Konstrukce pravidelného pětiúhelníku. Technický výkres. Konstrukce pravidelných mnohoúhelníků Schéma pravidelného pětiúhelníku

Tento obrázek je mnohoúhelník s minimálním počtem rohů, které nelze použít k dlaždicím oblasti. Pouze pětiúhelník má stejný počet úhlopříček jako jeho strany. Pomocí vzorců pro libovolný pravidelný mnohoúhelník můžete určit všechny potřebné parametry, které pětiúhelník má. Například jej vepište do kruhu s daným poloměrem nebo jej postavte na základě dané boční strany.

Jak správně nakreslit trám a jaké kreslící potřeby budete potřebovat? Vezměte kus papíru a označte si tečku kdekoli. Poté připojte pravítko a nakreslete čáru od naznačeného bodu do nekonečna. Chcete-li nakreslit přímku, stiskněte klávesu "Shift" a nakreslete čáru požadované délky. Ihned po nakreslení se otevře záložka "Formát". Zrušte výběr řádku a uvidíte, že se na začátku řádku objevila tečka. Pro vytvoření nápisu klikněte na tlačítko "Nakreslit nápis" a vytvořte pole, kde bude nápis umístěn.

První způsob konstrukce pětiúhelníku je považován za „klasičtější“. Výsledný obrazec bude pravidelný pětiúhelník. Dvanáctúhelník není výjimkou, takže jeho stavba bude nemožná bez použití kompasu. Úkol sestrojit pravidelný pětiúhelník je redukován na úkol rozdělit kruh na pět stejných částí. Pentagram můžete nakreslit pomocí nejjednodušších nástrojů.

Dlouho jsem se snažil toho dosáhnout a nezávisle najít proporce a závislosti, ale neuspěl jsem. Ukázalo se, že existuje několik různých možností pro sestavení pravidelného pětiúhelníku, který vyvinuli slavní matematici. Zajímavé je, že aritmeticky lze tento problém vyřešit pouze přibližně přesně, protože bude nutné použít iracionální čísla. Ale dá se to řešit geometricky.

Rozdělení kruhů. Průsečíky těchto čar s kružnicí jsou vrcholy čtverce. Do kruhu o poloměru R (krok 1) nakreslete svislý průměr. V konjugačním bodě N přímky a kružnice je přímka tečnou ke kružnici.

Příjem s proužkem papíru

Pravidelný šestiúhelník lze sestavit pomocí T-čtverce a čtverce 30X60°. Vrcholy takového trojúhelníku lze sestrojit pomocí kružítka a čtverce s úhly 30 a 60°, nebo pouze jednoho kružítka. Chcete-li postavit stranu 2-3, nastavte T-čtverec do polohy znázorněné přerušovanými čarami a nakreslete rovnou čáru přes bod 2, která bude definovat třetí vrchol trojúhelníku. Na kružnici označíme bod 1 a vezmeme jej jako jeden z vrcholů pětiúhelníku. Nalezené vrcholy spojíme do série mezi sebou. Sedmiúhelník může být sestrojen kreslením paprsků z pólu F a prostřednictvím lichých dělení vertikálního průměru.

A na druhém konci vlákna je tužka nastavená a posedlá. Pokud víte, jak nakreslit hvězdu, ale nevíte, jak nakreslit pětiúhelník, nakreslete hvězdu tužkou, poté spojte sousední konce hvězdy dohromady a poté hvězdu samotnou vymažte. Poté položte list papíru (je lepší jej připevnit na stůl čtyřmi knoflíky nebo jehlami). Těchto 5 proužků přišpendlete špendlíky nebo jehlami na kus papíru tak, aby zůstaly nehybné. Poté zakroužkujte výsledný pětiúhelník a odstraňte tyto pruhy z listu.

Například potřebujeme nakreslit pěticípou hvězdu (pentagram) pro obrázek o sovětské minulosti nebo o současnosti Číny. Je pravda, že k tomu musíte být schopni vytvořit kresbu hvězdy v perspektivě. Podobně budete moci nakreslit postavu tužkou na papír. Jak správně nakreslit hvězdu, aby vypadala rovnoměrně a krásně, neodpovíte hned.

Ze středu spusťte 2 paprsky na kruh tak, aby úhel mezi nimi byl 72 stupňů (úhloměr). Rozdělení kruhu na pět částí se provádí pomocí běžného kompasu nebo úhloměru. Vzhledem k tomu, že pravidelný pětiúhelník je jednou z figur, která obsahuje proporce zlatého řezu, malíři a matematici se již dlouho zajímali o jeho konstrukci. Tyto principy konstrukce s použitím kružítka a pravítka byly stanoveny v Euklidovských prvcích.

