Kā veikt skenēšanu - raksts noteikta izmēra konusam vai nošķelta konusam. Vienkāršs slaucīšanas aprēķins. Konusa tilpums, tā aprēķins Konusa ūsu apjoms

Starp ģeometrisko ķermeņu dažādību viens no interesantākajiem ir konuss. To veido, pagriežot taisnleņķa trīsstūri ap vienu no tā kājām.

Kā atrast konusa tilpumu - pamatjēdzieni

Pirms sākat aprēķināt konusa tilpumu, jums vajadzētu iepazīties ar pamatjēdzieniem.

• Apļveida konuss - šāda konusa pamatne ir aplis. Ja bāze ir elipse, parabola vai hiperbola, tad figūras sauc par eliptiskiem, paraboliskiem vai hiperboliskiem konusiem. Ir vērts atcerēties, ka pēdējiem diviem konusu veidiem ir bezgalīgs tilpums.
• Nošķelts konuss ir konusa daļa, kas atrodas starp pamatni un šai pamatnei paralēlu plakni, kas atrodas starp augšdaļu un pamatni.
• Augstums - segments, kas ir perpendikulārs pamatnei, atbrīvots no augšas.
• Konusa ģenerators ir segments, kas savieno pamatnes un augšdaļas robežu.

Konusa tilpums

Lai aprēķinātu konusa tilpumu, tiek izmantota formula V=1/3*S*H, kur S ir pamatlaukums, H ir augstums. Tā kā konusa pamatne ir aplis, tā laukumu nosaka pēc formulas S= nR^2, kur n = 3,14, R ir apļa rādiuss.

Pastāv situācija, kad daži parametri nav zināmi: augstums, rādiuss vai ģenerators. Šajā gadījumā ir vērts ķerties pie Pitagora teorēmas. Konusa aksiālā daļa ir vienādsānu trīsstūris, kas sastāv no diviem taisnleņķa trijstūriem, kur l ir hipotenūza, bet H un R ir kājas. Tad l=(H^2+R^2)^1/2.

Saīsināta konusa tilpums

Nocirsts konuss ir konuss ar nogrieztu augšdaļu.

Lai atrastu šāda konusa tilpumu, jums ir nepieciešama formula:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

kur n=3,14, r ir griezuma apļa rādiuss, R ir lielās pamatnes rādiuss, H ir augstums.

Nogrieztā konusa aksiālā daļa būs vienādsānu trapece. Tāpēc, ja nepieciešams atrast konusa ģenerātora garumu vai kāda apļa rādiusu, ir vērts izmantot formulas trapeces malu un pamatu atrašanai.

Atrodiet konusa tilpumu, ja tā augstums ir 8 cm un pamatnes rādiuss ir 3 cm.

Dots: H=8 cm, R=3 cm.

Vispirms atrodiet pamatnes laukumu, izmantojot formulu S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Tagad, izmantojot formulu V=1/3*S*H, mēs atrodam konusa tilpumu.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Konusveida figūras ir sastopamas visur: stāvēšanas konusi, ēku torņi, lampu abažūrs. Tāpēc zināšanas, kā atrast konusa tilpumu, dažkārt var noderēt gan profesionālajā, gan ikdienā.

Vārda “raksts” vietā dažkārt tiek lietots “slaucīšana”, taču šis termins ir neviennozīmīgs: piemēram, rīvgriezējs ir instruments urbuma diametra palielināšanai, un elektroniskajā tehnoloģijā pastāv rīves jēdziens. Tāpēc, lai gan man ir pienākums lietot vārdus “konusa slaucīšana”, lai meklētājprogrammas varētu atrast šo rakstu, izmantojot tos, es izmantošu vārdu “raksts”.

