Neskončno padajoča geometrijska progresija na spletu. Formula za vsoto prvih n članov GP. Problemi za izračun obrestnih obresti

ŠTEVILSKA ZAPODJA VI

§ l48. Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije

Doslej smo pri vsotah vedno predpostavljali, da je število členov v teh vsotah končno (na primer 2, 15, 1000 itd.). Toda pri reševanju nekaterih problemov (predvsem višje matematike) je treba imeti opravka z vsotami neskončnega števila členov.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Kakšni so ti zneski? Po definiciji vsota neskončnega števila členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... se imenuje limita vsote S n prvi p številke, ko p -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Meja (2) seveda lahko obstaja ali pa tudi ne. V skladu s tem pravimo, da vsota (1) obstaja ali ne obstaja.

Kako ugotoviti, ali vsota (1) obstaja v vsakem posameznem primeru? Splošna rešitev tega vprašanja daleč presega obseg našega programa. Vendar pa obstaja en pomemben poseben primer, ki ga moramo zdaj upoštevati. Govorili bomo o seštevku členov neskončno padajoče geometrijske progresije.

Pustiti a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... je neskončno padajoča geometrijska progresija. To pomeni, da | q |< 1. Сумма первых p članov tega napredovanja je enako

Iz osnovnih izrekov o mejah spremenljivk (glej § 136) dobimo:

Toda 1 = 1, a q n = 0. Zato

Torej je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije enaka prvemu členu te progresije, deljeno z ena minus imenovalec te progresije.

1) Vsota geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

in vsota geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3/2 , ... enako

2) Preprosti periodični ulomek 0,454545 ... se spremeni v navadnega.

Za rešitev tega problema predstavimo ta ulomek kot neskončno vsoto:

Desna stran te enakosti je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije, katere prvi člen je 45/100, imenovalec pa 1/100. Zato

Na opisani način lahko dobimo tudi splošno pravilo za pretvorbo enostavnih periodičnih ulomkov v navadne ulomke (glej II. poglavje, 38. odstavek):

Če želite preprosti periodični ulomek pretvoriti v navadnega, morate ravnati na naslednji način: v števec postavite obdobje decimalnega ulomka, v imenovalec pa število, sestavljeno iz devetk, vzetih tolikokrat, kolikor je števk v obdobju. decimalnega ulomka.

3) Mešani periodični ulomek 0,58333 .... spremeni v navaden ulomek.

Predstavimo ta ulomek kot neskončno vsoto:

Na desni strani te enakosti vsi členi, začenši s 3/1000, tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo, katere prvi člen je 3/1000, imenovalec pa 1/10. Zato

Na opisani način lahko dobimo tudi splošno pravilo za pretvorbo mešanih periodičnih ulomkov v navadne ulomke (glej II. poglavje, § 38). Sem ga namenoma ne vključimo. Tega okornega pravila si ni treba zapomniti. Veliko bolj koristno je vedeti, da lahko vsak mešani periodični ulomek predstavimo kot vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije in nekega števila. In formula

za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije si je treba seveda zapomniti.

Kot vajo vas vabimo, da poleg spodnjih nalog št. 995-1000 še enkrat preberete nalogo št. 301 § 38.

vaje

995. Kaj imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije?

996. Poiščite vsote neskončno padajočih geometrijskih progresij:

997. Za kakšne vrednosti X napredovanje

se neskončno zmanjšuje? Poiščite vsoto takšne progresije.

998. V enakostraničnem trikotniku s stranico a nov trikotnik je včrtan s povezovanjem razpolovišč njegovih stranic; v ta trikotnik je na enak način vpisan nov trikotnik in tako naprej ad infinitum.

a) vsoto obsegov vseh teh trikotnikov;

b) vsoto njihovih ploščin.

999. V kvadratu s stranico a nov kvadrat je včrtan s povezovanjem razpolovišč njegovih stranic; v ta kvadrat je na enak način vpisan kvadrat in tako naprej ad infinitum. Poiščite vsoto obsegov vseh teh kvadratov in vsoto njihovih ploščin.

1000. Naredite neskončno padajočo geometrijsko progresijo, tako da je njena vsota enaka 25/4, vsota kvadratov njenih členov pa 625/24.

Geometrična progresija je številsko zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak naslednji člen pa je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom, ki ni nič.

Koncept geometrijske progresije

Geometrijsko progresijo označujemo z b1,b2,b3, …, bn, … .

