Çevrimiçi olarak sonsuz azalan geometrik ilerleme. GP'nin ilk n üyesinin toplamı için formül. Bileşik faiz hesaplama sorunları

SAYISAL DİZİLER VI

§ l48. Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamı

Şimdiye kadar toplamlardan bahsetmişken, bu toplamlardaki terim sayısının sonlu olduğunu varsaydık (örneğin, 2, 15, 1000, vb.). Ancak bazı problemleri çözerken (özellikle yüksek matematik), sonsuz sayıda terimin toplamıyla uğraşmak gerekir.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Bu miktarlar nelerdir? Tanım olarak sonsuz sayıda terimin toplamı a 1 , a 2 , ..., a n , ... toplamın limiti olarak adlandırılır S n ilk P sayılar ne zaman P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) elbette olabilir veya olmayabilir. Buna göre toplamın (1) var olduğu veya olmadığı söylenir.

Toplamın (1) her özel durumda var olup olmadığı nasıl anlaşılır? Bu soruya genel bir çözüm, programımızın kapsamının çok ötesine geçiyor. Ancak, şimdi dikkate almamız gereken önemli bir özel durum var. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamından bahsedeceğiz.

İzin vermek a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... sonsuz azalan bir geometrik ilerlemedir. Bunun anlamı | q |< 1. Сумма первых P bu ilerlemenin üyeleri şuna eşittir:

Değişkenlerin limitlerine ilişkin temel teoremlerden (bkz. § 136) şunları elde ederiz:

Ama 1 = 1, bir q n = 0. Bu nedenle

Yani, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı, bu ilerlemenin ilk terimi bölü bir eksi bu ilerlemenin paydasına eşittir.

1) 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometrik dizisinin toplamı

ve bir geometrik ilerlemenin toplamı 12'dir; -6; 3; - 3 / 2 , ... eşittir

2) Basit bir periyodik kesir 0.454545 ... sıradan bir kesre dönüşür.

Bu sorunu çözmek için, bu kesri sonsuz bir toplam olarak temsil ediyoruz:

Bu eşitliğin sağ tarafı, ilk terimi 45/100, paydası 1/100 olan sonsuz azalan bir geometrik dizinin toplamıdır. Bu yüzden

Açıklanan şekilde, basit periyodik kesirleri adi kesirlere dönüştürmek için genel kural da elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38):

Basit bir periyodik kesri sıradan bir kesre dönüştürmek için şu şekilde ilerlemeniz gerekir: ondalık kesrin dönemini paya ve paydaya koyun - dokuzlardan oluşan bir sayı, o dönemdeki basamak sayısı kadar alınır ondalık kesrin.

3) Karışık periyodik kesir 0.58333 .... adi kesre dönüşür.

Bu kesri sonsuz bir toplam olarak gösterelim:

Bu eşitliğin sağ tarafında, 3/1000'den başlayarak tüm terimler, ilk terimi 3/1000 ve paydası 1/10 olan sonsuz azalan bir geometrik dizi oluşturur. Bu yüzden

Açıklanan şekilde, karışık periyodik kesirlerin adi kesirlere dönüştürülmesine ilişkin genel kural da elde edilebilir (bkz. Bölüm II, § 38). Biz kasıtlı olarak buraya dahil etmiyoruz. Bu hantal kuralı ezberlemeye gerek yok. Herhangi bir karışık periyodik kesrin, sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin ve bir sayının toplamı olarak temsil edilebileceğini bilmek çok daha faydalıdır. Ve formül

sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamı için elbette hatırlanmalıdır.

Alıştırma olarak, sizi aşağıdaki 995-1000 numaralı problemlere ek olarak bir kez daha 301 § 38 numaralı probleme dönmeye davet ediyoruz.

Egzersizler

995. Sonsuz azalan bir geometrik ilerlemenin toplamına ne denir?

996. Sonsuz azalan geometrik ilerlemelerin toplamlarını bulun:

997. Hangi değerler için X ilerleme

sonsuz azalıyor mu? Böyle bir ilerlemenin toplamını bulun.

998. Bir kenarı olan bir eşkenar üçgende a kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir üçgen çizilir; bu üçgene aynı şekilde yeni bir üçgen çizilir ve bu sonsuza kadar devam eder.

a) tüm bu üçgenlerin çevrelerinin toplamı;

b) alanlarının toplamı.

999. Kenarı olan bir karede a kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare çizilir; bu kareye aynı şekilde bir kare çizilir ve bu sonsuza kadar devam eder. Tüm bu karelerin çevrelerinin toplamını ve alanlarının toplamını bulun.

1000. Toplamı 25 / 4'e ve terimlerinin karelerinin toplamı 625 / 24'e eşit olacak şekilde sonsuz azalan bir geometrik ilerleme yapın.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim önceki terimin sıfır olmayan aynı sayı ile çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme kavramı

Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Bu, doğrudan bir aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik bir ilerlemenin paydası q harfi ile gösterilir.

|q| için sonsuz geometrik ilerlemenin toplamı<1

Bir geometrik ilerleme belirlemenin bir yolu, ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını ayarlamaktır. Örneğin, b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32, … şeklinde bir geometrik dizi verir.

q>0 ise (q 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin, 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatada payda q=1 ise, geometrik dizinin tüm üyeleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda, ilerlemenin sabit bir dizi olduğu söylenir.

