ลดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตอย่างไม่มีที่สิ้นสุดทางออนไลน์ สูตรสำหรับผลรวมของสมาชิก n ตัวแรกของ GP ปัญหาการคำนวณดอกเบี้ยทบต้น

ลำดับตัวเลข VI

§ ล.48 ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

จนถึงขณะนี้ เมื่อพูดถึงผลรวม เรามักสันนิษฐานเสมอว่าจำนวนพจน์ในผลรวมเหล่านี้มีจำกัด (เช่น 2, 15, 1,000 เป็นต้น) แต่เมื่อแก้ปัญหาบางอย่าง (โดยเฉพาะคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น) เราจะต้องจัดการกับผลรวมของพจน์จำนวนไม่สิ้นสุด

ส= ก 1 + ก 2 + ... + ก น + ... . (1)

จำนวนเหล่านี้คืออะไร? โดยความหมาย ผลรวมของพจน์จำนวนอนันต์ ก 1 , ก 2 , ..., ก น , ... เรียกว่าลิมิตของผลรวมเอส น แรก พี ตัวเลขเมื่อ พี -> ∞ :

ส=ส น = (ก 1 + ก 2 + ... + ก น ). (2)

แน่นอนว่าขีดจำกัด (2) อาจมีหรือไม่มีก็ได้ ดังนั้น ผลรวม (1) จึงถูกกล่าวว่ามีอยู่หรือไม่มีอยู่

จะทราบได้อย่างไรว่าผลรวม (1) มีอยู่ในแต่ละกรณีหรือไม่? วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสำหรับคำถามนี้อยู่นอกเหนือขอบเขตของโปรแกรมของเรา อย่างไรก็ตาม มีกรณีพิเศษที่สำคัญประการหนึ่งที่เราต้องพิจารณาในขณะนี้ เราจะพูดถึงผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

อนุญาต ก 1 , ก 1 ถาม , ก 1 ถาม 2 , ... เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่า | ถาม |< 1. Сумма первых พี สมาชิกของความก้าวหน้านี้เท่ากับ

จากทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับขีดจำกัดของตัวแปร (ดู§ 136) เราได้รับ:

แต่ 1 = 1 ก คิว เอ็น = 0 ดังนั้น

ดังนั้น ผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดจะเท่ากับเทอมแรกของความก้าวหน้านี้ หารด้วย 1 ลบตัวส่วนของความก้าวหน้านี้

1) ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... คือ

และผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... เท่ากับ

2) เศษส่วนเป็นระยะอย่างง่าย 0.454545 ... เปลี่ยนเป็นเศษส่วนธรรมดา

เพื่อแก้ปัญหานี้ เราแสดงเศษส่วนนี้เป็นผลรวมที่ไม่สิ้นสุด:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้คือผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีสิ้นสุด ซึ่งเทอมแรกคือ 45/100 และตัวส่วนคือ 1/100 นั่นเป็นเหตุผล

ในลักษณะที่อธิบายไว้ กฎทั่วไปสำหรับการแปลงเศษส่วนตามคาบอย่างง่ายเป็นเศษส่วนธรรมดาสามารถหาได้ (ดูบทที่ II, § 38):

ในการแปลงเศษส่วนเป็นระยะอย่างง่ายให้เป็นเศษปกติคุณต้องดำเนินการดังนี้: ใส่จุดของเศษส่วนทศนิยมในตัวเศษและในตัวส่วน - ตัวเลขที่ประกอบด้วยเก้านำมาหลายครั้งตามที่มีตัวเลขในช่วงเวลา ของเศษส่วนทศนิยม

3) เศษธาตุผสม 0.58333 .... เปลี่ยนเป็นเศษส่วนสามัญ

แทนเศษส่วนนี้เป็นผลรวมที่ไม่สิ้นสุด:

ทางด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ พจน์ทั้งหมดซึ่งเริ่มต้นจาก 3/1000 จะสร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด พจน์แรกคือ 3/1000 และตัวส่วนคือ 1/10 นั่นเป็นเหตุผล

ในลักษณะที่อธิบายไว้ กฎทั่วไปสำหรับการแปลงเศษส่วนคาบผสมเป็นเศษส่วนธรรมดาก็สามารถรับได้เช่นกัน (ดูบทที่ II, § 38) เราจงใจที่จะไม่รวมไว้ที่นี่ ไม่จำเป็นต้องจำกฎที่ยุ่งยากนี้ มีประโยชน์มากกว่าที่จะรู้ว่าเศษส่วนคาบผสมใดๆ สามารถแสดงเป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและจำนวนจำนวนหนึ่ง และสูตร

สำหรับผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด แน่นอนว่าเราต้องจำไว้

ในแบบฝึกหัด เราขอเชิญคุณ นอกเหนือจากปัญหาหมายเลข 995-1000 ด้านล่าง ให้เปลี่ยนไปยังปัญหาหมายเลข 301 § 38 อีกครั้ง

การออกกำลังกาย

995. อะไรเรียกว่าผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด?

996. หาผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด:

997 สำหรับค่าอะไร เอ็กซ์ ความก้าวหน้า

ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด? ค้นหาผลรวมของความก้าวหน้าดังกล่าว

998. ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้าน ก สามเหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สามเหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีเดียวกัน และอื่น ๆ โฆษณาไม่มีที่สิ้นสุด

ก) ผลรวมของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมเหล่านี้ทั้งหมด

b) ผลรวมของพื้นที่ของพวกเขา

999. ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน ก สี่เหลี่ยมใหม่ถูกจารึกไว้โดยเชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้าง สี่เหลี่ยมถูกจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ในลักษณะเดียวกัน และอื่น ๆ โฆษณาไม่สิ้นสุด หาผลรวมของเส้นรอบรูปของกำลังสองเหล่านี้กับผลรวมของพื้นที่

1,000 สร้างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เพื่อให้ผลรวมเท่ากับ 25 / 4 และผลรวมของกำลังสองของพจน์เท่ากับ 625 / 24

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละพจน์ถัดไปจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์

แนวคิดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแสดงด้วย b1,b2,b3, …, bn, … .