Konusa modeļa izveidošana ir vienkārša. Apskatīsim divus gadījumus: pilnam konusam un saīsinātam. Uz attēla (noklikšķiniet, lai palielinātu) parādītas šādu konusu un to rakstu skices. (Uzreiz atzīmēju, ka mēs runāsim tikai par taisniem konusiem ar apaļu pamatni. Konusus ar ovālu pamatni un slīpiem konusiem aplūkosim turpmākajos rakstos).

1. Pilns konuss

Apzīmējumi:

Modeļa parametrus aprēķina pēc formulām:
;
;
Kur .

2. Nocirsts konuss

Apzīmējumi:

Formulas modeļa parametru aprēķināšanai:
;
;
;
Kur .
Ņemiet vērā, ka šīs formulas ir piemērotas arī pilnam konusam, ja aizstājam .

Dažreiz, konstruējot konusu, leņķa vērtība tā virsotnē (vai iedomātajā virsotnē, ja konuss ir nogriezts) ir būtiska. Vienkāršākais piemērs ir, ja jums ir nepieciešams, lai viens konuss cieši ietilptu citā. Apzīmēsim šo leņķi ar burtu (skat. attēlu).
Šajā gadījumā mēs varam to izmantot vienas no trim ievades vērtībām vietā: , vai . Kāpēc "kopā O", nevis "kopā e"? Jo trīs parametri ir pietiekami, lai izveidotu konusu, un ceturtā vērtība tiek aprēķināta, izmantojot pārējo trīs vērtības. Kāpēc tieši trīs, nevis divi vai četri, ir jautājums, kas ir ārpus šī raksta jomas. Noslēpumaina balss man saka, ka tas ir kaut kādā veidā saistīts ar “konusa” objekta trīsdimensionalitāti. (Salīdzināt ar diviem sākotnējiem divdimensiju apļa segmenta objekta parametriem, no kuriem mēs aprēķinājām visus citus tā parametrus rakstā.)

Zemāk ir formulas, pēc kurām tiek noteikts konusa ceturtais parametrs, kad ir norādīti trīs.

4. Raksta konstruēšanas metodes

• Aprēķiniet vērtības uz kalkulatora un izveidojiet zīmējumu uz papīra (vai uzreiz uz metāla), izmantojot kompasu, lineālu un transportieri.
• Ievadiet formulas un avota datus izklājlapā (piemēram, Microsoft Excel). Iegūtais rezultāts tiek izmantots, lai izveidotu modeli, izmantojot grafisko redaktoru (piemēram, CorelDRAW).
• izmanto manu programmu, kas zīmēs uz ekrāna un izdrukās konusa paraugu ar dotajiem parametriem. Šo modeli var saglabāt kā vektora failu un importēt programmā CorelDRAW.

5. Nav paralēlas bāzes

Kas attiecas uz nošķeltiem konusiem, programma Cones joprojām veido modeļus konusiem, kuriem ir tikai paralēlas pamatnes.
Tiem, kas meklē veidu, kā izveidot nošķelta konusa rakstu ar neparalēlām pamatnēm, šeit ir saite, ko sniedz kāds no vietnes apmeklētājiem:
Nocirsts konuss ar neparalēlām pamatnēm.

Konusa virsmas attīstība ir plakana figūra, kas iegūta, savienojot sānu virsmu un konusa pamatni ar noteiktu plakni.

Slaucīšanas konstrukcijas iespējas:

Labā apļveida konusa attīstība

Taisnā riņķveida konusa sānu virsmas attīstība ir apļveida sektors, kura rādiuss ir vienāds ar koniskās virsmas ģenerātora garumu l, un centrālo leņķi φ nosaka pēc formulas φ=360*R/ l, kur R ir konusa pamatnes apkārtmēra rādiuss.

Vairākās aprakstošās ģeometrijas problēmās vēlamais risinājums ir konusa aproksimācija (aizstāšanās) ar tajā ierakstītu piramīdu un aptuvenas slaucīšanas konstrukcija, uz kuras ir ērti vilkt līnijas, kas atrodas uz koniskas virsmas.

