Regulāra piecstūra uzbūve. Tehniskais rasējums. Regulāru daudzstūru uzbūve Regulāra piecstūra shēma

Šis skaitlis ir daudzstūris ar minimālo stūru skaitu, ko nevar izmantot apgabala flīzēšanai. Tikai piecstūrim ir tāds pats diagonāļu skaits kā tā malām. Izmantojot patvaļīga regulāra daudzstūra formulas, varat noteikt visus nepieciešamos parametrus, kas ir piecstūrim. Piemēram, ierakstiet to aplī ar noteiktu rādiusu vai izveidojiet to, pamatojoties uz doto sānu malu.

Kā pareizi uzzīmēt siju un kādi zīmēšanas piederumi jums būs nepieciešami? Paņemiet papīra lapu un atzīmējiet punktu jebkurā vietā. Pēc tam pievienojiet lineālu un velciet līniju no norādītā punkta līdz bezgalībai. Lai novilktu taisnu līniju, nospiediet taustiņu "Shift" un uzzīmējiet vajadzīgā garuma līniju. Tūlīt pēc zīmēšanas tiks atvērta cilne "Formāts". Noņemiet atzīmi no līnijas, un jūs redzēsiet, ka līnijas sākumā ir parādījies punkts. Lai izveidotu uzrakstu, noklikšķiniet uz pogas "Uzzīmēt uzrakstu" un izveidojiet lauku, kurā atradīsies uzraksts.

Pirmais veids, kā izveidot piecstūri, tiek uzskatīts par "klasiskāku". Iegūtais skaitlis būs parasts piecstūris. Dodecagon nav izņēmums, tāpēc tā uzbūve bez kompasa izmantošanas nebūs iespējama. Regulāra piecstūra konstruēšanas uzdevums ir samazināts līdz uzdevumam sadalīt apli piecās vienādās daļās. Jūs varat uzzīmēt pentagrammu, izmantojot visvienkāršākos rīkus.

Es ilgi cīnījos, mēģinot to sasniegt un patstāvīgi atrast proporcijas un atkarības, bet man tas neizdevās. Izrādījās, ka pastāv vairākas dažādas iespējas parasta piecstūra konstruēšanai, ko izstrādājuši slaveni matemātiķi. Interesanti ir tas, ka aritmētiski šo uzdevumu var atrisināt tikai aptuveni precīzi, jo būs jāizmanto iracionāli skaitļi. Bet to var atrisināt ģeometriski.

Apļu dalīšana. Šo līniju krustošanās punkti ar apli ir kvadrāta virsotnes. Aplī ar rādiusu R (1. solis) uzzīmējiet vertikālu diametru. Taisnes un riņķa līnijas konjugācijas punktā N līnija ir pieskares riņķim.

Saņemšana ar papīra strēmeli

Parasto sešstūri var izveidot, izmantojot T-veida kvadrātu un 30x60° kvadrātu. Šāda trijstūra virsotnes var izveidot, izmantojot kompasu un kvadrātu ar 30 un 60 ° leņķiem vai tikai vienu kompasu. Lai izveidotu 2.–3. malu, iestatiet T kvadrātu pozīcijā, kas norādīta ar punktētām līnijām, un novelciet taisnu līniju caur punktu 2, kas noteiks trijstūra trešo virsotni. Mēs atzīmējam punktu 1 uz apļa un ņemam to par vienu no piecstūra virsotnēm. Atrastās virsotnes savienojam virknē vienu ar otru. Septiņstūri var izveidot, velkot starus no F pola un caur nepāra vertikālā diametra dalījumu.

Un diega otrā galā zīmulis ir iestatīts un apsēsts. Ja jūs zināt, kā uzzīmēt zvaigzni, bet nezināt, kā uzzīmēt piecstūri, uzzīmējiet zvaigzni ar zīmuli, tad savienojiet kopā blakus esošos zvaigznes galus un pēc tam izdzēsiet pašu zvaigzni. Pēc tam ielieciet papīra lapu (labāk to nofiksēt uz galda ar četrām pogām vai adatām). Piespraudiet šīs 5 sloksnes pie papīra lapas ar tapām vai adatām, lai tās paliktu nekustīgas. Pēc tam apvelciet iegūto piecstūri un noņemiet šīs svītras no lapas.

Piemēram, mums ir jāzīmē piecstaru zvaigzne (pentagramma) attēlam par padomju pagātni vai par Ķīnas tagadni. Tiesa, šim nolūkam jums ir jāspēj izveidot zvaigznes zīmējumu perspektīvā. Līdzīgi varēsi uz papīra uzzīmēt figūriņu ar zīmuli. Kā pareizi uzzīmēt zvaigzni, lai tā izskatās vienmērīga un skaista, jūs neatbildēsit uzreiz.

No centra nolaidiet 2 starus uz apļa tā, lai leņķis starp tiem būtu 72 grādi (transportieri). Apļa sadalīšana piecās daļās tiek veikta, izmantojot parastu kompasu vai transportieri. Tā kā regulārs piecstūris ir viena no figūrām, kas satur zelta griezuma proporcijas, gleznotājus un matemātiķus jau sen interesē tā konstrukcija. Šie uzbūves principi, izmantojot kompasu un taisnvirzienu, tika izklāstīti Eiklīda elementos.