อัตราส่วนของพจน์ใดๆ ของความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิตต่อพจน์ก่อนหน้าจะเท่ากับจำนวนเดียวกัน นั่นคือ b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/พันล้าน = …. สิ่งนี้ตามมาโดยตรงจากคำจำกัดความของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ จำนวนนี้เรียกว่าตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต โดยปกติตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะแสดงด้วยตัวอักษร q

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่สิ้นสุดสำหรับ |q|<1

วิธีหนึ่งในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือตั้งค่าเทอมแรก b1 และตัวส่วนของค่าความคลาดเคลื่อนทางเรขาคณิต q ตัวอย่างเช่น b1=4, q=-2 เงื่อนไขทั้งสองนี้ให้ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็น 4, -8, 16, -32, …

ถ้า q>0 (q ไม่เท่ากับ 1) การก้าวหน้าจะเป็นลำดับโมโนโทนิก ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 4,8,16,32, ... เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก (b1=2, q=2)

ถ้าตัวส่วน q=1 ในข้อผิดพลาดทางเรขาคณิต สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากัน ในกรณีเช่นนี้ ความก้าวหน้าเรียกว่าเป็นลำดับคงที่

เพื่อให้ลำดับตัวเลข (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำเป็นที่สมาชิกแต่ละตัว เริ่มจากลำดับที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของสมาชิกข้างเคียง นั่นคือจำเป็นต้องเติมเต็มสมการต่อไปนี้
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2) สำหรับ n>0 ใดๆ โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N

ทีนี้มาใส่ (Xn) - ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต q กับ |q|∞)
หากตอนนี้เราแทนด้วย S เป็นผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด สูตรต่อไปนี้จะคงอยู่:
S=x1/(1-q).

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:

หาผลบวกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่มีที่สิ้นสุด 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

ในการหา S เราใช้สูตรสำหรับผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่ไม่สิ้นสุด |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแสดงแทน b1,b2,b3, …, พันล้าน, ….

ลำดับโมโนโทนิกและคงที่

ถ้า q>0 (q ไม่เท่ากับ 1) แสดงว่ามีความก้าวหน้า ลำดับเสียงเดียวตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 4,8,16,32, ... เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นแบบโมโนโทนิก (b1=2, q=2)

ถ้าตัวส่วน q=1 ในข้อผิดพลาดทางเรขาคณิต สมาชิกทั้งหมดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเท่ากัน ในกรณีเช่นนี้ กล่าวกันว่า ความก้าวหน้าเป็นไป ลำดับคงที่

สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:

bn=b1*q^(n-1),

โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N

สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สูตรสำหรับผลรวมของ n เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) โดยที่ q ไม่เท่ากับ 1

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b1=6, q=3, n=8 ค้นหา Sn

ในการหา S8 เราใช้สูตรสำหรับผลรวมของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680

สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตเป็นสิ่งที่ง่ายมาก ทั้งในความหมายและทั่วไป. แต่มีปัญหาทุกประเภทสำหรับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ตั้งแต่แบบดั้งเดิมไปจนถึงแบบจริงจัง และในกระบวนการทำความรู้จักเราจะพิจารณาทั้งคู่อย่างแน่นอน แล้วเจอกัน?)

ดังนั้นสำหรับผู้เริ่มต้นจริง ๆ แล้ว สูตรน

เธออยู่ที่นั่น:

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1

สูตรเป็นสูตรไม่มีอะไรเหนือธรรมชาติ มันดูเรียบง่ายและกะทัดรัดกว่าสูตรที่คล้ายกันสำหรับ ความหมายของสูตรก็เรียบง่ายเหมือนรองเท้าบูทสักหลาด

สูตรนี้ช่วยให้คุณหาสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตตามจำนวนของมัน " น".

อย่างที่คุณเห็น ความหมายคือความคล้ายคลึงกันอย่างสมบูรณ์กับความก้าวหน้าทางเลขคณิต เรารู้จำนวน n - เราสามารถคำนวณเทอมภายใต้ตัวเลขนี้ได้เช่นกัน สิ่งที่เราต้องการ ไม่คูณตามลำดับด้วย "q" หลายๆ ครั้ง นั่นคือประเด็นทั้งหมด)

ฉันเข้าใจว่าในระดับการทำงานที่มีความก้าวหน้านี้ ปริมาณทั้งหมดที่รวมอยู่ในสูตรควรจะชัดเจนสำหรับคุณแล้ว แต่ฉันถือว่าเป็นหน้าที่ของฉันที่จะต้องถอดรหัสแต่ละค่า ในกรณีที่

งั้นไปกัน:

ข 1 – ครั้งแรกสมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ถาม – ;

น– หมายเลขสมาชิก

ข n – ครั้งที่ (นไทย)สมาชิกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สูตรนี้เชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักสี่ตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ - ขน, ข 1 , ถามและ น. และรอบ ๆ บุคคลสำคัญทั้งสี่นี้ ภารกิจทั้งหมดที่กำลังดำเนินอยู่จะหมุนเวียนไป

“แล้วมันแสดงผลยังไง”- ฉันได้ยินคำถามที่อยากรู้อยากเห็น ... ประถมศึกษา! ดู!

เท่ากับอะไร ที่สองสมาชิกก้าวหน้า? ไม่มีปัญหา! เราเขียนโดยตรง:

ข 2 = ข 1 คิว

และสมาชิกคนที่สาม? ก็ไม่ใช่ปัญหาเช่นกัน! เราคูณพจน์ที่สอง อีกครั้งถาม.

แบบนี้:

ข 3 \u003d ข 2 คิว

จำตอนนี้ได้ว่าเทอมที่สอง เท่ากับ b 1 q และแทนที่นิพจน์นี้ในความเสมอภาคของเรา:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

เราได้รับ:

ข 3 = ข 1 คิว 2

ตอนนี้เรามาอ่านรายการของเราในภาษารัสเซีย: ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกคูณด้วย q in ที่สองระดับ. คุณเข้าใจไหม? ยัง? โอเค อีกหนึ่งขั้นตอน

เทอมที่สี่คืออะไร? เหมือนกันทั้งหมด! คูณ ก่อนหน้า(เช่นเทอมที่สาม) บน q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

ทั้งหมด:

ข 4 = ข 1 คิว 3

และอีกครั้งเราแปลเป็นภาษารัสเซีย: ประการที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกคูณด้วย q in ที่สามระดับ.

