Хэрхэн скан хийх вэ - өгөгдсөн хэмжээтэй конус эсвэл таслагдсан конусын загвар. Энгийн шүүрдэх тооцоо. Конусын эзэлхүүн, түүний тооцоо Конусын сахлын эзэлхүүн

Төрөл бүрийн геометрийн биетүүдийн дотроос хамгийн сонирхолтой нь конус юм. Энэ нь нэг хөлийг нь тойруулан тэгш өнцөгт гурвалжинг эргүүлснээр үүсдэг.

Конусын эзэлхүүнийг хэрхэн олох вэ - үндсэн ойлголтууд

Конусын эзэлхүүнийг тооцоолж эхлэхээсээ өмнө үндсэн ойлголттой танилцах хэрэгтэй.

Дугуй конус - ийм конусын суурь нь тойрог юм. Хэрэв суурь нь эллипс, парабол эсвэл гипербол бол эдгээр дүрсийг зууван, парабол эсвэл гипербол конус гэж нэрлэдэг. Сүүлийн хоёр төрлийн боргоцой нь хязгааргүй эзэлхүүнтэй гэдгийг санах нь зүйтэй.
Таслагдсан конус нь суурь ба энэ суурьтай параллель хавтгайн хооронд байрлах конусын хэсэг бөгөөд дээд ба суурийн хооронд байрладаг.
Өндөр - суурьтай перпендикуляр сегмент, дээрээс нь суллагдсан.
Конусын generatrix нь суурь ба дээд хэсгийн хилийг холбосон сегмент юм.

Конусын эзэлхүүн

Конусын эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд V=1/3*S*H томъёог ашиглана, S нь суурийн талбай, H нь өндөр. Конусын суурь нь тойрог тул түүний талбайг S= nR^2 томъёогоор олно, энд n = 3.14, R нь тойргийн радиус юм.

Зарим параметрүүд нь тодорхойгүй байх нөхцөл байдал бий: өндөр, радиус эсвэл generatrix. Энэ тохиолдолд Пифагорын теоремд хандах нь зүйтэй. Конусын тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд l нь гипотенуз, H ба R нь хөл юм. Дараа нь l=(H^2+R^2)^1/2.

Таслагдсан конусын эзэлхүүн

Таслагдсан конус нь дээд хэсэг нь таслагдсан конус юм.

Ийм конусын эзэлхүүнийг олохын тулд танд дараах томъёо хэрэгтэй болно.

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

Энд n=3.14, r - огтлолын тойргийн радиус, R - том суурийн радиус, H - өндөр.

Таслагдсан конусын тэнхлэгийн хэсэг нь тэгш өнцөгт трапец хэлбэртэй болно. Тиймээс, хэрэв конусын генерацийн урт эсвэл аль нэг тойргийн радиусыг олох шаардлагатай бол трапецын тал ба суурийг олох томъёог ашиглах нь зүйтэй.

Конусын өндөр нь 8 см, суурийн радиус нь 3 см бол түүний эзлэхүүнийг ол.

Өгөгдсөн: H=8 см, R=3 см.

Эхлээд S=nR^2 томъёог ашиглан суурийн талбайг ол.

S=3.14*3^2=28.26см^2

Одоо V=1/3*S*H томьёог ашиглан конусын эзэлхүүнийг олно.

V=1/3*28.26*8=75.36см^3

Конус хэлбэртэй дүрсүүд хаа сайгүй байдаг: зогсоолын конус, барилгын цамхаг, чийдэнгийн сүүдэр. Тиймээс конусын эзэлхүүнийг хэрхэн олохыг мэдэх нь заримдаа мэргэжлийн болон өдөр тутмын амьдралд тустай байдаг.

Заримдаа "загвар" гэдэг үгийн оронд "шүүрдэх" гэсэн үг хэрэглэдэг боловч энэ нэр томъёо нь хоёрдмол утгатай байдаг: жишээлбэл, хайч нь нүхний диаметрийг нэмэгдүүлэх хэрэгсэл бөгөөд электрон технологид реймер гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс, хайлтын системүүд энэ нийтлэлийг ашиглан олохын тулд "конус шүүрдэх" гэсэн үгсийг ашиглах үүрэгтэй ч би "загвар" гэсэн үгийг ашиглах болно.

