تقليل التقدم الهندسي بلا حدود على الإنترنت. صيغة مجموع n أول أعضاء GP. مشاكل حساب الفائدة المركبة

المتتاليات العددية VI

§ ل 48. مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي

حتى الآن ، عند الحديث عن المبالغ ، افترضنا دائمًا أن عدد المصطلحات في هذه المبالغ محدود (على سبيل المثال ، 2 ، 15 ، 1000 ، إلخ). ولكن عند حل بعض المشكلات (خاصة الرياضيات العليا) ، يتعين على المرء التعامل مع مبالغ عدد لا حصر له من المصطلحات

S = أ 1 + أ 2 + ... + أ ن + ... . (1)

ما هذه المبالغ؟ حسب التعريف مجموع عدد لا حصر له من المصطلحات أ 1 , أ 2 , ..., أ ن ، ... يسمى حد المجموع S. ن أول ص الأرقام متى ص -> ∞ :

S = S. ن = (أ 1 + أ 2 + ... + أ ن ). (2)

بالطبع ، قد يكون الحد (2) موجودًا وقد لا يكون موجودًا. وفقًا لذلك ، يُقال أن المجموع (1) موجود أو غير موجود.

كيف تعرف ما إذا كان المجموع (1) موجودًا في كل حالة على حدة؟ يتجاوز الحل العام لهذا السؤال نطاق برنامجنا. ومع ذلك ، هناك حالة خاصة واحدة مهمة يتعين علينا النظر فيها الآن. سنتحدث عن مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

يترك أ 1 , أ 1 ف , أ 1 ف 2 ، ... هو تقدم هندسي متناقص بشكل لا نهائي. هذا يعني أن | ف |< 1. Сумма первых ص أعضاء هذا التقدم يساوي

من النظريات الأساسية حول حدود المتغيرات (انظر الفقرة 136) نحصل على:

لكن 1 = 1 ، أ ف ن = 0. لذلك

إذن ، مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود يساوي الحد الأول من هذا التقدم مقسومًا على واحد ناقص مقام هذا التقدم.

1) مجموع التقدم الهندسي 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ... هو

ومجموع التقدم الهندسي هو 12 ؛ -6 ؛ 3 ؛ - 3/2 ، ... يساوي

2) كسر دوري بسيط 0.454545 ... يتحول إلى كسر عادي.

لحل هذه المشكلة ، نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

الجانب الأيمن من هذه المساواة هو مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، المصطلح الأول منه هو 45/100 والمقام 1/100. لهذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية البسيطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38):

لتحويل كسر دوري بسيط إلى كسر عادي ، تحتاج إلى المضي قدمًا على النحو التالي: ضع فترة الكسر العشري في البسط ، وفي المقام - عدد يتكون من تسع مرات مأخوذة من عدد من الأرقام في الفترة من الكسر العشري.

3) الكسر الدوري المختلط 0.58333 .... يتحول إلى كسر عادي.

دعنا نمثل هذا الكسر كمجموع لا نهائي:

على الجانب الأيمن من هذه المساواة ، تشكل جميع المصطلحات ، بدءًا من 3/1000 ، تقدمًا هندسيًا متناقصًا بشكل لا نهائي ، الحد الأول منه هو 3/1000 ، والمقام هو 1/10. لهذا

بالطريقة الموصوفة ، يمكن أيضًا الحصول على القاعدة العامة لتحويل الكسور الدورية المختلطة إلى كسور عادية (انظر الفصل الثاني ، الفقرة 38). نحن عمدا لا ندرجها هنا. ليست هناك حاجة لحفظ هذه القاعدة المرهقة. من المفيد أكثر معرفة أن أي كسر دوري مختلط يمكن تمثيله كمجموع للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي وبعض الأرقام. والصيغة

لمجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي ، يجب على المرء ، بالطبع ، أن يتذكر.

كتدريب ، ندعوك ، بالإضافة إلى المشاكل رقم 995-1000 أدناه ، للرجوع مرة أخرى إلى المشكلة رقم 301 § 38.

تمارين

995. ما يسمى مجموع التقدم الهندسي المتناقص بلا حدود؟

996- البحث عن مبالغ للتعاقب الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

997. لما القيم X تقدم

يتناقص بلا حدود؟ ابحث عن مجموع مثل هذا التقدم.

998. في مثلث متساوي الأضلاع مع ضلع أ يتم تسجيل مثلث جديد عن طريق توصيل نقاط المنتصف من جوانبه ؛ يتم كتابة مثلث جديد في هذا المثلث بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية.

أ) مجموع محيط كل هذه المثلثات ؛

ب) مجموع مناطقهم.

999. في مربع مع ضلع أ مربع جديد منقوش عن طريق ربط نقاط المنتصف من جوانبه ؛ مربع مكتوب في هذا المربع بنفس الطريقة ، وهكذا إلى ما لا نهاية. أوجد مجموع محيط كل هذه المربعات ومجموع مساحتها.

1000. قم بعمل تسلسل هندسي متناقص بشكل لا نهائي ، بحيث يكون مجموعها 25/4 ، ومجموع مربعات حدودها يساوي 625/24.

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها ليس صفريًا ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

مفهوم التقدم الهندسي

يُشار إلى التقدم الهندسي بالرمز b1 ، b2 ، b3 ، ... ، bn ،….

نسبة أي حد للخطأ الهندسي إلى حده السابق تساوي نفس الرقم ، أي ، b2 / b1 = b3 / b2 = b4 / b3 = ... = bn / b (n-1) = b (n + 1) / مليار =…. هذا يتبع مباشرة من تعريف التقدم الحسابي. يسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي. عادةً ما يُشار إلى مقام التقدم الهندسي بالحرف q.