และอื่น ๆ แล้วมันเป็นอย่างไร? คุณจับรูปแบบหรือไม่? ใช่! สำหรับคำศัพท์ใดๆ ที่เป็นจำนวนใดๆ จำนวนของตัวประกอบที่เท่ากัน q (เช่น กำลังของตัวส่วน) จะเป็นเสมอ น้อยกว่าจำนวนสมาชิกที่ต้องการหนึ่งตัวน.

ดังนั้นสูตรของเราจะเป็นโดยไม่มีตัวเลือก:

ข n =ข 1 · คิว เอ็น -1

แค่นั้นแหละ)

เรามาแก้ปัญหากันดีไหม?)

การแก้ปัญหาเกี่ยวกับสูตรนเทอมที่ 1 ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

เริ่มกันตามปกติด้วยการใช้สูตรโดยตรง นี่คือปัญหาทั่วไป:

เป็นที่ทราบกันโดยทั่วกันว่า ข 1 = 512 และ ถาม = -1/2. ค้นหาระยะที่สิบของความก้าวหน้า

แน่นอนว่าปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องมีสูตรใดๆ เลย เช่นเดียวกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต แต่เราต้องอุ่นเครื่องด้วยสูตรของเทอมที่ n ใช่ไหม? นี่เรากำลังเลิกกัน

ข้อมูลของเราสำหรับการใช้สูตรมีดังนี้

คำศัพท์แรกเป็นที่รู้จักกัน นี่คือ 512

ข 1 = 512.

ส่วนของความก้าวหน้าเป็นที่รู้จักกัน: ถาม = -1/2.

ยังคงเป็นเพียงการหาว่าจำนวนของเทอม n เท่ากับเท่าใด ไม่มีปัญหา! เราสนใจเทอมที่สิบไหม? ดังนั้นเราจึงแทนสิบแทน n ในสูตรทั่วไป

และคำนวณเลขคณิตอย่างระมัดระวัง:

คำตอบ: -1

อย่างที่คุณเห็น ระยะที่ 10 ของความก้าวหน้ากลายเป็นลบ ไม่น่าแปลกใจ: ตัวส่วนของความก้าวหน้าคือ -1/2 นั่นคือ เชิงลบตัวเลข. และนี่บอกเราว่าสัญญาณความก้าวหน้าของเราสลับกัน ใช่)

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ และนี่คือปัญหาที่คล้ายกัน แต่ซับซ้อนกว่าเล็กน้อยในแง่ของการคำนวณ

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เรารู้ว่า:

ข 1 = 3

ค้นหาระยะที่สิบสามของความก้าวหน้า

ทุกอย่างเหมือนเดิม แต่คราวนี้ตัวส่วนของความก้าวหน้า - ไม่มีเหตุผล. รากของสอง ก็ไม่ใช่เรื่องใหญ่อะไร สูตรเป็นสิ่งสากลใช้กับตัวเลขใด ๆ

เราทำงานโดยตรงตามสูตร:

แน่นอนว่าสูตรนี้ทำงานได้ตามที่ควร แต่ ... นี่คือที่ที่บางคนจะแขวน จะทำอย่างไรต่อไปกับ root? จะเพิ่มรูทเป็นกำลังที่สิบสองได้อย่างไร?

วิธีการ ... คุณต้องเข้าใจว่าสูตรใด ๆ แน่นอนเป็นสิ่งที่ดี แต่ความรู้ทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ทั้งหมดจะไม่ถูกยกเลิก! วิธีการเลี้ยงดู? ใช่ จำคุณสมบัติขององศา! มาเปลี่ยนรูทเป็น ระดับเศษส่วนและ - โดยสูตรของการเพิ่มพลังสู่พลัง

แบบนี้:

คำตอบ: 192

และทุกสิ่ง)

อะไรคือความยากหลักในการใช้สูตรเทอมที่ n โดยตรง? ใช่! ความยากหลักคือ ทำงานกับองศา!ได้แก่ การยกกำลังของจำนวนลบ เศษส่วน ราก และโครงสร้างที่คล้ายกัน ดังนั้นผู้ที่มีปัญหานี้ขอให้ทำซ้ำองศาและคุณสมบัติอย่างเร่งด่วน! มิฉะนั้นคุณจะช้าลงในหัวข้อนี้ใช่ ... )

ตอนนี้มาแก้ปัญหาการค้นหาทั่วไปกัน หนึ่งในองค์ประกอบของสูตรถ้าให้คนอื่นหมด สำหรับวิธีแก้ปัญหาดังกล่าวที่ประสบความสำเร็จสูตรเดียวและเรียบง่ายจนน่ากลัว - เขียนสูตรนสมาชิกทั่วไป!อยู่ในสมุดบันทึกถัดจากเงื่อนไข จากนั้นจากเงื่อนไขเราจะหาว่าอะไรที่เราได้รับและอะไรไม่เพียงพอ และเราแสดงค่าที่ต้องการจากสูตร ทุกอย่าง!

ตัวอย่างเช่นปัญหาที่ไม่เป็นอันตราย

เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็น 3 คือ 567 จงหาเทอมแรกของความก้าวหน้านี้

ไม่มีอะไรซับซ้อน เราทำงานตรงตามคาถา

เราเขียนสูตรของเทอมที่ n!

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1

ให้อะไรกับเราบ้าง? ขั้นแรกให้ระบุส่วนของความก้าวหน้า: ถาม = 3.

นอกจากนี้เรายังได้รับ ระยะที่ห้า: ข 5 = 567 .

ทุกอย่าง? ไม่! เรายังได้รับหมายเลข n! นี่คือห้า: n = 5

ฉันหวังว่าคุณจะเข้าใจสิ่งที่อยู่ในบันทึกแล้ว ข 5 = 567 พารามิเตอร์สองตัวถูกซ่อนอยู่พร้อมกัน - นี่คือสมาชิกตัวที่ห้า (567) และหมายเลข (5) ในบทเรียนที่คล้ายกัน ฉันได้พูดคุยเกี่ยวกับเรื่องนี้แล้ว แต่ฉันคิดว่ามันไม่จำเป็นที่จะเตือนที่นี่)

ตอนนี้เราแทนที่ข้อมูลของเราในสูตร:

567 = ข 1 3 5-1

เราพิจารณาเลขคณิต ลดความซับซ้อน และรับสมการเชิงเส้นอย่างง่าย:

81 ข 1 = 567

เราแก้ปัญหาและรับ:

ข 1 = 7

อย่างที่คุณเห็น ไม่มีปัญหาในการหาสมาชิกคนแรก แต่เมื่อมองหาตัวส่วน ถามและตัวเลข นอาจมีความประหลาดใจ และคุณต้องเตรียมพร้อมสำหรับพวกเขาด้วย (เซอร์ไพรส์) ใช่)

ตัวอย่างเช่น ปัญหาดังกล่าว:

เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วนเป็นบวกคือ 162 และเทอมแรกของความก้าวหน้านี้คือ 2 จงหาตัวส่วนของความก้าวหน้า

คราวนี้เราได้รับสมาชิกตัวที่หนึ่งและห้า และถูกขอให้หาตัวส่วนของความก้าวหน้า ที่นี่เราเริ่มต้น

เราเขียนสูตรนสมาชิกคนที่!