Sayısal dizinin (bn) geometrik bir ilerleme olması için, ikinciden başlayarak her bir üyesinin, komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani, aşağıdaki denklemi yerine getirmek gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için, burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Şimdi (Xn) - geometrik bir ilerleme koyalım. |q|∞) ile geometrik dizi q'nun paydası.
Şimdi sonsuz bir geometrik ilerlemenin toplamını S ile gösterirsek, aşağıdaki formül geçerli olacaktır:
S=x1/(1-q).

Basit bir örnek düşünün:

Sonsuz bir geometrik dizinin toplamını bulun 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

S'yi bulmak için sonsuz aritmetik ilerlemenin toplamı formülünü kullanırız. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim önceki terimin sıfır olmayan aynı sayı ile çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir.

Geometrik ilerleme gösterilir b1,b2,b3, …, milyar, … .

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Bu, doğrudan bir aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik bir ilerlemenin paydası q harfi ile gösterilir.

Monoton ve sabit dizi

Bir geometrik ilerleme belirlemenin bir yolu, ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını ayarlamaktır. Örneğin, b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32, … şeklinde bir geometrik dizi verir.

q>0 ise (q 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme şu şekildedir: monoton sıra.Örneğin, 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatada payda q=1 ise, geometrik dizinin tüm üyeleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda, ilerleme olduğu söylenir sabit sıra.

Geometrik ilerlemenin n'inci üyesinin formülü

Sayısal dizinin (bn) geometrik bir ilerleme olması için, ikinciden başlayarak her bir üyesinin, komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani, aşağıdaki denklemi yerine getirmek gerekir
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), herhangi bir n>0 için, burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Bir geometrik dizinin n'inci üyesi için formül şöyledir:

bn=b1*q^(n-1),

burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı için formül

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı için formül şöyledir:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) burada q, 1'e eşit değildir.

Basit bir örnek düşünün:

Geometrik dizide b1=6, q=3, n=8 Sn'yi bulun.

S8'i bulmak için, bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı formülünü kullanırız.

Ö8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Bir geometrik dizinin n'inci üyesi için formül çok basit bir şeydir. Hem anlam olarak hem de genel olarak. Ancak n'inci üyenin formülü için çok ilkelden oldukça ciddi olanlara kadar her türden sorun vardır. Ve tanışma sürecinde ikisini de kesinlikle dikkate alacağız. Peki tanışalım mı?)

Yani, başlangıç ​​için, aslında formüln

İşte orada:

bn = b 1 · q n -1

Formül olarak formül, doğaüstü bir şey değil. için benzer formülden daha basit ve daha kompakt görünüyor. Formülün anlamı da keçe çizme gibi basittir.

Bu formül, SAYISINA GÖRE geometrik ilerlemenin HERHANGİ bir üyesini bulmanızı sağlar " n".

Gördüğünüz gibi, anlam, aritmetik bir ilerleme ile tam bir benzetmedir. n sayısını biliyoruz - bu sayının altındaki terimi de hesaplayabiliriz. Ne istiyoruz. Sırayla "q" ile pek çok kez çarpmamak. Bütün mesele bu.)

İlerlemelerle çalışmanın bu düzeyinde, formülde yer alan tüm niceliklerin sizin için zaten açık olması gerektiğini anlıyorum, ancak her birini deşifre etmeyi görevim olarak görüyorum. Her ihtimale karşı.

O zaman hadi gidelim:

b 1 – ilk geometrik bir ilerlemenin üyesi;

q – ;

n- üye numarası;

bn – inci (ninci) geometrik bir ilerlemenin üyesi.

Bu formül, herhangi bir geometrik ilerlemenin dört ana parametresini birbirine bağlar - bn, b 1 , q ve n. Ve bu dört temel figürün etrafında, ilerlemedeki tüm görevler döner.

"Peki nasıl gösteriliyor?"- Meraklı bir soru duyuyorum ... İlköğretim! Bak!

neye eşittir ikinci ilerleme üyesi? Sorun değil! Doğrudan yazıyoruz:

b2 = b1q

Ve üçüncü üye? Sorun da değil! İkinci terimi çarparız tekrarq.

Bunun gibi:

B3 \u003d b2q

Şimdi, ikinci terimin de b 1 q'ya eşit olduğunu hatırlayın ve bu ifadeyi eşitliğimizin yerine koyun:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Biz:

B 3 = b 1 q 2

Şimdi yazımızı Rusça olarak okuyalım: üçüncü terim, q ile çarpılan ilk terime eşittir ikinci derece. anladın mı Henüz değil? Tamam, bir adım daha.

Dördüncü terim nedir? Hepsi aynı! Çarpmak öncesi(yani üçüncü terim) q üzerinde:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Toplam:

B 4 = b 1 q 3

Ve yine Rusçaya tercüme ediyoruz: dördüncü terim, q ile çarpılan ilk terime eşittir üçüncü derece.