مجموع التقدم الهندسي اللانهائي لـ | q |<1

تتمثل إحدى طرق تعيين التقدم الهندسي في تعيين المصطلح الأول b1 والمقام للخطأ الهندسي q. على سبيل المثال ، b1 = 4 ، q = -2. هذان الشرطان يعطيان تقدمًا هندسيًا من 4 ، -8 ، 16 ، -32 ،….

إذا كانت q> 0 (q لا تساوي 1) ، فإن التقدم هو تسلسل رتيب. على سبيل المثال ، التسلسل ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ... هو تسلسل متزايد بشكل رتيب (b1 = 2 ، q = 2).

إذا كان المقام q = 1 في الخطأ الهندسي ، فسيكون كل أعضاء التقدم الهندسي متساويين مع بعضهم البعض. في مثل هذه الحالات ، يُقال إن التقدم هو تسلسل ثابت.

لكي يكون التسلسل العددي (bn) تسلسلاً هندسيًا ، من الضروري أن يكون كل من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. وهذا يعني أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية
(b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2) ، لأي n> 0 ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

الآن لنضع (Xn) - تقدم هندسي. مقام التقدم الهندسي q ، مع | q | ∞).
إذا أشرنا الآن بواسطة S إلى مجموع التقدم الهندسي اللانهائي ، فإن الصيغة التالية ستصمد:
S = x1 / (1-q).

فكر في مثال بسيط:

أوجد مجموع التقدم الهندسي اللانهائي 2، -2/3، 2/9، - 2/27، ....

لإيجاد S ، نستخدم صيغة مجموع التقدم الحسابي اللانهائي. | -1/3 |< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها لا يساوي الصفر ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري.

يتم الإشارة إلى التقدم الهندسي b1، b2، b3،…، bn،….

تسلسل رتيب وثابت

إذا كانت q> 0 (q لا تساوي 1) ، فسيكون التقدم تسلسل رتيب.على سبيل المثال ، التسلسل ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، ... هو تسلسل متزايد بشكل رتيب (b1 = 2 ، q = 2).

إذا كان المقام q = 1 في الخطأ الهندسي ، فسيكون كل أعضاء التقدم الهندسي متساويين مع بعضهم البعض. في مثل هذه الحالات ، يقال أن التقدم تسلسل ثابت.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي هي:

bn = b1 * q ^ (n-1) ،

حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

صيغة مجموع أول n من الحدود للتقدم الهندسي

الصيغة الخاصة بمجموع أول n من المصطلحات للتقدم الهندسي هي:

Sn = (bn * q - b1) / (q-1) حيث q لا تساوي 1.

فكر في مثال بسيط:

في التقدم الهندسي b1 = 6، q = 3، n = 8 أوجد Sn.

لإيجاد S8 ، نستخدم صيغة مجموع أول n حدًا للتقدم الهندسي.

S8 = (6 * (3 ^ 8 -1)) / (3-1) = 19680.

معادلة العضو التاسع في التقدم الهندسي هي أمر بسيط للغاية. سواء في المعنى أو بشكل عام. ولكن هناك كل أنواع المشاكل لصيغة العضو التاسع - من البدائية جدًا إلى الجادة جدًا. وفي عملية التعارف ، سننظر بالتأكيد في كلاهما. حسنًا ، دعنا نتقابل؟)

لذلك ، بالنسبة للمبتدئين ، في الواقع معادلةن

ها هي ذا:

ب ن = ب 1 · ف ن -1

الصيغة كصيغة ، لا شيء خارق للطبيعة. يبدو أبسط وأكثر إحكاما من الصيغة المماثلة لـ. معنى الصيغة بسيط أيضًا ، مثل حذاء من اللباد.

تسمح لك هذه الصيغة بالعثور على أي عضو في تقدم هندسي بأرقامه " ن".

كما ترى ، المعنى هو تشبيه كامل بالتقدم الحسابي. نحن نعرف العدد n - يمكننا أيضًا حساب الحد الموجود تحت هذا الرقم. ماذا نريد. عدم الضرب بالتسلسل بـ "q" مرات عديدة. هذا هو بيت القصيد.)

أفهم أنه في هذا المستوى من العمل مع التقدم ، يجب أن تكون جميع الكميات المدرجة في الصيغة واضحة لك بالفعل ، لكنني أعتبر أنه من واجبي فك كل منها. فقط في حالة.

إذا هيا بنا:

ب 1 – الأولعضو في التقدم الهندسي.

ف – ;

ن- رقم عضوية؛

ب ن – ن (نالعاشر)عضو في التقدم الهندسي.

تربط هذه الصيغة المعلمات الرئيسية الأربعة لأي تقدم هندسي - بن, ب 1 , فو ن. وحول هذه الأرقام الرئيسية الأربعة ، تدور جميع المهام قيد التقدم.

"وكيف يتم عرضها؟"- أسمع سؤالاً فضولياً .. ابتدائي! نظرة!

ما يساوي ثانياعضو التقدم؟ لا مشكلة! نكتب مباشرة:

ب 2 = ب 1 ف

والعضو الثالث؟ ليست مشكلة أيضا! نضرب الحد الثاني مرة أخرىف.