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1

ข้อมูลเริ่มต้นของเราจะเป็นดังนี้:

ข 5 = 162

ข 1 = 2

น = 5

มูลค่าไม่เพียงพอ ถาม. ไม่มีปัญหา! ลองหาตอนนี้) เราแทนทุกอย่างที่เรารู้ลงในสูตร

เราได้รับ:

162 = 2ถาม 5-1

2 ถาม 4 = 162

ถาม 4 = 81

สมการอย่างง่ายของดีกรีที่สี่ แต่ตอนนี้ - อย่างระมัดระวัง!ในขั้นตอนการแก้ปัญหานี้ นักเรียนจำนวนมากจะดึงราก (ของระดับที่สี่) อย่างสนุกสนานในทันทีและรับคำตอบ ถาม=3 .

แบบนี้:

คิว 4 = 81

ถาม = 3

แต่โดยทั่วไปนี่เป็นคำตอบที่ยังไม่เสร็จ หรือค่อนข้างไม่สมบูรณ์ ทำไม ประเด็นอยู่ที่คำตอบ ถาม = -3 ยังพอดี: (-3) 4 ก็เท่ากับ 81!

ทั้งนี้เนื่องจากสมการกำลัง x n = กมีเสมอ สองรากตรงข้ามที่ สม่ำเสมอน . บวกและลบ:

ทั้งสองพอดี

ตัวอย่างเช่น การแก้ปัญหา (เช่น ที่สององศา)

x2 = 9

ด้วยเหตุผลบางอย่างคุณไม่แปลกใจกับรูปร่างหน้าตา สองราก x=±3? มันเหมือนกันที่นี่ และอื่น ๆ สม่ำเสมอระดับ (สี่ หก สิบ ฯลฯ) จะเหมือนกัน รายละเอียด - ในหัวข้อเกี่ยวกับ

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้องคือ:

ถาม 4 = 81

ถาม= ±3

โอเค เราหาสัญญาณได้แล้ว ข้อใดถูกต้อง - บวกหรือลบ อ่านเงื่อนไขของปัญหาอีกครั้งเพื่อค้นหา ข้อมูลเพิ่มเติม.แน่นอนว่าอาจไม่มีอยู่ แต่ในปัญหานี้ข้อมูลดังกล่าว มีอยู่.ในเงื่อนไขของเรา ระบุไว้โดยตรงว่าความก้าวหน้าจะได้รับด้วย ตัวส่วนบวก

ดังนั้นคำตอบจึงชัดเจน:

ถาม = 3

ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ คุณคิดว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากคำชี้แจงปัญหาเป็นเช่นนี้:

เทอมที่ห้าของการก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 162 และเทอมแรกของการก้าวหน้านี้คือ 2 จงหาตัวส่วนของการก้าวหน้า

ความแตกต่างคืออะไร? ใช่! ในสภาพ ไม่มีอะไรไม่มีการกล่าวถึงตัวส่วน ทั้งทางตรงและทางอ้อม และที่นี่ปัญหาจะมีอยู่แล้ว สองโซลูชั่น!

ถาม = 3 และ ถาม = -3

ใช่ ๆ! และมีเครื่องหมายบวกและลบ) ในทางคณิตศาสตร์ ข้อเท็จจริงนี้จะหมายความว่ามี สองความก้าวหน้าที่เหมาะสมกับงาน และสำหรับแต่ละส่วน - ตัวส่วนของตัวเอง เพื่อความสนุกสนาน ฝึกฝนและจดคำศัพท์ 5 ข้อแรกของแต่ละข้อ)

ทีนี้มาฝึกหาเลขสมาชิกกัน นี่เป็นสิ่งที่ยากที่สุดใช่ แต่ยังมีความคิดสร้างสรรค์มากขึ้นอีกด้วย

กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

3; 6; 12; 24; …

เลข 768 งวดนี้เลขอะไร?

ขั้นตอนแรกเหมือนกัน: เขียนสูตรนสมาชิกคนที่!

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1

และตามปกติแล้ว เราจะแทนที่ข้อมูลที่เรารู้จักลงในข้อมูลนั้น หืม... ไม่เข้าท่า! สมาชิกตัวแรกอยู่ที่ไหน ตัวส่วนอยู่ที่ไหน ตัวอื่นทั้งหมดอยู่ที่ไหน!

ที่ไหน ที่ไหน ... ทำไมเราต้องตา? ขนตากระพือ? เวลานี้ความคืบหน้าจะถูกส่งถึงเราโดยตรงในแบบฟอร์ม ลำดับเราขอดูเทอมแรกได้ไหม? ที่เราเห็น! นี่คือสามเท่า (b 1 = 3) แล้วตัวส่วนล่ะ? เรายังไม่เห็น แต่มันง่ายมากที่จะนับ แน่นอนถ้าคุณเข้าใจ

ที่นี่เราพิจารณา ตรงตามความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต: เรารับสมาชิกใด ๆ (ยกเว้นสมาชิกแรก) และหารด้วยสมาชิกก่อนหน้า

อย่างน้อยเช่นนี้:

ถาม = 24/12 = 2

เรารู้อะไรอีกบ้าง? นอกจากนี้เรายังรู้จักสมาชิกของความก้าวหน้านี้ซึ่งเท่ากับ 768 ภายใต้จำนวน n:

ข n = 768

เราไม่ทราบหมายเลขของเขา แต่งานของเราคือค้นหาเขาอย่างแม่นยำ) ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา เราได้ดาวน์โหลดข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อทดแทนในสูตรแล้ว อย่างไม่ทันตั้งตัว)

ที่นี่เราแทนที่:

768 = 3 2น -1

เราสร้างสมการเบื้องต้น - เราหารทั้งสองส่วนด้วยสามส่วนและเขียนสมการใหม่ในรูปแบบปกติ: ไม่ทราบทางด้านซ้าย, ทราบทางด้านขวา

เราได้รับ:

2 น -1 = 256

นี่คือสมการที่น่าสนใจ เราต้องหา "n" มีอะไรผิดปกติ? ใช่ฉันไม่เถียง จริงๆแล้วมันง่ายที่สุด มันถูกเรียกว่าเพราะไม่ทราบ (ในกรณีนี้คือหมายเลข น) ยืนอยู่ใน ตัวบ่งชี้ระดับ.