Ve benzeri. Peki nasıl? Deseni yakaladın mı? Evet! Herhangi bir sayıya sahip herhangi bir terim için, eşit çarpanların sayısı q (yani, paydanın gücü) her zaman olacaktır. istenen üyenin sayısından bir eksikn.

Bu nedenle, formülümüz seçenekler olmadan şöyle olacaktır:

b n =b 1 · q n -1

Bu kadar.)

Pekala, hadi problemleri çözelim, olur mu?)

Problemleri bir formül üzerinde çözmengeometrik ilerlemenin üçüncü terimi.

Her zamanki gibi formülü doğrudan uygulayarak başlayalım. İşte tipik bir sorun:

Üstel olarak biliniyor ki b 1 = 512 ve q = -1/2. İlerlemenin onuncu terimini bulun.

Tabii ki, bu sorun herhangi bir formül olmadan çözülebilir. Tıpkı geometrik bir ilerleme gibi. Ama n'inci terimin formülü ile ısınmamız gerekiyor değil mi? İşte ayrılıyoruz.

Formülü uygulamak için verilerimiz aşağıdaki gibidir.

İlk terim biliniyor. Bu 512.

b 1 = 512.

İlerlemenin paydası da bilinmektedir: q = -1/2.

Sadece n teriminin sayısının neye eşit olduğunu bulmak için kalır. Sorun değil! Onuncu dönemle ilgileniyor muyuz? Bu nedenle genel formülde n yerine on yerine koyarız.

Ve aritmetiği dikkatlice hesaplayın:

Cevap 1

Gördüğünüz gibi, ilerlemenin onuncu terimi eksi oldu. Şaşılacak bir şey yok: ilerlemenin paydası -1/2, yani olumsuz sayı. Ve bu bize ilerlememizin işaretlerinin dönüşümlü olduğunu söylüyor, evet.)

Burada her şey basit. Ve işte benzer bir problem, ancak hesaplamalar açısından biraz daha karmaşık.

Geometrik ilerlemede şunu biliyoruz:

b 1 = 3

Dizinin on üçüncü terimini bulun.

Her şey aynı, sadece bu sefer ilerlemenin paydası - mantıksız. ikinin kökü. Önemli değil. Formül evrensel bir şeydir, herhangi bir sayı ile başa çıkabilir.

Doğrudan şu formüle göre çalışıyoruz:

Formül elbette olması gerektiği gibi çalıştı, ama ... bazılarının takılacağı yer burası. Bundan sonra kök ile ne yapmalı? On ikinci güce bir kök nasıl yükseltilir?

Nasıl-nasıl ... Elbette herhangi bir formülün iyi bir şey olduğunu anlamalısınız, ancak önceki tüm matematik bilgileri iptal edilmedi! Nasıl yükseltilir? Evet, derecelerin özelliklerini hatırlayın! Kökü değiştirelim kesirli derece ve - bir kuvveti bir kuvvete yükseltme formülü ile.

Bunun gibi:

Cevap: 192

Ve her şey.)

n'inci terim formülünün doğrudan uygulanmasındaki ana zorluk nedir? Evet! Asıl zorluk derecelerle çalışın! Yani, negatif sayıların, kesirlerin, köklerin ve benzeri yapıların üste alınması. Bu yüzden bu konuda sorun yaşayanlar, dereceleri ve özelliklerini tekrar etmeleri için acil bir istekte bulunsunlar! Aksi halde bu konuda yavaşlarsınız, evet...)

Şimdi tipik arama problemlerini çözelim formülün öğelerinden biri eğer diğerleri verilirse. Bu tür sorunların başarılı bir şekilde çözülmesi için, tarif tektir ve korkutması kolaydır - formülü yazngenel olarak inci üye! Durumun hemen yanındaki not defterinde. Ve sonra koşuldan bize neyin verildiğini ve neyin yeterli olmadığını anlıyoruz. Ve formülden istenilen değeri ifade ediyoruz. Her şey!

Örneğin, böyle zararsız bir sorun.

Paydası 3 olan bir geometrik dizinin beşinci terimi 567'dir. Bu dizinin ilk terimini bulunuz.

Karmaşık bir şey yok. Doğrudan büyüye göre çalışıyoruz.

n'inci terimin formülünü yazıyoruz!

bn = b 1 · q n -1

Bize verilen nedir? İlk olarak, ilerlemenin paydası verilir: q = 3.

Ayrıca bize verilen beşinci üye: b 5 = 567 .

Her şey? Değil! Ayrıca bize n sayısı verildi! Bu bir beş: n = 5.

Umarım kayıtta ne olduğunu zaten anlamışsınızdır. b 5 = 567 aynı anda iki parametre gizlenir - bu, beşinci üyenin kendisi (567) ve onun numarasıdır (5). Bununla ilgili benzer bir derste bundan zaten bahsetmiştim, ancak burada hatırlatmanın gereksiz olmadığını düşünüyorum.)