مثله:

ب 3 \ u003d ب 2 س

تذكر الآن أن المصطلح الثاني ، بدوره ، يساوي b 1 q واستبدل هذا التعبير في مساواتنا:

ب 3 = ب 2 س = (ب 1 ف) س = ب 1 ف ف = ب 1 س 2

نحن نحصل:

ب 3 = ب 1 ف 2

الآن دعنا نقرأ دخولنا باللغة الروسية: الثالثالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q في ثانياالدرجة العلمية. هل حصلت عليه؟ ليس بعد؟ حسنًا ، خطوة أخرى.

ما هو المصطلح الرابع؟ كل نفس! تتضاعف السابق(أي المصطلح الثالث) في q:

B 4 \ u003d b 3 q \ u003d (b 1 q 2) q \ u003d b 1 q 2 q \ u003d b 1 q 3

المجموع:

ب 4 = ب 1 ف 3

ومرة أخرى نترجم إلى اللغة الروسية: الرابعالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q في الثالثالدرجة العلمية.

وهلم جرا. اذا كيف كانت؟ هل التقطت النمط؟ نعم! لأي مصطلح بأي رقم ، سيكون عدد العوامل المتساوية q (أي قوة المقام) دائمًا واحد أقل من عدد العضو المطلوبن.

لذلك ، ستكون صيغتنا بدون خيارات:

ب ن =ب 1 · ف ن -1

هذا كل شئ.)

حسنًا ، دعنا نحل المشكلات ، أليس كذلك؟)

حل المشاكل في صيغةنال مصطلح للتقدم الهندسي.

لنبدأ ، كالعادة ، بتطبيق مباشر للصيغة. هذه مشكلة نموذجية:

ومن المعروف أن أضعافا مضاعفة ب 1 = 512 و ف = -1/2. أوجد الحد العاشر من التقدم.

بالطبع ، يمكن حل هذه المشكلة بدون أي صيغ على الإطلاق. تمامًا مثل التقدم الهندسي. لكننا نحتاج إلى الإحماء باستخدام صيغة الحد التاسع ، أليس كذلك؟ نحن هنا نفترق.

بياناتنا لتطبيق الصيغة على النحو التالي.

المصطلح الأول معروف. هذا هو 512.

ب 1 = 512.

قاسم التقدم معروف أيضًا: ف = -1/2.

يبقى فقط معرفة ما يساوي عدد المصطلح n. لا مشكلة! هل نحن مهتمون بالفترة العاشرة؟ لذا نعوض عن عشرة بدلًا من n في الصيغة العامة.

وحساب الحساب بعناية:

الجواب: -1

كما ترون ، تبين أن الحد العاشر للتقدم هو سالب. لا عجب: مقام التقدم هو -1/2 ، أي نفيرقم. وهذا يخبرنا أن علامات تقدمنا تتبدل ، نعم).

كل شيء بسيط هنا. وهنا مشكلة مماثلة ، لكنها أكثر تعقيدًا من ناحية الحسابات.

في التقدم الهندسي ، نعلم أن:

ب 1 = 3

أوجد الحد الثالث عشر من التقدم.

كل شيء هو نفسه ، هذه المرة فقط قاسم التقدم - غير منطقي. جذر اثنين. حسنًا ، ليس بالأمر المهم. الصيغة هي شيء عالمي ، فهي تتواءم مع أي أرقام.

نعمل مباشرة حسب الصيغة:

الصيغة ، بالطبع ، عملت كما ينبغي ، لكن ... هذا هو المكان الذي سيتعطل فيه البعض. ماذا تفعل بعد ذلك مع الجذر؟ كيف ترفع جذرًا إلى القوة الثانية عشرة؟

كيف كيف ... عليك أن تفهم أن أي معادلة ، بالطبع ، شيء جيد ، لكن المعرفة بكل الرياضيات السابقة لا تلغى! كيف ترفع؟ نعم ، تذكر خصائص الدرجات! دعنا نغير الجذر إلى درجة كسريةو - بصيغة رفع السلطة إلى سلطة.

مثله:

الجواب: 192

وكل الأشياء.)

ما هي الصعوبة الرئيسية في التطبيق المباشر لصيغة المصطلح التاسع؟ نعم! الصعوبة الرئيسية هي العمل مع الدرجات!وهي الأس الأعداد السالبة والكسور والجذور والتركيبات المماثلة. إذن لمن لديه مشاكل مع هذا ، طلب عاجل لتكرار الدرجات وخصائصها! خلاف ذلك ، سوف تتباطأ في هذا الموضوع ، نعم ...)

الآن دعنا نحل مشاكل البحث النموذجية أحد عناصر الصيغةإذا تم إعطاء كل الآخرين. من أجل حل ناجح لمثل هذه المشاكل ، فإن الوصفة مفردة وبسيطة للرعب - اكتب الصيغةنالعضو ال بشكل عام!الحق في دفتر الملاحظات بجانب الشرط. وبعد ذلك ، من الحالة ، نكتشف ما يُعطى لنا وما لا يكفي. ونعبر عن القيمة المطلوبة من الصيغة. كل شىء!

على سبيل المثال ، هذه مشكلة غير ضارة.

الحد الخامس للتقدم الهندسي بمقامه 3 هو 567. أوجد الحد الأول من هذا التقدم.

لا شيء معقد. نحن نعمل مباشرة حسب التعويذة.

نكتب صيغة الحد النوني!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ماذا يعطى لنا؟ أولاً ، يتم إعطاء قاسم التقدم: ف = 3.

بالإضافة إلى ذلك ، نحن معطى العضو الخامس: ب 5 = 567 .

كل شىء؟ لا! كما حصلنا على الرقم n! هذا خمسة: ن = 5.

