Budowa pięciokąta foremnego. Rysunek techniczny. Konstruowanie wielokątów foremnych Schemat pięciokąta foremnego

Ta figura to wielokąt z minimalną liczbą rogów, których nie można użyć do pokrycia obszaru. Tylko pięciokąt ma tyle samo przekątnych co jego boki. Korzystając ze wzorów dla dowolnego regularnego wielokąta, możesz określić wszystkie niezbędne parametry, które ma pięciokąt. Na przykład wpisz go w okrąg o zadanym promieniu lub zbuduj go na podstawie zadanego boku bocznego.

Jak poprawnie narysować belkę i jakich materiałów do rysowania będziesz potrzebować? Weź kartkę papieru i zaznacz kropkę w dowolnym miejscu. Następnie przymocuj linijkę i narysuj linię od wskazanego punktu do nieskończoności. Aby narysować linię prostą, naciśnij klawisz „Shift” i narysuj linię o żądanej długości. Natychmiast po narysowaniu otworzy się zakładka „Format”. Odznacz linię, a zobaczysz, że na początku linii pojawiła się kropka. Aby utworzyć napis, kliknij przycisk „Narysuj napis” i utwórz pole, w którym znajdzie się napis.

Pierwszy sposób budowy pięciokąta jest uważany za bardziej „klasyczny”. Wynikowa liczba będzie regularnym pięciokątem. Dwunastokąt nie jest wyjątkiem, więc jego budowa będzie niemożliwa bez użycia kompasu. Zadanie zbudowania pięciokąta foremnego sprowadza się do podzielenia koła na pięć równych części. Możesz narysować pentagram za pomocą najprostszych narzędzi.

Długo walczyłem próbując to osiągnąć i samodzielnie znaleźć proporcje i zależności, ale mi się nie udało. Okazało się, że istnieje kilka różnych opcji konstruowania pięciokąta foremnego, opracowanych przez znanych matematyków. Interesujące jest to, że arytmetycznie ten problem można rozwiązać tylko w przybliżeniu dokładnie, ponieważ trzeba będzie użyć liczb niewymiernych. Ale można to rozwiązać geometrycznie.

Podział kręgów. Punkty przecięcia tych prostych z okręgiem są wierzchołkami kwadratu. W okręgu o promieniu R (krok 1) narysuj pionową średnicę. W punkcie koniugacji N prostej i okręgu prosta jest styczna do okręgu.

Odbiór z paskiem papieru

Sześciokąt foremny można zbudować za pomocą trójkąta T i kwadratu 30X60°. Wierzchołki takiego trójkąta można zbudować za pomocą kompasu i kwadratu o kątach 30 i 60 ° lub tylko jednego kompasu. Aby zbudować bok 2-3, ustaw T-kwadrat w pozycji pokazanej przez przerywane linie i poprowadź linię prostą przez punkt 2, który zdefiniuje trzeci wierzchołek trójkąta. Zaznaczamy punkt 1 na okręgu i traktujemy go jako jeden z wierzchołków pięciokąta. Łączymy znalezione wierzchołki szeregowo ze sobą. Siedmiokąt można zbudować, rysując promienie z bieguna F i nieparzyste podziały średnicy pionowej.

A na drugim końcu nici ołówek jest osadzony i ma obsesję. Jeśli wiesz, jak narysować gwiazdę, ale nie wiesz, jak narysować pięciokąt, narysuj gwiazdę ołówkiem, a następnie połącz ze sobą sąsiednie końce gwiazdy, a następnie wymaż samą gwiazdę. Następnie połóż kartkę papieru (lepiej przymocować ją do stołu czterema guzikami lub igłami). Przypnij te 5 pasków do kawałka papieru za pomocą szpilek lub igieł, aby pozostały nieruchome. Następnie zakreśl powstały pięciokąt i usuń te paski z arkusza.

Na przykład musimy narysować pięcioramienną gwiazdę (pentagram) na obraz o sowieckiej przeszłości lub o teraźniejszości Chin. To prawda, że ​​\u200b\u200bdo tego musisz być w stanie stworzyć rysunek gwiazdy w perspektywie. Podobnie będziesz mógł narysować postać ołówkiem na papierze. Jak poprawnie narysować gwiazdę, aby wyglądała równo i pięknie, nie odpowiesz od razu.

Od środka opuść 2 promienie na okrąg, tak aby kąt między nimi wynosił 72 stopnie (kątomierz). Podział koła na pięć części odbywa się za pomocą zwykłego kompasu lub kątomierza. Ponieważ pięciokąt foremny jest jedną z figur zawierających proporcje złotego podziału, malarze i matematycy od dawna interesują się jego budową. Te zasady budowania z użyciem kompasu i liniału zostały zawarte w Elementach Euklidesowych.