Konstrukcijas algoritms

1. Koniskā virsmā mēs ierakstām daudzstūra piramīdu. Jo vairāk ir ierakstītās piramīdas sānu malas, jo precīzāka ir faktiskā un aptuvenā skenēšanas atbilstība.
2. Mēs veidojam piramīdas sānu virsmas izstrādi, izmantojot trīsstūra metodi. Punkti, kas pieder pie konusa pamatnes, ir savienoti ar gludu līkni.

Piemērs

Zemāk redzamajā attēlā regulāra sešstūra piramīda SABCDEF ir ierakstīta taisnā apļveida konusā, un tās sānu virsmas aptuvenā attīstība sastāv no sešiem vienādsānu trīsstūriem - piramīdas skaldnēm.

Aplūkosim trīsstūri S 0 A 0 B 0 . Tās malu garumi S 0 A 0 un S 0 B 0 ir vienādi ar koniskās virsmas ģenerātoru l. Vērtība A 0 B 0 atbilst garumam A'B'. Lai izveidotu trijstūri S 0 A 0 B 0 patvaļīgā zīmējuma vietā, atdalām nogriezni S 0 A 0 =l, pēc kura zīmējam apļus ar rādiusu S 0 B 0 =l un A 0 B 0 =. A'B' attiecīgi no punktiem S 0 un A 0. Apļu B 0 krustošanās punktu savienojam ar punktiem A 0 un S 0 .

SABCDEF piramīdas skaldnes S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 ir veidotas līdzīgi kā trīsstūris S 0 A 0 B 0 .

Punkti A, B, C, D, E un F, kas atrodas konusa pamatnē, ir savienoti ar gludu līkni - apļa loku, kura rādiuss ir vienāds ar l.

Slīpa konusa attīstība

Apsveriet procedūru slīpa konusa sānu virsmas slaucīšanai ar tuvināšanas metodi.

Algoritms

1. Konusa pamatnes aplī ierakstām sešstūri 123456. Savienojiet punktus 1, 2, 3, 4, 5 un 6 ar virsotni S. Šādi konstruētā piramīda S123456 ar zināmu tuvinājuma pakāpi ir aizvietotājs koniskajai virsmai un kā tāds tiek izmantots turpmākajās konstrukcijās.
2. Mēs nosakām piramīdas malu dabiskās vērtības, izmantojot rotācijas metodi ap izvirzīto līniju: piemērā tiek izmantota i-ass, kas ir perpendikulāra horizontālajai projekcijas plaknei un iet caur virsotni S.
   Tātad malas S5 rotācijas rezultātā tās jaunā horizontālā projekcija S'5' 1 ieņem pozīciju, kurā tā ir paralēla frontālajai plaknei π 2 . Attiecīgi S''5'' 1 ir S5 dabiskā vērtība.
3. Mēs konstruējam piramīdas S123456 sānu virsmas izstrādi, kas sastāv no sešiem trijstūriem: 0 1 0 . Katra trīsstūra konstrukcija tiek veikta no trim pusēm. Piemēram, △S 0 1 0 6 0 garums ir S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

Aptuvenās slaucīšanas atbilstības pakāpe faktiskajam ir atkarīga no ierakstītās piramīdas skalu skaita. Seju skaits tiek izvēlēts, pamatojoties uz zīmējuma lasīšanas vieglumu, tā precizitātes prasībām, raksturīgo punktu un līniju klātbūtni, kas jāpārnes uz skenēšanu.

Līnijas pārnešana no konusa virsmas uz attīstību

Līnija n, kas atrodas uz konusa virsmas, veidojas tās krustošanās rezultātā ar noteiktu plakni (attēls zemāk). Apsveriet algoritmu līnijas n konstruēšanai uz slaucīšanas.