Regulārs piecstūris ir ģeometriska figūra, kas veidojas, krustojoties piecām taisnām līnijām, kas veido piecus identiskus leņķus. Šo figūru sauc par Pentagonu. Mākslinieku daiļrade ir cieši saistīta ar piecstūri – viņu zīmējumu pamatā ir regulāras ģeometriskas formas. Lai to izdarītu, jums jāzina, kā ātri izveidot piecstūri.

Kāpēc šis skaitlis ir interesants? Ēka veidota kā piecstūris Amerikas Savienoto Valstu Aizsardzības departaments. To var redzēt fotogrāfijās, kas uzņemtas no lidojuma augstuma. Dabā nav kristālu un akmeņu, kuru forma atgādinātu piecstūri. Tikai šajā attēlā skaliņu skaits sakrīt ar diagonāļu skaitu.

Parastā piecstūra parametri

Taisnstūra piecstūrim, tāpat kā katrai ģeometrijas figūrai, ir savi parametri. Zinot nepieciešamās formulas, jūs varat aprēķināt šos parametrus, kas atvieglos piecstūra veidošanas procesu. Aprēķinu metodes un formulas:

• visu daudzstūru leņķu summa ir 360 grādi. Parastā piecstūrī visi leņķi ir vienādi, attiecīgi centrālais leņķis tiek atrasts šādi: 360/5 \u003d 72 grādi;
• iekšējo stūri atrod šādi: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 grādi. Visu iekšējo leņķu summa: 108*5 = 540 grādi.

Piecstūra mala tiek atrasta, izmantojot parametrus, kas jau ir norādīti problēmas paziņojumā:

• ja ap piecstūri ir norobežots aplis un ir zināms tā rādiuss, malu atrod pēc šādas formulas: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
• Ja ir zināms piecstūrī ierakstītā riņķa rādiuss, tad daudzstūra malas aprēķināšanas formula ir: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Ar zināmu piecstūra diagonāli tā malu aprēķina šādi: a \u003d D / 1,618.

Piecstūra laukums, tāpat kā tā puse, ir atkarīga no jau atrastajiem parametriem:

• izmantojot zināmo ierakstītā apļa rādiusu, laukums tiek atrasts šādi: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• ierobežotais aplis ap piecstūri ļauj atrast laukumu, izmantojot šādu formulu: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• atkarībā no piecstūra malas: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Pentagona celtniecība

Jūs varat izveidot parastu piecstūri, izmantojot lineālu un kompasu, pamatojoties uz tajā ierakstītu apli vai vienu no malām.

Kā uzzīmēt piecstūri, pamatojoties uz ierakstītu apli? Lai to izdarītu, uzkrājiet kompasu un lineālu un veiciet šādas darbības:

1. Vispirms jāuzzīmē aplis ar centru O, pēc tam atlasiet punktu uz tā, A - piecstūra augšdaļa. No centra uz augšu tiek novilkta līnija.
2. Tad tiek konstruēts taisnei OA perpendikulārs posms, kas arī iet cauri O - riņķa centram. Tās krustpunktu ar apli norāda punkts B. Nozaru O.V. sadala uz pusēm punkts C.
3. Punkts C kļūs par centru jaunam aplim, kas iet caur A. Punkts D ir tā krustpunkts ar taisni OB pirmās figūras robežās.
4. Pēc tam caur D tiek novilkts trešais aplis, kura centrs ir punkts A. Tas krustojas ar pirmo figūru divos punktos, tie jāapzīmē ar burtiem E un F.
5. Nākamā apļa centrs atrodas punktā E un iet caur A, un tā krustpunkts ar sākotnējo ir jaunajā punktā G.
6. Pēdējais aplis šajā attēlā ir novilkts caur punktu A ar centru F. Punkts H ir novietots tā krustpunktā ar sākotnējo.
7. Pirmajā aplī pēc visām veiktajām darbībām parādījās pieci punkti, kas jāsavieno ar segmentiem. Tādējādi tika iegūts regulārs piecstūris AE G H F.

Kā savādāk izveidot parastu piecstūri? Ar lineāla un kompasa palīdzību piecstūri var uzbūvēt nedaudz ātrāk. Šim nolūkam jums ir nepieciešams:

1. Vispirms jums ir jāizmanto kompass, lai uzzīmētu apli, kura centrs ir punkts O.
2. Tiek uzzīmēts rādiuss OA - segments, kas tiek uzzīmēts uz apļa. To sadala punkts B.
3. Perpendikulāri rādiusam OA tiek uzzīmēts segments OS, punkti B un C ir savienoti ar taisnu līniju.
4. Nākamais solis ir uzzīmēt segmenta BC garumu ar kompasu uz diametrālās līnijas. Punkts D parādās perpendikulāri segmentam OA. Punkti B un D ir savienoti, veidojot jaunu segmentu.
5. Lai iegūtu piecstūra malas izmēru, jāsavieno punkti C un D.
6. D ar kompasa palīdzību tiek pārnests uz apli un norādīts ar punktu E. Savienojot E un C, var iegūt regulāra piecstūra pirmo malu. Ievērojot šo instrukciju, jūs varat uzzināt, kā ātri izveidot piecstūri ar vienādām malām, turpinot veidot tā pārējās malas tāpat kā pirmo.