Pravidelný pětiúhelník je geometrický obrazec, který je tvořen průsečíkem pěti přímek, které vytvářejí pět stejných úhlů. Tato postava se nazývá Pentagon. Práce umělců úzce souvisí s pětiúhelníkem – jejich kresby vycházejí z pravidelných geometrických tvarů. K tomu potřebujete vědět, jak rychle postavit pětiúhelník.

Proč je tento údaj zajímavý? Budova má tvar pětiúhelníku Ministerstvo obrany Spojených států amerických. Je to vidět na fotkách pořízených z výšky letu. V přírodě se nevyskytují krystaly a kameny, jejichž tvar by připomínal pětiúhelník. Pouze na tomto obrázku se počet tváří shoduje s počtem úhlopříček.

Parametry pravidelného pětiúhelníku

Obdélníkový pětiúhelník, jako každá postava v geometrii, má své vlastní parametry. Znáte-li potřebné vzorce, můžete tyto parametry vypočítat, což usnadní proces budování pětiúhelníku. Metody výpočtu a vzorce:

• součet všech úhlů v polygonech je 360 ​​stupňů. V pravidelném pětiúhelníku jsou všechny úhly stejné, střední úhel se nachází tímto způsobem: 360/5 \u003d 72 stupňů;
• vnitřní roh se zjistí takto: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 stupňů. Součet všech vnitřních úhlů: 108*5 = 540 stupňů.

Strana pětiúhelníku se najde pomocí parametrů, které jsou již uvedeny v příkazu k problému:

• pokud je kolem pětiúhelníku opsána kružnice a je znám její poloměr, strana se najde podle následujícího vzorce: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Pokud je znám poloměr kružnice vepsané do pětiúhelníku, pak vzorec pro výpočet strany mnohoúhelníku je: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Se známou úhlopříčkou pětiúhelníku se jeho strana vypočítá takto: a \u003d D / 1,618.

Oblast pětiúhelníku, stejně jako jeho strana, závisí na již nalezených parametrech:

• pomocí známého poloměru vepsané kružnice se oblast nachází takto: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• opsaný kruh kolem pětiúhelníku vám umožňuje najít oblast pomocí následujícího vzorce: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• v závislosti na straně pětiúhelníku: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Stavba Pentagonu

Pravidelný pětiúhelník můžete postavit pomocí pravítka a kružítka, založeného na kružnici vepsané do něj nebo na jedné ze stran.

Jak nakreslit pětiúhelník založený na vepsané kružnici? Chcete-li to provést, zásobte se kompasem a pravítkem a proveďte následující kroky:

1. Nejprve musíte nakreslit kružnici se středem O a poté na ní vybrat bod A - vrchol pětiúhelníku. Od středu nahoru je nakreslena čára.
2. Poté se sestrojí úsečka kolmá k přímce OA, která také prochází O - středem kružnice. Jeho průsečík s kružnicí je označen bodem B. Úsek O.V. je půlen bodem C.
3. Bod C se stane středem nového kruhu procházejícího A. Bod D je jeho průsečíkem s přímkou ​​OB v hranicích prvního obrázku.
4. Poté je skrz D nakreslena třetí kružnice, jejímž středem je bod A. Ta se s prvním obrazcem protíná ve dvou bodech, je třeba je označit písmeny E a F.
5. Další kružnice má střed v bodě E a prochází A a její průsečík s původní je v novém bodě G.
6. Poslední kružnice na tomto obrázku je vedena bodem A se středem F. Bod H je umístěn v jeho průsečíku s počátečním bodem.
7. Na prvním kruhu se po všech provedených krocích objevilo pět bodů, které musí být spojeny segmenty. Tak byl získán pravidelný pětiúhelník AE G H F.

Jak postavit pravidelný pětiúhelník jiným způsobem? S pomocí pravítka a kružítka lze pětiúhelník postavit o něco rychleji. K tomu potřebujete:

1. Nejprve je třeba pomocí kompasu nakreslit kružnici, jejíž střed je bod O.
2. Vykreslí se poloměr OA - segment, který je vykreslen na kružnici. Je půlena bodem B.
3. Úsečka OS je nakreslena kolmo k poloměru OA, body B a C jsou spojeny přímkou.
4. Dalším krokem je vykreslení délky segmentu BC pomocí kompasu na diametrální přímce. Bod D se jeví jako kolmý k segmentu OA. Body B a D jsou spojeny a tvoří nový segment.
5. Abyste získali velikost strany pětiúhelníku, musíte spojit body C a D.
6. D se pomocí kružítka přenese do kruhu a je označeno bodem E. Spojením E a C získáte první stranu pravidelného pětiúhelníku. Podle tohoto návodu se můžete naučit, jak rychle postavit pětiúhelník se stejnými stranami a pokračovat ve stavbě jeho ostatních stran jako u té první.

