Wie finde ich den Umfang? Was ist Umfang? Wie sieht der Umfang aus?

Eine kleine Theorie:

Der Umfang ist die Länge einer geometrischen Figur entlang ihrer Außengrenze.

Der Umfang eines Rechtecks ​​ist die Summe der Längen seiner Seiten.

Formeln zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks: P = 2*(a+b) oder P = a + a + b + b.

Fassen wir zusammen! Um den Umfang eines Rechtecks ​​zu berechnen, müssen Sie alle Seiten addieren.

Typische mathematische und praktische Probleme:

Aufgabe 1:

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit den Seitenlängen 5 cm und 10 cm.

Lösung:

Nach der Formel beträgt der Umfang des Rechtecks ​​= 2 * (5 + 10) = 30 cm.

Antwort: 30 cm.

Aufgabe #2:

Eingabe: Bestimmen Sie die Seiten des Rechtecks, ausgedrückt in ganzen Zahlen, wenn der Umfang des Rechtecks ​​10 beträgt.

Lösung:

Mit der Formel ermitteln wir die Summe der Seitenlängen (a + b) = P / 2 = 10 / 2 = 5
Ganzzahlige Seitenwerte können nur 1 + 4 = 5 und 2 + 3 = 5 sein

Antwort: Die Seitenlängen können nur 2 und 3 oder 1 und 4 betragen.

Problem Nr. 3 (praktisch):

Ausgangsdaten: Bestimmen Sie die Anzahl der Sockelleisten, die ausreichen, um den Boden in einem Raum von 5 Metern Länge und 3 Metern Breite zu reparieren, wenn die Länge einer Sockelleiste 3 Meter beträgt.

Lösung:

Raumumfang = 2 * (5 + 3) = 16 Meter
Anzahl Sockelleisten = 16 / 3 = 5,33 Stück
Normalerweise werden Sockelleisten in Baumärkten nicht in laufenden Metern, sondern stückweise verkauft. Daher akzeptieren wir die folgende ganze Zahl. Das sind sechs.

Antwort: Die Anzahl der Sockelleisten beträgt 6 Stück.

Abschließend:

Die Lösung des Problems der Berechnung des Umfangs ist ein relativ einfaches mathematisches Problem, das jedoch eine sehr wichtige praktische Bedeutung hat, beispielsweise beim Bau oder bei der allgemeinen Planung eines Territoriums.

Auf dieser Seite finden Sie den einfachsten Online-Rechner zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks. Mit diesem Programm können Sie den Umfang eines Rechtecks ​​mit einem Klick ermitteln, wenn dessen Länge und Breite bekannt sind.

Der Umfang ist einer der mathematischen, genauer gesagt geometrischen Begriffe, die hauptsächlich zur Berechnung der Seiten einer Figur verwendet werden.

In unserem Artikel erfahren Sie am Beispiel geometrischer Grundformen, was Umfang ist und wie er gemessen wird.

Definition des Umfangs

Der Umfang ist die Gesamtlänge aller Seiten oder der Umfang einer Figur. Der Umfang wird mit dem Großbuchstaben „P“ bezeichnet und kann in verschiedenen Längeneinheiten wie Millimeter (mm), Zentimeter (cm), Meter (m) usw. gemessen werden. Für unterschiedliche Formen gibt es unterschiedliche Formeln zum Finden des Umfangs. Im Folgenden geben wir einige Beispiele, wie Sie den Umfang eines Rechtecks ​​und einiger anderer Formen ermitteln können.

Den Umfang messen

Wenn Sie den Umfang einer komplexen Figur ermitteln müssen (zu diesen Figuren gehören auch Figuren mit ungleichmäßigen Linien), benötigen Sie hierfür ein Seil oder einen Faden. Mit diesen Dingen müssen Sie den genauen Umriss der Figur beschreiben, und um nicht verwirrt zu werden, können Sie mit einem Bleistift Markierungen auf dem Seil machen. Oder Sie schneiden es einfach ab und befestigen dann alle Teile am Lineal. So erfahren Sie, wie groß der Umfang fast jeder komplexen Figur ist.

Es gibt ein weiteres Gerät zur Berechnung des Umfangs komplexer Figuren: Es wird als Krümmungsmesser (Rollenentfernungsmesser) bezeichnet. Mit seiner Hilfe müssen Sie die Walze an einer beliebigen Stelle der Figur platzieren und mit der Walze die Kontur der Figur beschreiben. Die resultierende Zahl entspricht dem Umfang. In unserem Artikel erfahren Sie, wie Sie den Umfang anderer geometrischer Formen ermitteln. Nun, wir erzählen Ihnen von mehreren weiteren Möglichkeiten, den Umfang für verschiedene Formen zu ändern.