ในขั้นตอนการทำความคุ้นเคยกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (นี่คือชั้นประถมศึกษาปีที่ 9) ไม่ได้สอนให้แก้สมการเลขชี้กำลังใช่ ... นี่เป็นหัวข้อสำหรับโรงเรียนมัธยม แต่ไม่มีอะไรน่ากลัว แม้ว่าคุณจะไม่รู้ว่าสมการดังกล่าวแก้ไขได้อย่างไร ลองหาของเรากัน นชี้นำโดยตรรกะง่ายๆและสามัญสำนึก

เราเริ่มหารือกัน ทางด้านซ้ายเรามีผีสาง ในระดับหนึ่ง. เรายังไม่รู้ว่าระดับนี้คืออะไร แต่ก็ไม่น่ากลัว แต่ในทางกลับกัน เรารู้แน่ว่าดีกรีนี้เท่ากับ 256! ดังนั้นเราจึงจำได้ว่าผีสางให้อะไรเรา 256 จำได้ไหม? ใช่! ที่ ที่แปดองศา!

256 = 2 8

หากคุณจำไม่ได้หรือจำระดับของปัญหาไม่ได้ ก็ไม่เป็นไร เราเพียงแค่ยกกำลังสองตามลำดับขึ้นไปเป็นกำลังสอง เป็นลูกบาศก์ ยกกำลังสี่ ยกกำลังห้า และอื่น ๆ ในความเป็นจริงการเลือก แต่ในระดับนี้ค่อนข้างนั่ง

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่งเราจะได้รับ:

2 น -1 = 2 8

น-1 = 8

น = 9

ดังนั้น 768 ก็คือ เก้าสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา เท่านี้ก็หมดปัญหาแล้ว)

คำตอบ: 9

อะไร น่าเบื่อ? เบื่อประถม? ฉันเห็นด้วย. และฉันด้วย ไปที่ระดับถัดไปกันเถอะ)

งานที่ซับซ้อนมากขึ้น

และตอนนี้เราไขปริศนาได้ทันท่วงที ไม่เจ๋งสุด ๆ แต่คุณต้องทำงานเล็กน้อยเพื่อให้ได้คำตอบ

ตัวอย่างเช่นเช่นนี้

ค้นหาเทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้าเทอมที่สี่คือ -24 และเทอมที่เจ็ดคือ 192

นี่คือคลาสสิกของประเภท รู้จักสมาชิกที่แตกต่างกันสองคนของความก้าวหน้า แต่ต้องหาสมาชิกเพิ่มอีกหนึ่งคน นอกจากนี้ สมาชิกทุกคนไม่ใช่เพื่อนบ้าน สิ่งที่สับสนในตอนแรกใช่ ...

เช่นเดียวกับใน เราพิจารณาสองวิธีในการแก้ปัญหาดังกล่าว วิธีแรกเป็นแบบสากล เกี่ยวกับพีชคณิต ทำงานได้อย่างไร้ที่ติกับแหล่งข้อมูลใด ๆ นั่นคือจุดที่เราจะเริ่มต้น)

เราวาดแต่ละคำตามสูตร นสมาชิกคนที่!

ทุกอย่างเหมือนกันทุกประการกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต เฉพาะเวลานี้เรากำลังทำงานร่วมกับ อื่นสูตรทั่วไป นั่นคือทั้งหมด) แต่สาระสำคัญเหมือนกัน: เราใช้และ ในทางกลับกันเราแทนที่ข้อมูลเริ่มต้นของเราลงในสูตรของเทอมที่ n สำหรับสมาชิกแต่ละคน - ของพวกเขาเอง

สำหรับเทอมที่สี่เราเขียน:

ข 4 = ข 1 · ถาม 3

-24 = ข 1 · ถาม 3

มี สมการเดียวก็ครบ

สำหรับเทอมที่เจ็ดเราเขียน:

ข 7 = ข 1 · ถาม 6

192 = ข 1 · ถาม 6

โดยรวมแล้วได้รับสองสมการสำหรับ ความก้าวหน้าเดียวกัน .

เรารวบรวมระบบจากพวกเขา:

แม้จะมีรูปลักษณ์ที่น่าเกรงขาม แต่ระบบก็ค่อนข้างเรียบง่าย วิธีแก้ไขที่ชัดเจนที่สุดคือการแทนที่ตามปกติ เราแสดงออก ข 1 จากสมการบนแล้วแทนลงในสมการล่าง:

เล่นซอเล็กน้อยกับสมการล่าง (ลดเลขชี้กำลังและหารด้วย -24) ผลลัพธ์:

ถาม 3 = -8

ยังไงก็ตาม สมการเดียวกันสามารถมาถึงด้วยวิธีที่ง่ายกว่า! อะไร ตอนนี้ฉันจะแสดงความลับอีกวิธีหนึ่ง แต่สวยงามมาก ทรงพลังและมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาระบบดังกล่าว ระบบดังกล่าวในสมการที่พวกเขานั่ง ใช้งานได้เท่านั้นอย่างน้อยในหนึ่ง เรียกว่า วิธีการแบ่งระยะสมการหนึ่งไปยังอีกสมการหนึ่ง

ดังนั้นเราจึงมีระบบ:

ในสมการทั้งสองทางด้านซ้าย - งานและทางด้านขวาเป็นเพียงตัวเลข นี่เป็นสัญญาณที่ดีมาก) ลองมาและ ... หาร, พูด, สมการล่างด้วยสมการบน! แปลว่าอะไร, หารหนึ่งสมการ?ง่ายมาก. เราใช้เวลา ด้านซ้ายหนึ่งสมการ (ล่าง) และ เราแบ่งเธออยู่ ด้านซ้ายสมการอื่น (บน) ด้านขวาคล้ายกัน: ด้านขวาสมการหนึ่ง เราแบ่งบน ด้านขวาอื่น.