Şimdi verilerimizi formülde yerine koyuyoruz:

567 = b 1 3 5-1

Aritmetiği ele alıyoruz, basitleştiriyoruz ve basit bir doğrusal denklem elde ediyoruz:

81 b 1 = 567

Çözüyoruz ve alıyoruz:

b 1 = 7

Gördüğünüz gibi ilk üyeyi bulmakta herhangi bir sorun yok. Ama paydayı ararken q ve sayılar n sürprizler olabilir. Ve bunlara (sürprizlere) de hazırlıklı olmalısınız, evet.)

Örneğin, böyle bir sorun:

Paydası pozitif olan bir geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

Bu kez bize birinci ve beşinci üyeler veriliyor ve ilerlemenin paydasını bulmamız isteniyor. İşte başlıyoruz.

formülü yazıyoruzninci üye!

bn = b 1 · q n -1

İlk verilerimiz aşağıdaki gibi olacaktır:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Yeterli değer yok q. Sorun değil! Şimdi bulalım.) Bildiğimiz her şeyi formülde yerine koyuyoruz.

Biz:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Dördüncü dereceden basit bir denklem. Ama şimdi - dikkatlice!Çözümün bu aşamasında, birçok öğrenci hemen neşe içinde (dördüncü dereceden) kökü çıkarır ve cevabı alır. q=3 .

Bunun gibi:

q4 = 81

q = 3

Ancak genel olarak, bu bitmemiş bir cevaptır. Daha doğrusu eksik. Neden? Niye? Mesele şu ki, cevap q = -3 şuna da uyar: (-3) 4 de 81 olur!

Bunun nedeni, güç denkleminin x n = a her zaman vardır iki zıt kök de Bilen . Artı ve eksi:

İkisi de uygun.

Örneğin, çözme (örn. ikinci derece)

x2 = 9

Nedense görünüşüne şaşırmıyorsun iki kökler x=±3? Burada da aynı. Ve diğerleriyle Bile derece (dördüncü, altıncı, onuncu vb.) aynı olacaktır. Ayrıntılar - hakkında konuda

Yani doğru çözüm şöyle olacaktır:

q 4 = 81

q= ±3

Tamam, işaretleri bulduk. Hangisi doğru - artı mı eksi mi? Peki, sorunun durumunu aramak için tekrar okuyoruz Ek Bilgiler. Elbette mevcut olmayabilir, ancak bu problemde bu tür bilgiler mevcut. Bizim durumumuzda doğrudan bir ilerleme verildiği belirtilmektedir. pozitif payda.

Yani cevap açık:

q = 3

Burada her şey basit. Sorun ifadesi şöyle olsaydı ne olurdu sizce:

Bir geometrik dizinin beşinci terimi 162'dir ve bu dizinin ilk terimi 2'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

Fark ne? Evet! durumda hiç bir şey paydadan söz edilmez. Ne doğrudan ne de dolaylı olarak. Ve burada sorun zaten olurdu iki çözüm!

q = 3 ve q = -3

Evet evet! Ve artı ve eksi ile.) Matematiksel olarak, bu gerçek şu anlama gelir: iki ilerleme bu göreve uygun. Ve her biri için - kendi paydası. Eğlenmek için pratik yapın ve her birinin ilk beş terimini yazın.)

Şimdi üye numarasını bulma alıştırması yapalım. Bu en zoru, evet. Ama aynı zamanda daha yaratıcı.

Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

3; 6; 12; 24; …

Bu dizide 768 hangi sayıdır?

İlk adım aynıdır: formülü yazninci üye!

bn = b 1 · q n -1

Ve şimdi, her zamanki gibi, bildiğimiz verileri onun yerine koyuyoruz. Hm... uymuyor! İlk üye nerede, payda nerede, diğer her şey nerede?!

Nerede, nerede ... Neden gözlere ihtiyacımız var? Kirpikleri çırpmak mı? Bu kez ilerleme bize doğrudan formda verilir. diziler.İlk terimi görebilir miyiz? Görürüz! Bu bir üçlüdür (b 1 = 3). Peki payda? Henüz göremiyoruz ama sayması çok kolay. Tabii anlarsan.

İşte düşünüyoruz. Doğrudan bir geometrik ilerlemenin anlamına göre: üyelerinden herhangi birini (ilki hariç) alır ve bir öncekine böleriz.

En azından şöyle:

q = 24/12 = 2

Başka ne biliyoruz? Ayrıca bu ilerlemenin 768'e eşit bazı üyelerini de biliyoruz. Bazı n sayısı altında:

bn = 768

Numarasını bilmiyoruz ama görevimiz tam olarak onu bulmak.) Bu yüzden arıyoruz. Formülde ikame için gerekli tüm verileri zaten indirdik. farkedilmeden.)

Burada değiştiriyoruz:

768 = 3 2n -1

Temel olanları yapıyoruz - her iki parçayı da üçe bölüyoruz ve denklemi olağan biçimde yeniden yazıyoruz: solda bilinmeyen, sağda bilinen.

Biz:

2 n -1 = 256

İşte ilginç bir denklem. "n" bulmamız gerekiyor. Olağandışı olan nedir? Evet, tartışmıyorum. Aslında, en basiti. Bilinmeyen olduğu için böyle adlandırılır (bu durumda, sayıdır) n) duruyor gösterge derece.