Piecstūrī ar vienādām malām diagonāles ir vienādas un veido piecstaru zvaigzni, ko sauc par pentagrammu. Zelta griezums ir diagonāles lieluma attiecība pret piecstūra malu.

Pentagons nav piemērots pilnīgai lidmašīnas piepildīšanai. Jebkura materiāla izmantošana šajā formā atstāj atstarpes vai veido pārklāšanos. Lai gan dabā šādas formas dabīgie kristāli neeksistē, uz gludu vara izstrādājumu virsmas veidojoties ledus, rodas molekulas piecstūra formā, kuras ir savienotas ķēdēs.

Vienkāršākais veids, kā no papīra strēmeles iegūt parastu piecstūri, ir to sasiet mezglā un nedaudz nospiest. Šī metode ir noderīga pirmsskolas vecuma bērnu vecākiem, kuri vēlas iemācīt saviem mazuļiem atpazīt ģeometriskas formas.

Video

Skatiet, kā ātri uzzīmēt piecstūri.

Aplī ierakstīta regulāra sešstūra konstrukcija.

Sešstūra konstrukcija balstās uz to, ka tā mala ir vienāda ar ierobežotā apļa rādiusu. Tāpēc, lai izveidotu, pietiek ar apli sadalīt sešās vienādās daļās un savienot atrastos punktus savā starpā.

Parasto sešstūri var izveidot, izmantojot T-veida kvadrātu un 30x60° kvadrātu. Lai veiktu šo konstrukciju, mēs ņemam apļa horizontālo diametru kā leņķa 1 un 4 bisektri, veidojam malas 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 un 7 - 2, pēc tam mēs novelkam malas 5 - 6 un 3 - 2.

Šāda trijstūra virsotnes var izveidot, izmantojot kompasu un kvadrātu ar 30 un 60 ° leņķiem vai tikai vienu kompasu. Apsveriet divus veidus, kā izveidot vienādmalu trīsstūri, kas ierakstīts aplī.

Pirmais veids(61. att., a) balstās uz faktu, ka visi trīs trijstūra 7, 2, 3 leņķi satur 60 °, un vertikālā līnija, kas novilkta caur punktu 7, ir gan leņķa 1 augstums, gan bisektrise. leņķis 0 - 1 - 2 ir vienāds ar 30°, tad, lai atrastu malu 1 - 2, pietiek izveidot 30° leņķi no punkta 1 un malas 0 - 1. Lai to izdarītu, iestatiet T-kvadrātu un kvadrātu, kā parādīts attēlā, novelciet līniju 1 - 2, kas būs viena no vēlamā trīsstūra malām. Lai izveidotu 2.–3. malu, iestatiet T kvadrātu pozīcijā, kas parādīta ar pārtrauktām līnijām, un novelciet taisnu līniju caur punktu 2, kas noteiks trijstūra trešo virsotni.

Otrais veids ir balstīts uz faktu, ka, veidojot regulāru sešstūri, kas ierakstīts aplī, un pēc tam savienojat tā virsotnes caur vienu, jūs iegūstat vienādmalu trīsstūri.

Lai izveidotu trīsstūri, mēs atzīmējam diametra virsotnes punktu 1 un novelkam diametrālu līniju 1 - 4. Tālāk no punkta 4 ar rādiusu, kas vienāds ar D / 2, mēs aprakstam loku, līdz tas krustojas ar apli punktos 3 un 2. Iegūtie punkti būs vēl divas vēlamā trīsstūra virsotnes.

Šo konstrukciju var veikt, izmantojot kvadrātu un kompasu.

Pirmais veids ir balstīts uz faktu, ka kvadrāta diagonāles krustojas ierobežotā apļa centrā un ir slīpas pret tā asīm 45° leņķī. Pamatojoties uz to, mēs uzstādām T veida kvadrātu un kvadrātu ar 45 ° leņķiem, kā parādīts attēlā. 62, a un atzīmējiet punktus 1 un 3. Tālāk caur šiem punktiem ar T veida kvadrāta palīdzību novelkam kvadrāta horizontālās malas 4 - 1 un 3 -2. Pēc tam, izmantojot T-veida kvadrātu gar kvadrāta kāju, mēs uzzīmējam kvadrāta vertikālās malas 1 - 2 un 4 - 3.

Otrais veids ir balstīta uz faktu, ka kvadrāta virsotnes sadala uz pusēm apļa lokus, kas atrodas starp diametra galiem. Mēs atzīmējam punktus A, B un C divu savstarpēji perpendikulāru diametru galos, un no tiem ar rādiusu y aprakstam lokus, līdz tie krustojas.

Tālāk caur loku krustpunktiem mēs zīmējam palīglīnijas, kas attēlā atzīmētas ar cietām līnijām. To krustošanās punkti ar apli noteiks virsotnes 1 un 3; 4 un 2. Šādā veidā iegūtās vēlamā kvadrāta virsotnes ir virknē savienotas viena ar otru.

