Konstrukcija pravilnega peterokotnika. Tehnično risanje. Konstrukcija pravilnih mnogokotnikov Shema pravilnega peterokotnika

Ta figura je mnogokotnik z najmanjšim številom vogalov, ki ga ni mogoče uporabiti za razporeditev območja. Samo peterokotnik ima enako število diagonal kot njegove stranice. Z uporabo formul za poljuben pravilen poligon lahko določite vse potrebne parametre, ki jih ima peterokotnik. Na primer, vpišite ga v krog z danim polmerom ali ga zgradite na podlagi dane stranske stranice.

Kako pravilno narisati tram in kakšen pribor za risanje potrebujete? Vzemite kos papirja in kjer koli označite piko. Nato pritrdite ravnilo in narišite črto od označene točke do neskončnosti. Za risanje ravne črte pritisnite tipko "Shift" in narišite črto želene dolžine. Takoj po risanju se odpre zavihek "Oblika". Prekličite izbiro vrstice in videli boste, da se je na začetku vrstice pojavila pika. Če želite ustvariti napis, kliknite gumb "Nariši napis" in ustvarite polje, kjer se bo napis nahajal.

Prvi način konstruiranja peterokotnika velja za bolj "klasičnega". Nastala številka bo navaden peterokotnik. Dodekagon ni nobena izjema, zato bo njegova konstrukcija nemogoča brez uporabe kompasa. Naloga konstruiranja pravilnega peterokotnika se zmanjša na nalogo razdelitve kroga na pet enakih delov. Pentagram lahko narišete z najpreprostejšimi orodji.

Dolgo sem se trudil, da bi to dosegel in samostojno našel razmerja in odvisnosti, a mi ni uspelo. Izkazalo se je, da obstaja več različnih možnosti za konstrukcijo pravilnega pentagona, ki so jih razvili znani matematiki. Zanimivo je, da je aritmetično ta problem mogoče rešiti le približno natančno, saj bo treba uporabiti iracionalna števila. Lahko pa se reši geometrijsko.

Delitev krogov. Presečišča teh premic s krogom so oglišča kvadrata. V krog s polmerom R (1. korak) narišite navpični premer. V konjugacijski točki N premice in kroga je premica tangenta na krog.

Sprejem s trakom papirja

Pravilni šestkotnik je mogoče sestaviti s pomočjo T-kvadrata in kvadrata 30X60°. Oglišča takšnega trikotnika lahko sestavite s šestilom in kvadratom s kotoma 30 in 60 ° ali samo z enim šestilom. Če želite zgraditi stran 2-3, nastavite T-kvadrat na položaj, prikazan s črtkanimi črtami, in narišite ravno črto skozi točko 2, ki bo določila tretje oglišče trikotnika. Na krogu označimo točko 1 in jo vzamemo za eno izmed oglišč peterokotnika. Najdena vozlišča zaporedno povežemo med seboj. Sedemkotnik lahko sestavimo z vlečenjem žarkov iz F pola in skozi lihe razdelke navpičnega premera.

In na drugem koncu niti je svinčnik nastavljen in obseden. Če znate narisati zvezdo, vendar ne veste, kako narisati peterokotnik, narišite zvezdo s svinčnikom, nato povežite sosednja konca zvezde skupaj in nato izbrišite samo zvezdo. Nato položite list papirja (bolje ga je pritrditi na mizo s štirimi gumbi ali iglami). Teh 5 trakov z bucikami ali iglami pripnite na kos papirja, tako da ostanejo nepremični. Nato obkrožite nastali peterokotnik in odstranite te črte s lista.

Na primer, za sliko o sovjetski preteklosti ali o sedanjosti Kitajske moramo narisati petokrako zvezdo (pentagram). Res je, za to morate biti sposobni ustvariti risbo zvezde v perspektivi. Podobno boste lahko s svinčnikom na papir narisali figuro. Kako pravilno narisati zvezdo, da bo videti enakomerno in lepo, ne boste odgovorili takoj.

Iz središča spustite 2 žarka na krog, tako da je kot med njima 72 stopinj (kotomer). Razdelitev kroga na pet delov se izvede z navadnim kompasom ali kotomerom. Ker je pravilni peterokotnik eden od likov, ki vsebuje proporce zlatega reza, se slikarji in matematiki že dolgo zanimajo za njegovo konstrukcijo. Ta načela gradnje z uporabo šestila in ravnila so bila navedena v Evklidskih elementih.