V pětiúhelníku se stejnými stranami jsou úhlopříčky stejné a tvoří pěticípou hvězdu, která se nazývá pentagram. Zlatý řez je poměr velikosti úhlopříčky ke straně pětiúhelníku.

Pentagon není vhodný pro úplné zaplnění letadla. Použití jakéhokoli materiálu v této formě zanechává mezery nebo přesahy forem. V přírodě se sice přírodní krystaly této formy nevyskytují, ale při tvorbě ledu na povrchu hladkých měděných výrobků se objevují molekuly v podobě pětiúhelníku, které jsou spojeny do řetězců.

Nejjednodušší způsob, jak získat pravidelný pětiúhelník z proužku papíru, je svázat jej na uzel a trochu přitlačit. Tato metoda je užitečná pro rodiče předškoláků, kteří chtějí naučit svá batolata poznávat geometrické tvary.

Video

Podívejte se, jak můžete rychle nakreslit pětiúhelník.

Konstrukce pravidelného šestiúhelníku vepsaného do kruhu.

Konstrukce šestiúhelníku je založena na tom, že jeho strana je rovna poloměru kružnice opsané. Ke stavbě tedy stačí kružnici rozdělit na šest stejných částí a nalezené body vzájemně spojit.

Pravidelný šestiúhelník lze sestavit pomocí T-čtverce a čtverce 30X60°. K provedení této konstrukce vezmeme vodorovný průměr kruhu jako osičku úhlů 1 a 4, postavíme strany 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 a 7 - 2, poté nakreslíme strany 5 - 6 a 3 - 2.

Vrcholy takového trojúhelníku lze sestrojit pomocí kružítka a čtverce s úhly 30 a 60°, nebo pouze jednoho kružítka. Zvažte dva způsoby, jak sestrojit rovnostranný trojúhelník vepsaný do kruhu.

První způsob(Obr. 61, a) je založeno na skutečnosti, že všechny tři úhly trojúhelníku 7, 2, 3 obsahují každý 60° a svislá čára vedená bodem 7 je jak výška, tak sečna úhlu 1. Protože úhel 0 - 1 - 2 je roven 30°, pak k nalezení strany 1 - 2 stačí sestrojit z bodu 1 a strany 0 - 1 úhel 30°. Chcete-li to provést, nastavte T-čtverec a čtverec, jak je znázorněno na obrázku, nakreslete čáru 1 - 2, která bude jednou ze stran požadovaného trojúhelníku. Chcete-li postavit stranu 2 - 3, nastavte T-čtverec do polohy znázorněné přerušovanými čarami a nakreslete rovnou čáru přes bod 2, která bude definovat třetí vrchol trojúhelníku.

Druhý způsob je založen na skutečnosti, že pokud postavíte pravidelný šestiúhelník vepsaný do kruhu a pak jeho vrcholy jedním propojíte, dostanete rovnostranný trojúhelník.

Pro sestavení trojúhelníku označíme vrcholový bod 1 na průměru a nakreslíme diametrální čáru 1 - 4. Dále z bodu 4 s poloměrem rovným D / 2 opíšeme oblouk, dokud se neprotne s kružnicí v bodech 3 a 2. Výsledné body budou dva další vrcholy požadovaného trojúhelníku.

Tuto konstrukci lze provést pomocí čtverce a kompasu.

První způsob vychází ze skutečnosti, že úhlopříčky čtverce se protínají ve středu kružnice opsané a jsou skloněny k jejím osám pod úhlem 45°. Na základě toho nainstalujeme T-čtverec a čtverec s úhly 45 °, jak je znázorněno na obr. 62, a a označte body 1 a 3. Dále těmito body nakreslíme pomocí T-čtverce vodorovné strany čtverce 4 - 1 a 3 -2. Poté pomocí T-čtverce podél nohy čtverce nakreslíme svislé strany čtverce 1 - 2 a 4 - 3.

Druhý způsob je založen na skutečnosti, že vrcholy čtverce půlí oblouky kružnice uzavřené mezi konci průměru. Na koncích dvou navzájem kolmých průměrů označíme body A, B a C a z nich o poloměru y opíšeme oblouky, dokud se neprotnou.

