Хязгааргүй буурах геометрийн прогресс онлайн. GP-ийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо. Нийлмэл хүүг тооцох асуудал

ТООН ДАРААЛУУД VI

§ l48. Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр

Өнөөг хүртэл нийлбэрүүдийн тухай ярихдаа бид эдгээр нийлбэр дэх нэр томъёоны тоо хязгаарлагдмал (жишээлбэл, 2, 15, 1000 гэх мэт) гэж үргэлж үздэг. Гэхдээ зарим асуудлыг (ялангуяа дээд математик) шийдвэрлэхдээ хязгааргүй тооны нэр томъёоны нийлбэртэй харьцах шаардлагатай болдог.

S= а 1 + а 2 + ... + а n + ... . (1)

Эдгээр хэмжээ хэд вэ? Тодорхойлолтоор хязгааргүй тооны гишүүний нийлбэр а 1 , а 2 , ..., а n , ...-ийг S нийлбэрийн хязгаар гэнэ n эхлээд П хэзээ тоо П -> ∞ :

S=S n = (а 1 + а 2 + ... + а n ). (2)

Хязгаар (2), мэдээжийн хэрэг байхгүй ч байж болно. Үүний дагуу (1) нийлбэрийг байгаа эсвэл байхгүй гэж хэлдэг.

Тухайн тохиолдол бүрт нийлбэр (1) байгаа эсэхийг хэрхэн олж мэдэх вэ? Энэ асуултын ерөнхий шийдэл нь манай хөтөлбөрийн хамрах хүрээнээс хамаагүй илүү юм. Гэсэн хэдий ч бид одоо авч үзэх ёстой нэг чухал онцгой тохиолдол байна. Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн талаар бид ярих болно.

Болъё а 1 , а 1 q , а 1 q 2 , ... нь хязгааргүй буурах геометр прогресс юм. Энэ нь | q |< 1. Сумма первых П энэ прогрессийн гишүүд тэнцүү байна

Хувьсагчдын хязгаарын талаархи үндсэн теоремуудаас (§ 136-г үзнэ үү) бид дараахь зүйлийг олж авна.

Гэхдээ 1 = 1, a q n = 0. Тиймээс

Тиймээс, хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр нь энэ прогрессийн эхний гишүүнийг энэ прогрессийн хуваагчаас нэг хассантай тэнцүү байна.

1) Геометр прогрессийн нийлбэр 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... байна.

ба геометр прогрессийн нийлбэр нь 12; -6; 3; - 3/2 , ... тэнцүү байна

2) Энгийн үечилсэн бутархай 0.454545 ... энгийн нэг болж хувирна.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Энэ тэгшитгэлийн баруун тал нь төгсгөлгүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр бөгөөд эхний гишүүн нь 45/100, хуваагч нь 1/100 байна. Тийм ч учраас

Тодорхойлсон байдлаар энгийн үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг мөн олж авч болно (II бүлгийн § 38-ыг үзнэ үү):

Энгийн үечилсэн бутархайг энгийн болгон хөрвүүлэхийн тулд та дараах байдлаар ажиллах хэрэгтэй: аравтын бутархайн үеийг тоологч хэсэгт, харин хуваарьт - есөн тооноос бүрдэх тоог тухайн үеийн цифрүүдээс хэд дахин их хэмжээгээр авна. аравтын бутархай.

3) Холимог үечилсэн бутархай 0.58333 .... энгийн бутархай болж хувирна.

Энэ бутархайг хязгааргүй нийлбэрээр төлөөлүүлье:

Энэ тэгш байдлын баруун талд 3/1000-аас эхлэн бүх гишүүд хязгааргүй буурах геометр прогресс үүсгэдэг бөгөөд эхний гишүүн нь 3/1000, хуваагч нь 1/10 байна. Тийм ч учраас

Тодорхойлсон арга замаар холимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах ерөнхий дүрмийг олж авч болно (II бүлгийн § 38-ыг үзнэ үү). Үүнийг бид энд зориуд оруулахгүй байна. Энэ хүнд хэцүү дүрмийг цээжлэх шаардлагагүй. Аливаа холимог үечилсэн бутархайг хязгааргүй буурдаг геометр прогресс болон зарим тооны нийлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэдэх нь илүү ашигтай байдаг. Мөн томъёо

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэрийн хувьд мэдээжийн хэрэг санах хэрэгтэй.

Дасгалын хувьд бид таныг доорх 995-1000 тоот асуудлуудаас гадна 301 § 38-д дахин нэг удаа хандахыг урьж байна.

Дасгал

995. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

996. Хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэрийг ол:

997. Ямар үнэ цэнийн төлөө X дэвшил

хязгааргүй буурч байна уу? Ийм прогрессийн нийлбэрийг ол.

998. Талтай тэгш талт гурвалжинд а шинэ гурвалжинг түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосноор сийлсэн; Энэ гурвалжинд шинэ гурвалжинг мөн адил бичээстэй байх ба төгсгөлгүй үргэлжлэх болно.

a) эдгээр бүх гурвалжны периметрийн нийлбэр;

б) тэдгээрийн талбайн нийлбэр.

999. Хажуу талтай дөрвөлжин дотор а түүний талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шинэ дөрвөлжин бичээс; дөрвөлжин талбайг энэ дөрвөлжинд мөн адил бичээстэй, мөн төгсгөлгүй. Эдгээр бүх квадратуудын периметрийн нийлбэр ба талбайн нийлбэрийг ол.

1000. нийлбэр нь 25/4, гишүүний квадратуудын нийлбэр нь 625/24-тэй тэнцүү байхаар хязгааргүй буурах геометр прогресс хий.

Геометр прогресс гэдэг нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэг биш бөгөөд дараагийн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүн нь тэг биш ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Геометр прогрессийн тухай ойлголт

Геометр прогрессийг b1,b2,b3, …, bn, … гэж тэмдэглэнэ.