Pravilni peterokotnik je geometrijski lik, ki nastane s presečiščem petih ravnih črt, ki tvorijo pet enakih kotov. Ta številka se imenuje Pentagon. Delo umetnikov je tesno povezano s peterokotnikom - njihove risbe temeljijo na pravilnih geometrijskih oblikah. Če želite to narediti, morate vedeti, kako hitro zgraditi peterokotnik.

Zakaj je ta številka zanimiva? Stavba ima obliko peterokotnika Ministrstvo za obrambo Združenih držav Amerike. To je razvidno iz fotografij, posnetih z višine leta. V naravi ni kristalov in kamnov, ki bi po obliki spominjali na peterokotnik. Samo na tej sliki število obrazov sovpada s številom diagonal.

Parametri pravilnega peterokotnika

Pravokotni pentagon ima, tako kot vsaka figura v geometriji, svoje parametre. Če poznate potrebne formule, lahko izračunate te parametre, kar bo olajšalo postopek gradnje peterokotnika. Metode izračuna in formule:

• vsota vseh kotov v mnogokotnikih je 360 ​​stopinj. V pravilnem pentagonu so vsi koti enaki, oziroma središčni kot najdemo na ta način: 360/5 \u003d 72 stopinj;
• notranji kot najdemo na ta način: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 stopinj. Vsota vseh notranjih kotov: 108*5 = 540 stopinj.

Stranico peterokotnika najdemo s parametri, ki so že podani v izjavi o problemu:

• če je okrog peterokotnika obkrožen krog in je njegov polmer znan, se stran najde po naslednji formuli: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Če je polmer kroga, včrtanega v peterokotnik, znan, potem je formula za izračun stranice mnogokotnika: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Z znano diagonalo peterokotnika se njegova stran izračuna na naslednji način: a \u003d D / 1,618.

Območje peterokotnika, tako kot njegova stran, je odvisna od že najdenih parametrov:

• z uporabo znanega polmera včrtanega kroga se območje najde na naslednji način: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• opisani krog okoli peterokotnika vam omogoča, da poiščete območje z naslednjo formulo: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• odvisno od stranice peterokotnika: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Gradnja Pentagona

Pravilni peterokotnik lahko zgradite s pomočjo ravnila in šestila na podlagi kroga, ki je vpisan vanj ali na eno od stranic.

Kako narisati peterokotnik na podlagi včrtanega kroga? Če želite to narediti, se založite s kompasom in ravnilom ter naredite naslednje:

1. Najprej morate narisati krog s središčem O, nato izberite točko na njem, A - vrh peterokotnika. Od sredine do vrha je narisana črta.
2. Nato se konstruira odsek, pravokoten na ravno črto OA, ki poteka tudi skozi O - središče kroga. Njegovo presečišče s krožnico je označeno s točko B. Odsek O.V. je razpolovljen s točko C.
3. Točka C bo postala središče novega kroga, ki poteka skozi A. Točka D je njegovo presečišče s premico OB znotraj meja prve figure.
4. Po tem se skozi D nariše tretji krog, katerega središče je točka A. Seka se s prvo sliko v dveh točkah, ki jih je treba označiti s črkama E in F.
5. Naslednji krog ima središče v točki E in poteka skozi A, njegovo presečišče s prvotnim pa je v novi točki G.
6. Zadnji krog na tej sliki je narisan skozi točko A s središčem F. Točka H je postavljena na njeno presečišče z začetno.
7. V prvem krogu se je po vseh opravljenih korakih pojavilo pet točk, ki jih je treba povezati s segmenti. Tako smo dobili pravilni peterokotnik AE G H F.

Kako zgraditi pravilen peterokotnik na drugačen način? S pomočjo ravnila in šestila lahko peterokotnik zgradimo nekoliko hitreje. Za to potrebujete:

1. Najprej morate s šestilom narisati krog, katerega središče je točka O.
2. Narisan je polmer OA - segment, ki je narisan na krožnici. Razpolovljena je s točko B.
3. Odsek OS je narisan pravokotno na polmer OA, točki B in C sta povezani z ravno črto.
4. Naslednji korak je narisati dolžino segmenta BC s šestilom na diametralno črto. Točka D je pravokotna na odsek OA.Točki B in D sta povezani in tvorita nov odsek.
5. Da bi dobili velikost stranice peterokotnika, morate povezati točki C in D.
6. D s pomočjo šestila prenesemo v krog in ga označimo s točko E. Če povežemo E in C, dobimo prvo stran pravilnega peterokotnika. Po tem navodilu se lahko naučite, kako hitro zgraditi peterokotnik z enakimi stranicami, pri čemer nadaljujete z gradnjo njegovih drugih strani kot prvo.