Aplī ierakstīta regulāra piecstūra konstrukcija.

Lai aplī ierakstītu regulāru piecstūri, mēs izgatavojam šādas konstrukcijas. Mēs atzīmējam punktu 1 uz apļa un ņemam to par vienu no piecstūra virsotnēm. Sadaliet segmentu AO uz pusēm. Lai to izdarītu, ar rādiusu AO no punkta A aprakstam loku līdz krustojumam ar apli punktos M un B. Savienojot šos punktus ar taisni, iegūstam punktu K, kuru pēc tam savienojam ar punktu 1. Ar rādiusu, kas vienāds ar segmentu A7, mēs aprakstam loku no punkta K līdz krustojumam ar diametrālo līniju AO punktā H. Savienojot punktu 1 ar punktu H, mēs iegūstam piecstūra malu. Tad ar kompasa atvērumu, kas vienāds ar segmentu 1H, aprakstot loku no virsotnes 1 līdz krustojumam ar riņķi, atrodam virsotnes 2 un 5. Izdarot izgriezumus no virsotnēm 2 un 5 ar tādu pašu kompasa atvērumu, iegūstam atlikušo daļu. virsotnes 3 un 4. Atrastos punktus savienojam secīgi vienu ar otru.

Parasta piecstūra konstrukcija, ņemot vērā tā malu.

Lai izveidotu regulāru piecstūri gar tā doto malu (64. att.), sadalām segmentu AB sešās vienādās daļās. No punktiem A un B ar rādiusu AB aprakstam lokus, kuru krustpunkts dos punktu K. Caur šo punktu un dalījumu 3 uz taisnes AB novelkam vertikālu līniju. Tālāk no punkta K uz šīs taisnes mēs atdalām segmentu, kas vienāds ar 4/6 AB. Mēs iegūstam punktu 1 - piecstūra virsotni. Pēc tam ar rādiusu, kas vienāds ar AB, no punkta 1 aprakstam loku līdz krustpunktam ar lokiem, kas iepriekš novilkti no punktiem A un B. Loku krustošanās punkti nosaka piecstūra 2 un 5 virsotnes. Savienojam atrasto virsotnes virknē viena ar otru.

Aplī ierakstīta regulāra septiņstūra konstrukcija.

Dots aplis ar diametru D; tajā jāieraksta regulārs septiņstūris (65. att.). Sadaliet apļa vertikālo diametru septiņās vienādās daļās. No 7. punkta ar rādiusu, kas vienāds ar apļa D diametru, mēs aprakstam loku, līdz tas krustojas ar horizontālā diametra turpinājumu punktā F. Punktu F sauc par daudzstūra polu. Ņemot punktu VII par vienu no septiņstūra virsotnēm, no pola F caur vienmērīgiem vertikālā diametra dalījumiem velkam starus, kuru krustošanās ar apli noteiks septiņstūra virsotnes VI, V un IV. Lai iegūtu virsotnes / - // - /// no punktiem IV, V un VI, velkam horizontālas līnijas, līdz tās krustojas ar apli. Atrastās virsotnes savienojam virknē vienu ar otru. Septiņstūri var izveidot, velkot starus no F pola un caur nepāra vertikālā diametra dalījumu.

Iepriekš minētā metode ir piemērota regulāru daudzstūru veidošanai ar jebkādu malu skaitu.

Apļa sadalīšanu jebkurā skaitā vienādās daļās var veikt arī, izmantojot tabulas datus. 2, kas parāda koeficientus, kas ļauj noteikt regulāru ierakstītu daudzstūru malu izmērus.

Regulāru ierakstītu daudzstūru malu garumi.

Šīs tabulas pirmajā slejā ir parādīts regulāra ierakstīta daudzstūra malu skaits, bet otrajā kolonnā ir parādīti koeficienti. Dotā daudzstūra malas garumu iegūst, reizinot dotā apļa rādiusu ar koeficientu, kas atbilst šī daudzstūra malu skaitam.

Ožegova skaidrojošajā vārdnīcā teikts, ka piecstūris ir piecstūris, ko ierobežo piecas krustojošas taisnas līnijas, kas veido piecus iekšējos leņķus, kā arī jebkurš līdzīgas formas objekts. Ja dotajam daudzstūrim ir vienādas malas un leņķi, tad to sauc par regulāru (piecstūri).

Kas ir interesants parastajā piecstūrī?

Šādā formā tika uzcelta plaši pazīstamā ASV Aizsardzības departamenta ēka. No apjomīgajiem regulārajiem daudzskaldņiem tikai dodekaedram ir piecstūra formas sejas. Un dabā pilnīgi nav kristālu, kuru sejas atgādinātu parastu piecstūri. Turklāt šis skaitlis ir daudzstūris ar minimālu stūru skaitu, ko nevar izmantot apgabala flīzēšanai. Tikai piecstūrim ir tāds pats diagonāļu skaits kā tā malām. Piekrītu, tas ir interesanti!