Геометрийн алдааны аль нэг гишүүний өмнөх гишүүнтэй харьцаа нь ижил тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+) 1)/бн = …. Энэ нь арифметик прогрессийн тодорхойлолтоос шууд гардаг. Энэ тоог геометр прогрессийн хуваагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн геометр прогрессийн хуваагчийг q үсгээр тэмдэглэдэг.

|q|-ийн хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэр<1

Геометр прогрессийг тогтоох нэг арга бол түүний эхний гишүүн b1 болон геометрийн алдаа q-ын хуваагчийг тогтоох явдал юм. Жишээлбэл, b1=4, q=-2. Эдгээр хоёр нөхцөл нь 4, -8, 16, -32, ... гэсэн геометрийн прогрессийг өгдөг.

Хэрэв q>0 (q нь 1-тэй тэнцүү биш) бол прогресс нь монотон дараалал болно. Жишээлбэл, 2, 4,8,16,32, ... гэсэн дараалал нь нэг хэвийн өсөлттэй дараалал (b1=2, q=2).

Геометрийн алдааны хуваагч q=1 байвал геометр прогрессийн бүх гишүүд хоорондоо тэнцүү байна. Ийм тохиолдолд дэвшилтийг тогтмол дараалал гэж нэрлэдэг.

Тоон дараалал (bn) нь геометрийн прогресс байхын тулд түүний гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хөрш гишүүдийн геометрийн дундаж байх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, дараах тэгшитгэлийг биелүүлэх шаардлагатай
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), дурын n>0-ийн хувьд n нь N натурал тооны олонлогт хамаарна.

Одоо (Xn) - геометрийн прогрессийг оруулъя. |q|∞-тэй q геометр прогрессийн хуваагч.
Хэрэв бид одоо хязгааргүй геометрийн прогрессийн нийлбэрийг S-ээр тэмдэглэвэл дараах томьёо гүйцэтгэнэ.
S=x1/(1-q).

Энгийн жишээг авч үзье:

Хязгааргүй геометр прогрессийн нийлбэрийг ол 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

S-ийг олохын тулд бид хязгааргүй арифметик прогрессийн нийлбэрийн томъёог ашигладаг. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Геометрийн прогрессийг тэмдэглэв b1,b2,b3, …, bn, … .

Монотон ба тогтмол дараалал

Хэрэв q>0 (q нь 1-тэй тэнцүү биш) бол прогресс байна монотон дараалал.Жишээлбэл, 2, 4,8,16,32, ... гэсэн дараалал нь нэг хэвийн өсөлттэй дараалал (b1=2, q=2).

Геометрийн алдааны хуваагч q=1 байвал геометр прогрессийн бүх гишүүд хоорондоо тэнцүү байна. Ийм тохиолдолд ахиц дэвшил гэж хэлдэг тогтмол дараалал.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томьёо

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо нь:

bn=b1*q^(n-1),

Энд n нь N натурал тооны олонлогт хамаарна.

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёо нь:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) энд q нь 1-тэй тэнцүү биш байна.

Энгийн жишээг авч үзье:

Геометр прогрессод b1=6, q=3, n=8 Sn-ийг ол.

S8-ийг олохын тулд бид геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглана.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо нь маш энгийн зүйл юм. Утгын хувьд ч, ерөнхийдөө ч. Гэхдээ n-р гишүүний томъёонд маш энгийнээс эхлээд нэлээд ноцтой хүртэл янз бүрийн асуудал байдаг. Бидний танилцах явцад бид хоёуланг нь авч үзэх нь гарцаагүй. За уулзацгаая?)

Тиймээс, эхлэгчдэд томъёоn

Тэр тэнд байна:

б н = б 1 · q n -1

Томъёо бол ер бусын зүйл биш. Энэ нь ижил төстэй томъёоноос ч илүү энгийн бөгөөд авсаархан харагдаж байна. Томъёоны утга нь бас энгийн, эсгий гутал шиг.

Энэ томьёо нь геометр прогрессийн аль ч гишүүнийг ДУГААРААР олох боломжийг олгоно. n".

Таны харж байгаагаар утга нь арифметик прогрессийн бүрэн зүйрлэл юм. Бид n тоог мэддэг - энэ тоон дор нэр томъёог тооцоолж болно. Бидний хүсч буй зүйл. "q"-аар олон, олон удаа дараалан үржүүлэхгүй. Энэ бол бүх зүйл юм.)

Прогресстэй ажиллах энэ түвшинд томьёонд орсон бүх хэмжигдэхүүнүүд танд аль хэдийн тодорхой байх ёстой гэдгийг би ойлгож байгаа боловч тус бүрийг тайлах нь миний үүрэг гэж би бодож байна. Тохиолдолд.

Ингээд явцгаая:

б 1 – эхнийгеометр прогрессийн гишүүн;

q – ;

n- гишүүний дугаар;

б н – n-р (nth)геометр прогрессийн гишүүн.

Энэ томъёо нь аливаа геометрийн прогрессийн дөрвөн үндсэн параметрийг холбодог. бn, б 1 , qболон n. Эдгээр дөрвөн гол дүрийн эргэн тойронд урагшлах бүх ажлууд эргэлддэг.

"Тэгээд яаж харуулж байна?"- Би сониуч асуулт сонсож байна ... Бага анги! Хараач!

Юутай тэнцүү вэ хоёрдугаартдэвшилт гишүүн? Асуудалгүй! Бид шууд бичдэг:

b 2 = b 1 q

Тэгээд гурав дахь гишүүн үү? Бас асуудал биш! Бид хоёр дахь гишүүнийг үржүүлдэг дахин асаалттайq.

Үүн шиг:

B 3 \u003d b 2 q

Хоёрдахь гишүүн нь эргээд b 1 q-тай тэнцүү гэдгийг санаж, энэ илэрхийллийг бидний тэгш байдал болгон орлуулна уу:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Бид авах:

Б 3 = b 1 q 2

Одоо орос хэл дээрх бичлэгээ уншъя: гурав дахьнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна хоёрдугаартзэрэг. Та үүнийг ойлгож байна уу? Хараахан болоогүй? За, дахиад нэг алхам.

Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Бүгд ижилхэн! Үржүүлэх өмнөх(өөрөөр хэлбэл гурав дахь нэр томъёо) q дээр:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Нийт:

Б 4 = b 1 q 3

Бид дахин орос хэл рүү орчуулав: дөрөв дэхнэр томъёо нь эхний гишүүнийг q-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна гурав дахьзэрэг.

