วิธีการสแกน - รูปแบบของกรวยหรือกรวยที่ถูกตัดตามขนาดที่กำหนด การคำนวณการกวาดอย่างง่าย ปริมาตรของกรวย การคำนวณ ปริมาตรของหนวดของกรวย

หนึ่งในรูปทรงเรขาคณิตที่น่าสนใจที่สุดคือกรวย เกิดจากการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากรอบขาข้างหนึ่ง

วิธีหาปริมาตรของกรวย - แนวคิดพื้นฐาน

ก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณปริมาตรของทรงกรวย คุณควรทำความคุ้นเคยกับแนวคิดพื้นฐานเสียก่อน

• กรวยกลม - ฐานของกรวยนั้นเป็นวงกลม ถ้าฐานเป็นวงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา ตัวเลขเหล่านั้นจะเรียกว่ากรวยทรงรี พาราโบลา หรือไฮเปอร์โบลา เป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การจดจำว่ากรวยสองประเภทสุดท้ายมีปริมาตรไม่สิ้นสุด
• กรวยที่ถูกตัดเป็นส่วนของกรวยที่อยู่ระหว่างฐานและระนาบที่ขนานกับฐานนี้ ซึ่งอยู่ระหว่างด้านบนและฐาน
• ความสูง - ส่วนที่ตั้งฉากกับฐานปล่อยจากด้านบน
• เจเนอราทริกซ์ของกรวยคือส่วนที่เชื่อมระหว่างขอบของฐานและด้านบน

ปริมาณกรวย

ในการคำนวณปริมาตรของกรวย จะใช้สูตร V=1/3*S*H โดยที่ S คือพื้นที่ฐาน H คือความสูง เนื่องจากฐานของกรวยเป็นวงกลม พื้นที่ของกรวยจึงหาได้จากสูตร S= nR^2 โดยที่ n = 3.14, R คือรัศมีของวงกลม

มีบางสถานการณ์ที่ไม่ทราบพารามิเตอร์บางอย่าง: ความสูง รัศมี หรือ generatrix ในกรณีนี้ ควรใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ส่วนตามแนวแกนของกรวยเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป โดยที่ l คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และ H และ R คือขา จากนั้น l=(H^2+R^2)^1/2

ปริมาตรกรวยที่ถูกตัดทอน

กรวยที่ถูกตัดเป็นกรวยที่มียอดตัด

ในการหาปริมาตรของกรวย คุณต้องใช้สูตร:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

โดยที่ n=3.14, r คือรัศมีของวงกลมส่วน, R คือรัศมีของฐานขนาดใหญ่, H คือความสูง

ส่วนตามแนวแกนของกรวยที่ถูกตัดจะเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ดังนั้นหากจำเป็นต้องหาความยาวของเจนเนอราทริกซ์ของกรวยหรือรัศมีของวงกลมวงใดวงหนึ่ง ควรใช้สูตรเพื่อหาด้านและฐานของสี่เหลี่ยมคางหมู

จงหาปริมาตรของกรวย ถ้าความสูงของกรวยคือ 8 ซม. และรัศมีของฐานคือ 3 ซม.

กำหนด: H=8 cm, R=3 cm.

ขั้นแรก ให้หาพื้นที่ฐานโดยใช้สูตร S=nR^2

S=3.14*3^2=28.26ซม.^2

ตอนนี้ใช้สูตร V=1/3*S*H เราจะหาปริมาตรของกรวย

V=1/3*28.26*8=75.36ซม.^3

รูปทรงกรวยมีอยู่ทุกที่: กรวยจอดรถ เสาอาคาร โป๊ะโคม ดังนั้น บางครั้งการรู้วิธีหาปริมาตรของกรวยอาจมีประโยชน์ทั้งในการทำงานและในชีวิตประจำวัน

แทนที่จะใช้คำว่า "รูปแบบ" บางครั้งใช้ "การกวาด" แต่คำนี้คลุมเครือ: ตัวอย่างเช่น รีมเมอร์เป็นเครื่องมือสำหรับเพิ่มเส้นผ่านศูนย์กลางของรู และในเทคโนโลยีอิเล็กทรอนิกส์มีแนวคิดของรีมเมอร์ ดังนั้น แม้ว่าฉันจำเป็นต้องใช้คำว่า "การกวาดโคน" เพื่อให้เครื่องมือค้นหาสามารถค้นหาบทความนี้ได้ แต่ฉันก็จะใช้คำว่า "แบบแผน"

การสร้างรูปแบบกรวยเป็นเรื่องง่าย ให้เราพิจารณาสองกรณี: สำหรับกรวยเต็มและสำหรับกรวยที่ถูกตัดออก บนรูปภาพ (คลิกเพื่อดูภาพขยาย)ภาพร่างของกรวยดังกล่าวและรูปแบบจะแสดง (ฉันทราบทันทีว่าเราจะพูดถึงกรวยตรงที่มีฐานกลมเท่านั้น เราจะพิจารณากรวยที่มีฐานวงรีและกรวยเอียงในบทความต่อไปนี้)

1. เรียวเต็ม

ชื่อ:

พารามิเตอร์รูปแบบคำนวณโดยสูตร:
;
;
ที่ไหน .

2. กรวยที่ถูกตัดทอน

ชื่อ:

สูตรคำนวณพารามิเตอร์รูปแบบ:
;
;
;
ที่ไหน .
โปรดทราบว่าสูตรเหล่านี้ยังเหมาะสำหรับกรวยแบบเต็มหากเราแทนที่

บางครั้ง เมื่อสร้างกรวย ค่าของมุมที่จุดยอดของมัน (หรือที่จุดยอดจินตภาพ ถ้ากรวยถูกตัด) เป็นค่าพื้นฐาน ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคือเมื่อคุณต้องการกรวยหนึ่งอันเพื่อให้พอดีกับอีกอันหนึ่ง แสดงมุมนี้ด้วยตัวอักษร (ดูรูป)
ในกรณีนี้ เราสามารถใช้แทนค่าอินพุตหนึ่งในสามค่า: , หรือ ทำไม"กัน เกี่ยวกับ" ไม่ใช่ " กัน อี"? เนื่องจากพารามิเตอร์สามตัวเพียงพอที่จะสร้างกรวยและค่าของค่าที่สี่จะถูกคำนวณผ่านค่าของอีกสามค่า เหตุใดจึงสาม ไม่ใช่สองหรือสี่ จึงเป็นคำถามที่อยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้ เสียงลึกลับบอกฉันว่าสิ่งนี้เชื่อมโยงกับสามมิติของวัตถุ "กรวย" (เปรียบเทียบกับพารามิเตอร์เริ่มต้นสองตัวของออบเจกต์เซ็กเมนต์วงกลมสองมิติ ซึ่งเราได้คำนวณพารามิเตอร์อื่นๆ ทั้งหมดในบทความ)

ด้านล่างนี้เป็นสูตรที่กำหนดพารามิเตอร์ที่สี่ของกรวยเมื่อกำหนดสามค่า

4. วิธีการสร้างแบบ

• คำนวณค่าบนเครื่องคิดเลขและสร้างรูปแบบบนกระดาษ (หรือบนโลหะทันที) โดยใช้เข็มทิศ ไม้บรรทัด และไม้โปรแทรกเตอร์
• ป้อนสูตรและข้อมูลต้นฉบับลงในสเปรดชีต (เช่น Microsoft Excel) ผลลัพธ์ที่ได้จะใช้ในการสร้างรูปแบบโดยใช้โปรแกรมแก้ไขกราฟิก (เช่น CorelDRAW)
• ใช้โปรแกรมของฉันซึ่งจะวาดบนหน้าจอและพิมพ์รูปแบบกรวยด้วยพารามิเตอร์ที่กำหนด รูปแบบนี้สามารถบันทึกเป็นไฟล์เวกเตอร์และนำเข้าสู่ CorelDRAW

5. ฐานไม่ขนานกัน

เท่าที่เกี่ยวข้องกับกรวยที่ถูกตัด โปรแกรม Cones ยังคงสร้างรูปแบบสำหรับกรวยที่มีฐานขนานกันเท่านั้น
สำหรับผู้ที่กำลังมองหาวิธีสร้างรูปแบบกรวยแบบปลายแหลมที่มีฐานไม่ขนาน นี่คือลิงค์ที่ผู้เยี่ยมชมไซต์ให้มา:
กรวยปลายแหลมที่มีฐานไม่ขนานกัน

การพัฒนาพื้นผิวของกรวยเป็นรูปแบนที่ได้จากการรวมพื้นผิวด้านข้างและฐานของกรวยเข้ากับระนาบที่แน่นอน

ตัวเลือกการก่อสร้างกวาด:

การพัฒนากรวยเวียนขวา

การพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของกรวยกลมด้านขวาเป็นภาควงกลม รัศมีซึ่งเท่ากับความยาวของเจนเนอราทริกซ์ของพื้นผิวกรวย l และมุมศูนย์กลาง φ ถูกกำหนดโดยสูตร φ=360*R/ l โดยที่ R คือรัศมีของเส้นรอบฐานของกรวย

ในปัญหาต่างๆ ของเรขาคณิตเชิงพรรณนา วิธีแก้ปัญหาที่ต้องการคือการประมาณ (การแทนที่) ของกรวยด้วยปิรามิดที่จารึกไว้ในนั้นและการสร้างการกวาดโดยประมาณซึ่งสะดวกในการวาดเส้นที่วางอยู่บนพื้นผิวทรงกรวย

อัลกอริทึมการก่อสร้าง

1. เราใส่พีระมิดรูปหลายเหลี่ยมลงบนพื้นผิวรูปกรวย ยิ่งใบหน้าด้านข้างของพีระมิดจารึกไว้มากเท่าใด ความสอดคล้องกันระหว่างการสแกนจริงและการสแกนโดยประมาณก็ยิ่งแม่นยำมากขึ้นเท่านั้น
2. เราสร้างการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิดโดยใช้วิธีการสามเหลี่ยม จุดที่อยู่ในฐานของกรวยเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบ

ตัวอย่าง

ในรูปด้านล่าง SABCDEF พีระมิดหกเหลี่ยมปกติถูกจารึกไว้ในกรวยกลมด้านขวา และการพัฒนาโดยประมาณของพื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสามเหลี่ยมหน้าจั่วหกรูป ซึ่งเป็นหน้าของพีระมิด

พิจารณารูปสามเหลี่ยม S 0 A 0 B 0 . ความยาวของด้าน S 0 A 0 และ S 0 B 0 เท่ากับ generatrix l ของพื้นผิวทรงกรวย ค่า A 0 B 0 สอดคล้องกับความยาว A'B' ในการสร้างรูปสามเหลี่ยม S 0 A 0 B 0 ในสถานที่โดยพลการของรูปวาด เราแยกส่วน S 0 A 0 =l หลังจากนั้นเราวาดวงกลมที่มีรัศมี S 0 B 0 =l และ A 0 B 0 = A'B' จากจุด S 0 และ A 0 ตามลำดับ เราเชื่อมต่อจุดตัดของวงกลม B 0 กับจุด A 0 และ S 0 .

ใบหน้า S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 ของพีระมิด SABCDEF ถูกสร้างขึ้นคล้ายกับสามเหลี่ยม S 0 A 0 บี 0 .

จุด A, B, C, D, E และ F ซึ่งอยู่ที่ฐานของกรวยเชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้งเรียบ - ส่วนโค้งของวงกลมซึ่งมีรัศมีเท่ากับ l

การพัฒนากรวยเฉียง

พิจารณาขั้นตอนการสร้างกวาดพื้นผิวด้านข้างของกรวยเอียงด้วยวิธีประมาณ

อัลกอริทึม

1. เราเขียนรูปหกเหลี่ยม 123456 ในวงกลมของฐานของกรวย เชื่อมต่อจุด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ด้วยจุดยอด S พีระมิด S123456 ที่สร้างขึ้นด้วยวิธีนี้มีค่าประมาณในระดับหนึ่ง ทดแทนพื้นผิวทรงกรวยและใช้ในการก่อสร้างต่อไป
2. เรากำหนดค่าธรรมชาติของขอบปิรามิดโดยใช้วิธีการหมุนรอบเส้นฉาย: ในตัวอย่างใช้แกน i ซึ่งตั้งฉากกับระนาบการฉายแนวนอนและผ่านจุดยอด S
   ดังนั้น จากการหมุนของขอบ S5 การฉายภาพแนวนอนใหม่ S'5' 1 จึงอยู่ในตำแหน่งที่ขนานกับระนาบด้านหน้า π 2 . ดังนั้น S''5'' 1 จึงเป็นค่าตามธรรมชาติของ S5
3. เราสร้างการพัฒนาพื้นผิวด้านข้างของปิรามิด S123456 ซึ่งประกอบด้วยสามเหลี่ยมหกรูป: 0 1 0 . การสร้างรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปจะดำเนินการในสามด้าน ตัวอย่างเช่น △S 0 1 0 6 0 มีความยาว S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'

ระดับความสอดคล้องของการกวาดโดยประมาณกับของจริงขึ้นอยู่กับจำนวนหน้าของพีระมิดที่จารึกไว้ จำนวนใบหน้าจะถูกเลือกตามความง่ายในการอ่านภาพวาด ข้อกำหนดสำหรับความแม่นยำ การมีอยู่ของจุดและเส้นที่มีลักษณะเฉพาะซึ่งจำเป็นต้องถ่ายโอนไปยังการสแกน

การถ่ายโอนเส้นจากพื้นผิวของกรวยไปยังการพัฒนา

เส้น n ที่วางอยู่บนพื้นผิวของกรวยนั้นเกิดขึ้นจากจุดตัดกับระนาบหนึ่ง (รูปด้านล่าง) พิจารณาอัลกอริทึมสำหรับการสร้างบรรทัดที่ n ในการกวาด

อัลกอริทึม

1. ค้นหาเส้นโครงของจุด A, B และ C ซึ่งเส้น n ตัดขอบพีระมิดที่เขียนไว้ในกรวย S123456
2. เรากำหนดขนาดจริงของส่วน SA, SB, SC โดยการหมุนรอบเส้นฉาย ในตัวอย่างนี้ SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1
3. เราพบตำแหน่งของจุด A 0 , B 0 , C 0 บนขอบที่สอดคล้องกันของปิรามิดโดยแยกส่วน S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. เราเชื่อมต่อจุด A 0 , B 0 , C 0 ด้วยเส้นเรียบ

การพัฒนากรวยที่ถูกตัดทอน

วิธีการสร้างการกวาดของกรวยที่ถูกตัดเป็นวงกลมด้านขวา ดังที่อธิบายไว้ด้านล่างนี้ ขึ้นอยู่กับหลักการของความคล้ายคลึงกัน

ในเรขาคณิต กรวยที่ถูกตัดเป็นรูปกรวยที่เกิดจากการหมุนของสี่เหลี่ยมคางหมูรอบด้านนั้น ซึ่งตั้งฉากกับฐาน พวกเขาคำนวณอย่างไร ปริมาตรกรวยที่ถูกตัดทอนทุกคนรู้จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนและในทางปฏิบัติความรู้นี้มักใช้โดยนักออกแบบเครื่องจักรและกลไกต่าง ๆ ผู้พัฒนาสินค้าอุปโภคบริโภคและสถาปนิก

การคำนวณปริมาตรของกรวยที่ถูกตัด

สูตรคำนวณปริมาตรของกรวยที่ถูกตัด

ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดคำนวณโดยสูตร:

ชม.- ความสูงของกรวย

ร- รัศมีของฐานชั้นบน

ร- รัศมีฐานด้านล่าง

วี- ปริมาตรของกรวยที่ถูกตัดทอน

π - 3,14

ด้วยรูปทรงเรขาคณิตเช่น กรวยที่ถูกตัดทอนในชีวิตประจำวันทุกคนพบเจอค่อนข้างบ่อยถ้าไม่ต่อเนื่อง รูปร่างของมันมีภาชนะหลากหลายที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตประจำวัน: ถัง, แก้วน้ำ, ถ้วยบางชนิด มันไปโดยไม่บอกว่านักออกแบบที่พัฒนาพวกเขาต้องใช้สูตรคำนวณ ปริมาตรกรวยที่ถูกตัดทอนเนื่องจากค่านี้มีความสำคัญมากในกรณีนี้ เนื่องจากจะเป็นตัวกำหนดคุณลักษณะที่สำคัญ เช่น ความจุของผลิตภัณฑ์

โครงสร้างทางวิศวกรรมซึ่งได้แก่ กรวยที่ถูกตัดทอนมักจะเห็นได้ในองค์กรอุตสาหกรรมขนาดใหญ่ เช่นเดียวกับโรงไฟฟ้าพลังความร้อนและนิวเคลียร์ เป็นรูปแบบนี้ที่หอทำความเย็นมี - อุปกรณ์ที่ออกแบบมาเพื่อระบายความร้อนของน้ำปริมาณมากโดยบังคับให้อากาศในชั้นบรรยากาศสวนทางกัน บ่อยครั้งที่การออกแบบเหล่านี้ใช้ในกรณีที่จำเป็นต้องลดอุณหภูมิของของเหลวจำนวนมากในเวลาอันสั้น ผู้พัฒนาโครงสร้างเหล่านี้จะต้องกำหนด ปริมาตรกรวยที่ถูกตัดทอนสูตรการคำนวณที่ค่อนข้างง่ายและเป็นที่รู้จักสำหรับทุกคนที่เคยเรียนเก่งในโรงเรียนมัธยม

รายละเอียดที่มีรูปทรงเรขาคณิตนี้มักพบในการออกแบบอุปกรณ์ทางเทคนิคต่างๆ ตัวอย่างเช่น เฟืองที่ใช้ในระบบที่จำเป็นต้องเปลี่ยนทิศทางของการส่งจลนศาสตร์มักใช้เฟืองดอกจอก ชิ้นส่วนเหล่านี้เป็นส่วนประกอบสำคัญของกระปุกเกียร์ต่างๆ รวมถึงกระปุกเกียร์อัตโนมัติและเกียร์ธรรมดาที่ใช้ในยานพาหนะสมัยใหม่

รูปร่างของกรวยที่ถูกตัดออกมีเครื่องมือตัดบางชนิดที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการผลิต เช่น หัวกัด ด้วยความช่วยเหลือของพวกเขาคุณสามารถประมวลผลพื้นผิวที่เอียงได้ในมุมที่กำหนด สำหรับการลับคมใบมีดของอุปกรณ์งานโลหะและงานไม้ มักใช้ล้อขัดซึ่งเป็นกรวยแบบตัดเช่นกัน นอกจากนี้, ปริมาตรกรวยที่ถูกตัดทอนจำเป็นต้องกำหนดผู้ออกแบบเครื่องกลึงและเครื่องกัด ซึ่งเกี่ยวข้องกับการยึดเครื่องมือตัดที่มีด้ามเรียว (ดอกสว่าน ดอกรีมเมอร์ ฯลฯ)