Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija tiešsaistē. Ģimenes ārsta pirmo n biedru summas formula. Problēmas salikto procentu aprēķināšanā

SKAITĻU SECĪBAS VI

§ l48. Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa

Līdz šim, runājot par summām, mēs vienmēr esam pieņēmuši, ka terminu skaits šajās summās ir ierobežots (piemēram, 2, 15, 1000 utt.). Bet, risinot dažus uzdevumus (īpaši augstāko matemātiku), ir jātiek galā ar bezgalīgi daudzu terminu summām

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Kādas ir šīs summas? Pēc definīcijas bezgalīgi daudzu terminu summa a 1 , a 2 , ..., a n , ... sauc par summas S robežu n vispirms P cipari kad P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limits (2), protams, var pastāvēt un var nebūt. Attiecīgi tiek teikts, ka summa (1) pastāv vai neeksistē.

Kā uzzināt, vai summa (1) pastāv katrā konkrētajā gadījumā? Šī jautājuma vispārīgs risinājums pārsniedz mūsu programmas darbības jomu. Tomēr ir viens svarīgs īpašs gadījums, kas mums tagad ir jāapsver. Mēs runāsim par bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas terminu summēšanu.

Ļaujiet a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Tas nozīmē, ka | q |< 1. Сумма первых P šīs progresijas locekļi ir vienādi ar

No pamatteorēmām par mainīgo robežām (sk. 136.§) iegūstam:

Bet 1 = 1, a q n = 0. Tāpēc

Tātad bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa ir vienāda ar šīs progresa pirmo daļu, kas dalīta ar vienu mīnus šīs progresijas saucējs.

1) Ģeometriskās progresijas 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... summa ir

un ģeometriskās progresijas summa ir 12; -6; 3; - 3/2, ... vienāds

2) Vienkārša periodiska daļa 0,454545 ... pārvēršas par parastu.

Lai atrisinātu šo problēmu, mēs attēlojam šo daļu kā bezgalīgu summu:

Šīs vienādības labā puse ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa, kuras pirmais loceklis ir 45/100, un saucējs ir 1/100. Tāpēc

Aprakstītajā veidā var iegūt arī vispārīgo noteikumu vienkāršu periodisko daļskaitļu pārvēršanai parastajās daļās (sk. II nodaļas 38. punktu):

Lai vienkāršu periodisko daļskaitli pārvērstu par parastu, jums jārīkojas šādi: skaitītājā ievietojiet decimāldaļas periodu, bet saucējā - skaitli, kas sastāv no deviņiem, kas ņemti tik reižu, cik periodā ir ciparu. decimāldaļa.

3) Jauktā periodiskā daļa 0,58333 .... pārvēršas parastā frakcijā.

Attēlosim šo daļskaitli kā bezgalīgu summu:

Šīs vienādības labajā pusē visi termini, sākot no 3/1000, veido bezgalīgi dilstošu ģeometrisku progresiju, kuras pirmais loceklis ir 3/1000, un saucējs ir 1/10. Tāpēc

Aprakstītajā veidā var iegūt arī vispārējo noteikumu jaukto periodisko frakciju pārvēršanai parastajās frakcijās (sk. II nodaļas 38. punktu). Mēs to šeit apzināti neiekļaujam. Nav nepieciešams iegaumēt šo apgrūtinošo noteikumu. Daudz noderīgāk ir zināt, ka jebkuru jauktu periodisko daļu var attēlot kā bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas un kāda skaitļa summu. Un formula

bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summai, protams, jāatceras.

Kā vingrinājumu mēs aicinām papildus zemāk norādītajām problēmām Nr.995-1000 vēlreiz vērsties pie problēmas Nr.301 38.§.

Vingrinājumi

995. Ko sauc par bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu?

996. Atrast bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju summas:

997. Par kādām vērtībām X progresēšanu

bezgalīgi samazinās? Atrodiet šādas progresijas summu.

998. Vienādmalu trijstūrī ar malu a tiek ierakstīts jauns trīsstūris, savienojot tā malu viduspunktus; jauns trīsstūris tiek ierakstīts šajā trīsstūrī tādā pašā veidā, un tā tālāk bezgalīgi.

a) visu šo trīsstūru perimetru summa;

b) to platību summa.

999. Kvadrātā ar malu a tiek ierakstīts jauns kvadrāts, savienojot tā malu viduspunktus; kvadrāts šajā kvadrātā ir ierakstīts tādā pašā veidā, un tā tālāk bezgalīgi. Atrodiet visu šo kvadrātu perimetru summu un to laukumu summu.

1000. Izveidojiet bezgalīgi dilstošu ģeometrisko progresiju, lai tās summa būtu vienāda ar 25/4 un tās vārdu kvadrātu summa būtu vienāda ar 625/24.

Ģeometriskā progresija ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis nav nulle, un katrs nākamais loceklis ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.

Ģeometriskās progresijas jēdziens

Ģeometrisko progresiju apzīmē ar b1,b2,b3, …, bn, … .

Jebkura ģeometriskās kļūdas vārda attiecība pret tās iepriekšējo vienumu ir vienāda ar to pašu skaitli, tas ir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Tas tieši izriet no aritmētiskās progresijas definīcijas. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju. Parasti ģeometriskās progresijas saucēju apzīmē ar burtu q.