Pięciokąt foremny to figura geometryczna utworzona przez przecięcie się pięciu linii prostych, które tworzą pięć identycznych kątów. Ta figura nazywa się Pentagon. Twórczość artystów jest ściśle związana z pięciokątem – ich rysunki opierają się na regularnych geometrycznych kształtach. Aby to zrobić, musisz wiedzieć, jak szybko zbudować pięciokąt.

Dlaczego ta postać jest interesująca? Budynek ma kształt pięciokąta Departament Obrony Stanów Zjednoczonych Ameryki. Widać to na zdjęciach zrobionych z wysokości lotu. W naturze nie ma kryształów i kamieni, których kształt przypominałby pięciokąt. Tylko na tej figurze liczba ścian pokrywa się z liczbą przekątnych.

Parametry pięciokąta foremnego

Prostokątny pięciokąt, jak każda figura w geometrii, ma swoje parametry. Znając niezbędne wzory, możesz obliczyć te parametry, które ułatwią proces budowy pięciokąta. Metody obliczeniowe i wzory:

• suma wszystkich kątów w wielokątach wynosi 360 stopni. W regularnym pięciokącie wszystkie kąty są odpowiednio równe, kąt środkowy znajduje się w ten sposób: 360/5 \u003d 72 stopnie;
• kąt wewnętrzny znajduje się w następujący sposób: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 stopni. Suma wszystkich kątów wewnętrznych: 108*5 = 540 stopni.

Bok pięciokąta znajduje się za pomocą parametrów, które są już podane w opisie problemu:

• jeśli okrąg jest opisany wokół pięciokąta i jego promień jest znany, bok znajduje się zgodnie z następującym wzorem: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * R.
• Jeżeli znany jest promień okręgu wpisanego w pięciokąt, to wzór na obliczenie boku wielokąta jest następujący: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Przy znanej przekątnej pięciokąta jego bok oblicza się w następujący sposób: a \u003d D / 1,618.

Obszar pięciokąta, podobnie jak jego bok, zależy od już znalezionych parametrów:

• używając znanego promienia wpisanego okręgu, obszar znajduje się w następujący sposób: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• opisany okrąg wokół pięciokąta pozwala znaleźć obszar za pomocą następującego wzoru: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• w zależności od boku pięciokąta: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Budowa Pentagonu

Możesz zbudować pięciokąt foremny za pomocą linijki i kompasu, na podstawie wpisanego w niego koła lub jednego z boków.

Jak narysować pięciokąt na podstawie wpisanego koła? Aby to zrobić, zaopatrz się w kompas i linijkę i wykonaj następujące czynności:

1. Najpierw musisz narysować okrąg ze środkiem O, a następnie wybrać na nim punkt, A - wierzchołek pięciokąta. Linia jest rysowana od środka do góry.
2. Następnie konstruowany jest odcinek prostopadły do ​​prostej OA, który również przechodzi przez O - środek okręgu. Jego przecięcie z okręgiem wskazuje punkt B. Odcinek O.V. jest podzielony na pół przez punkt C.
3. Punkt C stanie się środkiem nowego okręgu przechodzącego przez A. Punkt D jest jego przecięciem z prostą OB w granicach pierwszej figury.
4. Następnie rysowany jest trzeci okrąg przez D, którego środkiem jest punkt A. Przecina się z pierwszą figurą w dwóch punktach, które muszą być oznaczone literami E i F.
5. Następny okrąg ma środek w punkcie E i przechodzi przez A, a jego przecięcie z pierwotnym jest w nowym punkcie G.
6. Ostatni okrąg na tym rysunku jest poprowadzony przez punkt A ze środkiem F. Punkt H znajduje się na jego przecięciu z początkowym.
7. Na pierwszym okręgu po wszystkich wykonanych krokach pojawiło się pięć punktów, które należy połączyć odcinkami. W ten sposób uzyskano pięciokąt foremny AE G H F.

Jak zbudować zwykły pięciokąt w inny sposób? Za pomocą linijki i kompasu pięciokąt można zbudować nieco szybciej. Do tego potrzebujesz:

1. Najpierw musisz użyć kompasu, aby narysować okrąg, którego środkiem jest punkt O.
2. Rysowany jest promień OA - odcinek wykreślony na okręgu. Przecina ją punkt B.
3. Segment OS jest narysowany prostopadle do promienia OA, punkty B i C są połączone linią prostą.
4. Kolejnym krokiem jest wykreślenie długości odcinka BC kompasem na linii średnicowej. Punkt D wydaje się być prostopadły do ​​odcinka OA. Punkty B i D są połączone, tworząc nowy odcinek.
5. Aby uzyskać rozmiar boku pięciokąta, musisz połączyć punkty C i D.
6. D za pomocą kompasu jest przenoszony na okrąg i jest oznaczony punktem E. Łącząc E i C, możesz uzyskać pierwszą stronę pięciokąta foremnego. Postępując zgodnie z tą instrukcją, możesz nauczyć się szybko budować pięciokąt o równych bokach, kontynuując budowanie jego pozostałych boków, tak jak pierwszego.