Kreis, Quadrat, gleichseitiges Dreieck

Schauen wir uns auch an, wie man den Umfang eines Kreises ermittelt. Das ist ganz einfach: Sie müssen nur den Umfang bestimmen, und das geht, indem Sie den Radius „r“ mit der Zahl π≈3,14 und dann mit 2 multiplizieren (P=L=2∙π∙r).

Heute werden wir darüber sprechen, wie man berechnet Polygonumfang. Aber lassen Sie uns zunächst über die Formenvielfalt sprechen. Sehen Sie das Bild an. Welche Zahlen sehen wir hier? Dies sind ein Rechteck und ein Quadrat – Polygone mit vier Seiten, sowie ein Dreieck mit drei Seiten und ein Fünfeck mit fünf Seiten.

Und wie findet man den Umfang dieser Figuren?

Um den Umfang eines Polygons zu ermitteln, müssen Sie die Längen aller seiner Seiten addieren..

Der Umfang wird mit dem lateinischen Großbuchstaben P bezeichnet.

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen wir den Umfang des Polygons O. Wie bereits erwähnt, ist der Umfang eines Polygons die Summe der Längen aller seiner Seiten. Addieren wir alle Seiten unseres Polygons:

P = 15 + 17 + 10 + 10 + 20 + 15 = 87

Sie können den Umfang jedoch auch auf andere Weise berechnen, indem Sie die Multiplikation verwenden. Wir sehen, dass einige Seiten des Polygons gleich sind. Wir haben zwei Seiten von 15 konventionellen Einheiten und zwei weitere von 10. Schreiben wir den Ausdruck:

P = 15 × 2 + 10 × 2 + 17 + 20 = 87

Lassen Sie uns nun über die Funktionen zur Berechnung des Umfangs einiger Polygone sprechen.

Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten gleich sind. Um beispielsweise A mit den Seiten a und b zu berechnen, müssen Sie diese Seiten addieren und das Ergebnis mit 2 multiplizieren:

P(Rechteck) = (a + b) × 2

Das heißt, wenn die Seite des Rechtecks ​​a = 5 cm und die Seite des Rechtecks ​​b = 3 cm ist, dann beträgt der Umfang des Rechtecks:

P = (5 + 3) × 2 = 16 cm

Wie findet man die unbekannten Seiten eines Rechtecks, wenn sein Umfang und nur eine der Seiten bekannt ist?

P(Rechteck) = 2 × a + 2 × b

a = (P – 2 × b) ÷ 2 oder b = (P – 2 × a) ÷ 2

Beispiel: Der Umfang eines Rechtecks ​​beträgt 16 cm, Seite a = 5 cm. Welche Seiten hat das Rechteck noch?

Wenn wir eine Seite eines Rechtecks ​​kennen, kennen wir die Längen von zwei der vier Seiten. Finden wir die anderen beiden Seiten. Das heißt, wir werden einen finden und der zweite wird ihm gleich sein.

Seite b = (16 – 2 × 5) ÷ 2 = 3 cm

Antwort: Ein Rechteck hat zwei Seiten von 5 cm und zwei Seiten von 3 cm.

Ein Quadrat ist ein Rechteck, bei dem alle Seiten gleich sind. Um die Länge einer Seite zu berechnen, multiplizieren Sie mit 4:

P(Quadrat) = a × 4

Zum Beispiel hat Quadrat B eine Seite a = 5 cm. Um seinen Umfang zu ermitteln:

P(B) = 5 × 4 = 20 cm

Wenn Sie den Umfang eines Quadrats kennen, wie können Sie dann die Länge seiner Seiten ermitteln? Es ist ganz einfach, Sie müssen den Umfang in vier Teile teilen:

a = P ÷ 4

Beispiel: Der Umfang eines Quadrats beträgt 24 cm. Welche Seiten hat es?

a = 24 ÷ 4 = 6

Antwort: Die Seitenlänge des Quadrats beträgt 6 cm.

Ähnlich wie bei der Berechnung des Umfangs eines Quadrats, des Umfangs von allem gleichseitige Polygone. Das heißt, sie ist gleich der Länge einer ihrer Seiten multipliziert mit der Anzahl der Seiten.

Wenn die Länge einer Seite eines Polygons a ist und die Anzahl seiner Seiten n ist, dann ist sein Umfang gleich:

P(gleichseitiges Polygon) = a × n

Zum Beispiel hat ein Fünfeck D eine Seite a = 6 cm. Finden wir seinen Umfang:

R(D) = 6 × 5 = 30 cm

Wenn der Umfang eines gleichseitigen Polygons bekannt ist, ist die Berechnung der Seitenlängen sehr einfach: Sie müssen seinen Umfang durch die Anzahl der Seiten dividieren.