гэх мэт. Тэгэхээр яаж байна? Та загварыг барьж чадсан уу? Тийм ээ! Дурын тоотой аль ч гишүүний хувьд тэнцүү хүчин зүйлийн тоо q (жишээ нь хуваарийн хүч) үргэлж байх болно. хүссэн гишүүний тооноос нэгээр багаn.

Тиймээс бидний томъёо нь сонголтгүй байх болно:

b n =б 1 · q n -1

Тэгээд л болоо.)

За, асуудлаа шийдье, тийм үү?)

Томьёоны дагуу асуудлыг шийдвэрлэхnгеометр прогрессийн 3-р гишүүн.

Ердийнх шигээ томъёоны шууд хэрэглээнээс эхэлцгээе. Энд ердийн асуудал байна:

Энэ нь экспоненциал байдлаар мэдэгдэж байна б 1 = 512 ба q = -1/2. Прогрессийн арав дахь гишүүнийг ол.

Мэдээжийн хэрэг, энэ асуудлыг ямар ч томъёололгүйгээр шийдэж болно. Яг л геометрийн прогресс шиг. Гэхдээ бид n-р гишүүний томьёогоор халаах хэрэгтэй байна, тийм үү? Энд бид салж байна.

Томьёог хэрэглэх бидний өгөгдөл дараах байдалтай байна.

Эхний нэр томъёо нь мэдэгдэж байна. Энэ бол 512.

б 1 = 512.

Прогрессийн хуваагч нь бас мэдэгдэж байна: q = -1/2.

Зөвхөн n нэр томъёоны тоо хэдтэй тэнцүү болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Асуудалгүй! Бид арав дахь улиралыг сонирхож байна уу? Тиймээс бид ерөнхий томъёонд n-ийн оронд аравыг орлуулна.

Мөн арифметикийг сайтар тооцоол:

Хариулт: -1

Таны харж байгаагаар ахиц дэвшлийн арав дахь гишүүн нь хасахтай болсон. Гайхах зүйлгүй: прогрессийн хуваагч нь -1/2, i.e. сөрөгтоо. Энэ нь бидний ахиц дэвшлийн шинж тэмдгүүд солигдож байгааг харуулж байна, тийм ээ.)

Энд бүх зүйл энгийн. Мөн энд ижил төстэй асуудал байна, гэхдээ тооцооллын хувьд арай илүү төвөгтэй.

Геометрийн прогрессийн хувьд бид дараахь зүйлийг мэддэг.

б 1 = 3

Прогрессийн арван гурав дахь гишүүнийг ол.

Бүх зүйл адилхан, зөвхөн энэ удаад дэвшлийн хуваагч - үндэслэлгүй. Хоёрын үндэс. За, тийм ч том асуудал байхгүй. Томъёо нь бүх нийтийн зүйл бөгөөд энэ нь ямар ч тоог даван туулж чаддаг.

Бид дараах томъёоны дагуу шууд ажилладаг.

Томъёо нь мэдээжийн хэрэг зохих ёсоор ажилласан, гэхдээ ... энд зарим нь өлгөх болно. Дараа нь үндэстэй юу хийх вэ? Арван хоёр дахь зэрэглэлд үндсийг хэрхэн өсгөх вэ?

Яаж-хэрхэн ... Та ямар ч томьёо бол мэдээж сайн зүйл гэдгийг ойлгох хэрэгтэй, гэхдээ өмнөх бүх математикийн мэдлэгийг цуцалдаггүй! Хэрхэн өсгөх вэ? Тийм ээ, градусын шинж чанарыг санаарай! Үндэсийг нь өөрчилье бутархай зэрэгба - хүчийг хүчирхэг болгон өсгөх томъёогоор.

Үүн шиг:

Хариулт: 192

Тэгээд бүх зүйл.)

n-р гишүүний томьёог шууд хэрэглэхэд тулгардаг гол бэрхшээл юу вэ? Тийм ээ! Гол бэрхшээл нь зэрэгтэй ажиллах!Тухайлбал, сөрөг тоо, бутархай, язгуур болон ижил төстэй бүтээцийн экспонентаци. Тиймээс энэ асуудалтай тулгарсан хүмүүс зэрэг, тэдгээрийн шинж чанарыг давтах яаралтай хүсэлт! Үгүй бол та энэ сэдвээр удаашрах болно, тийм ээ ...)

Одоо хайлтын ердийн асуудлуудыг шийдье томъёоны элементүүдийн нэгбусад нь бүгд өгөгдсөн бол. Ийм асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд жор нь ганц бөгөөд аймшигтай энгийн байдаг. томъёог бичnерөнхийдөө гишүүн!Нөхцөл байдлын хажууд байгаа дэвтэр дээр. Дараа нь нөхцөл байдлаас харахад бидэнд юу өгөгдсөн, юу нь хангалтгүй байгааг олж мэднэ. Мөн бид томъёоноос хүссэн утгыг илэрхийлнэ. Бүх зүйл!

Жишээлбэл, ийм хор хөнөөлгүй асуудал.

3 хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 567. Энэ прогрессийн эхний гишүүнийг ол.

Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Бид шившлэгийн дагуу шууд ажилладаг.

Бид n-р гишүүний томъёог бичдэг!

б н = б 1 · q n -1

Бидэнд юу өгсөн бэ? Эхлээд прогрессийн хуваагчийг өгөв. q = 3.

Үүнээс гадна бидэнд өгдөг тав дахь гишүүн: б 5 = 567 .

Бүх зүйл? Үгүй! Бидэнд мөн n тоог өгсөн! Энэ бол тав: n = 5.

Тэмдэглэлд юу байгааг та аль хэдийн ойлгосон гэж найдаж байна б 5 = 567 хоёр параметрийг нэг дор нуусан - энэ бол тав дахь гишүүн өөрөө (567) ба түүний тоо (5). Үүнтэй төстэй хичээл дээр би энэ тухай аль хэдийн ярьсан, гэхдээ энд сануулах нь илүүц биш гэж бодож байна.)

Одоо бид өгөгдлийг томъёонд орлуулж байна:

567 = б 1 3 5-1

Бид арифметикийг авч үзэж, хялбарчилж, энгийн шугаман тэгшитгэлийг олж авдаг.