Конусын хэв маягийг бий болгох нь энгийн зүйл юм. Бүтэн конус ба тайруулсан хоёр тохиолдлыг авч үзье. Зураг дээр (томруулахын тулд товшино уу)ийм конусуудын ноорог ба тэдгээрийн хэв маягийг үзүүлэв. (Бид зөвхөн дугуй суурьтай шулуун конусуудын тухай ярих болно гэдгийг би шууд тэмдэглэж байна. Дараах өгүүллээр бид зууван суурьтай, налуу конустай конусыг авч үзэх болно).

1. Бүрэн конус

Тэмдэглэл:

Загварын параметрүүдийг дараах томъёогоор тооцоолно.
;
;
хаана .

2. Таслагдсан конус

Тэмдэглэл:

Загварын параметрүүдийг тооцоолох томъёо:
;
;
;
хаана .
Хэрэв бид орлуулбал эдгээр томьёо нь бүтэн конусанд тохиромжтой гэдгийг анхаарна уу.

Заримдаа конусыг барьж байгуулахдаа түүний орой дээрх өнцгийн утга (эсвэл конусыг тайруулсан бол төсөөллийн орой дээр) нь үндсэн юм. Хамгийн энгийн жишээ бол нэг боргоцойг нөгөөд нь нягт оруулах шаардлагатай үед юм. Энэ өнцгийг үсгээр тэмдэглэе (зураг харна уу).
Энэ тохиолдолд бид үүнийг гурван оролтын утгын аль нэгний оронд ашиглаж болно: , эсвэл . Яагаад "хамтдаа тухай", "хамтдаа биш д"? Гурван параметр нь конус барихад хангалттай бөгөөд дөрөв дэх параметрийн утгыг бусад гурвын утгуудаар тооцоолно. Яагаад хоёр, дөрөв биш яг гурав гэдэг нь энэ нийтлэлийн хүрээнээс давсан асуулт юм. Энэ нь ямар нэгэн байдлаар "конус" объектын гурван хэмжээсттэй холбоотой гэдгийг нууцлаг дуу хоолой надад хэлж байна. (Бид нийтлэл дэх бусад бүх параметрүүдийг тооцоолсон хоёр хэмжээст тойргийн сегментийн объектын хоёр анхны параметртэй харьцуул.)

Гурав өгөгдсөн үед конусын дөрөв дэх параметрийг тодорхойлох томъёог доор харуулав.

4. Загвар бүтээх арга

Тооцоологч дээрх утгыг тооцоолж, луужин, захирагч, протектор ашиглан цаасан дээр (эсвэл тэр даруй металл дээр) хэв маягийг бий болго.
Томъёо болон эх өгөгдлийг хүснэгтэд оруулна уу (жишээ нь Microsoft Excel). Хүлээн авсан үр дүнг график засварлагч (жишээлбэл, CorelDRAW) ашиглан хэв маягийг бүтээхэд ашигладаг.
дэлгэцэн дээр зурж, өгөгдсөн параметрүүдтэй конусын загварыг хэвлэх миний програмыг ашиглана уу. Энэ хэв маягийг вектор файл хэлбэрээр хадгалж, CorelDRAW руу оруулж болно.

5. Зэрэгцээ суурь биш

Таслагдсан боргоцойны тухайд Конус програм нь зөвхөн параллель суурьтай конусуудын загварыг бүтээсээр байна.
Зэрэгцээ бус суурьтай тайрсан конусын хэв маягийг бүтээх арга хайж байгаа хүмүүст сайтын зочдын нэгний өгсөн холбоосыг эндээс үзнэ үү.
Зэрэгцээ бус суурьтай таслагдсан конус.

Конусын гадаргуугийн хөгжил нь хажуугийн гадаргуу ба конусын суурийг тодорхой хавтгайтай хослуулан олж авсан хавтгай дүрс юм.

Шүүрдэх барилгын сонголтууд:

Баруун дугуй конусыг хөгжүүлэх

Баруун дугуй конусын хажуугийн гадаргуугийн хөгжил нь дугуй сектор бөгөөд радиус нь конус гадаргуугийн генатриксийн урттай l тэнцүү бөгөөд төвийн өнцөг φ нь φ=360*R/ томъёогоор тодорхойлогддог. l, энд R нь конусын суурийн тойргийн радиус юм.

Дүрслэх геометрийн хэд хэдэн асуудлын хувьд хамгийн тохиромжтой шийдэл бол конусыг дотор нь бичсэн пирамидаар ойртуулах (солих), конус гадаргуу дээр шугам зурахад тохиромжтой ойролцоо шүүрдэх явдал юм.