W pięciokącie o tych samych bokach przekątne są równe i tworzą pięcioramienną gwiazdę, zwaną pentagramem. Złoty podział to stosunek długości przekątnej do boku pięciokąta.

Pentagon nie nadaje się do całkowitego wypełnienia samolotu. Użycie dowolnego materiału w tej formie pozostawia luki lub nakładanie się form. Chociaż naturalne kryształy tej postaci nie występują w naturze, gdy lód tworzy się na powierzchni gładkich wyrobów miedzianych, pojawiają się cząsteczki w kształcie pięciokąta, które są połączone w łańcuchy.

Najprostszym sposobem na uzyskanie regularnego pięciokąta z paska papieru jest zawiązanie go w supełek i lekkie dociśnięcie. Ta metoda jest przydatna dla rodziców przedszkolaków, którzy chcą nauczyć swoje maluchy rozpoznawania kształtów geometrycznych.

Wideo

Zobacz, jak szybko narysować pięciokąt.

Budowa sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg.

Konstrukcja sześciokąta opiera się na fakcie, że jego bok jest równy promieniowi opisanego koła. Dlatego, aby zbudować, wystarczy podzielić okrąg na sześć równych części i połączyć ze sobą znalezione punkty.

Sześciokąt foremny można zbudować za pomocą trójkąta T i kwadratu 30X60°. Aby wykonać tę konstrukcję, bierzemy poziomą średnicę koła jako dwusieczną kątów 1 i 4, budujemy boki 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 i 7 - 2, po czym rysujemy boki 5 - 6 i 3 - 2.

Wierzchołki takiego trójkąta można zbudować za pomocą kompasu i kwadratu o kątach 30 i 60 ° lub tylko jednego kompasu. Rozważ dwa sposoby skonstruowania trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg.

Pierwszy sposób(Ryc. 61, a) opiera się na fakcie, że wszystkie trzy kąty trójkąta 7, 2, 3 zawierają po 60 °, a linia pionowa poprowadzona przez punkt 7 jest zarówno wysokością, jak i dwusieczną kąta 1. Ponieważ kąt 0 - 1 - 2 jest równy 30°, to aby znaleźć bok 1 - 2 wystarczy zbudować kąt 30° z punktu 1 i boku 0 - 1. Aby to zrobić, ustaw T-kwadrat i kwadrat, jak pokazano na rysunku, narysuj linię 1 - 2, która będzie jednym z boków pożądanego trójkąta. Aby zbudować bok 2 - 3, ustaw T-kwadrat w pozycji pokazanej liniami przerywanymi i narysuj linię prostą przez punkt 2, który zdefiniuje trzeci wierzchołek trójkąta.

Drugi sposób opiera się na fakcie, że jeśli zbudujesz sześciokąt foremny wpisany w okrąg, a następnie połączysz jego wierzchołki przez jeden, otrzymasz trójkąt równoboczny.

Aby zbudować trójkąt, zaznaczamy punkt wierzchołka 1 na średnicy i rysujemy linię średnicową 1 - 4. Następnie od punktu 4 o promieniu równym D / 2 opisujemy łuk, aż przetnie się on z okręgiem w punktach 3 oraz 2. Wynikowe punkty będą dwoma innymi wierzchołkami żądanego trójkąta.

Tę konstrukcję można wykonać za pomocą kwadratu i kompasu.

Pierwszy sposób opiera się na fakcie, że przekątne kwadratu przecinają się w środku opisanego koła i są nachylone do jego osi pod kątem 45°. Na tej podstawie instalujemy teownik i kwadrat o kątach 45 °, jak pokazano na ryc. 62, ai zaznacz punkty 1 i 3. Ponadto przez te punkty rysujemy poziome boki kwadratu 4 - 1 i 3 -2 za pomocą kwadratu T. Następnie za pomocą teownika wzdłuż boku kwadratu rysujemy pionowe boki kwadratu 1 - 2 i 4 - 3.

Drugi sposób opiera się na fakcie, że wierzchołki kwadratu przecinają na pół łuki okręgu zawarte między końcami średnicy. Punkty A, B i C zaznaczamy na końcach dwóch wzajemnie prostopadłych średnic i od nich promieniem y opisujemy łuki aż do ich przecięcia.

Ponadto przez punkty przecięcia łuków rysujemy linie pomocnicze, zaznaczone na rysunku liniami ciągłymi. Ich punkty przecięcia z okręgiem określą wierzchołki 1 i 3; 4 i 2. Uzyskane w ten sposób wierzchołki pożądanego kwadratu są ze sobą połączone szeregowo.

Budowa pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg.

