil si (x + 1), (x-3) og (x + 3).

Som et resultat blir det åpenbart at denne ligningen har tre røtter: -3; -en; 3.

Trekker ut kvadratroten

Et annet tilfelle av en ufullstendig andreordens ligning er et uttrykk skrevet på bokstavspråket på en slik måte at høyresiden er bygget opp av komponentene akse 2 og c. Her, for å få verdien av variabelen, overføres frileddet til høyre side, og deretter trekkes kvadratroten ut fra begge sider av likheten. Det skal bemerkes at i dette tilfellet er det vanligvis to røtter til ligningen. De eneste unntakene er likheter som ikke inneholder begrepet c i det hele tatt, hvor variabelen er lik null, samt varianter av uttrykk når høyresiden viser seg å være negativ. I sistnevnte tilfelle er det ingen løsninger i det hele tatt, siden handlingene ovenfor ikke kan utføres med røtter. Eksempler på løsninger på andregradsligninger av denne typen bør vurderes.

I dette tilfellet vil røttene til ligningen være tallene -4 og 4.

Beregning av arealet av land

Behovet for denne typen beregninger dukket opp i antikken, fordi utviklingen av matematikk i disse fjerne tider i stor grad skyldtes behovet for å bestemme arealene og omkretsene til tomter med størst nøyaktighet.

Vi bør også vurdere eksempler med løsning av kvadratiske ligninger satt sammen på grunnlag av problemer av denne typen.

Så la oss si at det er et rektangulært stykke land, hvis lengde er 16 meter mer enn bredden. Du bør finne lengden, bredden og omkretsen av stedet, hvis det er kjent at området er 612 m 2.

For å komme i gang, vil vi først lage den nødvendige ligningen. La oss betegne bredden på seksjonen som x, så vil lengden være (x + 16). Det følger av det som er skrevet at arealet bestemmes av uttrykket x (x + 16), som, i henhold til tilstanden til problemet vårt, er 612. Dette betyr at x (x + 16) \u003d 612.

Løsningen av komplette andregradsligninger, og dette uttrykket er nettopp det, kan ikke gjøres på samme måte. Hvorfor? Selv om venstre side av den fortsatt inneholder to faktorer, er produktet av dem ikke lik 0 i det hele tatt, så andre metoder brukes her.

Diskriminerende

Først og fremst vil vi gjøre de nødvendige transformasjonene, deretter vil utseendet til dette uttrykket se slik ut: x 2 + 16x - 612 = 0. Dette betyr at vi har mottatt et uttrykk i form som tilsvarer den tidligere spesifiserte standarden, hvor a=1, b=16, c= -612.

Dette kan være et eksempel på å løse andregradsligninger gjennom diskriminanten. Her gjøres nødvendige beregninger i henhold til skjemaet: D = b 2 - 4ac. Denne hjelpeverdien gjør det ikke bare mulig å finne de ønskede verdiene i andreordens ligningen, den bestemmer også antall mulige alternativer. I tilfelle D>0 er det to av dem; for D=0 er det én rot. I tilfelle D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Om røtter og deres formel

I vårt tilfelle er diskriminanten: 256 - 4(-612) = 2704. Dette indikerer at problemet vårt har et svar. Hvis du vet, må løsningen av kvadratiske ligninger fortsettes ved å bruke formelen nedenfor. Den lar deg beregne røttene.

Dette betyr at i det presenterte tilfellet: x 1 =18, x 2 =-34. Det andre alternativet i dette dilemmaet kan ikke være en løsning, fordi størrelsen på tomten ikke kan måles i negative verdier, noe som betyr at x (det vil si bredden på tomten) er 18 m. Herfra beregner vi lengden: 18+16=34, og omkretsen 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Eksempler og oppgaver

Vi fortsetter studiet av andregradsligninger. Eksempler og en detaljert løsning av flere av dem vil bli gitt nedenfor.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

La oss overføre alt til venstre side av likheten, gjøre en transformasjon, det vil si at vi får formen til ligningen, som vanligvis kalles standarden, og likestille den til null.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Etter å ha lagt til lignende, bestemmer vi diskriminanten: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Så ligningen vår vil ha to røtter. Vi beregner dem i henhold til formelen ovenfor, noe som betyr at den første av dem vil være lik 4/3, og den andre 1.