V pentagonu z enakimi stranicami sta diagonali enaki in tvorita peterokrako zvezdo, ki ji pravimo pentagram. Zlati rez je razmerje med velikostjo diagonale in stranico peterokotnika.

Pentagon ni primeren za popolno polnjenje letala. Uporaba katerega koli materiala v tej obliki pušča vrzeli ali tvori prekrivanja. Čeprav naravni kristali te oblike v naravi ne obstajajo, se ob nastanku ledu na površini gladkih bakrenih izdelkov pojavijo molekule v obliki peterokotnika, ki so povezane v verige.

Pravilen peterokotnik najlažje dobite iz traku papirja tako, da ga zavežete v vozel in rahlo pritisnete. Ta metoda je uporabna za starše predšolskih otrok, ki želijo svoje malčke naučiti prepoznavanja geometrijskih oblik.

Video

Oglejte si, kako lahko hitro narišete peterokotnik.

Konstrukcija pravilnega šesterokotnika, včrtanega v krog.

Konstrukcija šesterokotnika temelji na dejstvu, da je njegova stranica enaka polmeru kroga, ki ga opisuje. Zato je za gradnjo dovolj, da krog razdelite na šest enakih delov in najdene točke povežete med seboj.

Pravilni šestkotnik je mogoče sestaviti s pomočjo T-kvadrata in kvadrata 30X60°. Za izvedbo te konstrukcije vzamemo vodoravni premer kroga kot simetralo kotov 1 in 4, zgradimo stranice 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 in 7 - 2, po katerih narišemo stranice 5 - 6 in 3. - 2.

Oglišča takšnega trikotnika lahko sestavite s šestilom in kvadratom s kotoma 30 in 60 ° ali samo z enim šestilom. Razmislite o dveh načinih za sestavo enakostraničnega trikotnika, včrtanega v krog.

Prvi način(Sl. 61, a) temelji na dejstvu, da vsi trije koti trikotnika 7, 2, 3 vsebujejo 60 °, navpična črta, narisana skozi točko 7, pa je višina in simetrala kota 1. Ker kot 0 - 1 - 2 je enak 30°, potem je za iskanje stranice 1 - 2 dovolj, da iz točke 1 in stranice 0 - 1 zgradimo kot 30°. Če želite to narediti, nastavite T-kvadrat in kvadrat, kot je prikazano na sliki, narišite črto 1 - 2, ki bo ena od strani želenega trikotnika. Če želite zgraditi stran 2–3, nastavite T-kvadrat na položaj, ki ga prikazujejo črtkane črte, in narišite ravno črto skozi točko 2, ki bo določila tretje oglišče trikotnika.

Drugi način temelji na dejstvu, da če zgradite pravilen šesterokotnik, vpisan v krog, in nato povežete njegova oglišča skozi eno, dobite enakostranični trikotnik.

Za izgradnjo trikotnika označimo oglišče 1 na premeru in narišemo diametralno črto 1 - 4. Nadalje od točke 4 s polmerom, enakim D / 2, opisujemo lok, dokler se ne seka s krogom v točkah 3 in 2. Dobljeni točki bosta dve drugi oglišči želenega trikotnika.

To konstrukcijo lahko naredite s kvadratom in šestilom.

Prvi način temelji na dejstvu, da se diagonale kvadrata sekajo v središču opisanega kroga in so na njegove osi nagnjene pod kotom 45°. Na podlagi tega namestimo T-kvadrat in kvadrat s kotoma 45 °, kot je prikazano na sl. 62, a, in označite točki 1 in 3. Nadalje skozi te točke narišemo vodoravne stranice kvadrata 4 - 1 in 3 -2 s pomočjo T-kvadrata. Nato s pomočjo T-kvadrata vzdolž kraka kvadrata narišemo navpične stranice kvadrata 1 - 2 in 4 - 3.

Drugi način temelji na dejstvu, da oglišča kvadrata razpolovijo loke kroga, zaprte med koncema premera. Na koncih dveh med seboj pravokotnih premerov označimo točke A, B in C ter iz njih s polmerom y opisujemo loke, dokler se ne sekata.

Nadalje skozi točke presečišča lokov narišemo pomožne črte, ki so na sliki označene s polnimi črtami. Točki njihovega presečišča s krogom bodo določali točki 1 in 3; 4 in 2. Oglišča želenega kvadrata, dobljena na ta način, povežemo zaporedno med seboj.

Konstrukcija pravilnega peterokotnika, včrtanega v krog.

