Jak udělat sken - vzor pro kužel nebo komolý kužel dané velikosti. Jednoduchý zametací výpočet. Objem kužele, jeho výpočet Objem kníru kužele

Mezi různými geometrickými tělesy je jedním z nejzajímavějších kužel. Vzniká otáčením pravoúhlého trojúhelníku kolem jedné z jeho nohou.

Jak zjistit objem kužele - základní pojmy

Než začnete počítat objem kužele, měli byste se seznámit se základními pojmy.

Kruhový kužel - základnou takového kužele je kruh. Pokud je základnou elipsa, parabola nebo hyperbola, pak se obrazce nazývají eliptické, parabolické nebo hyperbolické kužely. Stojí za to připomenout, že poslední dva typy kuželů mají nekonečný objem.
Komolý kužel je část kužele umístěná mezi základnou a rovinou rovnoběžnou s touto základnou, umístěnou mezi vrcholem a základnou.
Výška - segment kolmý k základně, uvolněný shora.
Tvořící čára kužele je segment, který spojuje hranici základny a vrcholu.

Objem kužele

Pro výpočet objemu kužele se používá vzorec V=1/3*S*H, kde S je základní plocha, H je výška. Protože základna kužele je kružnice, jeho obsah zjistíme vzorcem S= nR^2, kde n = 3,14, R je poloměr kružnice.

Nastává situace, kdy jsou některé parametry neznámé: výška, poloměr nebo tvořící přímka. V tomto případě stojí za to uchýlit se k Pythagorově větě. Osový řez kužele je rovnoramenný trojúhelník, který se skládá ze dvou pravoúhlých trojúhelníků, kde l je přepona a H a R jsou nohy. Pak l=(H^2+R^2)^1/2.

Objem komolého kužele

Komolý kužel je kužel s odříznutým vrcholem.

Chcete-li zjistit objem takového kužele, potřebujete vzorec:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

kde n=3,14, r je poloměr kružnice řezu, R je poloměr velké základny, H je výška.

Axiální řez komolého kužele bude rovnoramenný lichoběžník. Pokud je tedy nutné zjistit délku tvořící přímky kužele nebo poloměr jedné z kružnic, vyplatí se použít vzorce pro nalezení stran a základny lichoběžníku.

Najděte objem kužele, pokud je jeho výška 8 cm a poloměr základny 3 cm.

Dáno: V=8 cm, R=3 cm.

Nejprve najděte plochu základny pomocí vzorce S=nR^2.

S=3,14*3^2=28,26 cm^2

Nyní pomocí vzorce V=1/3*S*H zjistíme objem kužele.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Kuželovité postavy se nacházejí všude: parkovací kužely, věže budov, stínidlo lampy. Proto vědět, jak najít objem kužele, se může někdy hodit jak v profesionálním, tak v každodenním životě.

Místo slova „pattern“ se někdy používá „sweep“, ale tento termín je nejednoznačný: například výstružník je nástroj pro zvětšení průměru díry a v elektronické technice existuje pojem výstružník. Proto, i když jsem povinen používat slova „cone sweep“, aby vyhledávače pomocí nich mohly najít tento článek, budu používat slovo „vzor“.

Vytvoření vzoru pro kužel je jednoduchá záležitost. Uvažujme dva případy: pro plný kužel a pro komolý. Na obrázku (Klikni pro zvětšení) jsou zobrazeny náčrtky takových kuželů a jejich vzory. (Hned podotýkám, že se budeme bavit pouze o rovných kuželech s kulatou základnou. Šišky s oválnou základnou a šikmé kužely budeme uvažovat v dalších článcích).

1. Plný kužel

Označení:

Parametry vzoru se počítají podle vzorců:
;
;
kde .

2. Komolý kužel

Označení:

Vzorce pro výpočet parametrů vzoru:
;
;
;
kde .
Všimněte si, že tyto vzorce jsou také vhodné pro plný kužel, pokud dosadíme .

Někdy je při konstrukci kužele zásadní hodnota úhlu v jeho vrcholu (nebo v pomyslném vrcholu, pokud je kužel zkrácený). Nejjednodušší příklad je, když potřebujete, aby jeden kužel těsně zapadl do druhého. Označme tento úhel písmenem (viz obrázek).
V tomto případě jej můžeme použít místo jedné ze tří vstupních hodnot: , nebo . Proč „spolu o“, ne „společně E"? Protože ke konstrukci kužele stačí tři parametry a hodnota čtvrtého se vypočítá z hodnot ostatních tří. Proč zrovna tři, a ne dva nebo čtyři, je otázka, která přesahuje rámec tohoto článku. Tajemný hlas mi říká, že to nějak souvisí s trojrozměrností objektu „kužel“. (Porovnejte se dvěma počátečními parametry objektu dvourozměrného kruhového segmentu, ze kterého jsme v článku vypočítali všechny jeho ostatní parametry.)