2) Nå skal vi avsløre gåter av et annet slag.

La oss finne ut om det i det hele tatt er røtter x 2 - 4x + 5 = 1 her? For å få et uttømmende svar bringer vi polynomet til den tilsvarende kjente formen og beregner diskriminanten. I dette eksemplet er det ikke nødvendig å løse den kvadratiske ligningen, fordi essensen av problemet ikke ligger i dette i det hele tatt. I dette tilfellet D \u003d 16 - 20 \u003d -4, noe som betyr at det egentlig ikke er noen røtter.

Vietas teorem

Det er praktisk å løse kvadratiske ligninger gjennom formlene ovenfor og diskriminanten, når kvadratroten trekkes ut fra verdien av sistnevnte. Men dette skjer ikke alltid. Imidlertid er det mange måter å få verdiene til variabler i dette tilfellet. Eksempel: løse andregradsligninger ved å bruke Vietas teorem. Den er oppkalt etter en mann som levde i Frankrike på 1500-tallet og hadde en strålende karriere takket være hans matematiske talent og forbindelser ved hoffet. Portrettet hans kan sees i artikkelen.

Mønsteret som den berømte franskmannen la merke til var som følger. Han beviste at summen av røttene til ligningen er lik -p=b/a, og produktet deres tilsvarer q=c/a.

La oss nå se på spesifikke oppgaver.

3x2 + 21x - 54 = 0

For enkelhets skyld, la oss transformere uttrykket:

x 2 + 7x - 18 = 0

Ved å bruke Vieta-setningen vil dette gi oss følgende: summen av røttene er -7, og produktet deres er -18. Herfra får vi at røttene til ligningen er tallene -9 og 2. Etter å ha foretatt en sjekk vil vi sørge for at disse verdiene til variablene virkelig passer inn i uttrykket.

Graf og ligning av en parabel

Begrepene en andregradsfunksjon og andregradsligninger er nært beslektet. Eksempler på dette er allerede gitt tidligere. La oss nå se litt mer detaljert på noen matematiske gåter. Enhver ligning av den beskrevne typen kan representeres visuelt. En slik avhengighet, tegnet i form av en graf, kalles en parabel. De forskjellige typene er vist i figuren nedenfor.

Enhver parabel har et toppunkt, det vil si et punkt der grenene kommer ut. Hvis a>0, går de høyt til uendelig, og når a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle representasjoner av funksjoner hjelper til med å løse alle ligninger, inkludert kvadratiske. Denne metoden kalles grafisk. Og verdien av x-variabelen er abscissekoordinaten i punktene der graflinjen skjærer 0x. Koordinatene til toppunktet kan bli funnet ved formelen som nettopp er gitt x 0 = -b / 2a. Og ved å erstatte den resulterende verdien i den opprinnelige ligningen til funksjonen, kan du finne ut y 0, det vil si den andre koordinaten til parabelens toppunkt som tilhører y-aksen.

Skjæringspunktet mellom grenene til parabelen med abscisseaksen

Det er mange eksempler på løsning av andregradsligninger, men det er også generelle mønstre. La oss vurdere dem. Det er klart at skjæringspunktet mellom grafen og 0x-aksen for a>0 bare er mulig hvis y 0 tar negative verdier. Og for en<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ellers D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Fra grafen til en parabel kan du også bestemme røttene. Det motsatte er også sant. Det vil si at hvis det ikke er lett å få en visuell representasjon av en kvadratisk funksjon, kan du likestille høyre side av uttrykket til 0 og løse den resulterende ligningen. Og når du kjenner skjæringspunktene med 0x-aksen, er det lettere å plotte.

Fra historien

Ved hjelp av ligninger som inneholder en kvadratisk variabel, i gamle dager, gjorde ikke bare matematiske beregninger og bestemte arealet av geometriske former. De gamle trengte slike beregninger for grandiose funn innen fysikk og astronomi, samt for å lage astrologiske prognoser.