Za vpis pravilnega peterokotnika v krog naredimo naslednje konstrukcije. Na krogu označimo točko 1 in jo vzamemo za eno izmed oglišč peterokotnika. Odsek AO razdelite na pol. Da bi to naredili, s polmerom AO iz točke A opišemo lok do presečišča s krožnico v točkah M in B. Če te točke povežemo z ravno črto, dobimo točko K, ki jo nato povežemo s točko 1. S polmerom, ki je enak segmentu A7, opišemo lok od točke K do presečišča z diametralno črto AO ​​v točki H. Če povežemo točko 1 s točko H, dobimo stran peterokotnika. Nato z odprtino kompasa, ki je enak segmentu 1H, ki opisuje lok od oglišča 1 do presečišča s krogom, najdemo točki 2 in 5. Ko naredimo zareze iz oglišč 2 in 5 z isto odprtino šestila, dobimo preostalo točki 3 in 4. Najdene točke zaporedno povežemo med seboj.

Konstrukcija pravilnega peterokotnika glede na njegovo stran.

Za sestavo pravilnega peterokotnika vzdolž njegove dane strani (slika 64) razdelimo segment AB na šest enakih delov. Iz točk A in B s polmerom AB narišemo loke, katerih presečišče bo dalo točko K. Skozi to točko in razdelek 3 na premici AB narišemo navpičnico. Nadalje od točke K na tej ravni črti odložimo segment, ki je enak 4/6 AB. Dobimo točko 1 - vrh peterokotnika. Nato s polmerom, ki je enak AB, iz točke 1 opišemo lok do presečišča z loki, ki smo jih predhodno narisali iz točk A in B. Presečišča lokov določajo oglišči peterokotnika 2 in 5. Najdeno povežemo vozlišča v seriji med seboj.

Konstrukcija pravilnega sedemkotnika, včrtanega v krog.

Naj bo dan krog s premerom D; vanj morate včrtati pravilen sedmerokotnik (slika 65). Navpični premer kroga razdelite na sedem enakih delov. Iz točke 7 s polmerom, ki je enak premeru krožnice D, opisujemo lok, dokler se ne preseka z nadaljevanjem vodoravnega premera v točki F. Točko F imenujemo pol mnogokotnika. Če vzamemo točko VII kot eno od oglišč sedmerokota, potegnemo žarke iz pola F skozi sode razdelke navpičnega premera, katerih presečišče s krožnico bo določilo oglišča VI, V in IV sedmerokotnika. Da dobimo oglišča / - // - /// iz točk IV, V in VI, vlečemo vodoravne črte do sekanja s krožnico. Najdena vozlišča zaporedno povežemo med seboj. Sedemkotnik lahko sestavimo z vlečenjem žarkov iz F pola in skozi lihe razdelke navpičnega premera.

Zgornja metoda je primerna za gradnjo pravilnih mnogokotnikov s poljubnim številom stranic.

Razdelitev kroga na poljubno število enakih delov lahko izvedemo tudi s podatki v tabeli. 2, ki prikazuje koeficiente, ki omogočajo določanje dimenzij stranic pravilnih včrtanih mnogokotnikov.

Dolžine stranic pravilnih včrtanih mnogokotnikov.

Prvi stolpec te tabele prikazuje število stranic pravilnega včrtanega mnogokotnika, drugi stolpec pa prikazuje koeficiente. Dolžino stranice danega mnogokotnika dobimo tako, da pomnožimo polmer danega kroga s faktorjem, ki ustreza številu strani tega mnogokotnika.

Razlagalni slovar Ozhegova pravi, da je peterokotnik omejen s petimi sekajočimi se ravnimi črtami, ki tvorijo pet notranjih kotov, pa tudi vsak predmet podobne oblike. Če ima dani mnogokotnik enake stranice in kote, se imenuje pravilni (pentagon).

Kaj je zanimivo pri pravilnem peterokotniku?

V tej obliki je bila zgrajena znana stavba Ministrstva za obrambo ZDA. Od obsežnih pravilnih poliedrov ima le dodekaeder ploskve v obliki peterokotnika. In v naravi so popolnoma odsotni kristali, katerih obrazi bi bili podobni pravilnemu peterokotniku. Poleg tega je ta figura mnogokotnik z najmanjšim številom vogalov, ki ga ni mogoče uporabiti za ploščice območja. Samo peterokotnik ima enako število diagonal kot njegove stranice. Strinjam se, zanimivo je!

Osnovne lastnosti in formule

Z uporabo formul za poljuben pravilen poligon lahko določite vse potrebne parametre, ki jih ima peterokotnik.