Pamatīpašības un formulas

Izmantojot patvaļīga regulāra daudzstūra formulas, varat noteikt visus nepieciešamos parametrus, kas ir piecstūrim.

• Centrālais leņķis α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Iekšējais leņķis β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Attiecīgi iekšējo leņķu summa ir 540°.
• Diagonāles un sānu attiecība ir (1+√5)/2, t.i., (aptuveni 1,618).
• Parasta piecstūra malas garumu var aprēķināt, izmantojot vienu no trim formulām atkarībā no tā, kurš parametrs jau ir zināms:

• ja ap to ir norobežots aplis un zināms tā rādiuss R, tad a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• gadījumā, ja aplis ar rādiusu r ir ierakstīts regulārā piecstūrī, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• gadās, ka rādiusu vietā ir zināma diagonāles D vērtība, tad malu nosaka šādi: a ≈ D / 1,618.

• Regulāra piecstūra laukums atkal tiek noteikts atkarībā no tā, kādu parametru mēs zinām:
• ja ir ierakstīts vai ierobežots aplis, tad izmanto vienu no divām formulām:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r vai S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• laukumu var noteikt arī, zinot tikai malas garumu a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Regulārs piecstūris: konstrukcija

Šo ģeometrisko figūru var konstruēt dažādos veidos. Piemēram, ierakstiet to aplī ar noteiktu rādiusu vai izveidojiet to, pamatojoties uz doto sānu malu. Darbību secība tika aprakstīta Eiklida elementos ap 300. gadu pirms mūsu ēras. Jebkurā gadījumā mums ir nepieciešams kompass un lineāls. Apsveriet būvniecības metodi, izmantojot doto apli.

1. Izvēlieties patvaļīgu rādiusu un uzzīmējiet apli, atzīmējot tā centru ar punktu O.

2. Uz riņķa līnijas izvēlieties punktu, kas kalpos kā viena no mūsu piecstūra virsotnēm. Lai tas ir punkts A. Savienojiet punktus O un A ar taisni.

3. Novelciet līniju caur punktu O, kas ir perpendikulāra taisnei OA. Atzīmējiet punktu, kur šī līnija krustojas ar riņķa līniju, kā punktu B.

4. Attāluma vidū starp punktiem O un B izveidojiet punktu C.

5. Tagad uzzīmējiet apli, kura centrs atradīsies punktā C un kas iet caur punktu A. Tā krustošanās vieta ar taisni OB (tā atradīsies pašā pirmajā aplī) būs punkts D.

6. Izveidojiet apli, kas iet caur D, kura centrs atradīsies pie A. Tā krustošanās vietas ar sākotnējo apli jāatzīmē ar punktiem E un F.

7. Tagad izveidojiet apli, kura centrs būs E. Tas jādara tā, lai tas iet caur A. Jānorāda tā otrs sākotnējā apļa krustpunkts.

8. Visbeidzot uzzīmējiet apli caur A, kura centrs ir punktā F. Atzīmējiet vēl vienu sākotnējā apļa krustpunktu ar punktu H.

9. Tagad atliek tikai savienot virsotnes A, E, G, H, F. Mūsu parastais piecstūris būs gatavs!

5.3. zelta piecstūris; Eiklida celtniecība.

Brīnišķīgs "zelta griezuma" piemērs ir regulārs piecstūris - izliekts un zvaigznes formas (5. att.).

Lai izveidotu pentagrammu, jums ir jāizveido parasts piecstūris.

Lai O ir apļa centrs, A ir apļa punkts un E ir nogriežņa OA viduspunkts. Perpendikuls rādiusam OA, kas atjaunots punktā O, krustojas ar apli punktā D. Izmantojot kompasu, atzīmējiet nogriezni CE = ED uz diametra. Aplī ierakstīta regulāra piecstūra malas garums ir līdzstrāva. Mēs uz apļa atdalām segmentus DC un iegūstam piecus punktus par parastā piecstūra uzzīmēšanu. Mēs savienojam piecstūra stūrus caur vienu diagonāli un iegūstam pentagrammu. Visas piecstūra diagonāles sadala viena otru segmentos, kas savienoti ar zelta griezumu.

Katrs piecstūra zvaigznes gals ir zelta trīsstūris. Tās malas augšpusē veido 36° leņķi, un sānos uzklātā pamatne sadala to proporcionāli zeltainajai daļai.

Ir arī zelta kuboīds - tas ir taisnstūrveida paralēlskaldnis ar malām, kuru garums ir 1,618, 1 un 0,618.

Tagad apsveriet Eiklida piedāvāto pierādījumu elementos.

no ierobežotā apļa centra. Sāksim ar

segments ABE, sadalīts pa vidu un

Tātad pieņemsim, ka AC = AE. Apzīmē ar a vienādus leņķus EBC un CEB. Tā kā AC=AE, arī leņķis ACE ir vienāds ar a. Teorēma, ka trijstūra leņķu summa ir 180 grādi, ļauj atrast leņķi ALL: tas ir 180-2a, un leņķis EAC ir 3a - 180. Bet tad leņķis ABC ir 180-a. Summējot trijstūra ABC leņķus, iegūstam

180=(3a-180) + (3a-180) + (180-a)

No kurienes 5a=360, tātad a=72.