Dále přes průsečíky oblouků nakreslíme pomocné čáry, označené na obrázku plnými čarami. Jejich průsečíky s kružnicí budou definovat vrcholy 1 a 3; 4 a 2. Takto získané vrcholy požadovaného čtverce se zapojí do série.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kruhu.

Pro vepsání pravidelného pětiúhelníku do kruhu uděláme následující konstrukce. Na kružnici označíme bod 1 a vezmeme jej jako jeden z vrcholů pětiúhelníku. Rozdělte segment AO na polovinu. Za tímto účelem s poloměrem AO z bodu A opíšeme oblouk k průsečíku s kružnicí v bodech M a B. Spojením těchto bodů přímkou ​​získáme bod K, který pak spojíme s bodem 1. S poloměrem rovným segmentu A7 popíšeme oblouk z bodu K k průsečíku s diametrální přímkou ​​AO ​​v bodě H. Spojením bodu 1 s bodem H získáme stranu pětiúhelníku. Potom s otvorem kružidla rovným segmentu 1H, popisujícím oblouk od vrcholu 1 k průsečíku s kružnicí, najdeme vrcholy 2 a 5. Po vytvoření zářezů z vrcholů 2 a 5 se stejným otvorem kružidla získáme zbývající vrcholy 3 a 4. Nalezené body spojujeme postupně mezi sebou.

Konstrukce pravidelného pětiúhelníku daná jeho stranou.

Abychom sestrojili pravidelný pětiúhelník podél jeho dané strany (obr. 64), rozdělíme úsečku AB na šest stejných částí. Z bodů A a B o poloměru AB opíšeme oblouky, jejichž průsečík dá bod K. Tímto bodem a dělením 3 na přímce AB vedeme svislou čáru. Dále od bodu K na této přímce vyčleníme úsečku rovnající se 4/6 AB. Dostaneme bod 1 - vrchol pětiúhelníku. Poté o poloměru rovném AB opíšeme od bodu 1 oblouk do průsečíku s oblouky dříve nakreslenými z bodů A a B. Průsečíkové body oblouků určují vrcholy pětiúhelníku 2 a 5. Nalezené spojíme vrcholy v sérii mezi sebou.

Konstrukce pravidelného sedmiúhelníku vepsaného do kruhu.

Nechť je dána kružnice o průměru D; je třeba do něj vepsat pravidelný sedmiúhelník (obr. 65). Rozdělte svislý průměr kruhu na sedm stejných částí. Z bodu 7 s poloměrem rovným průměru kružnice D opíšeme oblouk, dokud se neprotne s pokračováním vodorovného průměru v bodě F. Bod F se nazývá pól mnohoúhelníku. Vezmeme-li bod VII jako jeden z vrcholů sedmiúhelníku, nakreslíme paprsky z pólu F přes sudé dílky svislého průměru, jejichž průsečík s kružnicí určí vrcholy VI, V a IV sedmiúhelníku. Abychom získali vrcholy / - // - /// z bodů IV, V a VI, kreslíme vodorovné čáry, dokud se neprotnou s kružnicí. Nalezené vrcholy spojíme do série mezi sebou. Sedmiúhelník může být sestrojen kreslením paprsků z pólu F a prostřednictvím lichých dělení vertikálního průměru.

Výše uvedená metoda je vhodná pro konstrukci pravidelných mnohoúhelníků s libovolným počtem stran.

Rozdělení kruhu na libovolný počet stejných částí lze také provést pomocí údajů v tabulce. 2, který ukazuje koeficienty, které umožňují určit rozměry stran pravidelných vepsaných mnohoúhelníků.

Délky stran pravidelných vepsaných mnohoúhelníků.

První sloupec této tabulky ukazuje počet stran pravidelného vepsaného mnohoúhelníku a druhý sloupec ukazuje koeficienty. Délku strany daného mnohoúhelníku získáme vynásobením poloměru daného kruhu koeficientem odpovídajícím počtu stran tohoto mnohoúhelníku.

Ozhegovův vysvětlující slovník říká, že pětiúhelník je ohraničený pěti protínajícími se přímkami tvořícími pět vnitřních úhlů, stejně jako jakýkoli předmět podobného tvaru. Pokud má daný mnohoúhelník všechny stejné strany a úhly, pak se nazývá pravidelný (pětiúhelník).

Co je zajímavého na pravidelném pětiúhelníku?