• Središčni kot α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Notranji kot β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Skladno s tem je vsota notranjih kotov 540°.
• Razmerje med diagonalo in stranico je (1+√5)/2, torej (približno 1,618).
• Dolžino strani pravilnega peterokotnika je mogoče izračunati z eno od treh formul, odvisno od tega, kateri parameter je že znan:

• če je okrog njega opisan krog in je znan njegov polmer R, potem je a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• v primeru, ko je krog s polmerom r vpisan v pravilni peterokotnik, je a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• se zgodi, da je namesto polmerov znana vrednost diagonale D, potem se stran določi na naslednji način: a ≈ D / 1,618.

• Območje pravilnega pentagona je ponovno določeno glede na parameter, ki ga poznamo:
• če obstaja včrtan ali opisan krog, se uporabi ena od dveh formul:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r ali S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• ploščino lahko določimo tudi, če poznamo samo dolžino stranice a:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Pravilni peterokotnik: konstrukcija

To geometrijsko figuro je mogoče sestaviti na različne načine. Na primer, vpišite ga v krog z danim polmerom ali ga zgradite na podlagi dane stranske stranice. Zaporedje dejanj je bilo opisano v Evklidovih Elementih okoli leta 300 pr. V vsakem primeru potrebujemo šestilo in ravnilo. Razmislite o metodi konstrukcije z danim krogom.

1. Izberite poljuben radij in narišite krog ter njegovo središče označite s točko O.

2. Na krožnici izberemo točko, ki bo služila kot ena od oglišč našega peterokotnika. Naj bo to točka A. Poveži točki O in A z ravno črto.

3. Skozi točko O nariši premico pravokotno na premico OA. Točko, kjer se ta premica seka s krožnico, označite kot točko B.

4. Na sredini razdalje med točkama O in B zgradimo točko C.

5. Zdaj narišite krog, katerega središče bo v točki C in bo potekalo skozi točko A. Mesto njegovega presečišča s črto OB (to bo znotraj prvega kroga) bo točka D.

6. Konstruirajte krog, ki poteka skozi D, katerega središče bo v A. Mesta njegovega presečišča s prvotnim krogom morajo biti označena s točkama E in F.

7. Zdaj zgradite krog, katerega središče bo v E. To morate storiti tako, da gre skozi A. Njegovo drugo presečišče prvotnega kroga mora biti označeno

8. Nazadnje narišite krog skozi A s središčem v točki F. Označite drugo presečišče prvotnega kroga s točko H.

9. Zdaj ostane le še povezati oglišča A, E, G, H, F. Naš pravilni peterokotnik bo pripravljen!

5.3. zlati pentagon; konstrukcija Evklida.

Čudovit primer "zlatega reza" je pravilni peterokotnik - konveksen in zvezdast (slika 5).

Če želite zgraditi pentagram, morate zgraditi pravilen peterokotnik.

Naj bo O središče kroga, A točka na krogu in E središče odseka OA. Navpičnica na polmer OA, obnovljena v točki O, seka krožnico v točki D. Na premeru s šestilom označimo odsek CE = ED. Dolžina stranice pravilnega peterokotnika, včrtanega v krog, je DC. Na krogu odložimo segmente DC in dobimo pet točk za risanje pravilnega peterokotnika. Vogale peterokotnika povežemo skozi eno diagonalo in dobimo pentagram. Vse diagonale peterokotnika se med seboj delijo na segmente, povezane z zlatim rezom.

Vsak konec peterokotne zvezde je zlat trikotnik. Njegove stranice tvorijo na vrhu kot 36°, ob strani položena podlaga pa ga deli sorazmerno z zlatim rezom.

Obstaja tudi zlati kvader - to je pravokotni paralelepiped z robovi, ki imajo dolžine 1,618, 1 in 0,618.

Zdaj razmislite o dokazu, ki ga je ponudil Evklid v Elementih.

iz središča opisanega kroga. Začnimo z

segment ABE, razdeljen na sredino in

Naj bo torej AC = AE. Z a označimo enaka kota EBC in CEB. Ker je AC=AE, je tudi kot ACE enak a. Izrek, da je vsota kotov trikotnika 180 stopinj, vam omogoča, da najdete kot ALL: je 180-2a, kot EAC pa 3a - 180. Toda potem je kot ABC 180-a. Če seštejemo kote trikotnika ABC, dobimo

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Od tod 5a=360, torej a=72.