Geometrik bir ilerlemeyle tanışma aşamasında (bu dokuzuncu sınıf), üstel denklemlerin çözülmesi öğretilmiyor, evet ... Bu bir lise konusu. Ama korkunç bir şey yok. Bu tür denklemlerin nasıl çözüldüğünü bilmeseniz bile, hadi bizimkini bulmaya çalışalım. n basit mantık ve sağduyu tarafından yönlendirilir.

tartışmaya başlıyoruz. Solda bir ikili var bir dereceye kadar. Henüz bu derecenin tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz ama bu korkutucu değil. Ancak öte yandan, bu derecenin 256'ya eşit olduğunu kesin olarak biliyoruz! Yani ikilinin bize ne kadar 256 verdiğini hatırlıyoruz. Hatırladın mı? Evet! AT sekizinci derece!

256 = 2 8

Sorunun derecelerini hatırlamadıysanız veya tanımadıysanız, o zaman sorun değil: sırayla ikisini kareye, kübe, dördüncü güce, beşinciye vb. Seçim, aslında, ama bu seviyede, epey zorlu.

Öyle ya da böyle, şunları elde edeceğiz:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Yani 768 dokuzuncu ilerlememizin üyesi. İşte bu, sorun çözüldü.)

Cevap: 9

Ne? Sıkıcı? İlkokuldan bıktınız mı? Kabul ediyorum. Ve ben de Bir sonraki seviyeye geçelim.)

Daha karmaşık görevler.

Ve şimdi bulmacaları daha ani bir şekilde çözüyoruz. Tam olarak süper havalı değil, ama cevaba ulaşmak için üzerinde biraz çalışmanız gerekiyor.

Örneğin, bunun gibi.

Dördüncü terimi -24 ve yedinci terimi 192 ise geometrik dizinin ikinci terimini bulun.

Bu, türün bir klasiğidir. İlerlemenin iki farklı üyesi biliniyor, ancak bir üye daha bulunması gerekiyor. Ayrıca, tüm üyeler komşu DEĞİLDİR. İlk başta kafa karıştıran şey, evet ...

İçinde olduğu gibi , bu tür sorunları çözmek için iki yöntem düşünüyoruz. İlk yol evrenseldir. Cebirsel. Tüm kaynak verilerle kusursuz çalışır. Böylece başlayacağımız yer orasıdır.)

Her terimi formüle göre boyarız ninci üye!

Her şey aritmetik bir ilerlemeyle tamamen aynıdır. Sadece bu sefer birlikte çalışıyoruz bir diğer Genel formül. Hepsi bu.) Ama özü aynı: alıyoruz ve sırayla ilk verilerimizi n'inci terimin formülüyle değiştiriyoruz. Her üye için - kendi.

Dördüncü dönem için şunu yazıyoruz:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Var. Bir denklem tamamlandı.

Yedinci dönem için şunu yazıyoruz:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

için toplamda iki denklem elde edilmiştir. aynı ilerleme .

Onlardan bir sistem kuruyoruz:

Müthiş görünümüne rağmen, sistem oldukça basittir. Çözmenin en bariz yolu olağan ikamedir. ifade ediyoruz b 1 üst denklemden ve aşağıdakine yerine koyun:

Alt denklemle biraz uğraşmak (üsleri azaltmak ve -24'e bölmek) şunu verir:

q 3 = -8

Bu arada, aynı denklem daha basit bir şekilde elde edilebilir! Ne? Şimdi size bu tür sistemleri çözmek için başka bir sır ama çok güzel, güçlü ve kullanışlı bir yol göstereceğim. Denklemlerinde oturdukları bu tür sistemler sadece çalışır. En azından birinde. aranan terim bölme yöntemi bir denklem diğerine.

Yani bir sistemimiz var:

Soldaki her iki denklemde - iş, ve sağda sadece bir sayı var. Bu çok iyi bir işaret.) Alalım ve ... alt denklemi üstteki denkleme bölelim! Ne demek, bir denklemi diğerine bölmek?Çok basit. biz alırız Sol Taraf bir denklem (alt) ve bölüşürüz onun üzerinde Sol Taraf başka bir denklem (üstte). Sağ taraf benzer: Sağ Taraf bir denklem bölüşürüzüzerinde Sağ Taraf bir diğer.

Tüm bölme işlemi şöyle görünür:

Şimdi, azaltılan her şeyi azaltarak şunu elde ederiz:

q 3 = -8

Bu yöntemin nesi iyi? Evet, çünkü böyle bir bölünme sürecinde kötü ve uygunsuz olan her şey güvenli bir şekilde azaltılabilir ve geriye tamamen zararsız bir denklem kalır! Bu yüzden sahip olmak çok önemli sadece çarpmalar sistemin denklemlerinden en az birinde. Çarpma yok - azaltılacak bir şey yok, evet ...

Genel olarak, bu yöntem (sistemleri çözmenin önemsiz olmayan diğer birçok yolu gibi) ayrı bir dersi bile hak ediyor. Kesinlikle daha yakından bakacağım. bir gün…

Ancak, sistemi nasıl çözerseniz çözün, her durumda, şimdi ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

q 3 = -8

Sorun değil: kökü (kübik) çıkarıyoruz ve - bitti!