Razmerje katerega koli člena geometrijske napake in njegovega prejšnjega člena je enako istemu številu, to je b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. To neposredno izhaja iz definicije aritmetične progresije. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije. Običajno je imenovalec geometrijske progresije označen s črko q.

Vsota neskončne geometrijske progresije za |q|<1

Eden od načinov za nastavitev geometrijske progresije je nastavitev njenega prvega člena b1 in imenovalca geometrijske napake q. Na primer, b1=4, q=-2. Ta dva pogoja dajeta geometrijsko progresijo 4, -8, 16, -32, ….

Če je q>0 (q ni enak 1), je napredovanje monotono zaporedje. Na primer, zaporedje 2, 4,8,16,32, ... je monotono naraščajoče zaporedje (b1=2, q=2).

Če je v geometrijski napaki imenovalec q=1, bodo vsi členi geometrijske progresije med seboj enaki. V takšnih primerih pravimo, da je napredovanje konstantno zaporedje.

Da bi bilo številsko zaporedje (bn) geometrijska progresija, mora biti vsak njegov člen, začenši z drugim, geometrična sredina sosednjih členov. To pomeni, da je treba izpolniti naslednjo enačbo
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za vsak n>0, kjer n pripada množici naravnih števil N.

Zdaj pa postavimo (Xn) - geometrijsko napredovanje. Imenovalec geometrijske progresije q, pri čemer |q|∞).
Če zdaj s S označimo vsoto neskončne geometrijske progresije, bo veljala naslednja formula:
S=x1/(1-q).

Razmislite o preprostem primeru:

Poiščite vsoto neskončne geometrijske progresije 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Za iskanje S uporabimo formulo za vsoto neskončne aritmetične progresije. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Geometrična progresija je številsko zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak naslednji člen pa je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom, ki ni nič.

Označena je geometrijska progresija b1,b2,b3, …, bn, … .

Monotono in konstantno zaporedje

Če je q>0 (q ni enak 1), potem je napredovanje monotono zaporedje. Na primer, zaporedje 2, 4,8,16,32, ... je monotono naraščajoče zaporedje (b1=2, q=2).

Če je v geometrijski napaki imenovalec q=1, bodo vsi členi geometrijske progresije med seboj enaki. V takšnih primerih se reče, da je napredovanje stalno zaporedje.

Formula n-tega člana geometrijske progresije

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je:

bn=b1*q^(n-1),

kjer n pripada množici naravnih števil N.

Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije

Formula za vsoto prvih n členov geometrijske progresije je:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kjer q ni enak 1.

Razmislite o preprostem primeru:

V geometrijski progresiji b1=6, q=3, n=8 poiščite Sn.

Za iskanje S8 uporabimo formulo za vsoto prvih n členov geometrijske progresije.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je zelo preprosta stvar. Tako po pomenu kot na splošno. Toda za formulo n-tega člana obstajajo najrazličnejše težave - od zelo primitivnih do zelo resnih. In v procesu našega poznanstva bomo zagotovo upoštevali oba. No, se srečamo?)

Torej, pravzaprav za začetek formulan

Ona je tukaj:

b n = b 1 · q n -1

Formula kot formula, nič nadnaravnega. Videti je še bolj preprosto in kompaktno kot podobna formula za . Tudi pomen formule je preprost, kot škorenj iz filca.

Ta formula vam omogoča, da poiščete KATERIKOLI člen geometrijskega napredovanja PO NJEGOVEM ŠTEVILU " n".

Kot lahko vidite, je pomen popolna analogija z aritmetično progresijo. Poznamo število n - lahko tudi izračunamo člen pod tem številom. Kaj hočemo. Ni zaporednega množenja s "q" veliko, velikokrat. To je bistvo.)

Razumem, da bi vam morale biti na tej stopnji dela s progresijami vse količine, vključene v formulo, že jasne, vendar menim, da je moja dolžnost, da vsako dešifriram. Za vsak slučaj.

Pa pojdimo:

b 1 – prvičlen geometrijskega napredovanja;

q – ;

n– člansko številko;

b n – n-ti (nth)člen geometrijskega napredovanja.

Ta formula povezuje štiri glavne parametre katere koli geometrijske progresije - bn, b 1 , q in n. In okoli teh štirih ključnih številk se vrtijo vse naloge v napredovanju.

"In kako je prikazano?"- Slišim radovedno vprašanje ... Osnovno! poglej!