Níže jsou uvedeny vzorce, podle kterých je určen čtvrtý parametr kužele, když jsou dány tři.

4. Metody konstrukce vzoru

Vypočítejte hodnoty na kalkulačce a vytvořte vzor na papíře (nebo přímo na kovu) pomocí kružítka, pravítka a úhloměru.
Zadejte vzorce a zdrojová data do tabulky (například Microsoft Excel). Získaný výsledek se použije k vytvoření vzoru pomocí grafického editoru (například CorelDRAW).
použijte můj program, který na obrazovku nakreslí a vytiskne vzor pro kužel s danými parametry. Tento vzor lze uložit jako vektorový soubor a importovat do aplikace CorelDRAW.

5. Ne paralelní základny

Pokud jde o komolé kužely, program Cones stále vytváří vzory pro kužely, které mají pouze paralelní základny.
Pro ty, kteří hledají způsob, jak sestrojit vzor komolého kužele s neparalelními základnami, zde je odkaz poskytnutý jedním z návštěvníků webu:
Komolý kužel s neparalelními základnami.

Vývoj povrchu kužele je plochý obrazec získaný spojením bočního povrchu a základny kužele s určitou rovinou.

Možnosti sweep konstrukce:

Vývoj pravého kruhového kužele

Rozvoj boční plochy pravého kruhového kužele je kruhový sektor, jehož poloměr je roven délce tvořící přímky kuželové plochy l a středový úhel φ je určen vzorcem φ=360*R/ l, kde R je poloměr obvodu základny kužele.

V řadě úloh deskriptivní geometrie je preferovaným řešením aproximace (náhrada) kužele jehlanem do něj vepsaným a konstrukce přibližného rozmítání, na kterém je vhodné kreslit čáry ležící na kuželové ploše.

Stavební algoritmus

Do kuželové plochy vepíšeme polygonální jehlan. Čím více bočních ploch vepsané pyramidy, tím přesnější je shoda mezi skutečným a přibližným skenováním.
Vybudujeme rozvinutí boční plochy jehlanu pomocí trojúhelníkové metody. Body patřící k základně kužele jsou spojeny hladkou křivkou.

Příklad

Na obrázku níže je pravidelný šestiboký jehlan SABCDEF vepsán do pravého kruhového kužele a přibližný vývoj jeho boční plochy se skládá ze šesti rovnoramenných trojúhelníků - stěn jehlanu.

Uvažujme trojúhelník S 0 A 0 B 0 . Délky jeho stran S 0 A 0 a S 0 B 0 se rovnají tvořící přímce l kuželové plochy. Hodnota A 0 B 0 odpovídá délce A'B'. Pro sestavení trojúhelníku S 0 A 0 B 0 na libovolném místě výkresu vyčleníme úsečku S 0 A 0 =l, za kterou nakreslíme kružnice o poloměru S 0 B 0 =l a A 0 B 0 = A'B' z bodů S 0 a A 0 v tomto pořadí. Průsečík kružnic B 0 spojíme s body A 0 a S 0 .

Plochy S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 pyramidy SABCDEF jsou postaveny podobně jako trojúhelník S 0 A 0 B 0.

Body A, B, C, D, E a F, ležící na základně kužele, jsou spojeny hladkou křivkou - obloukem kružnice, jejíž poloměr je roven l.

Vývoj šikmého kužele

Zvažte postup pro konstrukci křivky bočního povrchu nakloněného kužele aproximační metodou.

Algoritmus

Do kružnice podstavy kužele vepíšeme šestiúhelník 123456. Body 1, 2, 3, 4, 5 a 6 spojíme vrcholem S. Takto zkonstruovaná pyramida S123456 je s jistou mírou přiblížení náhrada za kuželovou plochu a jako taková se používá v dalších konstrukcích.
Přirozené hodnoty hran pyramidy určujeme metodou rotace kolem promítací čáry: v příkladu je použita osa i, která je kolmá k horizontální projekční rovině a prochází vrcholem S.
V důsledku rotace hrany S5 tedy její nový horizontální průmět S'5'i zaujme polohu, ve které je rovnoběžná s frontální rovinou π2. V souladu s tím je S''5''1 přirozená hodnota S5.
Sestrojíme rozvinutí boční plochy pyramidy S123456, sestávající ze šesti trojúhelníků: 0 1 0 . Konstrukce každého trojúhelníku se provádí na třech stranách. Například △S 0 1 0 6 0 má délku S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 = 1'6'.