81 б 1 = 567

Бид шийдэж, авна:

б 1 = 7

Таны харж байгаагаар анхны гишүүнийг олоход ямар ч асуудал байхгүй. Гэхдээ хуваагчийг хайж байхдаа qболон тоонууд nгэнэтийн зүйл тохиолдож болно. Мөн та тэдэнд бэлэн байх хэрэгтэй (гэнэтийн бэлэг), тийм ээ.)

Жишээлбэл, ийм асуудал:

Эерэг хуваарьтай геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162, энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваарийг ол.

Энэ удаад бид эхний болон тав дахь гишүүдийг өгч, ахиц дэвшлийн хуваагчийг олохыг хүсэв. Эндээс бид эхэлнэ.

Бид томъёог бичнэnгишүүн!

б н = б 1 · q n -1

Бидний анхны өгөгдөл дараах байдалтай байна.

б 5 = 162

б 1 = 2

n = 5

Хангалтгүй үнэ цэнэ q. Асуудалгүй! Одоо олъё.) Бид мэддэг бүх зүйлээ томъёонд орлуулна.

Бид авах:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн энгийн тэгшитгэл. Гэвч одоо - болгоомжтой!Шийдлийн энэ үе шатанд олон оюутнууд нэн даруй (дөрөв дэх зэрэг) үндсийг нь баяртайгаар гаргаж аваад хариултыг авдаг q=3 .

Үүн шиг:

q4 = 81

q = 3

Гэхдээ ерөнхийдөө энэ бол дуусаагүй хариулт юм. Өөрөөр хэлбэл, бүрэн бус. Яагаад? Гол нь хариулт нь тэр q = -3 бас тохирно: (-3) 4 нь 81 байх болно!

Энэ нь чадлын тэгшитгэлтэй холбоотой юм x n = аүргэлж байдаг хоёр эсрэг үндэсцагт бүрn . Нэмэх ба хасах:

Хоёулаа тохирно.

Жишээлбэл, шийдвэрлэх (жишээ нь. хоёрдугаартградус)

x2 = 9

Зарим шалтгааны улмаас та гадаад төрхөөрөө гайхдаггүй хоёрүндэс x=±3? Энд ч мөн адил. Мөн бусадтай бүрзэрэг (дөрөв, зургаа, арав, гэх мэт) ижил байх болно. Дэлгэрэнгүй - тухай сэдвээр

Тиймээс зөв шийдэл нь:

q 4 = 81

q= ±3

За, бид тэмдгүүдийг нь олж мэдсэн. Аль нь зөв вэ - нэмэх эсвэл хасах уу? За, бид эрэл хайгуулд асуудлын нөхцөлийг дахин уншлаа нэмэлт мэдээлэл.Энэ нь мэдээжийн хэрэг байхгүй байж магадгүй, гэхдээ энэ асуудалд ийм мэдээлэл байна боломжтой.Манай нөхцөлд дэвшилттэй өгөгдсөн гэж шууд заасан байдаг эерэг хуваагч.

Тиймээс хариулт нь тодорхой байна:

q = 3

Энд бүх зүйл энгийн. Хэрэв асуудлын мэдэгдэл дараах байдалтай байвал юу болох байсан гэж та бодож байна:

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүн 162, энэ прогрессийн эхний гишүүн 2. Прогрессийн хуваагчийг ол.

Ялгаа нь юу юм? Тийм ээ! Нөхцөл байдалд юу ч бишхуваагчийг дурдаагүй. Шууд ч биш, шууд бусаар ч биш. Энд асуудал аль хэдийн үүссэн байх болно хоёр шийдэл!

q = 3 болон q = -3

Тийм тийм! Мөн нэмэх, хасах нь.) Математикийн хувьд энэ баримт байдаг гэсэн үг юм хоёр дэвшилЭнэ нь даалгаварт тохирсон. Мөн тус бүрийн хувьд - өөрийн гэсэн хуваарь. Хөгжилтэй байхын тулд дасгал хийж, эхний таван нөхцөлийг бичээрэй.)

Одоо гишүүний дугаарыг олох дасгал хийцгээе. Энэ бол хамгийн хэцүү нь, тийм ээ. Гэхдээ бас илүү бүтээлч.

Геометрийн прогресс өгөгдсөн:

3; 6; 12; 24; …

Энэ дэвшлийн тоо 768 вэ?

Эхний алхам нь адилхан: томъёог бичnгишүүн!

б н = б 1 · q n -1

Одоо бид ердийнхөөрөө бидэнд мэдэгдэж буй өгөгдлийг үүн дээр орлуулж байна. Хм... тохирохгүй байна! Анхны гишүүн хаана байна, хуваагч хаана байна, бусад бүх зүйл хаана байна?!

Хаана, хаана ... Бидэнд нүд яагаад хэрэгтэй вэ? Сормуус наах уу? Энэ удаад ахиц дэвшлийг бидэнд шууд хэлбэрээр өгч байна дараалал.Бид эхний нэр томъёог харж чадах уу? Бид харж байна! Энэ нь гурвалсан (b 1 = 3) юм. Хуваарийн талаар юу хэлэх вэ? Бид хараахан хараагүй ч тоолоход тун амархан. Хэрэв та мэдээж ойлгож байгаа бол.

Энд бид авч үзье. Шууд геометрийн прогрессийн утгын дагуу: бид түүний аль нэг гишүүнийг (эхнийхээс бусад) авч, өмнөх хэсэгт хуваана.

Наад зах нь иймэрхүү:

q = 24/12 = 2

Бид өөр юу мэдэх вэ? Бид мөн энэ прогрессийн зарим гишүүнийг мэддэг, 768-тай тэнцүү. Зарим n тоогоор:

б н = 768

Бид түүний дугаарыг мэдэхгүй ч бидний даалгавар бол түүнийг олох явдал юм.) Тиймээс бид хайж байна. Бид томъёонд орлуулахад шаардлагатай бүх өгөгдлийг аль хэдийн татаж авсан. Үл мэдэгдэх.)