Som moderne vitenskapsmenn foreslår, var innbyggerne i Babylon blant de første som løste kvadratiske ligninger. Det skjedde fire århundrer før ankomsten av vår tidsregning. Selvfølgelig var deres beregninger fundamentalt forskjellige fra de som for tiden er akseptert og viste seg å være mye mer primitive. For eksempel hadde mesopotamiske matematikere ingen anelse om eksistensen av negative tall. De var også ukjente med andre finesser av de kjente for enhver student i vår tid.

Kanskje enda tidligere enn forskerne i Babylon, tok vismannen fra India, Baudhayama, opp løsningen av kvadratiske ligninger. Dette skjedde omtrent åtte århundrer før Kristi æra kom. Riktignok var andreordens ligningene, metodene for å løse som han ga, de enkleste. I tillegg til ham var kinesiske matematikere også interessert i lignende spørsmål i gamle dager. I Europa begynte kvadratiske ligninger å bli løst først på begynnelsen av 1200-tallet, men senere ble de brukt i deres arbeid av så store forskere som Newton, Descartes og mange andre.

Formler for røttene til en kvadratisk ligning. Tilfellene med reelle, multiple og komplekse røtter vurderes. Faktorisering av et kvadratisk trinomium. Geometrisk tolkning. Eksempler på å bestemme røtter og faktorisering.

Se også: Løse kvadratiske ligninger online

Grunnleggende formler

Tenk på den andregradsligningen:
(1) .
Røttene til en andregradsligning(1) bestemmes av formlene:
; .
Disse formlene kan kombineres slik:
.
Når røttene til den kvadratiske ligningen er kjent, kan polynomet av andre grad representeres som et produkt av faktorer (faktorert):
.

Videre antar vi at det er reelle tall.
Ta i betraktning diskriminant av en andregradsligning:
.
Hvis diskriminanten er positiv, har kvadratisk ligning (1) to forskjellige reelle røtter:
; .
Da har faktoriseringen av kvadrattrinomialet formen:
.
Hvis diskriminanten er null, har den kvadratiske ligningen (1) to multiple (like) reelle røtter:
.
Faktorisering:
.
Hvis diskriminanten er negativ, har den kvadratiske ligningen (1) to komplekse konjugerte røtter:
;
.
Her er den imaginære enheten, ;
og er de virkelige og imaginære delene av røttene:
; .
Deretter

.

Grafisk tolkning

Hvis vi grafer funksjonen
,
som er en parabel, så vil skjæringspunktene til grafen med aksen være røttene til ligningen
.
Når , krysser grafen abscisseaksen (aksen) ved to punkter ().
Når , berører grafen x-aksen på ett punkt ().
Når , krysser ikke grafen x-aksen ().

Nyttige formler relatert til kvadratisk ligning

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Utledning av formelen for røttene til en andregradsligning

Vi utfører transformasjoner og bruker formler (f.1) og (f.3):




,
hvor
; .

Så, vi fikk formelen for polynomet av andre grad i formen:
.
Av dette kan man se at ligningen

utført kl
og .
Det vil si, og er røttene til den kvadratiske ligningen
.

Eksempler på å bestemme røttene til en kvadratisk ligning

Eksempel 1

(1.1) .

.
Ved å sammenligne med ligningen vår (1.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er positiv, har ligningen to reelle røtter:
;
;
.

Herfra får vi dekomponeringen av kvadrattrinomialet til faktorer:

.

Graf for funksjonen y = 2 x 2 + 7 x + 3 krysser x-aksen i to punkter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser x-aksen (aksen) på to punkter:
og .
Disse punktene er røttene til den opprinnelige ligningen (1.1).

;
;
.

Eksempel 2

Finn røttene til en andregradsligning:
(2.1) .

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
.
Sammenligner vi med den opprinnelige ligningen (2.1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Siden diskriminanten er null, har ligningen to multiple (like) røtter:
;
.

Da har faktoriseringen av trinomialet formen:
.

Graf for funksjonen y = x 2 - 4 x + 4 berører x-aksen på ett punkt.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den berører x-aksen (aksen) på ett punkt:
.
Dette punktet er roten til den opprinnelige ligningen (2.1). Siden denne roten er faktorisert to ganger:
,
da kalles en slik rot et multiplum. Det vil si at de anser at det er to like røtter:
.

;
.

Eksempel 3

Finn røttene til en andregradsligning:
(3.1) .