آمل أن تكون قد فهمت بالفعل ما هو موجود في السجل ب 5 = 567 يتم إخفاء معلمتين في وقت واحد - هذا هو العضو الخامس نفسه (567) ورقمه (5). في درس مشابه تحدثت بالفعل عن هذا ، لكنني أعتقد أنه ليس من الضروري أن أذكر هنا.)

الآن نستبدل بياناتنا في الصيغة:

567 = ب 1 3 5-1

نحن نعتبر الحساب ، نبسط ونحصل على معادلة خطية بسيطة:

81 ب 1 = 567

نحل ونحصل على:

ب 1 = 7

كما ترى ، لا توجد مشاكل في العثور على العضو الأول. لكن عند البحث عن المقام فوالأرقام نقد تكون هناك مفاجآت. وتحتاج أيضًا إلى الاستعداد لها (مفاجآت) ، نعم.)

على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة:

الحد الخامس للتقدم الهندسي ذي المقام الموجب هو 162 ، والحد الأول من هذا التقدم هو 2. أوجد مقام التقدم.

هذه المرة لدينا العضوان الأول والخامس ، ومطلوب منا إيجاد مقام التقدم. هنا نبدأ.

نكتب الصيغةنالعضو ال!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ستكون بياناتنا الأولية على النحو التالي:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

ن = 5

قيمة غير كافية ف. لا مشكلة! لنجدها الآن.) نعوض بكل ما نعرفه في الصيغة.

نحن نحصل:

162 = 2ف 5-1

2 ف 4 = 162

ف 4 = 81

معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة. لكن الآن - بحرص!في هذه المرحلة من الحل ، يقوم العديد من الطلاب على الفور باستخراج الجذر (من الدرجة الرابعة) بفرح والحصول على الإجابة ف=3 .

مثله:

س 4 = 81

ف = 3

لكن بشكل عام ، هذه إجابة غير مكتملة. أو بالأحرى غير مكتمل. لماذا ا؟ النقطة هي أن الجواب ف = -3 يناسب أيضًا: (-3) 4 سيكون أيضًا 81!

هذا بسبب معادلة القوة x ن = أدائما جذران متعاكسانفي حتىن . زائد وناقص:

كلاهما مناسب.

على سبيل المثال ، حل (أي ثانيادرجات)

س 2 = 9

لسبب ما لا تتفاجأ بالمظهر اثنينالجذور س = ± 3؟ إنه نفس الشيء هنا. ومع أي شخص آخر حتىالدرجة (الرابعة ، السادسة ، العاشرة ، إلخ) ستكون هي نفسها. التفاصيل - في موضوع حول

لذا فإن الحل الصحيح هو:

ف 4 = 81

ف= ± 3

حسنًا ، لقد حصلنا على العلامات. أيهما هو الصحيح - زائد أم ناقص؟ حسنًا ، قرأنا حالة المشكلة مرة أخرى بحثًا عن معلومات إضافية.إنه ، بالطبع ، قد لا يكون موجودًا ، لكن في هذه المشكلة مثل هذه المعلومات متوفرة.في حالتنا ، يُذكر مباشرة أنه يتم إعطاء تقدم مقام موجب.

إذن الجواب واضح:

ف = 3

كل شيء بسيط هنا. ما الذي تعتقد أنه سيحدث إذا كانت عبارة المشكلة على النحو التالي:

الحد الخامس للتقدم الهندسي هو 162 ، والحد الأول من هذا التقدم هو 2. أوجد مقام التقدم.

ماهو الفرق؟ نعم! في الحالة ولا شيءلا ذكر للمقام. لا بشكل مباشر ولا غير مباشر. وهنا ستكون المشكلة بالفعل حلين!

ف = 3 و ف = -3

نعم نعم! ومع الجمع والسالب) رياضيا ، هذه الحقيقة تعني أن هناك تقدمانالتي تناسب المهمة. ولكل - قاسمها. من أجل المتعة ، تدرب واكتب أول خمسة فصول من كل منها.)

لنتدرب الآن على إيجاد رقم العضو. هذا هو الأصعب ، نعم. ولكن أيضًا أكثر إبداعًا.

بالنظر إلى التقدم الهندسي:

3; 6; 12; 24; …

ما هو الرقم 768 في هذا التقدم؟

الخطوة الأولى هي نفسها: اكتب الصيغةنالعضو ال!

ب ن = ب 1 · ف ن -1

والآن ، كالعادة ، نستبدل بها البيانات المعروفة لدينا. حسنًا ... لا يصلح! أين العضو الأول وأين المقام وأين كل شيء ؟!

أين وأين ... لماذا نحتاج العيون؟ ترفرف الرموش؟ هذه المرة يتم تقديم التقدم إلينا مباشرة في النموذج التسلسلات.هل يمكننا رؤية الفصل الأول؟ نحن نرى! هذا ثلاثي (ب 1 = 3). ماذا عن المقام؟ لم نتمكن من رؤيته بعد ، لكن من السهل جدًا حسابه. إذا كنت تفهم بالطبع.

نحن هنا نعتبر. مباشرة وفقًا لمعنى التقدم الهندسي: نأخذ أيًا من أعضائه (باستثناء الأول) ونقسمه على العنصر السابق.

على الأقل مثل هذا:

ف = 24/12 = 2

ماذا نعرف؟ نحن نعرف أيضًا بعضًا من هذا التقدم ، يساوي 768. تحت رقم ما ن:

ب ن = 768

لا نعرف رقمه ، لكن مهمتنا تحديدًا هي العثور عليه). لذلك نحن نبحث عنه. لقد قمنا بالفعل بتنزيل جميع البيانات اللازمة للاستبدال في الصيغة. بشكل غير محسوس.)