Právě v této podobě byla postavena známá budova Ministerstva obrany Spojených států amerických. Z objemných pravidelných mnohostěnů má pouze dvanáctistěny pětiúhelníkové tváře. A v přírodě zcela chybí krystaly, jejichž tváře by připomínaly pravidelný pětiúhelník. Tento obrázek je navíc mnohoúhelník s minimálním počtem rohů, které nelze použít k dlaždicím oblasti. Pouze pětiúhelník má stejný počet úhlopříček jako jeho strany. Souhlas, je to zajímavé!

Základní vlastnosti a vzorce

Pomocí vzorců pro libovolný pravidelný mnohoúhelník můžete určit všechny potřebné parametry, které pětiúhelník má.

• Středový úhel α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Vnitřní úhel β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Součet vnitřních úhlů je tedy 540°.
• Poměr úhlopříčky ke straně je (1+√5)/2, tedy (přibližně 1,618).
• Délku strany, kterou má pravidelný pětiúhelník, lze vypočítat pomocí jednoho ze tří vzorců v závislosti na tom, který parametr je již znám:

• pokud je kolem něj opsána kružnice a je znám její poloměr R, pak a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• v případě, kdy je do pravidelného pětiúhelníku vepsána kružnice o poloměru r, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• stane se, že místo poloměrů je známa hodnota úhlopříčky D, pak se strana určí následovně: a ≈ D / 1,618.

• Oblast pravidelného pětiúhelníku je určena opět v závislosti na tom, jaký parametr známe:
• pokud existuje kruh vepsaný nebo opsaný, použije se jeden ze dvou vzorců:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r nebo S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• lze také určit plochu, pokud známe pouze délku strany a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Pravidelný pětiúhelník: konstrukce

Tento geometrický obrazec lze sestavit různými způsoby. Například jej vepište do kruhu s daným poloměrem nebo jej postavte na základě dané boční strany. Sled akcí byl popsán v Euklidových prvcích kolem roku 300 př.nl. V každém případě potřebujeme kružítko a pravítko. Zvažte způsob konstrukce pomocí daného kruhu.

1. Vyberte libovolný poloměr a nakreslete kružnici, přičemž její střed označte bodem O.

2. Na kružnici vyberte bod, který bude sloužit jako jeden z vrcholů našeho pětiúhelníku. Nechť je to bod A. Spojte body O a A přímkou.

3. Nakreslete přímku bodem O kolmou k přímce OA. Označte bod, kde se tato čára protíná s kružnicí, jako bod B.

4. Uprostřed vzdálenosti mezi body O a B postavte bod C.

5. Nyní nakreslete kružnici, jejíž střed bude v bodě C a která bude procházet bodem A. Místem jejího průsečíku s úsečkou OB (bude uvnitř úplně první kružnice) bude bod D.

6. Sestrojte kružnici procházející D, jejíž střed bude v A. Místa jejího průsečíku s původní kružnicí je třeba označit body E a F.

7. Nyní postavte kružnici, jejíž střed bude v E. Musíte to udělat tak, aby procházel A. Musí být označen její další průsečík původní kružnice

8. Nakonec nakreslete kružnici skrz A se středem v bodě F. Označte další průsečík původní kružnice s bodem H.

9. Nyní zbývá pouze spojit vrcholy A, E, G, H, F. Náš pravidelný pětiúhelník bude připraven!

5.3. zlatý pětiúhelník; stavba Euklida.

Nádherným příkladem „zlatého řezu“ je pravidelný pětiúhelník – konvexní a hvězdicovitý (obr. 5).

Chcete-li sestavit pentagram, musíte sestavit pravidelný pětiúhelník.

Nechť O je střed kružnice, A bod na kružnici a E střed úsečky OA. Kolmice k poloměru OA, obnovená v bodě O, se protíná s kružnicí v bodě D. Pomocí kružítka označte na průměru úsečku CE = ED. Délka strany pravidelného pětiúhelníku vepsaného do kruhu je DC. Na kružnici odložíme úsečky DC a získáme pět bodů za nakreslení pravidelného pětiúhelníku. Spojíme rohy pětiúhelníku přes jednu úhlopříčku a získáme pentagram. Všechny úhlopříčky pětiúhelníku se navzájem dělí na segmenty spojené zlatým řezem.

Každý konec pětiúhelníkové hvězdy je zlatý trojúhelník. Jeho strany svírají nahoře úhel 36° a základna položená na boku jej rozděluje v poměru ke zlatému řezu.

Je zde také zlatý kvádr - jedná se o pravoúhlý rovnoběžnostěn s hranami o délkách 1,618, 1 a 0,618.