Çıkartırken buraya artı/eksi koymanın gerekli olmadığına lütfen dikkat edin. Tek (üçüncü) derece kökümüz var. Ve cevap aynı, evet.

Böylece, ilerlemenin paydası bulunur. Eksi iki. Harika! Süreç devam ediyor.)

İlk terim için (en üstteki denklemden diyelim) şunu elde ederiz:

Harika! İlk terimi biliyoruz, paydayı biliyoruz. Ve şimdi ilerlemenin herhangi bir üyesini bulma fırsatımız var. İkincisi dahil.)

İkinci üye için her şey oldukça basit:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Cevap: -6

Böylece, problemi çözmenin cebirsel yolunu çözdük. Zor? Çok değil, katılıyorum. Uzun ve sıkıcı mı? Evet kesinlikle. Ancak bazen iş miktarını önemli ölçüde azaltabilirsiniz. Bunun için var grafik yolu.İyi eski ve bize tanıdık .)

Problemi çizelim!

Evet! Aynen öyle. Yine sayı ekseninde ilerlememizi gösteriyoruz. Mutlaka bir cetvel tarafından değil, üyeler arasında eşit aralıklar sağlamak gerekli değildir (bu arada, ilerleme geometrik olduğu için aynı olmayacaktır!), Ama sadece şematik olarak sıramızı çizelim.

Ben şöyle anladım:

Şimdi resme bakın ve düşünün. Kaç eşit faktör "q" paylaşır dördüncü ve yedinciüyeler? Bu doğru, üç!

Bu nedenle, şunları yazmaya hakkımız var:

-24q 3 = 192

Buradan q'yu bulmak artık çok kolay:

q 3 = -8

q = -2

Bu harika, payda zaten cebimizde. Ve şimdi resme tekrar bakıyoruz: arasında bu tür kaç payda var? ikinci ve dördüncüüyeler? İki! Bu nedenle, bu üyeler arasındaki ilişkiyi kaydetmek için paydayı yükselteceğiz. kare.

İşte yazıyoruz:

b 2 · q 2 = -24 , nerede b 2 = -24/ q 2

Bulunan paydamızı b2 ifadesinde yerine koyuyoruz, sayıyoruz ve elde ediyoruz:

Cevap: -6

Gördüğünüz gibi, her şey sistemden çok daha basit ve hızlı. Üstelik burada ilk terimi saymamıza bile gerek yoktu! Hiç.)

İşte böyle basit ve görsel bir ışık yolu. Ama aynı zamanda ciddi bir dezavantajı var. Tahmin mi ettin? Evet! Sadece çok kısa ilerleme parçaları için iyidir. Bizi ilgilendiren üyeler arasındaki mesafelerin çok büyük olmadığı yerler. Ama diğer tüm durumlarda, bir resim çizmek zaten zordur, evet ... O zaman sorunu bir sistem aracılığıyla analitik olarak çözeriz.) Ve sistemler evrensel bir şeydir. Herhangi bir numara ile anlaşma.

Başka bir epik:

Geometrik dizide ikinci terim birinciden 10, üçüncü terim ikinciden 30 fazladır. İlerlemenin paydasını bulun.

Ne güzel? Hiç de bile! Hepsi aynı. Problemin durumunu tekrar saf cebire çeviriyoruz.

1) Her terimi formüle göre boyarız ninci üye!

İkinci terim: b 2 = b 1 q

Üçüncü terim: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Problemin durumundan üyeler arasındaki ilişkiyi yazıyoruz.

Koşulu okumak: "Geometrik ilerlemenin ikinci terimi, birincisinden 10 fazladır." Dur, bu değerli!

Öyleyse yazıyoruz:

b 2 = b 1 +10

Ve bu ifadeyi saf matematiğe çeviriyoruz:

b 3 = b 2 +30

İki denklemimiz var. Bunları bir sistemde birleştiriyoruz:

Sistem basit görünüyor. Ancak harfler için pek çok farklı dizin vardır. İlk üye ve payda üzerinden ifadelerinin ikinci ve üçüncü üyeleri yerine koyalım! Boşuna mı yoksa ne, onları boyadık mı?

Biz:

Ama böyle bir sistem artık bir hediye değil, evet ... Bu nasıl çözülür? Ne yazık ki, karmaşık çözmek için evrensel gizli büyü doğrusal olmayan Matematikte sistem yoktur ve olamaz. Fantastik! Ancak bu kadar çetin bir ceviz kırmaya çalışırken aklınıza gelmesi gereken ilk şey, Ama sistemin denklemlerinden biri, örneğin değişkenlerden birini diğeri cinsinden ifade etmeyi kolaylaştıran güzel bir forma indirgenmiş değil mi?

Haydi tahmin edelim. Sistemin ilk denklemi açıkça ikincisinden daha basittir. Ona işkence edeceğiz.) Neden ilk denklemden denemiyorsunuz? bir şey yoluyla ifade etmek bir şey? Paydayı bulmak istediğimiz için q ifade etmek bizim için en avantajlı olacaktır. b 1 vasıtasıyla q.