Энд бид орлуулж байна:

768 = 3 2n -1

Бид энгийн хэсгүүдийг хийдэг - бид хоёр хэсгийг гурваар хувааж, тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр дахин бичдэг: зүүн талд үл мэдэгдэх, баруун талд мэдэгдэж байгаа.

Бид авах:

2 n -1 = 256

Энд нэгэн сонирхолтой тэгшитгэл байна. Бид "n"-ийг олох хэрэгтэй. Юу нь ер бусын юм бэ? Тийм ээ, би маргахгүй. Үнэндээ энэ бол хамгийн энгийн зүйл юм. Үл мэдэгдэх (энэ тохиолдолд энэ нь тоо юм n) зогсож байна үзүүлэлтзэрэг.

Геометрийн прогресстой танилцах үе шатанд (энэ бол есдүгээр анги) экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийг заадаггүй, тийм ээ ... Энэ бол ахлах сургуулийн сэдэв юм. Гэхдээ аймшигтай зүйл байхгүй. Ийм тэгшитгэлүүд хэрхэн шийдэгддэгийг мэдэхгүй байсан ч бид өөрсдийнхөө утгыг олохыг хичээцгээе nэнгийн логик, эрүүл ухаанаар удирдуулсан.

Бид хэлэлцэж эхэлнэ. Зүүн талд нь бид хоёр талст байна ямар нэг хэмжээгээр. Энэ зэрэг нь яг юу болохыг бид хараахан мэдэхгүй байгаа ч энэ нь аймшигтай биш юм. Гэхдээ нөгөө талаас энэ зэрэг нь 256-тай тэнцүү гэдгийг бид баттай мэдэж байна! Тэгэхээр бид 256. Санаж байна уу? Тийм ээ! AT найм дахьградус!

256 = 2 8

Хэрэв та санахгүй эсвэл асуудлын зэрэглэлийг хүлээн зөвшөөрөхгүй бол энэ нь бас зүгээр юм: бид хоёрыг дөрвөлжин, шоо, дөрөв, тав гэх мэт дарааллаар өсгөнө. Сонголт нь үнэн хэрэгтээ, гэхдээ энэ түвшинд бол нэлээд зугаатай байдаг.

Ямар нэг байдлаар бид дараахь зүйлийг авах болно.

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Тэгэхээр 768 байна ес дэхбидний дэвшлийн гишүүн. Ингээд л асуудал шийдэгдлээ.)

Хариулт: 9

Юу? Уйтгартай юу? Бага ангиас залхаж байна уу? Би зөвшөөрч байна. Би ч бас. Дараагийн шатанд орцгооё.)

Илүү төвөгтэй даалгавар.

Одоо бид тааварыг илүү огцом шийдэж байна. Энэ нь тийм ч гайхалтай биш, гэхдээ та хариултаа авахын тулд бага зэрэг ажиллах хэрэгтэй.

Жишээлбэл, иймэрхүү.

Дөрөв дэх гишүүн нь -24, долоо дахь гишүүн нь 192 бол геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүнийг ол.

Энэ бол жанрын сонгодог бүтээл юм. Прогрессийн хоёр өөр гишүүн мэдэгдэж байгаа ч дахиад нэг гишүүн олдох ёстой. Тэгээд ч бүх гишүүд хөрш биш. Эхэндээ юу андуурдаг вэ, тийм ээ ...

-ийн нэгэн адил бид ийм асуудлыг шийдвэрлэх хоёр аргыг авч үздэг. Эхний арга нь бүх нийтийнх юм. Алгебрийн. Ямар ч эх сурвалжтай өөгүй ажиллана. Тиймээс бид эндээс эхлэх болно.)

Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу буддаг nгишүүн!

Бүх зүйл арифметик прогресстой яг адилхан. Зөвхөн энэ удаад бид хамтран ажиллаж байна өөрерөнхий томъёо. Энэ бол бүх зүйл.) Гэхдээ мөн чанар нь адилхан: бид авдаг эргээдБид анхны өгөгдлөө n-р гишүүний томъёонд орлуулна. Гишүүн бүрийн хувьд - өөрийн гэсэн.

Дөрөв дэх улиралд бид бичнэ:

б 4 = б 1 · q 3

-24 = б 1 · q 3

Байна. Нэг тэгшитгэл дууссан.

Долоо дахь улирлын хувьд бид бичнэ:

б 7 = б 1 · q 6

192 = б 1 · q 6

Нийтдээ хоёр тэгшитгэлийг олж авсан ижил дэвшил .

Бид тэднээс системийг угсардаг:

Гайхамшигтай дүр төрхийг үл харгалзан систем нь маш энгийн. Шийдэх хамгийн ойлгомжтой арга бол ердийн орлуулалт юм. Бид илэрхийлдэг б 1 дээд тэгшитгэлээс доод тэгшитгэлд орлуулна:

Доод тэгшитгэлтэй бага зэрэг эргэлзэхэд (экпонентуудыг багасгаж, -24-т хуваах) дараах үр дүн гарна.

q 3 = -8

Дашрамд хэлэхэд ижил тэгшитгэлийг илүү хялбар аргаар олж болно! Юу? Одоо би ийм системийг шийдэх өөр нэг нууц, гэхдээ маш үзэсгэлэнтэй, хүчирхэг, ашигтай аргыг танд үзүүлэх болно. Ийм системүүд нь тэдний сууж буй тэгшитгэлд байдаг зөвхөн ажилладаг.Наад зах нь нэгд. дуудсан нэр томъёог хуваах арганэг тэгшитгэлээс нөгөөд.

Тиймээс бидэнд систем бий:

Зүүн талд байгаа хоёр тэгшитгэлд - ажил, баруун талд нь зүгээр л тоо байна. Энэ бол маш сайн тэмдэг юм.) Доод тэгшитгэлийг дээд хэсэгт нь хувааж, ... хуваацгаа! Юу гэж байгаан, нэг тэгшитгэлийг нөгөөд хуваах уу?Маш энгийн. Бид авдаг зүүн талнэг тэгшитгэл (доод) ба бид хуваадагтэр дээр зүүн талөөр тэгшитгэл (дээд). Баруун тал нь ижил төстэй: баруун талнэг тэгшитгэл бид хуваадагдээр баруун талөөр.

Бүх хуваах үйл явц дараах байдалтай байна.