Aby wpisać pięciokąt foremny w okrąg, wykonujemy następujące konstrukcje. Zaznaczamy punkt 1 na okręgu i traktujemy go jako jeden z wierzchołków pięciokąta. Podziel segment AO na pół. W tym celu promieniem AO z punktu A opisujemy łuk do przecięcia z okręgiem w punktach M i B. Łącząc te punkty linią prostą otrzymujemy punkt K, który następnie łączymy z punktem 1. Przy promieniu równym segmentowi A7 opisujemy łuk od punktu K do przecięcia z linią średnicową AO ​​w punkcie H. Łącząc punkt 1 z punktem H, otrzymujemy bok pięciokąta. Następnie przy rozwarciu kompasu równym segmentowi 1H, opisującemu łuk od wierzchołka 1 do przecięcia z okręgiem, znajdujemy wierzchołki 2 i 5. Po wykonaniu wycięć z wierzchołków 2 i 5 tym samym rozwarciem kompasu otrzymujemy pozostałe wierzchołki 3 i 4. Łączymy znalezione punkty sekwencyjnie ze sobą.

Budowa pięciokąta foremnego ze względu na jego bok.

Aby zbudować pięciokąt foremny wzdłuż danego boku (ryc. 64), dzielimy odcinek AB na sześć równych części. Z punktów A i B o promieniu AB opisujemy łuki, których przecięcie da punkt K. Przez ten punkt i podział 3 na prostej AB rysujemy linię pionową. Dalej od punktu K na tej prostej odkładamy odcinek równy 4/6 AB. Otrzymujemy punkt 1 - wierzchołek pięciokąta. Następnie promieniem równym AB od punktu 1 opisujemy łuk do przecięcia z łukami narysowanymi wcześniej z punktów A i B. Punkty przecięcia łuków wyznaczają wierzchołki pięciokąta 2 i 5. Łączymy znalezione wierzchołki szeregowo ze sobą.

Budowa siedmiokąta foremnego wpisanego w okrąg.

Niech dany będzie okrąg o średnicy D; musisz wpisać w niego regularny siedmiokąt (ryc. 65). Podziel pionową średnicę koła na siedem równych części. Od punktu 7 o promieniu równym średnicy okręgu D opisujemy łuk aż do przecięcia się z kontynuacją poziomej średnicy w punkcie F. Punkt F nazywany jest biegunem wielokąta. Przyjmując punkt VII jako jeden z wierzchołków siedmiokąta, prowadzimy promienie z bieguna F przez równe podziały średnicy pionowej, której przecięcie z okręgiem wyznaczy wierzchołki VI, V i IV siedmiokąta. Aby otrzymać wierzchołki / - // - /// z punktów IV, V i VI rysujemy linie poziome, aż przetną się z okręgiem. Łączymy znalezione wierzchołki szeregowo ze sobą. Siedmiokąt można zbudować, rysując promienie z bieguna F i nieparzyste podziały średnicy pionowej.

Powyższa metoda jest odpowiednia do konstruowania wielokątów foremnych o dowolnej liczbie boków.

Podziału koła na dowolną liczbę równych części można również dokonać korzystając z danych w tabeli. 2, na którym przedstawiono współczynniki umożliwiające wyznaczenie wymiarów boków wielokątów foremnych wpisanych.

Długości boków wielokątów foremnych wpisanych.

Pierwsza kolumna tej tabeli pokazuje liczbę boków wielokąta foremnego wpisanego, a druga kolumna pokazuje współczynniki. Długość boku danego wielokąta otrzymujemy mnożąc promień danego okręgu przez współczynnik odpowiadający liczbie boków tego wielokąta.

Słownik wyjaśniający Ożegowa mówi, że pięciokąt jest ograniczony przez pięć przecinających się linii prostych tworzących pięć kątów wewnętrznych, a także dowolny obiekt o podobnym kształcie. Jeśli dany wielokąt ma wszystkie takie same boki i kąty, nazywa się go foremnym (pięciokątem).

Co jest ciekawego w regularnym pięciokącie?

W takiej właśnie formie powstał słynny budynek Departamentu Obrony Stanów Zjednoczonych. Z obszernych regularnych wielościanów tylko dwunastościan ma twarze w kształcie pięciokąta. A w naturze kryształy są całkowicie nieobecne, których twarze przypominałyby regularny pięciokąt. Ponadto ta figura jest wielokątem z minimalną liczbą rogów, których nie można użyć do pokrycia obszaru. Tylko pięciokąt ma tyle samo przekątnych co jego boki. Zgadzam się, to interesujące!

Podstawowe właściwości i wzory

Korzystając ze wzorów dla dowolnego regularnego wielokąta, możesz określić wszystkie niezbędne parametry, które ma pięciokąt.