Bezgalīgas ģeometriskās progresijas summa |q|<1

Viens no veidiem, kā iestatīt ģeometrisko progresiju, ir iestatīt tās pirmo daļu b1 un ģeometriskās kļūdas q saucēju. Piemēram, b1=4, q=-2. Šie divi nosacījumi nodrošina ģeometrisko progresiju 4, -8, 16, -32, ….

Ja q>0 (q nav vienāds ar 1), tad progresija ir monotoniska secība. Piemēram, secība, 2, 4,8,16,32, ... ir monotoni augoša secība (b1=2, q=2).

Ja ģeometriskajā kļūdā saucējs q=1, tad visi ģeometriskās progresijas locekļi būs viens ar otru vienādi. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka progresēšana ir nemainīga secība.

Lai skaitliskā secība (bn) būtu ģeometriska progresija, ir nepieciešams, lai katrs tās elements, sākot no otrā, būtu blakus esošo elementu ģeometriskais vidējais. Tas ir, ir jāizpilda šāds vienādojums
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), jebkuram n>0, kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.

Tagad liksim (Xn) - ģeometrisko progresiju. Ģeometriskās progresijas q saucējs ar |q|∞).
Ja tagad ar S apzīmēsim bezgalīgas ģeometriskās progresijas summu, tad būs spēkā šāda formula:
S=x1/(1-q).

Apsveriet vienkāršu piemēru:

Atrodiet bezgalīgas ģeometriskās progresijas summu 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Lai atrastu S, mēs izmantojam bezgalīgi aritmētiskas progresijas summas formulu. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Ģeometriskā progresija ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis nav nulle, un katrs nākamais loceklis ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.

Tiek apzīmēta ģeometriskā progresija b1, b2, b3, …, bn, … .

Jebkura ģeometriskās kļūdas vārda attiecība pret tās iepriekšējo vienumu ir vienāda ar to pašu skaitli, tas ir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Tas tieši izriet no aritmētiskās progresijas definīcijas. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju. Parasti ģeometriskās progresijas saucēju apzīmē ar burtu q.

Monotoniska un nemainīga secība

Viens no veidiem, kā iestatīt ģeometrisko progresiju, ir iestatīt tās pirmo daļu b1 un ģeometriskās kļūdas q saucēju. Piemēram, b1=4, q=-2. Šie divi nosacījumi nodrošina ģeometrisko progresiju 4, -8, 16, -32, ….

Ja q>0 (q nav vienāds ar 1), tad progresija ir monotona secība. Piemēram, secība, 2, 4,8,16,32, ... ir monotoni augoša secība (b1=2, q=2).

Ja ģeometriskajā kļūdā saucējs q=1, tad visi ģeometriskās progresijas locekļi būs viens ar otru vienādi. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka progresēšana ir pastāvīga secība.

Ģeometriskās progresijas n-tā locekļu formula

Lai skaitliskā secība (bn) būtu ģeometriska progresija, ir nepieciešams, lai katrs tās elements, sākot no otrā, būtu blakus esošo elementu ģeometriskais vidējais. Tas ir, ir jāizpilda šāds vienādojums
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), jebkuram n>0, kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.

Ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula ir šāda:

bn=b1*q^(n-1),

kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.

Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summas formula

Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summas formula ir šāda:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kur q nav vienāds ar 1.

Apsveriet vienkāršu piemēru:

Ģeometriskā progresijā b1=6, q=3, n=8 atrod Sn.

Lai atrastu S8, mēs izmantojam formulu ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summai.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680. gads.

Ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula ir ļoti vienkārša. Gan pēc nozīmes, gan kopumā. Bet n-tā dalībnieka formulai ir visādas problēmas - no ļoti primitīvām līdz diezgan nopietnām. Un iepazīšanās procesā mēs noteikti apsvērsim abus. Nu, tiekamies?)

Tātad, iesācējiem, patiesībā formulan

Tur viņa ir:

b n = b 1 · q n -1

Formula kā formula, nekas pārdabisks. Tas izskatās pat vienkāršāks un kompaktāks nekā līdzīgā formula . Arī formulas nozīme ir vienkārša, piemēram, filca zābakam.

Šī formula ļauj atrast JEBKURU ģeometriskās progresijas locekli PĒC TĀ NUMURA ​​" n".

Kā redzat, nozīme ir pilnīga analoģija ar aritmētisko progresiju. Mēs zinām skaitli n - mēs varam arī aprēķināt terminu zem šī skaitļa. Ko mēs vēlamies. Nereizināt secīgi ar "q" daudzas, daudzas reizes. Tā ir visa būtība.)

Es saprotu, ka šajā darba ar progresiju līmenī visiem formulā iekļautajiem daudzumiem jums jau vajadzētu būt skaidriem, taču uzskatu par savu pienākumu katru atšifrēt. Katram gadījumam.

Tātad ejam:

b 1 – pirmaisģeometriskās progresijas dalībnieks;

q – ;

n– biedra numurs;

b n – nth (nth)ģeometriskās progresijas dalībnieks.

Šī formula sasaista četrus galvenos jebkuras ģeometriskās progresijas parametrus - bn, b 1 , q un n. Un ap šiem četriem galvenajiem rādītājiem griežas visi veicamie uzdevumi.

"Un kā tas tiek parādīts?"- Dzirdu ziņkārīgu jautājumu... Elementāri! Skaties!