Одоо багассан бүх зүйлийг багасгаснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

q 3 = -8

Энэ аргын сайн тал нь юу вэ? Тийм ээ, учир нь ийм хуваагдлын явцад муу, тохиромжгүй бүх зүйлийг аюулгүйгээр багасгаж, бүрэн гэм хоргүй тэгшитгэл хэвээр үлдэнэ! Тийм учраас байх нь маш чухал юм зөвхөн үржүүлэхсистемийн тэгшитгэлийн дор хаяж нэгд. Үржүүлэлт байхгүй - багасгах зүйл байхгүй, тийм ээ ...

Ерөнхийдөө энэ арга нь (системийг шийдвэрлэх бусад олон энгийн аргуудын нэгэн адил) тусдаа хичээл авах ёстой. Би үүнийг сайтар нягталж үзэх нь гарцаагүй. Хэзээ нэгэн цагт…

Гэсэн хэдий ч, та системийг хэрхэн шийдэж байгаагаас үл хамааран, ямар ч тохиолдолд бид үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

q 3 = -8

Ямар ч асуудалгүй: бид үндсийг (куб) гаргаж аваад - хийсэн!

Олборлохдоо энд нэмэх/хасах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Бид сондгой (гурав дахь) зэрэгтэй үндэстэй. Хариулт нь адилхан, тийм ээ.

Ингээд прогрессийн хуваагч олдлоо. Хасах хоёр. Маш сайн! Процесс явагдаж байна.)

Эхний гишүүний хувьд (дээд тэгшитгэлээс хэлнэ үү) бид дараахь зүйлийг авна.

Маш сайн! Эхний нэр томъёог бид мэднэ, хуваагчийг бид мэднэ. Одоо бид дэвшилтийн аль ч гишүүнийг олох боломжтой боллоо. Хоёрдахь нь орно.)

Хоёрдахь гишүүний хувьд бүх зүйл маш энгийн:

б 2 = б 1 · q= 3 (-2) = -6

Хариулт: -6

Тиймээс бид асуудлыг шийдэх алгебрийн аргыг эрэмбэлсэн. Хэцүү үү? Нэг их биш, би зөвшөөрч байна. Удаан бас уйтгартай юу? Тийм ээ, гарцаагүй. Гэхдээ заримдаа та ажлын хэмжээг эрс багасгаж чадна. Үүний тулд бий график арга.Сайн хуучин бөгөөд бидэнд танил.)

Асуудлыг зурцгаая!

Тийм ээ! Яг. Дахин бид тооны тэнхлэг дээрх дэвшлийг дүрсэлдэг. Заавал захирагч биш, гишүүдийн хоорондох тэнцүү интервалыг хадгалах шаардлагагүй (дашрамд хэлэхэд энэ нь ижил биш байх болно, учир нь прогресс нь геометрийн шинж чанартай байдаг!), Гэхдээ зүгээр л схемийн дагуубидний дарааллыг зур.

Би үүнийг ингэж авсан:

Одоо зургийг хараад бодоорой. "q" хэдэн тэнцүү хүчин зүйлийг хуваалцдаг дөрөв дэхболон долоо дахьгишүүд? Энэ нь зөв, гурав!

Тиймээс бид бичих бүрэн эрхтэй:

-24q 3 = 192

Эндээс q-г олоход хялбар боллоо:

q 3 = -8

q = -2

Гайхалтай, хуваагч нь аль хэдийн бидний халаасанд байгаа. Одоо бид зургийг дахин харлаа: хэдэн ийм хуваагч сууж байна хоёрдугаартболон дөрөв дэхгишүүд? Хоёр! Тиймээс эдгээр гишүүдийн харилцааг бүртгэхийн тулд бид хуваагчийг өсгөнө дөрвөлжин.

Энд бид бичнэ:

б 2 · q 2 = -24 , хаана б 2 = -24/ q 2

Бид олсон хуваагчаа b 2 илэрхийлэлд орлуулж, тоолж аваад:

Хариулт: -6

Таны харж байгаагаар бүх зүйл системээс хамаагүй хялбар бөгөөд хурдан байдаг. Түүгээр ч барахгүй, энд бид эхний хугацааг тоолох шаардлагагүй байсан! Бүх.)

Энд ийм энгийн бөгөөд харааны гэрэл байна. Гэхдээ энэ нь бас ноцтой сул талтай. Таамаглаж байна уу? Тийм ээ! Энэ нь зөвхөн маш богино хэмжээний дэвшилтэд тохиромжтой. Бидний сонирхож буй гишүүдийн хоорондын зай тийм ч их биш байдаг. Гэхдээ бусад бүх тохиолдолд зураг зурах нь аль хэдийн хэцүү байдаг, тийм ээ ... Дараа нь бид асуудлыг аналитик байдлаар, системээр дамжуулан шийддэг.) Мөн системүүд бол бүх нийтийн зүйл юм. Ямар ч дугаартай харьц.

Өөр нэг туульс:

Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээс 10-аар их, гурав дахь гишүүн нь хоёр дахь гишүүнээсээ 30-аар их байна. Прогрессийн хуваагчийг ол.

Ямар гоё юм бэ? Огт үгүй! Бүгд ижилхэн. Бид асуудлын нөхцөлийг дахин цэвэр алгебр болгон хөрвүүлдэг.

1) Бид нэр томъёо бүрийг томъёоны дагуу буддаг nгишүүн!

Хоёр дахь гишүүн: b 2 = b 1 q

Гурав дахь нэр томъёо: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Асуудлын нөхцөл байдлаас бид гишүүдийн хоорондын харилцааг бичнэ.

Нөхцөлийг уншиж байна: "Геометр прогрессийн хоёр дахь гишүүн нь эхнийхээсээ 10-аар их байна."Зогс, энэ үнэ цэнэтэй юм!

Тиймээс бид бичнэ:

б 2 = б 1 +10

Мөн бид энэ хэллэгийг цэвэр математик болгон орчуулж байна:

б 3 = б 2 +30

Бид хоёр тэгшитгэлтэй болсон. Бид тэдгээрийг систем болгон нэгтгэдэг:

Систем нь энгийн харагдаж байна. Гэхдээ үсгийн хувьд маш олон янзын индекс байдаг. Тэдний илэрхийллийн хоёр, гурав дахь гишүүний оронд эхний гишүүн, хуваагчаар орлуулъя! Дэмий юм уу, эсвэл бид тэднийг будсан уу?