Nyní zvažte důkaz nabízený Euklidem v Elementech.

od středu opsané kružnice. Začněme s

segment ABE, rozdělený uprostřed a

Nechť tedy AC = AE. Označme a shodné úhly EBC a CEB. Protože AC=AE, úhel ACE je také roven a. Věta, že součet úhlů trojúhelníku je 180 stupňů, vám umožňuje najít úhel ALL: je 180-2a a úhel EAC je 3a - 180. Ale pak je úhel ABC 180-a. Sečteme-li úhly trojúhelníku ABC, dostaneme

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Odkud 5a=360, tak a=72.

Každý z úhlů na základně trojúhelníku BEC je tedy dvojnásobkem horního úhlu, tedy 36 stupňů. Proto, aby bylo možné sestrojit pravidelný pětiúhelník, stačí nakreslit jakoukoli kružnici se středem v bodě E, protínající EC v bodě X a stranu EB v bodě Y: segment XY je jednou ze stran pravidelného pětiúhelníku vepsané do kruh; Když obejdete celý kruh, můžete najít všechny ostatní strany.

Nyní dokážeme, že AC=AE. Předpokládejme, že vrchol C je spojen úsečkou se středem N úseku BE. Všimněte si, že protože CB = CE, pak úhel CNE je pravý úhel. Podle Pythagorovy věty:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Máme tedy (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Takže AC = ja = jAB = AE, což bylo třeba dokázat

5.4 Archimedova spirála.

Postupným odřezáváním čtverců od zlatých obdélníků do nekonečna, pokaždé, když protější body spojíme čtvrtinou kruhu, dostaneme poměrně elegantní křivku. První pozornost na ni upoutal starověký řecký vědec Archimedes, jehož jméno nese. Studoval ji a odvodil rovnici této spirály.

V současné době je Archimédova spirála široce používána v technologii.

6. Fibonacciho čísla.

Se zlatým řezem je nepřímo spojeno jméno italského matematika Leonarda z Pisy, který je známější pod přezdívkou Fibonacci (Fibonacci je zkratka filius Bonacci, tedy syn Bonacciho).

V roce 1202 napsal knihu „Liber abacci“, tedy „Knihu počítadla“. "Liber abacci" je objemné dílo obsahující téměř všechny aritmetické a algebraické znalosti té doby a hrálo významnou roli ve vývoji matematiky v západní Evropě během několika příštích staletí. Zejména z této knihy se Evropané seznámili s hinduistickými („arabskými“) číslicemi.

Materiál uvedený v knize je vysvětlen na velkém množství problémů, které tvoří významnou část tohoto pojednání.

Zvažte jeden takový problém:

Kolik párů králíků se narodí z jednoho páru za rok?

Někdo umístil pár králíků na určité místo, obehnané ze všech stran zdí, aby zjistil, kolik párů králíků se během tohoto roku narodí, pokud je povaha králíků taková, že za měsíc pár králíci se budou rozmnožovat další a králíci rodí od druhého měsíce po narození."

Nyní přejděme od králíků k číslům a zvažte následující číselnou sekvenci:

u 1, u 2 … u n

ve kterém je každý člen roven součtu dvou předchozích, tzn. pro libovolné n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Tato posloupnost asymptoticky (přibližuje se stále pomaleji) směřuje k nějakému konstantnímu vztahu. Tento poměr je však iracionální, to znamená, že jde o číslo s nekonečnou, nepředvídatelnou sekvencí desetinných číslic ve zlomkové části. Nedá se to přesně vyjádřit.

Pokud je některý člen Fibonacciho posloupnosti vydělen tím, který mu předchází (například 13:8), výsledkem bude hodnota, která kolísá kolem iracionální hodnoty 1,61803398875... a někdy ji překročí, někdy ji nedosáhne.

Asymptotické chování posloupnosti, tlumené kolísání jejího poměru kolem iracionálního čísla Φ může být srozumitelnější, když ukážeme poměry několika prvních členů posloupnosti. Tento příklad ukazuje vztah druhého termínu k prvnímu, třetího ke druhému, čtvrtého ke třetímu atd.:

1:1 = 1,0000, což je méně než phi o 0,6180

2:1 = 2,0000, což je o 0,3820 více phi

3:2 = 1,5000, což je méně než phi o 0,1180

5:3 = 1,6667, což je o 0,0486 více phi

8:5 = 1,6000, což je méně než phi o 0,0180

Jak se pohybujete po Fibonacciho součtové posloupnosti, každý nový člen rozděluje další s více a více aproximací k nedosažitelnému F.

Člověk podvědomě hledá božskou proporci: je potřebná k uspokojení své potřeby pohodlí.