• Kąt środkowy α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Kąt wewnętrzny β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Zatem suma kątów wewnętrznych wynosi 540°.
• Stosunek przekątnej do boku wynosi (1+√5)/2, czyli (w przybliżeniu 1,618).
• Długość boku pięciokąta foremnego można obliczyć za pomocą jednego z trzech wzorów, w zależności od tego, który parametr jest już znany:

• jeśli wokół niego opisano okrąg i znany jest jego promień R, to a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• w przypadku gdy okrąg o promieniu r jest wpisany w pięciokąt foremny, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• zdarza się, że zamiast promieni znana jest wartość przekątnej D, wówczas bok wyznacza się następująco: a ≈ D / 1,618.

• Obszar pięciokąta foremnego jest ponownie określany w zależności od tego, jaki parametr znamy:
• jeśli istnieje wpisany lub opisany okrąg, wówczas stosuje się jedną z dwóch formuł:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r lub S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• obszar można również wyznaczyć, znając tylko długość boku a:

S \u003d (5 * za 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * za 2.

Regularny pięciokąt: konstrukcja

Ta figura geometryczna może być skonstruowana na różne sposoby. Na przykład wpisz go w okrąg o zadanym promieniu lub zbuduj go na podstawie zadanego boku bocznego. Sekwencja działań została opisana w Elementach Euklidesa około 300 roku pne. W każdym razie potrzebujemy kompasu i linijki. Rozważ metodę konstrukcji z wykorzystaniem danego koła.

1. Wybierz dowolny promień i narysuj okrąg, zaznaczając jego środek punktem O.

2. Na prostej okręgu zaznaczamy punkt, który będzie jednym z wierzchołków naszego pięciokąta. Niech to będzie punkt A. Połącz punkty O i A linią prostą.

3. Narysuj linię przechodzącą przez punkt O prostopadle do prostej OA. Punkt, w którym ta prosta przecina się z linią okręgu, oznaczamy jako punkt B.

4. W połowie odległości między punktami O i B zbuduj punkt C.

5. Teraz narysuj okrąg, którego środek będzie w punkcie C i który przejdzie przez punkt A. Miejscem jego przecięcia z linią OB (będzie wewnątrz pierwszego okręgu) będzie punkt D.

6. Skonstruuj okrąg przechodzący przez D, którego środek będzie w punkcie A. Miejsca jego przecięcia z pierwotnym okręgiem należy zaznaczyć punktami E i F.

7. Teraz zbuduj okrąg, którego środek będzie w E. Musisz to zrobić, aby przechodził przez A. Należy wskazać jego inne przecięcie pierwotnego koła

8. Na koniec narysuj okrąg przechodzący przez A ze środkiem w punkcie F. Zaznacz kolejne przecięcie pierwotnego okręgu z punktem H.

9. Teraz pozostaje tylko połączyć wierzchołki A, E, G, H, F. Nasz pięciokąt foremny będzie gotowy!

5.3. złoty pięciokąt; konstrukcja Euklidesa.

Wspaniałym przykładem „złotego podziału” jest pięciokąt foremny – wypukły iw kształcie gwiazdy (ryc. 5).

Aby zbudować pentagram, musisz zbudować regularny pięciokąt.

Niech O będzie środkiem okręgu, A punktem na okręgu, a E środkiem odcinka OA. Prosta prostopadła do promienia OA, przywrócona w punkcie O, przecina się z okręgiem w punkcie D. Za pomocą cyrkla zaznacz na średnicy odcinek CE = ED. Długość boku pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg wynosi DC. Odkładamy odcinki DC na okręgu i otrzymujemy pięć punktów za narysowanie pięciokąta foremnego. Łączymy rogi pięciokąta przez jedną przekątną i otrzymujemy pentagram. Wszystkie przekątne pięciokąta dzielą się na segmenty połączone złotym podziałem.

Każdy koniec pięciokątnej gwiazdy to złoty trójkąt. Jego boki tworzą u góry kąt 36°, a ułożona z boku podstawa dzieli go proporcjonalnie do złotego podziału.

Jest też złoty prostopadłościan - jest to równoległościan prostokątny o krawędziach o długościach 1,618, 1 i 0,618.

Rozważmy teraz dowód przedstawiony przez Euklidesa w Elementach.

od środka opisanego okręgu. Zacznijmy

segment ABE, podzielony na środku i

Niech AC = AE. Oznaczmy przez równe kąty EBC i CEB. Ponieważ AC=AE, kąt ACE jest również równy a. Twierdzenie, że suma kątów trójkąta wynosi 180 stopni, pozwala znaleźć kąt WSZYSTKO: wynosi 180-2a, a kąt EAC wynosi 3a - 180. Ale wtedy kąt ABC wynosi 180-a. Sumując kąty trójkąta ABC, otrzymujemy

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Stąd 5a=360, więc a=72.