Torej je vsak od kotov na dnu trikotnika BEC dvakrat večji od kota na vrhu, kar je enako 36 stopinj. Zato je za sestavo pravilnega peterokotnika potrebno le narisati poljuben krog s središčem v točki E, ki seka EC v točki X in stranico EB v točki Y: odsek XY je ena od stranic pravilnega peterokotnika, včrtana v krog; Če greste po celotnem krogu, lahko najdete vse druge strani.

Zdaj dokažemo, da je AC=AE. Recimo, da je oglišče C z ravnim odsekom povezano z razpoloviščem N odseka BE. Upoštevajte, da ker je CB = CE, potem je kot CNE pravi kot. Po Pitagorovem izreku:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Zato imamo (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Torej je AC = ja = jAB = AE, kar je bilo treba dokazati

5.4 Arhimedova spirala.

Zaporedno rezanje kvadratov od zlatih pravokotnikov do neskončnosti, vsakič, ko povezujemo nasprotne točke s četrtino kroga, dobimo precej elegantno krivuljo. Prvi je nanjo opozoril starogrški znanstvenik Arhimed, čigar ime nosi. Študiral ga je in izpeljal enačbo te spirale.

Trenutno se Arhimedova spirala pogosto uporablja v tehnologiji.

6. Fibonaccijeva števila.

Z zlatim rezom je posredno povezano ime italijanskega matematika Leonarda iz Pise, ki je bolj znan pod vzdevkom Fibonacci (Fibonacci je okrajšava od filius Bonacci, to je Bonaccijev sin).

Leta 1202 je napisal knjigo "Liber abacci", to je "Knjiga o abaku". "Liber abacci" je obsežno delo, ki vsebuje skoraj vse aritmetično in algebraično znanje tistega časa in je igralo pomembno vlogo pri razvoju matematike v zahodni Evropi v naslednjih nekaj stoletjih. Zlasti iz te knjige so se Evropejci seznanili s hindujskimi ("arabskimi") številkami.

Gradivo, ki je opisano v knjigi, je razloženo z velikim številom problemov, ki sestavljajo pomemben del te razprave.

Razmislite o eni takšni težavi:

Koliko parov zajcev se skoti iz enega para v enem letu?

Nekdo je postavil par zajcev na določeno mesto, z vseh strani obdano z zidom, da bi ugotovil, koliko parov zajcev se bo skotilo v tem letu, če je narava zajcev taka, da v enem mesecu par kunci bodo razmnoževali drugega, kunci pa rodijo od drugega meseca po rojstvu "

Zdaj pa preidimo od zajcev k številkam in razmislimo o naslednjem številskem zaporedju:

u 1 , u 2 … u n

v kateri je vsak člen enak vsoti prejšnjih dveh, tj. za katero koli n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

To zaporedje asimptotično (čedalje počasneje se približuje) teži k neki konstantni relaciji. Vendar je to razmerje iracionalno, to je število z neskončnim, nepredvidljivim zaporedjem decimalnih števk v ulomku. Ne more se natančno izraziti.

Če katerega koli člana Fibonaccijevega zaporedja delimo s tistim pred njim (na primer 13:8), bo rezultat vrednost, ki niha okoli iracionalne vrednosti 1,61803398875 ... in jo včasih preseže, včasih pa je ne doseže.

Asimptotično obnašanje zaporedja, dušena nihanja njegovega razmerja okoli iracionalnega števila Φ lahko postanejo bolj razumljivi, če prikažemo razmerja več prvih členov zaporedja. Ta primer prikazuje odnos drugega izraza do prvega, tretjega do drugega, četrtega do tretjega in tako naprej:

1:1 = 1,0000, kar je manj kot phi za 0,6180

2:1 = 2,0000, kar je 0,3820 več fi

3:2 = 1,5000, kar je manj kot phi za 0,1180

5:3 = 1,6667, kar je 0,0486 več fi

8:5 = 1,6000, kar je manj kot phi za 0,0180

Ko se premikate po Fibonaccijevem seštevalnem zaporedju, bo vsak nov člen razdelil naslednjega z vse večjim približevanjem nedosegljivemu F.

Človek podzavestno išče božansko sorazmerje: potrebno je, da zadovolji svojo potrebo po tolažbi.

Ko delimo katerega koli člana Fibonaccijevega zaporedja z naslednjim, dobimo le recipročno vrednost 1,618 (1: 1,618=0,618). A tudi to je zelo nenavaden, celo izjemen pojav. Ker je prvotno razmerje neskončen ulomek, tudi to razmerje ne bi smelo imeti konca.