Vi skriver andregradsligningen i generell form:
(1) .
La oss omskrive den opprinnelige ligningen (3.1):
.
Ved å sammenligne med (1), finner vi verdiene til koeffisientene:
.
Finne diskriminanten:
.
Diskriminanten er negativ, . Derfor er det ingen reelle røtter.

Du kan finne komplekse røtter:
;
;
.

Deretter


.

Grafen til funksjonen krysser ikke x-aksen. Det er ingen reelle røtter.

La oss plotte funksjonen
.
Grafen til denne funksjonen er en parabel. Den krysser ikke abscissen (aksen). Derfor er det ingen reelle røtter.

Det er ingen reelle røtter. Komplekse røtter:
;
;
.

Dette emnet kan virke komplisert i begynnelsen på grunn av de mange ikke-så-enkle formlene. Ikke bare har andregradsligningene i seg selv lange oppføringer, men røttene finnes også gjennom diskriminanten. Det er tre nye formler totalt. Ikke veldig lett å huske. Dette er bare mulig etter den hyppige løsningen av slike ligninger. Da vil alle formlene bli husket av seg selv.

Generell oversikt over den kvadratiske ligningen

Her er deres eksplisitte notasjon foreslått, når den største graden er skrevet først, og deretter - i synkende rekkefølge. Ofte er det situasjoner når vilkårene skiller seg fra hverandre. Da er det bedre å omskrive ligningen i synkende rekkefølge etter graden av variabelen.

La oss introdusere notasjon. De er presentert i tabellen nedenfor.

Hvis vi godtar disse notasjonene, reduseres alle kvadratiske ligninger til følgende notasjon.

Dessuten er koeffisienten a ≠ 0. La denne formelen betegnes med nummer én.

Når ligningen er gitt, er det ikke klart hvor mange røtter som vil være i svaret. Fordi ett av tre alternativer alltid er mulig:

• løsningen vil ha to røtter;
• svaret vil være ett tall;
• Ligningen har ingen røtter i det hele tatt.

Og selv om avgjørelsen ikke er brakt til slutten, er det vanskelig å forstå hvilke av alternativene som vil falle ut i en bestemt sak.

Typer registreringer av kvadratiske ligninger

Oppgaver kan ha forskjellige oppføringer. De vil ikke alltid se ut som den generelle formelen til en kvadratisk ligning. Noen ganger vil det mangle noen vilkår. Det som ble skrevet ovenfor er den komplette ligningen. Fjerner du den andre eller tredje termen i den, får du noe annet. Disse postene kalles også kvadratiske ligninger, bare ufullstendige.

Dessuten er det bare leddene som koeffisientene "b" og "c" for kan forsvinne. Tallet "a" kan ikke under noen omstendigheter være lik null. For i dette tilfellet blir formelen til en lineær ligning. Formlene for den ufullstendige formen av ligningene vil være som følger:

Så det er bare to typer, i tillegg til komplette, er det også ufullstendige kvadratiske ligninger. La den første formelen være nummer to, og den andre tallet tre.

Diskriminanten og antallet røtters avhengighet av verdien

Dette tallet må være kjent for å beregne røttene til ligningen. Den kan alltid beregnes, uansett hvilken formel til kvadratisk ligning. For å beregne diskriminanten må du bruke likheten skrevet nedenfor, som vil ha tallet fire.

Etter å ha erstattet verdiene til koeffisientene i denne formelen, kan du få tall med forskjellige fortegn. Hvis svaret er ja, vil svaret på ligningen være to forskjellige røtter. Med et negativt tall vil røttene til andregradsligningen være fraværende. Hvis det er lik null, vil svaret være ett.

Hvordan løses en fullstendig andregradsligning?

Faktisk har behandlingen av dette problemet allerede begynt. For først må du finne diskriminanten. Etter at det er avklart at det er røttene til den kvadratiske ligningen, og antallet er kjent, må du bruke formlene for variablene. Hvis det er to røtter, må du bruke en slik formel.

Siden den inneholder "±"-tegnet, vil det være to verdier. Uttrykket under kvadratrottegnet er diskriminanten. Derfor kan formelen skrives om på en annen måte.