هنا نستبدل:

768 = 3 2ن -1

نصنع الأجزاء الابتدائية - نقسم كلا الجزأين على ثلاثة ونعيد كتابة المعادلة بالشكل المعتاد: المجهول على اليسار ، والمعروف على اليمين.

نحن نحصل:

2 ن -1 = 256

ها هي معادلة مثيرة للاهتمام. نحن بحاجة إلى إيجاد "ن". ما هو غير عادي؟ نعم ، أنا لا أجادل. في الواقع ، هذا هو الأبسط. يطلق عليه كذلك لأن المجهول (في هذه الحالة ، هو الرقم ن) يقف في مؤشرالدرجة العلمية.

في مرحلة التعارف مع التقدم الهندسي (هذا هو الصف التاسع) ، لا يتم تدريس المعادلات الأسية لحلها ، نعم ... هذا موضوع للمدرسة الثانوية. لكن لا يوجد شيء رهيب. حتى إذا كنت لا تعرف كيف يتم حل هذه المعادلات ، فلنحاول إيجاد نمسترشدين بالمنطق البسيط والفطرة السليمة.

نبدأ في المناقشة. على اليسار لدينا شيطان إلى حد ما. لا نعرف حتى الآن ما هي هذه الدرجة بالضبط ، لكن هذا ليس مخيفًا. لكن من ناحية أخرى ، نعلم تمامًا أن هذه الدرجة تساوي 256! لذلك نتذكر إلى أي مدى يعطينا الشيطان 256. تذكر؟ نعم! في ثامندرجات!

256 = 2 8

إذا لم تتذكر درجات المشكلة أو لم تتعرف عليها ، فلا بأس أيضًا: نرفع الاثنين بالتتابع إلى المربع ، إلى المكعب ، إلى القوة الرابعة ، والخامس ، وهكذا. الاختيار ، في الواقع ، ولكن على هذا المستوى ، هو تماما مطية.

بطريقة أو بأخرى ، سوف نحصل على:

2 ن -1 = 2 8

ن-1 = 8

ن = 9

إذن 768 هو تاسععضو في تقدمنا. هذا كل شيء ، تم حل المشكلة.)

الجواب: 9

ماذا؟ ممل؟ تعبت من الابتدائية؟ أنا موافق. وأنا أيضا. دعنا ننتقل إلى المستوى التالي.)

مهام أكثر تعقيدًا.

والآن نحل الألغاز بشكل مفاجئ. ليس رائعًا تمامًا ، ولكن عليك العمل قليلاً للوصول إلى الإجابة.

على سبيل المثال ، مثل هذا.

أوجد الحد الثاني للتقدم الهندسي إذا كان حده الرابع -24 والحد السابع هو 192.

هذا هو كلاسيكي من هذا النوع. يُعرف بعض عضوين مختلفين من التقدم ، ولكن يجب العثور على عضو آخر. علاوة على ذلك ، كل الأعضاء ليسوا جيرانًا. ما يربك في البداية ، نعم ...

كما هو الحال في ، فإننا نعتبر طريقتين لحل مثل هذه المشاكل. الطريقة الأولى عالمية. جبري. يعمل بشكل لا تشوبه شائبة مع أي بيانات مصدر. لذلك من هنا سنبدأ.)

نرسم كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو ال!

كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال مع التقدم الحسابي. هذه المرة فقط نعمل معها اخرالصيغة العامة. هذا كل شيء.) لكن الجوهر هو نفسه: نحن نأخذ و فى الاعادهنعوض ببياناتنا الأولية في صيغة الحد النوني. لكل عضو - خاصة بهم.

في الفصل الرابع نكتب:

ب 4 = ب 1 · ف 3

-24 = ب 1 · ف 3

هنالك. معادلة واحدة كاملة.

نكتب عن الفصل السابع:

ب 7 = ب 1 · ف 6

192 = ب 1 · ف 6

في المجموع ، تم الحصول على معادلتين لـ نفس التقدم .

نقوم بتجميع نظام منهم:

على الرغم من مظهره الرائع ، إلا أن النظام بسيط للغاية. الطريقة الأكثر وضوحًا للحل هي التبديل المعتاد. نحن نعبر ب 1 من المعادلة العليا واستبدالها بالمعادلة السفلية:

القليل من العبث بالمعادلة السفلية (تقليل الأسس والقسمة على -24) ينتج عنه:

ف 3 = -8

بالمناسبة ، يمكن الوصول إلى نفس المعادلة بطريقة أبسط! ماذا؟ الآن سوف أريكم سرًا آخر ، ولكنه طريقة جميلة جدًا وقوية ومفيدة لحل مثل هذه الأنظمة. مثل هذه الأنظمة ، في المعادلات التي يجلسون عليها يعمل فقط.على الأقل في واحدة. اتصل طريقة تقسيم المدىمعادلة إلى أخرى.

لذلك لدينا نظام:

في كلا المعادلتين على اليسار - الشغل، وعلى اليمين مجرد رقم. هذه علامة جيدة جدًا.) لنأخذ و ... نقسم ، على سبيل المثال ، المعادلة السفلية على المعادلة العليا! ماذا يعني، قسمة معادلة على أخرى؟بسيط جدا. نحن نأخذ الجهه اليسرىمعادلة واحدة (أقل) و نقسملها الجهه اليسرىمعادلة أخرى (عليا). الجانب الأيمن مشابه: الجانب الأيمنمعادلة واحدة نقسمعلى ال الجانب الأيمناخر.