Tātad katrs no leņķiem trijstūra BEC pamatnē ir divreiz lielāks par leņķi augšpusē, kas vienāds ar 36 grādiem. Tāpēc, lai izveidotu regulāru piecstūri, ir nepieciešams tikai uzzīmēt jebkuru apli, kura centrs ir punktā E un krustojas EC punktā X un malu EB punktā Y: segments XY ir viena no regulārā piecstūra malām, kas ierakstīts piecstūrī. aplis; Apejot visu apli, jūs varat atrast visas pārējās puses.

Tagad mēs pierādām, ka AC=AE. Pieņemsim, ka virsotne C ir savienota ar taisnes nogriezni ar segmenta BE viduspunktu N. Ņemiet vērā, ka, tā kā CB = CE, tad leņķis CNE ir taisns leņķis. Saskaņā ar Pitagora teorēmu:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Tādējādi mums ir (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Tātad, AC = ja = jAB = AE, kas bija jāpierāda

5.4.Arhimēda spirāle.

Secīgi nogriežot kvadrātus no zelta taisnstūriem līdz bezgalībai, katru reizi savienojot pretējos punktus ar apļa ceturtdaļu, iegūstam diezgan elegantu līkni. Pirmo uzmanību viņai pievērsa sengrieķu zinātnieks Arhimēds, kura vārdu viņa nes. Viņš to pētīja un secināja šīs spirāles vienādojumu.

Pašlaik Arhimēda spirāle tiek plaši izmantota tehnoloģijā.

6. Fibonači skaitļi.

Itāļu matemātiķa Leonardo no Pizas vārds, kurš vairāk pazīstams ar iesauku Fibonači (Fibonači ir filius Bonači, tas ir, Bonači dēla, saīsinājums), ir netieši saistīts ar zelta griezumu.

1202. gadā viņš uzrakstīja grāmatu "Liber abacci", tas ir, "The Book of the Abacus". "Liber abacci" ir apjomīgs darbs, kas satur gandrīz visas tā laika aritmētiskās un algebriskās zināšanas un kam bija nozīmīga loma matemātikas attīstībā Rietumeiropā turpmākajos gadsimtos. Jo īpaši no šīs grāmatas eiropieši iepazinās ar hinduistu ("arābu") cipariem.

Grāmatā sniegtais materiāls ir izskaidrots par daudzām problēmām, kas veido būtisku šī traktāta daļu.

Apsveriet vienu šādu problēmu:

Cik trušu pāru piedzimst no viena pāra vienā gadā?

Kāds nolika trušu pāri noteiktā vietā, kas no visām pusēm norobežota ar sienu, lai noskaidrotu, cik trušu pāru piedzims šī gada laikā, ja trušu raksturs ir tāds, ka pēc mēneša pāris truši vairos otru, un truši dzemdēs no otrā mēneša pēc dzimšanas."

Tagad pāriesim no trušiem uz skaitļiem un apsvērsim šādu ciparu secību:

u 1 , u 2 … u n

kurā katrs loceklis ir vienāds ar divu iepriekšējo summu, t.i. jebkuram n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Šī secība asimptotiski (tuvojoties arvien lēnāk) tiecas uz kādu nemainīgu saistību. Tomēr šī attiecība ir neracionāla, tas ir, tas ir skaitlis ar bezgalīgu, neparedzamu decimālciparu secību daļdaļā. To nevar precīzi izteikt.

Ja kāds Fibonači secības loceklis tiek dalīts ar to, kas ir pirms tā (piemēram, 13:8), rezultāts būs vērtība, kas svārstās ap iracionālo vērtību 1.61803398875... un dažreiz to pārsniedz, dažreiz nesasniedz.

Secības asimptotiskā uzvedība, tās attiecības slāpētās svārstības ap iracionālu skaitli Φ var kļūt saprotamākas, ja parādām vairāku secības pirmo terminu attiecības. Šajā piemērā ir parādīta otrā vārda saistība ar pirmo, trešā ar otro, ceturtā pret trešo un tā tālāk:

1:1 = 1,0000, kas ir par 0,6180 mazāk nekā phi

2:1 = 2,0000, kas ir par 0,3820 phi vairāk

3:2 = 1,5000, kas ir par 0,1180 mazāk nekā phi

5:3 = 1,6667, kas ir par 0,0486 phi vairāk

8:5 = 1,6000, kas ir par 0,0180 mazāk nekā phi

Pārvietojoties pa Fibonači summēšanas secību, katrs jaunais termins sadalīs nākamo, arvien vairāk tuvinot nesasniedzamajam F.

Cilvēks zemapziņā meklē Dievišķo proporciju: tas ir nepieciešams, lai apmierinātu viņa vajadzību pēc komforta.

Sadalot jebkuru Fibonači secības locekli ar nākamo, mēs iegūstam tikai reciproku 1,618 (1: 1,618=0,618). Bet šī ir arī ļoti neparasta, pat ievērojama parādība. Tā kā sākotnējā attiecība ir bezgalīga daļa, arī šai attiecībai nevajadzētu būt gala.