Formel fem. Fra den samme posten kan man se at hvis diskriminanten er null, vil begge røttene ha samme verdier.

Hvis løsningen av kvadratiske ligninger ennå ikke er utarbeidet, er det bedre å skrive ned verdiene til alle koeffisientene før du bruker diskriminant- og variabelformlene. Senere vil dette øyeblikket ikke forårsake vanskeligheter. Men helt i begynnelsen er det forvirring.

Hvordan løses en ufullstendig andregradsligning?

Alt er mye enklere her. Selv det er ikke behov for ytterligere formler. Og du trenger ikke de som allerede er skrevet for diskriminerende og ukjente.

Tenk først på den ufullstendige ligningen nummer to. I denne likheten er det ment å ta den ukjente verdien ut av parentesen og løse den lineære ligningen, som vil forbli i parentesen. Svaret vil ha to røtter. Den første er nødvendigvis lik null, fordi det er en faktor som består av selve variabelen. Den andre fås ved å løse en lineær ligning.

Den ufullstendige ligningen ved nummer tre løses ved å overføre tallet fra venstre side av ligningen til høyre. Deretter må du dele med koeffisienten foran det ukjente. Det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og ikke glem å skrive den ned to ganger med motsatte fortegn.

Følgende er noen handlinger som hjelper deg å lære hvordan du løser alle slags likheter som blir til andregradsligninger. De skal hjelpe eleven til å unngå feil på grunn av uoppmerksomhet. Disse manglene er årsaken til dårlige karakterer når man studerer det omfattende temaet "Quadric Equations (Grade 8)". Deretter trenger ikke disse handlingene å utføres kontinuerlig. For det blir en stabil vane.

• Først må du skrive ligningen i standardform. Det vil si først leddet med den største graden av variabelen, og deretter - uten graden og den siste - bare et tall.

• Hvis en minus vises før koeffisienten "a", kan det komplisere arbeidet for en nybegynner å studere kvadratiske ligninger. Det er bedre å bli kvitt det. For dette formålet må all likhet multipliseres med "-1". Dette betyr at alle termer vil endre fortegn til motsatt.

• På samme måte anbefales det å kvitte seg med brøker. Bare multipliser ligningen med riktig faktor slik at nevnerne opphever seg.

Eksempler

Det er nødvendig å løse følgende kvadratiske ligninger:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den første ligningen: x 2 - 7x \u003d 0. Den er ufullstendig, derfor er den løst som beskrevet for formel nummer to.

Etter bracketing viser det seg: x (x - 7) \u003d 0.

Den første roten får verdien: x 1 \u003d 0. Den andre vil bli funnet fra den lineære ligningen: x - 7 \u003d 0. Det er lett å se at x 2 \u003d 7.

Andre ligning: 5x2 + 30 = 0. Igjen ufullstendig. Bare det løses som beskrevet for den tredje formelen.

Etter å ha overført 30 til høyre side av ligningen: 5x 2 = 30. Nå må du dele på 5. Det viser seg: x 2 = 6. Svarene vil være tall: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Tredje ligning: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Her og nedenfor vil løsningen av kvadratiske ligninger begynne med å skrive dem om til en standardform: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nå er det på tide å bruke den andre nyttig tips og gang alt med minus én. Det viser seg x 2 + 2x - 15 \u003d 0. I henhold til den fjerde formelen må du beregne diskriminanten: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Det er en positivt tall. Av det som ble sagt ovenfor, viser det seg at ligningen har to røtter. De må beregnes i henhold til den femte formelen. I følge det viser det seg at x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Deretter x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Den fjerde ligningen x 2 + 8 + 3x \u003d 0 konverteres til dette: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Dens diskriminant er lik denne verdien: -23. Siden dette tallet er negativt, vil svaret på denne oppgaven være følgende oppføring: "Det er ingen røtter."

Den femte ligningen 12x + x 2 + 36 = 0 skal skrives om som følger: x 2 + 12x + 36 = 0. Etter å ha brukt formelen for diskriminanten, oppnås tallet null. Dette betyr at den vil ha en rot, nemlig: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Den sjette ligningen (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) krever transformasjoner, som består i at du må ta med like ledd, før du åpner parentesene. I stedet for den første vil det være et slikt uttrykk: x 2 + 2x + 1. Etter likhet vil denne oppføringen vises: x 2 + 3x + 2. Etter at lignende termer er talt, vil ligningen ha formen: x 2 - x \u003d 0. Den har blitt ufullstendig . I likhet med det har allerede blitt ansett som litt høyere. Røttene til dette vil være tallene 0 og 1.