Když vydělíme libovolný člen Fibonacciho posloupnosti dalším, dostaneme právě převrácenou hodnotu 1,618 (1: 1,618=0,618). To je ale také velmi neobvyklý, až pozoruhodný jev. Protože původní poměr je nekonečný zlomek, tento poměr by také neměl mít konec.

Když každé číslo vydělíme dalším po něm, dostaneme číslo 0,382

Výběrem poměrů tímto způsobem získáme hlavní soubor Fibonacciho koeficientů: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.Zmíníme se také o 0,5 Všechny hrají v přírodě a zejména v technické analýze zvláštní roli.

Zde je třeba poznamenat, že Fibonacci lidstvu pouze připomínal jeho sekvenci, protože byla ve starověku známá pod názvem Zlatý řez.

Zlatý řez, jak jsme viděli, vzniká v souvislosti s pravidelným pětiúhelníkem, takže Fibonacciho čísla hrají roli ve všem, co souvisí s pravidelnými pětiúhelníky – konvexní i hvězdicovité.

Fibonacciho řada by mohla zůstat pouze matematickým incidentem, kdyby nebylo skutečnosti, že všichni badatelé zlatého dělení v rostlinném a živočišném světě, nemluvě o umění, vždy dospěli k této řadě jako k aritmetickému vyjádření zákona o zlatém dělení. . Vědci nadále aktivně rozvíjeli teorii Fibonacciho čísel a zlatého řezu. Yu Matiyasevich pomocí Fibonacciho čísel řeší Hilbertův 10. problém (o řešení diofantických rovnic). Existují elegantní metody řešení řady kybernetických problémů (teorie vyhledávání, hry, programování) pomocí Fibonacciho čísel a zlatého řezu. V USA dokonce vzniká Mathematical Fibonacci Association, která od roku 1963 vydává speciální časopis.

Jedním z úspěchů v této oblasti je objev zobecněných Fibonacciho čísel a zobecněných zlatých řezů. Fibonacciho řada (1, 1, 2, 3, 5, 8) a jím objevená „binární“ řada čísel 1, 2, 4, 8, 16 ... (tj. řada čísel do n , kde jakékoli přirozené číslo menší než n lze znázornit jako součet některých čísel této řady) na první pohled jsou zcela odlišné. Ale algoritmy pro jejich konstrukci jsou si navzájem velmi podobné: v prvním případě je každé číslo součtem předchozího čísla se sebou samým 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., ve druhém - to je součet dvou předchozích čísel 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Je to možné najít obecný matematický vzorec, ze kterého a " binární řada a Fibonacciho řada?

Skutečně, nastavme číselný parametr S, který může nabývat libovolných hodnot: 0, 1, 2, 3, 4, 5... oddělený od předchozího S kroky. Označíme-li n-tý člen této řady S (n), získáme obecný vzorec S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Je zřejmé, že s S = 0 z tohoto vzorce dostaneme „binární“ řadu, s S = 1 - Fibonacciho řadu, s S = 2, 3, 4. novou řadu čísel, která se nazývají S-Fibonacciho čísla.

Obecně řečeno, zlatý podíl S je kladným kořenem rovnice zlatého řezu S x S+1 – x S – 1 = 0.

Je snadné ukázat, že při S = 0 se získá rozdělení segmentu na polovinu a při S = 1 se získá známý klasický zlatý řez.

Poměry sousedních Fibonacciho S-čísel s absolutní matematickou přesností se shodují v limitu se zlatými S-proporcemi! To znamená, že zlaté S-řezy jsou numerickými invarianty Fibonacciho S-čísel.

7. Zlatý řez v umění.

7.1. Zlatý řez v malbě.

Když se podíváme na příklady „zlatého řezu“ v malbě, nelze zastavit pozornost u díla Leonarda da Vinciho. Jeho identita je jednou ze záhad historie. Sám Leonardo da Vinci řekl: "Ať se nikdo, kdo není matematik, neodváží číst moje díla."

Není pochyb o tom, že Leonardo da Vinci byl velkým umělcem, to poznali už jeho současníci, ale jeho osobnost a aktivity zůstanou zahaleny tajemstvím, protože potomkům nezanechal souvislou prezentaci svých myšlenek, ale pouze četné ručně psané náčrty, poznámky. které říkají „oba všichni na světě“.

Portrét Monny Lisy (Gioconda) přitahuje pozornost badatelů již mnoho let, kteří zjistili, že kompozice kresby je založena na zlatých trojúhelníkech, které jsou součástí pravidelného hvězdného pětiúhelníku.