Бид авах:

Гэхдээ ийм систем нь бэлэг байхаа больсон, тийм ээ ... Үүнийг хэрхэн шийдэх вэ? Харамсалтай нь цогц асуудлыг шийдэх бүх нийтийн нууц шившлэг шугаман бусМатематикт систем гэж байдаггүй, байх ч боломжгүй. Энэ бол гайхалтай! Гэхдээ ийм хатуу самар хагалах гэж оролдоход хамгийн түрүүнд таны санаанд орох ёстой зүйл бол үүнийг олж мэдэх явдал юм Гэхдээ системийн нэг тэгшитгэл нь жишээлбэл, хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгөөр илэрхийлэхэд хялбар болгодог үзэсгэлэнтэй хэлбэрт оруулаагүй гэж үү?

Таацгаая. Системийн эхний тэгшитгэл нь хоёр дахьтай харьцуулахад илүү хялбар байдаг. Бид түүнийг тамлах болно.) Яагаад эхний тэгшитгэлээс оролдож болохгүй гэж ямар нэг зүйлдамжуулан илэрхийлэх ямар нэг зүйл?Учир нь бид хуваагчийг олохыг хүсч байна q, тэгвэл бидэнд илэрхийлэх нь хамгийн ашигтай байх болно б 1 дамжуулан q.

Тиймээс хуучин сайн хувилбаруудыг ашиглан эхний тэгшитгэлээр энэ процедурыг хийхийг хичээцгээе.

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Бүх зүйл! Энд бид илэрхийлсэн шаардлагагүйбидэнд хувьсагч (b 1) дамжуулан шаардлагатай(q). Тийм ээ, хүлээн авсан хамгийн энгийн илэрхийлэл биш. Зарим төрлийн бутархай ... Гэхдээ манай систем хангалттай түвшинд байна, тийм ээ.)

Ердийн. Юу хийх вэ - бид мэднэ.

Бид ODZ гэж бичдэг (заавал!) :

q ≠ 1

Бид бүх зүйлийг хуваагчаар (q-1) үржүүлж, бүх бутархайг багасгадаг.

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Бид бүх зүйлийг арав хувааж, хаалтуудыг нээж, зүүн талд байгаа бүх зүйлийг цуглуулдаг.

q 2 – 4 q + 3 = 0

Бид үр дүнг шийдэж, хоёр үндсийг авна.

q 1 = 1

q 2 = 3

Зөвхөн нэг эцсийн хариулт байна: q = 3 .

Хариулт: 3

Таны харж байгаагаар геометрийн прогрессийн n-р гишүүний томъёоны ихэнх асуудлыг шийдэх арга нь үргэлж ижил байдаг: бид уншдаг. болгоомжтойасуудлын нөхцөл, n-р гишүүний томъёог ашиглан бид бүх хэрэгтэй мэдээллийг цэвэр алгебр руу хөрвүүлдэг.

Тухайлбал:

1) Бид бодлогод өгөгдсөн гишүүн бүрийг томъёоны дагуу тусад нь бичнэn-р гишүүн.

2) Асуудлын нөхцлөөс бид гишүүдийн хоорондын холбоог математик хэлбэрт шилжүүлдэг. Бид тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг зохиодог.

3) Бид үүссэн тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийг шийдэж, прогрессийн үл мэдэгдэх параметрүүдийг олдог.

4) Тодорхой бус хариулт байгаа тохиолдолд бид нэмэлт мэдээлэл хайхдаа асуудлын нөхцөлийг анхааралтай уншина уу (хэрэв байгаа бол). Бид мөн хүлээн авсан хариултыг ODZ-ийн нөхцөлтэй (хэрэв байгаа бол) шалгана.

Одоо бид геометрийн прогрессийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад ихэвчлэн алдаа гаргадаг гол асуудлуудыг жагсаав.

1. Анхан шатны арифметик. Бутархай ба сөрөг тоотой үйлдлүүд.

2. Хэрэв эдгээр гурван цэгийн ядаж нэг нь асуудал байвал та энэ сэдвээр андуурах нь гарцаагүй. Харамсалтай нь... Тиймээс залхуурах хэрэггүй, дээр дурдсан зүйлийг давт. Мөн холбоосуудыг дагана уу - яв. Заримдаа энэ нь тусалдаг.)

Өөрчлөгдсөн болон давтагдах томьёо.

Одоо нөхцөл байдлын бага танил танилцуулгатай шалгалтын ердийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзье. Тийм ээ, тийм ээ, та таамагласан! тэр өөрчлөгдсөнболон давтагдах n-р гишүүний томьёо. Бид ийм томьёотой аль хэдийн таарч, арифметик прогресс дээр ажиллаж байсан. Энд бүх зүйл ижил төстэй байна. Мөн чанар нь адилхан.

Жишээлбэл, OGE-ийн ийм асуудал:

Геометрийн прогрессийг томъёогоор тодорхойлно б н = 3 2 n . Эхний болон дөрөв дэх гишүүний нийлбэрийг ол.

Энэ удаад ахиц дэвшил бидэнд ердийнх шиг биш байна. Зарим төрлийн томъёо. Тэгээд юу гэж? Энэ томъёо нь бас томъёоnгишүүн! n-р гишүүний томъёог ерөнхий хэлбэрээр, үсгээр дамжуулан, мөн төлөө хоёуланг нь бичиж болно гэдгийг бид бүгд мэднэ тодорхой дэвшил. FROM тодорхойэхний нэр томъёо ба хуваагч.

Манай тохиолдолд геометр прогрессийн ерөнхий томъёог дараах параметрүүдээр өгсөн болно.