Kas ir vienāds ar otrais progresa biedrs? Nekādu problēmu! Mēs rakstām tieši:

b 2 = b 1 q

Un trešais dalībnieks? Arī tā nav problēma! Mēs reizinām otro termiņu atkal ieslēgtsq.

Kā šis:

B 3 \u003d b 2 q

Tagad atcerieties, ka otrais loceklis, savukārt, ir vienāds ar b 1 q un aizstājiet šo izteiksmi mūsu vienādībā:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Mēs iegūstam:

B 3 = b 1 q 2

Tagad lasīsim mūsu ierakstu krievu valodā: trešais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in otrais grāds. Vai jūs to saprotat? Vēl nē? Labi, vēl viens solis.

Kāds ir ceturtais termins? Viss tas pats! Pavairot iepriekšējā(t.i., trešais termins) q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Kopā:

B 4 = b 1 q 3

Un atkal mēs tulkojam krievu valodā: ceturtais termins ir vienāds ar pirmo terminu, kas reizināts ar q in trešais grāds.

Un tā tālāk. Kā tad ir? Vai jūs uztvērāt modeli? Jā! Jebkuram terminam ar jebkuru skaitli vienādu faktoru skaits q (t.i., saucēja jauda) vienmēr būs par vienu mazāks par vēlamā dalībnieka skaitun.

Tāpēc mūsu formula bez iespējām būs šāda:

b n =b 1 · q n -1

Tas ir viss.)

Nu, atrisināsim problēmas, vai ne?)

Problēmu risināšana pēc formulasnģeometriskās progresijas termiņš.

Sāksim, kā parasti, ar tiešu formulas pielietojumu. Šeit ir tipiska problēma:

Tas ir eksponenciāli zināms b 1 = 512 un q = -1/2. Atrodiet progresijas desmito termiņu.

Protams, šo problēmu var atrisināt bez jebkādām formulām. Gluži kā ģeometriskā progresija. Bet vajag iesildīties ar n-tā termiņa formulu, vai ne? Šeit mēs šķiramies.

Mūsu dati formulas piemērošanai ir šādi.

Pirmais termins ir zināms. Šis ir 512.

b 1 = 512.

Zināms arī progresēšanas saucējs: q = -1/2.

Atliek tikai izdomāt, ar ko ir vienāds termina n skaitlis. Nekādu problēmu! Vai mūs interesē desmitais termiņš? Tātad vispārējā formulā n vietā aizstājam desmit.

Un rūpīgi aprēķiniet aritmētiku:

Atbilde: -1

Kā redzat, progresijas desmitais termiņš izrādījās ar mīnusu. Nav brīnums: progresijas saucējs ir -1/2, t.i. negatīvs numuru. Un tas mums norāda, ka mūsu progresēšanas pazīmes mainās, jā.)

Šeit viss ir vienkārši. Un šeit ir līdzīga problēma, bet nedaudz sarežģītāka aprēķinu ziņā.

Ģeometriskā progresijā mēs zinām, ka:

b 1 = 3

Atrodiet progresijas trīspadsmito termiņu.

Viss ir pa vecam, tikai šoreiz progresijas saucējs - neracionāli. Divu sakne. Nu, nekas liels. Formula ir universāla lieta, tā tiek galā ar jebkuriem skaitļiem.

Mēs strādājam tieši pēc formulas:

Formula, protams, nostrādāja kā nākas, bet... lūk, kur daži pakārsies. Ko darīt tālāk ar sakni? Kā pacelt sakni līdz divpadsmitajam spēkam?

Kā-kā... Jāsaprot, ka jebkura formula, protams, ir laba lieta, bet visas iepriekšējās matemātikas zināšanas netiek anulētas! Kā paaugstināt? Jā, atcerieties grādu īpašības! Mainīsim sakni uz daļēja pakāpe un - pēc spēka paaugstināšanas par spēku.

Kā šis:

Atbilde: 192

Un visas lietas.)

Kādas ir galvenās grūtības tiešā n-tā termina formulas piemērošanā? Jā! Galvenā grūtība ir strādāt ar grādiem! Proti, negatīvu skaitļu, daļskaitļu, sakņu un līdzīgu konstrukciju paaugstināšana. Tātad tiem, kam ar to ir problēmas, steidzams lūgums atkārtot grādus un to īpašības! Pretējā gadījumā jūs palēnināsit šajā tēmā, jā ...)

Tagad atrisināsim tipiskas meklēšanas problēmas viens no formulas elementiem ja tiek doti visi pārējie. Veiksmīgam šādu problēmu risinājumam recepte ir viena un vienkārša līdz šausmām - uzraksti formulunbiedrs vispār! Tieši piezīmju grāmatiņā blakus nosacījumam. Un tad no stāvokļa mēs izdomājam, kas mums ir dots un ar ko nepietiek. Un mēs izsakām vēlamo vērtību no formulas. Viss!

Piemēram, tāda nekaitīga problēma.

Piektais loceklis ģeometriskajai progresijai ar saucēju 3 ir 567. Atrodiet šīs progresijas pirmo daļu.

Nekas sarežģīts. Mēs strādājam tieši saskaņā ar burvestību.

Rakstām n-tā termina formulu!

b n = b 1 · q n -1

Kas mums ir dots? Pirmkārt, tiek dots progresijas saucējs: q = 3.