تبدو عملية التقسيم بأكملها كما يلي:

الآن ، بتقليل كل شيء يتم تقليله ، نحصل على:

ف 3 = -8

ما هو الجيد في هذه الطريقة؟ نعم ، لأنه في عملية هذا التقسيم ، يمكن تقليل كل شيء سيء وغير مريح بأمان وتبقى معادلة غير ضارة تمامًا! هذا هو السبب في أنه من المهم للغاية أن يكون لديك الضرب فقطفي واحدة على الأقل من معادلات النظام. لا يوجد عملية ضرب - ليس هناك ما يختصر ، نعم ...

بشكل عام ، تستحق هذه الطريقة (مثل العديد من الطرق غير التافهة الأخرى لحل الأنظمة) درسًا منفصلاً. سألقي نظرة فاحصة عليه بالتأكيد. في يوم ما…

ومع ذلك ، بغض النظر عن كيفية حل النظام ، على أي حال ، نحتاج الآن إلى حل المعادلة الناتجة:

ف 3 = -8

لا مشكلة: نستخرج الجذر (مكعب) و- انتهى!

يرجى ملاحظة أنه ليس من الضروري وضع علامة زائد / ناقص هنا عند الاستخراج. لدينا جذر فردي (ثالث). والجواب هو نفسه ، نعم.

لذلك ، تم العثور على مقام التقدم. ناقص اثنين. ممتاز! العملية جارية.)

بالنسبة للمصطلح الأول (قل من المعادلة العليا) نحصل على:

ممتاز! نعرف الحد الأول ونعرف المقام. والآن لدينا الفرصة للعثور على أي عضو في التقدم. بما في ذلك الثانية.)

بالنسبة للعضو الثاني ، كل شيء بسيط للغاية:

ب 2 = ب 1 · ف= 3 (-2) = -6

الجواب: -6

لذلك ، قمنا بفرز الطريقة الجبرية لحل المشكلة. صعب؟ ليس كثيرًا ، أوافق. طويلة ومملة؟ نعم بالتأكيد. لكن في بعض الأحيان يمكنك تقليل حجم العمل بشكل كبير. لهذا هناك طريقة الرسم.قديم جيد ومألوف لنا.)

لنرسم المشكلة!

نعم! بالضبط. مرة أخرى نصور تقدمنا على محور الأعداد. ليس بالضرورة بواسطة مسطرة ، ليس من الضروري الحفاظ على فترات متساوية بين الأعضاء (والتي ، بالمناسبة ، لن تكون هي نفسها ، لأن التقدم هندسي!) ، ولكن ببساطة بشكل تخطيطيارسم تسلسلنا.

حصلت عليه مثل هذا:

الآن انظر إلى الصورة وفكر. كم عدد العوامل المتساوية "ف" حصة الرابعو السابعأفراد؟ هذا صحيح ، ثلاثة!

لذلك ، لدينا كل الحق في أن نكتب:

-24ف 3 = 192

من هنا أصبح من السهل الآن العثور على q:

ف 3 = -8

ف = -2

هذا رائع ، المقام في جيوبنا بالفعل. والآن ننظر إلى الصورة مرة أخرى: كم عدد هذه القواسم الموجودة بينها ثانياو الرابعأفراد؟ اثنين! لذلك ، لتسجيل العلاقة بين هؤلاء الأعضاء ، سنرفع المقام تربيع.

نكتب هنا:

ب 2 · ف 2 = -24 ، أين ب 2 = -24/ ف 2

نعوض بالمقام الموجود في التعبير عن b 2 ، ونعد ونحصل على:

الجواب: -6

كما ترى ، كل شيء أبسط وأسرع بكثير من النظام. علاوة على ذلك ، هنا لم نكن بحاجة حتى لإحصاء الفصل الأول على الإطلاق! على الاطلاق.)

هنا ضوء الطريق البسيط والبصري. لكن له أيضًا عيبًا خطيرًا. خمن؟ نعم! إنه جيد فقط للقطع القصيرة جدًا من التقدم. تلك التي تكون فيها المسافات بين الأعضاء التي تهمنا ليست كبيرة جدًا. لكن في جميع الحالات الأخرى ، من الصعب بالفعل رسم صورة ، نعم ... ثم نحل المشكلة تحليليًا ، من خلال نظام.) والأنظمة هي شيء عالمي. تعامل مع أي رقم.

ملحمة أخرى:

الحد الثاني للتقدم الهندسي أكبر بمقدار 10 من الحد الأول ، والحد الثالث أكبر بمقدار 30 من الثاني. أوجد مقام التقدم.

ما هو رائع؟ لا على الاطلاق! كل نفس. نترجم مرة أخرى حالة المشكلة إلى الجبر البحت.

1) نرسم كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو ال!

المصطلح الثاني: b 2 = b 1 q

المصطلح الثالث: b 3 \ u003d b 1 q 2

2) نكتب العلاقة بين الأعضاء من حالة المشكلة.

قراءة الشرط: "الحد الثاني للتقدم الهندسي هو 10 أكثر من الأول."توقف ، هذا ثمين!