Öyleyse, eski güzel denklemleri kullanarak bu prosedürü ilk denklemle yapmaya çalışalım:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Her şey! Burada ifade ettik gereksiz bize değişken (b 1) aracılığıyla gerekli(q). Evet, alınan en basit ifade değil. Bir tür kesir ... Ama sistemimiz iyi bir seviyede, evet.)

Tipik. Ne yapalım - biliyoruz.

ODZ yazıyoruz (mutlaka!) :

q ≠ 1

Her şeyi payda (q-1) ile çarpıyoruz ve tüm kesirleri azaltıyoruz:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Her şeyi ona bölüyoruz, parantezleri açıyoruz, soldaki her şeyi topluyoruz:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Sonucu çözeriz ve iki kök elde ederiz:

q 1 = 1

q 2 = 3

Son bir cevap var: q = 3 .

Cevap: 3

Gördüğünüz gibi, bir geometrik dizinin n'inci üyesinin formülüyle ilgili çoğu sorunu çözmenin yolu her zaman aynıdır: dikkatlice problemin durumunu ve n'inci terimin formülünü kullanarak, tüm faydalı bilgileri saf cebire çeviriyoruz.

Yani:

1) Problemde verilen her elemanı formüle göre ayrı ayrı yazarız.ninci üye

2) Problemin durumundan üyeler arasındaki bağlantıyı matematiksel forma çeviriyoruz. Bir denklem veya bir denklem sistemi oluşturuyoruz.

3) Ortaya çıkan denklemi veya denklem sistemini çözeriz, ilerlemenin bilinmeyen parametrelerini buluruz.

4) Belirsiz bir cevap olması durumunda, (varsa) ek bilgi aramak için sorunun durumunu dikkatlice okuruz. Ayrıca, alınan yanıtı (varsa) ODZ'nin koşullarıyla da kontrol ederiz.

Ve şimdi geometrik ilerleme problemlerini çözme sürecinde en sık hatalara yol açan ana problemleri listeliyoruz.

1. Temel aritmetik. Kesirler ve negatif sayılarla işlemler.

2. Bu üç noktadan en az biri sorunsa, bu konuda kaçınılmaz olarak yanılırsınız. Ne yazık ki... Bu yüzden tembel olmayın ve yukarıda belirtilenleri tekrarlayın. Ve bağlantıları takip edin - gidin. Bazen yardımcı olur.)

Değiştirilmiş ve yinelenen formüller.

Şimdi, durumun daha az bilinen bir sunumuyla birkaç tipik sınav problemine bakalım. Evet, evet, tahmin ettiniz! BT değiştirilmiş ve yinelenen n'inci üyenin formülleri. Bu tür formüllerle zaten karşılaştık ve aritmetik ilerlemede çalıştık. Burada her şey benzer. Öz aynı.

Örneğin, OGE'den böyle bir sorun:

Geometrik ilerleme formül tarafından verilir bn = 3 2 n . Birinci ve dördüncü terimlerin toplamını bulun.

Bu sefer ilerleme bize her zamanki gibi değil. Bir çeşit formül. Ne olmuş? Bu formül ayrıca bir formülninci üye! n'inci terimin formülünün hem genel biçimde, hem de harflerle yazılabileceğini hepimiz biliyoruz. belirli ilerleme. İTİBAREN özel birinci terim ve payda.

Bizim durumumuzda, aslında, aşağıdaki parametrelerle bir geometrik ilerleme için genel bir terim formülü verilmiştir:

b 1 = 6

q = 2

Kontrol edelim mi?) n'inci terimin formülünü genel formda yazalım ve yerine koyalım b 1 ve q. Biz:

bn = b 1 · q n -1

bn= 6 2n -1

Çarpanlara ayırma ve güç özelliklerini kullanarak basitleştiririz ve şunu elde ederiz:

bn= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Gördüğünüz gibi, her şey adil. Ancak sizinle amacımız, belirli bir formülün türetildiğini göstermek değildir. Bu çok, lirik bir ara söz. Tamamen anlamak içindir.) Amacımız koşulda bize verilen formüle göre sorunu çözmektir. Anladınız mı?) Yani doğrudan değiştirilmiş formülle çalışıyoruz.

İlk terimi sayıyoruz. Vekil n=1 genel formüle:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Bunun gibi. Bu arada, çok tembel değilim ve bir kez daha dikkatinizi ilk terimin hesaplanmasıyla ilgili tipik bir hataya çekeceğim. Formüle bakmayın bn= 3 2n, hemen ilk üyenin bir troyka olduğunu yazmak için acele edin! Bu büyük bir hata, evet...)

devam ediyoruz. Vekil n=4 ve dördüncü terimi düşünün:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Son olarak, gerekli miktarı hesaplıyoruz:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Cevap: 54

Başka bir problem.

Geometrik ilerleme, koşullar tarafından verilir:

b 1 = -7;

bn +1 = 3 bn

Dizinin dördüncü terimini bulun.