Turklāt mums ir dots piektais dalībnieks: b 5 = 567 .

Viss? Nē! Mums arī tiek dots skaitlis n! Tas ir piecinieks: n = 5.

Ceru, ka jūs jau sapratāt, kas ir ierakstā b 5 = 567 uzreiz tiek paslēpti divi parametri - tas ir pats piektais dalībnieks (567) un tā numurs (5). Es par to jau runāju līdzīgā nodarbībā, bet es domāju, ka šeit atgādināt nav lieki.)

Tagad mēs aizstājam savus datus formulā:

567 = b 1 3 5-1

Mēs apsveram aritmētiku, vienkāršojam un iegūstam vienkāršu lineāru vienādojumu:

81 b 1 = 567

Mēs atrisinām un iegūstam:

b 1 = 7

Kā redzat, ar pirmā dalībnieka atrašanu problēmu nav. Bet, meklējot saucēju q un cipariem n var būt pārsteigumi. Un jums arī jābūt gatavam tiem (pārsteigumiem), jā.)

Piemēram, šāda problēma:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ar pozitīvu saucēju ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Šoreiz mums tiek dots pirmais un piektais dalībnieks, un tiek lūgts atrast progresijas saucēju. Šeit mēs sākam.

Mēs rakstām formulunbiedrs!

b n = b 1 · q n -1

Mūsu sākotnējie dati būs šādi:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nepietiek vērtības q. Nekādu problēmu! Atradīsim to tūlīt.) Mēs aizstājam formulā visu, ko zinām.

Mēs iegūstam:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Vienkāršs ceturtās pakāpes vienādojums. Bet tagad - uzmanīgi!Šajā risinājuma posmā daudzi studenti nekavējoties ar prieku izvelk sakni (ceturtā pakāpe) un saņem atbildi q=3 .

Kā šis:

q4 = 81

q = 3

Bet kopumā šī ir nepabeigta atbilde. Pareizāk sakot, nepilnīgi. Kāpēc? Lieta ir tāda, ka atbilde q = -3 der arī: (-3) 4 arī būtu 81!

Tas ir tāpēc, ka jaudas vienādojums x n = a vienmēr ir divas pretējas saknes plkst patn . Pluss un mīnuss:

Abi der.

Piemēram, risināšana (t.i. otrais grādi)

x2 = 9

Nez kāpēc jūs nepārsteidz izskats divi saknes x=±3? Šeit ir tas pats. Un ar jebkuru citu pat pakāpe (ceturtā, sestā, desmitā utt.) būs tāda pati. Sīkāk - tēmā par

Tātad pareizais risinājums būtu:

q 4 = 81

q= ±3

Labi, mēs esam izdomājuši zīmes. Kurš ir pareizs - plus vai mīnus? Nu, mēs vēlreiz izlasījām problēmas stāvokli, meklējot Papildus informācija. Tā, protams, var nebūt, bet šajā problēmā šāda informācija pieejams. Mūsu stāvoklī ir tieši teikts, ka tiek dota progresija ar pozitīvais saucējs.

Tātad atbilde ir acīmredzama:

q = 3

Šeit viss ir vienkārši. Kas, jūsuprāt, notiktu, ja problēmas izklāsts būtu šāds:

Ģeometriskās progresijas piektais loceklis ir 162, un šīs progresijas pirmais loceklis ir 2. Atrodiet progresijas saucēju.

Kāda atšķirība? Jā! Stāvoklī nekas nav minēts saucējs. Ne tieši, ne netieši. Un šeit problēma jau būtu divi risinājumi!

q = 3 un q = -3

Jā jā! Un ar plusu un mīnusu.) Matemātiski šis fakts nozīmētu, ka ir divas progresijas kas atbilst uzdevumam. Un katram - savs saucējs. Izklaidei praktizējieties un pierakstiet katra pirmos piecus terminus.)

Tagad trenēsimies atrast dalībnieka numuru. Šis ir grūtākais, jā. Bet arī radošāks.

Dota ģeometriskā progresija:

3; 6; 12; 24; …

Kāds ir skaitlis 768 šajā progresijā?

Pirmais solis ir tāds pats: uzraksti formulunbiedrs!

b n = b 1 · q n -1

Un tagad, kā parasti, mēs tajā aizvietojam mums zināmos datus. Hm... neder! Kur pirmais biedrs, kur saucējs, kur viss pārējais?!

Kur, kur ... Kāpēc mums vajadzīgas acis? Plīvojošas skropstas? Šoreiz progresija mums tiek dota tieši formā sekvences. Vai mēs varam redzēt pirmo termiņu? Mēs redzam! Tas ir trīskāršs (b 1 = 3). Kā ar saucēju? Mēs to vēl neredzam, bet to ir ļoti viegli saskaitīt. Ja, protams, saproti.

Šeit mēs uzskatām. Tieši pēc ģeometriskās progresijas nozīmes: ņemam jebkuru tās locekli (izņemot pirmo) un sadalām ar iepriekšējo.

Vismaz šādi:

q = 24/12 = 2

Ko vēl mēs zinām? Mēs zinām arī dažus šīs progresijas dalībniekus, kas vienādi ar 768. Zem kāda skaitļa n:

b n = 768

Mēs nezinām viņa numuru, bet mūsu uzdevums ir tieši viņu atrast.) Tāpēc mēs meklējam. Mēs jau esam lejupielādējuši visus nepieciešamos datus aizvietošanai formulā. Nemanāmi.)