لذلك نكتب:

ب 2 = ب 1 +10

ونقوم بترجمة هذه العبارة إلى رياضيات بحتة:

ب 3 = ب 2 +30

حصلنا على معادلتين. نجمعها في نظام:

يبدو النظام بسيطًا. لكن هناك الكثير من المؤشرات المختلفة للأحرف. دعونا نستبدل بدلا من العضوين الثاني والثالث من التعبير عن طريق العضو الأول والمقام! عبثا ، أم ماذا رسمنا لهم؟

نحن نحصل:

لكن مثل هذا النظام لم يعد هدية ، نعم .. كيف نحل هذا؟ لسوء الحظ ، فإن التعويذة السرية العالمية لحل معقدة غير خطيلا توجد أنظمة في الرياضيات ولا يمكن أن توجد. أنه أمر رائع! لكن أول شيء يجب أن يتبادر إلى ذهنك عند محاولة كسر مثل هذا الجوز الصعب هو معرفة ذلك لكن أليست إحدى معادلات النظام مختزلة بصيغة جميلة ، مما يجعل من السهل ، على سبيل المثال ، التعبير عن أحد المتغيرات من حيث متغير آخر؟

دعونا تخمين. من الواضح أن المعادلة الأولى للنظام أبسط من الثانية. سوف نعذبه.) لماذا لا نحاول من المعادلة الأولى شيئا ماعبر عن طريق شيئا ما؟بما أننا نريد إيجاد المقام ف، فسيكون من الأفضل لنا التعبير عن ذلك ب 1 عبر ف.

لذلك دعونا نحاول القيام بهذا الإجراء باستخدام المعادلة الأولى ، باستخدام المعادلات القديمة الجيدة:

ب 1 س = ب 1 +10

ب 1 ف - ب 1 \ u003d 10

ب 1 (ف -1) = 10

كل شىء! لقد عبرنا هنا غير ضروريلنا المتغير (ب 1) من خلال من الضروري(ف). نعم ، لم يتم استلام أبسط تعبير. نوع من الكسر ... لكن نظامنا ذو مستوى لائق ، نعم.)

عادي. ماذا نفعل - نحن نعلم.

نكتب ODZ (بالضرورة!) :

ف ≠ 1

نضرب كل شيء في المقام (q-1) ونختزل كل الكسور:

10 ف 2 = 10 ف + 30(ف-1)

نقسم كل شيء على عشرة ، ونفتح الأقواس ، ونجمع كل شيء على اليسار:

ف 2 – 4 ف + 3 = 0

نحل الناتج ونحصل على جذرين:

ف 1 = 1

ف 2 = 3

هناك إجابة واحدة نهائية فقط: ف = 3 .

الجواب: 3

كما ترى ، فإن طريقة حل معظم المشكلات الخاصة بصيغة العضو التاسع في التقدم الهندسي هي نفسها دائمًا: نقرأ بحرصحالة المشكلة ، وباستخدام صيغة المصطلح التاسع ، نترجم جميع المعلومات المفيدة إلى الجبر الخالص.

يسمى:

1) نكتب كل عضو معطى في المسألة بشكل منفصل وفقًا للصيغةنالعضو ال.

2) من حالة المشكلة ، نترجم العلاقة بين الأعضاء إلى شكل رياضي. نؤلف معادلة أو نظام معادلات.

3) نحل المعادلة الناتجة أو نظام المعادلات ، ونجد المعلمات غير المعروفة للتقدم.

4) في حالة وجود إجابة غامضة ، نقرأ بعناية حالة المشكلة بحثًا عن معلومات إضافية (إن وجدت). نتحقق أيضًا من الإجابة المستلمة مع شروط ODZ (إن وجدت).

والآن نقوم بإدراج المشاكل الرئيسية التي غالبًا ما تؤدي إلى أخطاء في عملية حل مشاكل التقدم الهندسي.

1. الحساب الابتدائي. العمليات مع الكسور والأرقام السالبة.

2. إذا كانت هناك مشكلة واحدة على الأقل من هذه النقاط الثلاث ، فستكون مخطئًا حتمًا في هذا الموضوع. للأسف ... فلا تكن كسولاً وكرر ما ذكر أعلاه. واتبع الروابط - اذهب. في بعض الأحيان يساعد.)

الصيغ المعدلة والمتكررة.

والآن دعونا نلقي نظرة على مشكلتين نموذجيتين في الاختبار مع عرض أقل شيوعًا للحالة. نعم ، نعم ، لقد خمنت ذلك! هو - هي تم التعديلو متكررصيغ العضو ال n. لقد واجهنا بالفعل مثل هذه الصيغ وعملنا في التقدم الحسابي. كل شيء مشابه هنا. الجوهر هو نفسه.

على سبيل المثال ، مثل هذه المشكلة من OGE:

يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 3 2 ن . أوجد مجموع الحدين الأول والرابع.

هذه المرة لم يتم تقديم التقدم لنا كالمعتاد. نوع من الصيغة. وماذا في ذلك؟ هذه الصيغة أيضا صيغةنالعضو ال!نعلم جميعًا أن صيغة المصطلح التاسع يمكن كتابتها بشكل عام ، من خلال الحروف ، ومن أجل تقدم محدد. من محددالأول والمقام.

في حالتنا ، نحن ، في الواقع ، نعطي صيغة مصطلح عام للتقدم الهندسي باستخدام المعلمات التالية:

ب 1 = 6

ف = 2

دعونا نتحقق؟) دعونا نكتب صيغة الحد النوني بشكل عام ونستبدل بها ب 1 و ف. نحن نحصل:

ب ن = ب 1 · ف ن -1

ب ن= 6 2ن -1

نبسط ، باستخدام عوامل القوة وخصائصها ، ونحصل على:

ب ن= 6 2ن -1 = 3 2 2ن -1 = 3 2ن -1+1 = 3 2ن

كما ترون ، كل شيء عادل. لكن هدفنا معك ليس إظهار اشتقاق صيغة معينة. هذا إذن ، استطراد غنائي. فقط للفهم.) هدفنا هو حل المشكلة وفقًا للصيغة المعطاة لنا في الحالة. هل فهمت ذلك؟) لذلك نحن نعمل مع الصيغة المعدلة مباشرة.