Také podíl zlatého řezu se objevuje v Shishkinově obrazu. Na tomto slavném obraze I. I. Šiškina jsou dobře patrné motivy zlatého řezu. Jasně osvětlená borovice (stojící v popředí) rozděluje délku obrazu podle zlatého řezu. Napravo od borovice je kopec osvětlený sluncem. Rozděluje pravou stranu obrazu vodorovně podle zlatého řezu.

Rafaelův obraz „Masakr neviňátek“ ukazuje další prvek zlatého řezu – zlatou spirálu. Na přípravném náčrtu Raphaela jsou nakresleny červené čáry probíhající od sémantického středu kompozice - bodu, kde se prsty válečníka sevřely kolem kotníku dítěte - podél postav dítěte, ženy, která ho k sobě tiskne, válečníka s zdvižený meč a pak podél postav stejné skupiny na pravé straně náčrtu. Není známo, zda Raphael postavil zlatou spirálu nebo ji cítil.

T. Cook použil zlatý řez při analýze obrazu Sandro Botticelliho „Zrození Venuše“.

7.2. Pyramidy zlatého řezu.

Léčivé vlastnosti pyramid, zejména zlatého řezu, jsou široce známé. Podle některých nejčastějších názorů se zdá, že místnost, ve které se taková pyramida nachází, je větší a vzduch je průhlednější. Sny se začnou lépe pamatovat. Je také známo, že zlatý řez byl široce používán v architektuře a sochařství. Příkladem toho byly: Pantheon a Parthenon v Řecku, stavby architektů Baženova a Maleviče

8. Závěr.

Nutno říci, že zlatý řez má v našem životě velké uplatnění.

Bylo prokázáno, že lidské tělo je rozděleno úměrně zlatému řezu pásovou linií.

Skořápka nautila je stočená jako zlatá spirála.

Díky zlatému řezu byl objeven pás asteroidů mezi Marsem a Jupiterem - proporčně by tam měla být další planeta.

Vybuzení struny v bodě, který ji rozděluje ve vztahu ke zlatému dělení, nezpůsobí kmitání struny, to znamená, že toto je bod kompenzace.

U letadel se zdroji elektromagnetické energie vznikají obdélníkové články s podílem zlatého řezu.

Gioconda je postavena na zlatých trojúhelnících, zlatá spirála je přítomna na Raphaelově obrazu "Masakr neviňátek".

Podíl nalezený na obraze Sandro Botticelliho „Zrození Venuše“

Existuje mnoho architektonických památek postavených pomocí zlatého řezu, včetně Pantheonu a Parthenonu v Aténách, budov architektů Bazhenova a Maleviče.

John Kepler, který žil před pěti stoletími, vlastní výrok: "Geometrie má dva velké poklady. Prvním je Pythagorova věta, druhým je rozdělení segmentu v extrémním a průměrném poměru."

Bibliografie

1. D. Pidow. Geometrie a umění. – M.: Mir, 1979.

2. Časopis "Science and technology"

3. Časopis "Quantum", 1973, č. 8.

4. Časopis "Matematika ve škole", 1994, č. 2; číslo 3.

5. Kovalev F.V. Zlatý řez v malbě. K .: Škola Vyscha, 1989.

6. Stakhov A. Kódy zlatého řezu.

7. Vorobjov N.N. "Fibonacciho čísla" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - encyklopedie pro děti" M .: Avanta +, 1998

9. Informace z internetu.

Fibonacciho matice a tzv. „zlaté“ matice, nová počítačová aritmetika, nová teorie kódování a nová teorie kryptografie. Podstatou nové vědy je revize veškeré matematiky z pohledu zlatého řezu, počínaje Pythagorem, což samozřejmě přinese nové a jistě velmi zajímavé matematické výsledky v teorii. Prakticky řečeno – „zlatá“ komputerizace. A protože...

Tento výsledek nebude ovlivněn. Základem zlatého řezu je invariant rekurzivních poměrů 4 a 6. To ukazuje „stabilitu“ zlatého řezu, jednoho z principů organizace živé hmoty. Rovněž základem zlatého řezu je řešení dvou exotických rekurzivních sekvencí (obr. 4.) Obr. 4 rekurzivní Fibonacciho sekvence, takže...

Ucho je j5 a vzdálenost od ucha k temeni je j6. V této soše tedy vidíme geometrickou progresi se jmenovatelem j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (obr. 9). Zlatý řez je tedy jedním ze základních principů umění starověkého Řecka. Rytmy srdce a mozku. Lidské srdce bije rovnoměrně – v klidu asi 60 tepů za minutu. Srdce se stlačuje jako píst...