Šeit mēs aizstājam:

768 = 3 2n -1

Izgatavojam elementārās - abas daļas sadalām ar trīs un vienādojumu pārrakstām parastajā formā: nezināmais pa kreisi, zināms pa labi.

Mēs iegūstam:

2 n -1 = 256

Šeit ir interesants vienādojums. Mums jāatrod "n". Kas ir neparasts? Jā, es nestrīdos. Patiesībā tas ir visvienkāršākais. To sauc tāpēc, ka nezināmais (šajā gadījumā tas ir numurs n) stāv indikators grāds.

Ģeometriskās progresijas iepazīšanas posmā (šī ir devītā klase) eksponenciālos vienādojumus nemāca risināt, jā... Tā ir tēma vidusskolai. Bet nav nekā briesmīga. Pat ja jūs nezināt, kā šādi vienādojumi tiek atrisināti, mēģināsim atrast mūsu n vadās pēc vienkāršas loģikas un veselā saprāta.

Sākam apspriest. Kreisajā pusē mums ir divnieks zināmā mērā. Mēs vēl nezinām, kas īsti ir šis grāds, bet tas nav biedējoši. Bet, no otras puses, mēs stingri zinām, ka šis grāds ir vienāds ar 256! Tātad mēs atceramies, cik lielā mērā deuce mums dod 256. Atcerieties? Jā! AT astotais grādiem!

256 = 2 8

Ja jūs neatcerējāties vai neatcerējāties problēmas pakāpes, tad arī tas ir labi: mēs vienkārši secīgi paceļam divus līdz kvadrātam, kubā, ceturtajā pakāpē, piektajā utt. Faktiski izvēle, bet šajā līmenī, ir diezgan liela.

Vienā vai otrā veidā mēs iegūsim:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tātad 768 ir devītais mūsu progresa biedrs. Tas arī viss, problēma atrisināta.)

Atbilde: 9

Kas? Garlaicīgi? Apnicis elementārs? ES piekrītu. Un mani arī. Pāriesim uz nākamo līmeni.)

Sarežģītāki uzdevumi.

Un tagad mēs risinām mīklas daudz straujāk. Ne gluži superforši, bet pie kuras ir nedaudz jāpiestrādā, lai tiktu līdz atbildei.

Piemēram, šādi.

Atrodiet ģeometriskās progresijas otro daļu, ja tās ceturtais ir -24 un septītais ir 192.

Šī ir žanra klasika. Ir zināmi daži divi dažādi progresijas dalībnieki, taču ir jāatrod vēl viens dalībnieks. Turklāt visi dalībnieki NAV kaimiņi. Kas sākumā mulsina, jā...

Tāpat kā , mēs apsveram divas metodes šādu problēmu risināšanai. Pirmais veids ir universāls. Algebriskā. Nevainojami darbojas ar jebkuriem avota datiem. Tātad mēs sāksim ar to.)

Mēs krāsojam katru terminu pēc formulas nbiedrs!

Viss ir tieši tāpat kā ar aritmētisko progresiju. Tikai šoreiz strādājam ar cits vispārējā formula. Tas arī viss.) Bet būtība ir viena: ņemam un pagriezienā mēs aizstājam savus sākotnējos datus n-tā termina formulā. Katram dalībniekam - savs.

Ceturtajam termiņam mēs rakstām:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tur ir. Viens vienādojums ir pabeigts.

Septītajam termiņam mēs rakstām:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Kopumā tika iegūti divi vienādojumi tāda pati progresija .

Mēs no tiem saliekam sistēmu:

Neskatoties uz iespaidīgo izskatu, sistēma ir diezgan vienkārša. Acīmredzamākais risinājums ir parastā aizstāšana. Mēs izsakām b 1 no augšējā vienādojuma un aizstājiet ar apakšējo:

Nedaudz pamocoties ar zemāko vienādojumu (samazinot eksponentus un dalot ar -24), tiek iegūts:

q 3 = -8

Starp citu, to pašu vienādojumu var iegūt vienkāršāk! Kas? Tagad es jums parādīšu vēl vienu noslēpumainu, bet ļoti skaistu, spēcīgu un noderīgu veidu, kā atrisināt šādas sistēmas. Tādas sistēmas, kuru vienādojumos viņi sēž darbojas tikai. Vismaz vienā. sauca terminu dalīšanas metode viens vienādojums pret otru.

Tātad mums ir sistēma:

Abos vienādojumos pa kreisi - strādāt, un labajā pusē ir tikai skaitlis. Tā ir ļoti laba zīme.) Ņemsim un ... sadalīsim, teiksim, apakšējo vienādojumu ar augšējo! Ko nozīmē, dalīt vienu vienādojumu ar citu?Ļoti vienkārši. Mēs ņemam kreisā puse viens vienādojums (apakšējais) un mēs sadalām viņa ieslēgta kreisā puse cits vienādojums (augšējais). Labā puse ir līdzīga: labā puse viens vienādojums mēs sadalām uz labā puse cits.