نحسب المصطلح الأول. بديل ن=1 في الصيغة العامة:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثله. بالمناسبة ، لست كسولًا جدًا وسألفت انتباهك مرة أخرى إلى خطأ فادح نموذجي في حساب الفصل الدراسي الأول. لا تنظر إلى الصيغة ب ن= 3 2ن، استعجل على الفور لكتابة أن أول عضو هو الترويكا! إنه خطأ كبير ، نعم ...)

نواصل. بديل ن=4 والنظر في الفصل الرابع:

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

وأخيرًا نحسب المبلغ المطلوب:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

الجواب: 54

مشكلة اخرى.

يتم إعطاء التقدم الهندسي بالشروط:

ب 1 = -7;

ب ن +1 = 3 ب ن

أوجد الحد الرابع من التقدم.

هنا يتم إعطاء التقدم من خلال الصيغة المتكررة. حسنًا ، حسنًا.) كيف تعمل مع هذه الصيغة - نحن نعلم ايضا.

نحن هنا نتصرف. خطوة بخطوة.

1) عد اثنين متتاليعضو في التقدم.

تم منحنا المصطلح الأول بالفعل. ناقص سبعة. لكن الحد التالي ، الثاني ، يمكن حسابه بسهولة باستخدام الصيغة العودية. إذا فهمت كيف تعمل ، بالطبع.)

هنا ننظر في المصطلح الثاني حسب المشهور الأول:

ب 2 = 3 ب 1 = 3 (-7) = -21

2) نحن نعتبر مقام التقدم

أيضا لا توجد مشكلة. مباشرة ، حصة ثانياديك على الأول.

نحن نحصل:

ف = -21/(-7) = 3

3) اكتب الصيغةنفي الشكل المعتاد والنظر في العضو المطلوب.

حسنًا ، نعرف الحد الأول والمقام أيضًا. نكتب هنا:

ب ن= -7 3ن -1

ب 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

الجواب: -189

كما ترى ، فإن العمل مع مثل هذه الصيغ للتقدم الهندسي لا يختلف في الأساس عن ذلك بالنسبة للتقدم الحسابي. من المهم فقط فهم الجوهر العام ومعنى هذه الصيغ. حسنًا ، يجب أيضًا فهم معنى التقدم الهندسي ، نعم.) وبعد ذلك لن تكون هناك أخطاء غبية.

حسنًا ، دعنا نقرر بمفردنا؟)

مهام أولية تمامًا للإحماء:

1. نظرا للتقدم الهندسي الذي ب 1 = 243 و ف = -2/3. أوجد الحد السادس من التقدم.

2. المصطلح الشائع للتقدم الهندسي تعطى من خلال الصيغة ب ن = 5∙2 ن +1 . أوجد رقم العضو المكون من ثلاثة أرقام الأخير في هذا التقدم.

3. يُعطى التقدم الهندسي بالشروط التالية:

ب 1 = -3;

ب ن +1 = 6 ب ن

أوجد الحد الخامس من التقدم.

أكثر تعقيدًا:

4. إعطاء تسلسل هندسي:

ب 1 =2048; ف =-0,5

ما هو الحد السلبي السادس منه؟

ما الذي يبدو صعبًا للغاية؟ لا على الاطلاق. سيوفر المنطق وفهم معنى التقدم الهندسي. حسنًا ، صيغة الفصل التاسع بالطبع.

5. الحد الثالث للتقدم الهندسي هو -14 والحد الثامن هو 112. أوجد مقام التقدم.

6. مجموع الحدين الأول والثاني للتقدم الهندسي هو 75 ، ومجموع الحدين الثاني والثالث هو 150. أوجد الحد السادس للتقدم.

الإجابات (في حالة فوضى): 6 ؛ -3888 ؛ -واحد؛ 800 ؛ -32 ؛ 448.

هذا كل شيء تقريبًا. يبقى فقط لمعرفة كيفية العد مجموع أول n من الحدود للتقدم الهندسينعم اكتشف تقليل التقدم الهندسي بشكل لا نهائيومقدارها. بالمناسبة شيء مثير للاهتمام وغير عادي! المزيد عن ذلك في الدروس اللاحقة.)

التقدم الهندسي هو متتالية عددية ، الحد الأول منها ليس صفريًا ، وكل حد تالي يساوي الحد السابق مضروبًا في نفس العدد غير الصفري. يُشار إلى التقدم الهندسي بالرمز b1 ، b2 ، b3 ، ... ، bn ، ...

خصائص التقدم الهندسي

صيغة العضو التاسع في التقدم

لكي يكون التسلسل العددي (bn) تسلسلاً هندسيًا ، من الضروري أن يكون كل من أعضائه ، بدءًا من الثاني ، هو الوسط الهندسي للأعضاء المجاورة. أي أنه من الضروري تحقيق المعادلة التالية - (b (n + 1)) ^ 2 = bn * b (n + 2) ، لأي n> 0 ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

صيغة العضو التاسع للتقدم الهندسي هي:

bn = b1 * q ^ (n-1) ، حيث n ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية N.

فكر في مثال بسيط:

في التقدم الهندسي b1 = 6، q = 3، n = 8 أوجد bn.

دعنا نستخدم صيغة العضو رقم n للتقدم الهندسي.