Барилгын алгоритм

Бид олон өнцөгт пирамидыг конус гадаргуу дээр бичдэг. Бичсэн пирамидын хажуугийн нүүрнүүд хэдий чинээ их байх тусам бодит болон ойролцоо сканнерын хоорондын захидал харилцаа илүү нарийвчлалтай болно.
Бид пирамидын хажуугийн гадаргууг гурвалжингийн аргыг ашиглан бүтээдэг. Конусын суурьт хамаарах цэгүүд нь гөлгөр муруйгаар холбогддог.

Жишээ

Доорх зурган дээр ердийн зургаан өнцөгт пирамид SABCDEF нь зөв дугуй конус хэлбэрээр бичигдсэн бөгөөд түүний хажуугийн гадаргуугийн ойролцоогоор хөгжил нь пирамидын нүүрэн тал болох зургаан ижил өнцөгт гурвалжингаас бүрдэнэ.

S 0 A 0 B 0 гурвалжинг авч үзье. Түүний талуудын урт S 0 A 0 ба S 0 B 0 нь конус гадаргуугийн generatrix l-тэй тэнцүү байна. A 0 B 0 утга нь A'B' урттай тохирч байна. Зургийн дурын газарт S 0 A 0 B 0 гурвалжин байгуулахын тулд бид S 0 A 0 =l сегментийг хойш тавьж, дараа нь S 0 B 0 =l ба A 0 B 0 = радиустай тойрог зурна. S 0 ба A 0 цэгээс A'B'. Бид B 0 тойргийн огтлолцлын цэгийг A 0 ба S 0 цэгүүдтэй холбодог.

SABCDEF пирамидын S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 нүүрнүүд нь S 0 A 0 гурвалжинтай төстэй байдлаар бүтээгдсэн. B 0.

Конусын суурь дээр байрлах A, B, C, D, E, F цэгүүд нь радиус нь l-тэй тэнцүү тойрог нумаар гөлгөр муруйгаар холбогддог.

Ташуу конусын хөгжил

Ойролцоох аргаар налуу конусын хажуугийн гадаргууг цэвэрлэх журмыг авч үзье.

Алгоритм

Бид конусын суурийн тойрогт зургаан өнцөгт 123456-г бичнэ.1, 2, 3, 4, 5, 6-р цэгүүдийг S оройтой холбоно. Ийм аргаар барьсан пирамид S123456 нь тодорхой хэмжээний ойролцоолсон, конусан гадаргууг орлуулах бөгөөд цаашид барилгын ажилд ашигладаг.
Бид пирамидын ирмэгийн байгалийн утгыг проекцын шугамын эргэн тойронд эргүүлэх аргыг ашиглан тодорхойлдог: жишээн дээр хэвтээ проекцын хавтгайд перпендикуляр, S оройгоор дамждаг i тэнхлэгийг ашигладаг.
Тиймээс S5 ирмэгийг эргүүлсний үр дүнд түүний шинэ хэвтээ проекц S'5' 1 нь урд талын π 2 хавтгайтай параллель байх байрлалыг авдаг. Үүний дагуу S''5'' 1 нь S5-ийн байгалийн утга юм.
Бид зургаан гурвалжингаас бүрдэх S123456 пирамидын хажуугийн гадаргуугийн хөгжлийг бүтээдэг: 0 1 0 . Гурвалжин бүрийн барилгын ажлыг гурван тал дээр гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, △S 0 1 0 6 0 нь S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6' урттай.

Ойролцоогоор шүүрдэх нь бодиттой тохирч байх зэрэг нь бичээстэй пирамидын нүүрний тооноос хамаарна. Нүүрний тоог зургийг уншихад хялбар байдал, түүний нарийвчлалд тавигдах шаардлага, сканнерд шилжүүлэх шаардлагатай шинж чанар бүхий цэгүүд, шугамууд зэргээс хамаарч сонгоно.

Шугамыг конусын гадаргуугаас хөгжүүлэлт рүү шилжүүлэх

Конусын гадаргуу дээр байрлах n шугам нь тодорхой хавтгайтай огтлолцсоны үр дүнд үүсдэг (доорх зураг). Шүүрэлт дээр n мөрийг байгуулах алгоритмыг авч үзье.