Viss sadalīšanas process izskatās šādi:

Tagad, samazinot visu samazināto, mēs iegūstam:

q 3 = -8

Kas šajā metodē ir labs? Jā, jo šādas dalīšanas procesā visu slikto un neērto var droši samazināt un paliek pilnīgi nekaitīgs vienādojums! Tāpēc ir tik svarīgi, lai būtu tikai reizinājumus vismaz vienā no sistēmas vienādojumiem. Nav reizināšanas - nav ko samazināt, jā ...

Kopumā šī metode (tāpat kā daudzi citi netriviāli sistēmu risināšanas veidi) pat ir pelnījusi atsevišķu nodarbību. Es noteikti to apskatīšu tuvāk. Kādreiz…

Tomēr neatkarīgi no tā, kā jūs atrisinātu sistēmu, jebkurā gadījumā tagad mums ir jāatrisina iegūtais vienādojums:

q 3 = -8

Nav problēmu: izvelkam sakni (kubisko) un - darīts!

Lūdzu, ņemiet vērā, ka ekstrakcijas laikā šeit nav jāliek plus/mīnuss. Mums ir nepāra (trešās) pakāpes sakne. Un atbilde ir tāda pati, jā.

Tātad ir atrasts progresijas saucējs. Mīnus divi. Lieliski! Process notiek.)

Pirmajam terminam (teiksim, no augšējā vienādojuma) mēs iegūstam:

Lieliski! Mēs zinām pirmo terminu, zinām saucēju. Un tagad mums ir iespēja atrast jebkuru progresijas dalībnieku. Otro ieskaitot.)

Otrajam dalībniekam viss ir pavisam vienkārši:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Atbilde: -6

Tātad, mēs esam noskaidrojuši problēmas risināšanas algebrisko veidu. Grūti? Nav daudz, piekrītu. Ilgi un garlaicīgi? Jā noteikti. Bet dažreiz jūs varat ievērojami samazināt darba apjomu. Šim nolūkam ir grafiskais veids. Vecs labs un mums pazīstams.)

Uzzīmēsim problēmu!

Jā! Tieši tā. Atkal mēs attēlojam savu progresēšanu uz skaitļu ass. Ne vienmēr ar lineālu, nav nepieciešams uzturēt vienādus intervālus starp dalībniekiem (kas, starp citu, nebūs vienādi, jo progresija ir ģeometriska!), Bet vienkārši shematiski uzzīmējiet mūsu secību.

Man sanāca šādi:

Tagad paskatieties uz attēlu un padomājiet. Cik vienādu faktoru "q" sadala ceturtais un septītais biedri? Tieši tā, trīs!

Tāpēc mums ir visas tiesības rakstīt:

-24q 3 = 192

No šejienes tagad ir viegli atrast q:

q 3 = -8

q = -2

Tas ir lieliski, saucējs mums jau ir kabatā. Un tagad mēs vēlreiz skatāmies uz attēlu: cik daudz šādu saucēju atrodas starp otrais un ceturtais biedri? Divi! Tāpēc, lai fiksētu attiecības starp šiem dalībniekiem, mēs paaugstināsim saucēju kvadrātā.

Šeit mēs rakstām:

b 2 · q 2 = -24 , kur b 2 = -24/ q 2

Mēs aizstājam mūsu atrasto saucēju izteiksmē b 2 , saskaitām un iegūstam:

Atbilde: -6

Kā redzat, viss ir daudz vienkāršāk un ātrāk nekā caur sistēmu. Turklāt šeit mums pat nebija jāskaita pirmais termiņš! Pavisam.)

Šeit ir tik vienkāršs un vizuāls veids-gaisma. Bet tam ir arī nopietns trūkums. Uzminēji? Jā! Tas ir piemērots tikai ļoti īsiem progresēšanas gabaliem. Tādas, kur attālumi starp mūs interesējošajiem biedriem nav īpaši lieli. Bet visos citos gadījumos jau ir grūti uzzīmēt attēlu, jā... Tad mēs risinām problēmu analītiski, izmantojot sistēmu.) Un sistēmas ir universāla lieta. Tikt galā ar jebkuru numuru.

Vēl viens episks:

Otrais ģeometriskās progresijas termiņš ir par 10 vairāk nekā pirmais, bet trešais ir par 30 vairāk nekā otrais. Atrodiet progresijas saucēju.

Kas forši? Nepavisam! Viss tas pats. Mēs vēlreiz tulkojam uzdevuma nosacījumu tīrā algebrā.

1) Mēs krāsojam katru terminu pēc formulas nbiedrs!

Otrais termins: b 2 = b 1 q

Trešais termins: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Mēs pierakstām attiecības starp dalībniekiem no problēmas stāvokļa.

Izlasot nosacījumu: "Ģeometriskās progresijas otrais termins ir par 10 vairāk nekā pirmais." Beidz, tas ir vērtīgi!

Tātad mēs rakstām:

b 2 = b 1 +10

Un mēs tulkojam šo frāzi tīrā matemātikā:

b 3 = b 2 +30

Mēs saņēmām divus vienādojumus. Mēs tos apvienojam sistēmā:

Sistēma izskatās vienkārša. Bet burtiem ir ļoti daudz dažādu indeksu. Aizstāsim to izteiksmes otro un trešo locekļu vietā caur pirmo locekli un saucēju! Velti, vai kā, mēs tos krāsojām?