Algoritms

1. Atrodiet punktu A, B un C projekcijas, kurās taisne n krusto konusā S123456 ierakstītās piramīdas malas.
2. Nosakām segmentu SA, SB, SC faktisko izmēru, griežot ap projicēšanas līniju. Šajā piemērā SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Atrodam punktu A 0 , B 0 , C 0 novietojumu uz atbilstošajām piramīdas malām, atceļot nogriežņus S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Punktus A 0, B 0, C 0 savienojam ar gludu līniju.

Nošķelta konusa attīstība

Tālāk aprakstītā taisnā apļveida nošķelta konusa slaucīšanas konstruēšanas metode balstās uz līdzības principu.

Ģeometrijā nošķelts konuss ir ķermenis, kas veidojas, griežot taisnstūrveida trapecveida formu ap to pusi, kas ir perpendikulāra pamatnei. Kā viņi aprēķina nošķelta konusa tilpums, visi zina no skolas ģeometrijas kursa, un praksē šīs zināšanas bieži izmanto dažādu mašīnu un mehānismu dizaineri, dažu plaša patēriņa preču izstrādātāji, kā arī arhitekti.

Nocirsta konusa tilpuma aprēķins

Formula nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai

Nošķelta konusa tilpumu aprēķina pēc formulas:

h- konusa augstums

r- augšējās pamatnes rādiuss

R- apakšējās pamatnes rādiuss

V- nošķeltā konusa tilpums

π - 3,14

Ar tādiem ģeometriskiem ķermeņiem kā nošķeltas konusi, ikdienā katrs sastopas diezgan bieži, ja ne pastāvīgi. To formai ir visdažādākie ikdienā plaši izmantotie trauki: spaiņi, glāzes, dažas krūzes. Pats par sevi saprotams, ka dizaineriem, kas tos izstrādājuši, noteikti ir jāizmanto formula, kas aprēķina nošķelta konusa tilpums, jo šī vērtība šajā gadījumā ir ļoti svarīga, jo tā nosaka tik svarīgu raksturlielumu kā produkta ietilpība.

Inženierbūves, kas ir nošķeltas konusi, bieži var redzēt lielos rūpniecības uzņēmumos, kā arī termoelektrostacijās un atomelektrostacijās. Tieši šāda forma ir dzesēšanas torņiem - ierīces, kas paredzētas lielu ūdens daudzumu atdzesēšanai, piespiežot atmosfēras gaisa pretplūsmu. Visbiežāk šīs konstrukcijas tiek izmantotas gadījumos, kad ir nepieciešams īsā laikā būtiski samazināt liela daudzuma šķidruma temperatūru. Šo struktūru izstrādātājiem ir jānosaka nošķelta konusa tilpums kura aprēķināšanas formula ir diezgan vienkārša un zināma visiem tiem, kas kādreiz vidusskolā labi mācījās.

Detaļas ar šo ģeometrisko formu diezgan bieži atrodamas dažādu tehnisko ierīču dizainā. Piemēram, zobrati, ko izmanto sistēmās, kur nepieciešams mainīt kinētiskās transmisijas virzienu, visbiežāk tiek realizēti, izmantojot konusveida zobratus. Šīs detaļas ir neatņemama sastāvdaļa visdažādākajās ātrumkārbās, kā arī automātiskajās un manuālajās pārnesumkārbās, ko izmanto mūsdienu automašīnās.

Nošķelta konusa formai ir daži griezējinstrumenti, kurus plaši izmanto ražošanā, piemēram, frēzes. Ar viņu palīdzību jūs varat apstrādāt slīpas virsmas noteiktā leņķī. Metālapstrādes un kokapstrādes iekārtu griezēju asināšanai bieži izmanto abrazīvus riteņus, kas arī ir nošķeltas konusi. Turklāt, nošķelta konusa tilpums nepieciešams noteikt virpošanas un frēzmašīnu projektētājus, kas ietver griezējinstrumenta, kas aprīkots ar konusveida kātiem (urbjmašīnas, rīvmašīnas utt.), nostiprināšanu.