กระบวนการแบ่งทั้งหมดมีลักษณะดังนี้:

ตอนนี้ลดทุกอย่างที่ลดลง เราได้รับ:

ถาม 3 = -8

วิธีนี้ดีอย่างไร? ใช่ เพราะในกระบวนการแบ่งดังกล่าว ทุกสิ่งที่ไม่ดีและไม่สะดวกสามารถลดลงได้อย่างปลอดภัยและสมการที่ไม่เป็นอันตรายอย่างสมบูรณ์ยังคงอยู่! นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมมันจึงสำคัญมากที่จะต้องมี คูณเท่านั้นในสมการของระบบอย่างน้อยหนึ่งสมการ ไม่มีการคูณ - ไม่มีอะไรจะลดใช่ ...

โดยทั่วไปแล้ว วิธีนี้ (เช่นเดียวกับวิธีการแก้ปัญหาระบบอื่นๆ ที่ไม่สำคัญอื่นๆ) สมควรได้รับบทเรียนแยกต่างหากด้วยซ้ำ ฉันจะดูให้ละเอียดกว่านี้อย่างแน่นอน สักวันหนึ่ง…

อย่างไรก็ตาม ไม่ว่าคุณจะแก้ระบบด้วยวิธีใด ตอนนี้เราต้องแก้สมการที่ได้:

ถาม 3 = -8

ไม่มีปัญหา: เราแยกรูท (ลูกบาศก์) และ - เสร็จแล้ว!

โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องใส่เครื่องหมายบวก / ลบที่นี่เมื่อแตกไฟล์ เรามีรากระดับคี่ (สาม) และคำตอบก็เหมือนกันใช่

ดังนั้นจึงพบตัวส่วนของความก้าวหน้า ลบสอง ยอดเยี่ยม! อยู่ระหว่างดำเนินการ)

สำหรับเทอมแรก (พูดจากสมการด้านบน) เราได้:

ยอดเยี่ยม! เรารู้เทอมแรก เรารู้ตัวส่วน และตอนนี้เรามีโอกาสค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้า รวมถึงข้อสองด้วย)

สำหรับสมาชิกคนที่สอง ทุกอย่างค่อนข้างง่าย:

ข 2 = ข 1 · ถาม= 3 (-2) = -6

คำตอบ: -6

ดังนั้นเราจึงได้แยกแยะวิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต ยาก? ไม่มากฉันเห็นด้วย ยาวและน่าเบื่อ? ใช่แน่นอน. แต่บางครั้งคุณสามารถลดปริมาณงานลงได้อย่างมาก สำหรับสิ่งนี้มี ทางกราฟิกเก่าดีและคุ้นเคยกับเราโดย .)

มาวาดโจทย์กันเถอะ!

ใช่! อย่างแน่นอน. เราแสดงความก้าวหน้าของเราบนแกนตัวเลขอีกครั้ง ไม่จำเป็นต้องมีไม้บรรทัด ไม่จำเป็นต้องรักษาระยะห่างระหว่างสมาชิกให้เท่าๆ กัน (ซึ่งยังไงก็ตาม ยังไงก็ตาม มันจะไม่เหมือนเดิม เพราะความก้าวหน้าเป็นรูปทรงเรขาคณิต!) แต่ง่ายๆ แผนผังวาดลำดับของเรา

ฉันได้รับสิ่งนี้:

ตอนนี้ดูรูปแล้วคิดว่า แบ่งตัวประกอบ "q" ที่เท่ากันกี่ตัว ประการที่สี่และ ที่เจ็ดสมาชิก? ถูกต้องสาม!

ดังนั้นเราจึงมีสิทธิ์ทุกประการที่จะเขียน:

-24ถาม 3 = 192

จากที่นี่ ง่ายต่อการค้นหา q:

ถาม 3 = -8

ถาม = -2

เยี่ยมมาก ตัวส่วนอยู่ในกระเป๋าของเราแล้ว และตอนนี้เรามาดูภาพอีกครั้ง: จำนวนตัวหารที่อยู่ระหว่างนั้น ที่สองและ ประการที่สี่สมาชิก? สอง! ดังนั้นเพื่อบันทึกความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกเหล่านี้ เราจะเพิ่มส่วน กำลังสอง.

ที่นี่เราเขียน:

ข 2 · ถาม 2 = -24 , ที่ไหน ข 2 = -24/ ถาม 2

เราแทนตัวส่วนที่เราพบลงในนิพจน์สำหรับ b 2 นับและรับ:

คำตอบ: -6

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างง่ายกว่าและเร็วกว่าผ่านระบบ ยิ่งกว่านั้น ที่นี่เราไม่ต้องนับเทอมแรกเลยด้วยซ้ำ! เลย)

นี่คือไฟบอกทางที่เรียบง่ายและมองเห็นได้ แต่ก็มีข้อเสียอย่างร้ายแรงเช่นกัน เดา? ใช่! มันดีสำหรับความก้าวหน้าที่สั้นมากเท่านั้น ผู้ที่ระยะห่างระหว่างสมาชิกที่เราสนใจนั้นไม่ใหญ่มาก แต่ในกรณีอื่น ๆ การวาดภาพนั้นยากอยู่แล้ว ใช่ ... จากนั้นเราจะแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ผ่านระบบ) และระบบเป็นสิ่งที่เป็นสากล จัดการกับตัวเลขใด ๆ

อีกหนึ่งมหากาพย์:

เทอมที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมากกว่าเทอมแรก 10 และเทอมที่สามมากกว่าเทอมที่สอง 30 ค้นหาส่วนของความก้าวหน้า

มีอะไรดี? ไม่เลย! เหมือนกันทั้งหมด. เราแปลเงื่อนไขของปัญหาเป็นพีชคณิตบริสุทธิ์อีกครั้ง

1) เราวาดแต่ละคำตามสูตร นสมาชิกคนที่!

เทอมที่สอง: b 2 = b 1 q

เทอมที่สาม: b 3 \u003d b 1 q 2

2) เราเขียนความสัมพันธ์ระหว่างสมาชิกจากเงื่อนไขของปัญหา

อ่านเงื่อนไข: "ระยะที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตมากกว่าระยะแรก 10"หยุดเถอะ มันมีค่า!