Mēs iegūstam:

Bet šāda sistēma vairs nav dāvana, jā... Kā to atrisināt? Diemžēl universālā slepenā burvestība ir sarežģīta nelineārs Sistēmu matemātikā nav un nevar būt. Tas ir fantastiski! Bet pirmais, kam vajadzētu ienākt prātā, mēģinot salauzt tik cietu riekstu, ir izdomāt Bet vai viens no sistēmas vienādojumiem nav reducēts uz skaistu formu, kas ļauj viegli, piemēram, izteikt vienu no mainīgajiem ar citu?

Uzminēsim. Pirmais sistēmas vienādojums ir acīmredzami vienkāršāks nekā otrais. Mēs viņu spīdzināsim.) Kāpēc gan nepamēģināt no pirmā vienādojuma kaut ko izteikt cauri kaut ko? Tā kā mēs vēlamies atrast saucēju q, tad mums visizdevīgāk būtu izteikties b 1 cauri q.

Tātad, mēģināsim veikt šo procedūru ar pirmo vienādojumu, izmantojot vecos labos vienādojumus:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Viss! Šeit mēs esam izteikuši nevajadzīgi mums mainīgais (b 1) caur nepieciešams(q). Jā, ne tas vienkāršākais izteiciens saņemts. Kaut kāda daļa... Bet mūsu sistēma ir pienācīgā līmenī, jā.)

Tipiski. Ko darīt - mēs zinām.

Mēs rakstām ODZ (obligāti!) :

q ≠ 1

Mēs visu reizinām ar saucēju (q-1) un samazinām visas daļas:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mēs visu sadalām ar desmit, atveram iekavas, savācam visu pa kreisi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Mēs atrisinām iegūto un iegūstam divas saknes:

q 1 = 1

q 2 = 3

Ir tikai viena galīgā atbilde: q = 3 .

Atbilde: 3

Kā redzat, veids, kā atrisināt lielāko daļu problēmu ģeometriskās progresijas n-tā dalībnieka formulai, vienmēr ir vienāds: mēs lasām uzmanīgi uzdevuma nosacījumu un, izmantojot n-tā termina formulu, visu noderīgo informāciju pārvēršam tīrā algebrā.

Proti:

1) Katru uzdevumā norādīto locekli rakstām atsevišķi pēc formulasnbiedrs.

2) No problēmas nosacījuma mēs pārveidojam savienojumu starp dalībniekiem matemātiskā formā. Mēs veidojam vienādojumu vai vienādojumu sistēmu.

3) Atrisinām iegūto vienādojumu vai vienādojumu sistēmu, atrodam nezināmos progresijas parametrus.

4) Neskaidras atbildes gadījumā mēs rūpīgi izlasām problēmas nosacījumu, meklējot papildu informāciju (ja tāda ir). Saņemto atbildi pārbaudām arī ar ODZ nosacījumiem (ja tādi ir).

Un tagad mēs uzskaitām galvenās problēmas, kas visbiežāk izraisa kļūdas ģeometriskās progresijas problēmu risināšanas procesā.

1. Elementārā aritmētika. Darbības ar daļskaitļiem un negatīviem skaitļiem.

2. Ja vismaz viens no šiem trim punktiem ir problēma, tad šajā tēmā jūs neizbēgami kļūdīsities. Diemžēl... Tāpēc neesiet slinki un atkārtojiet iepriekš minēto. Un sekojiet saitēm - aiziet. Dažreiz tas palīdz.)

Modificētas un atkārtotas formulas.

Un tagad apskatīsim pāris tipiskas eksāmena problēmas ar mazāk pazīstamu nosacījumu izklāstu. Jā, jā, jūs to uzminējāt! to modificēts un atkārtojas n-tā dalībnieka formulas. Mēs jau esam sastapušies ar šādām formulām un strādājuši aritmētiskajā progresijā. Šeit viss ir līdzīgi. Būtība ir tāda pati.

Piemēram, šāda problēma no OGE:

Ģeometrisko progresiju nosaka formula b n = 32 n . Atrodiet pirmā un ceturtā vārda summu.

Šoreiz progresija mums tiek dota ne gluži kā parasti. Kaut kāda formula. Nu ko? Šī formula ir arī formulanbiedrs! Mēs visi zinām, ka n-tā termina formulu var uzrakstīt gan vispārīgā formā, gan caur burtiem, gan par specifiska progresija. NO specifisks pirmais termins un saucējs.

Mūsu gadījumā mums faktiski tiek dota vispārīga termina formula ģeometriskai progresijai ar šādiem parametriem:

b 1 = 6

q = 2

Pārbaudīsim?) Uzrakstīsim n-tā vārda formulu vispārīgā formā un aizvietosim tajā b 1 un q. Mēs iegūstam:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Mēs vienkāršojam, izmantojot faktorizēšanas un jaudas īpašības, un iegūstam:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Kā redzat, viss ir godīgi. Bet mūsu mērķis ar jums nav demonstrēt konkrētas formulas atvasināšanu. Tas tā ir, liriska atkāpe. Tīri izpratnei.) Mūsu mērķis ir atrisināt problēmu pēc formulas, kas mums ir dota stāvoklī. Vai jūs to uztverat?) Tātad mēs strādājam tieši ar modificēto formulu.