Zatem każdy z kątów przy podstawie trójkąta BEC jest dwa razy większy od kąta na górze, równy 36 stopni. Dlatego, aby skonstruować pięciokąt foremny wystarczy narysować dowolny okrąg o środku w punkcie E, przecinający EC w punkcie X i bok EB w punkcie Y: odcinek XY jest jednym z boków pięciokąta foremnego wpisanego w okrąg; Obchodząc całe koło, możesz znaleźć wszystkie inne boki.

Udowodnimy teraz, że AC=AE. Załóżmy, że wierzchołek C jest połączony odcinkiem linii prostej ze środkiem N odcinka BE. Zauważ, że skoro CB = CE, to kąt CNE jest kątem prostym. Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:

CN 2 \u003d za 2 - (a / 2j) 2 \u003d za 2 (1-4j 2)

Stąd mamy (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j = j 2

Zatem AC = ja = jAB = AE, co należało udowodnić

5.4 Spirala Archimedesa.

Odcinając kolejno kwadraty od złotych prostokątów do nieskończoności, za każdym razem łącząc przeciwległe punkty ćwiartką koła, otrzymujemy dość elegancką krzywą. Pierwszą uwagę zwrócił na nią starożytny grecki naukowiec Archimedes, którego imię nosi. Studiował to i wydedukował równanie tej spirali.

Obecnie spirala Archimedesa jest szeroko stosowana w technice.

6. Liczby Fibonacciego.

Imię włoskiego matematyka Leonarda z Pizy, lepiej znanego pod pseudonimem Fibonacci (Fibonacci to skrót od filius Bonacci, czyli syn Bonacciego), jest pośrednio związane ze złotym podziałem.

w 1202 r napisał książkę „Liber abacci”, czyli „Księgę liczydła”. „Liber abacci” to obszerne dzieło, zawierające niemal całą ówczesną wiedzę arytmetyczną i algebraiczną, które odegrało znaczącą rolę w rozwoju matematyki w Europie Zachodniej w ciągu następnych kilku stuleci. W szczególności z tej książki Europejczycy zapoznali się z cyframi hinduskimi („arabskimi”).

Materiał zrelacjonowany w książce jest wyjaśniony w dużej liczbie problemów, które składają się na znaczną część tego traktatu.

Rozważ jeden taki problem:

Ile par królików rodzi się z jednej pary w ciągu jednego roku?

Ktoś umieścił parę królików w pewnym miejscu, ogrodzonym ze wszystkich stron murem, aby dowiedzieć się, ile par królików urodzi się w tym roku, jeśli natura królików jest taka, że ​​za miesiąc para króliki będą rozmnażać kolejne, a króliki rodzą od drugiego miesiąca po urodzeniu"

Przejdźmy teraz od królików do liczb i rozważmy następującą sekwencję liczbową:

u 1 , u 2 … u n

w którym każdy wyraz jest równy sumie dwóch poprzednich, tj. dla dowolnego n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Sekwencja ta asymptotycznie (zbliżając się coraz wolniej) dąży do pewnej stałej relacji. Jednak ten stosunek jest irracjonalny, to znaczy jest liczbą z nieskończonym, nieprzewidywalnym ciągiem cyfr dziesiętnych w części ułamkowej. Nie da się tego dokładnie wyrazić.

Jeśli dowolny element ciągu Fibonacciego zostanie podzielony przez poprzedni (na przykład 13:8), wynikiem będzie wartość, która oscyluje wokół niewymiernej wartości 1,61803398875... i czasami ją przekracza, a czasami nie osiąga.

Asymptotyczne zachowanie ciągu, tłumione fluktuacje jego stosunku wokół liczby niewymiernej Φ mogą stać się bardziej zrozumiałe, jeśli pokażemy stosunki kilku pierwszych wyrazów ciągu. Ten przykład pokazuje stosunek drugiego członu do pierwszego, trzeciego do drugiego, czwartego do trzeciego i tak dalej:

1:1 = 1,0000, czyli mniej niż fi o 0,6180

2:1 = 2,0000, czyli o 0,3820 fi więcej

3:2 = 1,5000, czyli mniej niż phi o 0,1180

5:3 = 1,6667, czyli o 0,0486 fi więcej

8:5 = 1,6000, czyli mniej niż phi o 0,0180

Gdy poruszasz się po sekwencji sumowania Fibonacciego, każdy nowy wyraz będzie dzielił następny z coraz większym przybliżeniem do nieosiągalnego F.

Osoba podświadomie szuka Boskiej proporcji: jest ona potrzebna do zaspokojenia jego potrzeby komfortu.

Dzieląc dowolny element ciągu Fibonacciego przez następny, otrzymujemy właśnie odwrotność 1,618 (1: 1,618=0,618). Ale jest to również bardzo niezwykłe, wręcz niezwykłe zjawisko. Ponieważ pierwotny stosunek jest ułamkiem nieskończonym, ten stosunek również nie powinien mieć końca.