Eines der Grundkonzepte der Mathematik ist der Umfang eines Rechtecks. Es gibt viele Probleme zu diesem Thema, deren Lösung ohne die Umfangsformel und die Fähigkeiten zu ihrer Berechnung nicht möglich ist.

Grundlegendes Konzept

Ein Rechteck ist ein Viereck, bei dem alle Winkel rechtwinklig sind und die gegenüberliegenden Seiten paarweise gleich und parallel sind. In unserem Leben haben viele Figuren die Form eines Rechtecks, zum Beispiel die Oberfläche eines Tisches, eines Notizbuchs usw.

Schauen wir uns ein Beispiel an: Entlang der Grundstücksgrenzen muss ein Zaun errichtet werden. Um die Länge jeder Seite herauszufinden, müssen Sie sie messen.

Reis. 1. Ein Grundstück in Form eines Rechtecks.

Das Grundstück hat Seitenlängen von 2 m, 4 m, 2 m, 4 m. Um die Gesamtlänge des Zauns zu ermitteln, müssen Sie daher die Längen aller Seiten addieren:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 m.

Diese Größe wird allgemein als Umfang bezeichnet. Um den Umfang zu ermitteln, müssen Sie daher alle Seiten der Figur addieren. Der Buchstabe P wird verwendet, um den Umfang zu bezeichnen.

Um den Umfang einer rechteckigen Figur zu berechnen, müssen Sie diese nicht in Rechtecke unterteilen; Sie müssen lediglich alle Seiten dieser Figur mit einem Lineal (Maßband) messen und ihre Summe ermitteln.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in mm, cm, m, km usw. gemessen. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe in das gleiche Maßsystem umgewandelt.

Der Umfang eines Rechtecks ​​wird in verschiedenen Einheiten gemessen: mm, cm, m, km usw. Bei Bedarf werden die Daten in der Aufgabe in ein Messsystem umgewandelt.

Formel für den Umfang einer Figur

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks ​​​​gleich sind, können wir die Formel für den Umfang eines Rechtecks ​​​​ableiten:

$P = (a+b) * 2$, wobei a, b die Seiten der Figur sind.

Reis. 2. Rechteck mit markierten gegenüberliegenden Seiten.

Es gibt eine andere Möglichkeit, den Umfang zu ermitteln. Wenn bei der Aufgabe nur eine Seite und die Fläche der Figur vorgegeben sind, können Sie die andere Seite mit der Fläche ausdrücken. Dann sieht die Formel so aus:

$P = ((2S + 2a2)\over(a))$, wobei S die Fläche des Rechtecks ​​ist.

Reis. 3. Rechteck mit den Seiten a, b.

Übung : Berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks, wenn seine Seiten 4 cm und 6 cm betragen.

Lösung:

Wir verwenden die Formel $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 cm$

Somit beträgt der Umfang der Figur $P = 20 cm$.

Da der Umfang die Summe aller Seiten einer Figur ist, ist der Halbumfang die Summe nur einer Länge und Breite. Um den Umfang zu erhalten, müssen Sie den Halbumfang mit 2 multiplizieren.

Fläche und Umfang sind zwei Grundkonzepte zur Messung jeder Figur. Sie sollten nicht verwechselt werden, obwohl sie verwandt sind. Wenn Sie die Fläche vergrößern oder verkleinern, vergrößert oder verkleinert sich entsprechend auch ihr Umfang.

Was haben wir gelernt?

Wir haben gelernt, wie man den Umfang eines Rechtecks ​​ermittelt. Wir haben auch die Formel zur Berechnung kennengelernt. Dieses Thema kann nicht nur bei der Lösung mathematischer Probleme, sondern auch im wirklichen Leben auftreten.

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Im Alltag verwenden wir nicht viele Formeln aus dem Schulmathematikunterricht. Es gibt jedoch Gleichungen, die, wenn nicht regelmäßig, so doch von Zeit zu Zeit verwendet werden. Eine dieser Formeln ist die Berechnung des Umfangs einer Figur.

Was ist Umfang?

Der Umfang ist die Gesamtlänge aller Seiten einer geometrischen Figur. Zur Bezeichnung wird der Buchstabe „P“ des lateinischen Alphabets verwendet. Einfach ausgedrückt: Um den Umfang zu ermitteln, müssen Sie die Längen aller Seiten einer geometrischen Figur messen und die resultierenden Werte addieren. Die Längenberechnung erfolgt mit einem herkömmlichen Messinstrument wie Lineal, Maßband, Maßband etc.