Mēs ieskaitām pirmo termiņu. Aizstājējs n=1 vispārējā formulā:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Kā šis. Starp citu, es neesmu pārāk slinks un vēlreiz vērsīšu jūsu uzmanību uz tipisku stulbumu ar pirmā termiņa aprēķinu. NESKATIES uz formulu b n= 32n, uzreiz metas rakstīt, ka pirmais dalībnieks ir troika! Tā ir liela kļūda, jā...)

Mēs turpinām. Aizstājējs n=4 un apsveriet ceturto terminu:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Un visbeidzot mēs aprēķinām nepieciešamo summu:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Atbilde: 54

Vēl viena problēma.

Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Atrodiet progresijas ceturto termiņu.

Šeit progresiju uzrāda atkārtošanās formula. Nu labi.) Kā strādāt ar šo formulu - mēs arī zinām.

Šeit mēs rīkojamies. Soli pa solim.

1) skaitot divus secīgi progresijas dalībnieks.

Pirmais termiņš mums jau ir dots. Mīnus septiņi. Bet nākamo, otro termiņu var viegli aprēķināt, izmantojot rekursīvo formulu. Ja jūs saprotat, kā tas darbojas, protams.)

Šeit mēs aplūkojam otro termiņu saskaņā ar slaveno pirmo:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Mēs uzskatām progresijas saucēju

Arī nekādu problēmu. Taisni, dalieties otrais penis tālāk pirmais.

Mēs iegūstam:

q = -21/(-7) = 3

3) Uzrakstiet formulunth biedru parastajā formā un apsveriet vēlamo dalībnieku.

Tātad, mēs zinām pirmo terminu, arī saucēju. Šeit mēs rakstām:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Atbilde: -189

Kā redzat, darbs ar šādām formulām ģeometriskajai progresijai būtībā neatšķiras no aritmētiskās progresijas formulas. Ir svarīgi tikai saprast šo formulu vispārējo būtību un nozīmi. Nu ģeometriskās progresijas nozīme arī jāsaprot, jā.) Un tad nebūs stulbu kļūdu.

Nu, izlemsim paši?)

Diezgan elementāri uzdevumi iesildīšanai:

1. Dota ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 243 un q = -2/3. Atrodiet progresijas sesto termiņu.

2. Ģeometriskās progresijas kopējo terminu uzrāda formula b n = 5∙2 n +1 . Atrodiet šīs progresijas pēdējā trīsciparu dalībnieka numuru.

3. Ģeometrisko progresiju nosaka nosacījumi:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Atrodiet progresijas piekto termiņu.

Nedaudz sarežģītāk:

4. Dota ģeometriskā progresija:

b 1 =2048; q =-0,5

Kāds ir tā sestais negatīvais termins?

Kas šķiet ļoti grūti? Nepavisam. Loģika un izpratne par ģeometriskās progresijas nozīmi glābs. Nu, protams, n-tā termina formula.

5. Ģeometriskās progresijas trešais loceklis ir -14 un astotais ir 112. Atrodiet progresijas saucēju.

6. Ģeometriskās progresijas pirmā un otrā vārda summa ir 75, bet otrā un trešā vārda summa ir 150. Atrodiet progresijas sesto biedru.

Atbildes (nekārtīgi): 6; -3888; - viens; 800; -32; 448.

Tas ir gandrīz viss. Atliek tikai iemācīties skaitīt ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summa jā atklāj bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija un tā apjoms. Ļoti interesanta un neparasta lieta, starp citu! Vairāk par to turpmākajās nodarbībās.)

Ģeometriskā progresija ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis nav nulle, un katrs nākamais loceklis ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle. Ģeometrisko progresiju apzīmē ar b1,b2,b3, …, bn, …

Ģeometriskās progresijas īpašības

Jebkura ģeometriskās kļūdas vārda attiecība pret tās iepriekšējo vienumu ir vienāda ar to pašu skaitli, tas ir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Tas tieši izriet no aritmētiskās progresijas definīcijas. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju. Parasti ģeometriskās progresijas saucēju apzīmē ar burtu q.

Viens no veidiem, kā iestatīt ģeometrisko progresiju, ir iestatīt tās pirmo daļu b1 un ģeometriskās kļūdas q saucēju. Piemēram, b1=4, q=-2. Šie divi nosacījumi nodrošina ģeometrisko progresiju 4, -8, 16, -32, ….

Ja q>0 (q nav vienāds ar 1), tad progresija ir monotoniska secība. Piemēram, secība, 2, 4,8,16,32, ... ir monotoni augoša secība (b1=2, q=2).

Ja ģeometriskajā kļūdā saucējs q=1, tad visi ģeometriskās progresijas locekļi būs viens ar otru vienādi. Šādos gadījumos tiek uzskatīts, ka progresēšana ir nemainīga secība.

Progresijas n-tā dalībnieka formula

Lai skaitliskā secība (bn) būtu ģeometriska progresija, ir nepieciešams, lai katrs tās elements, sākot no otrā, būtu blakus esošo elementu ģeometriskais vidējais. Tas ir, ir jāizpilda šāds vienādojums - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), jebkuram n>0, kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.

Ģeometriskās progresijas n-tā locekļa formula ir šāda:

bn=b1*q^(n-1), kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.

Apsveriet vienkāršu piemēru:

Ģeometriskā progresijā b1=6, q=3, n=8 atrod bn.

Izmantosim ģeometriskās progresijas n-tā dalībnieka formulu.