Dzieląc każdą liczbę przez następną po niej, otrzymujemy liczbę 0,382

Dobierając w ten sposób współczynniki otrzymujemy główny zestaw współczynników Fibonacciego: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Wymieniamy również 0,5. Wszystkie odgrywają szczególną rolę w przyrodzie, a zwłaszcza w analizie technicznej.

W tym miejscu należy zauważyć, że Fibonacci przypomniał ludzkości tylko swoją sekwencję, ponieważ znana była w starożytności pod nazwą Złotego Podziału.

Złoty podział, jak widzieliśmy, powstaje w związku z pięciokątem foremnym, więc liczby Fibonacciego odgrywają rolę we wszystkim, co ma związek z pięciokątami foremnymi - wypukłymi i gwiaździstymi.

Szereg Fibonacciego mógłby pozostać jedynie matematycznym incydentem, gdyby nie fakt, że wszyscy badacze złotego podziału w świecie roślin i zwierząt, nie mówiąc już o sztuce, niezmiennie dochodzili do tego szeregu jako arytmetycznego wyrażenia prawa złotego podziału . Naukowcy nadal aktywnie rozwijali teorię liczb Fibonacciego i złotego podziału. Yu Matiyasevich za pomocą liczb Fibonacciego rozwiązuje 10. problem Hilberta (o rozwiązaniu równań diofantycznych). Istnieją eleganckie metody rozwiązywania szeregu problemów cybernetycznych (teoria wyszukiwania, gry, programowanie) przy użyciu liczb Fibonacciego i złotego podziału. W USA powstaje nawet Mathematical Fibonacci Association, które od 1963 roku wydaje specjalne czasopismo.

Jednym z osiągnięć w tej dziedzinie jest odkrycie uogólnionych liczb Fibonacciego i uogólnionych złotych proporcji. Ciąg Fibonacciego (1, 1, 2, 3, 5, 8) i odkryty przez niego „binarny” ciąg liczb 1, 2, 4, 8, 16… (czyli ciąg liczb do n , gdzie dowolną liczbę naturalną mniejszą od n można przedstawić jako sumę niektórych liczb tego szeregu) na pierwszy rzut oka są one zupełnie inne. Ale algorytmy ich budowy są do siebie bardzo podobne: w pierwszym przypadku każda liczba jest sumą poprzedniej liczby z samą sobą 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., w drugim - jest to suma dwóch poprzednich liczb 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Czy to możliwe znaleźć ogólny wzór matematyczny, z którego i „szereg binarny, a ciąg Fibonacciego?

Rzeczywiście, ustawmy parametr liczbowy S, który może przyjmować dowolne wartości: 0, 1, 2, 3, 4, 5... oddzielone od poprzedniego S krokami. Jeśli oznaczymy n-tego członka tego szeregu przez S (n), to otrzymamy ogólny wzór S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Oczywiście przy S = 0, z tego wzoru otrzymamy szereg „binarny”, przy S = 1 – ciąg Fibonacciego, przy S = 2, 3, 4. nowy ciąg liczb, który nazywamy liczbami S-Fibonacciego.

Ogólnie rzecz biorąc, złota proporcja S jest dodatnim pierwiastkiem złotego równania o przekroju S x S+1 – x S – 1 = 0.

Łatwo pokazać, że dla S = 0 uzyskuje się podział odcinka na pół, a dla S = 1 znany klasyczny złoty podział.

Stosunki sąsiednich liczb S Fibonacciego z absolutną dokładnością matematyczną pokrywają się w granicy ze złotymi proporcjami S! Oznacza to, że złote przekroje S są numerycznymi niezmiennikami liczb S Fibonacciego.

7. Złoty podział w sztuce.

7.1. Złoty podział w malarstwie.

Przechodząc do przykładów „złotego podziału” w malarstwie, nie można nie zwrócić uwagi na twórczość Leonarda da Vinci. Jego tożsamość jest jedną z tajemnic historii. Sam Leonardo da Vinci powiedział: „Niech nikt, kto nie jest matematykiem, nie odważy się czytać moich prac”.

Nie ulega wątpliwości, że Leonardo da Vinci był wielkim artystą, uznali to już jego współcześni, ale jego osobowość i działalność pozostaną owiane tajemnicą, gdyż pozostawił potomnym nie spójną prezentację swoich idei, a jedynie liczne odręczne szkice, notatki które mówią „zarówno wszyscy na świecie”.

Portret Monny Lisy (Giocondy) od wielu lat przyciąga uwagę badaczy, którzy odkryli, że kompozycja rysunku opiera się na złotych trójkątach, które są częściami pięciokąta foremnego gwiazdy.