Čemu je enako drugočlan napredovanja? Brez problema! Pišemo neposredno:

b 2 = b 1 q

In tretji član? Tudi ni problem! Drugi člen pomnožimo spet naq.

Všečkaj to:

B 3 \u003d b 2 q

Zdaj se spomnimo, da je drugi člen enak b 1 q in ta izraz nadomestimo v našo enakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobimo:

B 3 = b 1 q 2

Zdaj pa preberimo naš vnos v ruščini: tretjičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in drugo stopnja. Ali razumeš? Ne še? V redu, še en korak.

Kaj je četrti izraz? Vse enako! Pomnožite prejšnji(tj. tretji člen) na q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Skupaj:

B 4 = b 1 q 3

In spet prevajamo v ruščino: četrtičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in tretji stopnja.

In tako naprej. Kako je torej? Ste ujeli vzorec? ja! Za kateri koli člen s poljubnim številom bo število enakih faktorjev q (tj. potenca imenovalca) vedno enega manj od števila želenega članan.

Zato bo naša formula brez možnosti:

b n =b 1 · q n -1

To je vse.)

No, rešimo probleme, kajne?)

Reševanje nalog s formulončlen geometrijskega napredovanja.

Začnimo, kot običajno, z neposredno uporabo formule. Tukaj je tipična težava:

Eksponentno je znano, da b 1 = 512 in q = -1/2. Poiščite deseti člen napredovanja.

Seveda je ta problem mogoče rešiti brez kakršnih koli formul. Tako kot geometrijsko napredovanje. Vendar se moramo ogreti s formulo n-tega člena, kajne? Tukaj se razhajamo.

Naši podatki za uporabo formule so naslednji.

Prvi termin je znan. To je 512.

b 1 = 512.

Znan je tudi imenovalec napredovanja: q = -1/2.

Ostaja le še ugotoviti, čemu je enako število člena n. Brez problema! Nas zanima deseti mandat? Zato nadomestimo deset namesto n v splošni formuli.

In natančno izračunajte aritmetiko:

Odgovor: -1

Kot lahko vidite, se je deseti člen napredovanja izkazal z minusom. Nič čudnega: imenovalec progresije je -1/2, tj. negativnoštevilo. In to nam pove, da se znaki našega napredovanja izmenjujejo, da.)

Tukaj je vse preprosto. In tukaj je podoben problem, vendar nekoliko bolj zapleten v smislu izračunov.

V geometrijski progresiji vemo, da:

b 1 = 3

Poiščite trinajsti člen napredovanja.

Vse je po starem, le da je tokrat imenovalec napredovanja - neracionalno. Koren iz dva. No, nič hudega. Formula je univerzalna stvar, kos je vsem številkam.

Delamo neposredno po formuli:

Formula je seveda delovala, kot bi morala, ampak ... tukaj bodo nekateri obviseli. Kaj storiti s korenom? Kako dvigniti koren na dvanajsto potenco?

Kako-kako ... Razumeti morate, da je vsaka formula seveda dobra stvar, vendar znanje vse prejšnje matematike ni preklicano! Kako dvigniti? Da, zapomnite si lastnosti stopinj! Spremenimo koren v delna stopnja in - s formulo dviga potence na potenco.

Všečkaj to:

Odgovor: 192

In vse stvari.)

Kaj je glavna težava pri neposredni uporabi formule n-tega člena? ja! Glavna težava je delo z diplomami! In sicer potenciranje negativnih števil, ulomkov, korenov in podobnih konstrukcij. Torej tisti, ki imate s tem težave, nujna prošnja za ponovitev diplom in njihovih lastnosti! V nasprotnem primeru se boste upočasnili v tej temi, ja ...)

Zdaj pa rešimo tipične težave pri iskanju eden od elementov formuleče so vsi ostali podani. Za uspešno reševanje tovrstnih težav je recept en sam in do groze preprost - napiši formulončlan nasploh! Kar v zvezku zraven pogoja. In potem iz stanja razberemo, kaj nam je dano in kaj premalo. In izrazimo želeno vrednost iz formule. Vse!

Na primer, tako neškodljiva težava.

Peti člen geometrijske progresije z imenovalcem 3 je 567. Poiščite prvi člen te progresije.

Nič zapletenega. Delamo neposredno po uroku.

Zapišemo formulo n-tega člena!

b n = b 1 · q n -1

Kaj nam je dano? Najprej je podan imenovalec napredovanja: q = 3.