Алгоритм

S123456 конусанд бичээстэй пирамидын ирмэгийг n шулуун огтолж байгаа A, B, C цэгүүдийн проекцийг ол.
Бид SA, SB, SC сегментүүдийн бодит хэмжээг проекцын шугамыг тойрон эргүүлэх замаар тодорхойлно. Энэ жишээнд SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 байна.
Бид S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 сегментүүдийг хойш тавьж, пирамидын харгалзах ирмэг дээрх A 0, B 0, C 0 цэгүүдийн байрлалыг олно. S 0 C 0 =S''C'' 1 .
Бид A 0, B 0, C 0 цэгүүдийг гөлгөр шугамаар холбодог.

Таслагдсан конусын хөгжил

Доор тайлбарласан зөв дугуй тайрсан конусын шүүрдэх арга нь ижил төстэй зарчим дээр суурилдаг.

Геометрийн хувьд тайрсан конус нь суурьтай перпендикуляр байрладаг тэгш өнцөгт трапецийг түүний хажуугийн эргэн тойронд эргүүлэх замаар үүссэн бие юм. Тэд хэрхэн тооцдог вэ таслагдсан конусын эзэлхүүн, хүн бүр сургуулийн геометрийн курсээс мэддэг бөгөөд практикт энэ мэдлэгийг янз бүрийн машин механизмын дизайнерууд, зарим өргөн хэрэглээний бараа бүтээгчид, мөн архитекторууд ихэвчлэн ашигладаг.

Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох

Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо

Таслагдсан конусын эзэлхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- конусын өндөр

r- дээд суурийн радиус

Р- доод суурийн радиус

В- таслагдсан конусын эзэлхүүн

π - 3,14

гэх мэт геометрийн биетэй тайрсан боргоцой, өдөр тутмын амьдралд хүн бүр байнга биш юмаа гэхэд нэлээд олон удаа тааралддаг. Тэдний хэлбэр нь өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг олон төрлийн савтай: хувин, шил, зарим аяга. Тэдгээрийг боловсруулсан дизайнерууд тооцоо хийдэг томьёо ашигласан байх нь ойлгомжтой таслагдсан конусын эзэлхүүн, учир нь энэ үнэ цэнэ нь энэ тохиолдолд маш чухал бөгөөд учир нь энэ нь бүтээгдэхүүний хүчин чадал гэх мэт чухал шинж чанарыг тодорхойлдог.

Инженерийн байгууламжууд нь тайрсан боргоцой, ихэвчлэн томоохон аж үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжүүд, түүнчлэн дулааны болон атомын цахилгаан станцуудаас харж болно. Агаар мандлын агаарын эсрэг урсгалыг шахах замаар их хэмжээний усыг хөргөх зориулалттай төхөөрөмжүүд нь хөргөлтийн цамхагт ийм хэлбэртэй байдаг. Ихэнхдээ эдгээр загварыг богино хугацаанд их хэмжээний шингэний температурыг мэдэгдэхүйц бууруулах шаардлагатай тохиолдолд ашигладаг. Эдгээр бүтцийг хөгжүүлэгчид тодорхойлох ёстой таслагдсан конусын эзэлхүүнТооцоолох томъёо нь маш энгийн бөгөөд ахлах сургуульд сайн сурч байсан бүх хүмүүст мэддэг.

Энэхүү геометрийн хэлбэртэй нарийн ширийн зүйлийг янз бүрийн техникийн төхөөрөмжүүдийн дизайнаас ихэвчлэн олдог. Жишээлбэл, кинетик дамжуулалтын чиглэлийг өөрчлөх шаардлагатай системд ашигладаг араа нь ихэвчлэн налуу араа ашиглан хийгддэг. Эдгээр эд ангиуд нь орчин үеийн автомашинд ашиглагддаг автомат болон механик хурдны хайрцгууд, түүнчлэн олон төрлийн хурдны хайрцгийн салшгүй хэсэг юм.

Таслагдсан конусын хэлбэр нь үйлдвэрлэлд өргөн хэрэглэгддэг зарим зүсэх хэрэгсэлтэй байдаг, жишээлбэл, тээрэмдэх таслагч. Тэдгээрийн тусламжтайгаар та налуу гадаргууг тодорхой өнцгөөр боловсруулж болно. Металл болон модон эдлэлийн тоног төхөөрөмжийг хурцлахын тулд зүлгүүрийн дугуйг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд тэдгээр нь мөн зүсэгдсэн конус юм. Түүнээс гадна, таслагдсан конусын эзэлхүүншовгор бариул (өрөмдлөг, хайч гэх мэт) -ээр тоноглогдсон зүсэх хэрэгслийг бэхлэх зориулалттай эргэлт, тээрэмдэх машин зохион бүтээгчдийг тодорхойлох шаардлагатай.