Burada ilerleme, yinelenen formülle verilir. İyi tamam.) Bu formülle nasıl çalışılır? - biz de biliyoruz.

İşte oynuyoruz. Adım adım.

1) iki saymak ardışık ilerlemenin üyesi.

İlk terim zaten bize verildi. Eksi yedi. Ancak bir sonraki ikinci terim, özyinelemeli formül kullanılarak kolayca hesaplanabilir. Tabii nasıl çalıştığını anlarsanız.)

Burada ikinci terimi ele alıyoruz ünlüye göre birinci:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) İlerlemenin paydasını dikkate alıyoruz

Ayrıca sorun yok. Düz, paylaş ikinciçük üzerinde ilk.

Biz:

q = -21/(-7) = 3

3) Formülü yazınninci üyeyi olağan biçimde ve istenen üyeyi göz önünde bulundurun.

Yani ilk terimi, paydayı da biliyoruz. İşte yazıyoruz:

bn= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Cevap: -189

Gördüğünüz gibi, geometrik bir ilerleme için bu tür formüllerle çalışmak, temelde aritmetik bir diziden farklı değildir. Sadece bu formüllerin genel özünü ve anlamını anlamak önemlidir. Eh, geometrik ilerlemenin anlamının da anlaşılması gerekiyor, evet.) Ve o zaman aptalca hatalar olmayacak.

Peki, kendi başımıza karar verelim mi?)

Isınma için oldukça temel görevler:

1. Geometrik bir ilerleme verildiğinde b 1 = 243 ve q = -2/3. İlerlemenin altıncı terimini bulun.

2. Geometrik ilerlemenin ortak terimi aşağıdaki formülle verilir: bn = 5∙2 n +1 . Bu ilerlemenin son üç basamaklı üyesinin numarasını bulun.

3. Geometrik ilerleme, koşullar tarafından verilir:

b 1 = -3;

bn +1 = 6 bn

Dizinin beşinci terimini bulun.

Biraz daha karmaşık:

4. Geometrik bir ilerleme verildiğinde:

b 1 =2048; q =-0,5

Bunun altıncı negatif terimi nedir?

Süper zor görünen nedir? Hiç de bile. Mantık ve geometrik ilerlemenin anlamının anlaşılması kurtaracaktır. Tabii ki n'inci terimin formülü.

5. Geometrik dizinin üçüncü terimi -14 ve sekizinci terimi 112'dir. Dizinin paydasını bulunuz.

6. Bir geometrik dizinin birinci ve ikinci terimlerinin toplamı 75, ikinci ve üçüncü terimlerinin toplamı 150'dir. Dizinin altıncı terimini bulunuz.

Cevaplar (dağınık): 6; -3888; -bir; 800; -32; 448.

Neredeyse hepsi bu. Sadece nasıl sayılacağını öğrenmek için kalır bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı evet keşfet sonsuz azalan geometrik ilerleme ve miktarı. Bu arada, çok ilginç ve alışılmadık bir şey! Daha sonraki derslerde bununla ilgili daha fazla bilgi.)

Geometrik ilerleme, ilk terimi sıfır olmayan ve sonraki her terim önceki terimin sıfır olmayan aynı sayı ile çarpımına eşit olan sayısal bir dizidir. Geometrik ilerleme b1,b2,b3, …, bn, … ile gösterilir.

Geometrik ilerlemenin özellikleri

Geometrik hatanın herhangi bir teriminin önceki terimine oranı aynı sayıya eşittir, yani b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Bu, doğrudan bir aritmetik ilerlemenin tanımından kaynaklanır. Bu sayıya geometrik ilerlemenin paydası denir. Genellikle geometrik bir ilerlemenin paydası q harfi ile gösterilir.

Bir geometrik ilerleme belirlemenin bir yolu, ilk terimini b1 ve geometrik hata q'nun paydasını ayarlamaktır. Örneğin, b1=4, q=-2. Bu iki koşul 4, -8, 16, -32, … şeklinde bir geometrik dizi verir.

q>0 ise (q 1'e eşit değildir), o zaman ilerleme monoton bir dizidir. Örneğin, 2, 4,8,16,32, ... dizisi monoton artan bir dizidir (b1=2, q=2).

Geometrik hatada payda q=1 ise, geometrik dizinin tüm üyeleri birbirine eşit olacaktır. Bu gibi durumlarda, ilerlemenin sabit bir dizi olduğu söylenir.

İlerlemenin n'inci üyesinin formülü

Sayısal dizinin (bn) geometrik bir ilerleme olması için, ikinciden başlayarak her bir üyesinin, komşu üyelerin geometrik ortalaması olması gerekir. Yani, n'nin N doğal sayılar kümesine ait olduğu herhangi bir n>0 için (b(n+1))^2 = bn * b(n+2) denklemini yerine getirmek gerekir.

Bir geometrik dizinin n'inci üyesi için formül şöyledir:

bn=b1*q^(n-1), burada n, N doğal sayılar kümesine aittir.

Basit bir örnek düşünün:

Geometrik dizide b1=6, q=3, n=8 bn'yi bulun.

Bir geometrik dizinin n'inci üyesinin formülünü kullanalım.