Ko vsako število delimo z naslednjim, dobimo število 0,382

S tako izbiro razmerij dobimo glavni nabor Fibonaccijevih koeficientov: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Omenimo tudi 0,5 Vsi imajo posebno vlogo v naravi in ​​še posebej v tehnični analizi.

Pri tem je treba opozoriti, da je Fibonacci le spomnil človeštvo na svoje zaporedje, saj je bilo v starih časih znano pod imenom zlati rez.

Zlati rez, kot smo videli, nastane v povezavi s pravilnim peterokotnikom, zato Fibonaccijeva števila igrajo vlogo pri vsem, kar je povezano s pravilnimi peterokotniki – konveksnimi in zvezdastimi.

Fibonaccijev niz bi lahko ostal le matematični incident, če ne bi bilo dejstva, da so vsi raziskovalci zlatega razdelka v rastlinskem in živalskem svetu, da ne omenjamo umetnosti, vedno prišli do tega niza kot aritmetičnega izraza zakona zlatega razdelka. . Znanstveniki so še naprej aktivno razvijali teorijo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. Yu. Matiyasevich z uporabo Fibonaccijevih števil reši Hilbertov 10. problem (o rešitvi Diofantovih enačb). Obstajajo elegantne metode za reševanje številnih kibernetičnih problemov (teorija iskanja, igre, programiranje) z uporabo Fibonaccijevih števil in zlatega reza. V ZDA nastaja celo Mathematical Fibonacci Association, ki od leta 1963 izdaja posebno revijo.

Eden od dosežkov na tem področju je odkritje posplošenih Fibonaccijevih števil in posplošenega zlatega reza. Fibonaccijevo vrsto (1, 1, 2, 3, 5, 8) in "binarni" niz števil, ki ga je odkril 1, 2, 4, 8, 16 ... (to je niz števil do n , kjer je vsako naravno število, manjše od n, mogoče predstaviti kot vsoto nekaterih števil te serije), sta na prvi pogled popolnoma različni. Toda algoritmi za njihovo konstrukcijo so med seboj zelo podobni: v prvem primeru je vsako število vsota prejšnjega števila s samim seboj 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., v drugem - to je vsota dveh prejšnjih števil 2 = 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ali je mogoče najti splošno matematično formulo, iz katere in " binarno vrsto in Fibonaccijevo vrsto?

Res, nastavimo numerični parameter S, ki lahko zavzame poljubne vrednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5... ločen od prejšnjega s S koraki. Če n-ti člen te serije označimo s S (n), potem dobimo splošno formulo S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Očitno je, da bomo s S = 0 iz te formule dobili "binarno" serijo, s S = 1 - Fibonaccijevo serijo, s S = 2, 3, 4. nove serije števil, ki se imenujejo S-Fibonaccijeva števila.

Na splošno je zlati S-razmerje pozitiven koren enačbe zlatega S-prereza x S+1 – x S – 1 = 0.

Enostavno je pokazati, da pri S = 0 dobimo delitev segmenta na pol, pri S = 1 pa dobimo znani klasični zlati rez.

Razmerja sosednjih Fibonaccijevih S-števil z absolutno matematično natančnostjo v meji sovpadajo z zlatimi S-proporci! To pomeni, da so zlati S-rezi numerične invariante Fibonaccijevih S-števil.

7. Zlati rez v umetnosti.

7.1. Zlati rez v slikarstvu.

Če se obrnemo na primere "zlatega odseka" v slikarstvu, se ne moremo ustaviti na delu Leonarda da Vincija. Njegova identiteta je ena od skrivnosti zgodovine. Leonardo da Vinci je sam rekel: "Naj si nihče, ki ni matematik, ne upa brati mojih del."

Nobenega dvoma ni, da je bil Leonardo da Vinci velik umetnik, to so priznavali že njegovi sodobniki, a njegova osebnost in delovanje bosta ostala zavita v tančico skrivnosti, saj zanamcem ni zapustil koherentne predstavitve svojih zamisli, temveč le številne ročno napisane skice, zapiske. ki pravijo "oboji vsi na svetu."

Portret Monne Lise (Gioconde) že vrsto let pritegne pozornost raziskovalcev, ki so ugotovili, da kompozicija risbe temelji na zlatih trikotnikih, ki so deli pravilnega zvezdnega peterokotnika.

Tudi delež zlatega reza se pojavi na Šiškinovi sliki. Na tej slavni sliki I. I. Šiškina so jasno vidni motivi zlatega reza. Močno osvetljen bor (v ospredju) razdeli dolžino slike v skladu z zlatim rezom. Desno od borovca ​​je grič, obsijan s soncem. Desno stran slike deli vodoravno glede na zlati rez.