Die Maßeinheiten sind Zentimeter, Meter, Millimeter bzw. andere Längenmaße. Die Seitenlänge eines Polygons wird berechnet, indem man ein Messgerät von einem Scheitelpunkt zum anderen anwendet. Der Anfang der Instrumententeilungsskala muss mit einem der Eckpunkte übereinstimmen. Der zweite numerische Wert, auf den der andere Scheitelpunkt fällt, ist die Länge der Seite des Polygons. Auf die gleiche Weise müssen alle Seitenlängen der Figur gemessen und die resultierenden Werte addiert werden. Die Einheit des Umfangs ist dieselbe Einheit, die auch zur Messung der Seite einer Figur verwendet wird.

Als Rechteck soll eine geometrische Figur bezeichnet werden, die aus vier unterschiedlich langen Seiten und drei rechten Winkeln besteht. Wenn man eine solche Figur auf einer Ebene konstruiert, stellt sich heraus, dass ihre Seiten paarweise gleich sind, aber nicht alle gleich. Wie groß ist der Umfang eines Rechtecks? Dies ist auch die Gesamtlänge aller Längen der Figur. Da jedoch zwei Seiten eines Rechtecks ​​​​den gleichen Wert haben, können Sie bei der Berechnung des Umfangs die Längen zweier benachbarter Seiten zweimal addieren. Die Maßeinheit für den Umfang eines Rechtecks ​​ist ebenfalls eine gebräuchliche Maßeinheit.

Ein Dreieck sollte als geometrische Figur bezeichnet werden, die drei Winkel hat (sowohl unterschiedliche als auch gleiche Werte) und aus Segmenten besteht, die aus den Schnittpunkten der Strahlen gebildet werden, die die Winkel bilden. Ein Dreieck hat drei Seiten und drei Winkel. Von drei Seiten können zwei Seiten gleich sein. Ein solches Dreieck sollte als gleichschenklig betrachtet werden. Es gibt Figuren, bei denen alle drei Seiten einander gleich sind. Es ist üblich, solche Dreiecke als gleichseitig zu bezeichnen.

Was ist der Umfang eines Dreiecks? Seine Berechnung kann analog zum Umfang eines Vierecks erfolgen. Der Umfang eines Dreiecks ist gleich der Gesamtlänge seiner Seitenlängen. Die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks, bei dem zwei Seiten gleich sind – ein gleichschenkliges Dreieck – wird vereinfacht, indem man eine Länge gleicher Seiten mit zwei multipliziert. Zum resultierenden Wert muss die Länge der dritten Seite addiert werden. Die Berechnung des Umfangs eines Dreiecks mit gleichen Seiten kann auf die einfache Berechnung des Produkts aus einer Seitenlänge des Dreiecks mal drei reduziert werden.

Angewendeter Umfangswert

Die Berechnung des Umfangs wird im Alltag in vielen Bereichen eingesetzt, am häufigsten jedoch bei Bauarbeiten, geodätischen, topografischen, architektonischen und planerischen Arbeiten. Aber die Einsatzgebiete der Perimeterberechnung beschränken sich natürlich nicht auf die oben genannten.

Beispielsweise besteht bei geodätischen und topografischen Arbeiten häufig die Notwendigkeit, den Umfang der Grenzen eines bestimmten Gebiets zu berechnen. Doch in der Praxis haben Bereiche selten die richtige Form. Daher erfolgt die Berechnung der Umfangslänge nach der Formel zur Berechnung der Summe der Längen aller Seiten des Geländes.

Die Notwendigkeit, den Umfang eines Geländes zu berechnen, ergibt sich oft aus der Tatsache, dass man wissen muss, wie viel Material für die Installation von Zäunen benötigt wird. Sogar ein einfaches Grundstück muss den Umfang messen, um es richtig einzuzäunen.

Feldmessgeräte

Um den Umfang am Boden zu berechnen, ist es unmöglich, ein einfaches Schülerlineal zu verwenden. Daher verwenden Spezialisten spezielle Geräte. Die einfachste und kostengünstigste Möglichkeit besteht natürlich darin, die Länge der Grundstücksgrenze in Schritten zu messen. Die Schrittweite eines Erwachsenen beträgt etwa einen Meter. Manchmal einen Meter und zwanzig Zentimeter. Diese Methode ist jedoch sehr ungenau und führt zu großen Messfehlern. Es ist geeignet, wenn die Länge der Grenze nicht genau berechnet werden muss, sondern lediglich die ungefähre Länge geschätzt werden muss.

Um die Länge der Seiten des Geländes und damit den Umfang genauer zu berechnen, gibt es spezielle Geräte. Zunächst können Sie ein spezielles Metallbandmaß oder einen normalen Draht verwenden.

Es gibt auch spezielle Messgeräte wie Entfernungsmesser. Geräte können optisch, Laser, Licht, Ultraschall sein. Es ist zu beachten, dass der Fehler umso höher ist, je weiter ein Entfernungsmesser die Entfernung messen kann. Solche Geräte werden bei geodätischen und topografischen Vermessungen eingesetzt.