Stupeň korespondence přibližného vychýlení se skutečným závisí na počtu stran vepsané pyramidy. Počet tváří se volí na základě snadnosti čtení výkresu, požadavků na jeho přesnost, přítomnosti charakteristických bodů a čar, které je třeba přenést do skenu.

Přenesení čáry z povrchu kužele na rozvinutí

Přímka n ležící na povrchu kužele je vytvořena jako výsledek jejího průsečíku s určitou rovinou (obrázek níže). Zvažte algoritmus pro konstrukci přímky n na tažení.

Algoritmus

Najděte průměty bodů A, B a C, ve kterých přímka n protíná hrany jehlanu vepsaného do kužele S123456.
Skutečnou velikost segmentů SA, SB, SC určíme otáčením kolem promítací čáry. V tomto příkladu SA=S''A'', SB=S''B''1, SC=S''C''1.
Zjistíme polohu bodů A 0 , B 0 , C 0 na odpovídajících hranách jehlanu, přičemž úsečky S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S°C°=S''C''1.
Body A 0, B 0, C 0 spojíme hladkou čarou.

Vývoj komolého kužele

Níže popsaná metoda pro konstrukci křivky pravého kruhového komolého kužele je založena na principu podobnosti.

V geometrii je komolý kužel těleso, které je vytvořeno rotací pravoúhlého lichoběžníku kolem té jeho strany, která je kolmá k základně. Jak počítají objem komolého kužele, každý zná ze školního kurzu geometrie a v praxi tyto znalosti často využívají konstruktéři různých strojů a mechanismů, vývojáři některých spotřebních statků, ale i architekti.

Výpočet objemu komolého kužele

Vzorec pro výpočet objemu komolého kužele

Objem komolého kužele se vypočítá podle vzorce:

PROTI

πh (R 2 + R × r + r 2)

h- výška kužele

r- poloměr horní základny

R- spodní rádius základny

PROTI- objem komolého kužele

π - 3,14

S takovými geometrickými tělesy jako komolé kužely, v běžném životě se každý setkává poměrně často, ne-li neustále. Jejich tvar má širokou škálu nádob široce používaných v každodenním životě: kbelíky, sklenice, některé šálky. Je samozřejmé, že konstruktéři, kteří je vyvinuli, museli použít vzorec, který počítá objem komolého kužele, protože tato hodnota je v tomto případě velmi důležitá, protože určuje tak důležitou charakteristiku, jako je kapacita produktu.

Inženýrské stavby, které jsou komolé kužely, lze často vidět u velkých průmyslových podniků, ale i tepelných a jaderných elektráren. Právě tuto formu mají chladicí věže – zařízení určená k chlazení velkých objemů vody nucením protiproudu atmosférického vzduchu. Nejčastěji se tyto konstrukce používají v případech, kdy je potřeba v krátké době výrazně snížit teplotu velkého množství kapaliny. Vývojáři těchto struktur musí určit objem komolého kužele vzorec pro výpočet, který je docela jednoduchý a známý všem, kteří se kdysi dobře učili na střední škole.

Detaily s tímto geometrickým tvarem se poměrně často nacházejí v konstrukci různých technických zařízení. Například ozubená kola používaná v systémech, kde je potřeba změnit směr kinetického převodu, se nejčastěji realizují pomocí kuželových kol. Tyto díly jsou nedílnou součástí široké škály převodovek, stejně jako automatických a manuálních převodovek používaných v moderních automobilech.

Tvar komolého kužele má některé řezné nástroje, které jsou široce používány ve výrobě, například frézy. S jejich pomocí můžete zpracovat šikmé plochy pod určitým úhlem. Pro ostření fréz kovoobráběcích a dřevoobráběcích zařízení se často používají brusné kotouče, které jsou také komolými kužely. Kromě, objem komolého kužele je třeba určit konstruktéry soustružnických a frézovacích strojů, u kterých se jedná o upnutí řezného nástroje opatřeného kuželovou stopkou (vrtáky, výstružníky apod.).