Sadalot katru skaitli ar nākamo pēc tā, iegūstam skaitli 0,382

Šādi izvēloties koeficientus, iegūstam galveno Fibonači koeficientu kopu: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Pieminam arī 0.5. Visiem tiem ir īpaša nozīme dabā un it īpaši tehniskajā analīzē.

Šeit jāatzīmē, ka Fibonači cilvēcei tikai atgādināja viņa secību, jo senos laikos tā bija pazīstama ar nosaukumu Zelta griezums.

Zelta griezums, kā mēs redzējām, rodas saistībā ar regulāro piecstūri, tāpēc Fibonači skaitļiem ir nozīme visā, kas ir saistīts ar regulāriem piecstūriem - izliektiem un zvaigznes formas.

Fibonači sērija varēja palikt tikai matemātisks incidents, ja vien visi zelta dalījuma pētnieki augu un dzīvnieku pasaulē, nemaz nerunājot par mākslu, vienmēr nonāktu pie šīs sērijas kā zelta dalījuma likuma aritmētiskā izteiksme. . Zinātnieki turpināja aktīvi attīstīt Fibonači skaitļu teoriju un zelta griezumu. Ju.Matijasevičs, izmantojot Fibonači skaitļus, atrisina Hilberta 10. uzdevumu (par Diofantīna vienādojumu atrisināšanu). Ir elegantas metodes vairāku kibernētisko problēmu risināšanai (meklēšanas teorija, spēles, programmēšana), izmantojot Fibonači skaitļus un zelta griezumu. ASV tiek veidota pat Mathematical Fibonacci asociācija, kas kopš 1963. gada izdod īpašu žurnālu.

Viens no sasniegumiem šajā jomā ir vispārināto Fibonači skaitļu un vispārināto zelta attiecību atklāšana. Fibonači sērija (1, 1, 2, 3, 5, 8) un viņa atklātā “binārā” skaitļu sērija 1, 2, 4, 8, 16 ... (tas ir, skaitļu virkne līdz n , kur jebkuru naturālu skaitli, kas ir mazāks par n, var attēlot kā dažu šīs sērijas skaitļu summu) no pirmā acu uzmetiena, tie ir pilnīgi atšķirīgi. Bet to veidošanas algoritmi ir ļoti līdzīgi viens otram: pirmajā gadījumā katrs skaitlis ir iepriekšējā skaitļa summa ar sevi 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., otrajā - šī ir divu iepriekšējo skaitļu summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Vai tas ir iespējams lai atrastu vispārīgu matemātisko formulu, no kuras un " binārās sērijas un Fibonači sērijas?

Patiešām, iestatīsim skaitlisko parametru S, kas var iegūt jebkuras vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5... atdalīts no iepriekšējā par S soļiem. Ja šīs rindas n-to locekli apzīmējam ar S (n), tad iegūstam vispārīgo formulu S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Acīmredzot, ja S = 0, no šīs formulas mēs iegūsim “bināro” sēriju, ar S = 1 - Fibonači sēriju, ar S = 2, 3, 4. jaunas skaitļu sērijas, kuras sauc par S-Fibonači skaitļiem.

Vispārīgi runājot, zelta S proporcija ir zelta S griezuma vienādojuma x S+1 – x S – 1 = 0 pozitīvā sakne.

Ir viegli parādīt, ka pie S = 0 tiek iegūts segmenta dalījums uz pusēm, un pie S = 1 tiek iegūta pazīstamā klasiskā zelta attiecība.

Blakus esošo Fibonači S skaitļu attiecības ar absolūtu matemātisko precizitāti robežās sakrīt ar zelta S proporcijām! Tas ir, zelta S-sekcijas ir Fibonači S skaitļu skaitliski invarianti.

7. Zelta griezums mākslā.

7.1. Zelta griezums glezniecībā.

Pievēršoties piemēriem par "zelta griezumu" glezniecībā, nevar nepievērst uzmanību Leonardo da Vinči darbam. Viņa identitāte ir viens no vēstures noslēpumiem. Pats Leonardo da Vinči teica: "Lai neviens, kas nav matemātiķis, uzdrošinās lasīt manus darbus."

Nav šaubu, ka Leonardo da Vinči bija izcils mākslinieks, to jau atpazina arī viņa laikabiedri, taču viņa personība un darbība paliks noslēpumu tīta, jo pēcnācējiem viņš atstāja nevis sakarīgu savu ideju izklāstu, bet tikai daudzas ar roku rakstītas skices, piezīmes. kas saka "gan visi pasaulē".

Monnas Lizas (Džokondas) portrets jau daudzus gadus ir piesaistījis pētnieku uzmanību, kuri atklāja, ka zīmējuma kompozīcijas pamatā ir zelta trīsstūri, kas ir regulāra zvaigznes piecstūra daļas.

Arī Šiškina gleznā parādās zelta griezuma proporcija. Šajā slavenajā I. I. Šiškina gleznā zelta griezuma motīvi ir skaidri redzami. Spilgti izgaismotā priede (stāvot priekšplānā) sadala attēla garumu atbilstoši zelta griezumam. Pa labi no priedes ir saules apgaismots paugurs. Tas sadala attēla labo pusi horizontāli atbilstoši zelta griezumam.