б 1 = 6

q = 2

шалгая?) n-р гишүүний томьёог ерөнхий хэлбэрээр бичээд орлуулъя. б 1 болон q. Бид авах:

б н = б 1 · q n -1

б н= 6 2n -1

Бид хүчин зүйлчлэл болон чадлын шинж чанарыг ашиглан хялбаршуулж, дараахийг олж авна:

б н= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Таны харж байгаагаар бүх зүйл шударга байна. Гэхдээ бидний зорилго бол тодорхой томъёоны гарал үүслийг харуулах явдал биш юм. Энэ бол уянгын ухралт юм. Зөвхөн ойлгохын тулд.) Бидний зорилго бол нөхцөл байдалд өгсөн томъёоны дагуу асуудлыг шийдэх явдал юм. Та үүнийг барьж байна уу?) Тиймээс бид өөрчилсөн томъёогоор шууд ажиллаж байна.

Бид эхний хугацааг тооцдог. Орлуулах n=1 ерөнхий томъёонд:

б 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Үүн шиг. Дашрамд хэлэхэд би тийм ч залхуу биш бөгөөд эхний хугацааны тооцооллын ердийн бүдүүлэг алдаад анхаарлаа хандуулах болно. Томьёог бүү хар б н= 3 2n, анхны гишүүн нь тройка гэж шууд бичих гэж яараарай! Энэ бол том алдаа, тийм ээ...)

Бид үргэлжлүүлнэ. Орлуулах n=4 мөн дөрөв дэх нэр томъёог авч үзье:

б 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Эцэст нь бид шаардлагатай хэмжээг тооцоолно.

б 1 + б 4 = 6+48 = 54

Хариулт: 54

Өөр нэг асуудал.

Геометрийн прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

б 1 = -7;

б н +1 = 3 б н

Прогрессийн дөрөв дэх гишүүнийг ол.

Энд ахиц дэвшлийг давтагдах томъёогоор тодорхойлно. За яахав.) Энэ томъёогоор хэрхэн ажиллах вэ - бид ч бас мэднэ.

Энд бид жүжиглэж байна. Алхам алхамаар.

1) хоёрыг тоолох дараалсандэвшлийн гишүүн.

Эхний нэр томъёог аль хэдийн бидэнд өгсөн. Хасах долоо. Гэхдээ дараагийн, хоёр дахь гишүүнийг рекурсив томъёог ашиглан хялбархан тооцоолж болно. Хэрэв та энэ хэрхэн ажилладагийг ойлгож байгаа бол мэдээжийн хэрэг.)

Энд бид хоёр дахь нэр томъёог авч үзье алдартай эхний дагуу:

б 2 = 3 б 1 = 3 (-7) = -21

2) Бид прогрессийн хуваагчийг авч үздэг

Бас асуудалгүй. Шууд, хуваалц хоёрдугаартдик дээр эхний.

Бид авах:

q = -21/(-7) = 3

3) Томьёог бичнэ үүnth гишүүнийг ердийн хэлбэрээр оруулаад хүссэн гишүүнээ авч үзнэ.

Тиймээс бид эхний нэр томъёо, хуваагчийг бас мэднэ. Энд бид бичнэ:

б н= -7 3n -1

б 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Хариулт: -189

Таны харж байгаагаар геометр прогрессийн ийм томьёотой ажиллах нь арифметик прогрессийнхээс үндсэндээ ялгаагүй юм. Зөвхөн эдгээр томъёоны ерөнхий мөн чанар, утгыг ойлгох нь чухал юм. За, геометрийн прогрессийн утгыг бас ойлгох хэрэгтэй, тийм ээ.) Тэгээд тэнэг алдаа гарахгүй.

За, өөрсдөө шийдье?)

Халаахад зориулсан нэлээд энгийн ажлууд:

1. Өгөгдсөн геометр прогрессийн аль нь б 1 = 243, ба q = -2/3. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.

2. Геометр прогрессийн нийтлэг гишүүнийг томъёогоор олно б н = 5∙2 n +1 . Энэ прогрессийн сүүлийн гурван оронтой гишүүний тоог ол.

3. Геометр прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.

б 1 = -3;

б н +1 = 6 б н

Прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол.

Бага зэрэг төвөгтэй:

4. Геометрийн прогресс өгөгдсөн:

б 1 =2048; q =-0,5

Үүний зургаа дахь сөрөг гишүүн юу вэ?

Юу нь маш хэцүү санагдаж байна вэ? Огт үгүй. Логик ба геометрийн прогрессийн утгыг ойлгох нь хэмнэх болно. За тэгээд n-р гишүүний томьёо мэдээж.

5. Геометр прогрессийн гурав дахь гишүүн нь -14, найм дахь гишүүн нь 112. Прогрессийн хуваагчийг ол.

6. Геометр прогрессийн нэг ба хоёрдугаар гишүүний нийлбэр нь 75, хоёр ба гуравдугаар гишүүний нийлбэр нь 150. Прогрессийн зургаа дахь гишүүнийг ол.

Хариултууд (эмх замбараагүй): 6; -3888; - нэг; 800; -32; 448.

Энэ бол бараг бүх зүйл. Хэрхэн тоолж сурахад л үлддэг геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртиймээ олж мэд хязгааргүй буурах геометр прогрессба түүний хэмжээ. Дашрамд хэлэхэд маш сонирхолтой, ер бусын зүйл! Энэ талаар дараагийн хичээлүүд дээр илүү ихийг хэлэх болно.)

Геометр прогресс гэдэг нь тоон дараалал бөгөөд эхний гишүүн нь тэг биш бөгөөд дараагийн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүн нь тэг биш ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Геометр прогрессийг b1,b2,b3, …, bn, … гэж тэмдэглэнэ.

Геометр прогрессийн шинж чанарууд

Прогрессийн n-р гишүүний томъёо

Тоон дараалал (bn) нь геометрийн прогресс байхын тулд түүний гишүүн бүр хоёр дахь хэсгээс эхлэн хөрш гишүүдийн геометрийн дундаж байх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл, n нь N натурал тооны олонлогт хамаарах дурын n>0-ийн хувьд (b(n+1))^2 = bn * b(n+2) тэгшитгэлийг биелүүлэх шаардлагатай.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёо нь:

bn=b1*q^(n-1), энд n нь N натурал тооны олонлогт хамаарна.

Энгийн жишээг авч үзье:

Геометр прогрессод b1=6, q=3, n=8 bn-ийг ол.

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёог ашиглая.