”, det vil si ligninger av første grad. I denne leksjonen skal vi utforske hva er en andregradsligning og hvordan løse det.

Hva er en andregradsligning

Viktig!

Graden av en ligning bestemmes av den høyeste grad det ukjente står i.

Hvis den maksimale graden som det ukjente står i er "2", så har du en andregradsligning.

Eksempler på andregradsligninger

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Viktig! Den generelle formen for kvadratisk ligning ser slik ut:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - den første eller senior koeffisienten;
• "b" - den andre koeffisienten;
• "c" er et gratis medlem.

For å finne "a", "b" og "c" må du sammenligne ligningen din med den generelle formen for kvadratisk ligning "ax 2 + bx + c \u003d 0".

La oss øve på å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c" i andregradsligninger.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Hvordan løse andregradsligninger

I motsetning til lineære ligninger, brukes en spesiell ligning for å løse andregradsligninger. formel for å finne røtter.

Huske!

For å løse en kvadratisk ligning trenger du:

• bringe den andregradsligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c \u003d 0". Det vil si at bare "0" skal forbli på høyre side;
• bruk formelen for røtter:

La oss bruke et eksempel for å finne ut hvordan du bruker formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning. La oss løse den andregradsligningen.

X 2 - 3x - 4 = 0

Ligningen "x 2 - 3x - 4 = 0" er allerede redusert til den generelle formen "ax 2 + bx + c = 0" og krever ingen ytterligere forenklinger. For å løse det trenger vi bare søke formel for å finne røttene til en andregradsligning.

La oss definere koeffisientene "a", "b" og "c" for denne ligningen.

Med dens hjelp løses enhver annengradsligning.

I formelen "x 1; 2 \u003d" erstattes ofte rotuttrykket
"b 2 − 4ac" til bokstaven "D" og kalt diskriminant. Begrepet diskriminant er nærmere omtalt i leksjonen «Hva er en diskriminant».

Tenk på et annet eksempel på en andregradsligning.

x 2 + 9 + x = 7x

I denne formen er det ganske vanskelig å bestemme koeffisientene "a", "b" og "c". La oss først bringe ligningen til den generelle formen "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nå kan du bruke formelen for røttene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Det er tider når det ikke er røtter i kvadratiske ligninger. Denne situasjonen oppstår når et negativt tall vises i formelen under roten.

Kvadratiske ligninger studeres i klasse 8, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er avgjørende.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a , b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før vi studerer spesifikke løsningsmetoder, legger vi merke til at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. De har nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske og lineære ligninger, hvor roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac .

Denne formelen må være kjent utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

En oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vi skriver koeffisientene for den første ligningen og finner diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på samme måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen gjenstår:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminanten er lik null - roten vil være en.

Merk at koeffisienter er skrevet ut for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig – men du vil ikke blande oddsen og ikke gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du "fyller hånden", trenger du ikke lenger å skrive ut alle koeffisientene etter en stund. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformelen for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du får det samme tallet, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når negative koeffisienter erstattes i formelen. Her, igjen, vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, mal hvert trinn - og bli kvitt feil veldig snart.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at andregradsligningen er noe annerledes enn det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Det er lett å se at ett av begrepene mangler i disse ligningene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de trenger ikke engang å beregne diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b \u003d c \u003d 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 \u003d 0. Åpenbart har en slik ligning en enkelt rot: x \u003d 0.

La oss vurdere andre saker. La b \u003d 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c \u003d 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer fra et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening når (−c / a ) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0 tilfredsstiller ulikheten (−c / a ) ≥ 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var diskriminanten ikke nødvendig - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c / a ) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien av x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis negativ, vil det ikke være noen røtter i det hele tatt.

La oss nå ta for oss ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Produktet er lik null når minst én av faktorene er lik null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis vil vi analysere flere av disse ligningene:

En oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Det er ingen røtter, fordi kvadratet kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.