Raphaelova slika "Masaker nedolžnih" prikazuje še en element zlatega reza - zlato spiralo. Na pripravljalni skici Rafaela so rdeče črte narisane od pomenskega središča kompozicije - točke, kjer so se bojevnikovi prsti stisnili okoli otrokovega gležnja - vzdolž figur otroka, ženske, ki ga stiska k sebi, bojevnika z dvignjen meč in nato ob figurah iste skupine na desni strani skice. Ni znano, ali je Raphael zgradil zlato spiralo ali jo je čutil.

T. Cook je uporabil zlati rez pri analizi slike Sandra Botticellija "Rojstvo Venere".

7.2. Piramide zlatega odseka.

Zdravstvene lastnosti piramid, zlasti zlatega reza, so splošno znane. Po nekaterih najpogostejših mnenjih se prostor, v katerem je takšna piramida, zdi večji, zrak pa bolj pregleden. Sanje se začnejo bolje spominjati. Znano je tudi, da se je zlati rez pogosto uporabljal v arhitekturi in kiparstvu. Primer tega so bili: Panteon in Partenon v Grčiji, zgradbi arhitektov Baženova in Maleviča

8. Zaključek.

Treba je reči, da ima zlati rez veliko vlogo v našem življenju.

Dokazano je, da je človeško telo razdeljeno sorazmerno z zlatim rezom z linijo pasu.

Lupina navtilusa je zavita kot zlata spirala.

Zahvaljujoč zlatemu rezu je bil odkrit asteroidni pas med Marsom in Jupitrom - v razmerju bi moral biti tam še en planet.

Vzbujanje strune na točki, ki jo deli glede na zlato razdelek, ne bo povzročilo nihanja strune, to je točka kompenzacije.

Na letalih z elektromagnetnimi viri energije nastajajo pravokotne celice z razmerjem zlatega reza.

Gioconda je zgrajena na zlatih trikotnikih, zlata spirala je prisotna na Rafaelovi sliki "Masaker nedolžnih".

Sorazmerje, ki ga najdemo na sliki Sandra Botticellija "Rojstvo Venere"

Obstaja veliko arhitekturnih spomenikov, zgrajenih z uporabo zlatega reza, vključno s Panteonom in Partenonom v Atenah, zgradbami arhitektov Bazhenova in Maleviča.

John Kepler, ki je živel pred petimi stoletji, je lastnik izjave: "Geometrija ima dva velika zaklada. Prvi je Pitagorov izrek, drugi je delitev segmenta v skrajnem in povprečnem razmerju."

Bibliografija

1. D. Pidow. Geometrija in umetnost. – M.: Mir, 1979.

2. Revija "Znanost in tehnologija"

3. Revija "Quantum", 1973, št. 8.

4. Revija "Matematika v šoli", 1994, št. 2; številka 3.

5. Kovalev F.V. Zlati rez v slikarstvu. K .: Šola Vyscha, 1989.

6. Stakhov A. Kode zlatega reza.

7. Vorobyov N.N. "Fibonaccijeva števila" - M.: Nauka 1964

8. "Matematika - Enciklopedija za otroke" M .: Avanta +, 1998

9. Informacije iz interneta.

Fibonaccijeve matrike in tako imenovane "zlate" matrike, nova računalniška aritmetika, nova teorija kodiranja in nova teorija kriptografije. Bistvo nove znanosti je revizija vse matematike z vidika zlatega reza, začenši s Pitagoro, kar bo seveda prineslo nove in zagotovo zelo zanimive matematične rezultate v teoriji. V praktičnem smislu - "zlata" informatizacija. In ker ...

To ne bo vplivalo na ta rezultat. Osnova zlatega reza je invarianta rekurzivnih razmerij 4 in 6. To kaže na "stabilnost" zlatega reza, enega od principov organizacije žive snovi. Prav tako je osnova zlatega reza rešitev dveh eksotičnih rekurzivnih zaporedij (sl. 4.) Sl. 4 rekurzivna Fibonaccijeva zaporedja Torej...

Uho je j5, razdalja od ušesa do temena pa j6. Tako v tem kipu vidimo geometrijsko progresijo z imenovalcem j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (slika 9). Tako je zlati rez eno temeljnih načel v umetnosti stare Grčije. Ritmi srca in možganov. Človeško srce bije enakomerno - približno 60 utripov na minuto v mirovanju. Srce se stisne kot bat ...