Poleg tega nam je dano peti član: b 5 = 567 .

Vse? ne! Dano nam je tudi število n! To je petica: n = 5.

Upam, da že razumete, kaj je v zapisu b 5 = 567 dva parametra sta skrita hkrati - to je sam peti član (567) in njegova številka (5). V podobni lekciji o tem sem že govoril o tem, vendar mislim, da ni odveč spomniti tukaj.)

Zdaj svoje podatke nadomestimo s formulo:

567 = b 1 3 5-1

Upoštevamo aritmetiko, poenostavimo in dobimo preprosto linearno enačbo:

81 b 1 = 567

Rešimo in dobimo:

b 1 = 7

Kot vidite, z iskanjem prvega člana ni težav. Ko pa iščemo imenovalec q in številke n lahko pride do presenečenj. In tudi nanje morate biti pripravljeni (presenečenja), ja.)

Na primer, taka težava:

Peti člen geometrijske progresije s pozitivnim imenovalcem je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Tokrat dobimo prvega in petega člana in najdemo imenovalec napredovanja. Tukaj začnemo.

Napišemo formulonth član!

b n = b 1 · q n -1

Naši začetni podatki bodo naslednji:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Ni dovolj vrednosti q. Brez problema! Poiščimo ga zdaj.) V formulo nadomestimo vse, kar vemo.

Dobimo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Preprosta enačba četrte stopnje. Ampak zdaj - previdno! Na tej stopnji rešitve mnogi učenci takoj veselo izluščijo koren (četrte stopnje) in dobijo odgovor q=3 .

Všečkaj to:

q4 = 81

q = 3

Toda na splošno je to nedokončan odgovor. Oziroma nepopolno. Zakaj? Bistvo je, da je odgovor q = -3 ustreza tudi: (-3) 4 bi bilo tudi 81!

To je zato, ker enačba moči x n = a vedno ima dva nasprotna korena pri celon . Plus in minus:

Oboje ustreza.

Na primer, reševanje (tj. drugo stopinj)

x2 = 9

Iz neznanega razloga niste presenečeni nad videzom dva korenine x=±3? Tukaj je enako. In s katero koli drugo celo stopnja (četrta, šesta, deseta itd.) bodo enaki. Podrobnosti - v temi o

Pravilna rešitev bi torej bila:

q 4 = 81

q= ±3

V redu, ugotovili smo znake. Katera je pravilna - plus ali minus? No, v iskanju smo ponovno prebrali pogoj problema Dodatne informacije. Seveda morda ne obstaja, vendar v tej težavi takšne informacije na voljo. V našem stanju je neposredno navedeno, da je napredovanje podano z pozitivni imenovalec.

Torej je odgovor očiten:

q = 3

Tukaj je vse preprosto. Kaj mislite, kaj bi se zgodilo, če bi bila izjava o problemu takšna:

Peti člen geometrijske progresije je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Kaj je razlika? ja! V stanju nič brez omembe imenovalca. Niti neposredno niti posredno. In tukaj bi že imel problem dve rešitvi!

q = 3 in q = -3

Da Da! In s plusom in minusom.) Matematično bi to dejstvo pomenilo, da obstajajo dva napredovanja ki ustreza nalogi. In za vsako - svoj imenovalec. Za zabavo vadite in zapišite prvih pet členov vsakega.)

Zdaj pa vadimo iskanje članske številke. Ta je najtežji, ja. A tudi bolj kreativen.

Glede na geometrijsko progresijo:

3; 6; 12; 24; …

Katero število je 768 v tem napredovanju?

Prvi korak je enak: napiši formulonth član!

b n = b 1 · q n -1

In zdaj, kot običajno, vanj nadomestimo znane podatke. Hm ... ne gre! Kje je prvi člen, kje je imenovalec, kje je vse ostalo?!

Kje, kje ... Zakaj potrebujemo oči? Plapolanje trepalnic? Tokrat nam je napredovanje podano neposredno v obrazcu zaporedja. Ali lahko vidimo prvi termin? Vidimo! To je trojka (b 1 = 3). Kaj pa imenovalec? Tega še ne vidimo, vendar ga je zelo enostavno prešteti. Če seveda razumete.

Tukaj upoštevamo. Neposredno glede na pomen geometrijskega napredovanja: vzamemo katerega koli od njegovih členov (razen prvega) in delimo s prejšnjim.

Vsaj takole:

q = 24/12 = 2

Kaj še vemo? Poznamo tudi nekaj členov te progresije, ki je enak 768. Pod neko številko n:

b n = 768

Ne poznamo njegove številke, a naša naloga je ravno to, da ga najdemo.) Torej iščemo. Vse potrebne podatke za zamenjavo v formuli smo že prenesli. Neopazno.)

Tukaj nadomestimo:

768 = 3 2n -1

Naredimo elementarne - oba dela delimo s tri in enačbo prepišemo v običajni obliki: neznanka na levi, znana na desni.

Dobimo:

2 n -1 = 256

Tukaj je zanimiva enačba. Najti moramo "n". Kaj je nenavadnega? Ja, ne trdim. Pravzaprav je najbolj preprosto. Tako se imenuje, ker neznanka (v tem primeru je to številka n) nastopi indikator stopnja.

Na stopnji seznanjanja z geometrijskim napredovanjem (to je deveti razred) se eksponentnih enačb ne učijo reševati, ja ... To je tema za srednjo šolo. Ampak ni nič strašnega. Tudi če ne veste, kako se takšne enačbe rešijo, poskusimo najti našo n vodeni po preprosti logiki in zdravi pameti.

Začnemo razpravljati. Na levi strani imamo dvojko do določene mere. Ne vemo še, kaj točno je ta diploma, vendar to ni strašljivo. Po drugi strani pa trdno vemo, da je ta stopnja enaka 256! Torej si zapomnimo, v kolikšni meri nam dvojka daje 256. Se spomniš? ja! AT osmo stopnje!

256 = 2 8

Če se niste spomnili ali s prepoznavanjem stopenj problema, potem je tudi v redu: samo zaporedno dvignemo dvoje na kvadrat, na kocko, na četrto potenco, na peto itd. Izbor je pravzaprav, a na tej ravni, kar velika vožnja.

Tako ali drugače bomo dobili:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Torej 768 je devetičlan našega napredovanja. To je to, problem rešen.)

Odgovor: 9

Kaj? dolgočasno? Ste naveličani osnovnega? Strinjam se. In jaz tudi. Pojdimo na naslednjo stopnjo.)

Bolj zapletene naloge.

In zdaj rešujemo uganke bolj naglo. Ni ravno super kul, a na katerem se moraš malo potruditi, da prideš do odgovora.

Na primer takole.

Poiščite drugi člen geometrijske progresije, če je njegov četrti člen -24 in sedmi člen 192.

To je klasika žanra. Znana sta dva različna člana napredovanja, vendar je treba najti še enega. Poleg tega vsi člani NISO sosedje. Kar najprej zmede, ja ...

Kot v , obravnavamo dve metodi za reševanje takih problemov. Prvi način je univerzalen. Algebraic. Deluje brezhibno z vsemi izvornimi podatki. Torej, tam bomo začeli.)

Vsak člen naslikamo po formuli nth član!

Vse je popolnoma enako kot pri aritmetični progresiji. Samo tokrat delamo s drugo splošna formula. To je vse.) Toda bistvo je enako: vzamemo in po vrsti naše začetne podatke nadomestimo v formulo n-tega člena. Za vsakega člana - svoje.

Za četrti člen zapišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tukaj je. Ena enačba je popolna.

Za sedmi člen zapišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Skupno smo dobili dve enačbi za enako napredovanje .

Iz njih sestavimo sistem:

Kljub izjemnemu videzu je sistem precej preprost. Najbolj očiten način reševanja je običajna zamenjava. Izražamo b 1 iz zgornje enačbe in nadomestite v spodnjo:

Malo poigravanja s spodnjo enačbo (zmanjšanje eksponentov in deljenje z -24) prinese:

q 3 = -8

Mimogrede, do iste enačbe je mogoče priti na preprostejši način! Kaj? Zdaj vam bom pokazal še en skrivni, a zelo lep, zmogljiv in uporaben način reševanja takih sistemov. Takšni sistemi, v enačbah katerih sedijo samo dela. Vsaj v enem. klical metoda delitve termina eno enačbo v drugo.

Torej imamo sistem:

V obeh enačbah na levi - delo, na desni pa je samo številka. To je zelo dober znak.) Vzemimo in ... delimo, recimo, spodnjo enačbo z zgornjo! Kaj pomeni, deli eno enačbo z drugo? Zelo preprosto. Vzamemo leva stran ena enačba (spodnja) in delimo ona na leva stran druga enačba (zgornja). Desna stran je podobna: desna stran ena enačba delimo na desna stran drugo.

Celoten postopek delitve izgleda takole:

Če zmanjšamo vse, kar je zmanjšano, dobimo:

q 3 = -8

Kaj je dobro pri tej metodi? Da, saj se lahko v procesu takšne delitve vse slabo in neprijetno varno zmanjša in ostane povsem neškodljiva enačba! Zato je tako pomembno imeti samo množenja v vsaj eni od enačb sistema. Ni množenja - ni ničesar zmanjšati, ja ...

Na splošno si ta metoda (kot mnogi drugi netrivialni načini reševanja sistemov) celo zasluži ločeno lekcijo. Vsekakor si ga bom podrobneje ogledal. Nekega dne…

Ne glede na to, kako rešite sistem, moramo v vsakem primeru zdaj rešiti nastalo enačbo:

q 3 = -8

Ni problema: izluščimo koren (kubik) in - končano!

Upoštevajte, da pri ekstrakciji tukaj ni treba dati plusa / minusa. Imamo koren lihe (tretje) stopnje. In odgovor je enak, ja.

Torej, imenovalec napredovanja je najden. Minus dva. odlično! Postopek je v teku.)

Za prvi člen (recimo iz zgornje enačbe) dobimo:

odlično! Poznamo prvi člen, poznamo imenovalec. In zdaj imamo priložnost najti katerega koli člana napredovanja. Vključno z drugim.)

Za drugega člana je vse precej preprosto:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odgovor: -6

Tako smo uredili algebrski način reševanja problema. Težko? Ne veliko, se strinjam. Dolgo in dolgočasno? Da, zagotovo. Toda včasih lahko bistveno zmanjšate količino dela. Za to obstaja grafični način. Dobri stari in nam poznani po .)

Narišimo problem!

ja! Točno tako. Spet upodabljamo naše napredovanje na številski osi. Ne nujno z ravnilom, ni treba vzdrževati enakih intervalov med členi (ki, mimogrede, ne bodo enaki, ker je napredovanje geometrijsko!), ampak preprosto shematično narišite naše zaporedje.

Dobil sem takole:

Zdaj pa poglejte sliko in pomislite. Koliko enakih faktorjev "q" si deli četrti in sedmiččlani? Tako je, tri!

Zato imamo vso pravico zapisati:

-24q 3 = 192

Od tu je zdaj preprosto najti q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, imenovalec je že v našem žepu. In zdaj spet pogledamo sliko: koliko takšnih imenovalcev sedi med drugo in četrtičlani? Dva! Zato bomo za zapis razmerja med temi členi zvišali imenovalec na kvadrat.

Tukaj pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , kje b 2 = -24/ q 2

Najdeni imenovalec zamenjamo v izraz za b 2 , preštejemo in dobimo:

Odgovor: -6

Kot lahko vidite, je vse veliko preprostejše in hitrejše kot prek sistema. Še več, tukaj nam prvega termina sploh ni bilo treba šteti! Nasploh.)

Tukaj je tako preprosta in vizualna pot-luč. Ima pa tudi resno pomanjkljivost. Ste uganili? ja! Dobro je samo za zelo kratke dele napredovanja. Tiste, kjer razdalje med člani, ki nas zanimajo, niso zelo velike. V vseh drugih primerih pa je že težko narisati sliko, ja ... Potem problem rešujemo analitično, preko sistema.) In sistemi so univerzalna stvar. Ukvarjajte se s poljubno številko.

Še ena epska:

Drugi člen geometrijskega napredovanja je 10 večji od prvega, tretji člen pa 30 večji od drugega. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kaj je kul? Sploh ne! Vse enako. Ponovno prevedemo pogoj problema v čisto algebro.

1) Vsak člen naslikamo po formuli nth član!

Drugi člen: b 2 = b 1 q

Tretji člen: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Iz pogoja naloge zapišemo razmerje med členi.

Branje pogoja: "Drugi člen geometrijske progresije je 10 večji od prvega." Nehajte, to je dragoceno!

Torej pišemo:

b 2 = b 1 +10

In ta stavek prevedemo v čisto matematiko:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dve enačbi. Združimo jih v sistem:

Sistem je videti preprost. Obstaja pa veliko različnih indeksov za črke. Zamenjajmo namesto drugega in tretjega člena njihov izraz skozi prvi člen in imenovalec! Zaman, ali kaj, smo jih slikali?

Dobimo:

Ampak tak sistem ni več darilo, ja ... Kako to rešiti? Na žalost je univerzalni skrivni urok za reševanje zapleten nelinearni Sistemov v matematiki ni in jih ne more biti. To je fantastično! Toda prva stvar, ki bi vam morala priti na misel, ko poskušate streti tako trd oreh, je ugotoviti Toda ali ni ena od enačb sistema reducirana v čudovito obliko, ki olajša, na primer, izražanje ene od spremenljivk z drugo?

Ugibajmo. Prva enačba sistema je očitno enostavnejša od druge. Mučili ga bomo.) Zakaj ne bi poskusili iz prve enačbe nekaj izraziti skozi nekaj? Ker želimo najti imenovalec q, potem bi bilo za nas najbolj ugodno izraziti b 1 skozi q.

Poskusimo torej izvesti ta postopek s prvo enačbo z uporabo dobrih starih:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Vse! Tukaj smo izrazili nepotrebno uporabimo spremenljivko (b 1) skozi potrebno(q). Da, ni najbolj preprost izraz. Nekakšen ulomek ... Toda naš sistem je na spodobni ravni, ja.)

Tipično. Kaj storiti - vemo.

Pišemo ODZ (nujno!) :

q ≠ 1

Vse pomnožimo z imenovalcem (q-1) in skrajšamo vse ulomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vse delimo z deset, odpremo oklepaje, zberemo vse na levi:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rešimo nastalo in dobimo dva korena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Končni odgovor je samo en: q = 3 .

Odgovor: 3

Kot lahko vidite, je način reševanja večine problemov za formulo n-tega člana geometrijske progresije vedno enak: beremo previdno pogoj problema in z uporabo formule n-tega člena prevedemo vse koristne informacije v čisto algebro.

namreč:

1) Vsak člen, podan v nalogi, zapišemo posebej po formulinth član.

2) Iz pogoja problema povezavo med členi prevedemo v matematično obliko. Sestavimo enačbo ali sistem enačb.

3) Nastalo enačbo ali sistem enačb rešimo, poiščemo neznane parametre progresije.

4) V primeru dvoumnega odgovora natančno preberemo pogoj problema in poiščemo dodatne informacije (če obstajajo). Prejeti odgovor preverimo tudi s pogoji ODZ (če obstajajo).

In zdaj navajamo glavne težave, ki najpogosteje vodijo do napak v procesu reševanja problemov geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije z ulomki in negativnimi števili.

2. Če je vsaj ena od teh treh točk težava, se boste v tej temi neizogibno zmotili. Na žalost ... Zato ne bodite leni in ponovite zgoraj omenjeno. In sledite povezavam - pojdite. Včasih pomaga.)

Spremenjene in ponavljajoče se formule.

In zdaj si poglejmo nekaj tipičnih izpitnih težav z manj znano predstavitvijo stanja. Da, da, uganili ste! to spremenjeno in ponavljajoče se formule n-tega člana. S takimi formulami smo se že srečali in delali v aritmetični progresiji. Tukaj je vse podobno. Bistvo je isto.

Na primer, taka težava iz OGE:

Geometrijsko napredovanje podaja formula b n = 3 2 n . Poiščite vsoto prvega in četrtega člena.

Tokrat nam napredovanje ni namenjeno čisto tako kot običajno. Nekakšna formula. Pa kaj? Ta formula je tudi formulanth član! Vsi vemo, da lahko formulo n-tega člena zapišemo v splošni obliki, s črkami in za specifično napredovanje. OD specifična prvi člen in imenovalec.

V našem primeru nam je pravzaprav podana splošna terminska formula za geometrijsko progresijo z naslednjimi parametri:

b 1 = 6

q = 2

Preverimo?) Zapišimo formulo n-tega člena v splošni obliki in jo nadomestimo b 1 in q. Dobimo:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Poenostavimo z uporabo lastnosti faktorizacije in moči in dobimo:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kot vidite, je vse pošteno. Toda naš cilj z vami ni pokazati izpeljavo določene formule. To je tako, lirična digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je rešiti problem po formuli, ki nam je podana v pogoju. Ste razumeli?) Torej delamo neposredno s spremenjeno formulo.

Štejemo prvi termin. Nadomestek n=1 v splošno formulo:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Všečkaj to. Mimogrede, nisem preveč len in še enkrat vas bom opozoril na tipično napako pri izračunu prvega člena. NE glejte formule b n= 3 2n, takoj hiti pisati, da je prvi član trojka! To je velika napaka, ja ...)

Nadaljujemo. Nadomestek n=4 in razmislite o četrtem izrazu:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

In končno izračunamo potrebno količino:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Druga težava.

Geometrijsko napredovanje je podano s pogoji:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Poiščite četrti člen napredovanja.

Tu je napredovanje podano s ponavljajočo se formulo. No, v redu.) Kako delati s to formulo - tudi vemo.

Tukaj delujemo. Korak za korakom.

1) štetje dveh zaporednačlan napredovanja.

Prvi termin nam je že dan. Minus sedem. Toda naslednji, drugi člen, je mogoče enostavno izračunati z uporabo rekurzivne formule. Če razumete, kako deluje, seveda.)

Tukaj upoštevamo drugi izraz po slavnem prvem:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Upoštevamo imenovalec napredovanja

Tudi brez problema. Naravnost, deli drugo kurac na prvi.

Dobimo:

q = -21/(-7) = 3

3) Napišite formulončlana v običajni obliki in upoštevajte želenega člana.

Torej poznamo prvi člen, imenovalec tudi. Tukaj pišemo:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Odgovor: -189

Kot lahko vidite, se delo s takimi formulami za geometrijsko progresijo v bistvu ne razlikuje od dela za aritmetično progresijo. Pomembno je le razumeti splošno bistvo in pomen teh formul. No, razumeti je treba tudi pomen geometrijskega napredovanja, ja.) In potem ne bo neumnih napak.

No, se odločimo sami?)

Čisto elementarne naloge, za ogrevanje:

1. Glede na geometrijsko progresijo, v kateri b 1 = 243 in q = -2/3. Poiščite šesti člen napredovanja.

2. Skupni člen geometrijske progresije je podan s formulo b n = 5∙2 n +1 . Poiščite številko zadnjega trimestnega člana te progresije.

3. Geometrijsko napredovanje je podano s pogoji:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Poiščite peti člen napredovanja.

Malo bolj zapleteno:

4. Glede na geometrijsko progresijo:

b 1 =2048; q =-0,5

Kaj je njegov šesti negativni člen?

Kaj se zdi super težko? Sploh ne. Logika in razumevanje pomena geometrijske progresije bosta rešila. No, formula n-tega člena, seveda.

5. Tretji člen geometrijske progresije je -14 in osmi člen 112. Poiščite imenovalec progresije.

6. Vsota prvega in drugega člena geometrijske progresije je 75, vsota drugega in tretjega člena pa 150. Poiščite šesti člen progresije.

Odgovori (v razsulu): 6; -3888; - ena; 800; -32; 448.

To je skoraj vse. Ostaja samo naučiti se šteti vsota prvih n členov geometrijske progresije da odkrijte neskončno padajoča geometrijska progresija in njegovo količino. Mimogrede, zelo zanimiva in nenavadna stvar! Več o tem v kasnejših lekcijah.)

Geometrična progresija je številsko zaporedje, katerega prvi člen ni nič, vsak naslednji člen pa je enak prejšnjemu členu, pomnoženemu z istim številom, ki ni nič. Geometrijsko progresijo označujemo z b1,b2,b3, …, bn, …

Lastnosti geometrijske progresije

Če je q>0 (q ni enak 1), je napredovanje monotono zaporedje. Na primer, zaporedje 2, 4,8,16,32, ... je monotono naraščajoče zaporedje (b1=2, q=2).

Če je v geometrijski napaki imenovalec q=1, bodo vsi členi geometrijske progresije med seboj enaki. V takšnih primerih pravimo, da je napredovanje konstantno zaporedje.

Formula n-tega člana progresije

Da bi bilo številsko zaporedje (bn) geometrijska progresija, mora biti vsak njegov člen, začenši z drugim, geometrična sredina sosednjih členov. To pomeni, da je treba izpolniti naslednjo enačbo - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), za vsak n>0, kjer n pripada množici naravnih števil N.

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je:

bn=b1*q^(n-1), kjer n pripada množici naravnih števil N.

Razmislite o preprostem primeru:

V geometrijski progresiji b1=6, q=3, n=8 poiščite bn.

Uporabimo formulo n-tega člena geometrijske progresije.