Na obrazie Shishkina pojawia się również proporcja złotego podziału. Na tym słynnym obrazie I. I. Shishkina wyraźnie widoczne są motywy złotego podziału. Jasno oświetlona sosna (stojąca na pierwszym planie) dzieli długość obrazu według złotego podziału. Na prawo od sosny znajduje się oświetlony słońcem pagórek. Dzieli prawą stronę obrazu poziomo zgodnie ze złotym podziałem.

Obraz Rafaela „Masakra niewiniątek” przedstawia kolejny element złotej proporcji – złotą spiralę. Na przygotowawczym szkicu Rafaela czerwone linie biegną od semantycznego centrum kompozycji – miejsca, w którym palce wojownika zacisnęły się wokół kostki dziecka – wzdłuż postaci dziecka, trzymającej je kobiety, wojownika z podniesionym mieczem, a następnie wzdłuż postaci tej samej grupy po prawej stronie szkicu. Nie wiadomo, czy Rafał zbudował złotą spiralę, czy ją wyczuł.

T. Cook wykorzystał złoty podział, analizując obraz Sandro Botticellego „Narodziny Wenus”.

7.2. Piramidy złotego podziału.

Powszechnie znane są medyczne właściwości piramid, zwłaszcza złotego podziału. Według niektórych najczęstszych opinii pomieszczenie, w którym znajduje się taka piramida, wydaje się większe, a powietrze jest bardziej przejrzyste. Sny zaczynają być lepiej zapamiętywane. Wiadomo również, że złoty podział był szeroko stosowany w architekturze i rzeźbie. Przykładem tego były: Panteon i Partenon w Grecji, budynki architektów Bażenowa i Malewicza

8. Wniosek.

Trzeba powiedzieć, że złoty podział ma świetne zastosowanie w naszym życiu.

Udowodniono, że ciało ludzkie podzielone jest proporcjonalnie do złotej proporcji linią pasa.

Skorupa nautilusa jest skręcona jak złota spirala.

Dzięki złotemu podziałowi odkryto pas asteroid między Marsem a Jowiszem - proporcjonalnie powinna tam być jeszcze jedna planeta.

Wzbudzenie struny w punkcie dzielącym ją względem złotego podziału nie spowoduje drgań struny, czyli jest to punkt kompensacji.

Na samolotach z elektromagnetycznymi źródłami energii powstają prostokątne komórki z proporcją złotego podziału.

Gioconda zbudowana jest na złotych trójkątach, złota spirala jest obecna na obrazie Rafaela „Masakra niewiniątek”.

Proporcja znaleziona w obrazie Sandro Botticellego „Narodziny Wenus”

Istnieje wiele zabytków architektury zbudowanych przy użyciu złotego podziału, w tym Panteon i Partenon w Atenach, budynki architektów Bażenowa i Malewicza.

John Kepler, który żył pięć wieków temu, jest właścicielem stwierdzenia: „Geometria ma dwa wielkie skarby. Pierwszym jest twierdzenie Pitagorasa, drugim jest podział odcinka w skrajnym i średnim stosunku”

Bibliografia

1. D. Pidow. Geometria i sztuka. – M.: Mir, 1979.

2. Czasopismo „Nauka i technika”

3. Czasopismo „Kwant”, 1973, nr 8.

4. Czasopismo „Matematyka w Szkole”, 1994, nr 2; Numer 3.

5. Kowalow F.V. Złoty podział w malarstwie. K.: Szkoła Vyscha, 1989.

6. Stachow A. Kody złotego podziału.

7. Vorobyov N.N. "Liczby Fibonacciego" - M.: Nauka 1964

8. „Matematyka - Encyklopedia dla dzieci” M.: Avanta +, 1998

9. Informacje z Internetu.

Macierze Fibonacciego i tzw. „złote” macierze, nowa arytmetyka komputerowa, nowa teoria kodowania i nowa teoria kryptografii. Istotą nowej nauki jest rewizja całej matematyki z punktu widzenia złotego podziału, poczynając od Pitagorasa, co oczywiście pociągnie za sobą nowe iz pewnością bardzo interesujące wyniki matematyczne w teorii. W praktyce – „złota” informatyzacja. I ponieważ...

Nie wpłynie to na ten wynik. Podstawą złotego podziału jest niezmiennik współczynników rekurencyjnych 4 i 6. Pokazuje to „stabilność” złotego podziału, jednej z zasad organizacji żywej materii. Również podstawą złotego podziału jest rozwiązanie dwóch egzotycznych ciągów rekurencyjnych (Rys. 4.) Ryc. 4 rekurencyjne ciągi Fibonacciego, czyli...

Ucho to j5, a odległość od ucha do korony to j6. Tak więc w tym posągu widzimy postęp geometryczny z mianownikiem j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Rys. 9). Tak więc złoty podział jest jedną z podstawowych zasad sztuki starożytnej Grecji. Rytmy serca i mózgu. Ludzkie serce bije równomiernie - około 60 uderzeń na minutę w spoczynku. Serce ściska się jak tłok...