ดังนั้นเราจึงเขียน:

ข 2 = ข 1 +10

และเราแปลวลีนี้เป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์:

ข 3 = ข 2 +30

เราได้สองสมการ เรารวมเข้าด้วยกันเป็นระบบ:

ระบบดูเรียบง่าย แต่มีดัชนีที่แตกต่างกันมากมายสำหรับตัวอักษร แทนสมาชิกตัวที่สองและสามของนิพจน์ผ่านสมาชิกตัวแรกและตัวส่วน! เราวาดมันโดยเปล่าประโยชน์หรืออะไร

เราได้รับ:

แต่ระบบดังกล่าวไม่ใช่ของขวัญอีกต่อไป ใช่ ... จะแก้ปัญหานี้ได้อย่างไร? น่าเสียดายที่คาถาลับสากลเพื่อแก้ปัญหาที่ซับซ้อน ไม่ใช่เชิงเส้นไม่มีระบบในวิชาคณิตศาสตร์และไม่สามารถมีได้ มันยอดเยี่ยมมาก! แต่สิ่งแรกที่คุณควรนึกถึงเมื่อพยายามไขน็อตที่แข็งเช่นนี้คือการคิดออก แต่สมการตัวใดตัวหนึ่งของระบบไม่ได้ลดขนาดลงเป็นรูปแบบที่สวยงาม ซึ่งทำให้ง่าย เช่น การแสดงตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในรูปของอีกตัวแปรหนึ่ง

มาเดากัน สมการแรกของระบบนั้นง่ายกว่าสมการที่สองอย่างชัดเจน เราจะทรมานเขา) ทำไมไม่ลองตั้งแต่สมการแรก บางสิ่งบางอย่างแสดงออกผ่าน บางสิ่งบางอย่าง?เนื่องจากเราต้องการหาตัวส่วน ถามแล้วจะเป็นประโยชน์ที่สุดสำหรับเราในการแสดง ข 1 ผ่าน ถาม.

ลองทำขั้นตอนนี้กับสมการแรกโดยใช้สมการเก่า:

ข 1 คิว = ข 1 +10

ข 1 คิว - ข 1 \u003d 10

ข 1 (q-1) = 10

ทุกอย่าง! ที่นี่เราได้แสดง ไม่จำเป็นเราตัวแปร (b 1) ถึง จำเป็น(คิว). ใช่ ไม่ใช่การแสดงออกที่ง่ายที่สุดที่ได้รับ เศษส่วนบางประเภท ... แต่ระบบของเราอยู่ในระดับที่เหมาะสม ใช่)

ทั่วไป. จะทำอย่างไร - เรารู้

เราเขียน ODZ (อย่างจำเป็น!) :

คิว ≠ 1

เราคูณทุกอย่างด้วยตัวส่วน (q-1) และลดเศษส่วนทั้งหมด:

10 ถาม 2 = 10 ถาม + 30(ถาม-1)

เราหารทุกอย่างด้วยสิบ เปิดวงเล็บ รวบรวมทุกอย่างทางด้านซ้าย:

ถาม 2 – 4 ถาม + 3 = 0

เราแก้ปัญหาผลลัพธ์และรับสองรูท:

ถาม 1 = 1

ถาม 2 = 3

มีเพียงคำตอบเดียวสุดท้าย: ถาม = 3 .

คำตอบ: 3

อย่างที่คุณเห็น วิธีแก้ปัญหาส่วนใหญ่สำหรับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเหมือนกันเสมอ: เราอ่าน อย่างระมัดระวังเงื่อนไขของปัญหาและใช้สูตรของเทอมที่ n เราแปลข้อมูลที่เป็นประโยชน์ทั้งหมดเป็นพีชคณิตล้วน

คือ:

1) เราเขียนแยกสมาชิกแต่ละตัวที่กำหนดในโจทย์ตามสูตรนสมาชิกคนที่.

2) จากเงื่อนไขของปัญหา เราแปลการเชื่อมต่อระหว่างสมาชิกในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ เราสร้างสมการหรือระบบสมการ

3) เราแก้สมการผลลัพธ์หรือระบบสมการ ค้นหาพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักของความก้าวหน้า

4) ในกรณีที่คำตอบไม่ชัดเจน ให้อ่านเงื่อนไขของปัญหาโดยละเอียดเพื่อค้นหาข้อมูลเพิ่มเติม (ถ้ามี) ตรวจสอบคำตอบที่ได้รับตามเงื่อนไขของ ODZ (ถ้ามี)

และตอนนี้เราแสดงรายการปัญหาหลักที่มักนำไปสู่ข้อผิดพลาดในกระบวนการแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

1. เลขคณิตเบื้องต้น การดำเนินการกับเศษส่วนและจำนวนลบ

2. หากอย่างน้อยหนึ่งในสามประเด็นนี้เป็นปัญหา คุณจะเข้าใจผิดในหัวข้อนี้อย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ขออภัย... ดังนั้นอย่าขี้เกียจและทำซ้ำสิ่งที่กล่าวมาข้างต้น และไปตามลิงค์ - ไป บางครั้งก็ช่วยได้)

สูตรดัดแปลงและเกิดซ้ำ

ทีนี้มาดูปัญหาการสอบทั่วไปสองสามข้อที่มีการนำเสนอเงื่อนไขที่ไม่คุ้นเคย ใช่ ใช่ คุณเดาถูกแล้ว! มัน แก้ไขและ กำเริบสูตรของสมาชิกตัวที่ n เราได้พบสูตรดังกล่าวแล้วและทำงานในความก้าวหน้าทางเลขคณิต ทุกอย่างคล้ายกันที่นี่ สาระสำคัญเหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น ปัญหาดังกล่าวจาก OGE:

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนดโดยสูตร ข n = 3 2 น . หาผลบวกของพจน์ที่หนึ่งและสี่.