Rafaela gleznā "Nevainīgo slaktiņš" redzams vēl viens zelta griezuma elements – zelta spirāle. Uz Rafaela sagatavošanas skices ir novilktas sarkanas līnijas, kas iet no kompozīcijas semantiskā centra - punkta, kur karotāja pirksti aizvērās ap bērna potīti - gar bērna figūrām, sievietei satverot viņu pie sevis, karotāju ar paceltu zobenu un pēc tam gar tās pašas grupas figūrām skices labajā pusē . Nav zināms, vai Rafaels uzbūvēja zelta spirāli vai juta to.

T. Kuks izmantoja zelta griezumu, analizējot Sandro Botičelli gleznu "Venēras dzimšana".

7.2. Zelta griezuma piramīdas.

Piramīdu, īpaši zelta griezuma, medicīniskās īpašības ir plaši zināmas. Saskaņā ar dažiem izplatītākajiem viedokļiem telpa, kurā atrodas šāda piramīda, šķiet lielāka, un gaiss ir caurspīdīgāks. Sapņus sāk atcerēties labāk. Ir arī zināms, ka zelta griezumu plaši izmantoja arhitektūrā un tēlniecībā. Piemērs tam bija: Panteons un Partenons Grieķijā, arhitektu Baženova un Malēviča ēkas

8. Secinājums.

Jāsaka, ka zelta griezumam ir lielisks pielietojums mūsu dzīvē.

Ir pierādīts, ka cilvēka ķermenis ir sadalīts proporcionāli zelta griezumam ar jostas līniju.

Nautilus apvalks ir savīts kā zelta spirāle.

Pateicoties zelta griezumam, tika atklāta asteroīdu josla starp Marsu un Jupiteru – proporcionāli tur vajadzētu būt citai planētai.

Stīgas ierosināšana punktā, kas to sadala attiecībā pret zelta dalījumu, neizraisīs virknes vibrāciju, tas ir, tas ir kompensācijas punkts.

Lidmašīnās ar elektromagnētiskajiem enerģijas avotiem tiek izveidotas taisnstūrveida šūnas ar zelta griezuma proporciju.

Džokonda ir veidota uz zelta trijstūriem, zelta spirāle ir klātesoša Rafaela gleznā "Nevainīgo slaktiņš".

Proporcija atrasta Sandro Botičelli gleznā "Venēras dzimšana"

Ir daudzi arhitektūras pieminekļi, kas būvēti, izmantojot zelta griezumu, tostarp Panteons un Partenons Atēnās, arhitektu Baženova un Malēviča ēkas.

Džonam Kepleram, kurš dzīvoja pirms pieciem gadsimtiem, pieder apgalvojums: "Ģeometrijai ir divi lieli dārgumi. Pirmā ir Pitagora teorēma, otrā ir segmenta sadalīšana galējā un vidējā attiecībā"

Bibliogrāfija

1. D. Pidow. Ģeometrija un māksla. – M.: Mir, 1979.

2. Žurnāls "Zinātne un tehnoloģija"

3. Žurnāls "Kvants", 1973, 8.nr.

4. Žurnāls "Matemātika skolā", 1994, 2.nr.; 3. numurs.

5. Kovaļovs F.V. Zelta griezums glezniecībā. K .: Vyscha skola, 1989.

6. Stahovs A. Zelta griezuma kodi.

7. Vorobjovs N.N. "Fibonači skaitļi" - M.: Nauka 1964

8. "Matemātika - enciklopēdija bērniem" M .: Avanta +, 1998

9. Informācija no interneta.

Fibonači matricas un tā sauktās "zelta" matricas, jauna datoru aritmētika, jauna kodēšanas teorija un jauna kriptogrāfijas teorija. Jaunās zinātnes būtība ir visas matemātikas pārskatīšana no zelta griezuma viedokļa, sākot ar Pitagoru, kas, protams, radīs jaunus un noteikti ļoti interesantus matemātiskos rezultātus teorijā. Praktiski runājot - "zelta" datorizācija. Un tāpēc, ka...

Šis rezultāts netiks ietekmēts. Zelta griezuma pamatā ir rekursīvo attiecību 4 un 6 invariants. Tas parāda zelta griezuma "stabilitāti", kas ir viens no dzīvās matērijas organizācijas principiem. Tāpat zelta griezuma pamatā ir divu eksotisku rekursīvu secību atrisinājums (4. att.) Att. 4 Rekursīvas Fibonači secības Tātad...

Auss ir j5, un attālums no auss līdz vainagam ir j6. Tādējādi šajā statujā mēs redzam ģeometrisku progresiju ar saucēju j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9. att.). Tādējādi zelta griezums ir viens no senās Grieķijas mākslas pamatprincipiem. Sirds un smadzeņu ritmi. Cilvēka sirds pukst vienmērīgi – miera stāvoklī aptuveni 60 sitieni minūtē. Sirds saspiežas kā virzulis...