ครั้งนี้ความก้าวหน้าที่มอบให้เราไม่เหมือนปกติ สูตรบางอย่าง แล้วไง สูตรนี้คือ ยังเป็นสูตรนสมาชิกคนที่!เราทุกคนรู้ว่าสูตรของเทอมที่ n สามารถเขียนได้ทั้งในรูปแบบทั่วไป ผ่านตัวอักษร และสำหรับ ความก้าวหน้าเฉพาะ. จาก เฉพาะเจาะจงเทอมแรกและตัวส่วน

ในกรณีของเรา เราได้รับสูตรคำทั่วไปสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตโดยมีพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

ข 1 = 6

ถาม = 2

ตรวจสอบกันไหม) ลองเขียนสูตรของเทอมที่ n ในรูปแบบทั่วไปแล้วแทนลงไป ข 1 และ ถาม. เราได้รับ:

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1

ข n= 6 2น -1

เราลดความซับซ้อนโดยใช้การแยกตัวประกอบและคุณสมบัติของกำลัง และได้รับ:

ข n= 6 2น -1 = 3 2 2น -1 = 3 2น -1+1 = 3 2น

อย่างที่คุณเห็นทุกอย่างยุติธรรม แต่เป้าหมายของเราไม่ใช่เพื่อแสดงให้เห็นถึงที่มาของสูตรเฉพาะ นี่เป็นการพูดนอกเรื่องโคลงสั้น ๆ เพื่อความเข้าใจล้วนๆ) เป้าหมายของเราคือการแก้ปัญหาตามสูตรที่กำหนดให้ในเงื่อนไข คุณจับมันได้หรือไม่) ดังนั้นเรากำลังทำงานกับสูตรที่แก้ไขโดยตรง

เรานับเทอมแรก ทดแทน น=1 ในสูตรทั่วไป:

ข 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

แบบนี้. ยังไงก็ตาม ฉันไม่ขี้เกียจเกินไปและอีกครั้งฉันจะดึงความสนใจของคุณไปที่ข้อผิดพลาดทั่วไปด้วยการคำนวณเทอมแรก อย่าดูที่สูตร ข n= 3 2นรีบเขียนทันทีว่าสมาชิกคนแรกคือ Troika! มันเป็นความผิดพลาดครั้งใหญ่ ใช่...)

เรายังคง. ทดแทน น=4 และพิจารณาวาระที่สี่:

ข 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

และสุดท้าย เราคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการ:

ข 1 + ข 4 = 6+48 = 54

คำตอบ: 54

ปัญหาอื่น.

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

ข 1 = -7;

ข n +1 = 3 ข n

ค้นหาระยะที่สี่ของความก้าวหน้า

นี่คือความก้าวหน้าที่กำหนดโดยสูตรที่เกิดซ้ำ โอเค.) วิธีการทำงานกับสูตรนี้ - เรายังรู้

นี่เรากำลังแสดงอยู่ เป็นขั้นเป็นตอน.

1) นับสอง ต่อเนื่องสมาชิกของความก้าวหน้า

เทอมแรกให้เราแล้ว ลบเจ็ด แต่เทอมที่สองถัดไปสามารถคำนวณได้ง่ายโดยใช้สูตรเรียกซ้ำ ถ้าคุณเข้าใจวิธีการทำงานแน่นอน)

ที่นี่เราพิจารณาเทอมที่สอง ตามชื่อเสียงก่อน:

ข 2 = 3 ข 1 = 3 (-7) = -21

2) เราพิจารณาส่วนของความก้าวหน้า

ยังไม่มีปัญหา ตรงแชร์ ที่สองกระเจี๊ยวบน ครั้งแรก

เราได้รับ:

ถาม = -21/(-7) = 3

3) เขียนสูตรนสมาชิกตัวที่ 1 ตามแบบปกติ และพิจารณาสมาชิกที่ต้องการ

เราก็รู้เทอมแรก ตัวส่วนด้วย ที่นี่เราเขียน:

ข n= -7 3น -1

ข 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

คำตอบ: -189

อย่างที่คุณเห็น การทำงานกับสูตรดังกล่าวสำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนั้นโดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากสูตรความก้าวหน้าทางเลขคณิต สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจสาระสำคัญทั่วไปและความหมายของสูตรเหล่านี้ ก็ต้องเข้าใจความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตด้วยใช่) จากนั้นจะไม่มีข้อผิดพลาดโง่ ๆ

เรามาตัดสินใจกันเอาเอง?)

งานพื้นฐานสำหรับการอุ่นเครื่อง:

1. กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิตซึ่ง ข 1 = 243 และ ถาม = -2/3. ค้นหาพจน์ที่หกของความก้าวหน้า

2. สูตรทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกำหนด ข n = 5∙2 น +1 . ค้นหาหมายเลขของสมาชิกสามหลักสุดท้ายของความก้าวหน้านี้

3. ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

ข 1 = -3;

ข n +1 = 6 ข n

ค้นหาระยะที่ห้าของความก้าวหน้า

ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย:

4. กำหนดความก้าวหน้าทางเรขาคณิต:

ข 1 =2048; ถาม =-0,5

เทอมลบที่หกของมันคืออะไร?

อะไรที่ดูเหมือนยากสุด? ไม่เลย. ตรรกะและความเข้าใจในความหมายของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะช่วยประหยัด แน่นอน สูตรของเทอมที่ n

5. เทอมที่สามของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ -14 และเทอมที่แปดคือ 112 จงหาตัวส่วนของความก้าวหน้า

6. ผลบวกของพจน์ที่หนึ่งและที่สองของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ 75 และผลรวมของพจน์ที่สองและสามคือ 150 จงหาพจน์ที่หกของการก้าวหน้า

คำตอบ (ระส่ำระสาย): 6; -3888; -หนึ่ง; 800; -32; 448.

นั่นคือเกือบทั้งหมด มันยังคงเป็นเพียงการเรียนรู้วิธีการนับ ผลบวกของ n พจน์แรกของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใช่ค้นพบ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดและจำนวนเงิน ยังไงก็ตามสิ่งที่น่าสนใจและไม่ธรรมดา! เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบทเรียนต่อๆ ไป)

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือลำดับตัวเลข ซึ่งพจน์แรกไม่เป็นศูนย์ และแต่ละพจน์ถัดไปจะเท่ากับพจน์ก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแสดงด้วย b1,b2,b3, …, bn, …

คุณสมบัติของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้า

เพื่อให้ลำดับตัวเลข (bn) เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต จำเป็นที่สมาชิกแต่ละตัว เริ่มจากลำดับที่สอง เป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของสมาชิกข้างเคียง นั่นคือ จำเป็นต้องทำให้สมการต่อไปนี้เป็นจริง - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2) สำหรับ n>0 ใดๆ โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N

สูตรสำหรับสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตคือ:

bn=b1*q^(n-1) โดยที่ n อยู่ในเซตของจำนวนธรรมชาติ N

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ:

ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต b1=6, q=3, n=8 จงหา bn

ลองใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต