Nieskończenie malejący postęp geometryczny online. Wzór na sumę pierwszych n członków GP. Problemy obliczania odsetek składanych

SEKWENCJE LICZBOWE VI

§ 148. Suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego

Do tej pory, mówiąc o sumach, zawsze zakładaliśmy, że liczba wyrazów w tych sumach jest skończona (na przykład 2, 15, 1000 itd.). Ale przy rozwiązywaniu niektórych problemów (zwłaszcza matematyki wyższej) mamy do czynienia z sumami nieskończonej liczby wyrazów

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Jakie to kwoty? Zgodnie z definicją suma nieskończonej liczby wyrazów a 1 , a 2 , ..., a n , ... nazywamy granicą sumy S n pierwszy P liczby kiedy P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Granica (2) oczywiście może istnieć lub nie. W związku z tym mówi się, że suma (1) istnieje lub nie istnieje.

Jak sprawdzić, czy suma (1) istnieje w każdym konkretnym przypadku? Ogólne rozwiązanie tego problemu wykracza daleko poza zakres naszego programu. Jest jednak jeden ważny szczególny przypadek, który musimy teraz rozważyć. Porozmawiamy o sumowaniu warunków nieskończenie malejącego postępu geometrycznego.

Wynajmować a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... to nieskończenie malejący postęp geometryczny. Oznacza to, że | q |< 1. Сумма первых P członków tej progresji jest równa

Z podstawowych twierdzeń o granicach zmiennych (patrz § 136) otrzymujemy:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Dlatego

Zatem suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego jest równa pierwszemu wyrazowi tego postępu podzielonemu przez jeden minus mianownik tego postępu.

1) Suma postępu geometrycznego 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... wynosi

a suma postępu geometrycznego wynosi 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... równa się

2) Prosty ułamek okresowy 0,454545 ... zamienia się w zwykły.

Aby rozwiązać ten problem, przedstawiamy ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Prawa strona tej równości to suma nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, którego pierwszy wyraz to 45/100, a mianownik to 1/100. Dlatego

W opisany sposób można również uzyskać ogólną zasadę zamiany prostych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38):

Aby zamienić prosty ułamek okresowy na zwykły, należy postępować w następujący sposób: w liczniku umieścić okres ułamka dziesiętnego, aw mianowniku - liczbę składającą się z dziewiątek wziętych tyle razy, ile jest cyfr w okresie ułamka dziesiętnego.

3) Mieszana frakcja okresowa 0,58333 .... zamienia się w zwykłą frakcję.

Przedstawmy ten ułamek jako nieskończoną sumę:

Po prawej stronie tej równości wszystkie wyrazy, począwszy od 3/1000, tworzą nieskończenie malejący postęp geometryczny, którego pierwszy wyraz to 3/1000, a mianownik to 1/10. Dlatego

W opisany sposób można również otrzymać ogólną zasadę zamiany mieszanych ułamków okresowych na ułamki zwykłe (patrz rozdział II, § 38). Celowo go tutaj nie umieszczamy. Nie ma potrzeby zapamiętywania tej kłopotliwej zasady. O wiele bardziej użyteczna jest wiedza, że dowolny mieszany ułamek okresowy można przedstawić jako sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego i pewnej liczby. I formuła

dla sumy nieskończenie malejącego postępu geometrycznego trzeba oczywiście pamiętać.

W ramach ćwiczenia zapraszamy Państwa, oprócz problemów nr 995-1000 poniżej, do ponownego zajęcia się problemem nr 301 § 38.

Ćwiczenia

995. Co nazywamy sumą nieskończenie malejącego postępu geometrycznego?

996. Znajdź sumy nieskończenie malejących ciągów geometrycznych:

997. Dla jakich wartości X postęp

maleje w nieskończoność? Znajdź sumę takiego postępu.

998. W trójkącie równobocznym o boku a nowy trójkąt jest wpisany przez połączenie środków jego boków; nowy trójkąt jest wpisany w ten trójkąt w ten sam sposób i tak w nieskończoność.

a) suma obwodów wszystkich tych trójkątów;

b) suma ich pól.

999. W kwadracie o boku a nowy kwadrat jest wpisany przez połączenie środków jego boków; kwadrat jest wpisany w ten kwadrat w ten sam sposób i tak w nieskończoność. Znajdź sumę obwodów wszystkich tych kwadratów i sumę ich pól.

1000. Utwórz nieskończenie malejący postęp geometryczny, tak aby jego suma była równa 25/4, a suma kwadratów jego wyrazów była równa 625/24.

Postęp geometryczny to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest niezerowy, a każdy kolejny wyraz jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę różną od zera.

Pojęcie postępu geometrycznego

Postęp geometryczny jest oznaczony przez b1,b2,b3, …, bn, … .

Stosunek dowolnego składnika błędu geometrycznego do jego poprzedniego składnika jest równy tej samej liczbie, czyli b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Wynika to bezpośrednio z definicji postępu arytmetycznego. Ta liczba nazywana jest mianownikiem postępu geometrycznego. Zwykle mianownik postępu geometrycznego jest oznaczony literą q.

Suma nieskończonego postępu geometrycznego dla |q|<1

Jednym ze sposobów wyznaczenia postępu geometrycznego jest wyznaczenie jego pierwszego wyrazu b1 i mianownika błędu geometrycznego q. Na przykład b1=4, q=-2. Te dwa warunki dają postęp geometryczny 4, -8, 16, -32, … .

Jeśli q>0 (q nie jest równe 1), to postęp jest ciągiem monotonicznym. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem rosnącym monotonicznie (b1=2, q=2).

Jeżeli mianownik q=1 w błędzie geometrycznym, to wszystkie elementy ciągu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się, że postęp jest ciągłą sekwencją.

Aby ciąg liczbowy (bn) był postępem geometrycznym, konieczne jest, aby każdy jego element, począwszy od drugiego, był średnią geometryczną sąsiednich elementów. Oznacza to, że konieczne jest spełnienie następującego równania
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), dla dowolnego n>0, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Teraz postawmy (Xn) - postęp geometryczny. Mianownik postępu geometrycznego q, gdzie |q|∞).
Jeśli teraz oznaczymy przez S sumę nieskończonego postępu geometrycznego, to spełniony będzie następujący wzór:
S=x1/(1-q).

Rozważ prosty przykład:

Znajdź sumę nieskończonego ciągu geometrycznego 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Aby znaleźć S, używamy wzoru na sumę nieskończonego postępu arytmetycznego. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Postęp geometryczny to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest niezerowy, a każdy kolejny wyraz jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę różną od zera.

Postęp geometryczny jest oznaczony b1,b2,b3, …, bn, … .

Sekwencja monotoniczna i stała

Jeśli q>0 (q nie jest równe 1), to progresja jest ciąg monotonny. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem rosnącym monotonicznie (b1=2, q=2).

Jeżeli mianownik q=1 w błędzie geometrycznym, to wszystkie elementy ciągu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się o postępie stała sekwencja.

Formuła n-tego członka ciągu geometrycznego

Wzór na n-tego członka ciągu geometrycznego to:

bn=b1*q^(n-1),

gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego

Wzór na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego to:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) gdzie q nie jest równe 1.

Rozważ prosty przykład:

W postępie geometrycznym b1=6, q=3, n=8 znajdź Sn.

Aby znaleźć S8, używamy wzoru na sumę pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Wzór na n-tego członka ciągu geometrycznego jest bardzo prosty. Zarówno w znaczeniu, jak i w ogóle. Ale formuła n-tego członka ma wiele problemów - od bardzo prymitywnych po całkiem poważne. A w trakcie naszej znajomości na pewno rozważymy oba z nich. Cóż, spotkajmy się?)

Tak właściwie na początek formułan

Tutaj jest:

b rz = b 1 · q n -1

Formuła jako formuła, nic nadprzyrodzonego. Wygląda na jeszcze prostszą i bardziej zwartą niż podobna formuła dla plików . Znaczenie formuły jest również proste, jak filcowy but.

Ta formuła pozwala znaleźć DOWOLNEGO członka ciągu geometrycznego WEDŁUG JEGO LICZBY ” n".

Jak widać, znaczenie jest pełną analogią z postępem arytmetycznym. Znamy liczbę n - pod tą liczbą możemy również obliczyć termin. Czego chcemy. Nie mnożenie sekwencyjnie przez „q” wiele, wiele razy. O to właśnie chodzi.)

Rozumiem, że na tym poziomie pracy z progresjami wszystkie wielkości zawarte we wzorze powinny być już dla Ciebie jasne, ale uważam za swój obowiązek rozszyfrowanie każdej z nich. W razie czego.

Więc chodźmy:

b 1 – pierwszy członek postępu geometrycznego;

q – ;

n- numer członkowski;

b rz – n-ty (nth) członek ciągu geometrycznego.

Ta formuła łączy cztery główne parametry dowolnego postępu geometrycznego - bn, b 1 , q oraz n. A wokół tych czterech kluczowych liczb krążą wszystkie zadania w toku.

„A jak to jest wyświetlane?”- Słyszę ciekawe pytanie... Elementarne! Patrzeć!

Co jest równe druga członek progresji? Nie ma problemu! Piszemy wprost:

b 2 = b 1 q

A trzeci członek? Żaden problem! Mnożymy drugi wyraz ponownie włączonyq.

Lubię to:

b 3 \u003d b 2 q

Przypomnijmy sobie teraz, że drugi wyraz z kolei jest równy b 1 q i wstaw to wyrażenie do naszej równości:

b 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Otrzymujemy:

B 3 = b 1 q 2

A teraz przeczytajmy nasz wpis po rosyjsku: trzeci wyraz jest równy pierwszemu wyrazowi pomnożonemu przez q w druga stopień. Rozumiesz? Jeszcze nie? Dobra, jeszcze jeden krok.

Jaka jest czwarta kadencja? Wszystkie takie same! Zwielokrotniać poprzedni(tj. trzeci termin) na q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Całkowity:

B 4 = b 1 q 3

I znowu tłumaczymy na rosyjski: czwarty wyraz jest równy pierwszemu wyrazowi pomnożonemu przez q w trzeci stopień.

I tak dalej. Więc jak to jest? Złapałeś wzór? TAk! Dla dowolnego wyrażenia z dowolną liczbą liczba równych czynników q (tj. potęga mianownika) zawsze będzie wynosić o jeden mniej niż liczba pożądanego członkan.

Dlatego nasza formuła będzie bez opcji:

b n =b 1 · q n -1

To wszystko.)

Cóż, rozwiążmy problemy, dobrze?)

Rozwiązywanie problemów na formulenwyraz postępu geometrycznego.

Zacznijmy jak zwykle od bezpośredniego zastosowania formuły. Oto typowy problem:

Wiadomo wykładniczo, że b 1 = 512 i q = -1/2. Znajdź dziesiąty wyraz progresji.

Oczywiście ten problem można rozwiązać bez żadnych formuł. Jak postęp geometryczny. Ale musimy się rozgrzać formułą n-tego wyrazu, prawda? Tutaj się rozstajemy.

Nasze dane do zastosowania wzoru są następujące.

Pierwszy termin jest znany. To jest 512.

b 1 = 512.

Znany jest również mianownik progresji: q = -1/2.

Pozostaje tylko dowiedzieć się, jaka jest liczba terminu n. Nie ma problemu! Czy interesuje nas dziesiąta kadencja? Więc podstawiamy dziesięć zamiast n we wzorze ogólnym.

I dokładnie oblicz arytmetykę:

Odpowiedź 1

Jak widać, dziesiąty wyraz progresji okazał się z minusem. Nic dziwnego: mianownik progresji to -1/2, czyli negatywny numer. A to mówi nam, że oznaki naszego postępu zmieniają się, tak).

Tutaj wszystko jest proste. A tutaj podobny problem, ale trochę bardziej skomplikowany pod względem obliczeń.

W postępie geometrycznym wiemy, że:

b 1 = 3

Znajdź trzynasty wyraz progresji.

Wszystko jest takie samo, tylko tym razem mianownik progresji - irracjonalny. Pierwiastek z dwóch. Cóż, nic wielkiego. Formuła jest rzeczą uniwersalną, radzi sobie z dowolnymi liczbami.

Pracujemy bezpośrednio według formuły:

Formuła oczywiście zadziałała tak, jak powinna, ale… tu niektórzy zawisną. Co dalej zrobić z rootem? Jak podnieść pierwiastek do dwunastej potęgi?

Jak-jak ... Musisz zrozumieć, że każda formuła jest oczywiście dobra, ale znajomość całej poprzedniej matematyki nie jest anulowana! Jak wychować? Tak, pamiętaj o właściwościach stopni! Zmieńmy root na stopień ułamkowy oraz - przez formułę podniesienia potęgi do potęgi.

Lubię to:

Odpowiedź: 192

I wszystkie rzeczy.)

Jaka jest główna trudność w bezpośrednim zastosowaniu formuły n-tego wyrazu? TAk! Główną trudnością jest praca z dyplomami! Mianowicie potęgowanie liczb ujemnych, ułamków zwykłych, pierwiastków i podobnych konstrukcji. Zatem tych, którzy mają z tym problem, pilna prośba o powtórzenie stopni i ich właściwości! W przeciwnym razie zwolnisz w tym temacie, tak ...)

Rozwiążmy teraz typowe problemy z wyszukiwaniem jeden z elementów formuły jeśli wszystkie inne są podane. Na pomyślne rozwiązanie takich problemów przepis jest jeden i prosty do przerażenia - napisz formułęnczłonek w ogóle! Bezpośrednio w notatniku obok warunku. A potem, na podstawie warunku, dowiadujemy się, co jest nam dane, a co nie wystarcza. I wyrażamy pożądaną wartość ze wzoru. Wszystko!

Na przykład taki nieszkodliwy problem.

Piąty wyraz ciągu geometrycznego o mianowniku 3 to 567. Znajdź pierwszy wyraz tego ciągu.

Nic skomplikowanego. Pracujemy bezpośrednio według zaklęcia.

Piszemy formułę n-tego wyrazu!

b rz = b 1 · q n -1

Co jest nam dane? Najpierw podany jest mianownik progresji: q = 3.

Ponadto jest nam dane piąta kadencja: b 5 = 567 .

Wszystko? Nie! Otrzymujemy również liczbę n! To jest piątka: n = 5.

Mam nadzieję, że już rozumiesz, co jest w nagraniu b 5 = 567 jednocześnie ukryte są dwa parametry - jest to sam piąty element (567) i jego numer (5). W podobnej lekcji już o tym mówiłem, ale myślę, że nie jest zbyteczne przypominanie tutaj.)

Teraz podstawiamy nasze dane do wzoru:

567 = b 1 3 5-1

Rozważamy arytmetykę, upraszczamy i otrzymujemy proste równanie liniowe:

81 b 1 = 567

Rozwiązujemy i otrzymujemy:

b 1 = 7

Jak widać, nie ma problemów ze znalezieniem pierwszego członka. Ale kiedy szukasz mianownika q i liczby n mogą być niespodzianki. I na nie też trzeba być przygotowanym (niespodzianki), tak.)

Na przykład taki problem:

Piąty wyraz ciągu geometrycznego z dodatnim mianownikiem to 162, a pierwszy wyraz tego ciągu to 2. Znajdź mianownik ciągu.

Tym razem otrzymujemy pierwszego i piątego członka i jesteśmy proszeni o znalezienie mianownika progresji. Tutaj zaczynamy.

Piszemy formułęnczłonek!

b rz = b 1 · q n -1

Nasze początkowe dane będą następujące:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Niewystarczająca wartość q. Nie ma problemu! Znajdźmy to teraz.) Podstawiamy wszystko, co wiemy, do wzoru.

Otrzymujemy:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Proste równanie czwartego stopnia. Ale teraz - ostrożnie! Na tym etapie rozwiązania wielu uczniów od razu z radością wydobywa rdzeń (czwartego stopnia) i otrzymuje odpowiedź q=3 .

Lubię to:

q4 = 81

q = 3

Ale ogólnie jest to niedokończona odpowiedź. A raczej niekompletne. Czemu? Rzecz w tym, że odpowiedź q = -3 pasuje również: (-3) 4 byłoby również 81!

To dlatego, że równanie mocy x rz = a zawsze ma dwa przeciwne korzenie w nawetn . Plusy i minusy:

Oba pasują.

Na przykład rozwiązywanie (tj. druga stopni)

x2 = 9

Z jakiegoś powodu nie jesteś zaskoczony wyglądem dwa pierwiastki x=±3? Tutaj jest tak samo. I z każdym innym nawet stopień (czwarty, szósty, dziesiąty itd.) będą takie same. Szczegóły - w temacie dot

Prawidłowym rozwiązaniem byłoby więc:

q 4 = 81

q= ±3

Dobra, ustaliliśmy znaki. Która jest poprawna - plus czy minus? Cóż, ponownie czytamy stan problemu w poszukiwaniu Dodatkowe informacje. To oczywiście może nie istnieć, ale w tym problemie taka informacja do dyspozycji. W naszym stanie jest bezpośrednio powiedziane, że progresja jest dana z dodatni mianownik.

Więc odpowiedź jest oczywista:

q = 3

Tutaj wszystko jest proste. Jak myślisz, co by się stało, gdyby sformułowanie problemu wyglądało następująco:

Piąty wyraz ciągu geometrycznego to 162, a pierwszy wyraz tego ciągu to 2. Znajdź mianownik ciągu.

Co za różnica? TAk! w warunku nic ani słowa o mianowniku. Ani bezpośrednio, ani pośrednio. I tutaj problem by już był dwa rozwiązania!

q = 3 oraz q = -3

Tak tak! I z plusem i minusem.) Matematycznie ten fakt oznaczałby, że są dwie progresje które pasują do zadania. I dla każdego - własny mianownik. Dla zabawy poćwicz i zapisz pięć pierwszych terminów każdego z nich).

Teraz przećwiczmy znajdowanie numeru członka. To jest najtrudniejsze, tak. Ale też bardziej kreatywny.

Biorąc pod uwagę postęp geometryczny:

3; 6; 12; 24; …

Jaka liczba to 768 w tym ciągu?

Pierwszy krok jest taki sam: napisz formułęnczłonek!

b rz = b 1 · q n -1

A teraz, jak zwykle, podstawiamy do niego znane nam dane. Hm... to nie pasuje! Gdzie jest pierwszy członek, gdzie jest mianownik, gdzie jest wszystko inne?!

Gdzie, gdzie... Po co nam oczy? Trzepotanie rzęs? Tym razem progresja jest nam podawana bezpośrednio w formularzu sekwencje. Czy możemy zobaczyć pierwszy termin? Widzimy! To jest potrójne (b 1 = 3). A co z mianownikiem? Jeszcze tego nie widzimy, ale bardzo łatwo to policzyć. Jeśli oczywiście rozumiesz.

Tutaj rozważamy. Bezpośrednio zgodnie ze znaczeniem ciągu geometrycznego: bierzemy dowolny jego element (oprócz pierwszego) i dzielimy przez poprzedni.

Przynajmniej tak:

q = 24/12 = 2

Co jeszcze wiemy? Znamy też członka tego ciągu, równego 768. Pod pewną liczbą n:

b rz = 768

Nie znamy jego numeru, ale naszym zadaniem jest właśnie jego odnalezienie.) Więc szukamy. Pobraliśmy już wszystkie niezbędne dane do podstawienia we wzorze. Niezauważalnie.)

Tutaj podstawiamy:

768 = 3 2n -1

Wykonujemy elementarne - obie części dzielimy przez trzy i przepisujemy równanie w zwykłej postaci: nieznane po lewej, znane po prawej.

Otrzymujemy:

2 n -1 = 256

Oto ciekawe równanie. Musimy znaleźć „n”. Co jest niezwykłe? Tak, nie kłócę się. Właściwie to jest najprostsze. Nazywa się tak, ponieważ niewiadoma (w tym przypadku jest to liczba n) wsiada wskaźnik stopień.

Na etapie znajomości z postępem geometrycznym (jest to dziewiąta klasa) równań wykładniczych nie uczy się rozwiązywać, tak ... To jest temat do liceum. Ale nie ma nic strasznego. Nawet jeśli nie wiesz, jak rozwiązuje się takie równania, spróbujmy znaleźć nasze n kierować się prostą logiką i zdrowym rozsądkiem.

Zaczynamy dyskutować. Po lewej stronie mamy dwójkę do pewnego stopnia. Nie wiemy jeszcze, czym dokładnie jest ten stopień, ale to nie jest straszne. Ale z drugiej strony wiemy na pewno, że ten stopień jest równy 256! Pamiętamy więc, do jakiego stopnia dwójka daje nam 256. Pamiętasz? TAk! W ósma stopni!

256 = 2 8

Jeśli nie pamiętasz lub nie rozpoznałeś stopni problemu, to też jest w porządku: po prostu kolejno podnosimy dwójkę do kwadratu, do sześcianu, do czwartej potęgi, piątej i tak dalej. W rzeczywistości wybór, ale na tym poziomie, to niezła przejażdżka.

Tak czy inaczej otrzymamy:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Więc 768 jest dziewiąty członek naszej progresji. To wszystko, problem rozwiązany.)

Odpowiedź: 9

Co? Nudy? Masz dość podstawówki? Zgadzam się. I ja też. Przejdźmy do następnego poziomu.)

Bardziej złożone zadania.

A teraz rozwiązujemy zagadki bardziej gwałtownie. Niezupełnie super fajne, ale nad którym trzeba trochę popracować, aby dojść do odpowiedzi.

Na przykład w ten sposób.

Znajdź drugi wyraz ciągu geometrycznego, jeśli jego czwarty wyraz wynosi -24, a siódmy wyraz to 192.

To klasyka gatunku. Znanych jest dwóch różnych członków progresji, ale trzeba znaleźć jeszcze jednego członka. Co więcej, wszyscy członkowie NIE są sąsiadami. Co na początku myli, tak ...

Podobnie jak w , rozważamy dwie metody rozwiązywania takich problemów. Pierwszy sposób jest uniwersalny. Algebraiczny. Działa bezbłędnie z dowolnymi danymi źródłowymi. Więc od tego zaczniemy.)

Malujemy każdy termin zgodnie ze wzorem nczłonek!

Wszystko jest dokładnie takie samo, jak w przypadku postępu arytmetycznego. Tylko tym razem współpracujemy inne ogólna formuła. To wszystko.) Ale esencja jest taka sama: bierzemy i z kolei podstawiamy nasze początkowe dane do wzoru n-tego wyrazu. Dla każdego członka - własnego.

Dla czwartego terminu piszemy:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jest. Jedno równanie jest kompletne.

Za siódmą kadencję piszemy:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

W sumie otrzymano dwa równania dla ta sama progresja .

Montujemy z nich system:

Pomimo imponującego wyglądu, system jest dość prosty. Najbardziej oczywistym sposobem rozwiązania jest zwykłe podstawienie. wyrażamy b 1 z górnego równania i podstawiamy do dolnego:

Trochę zabawy z niższym równaniem (zmniejszenie wykładników i podzielenie przez -24) daje:

q 3 = -8

Nawiasem mówiąc, to samo równanie można uzyskać w prostszy sposób! Co? Teraz pokażę ci kolejny sekretny, ale bardzo piękny, potężny i użyteczny sposób rozwiązywania takich systemów. Takie układy, w których równaniach siedzą tylko działa. Przynajmniej w jednym. nazywa metoda podziału terminów jedno równanie do drugiego.

Mamy więc układ:

W obu równaniach po lewej stronie - praca, a po prawej stronie jest tylko liczba. To bardzo dobry znak.) Weźmy i… podzielmy, powiedzmy, dolne równanie przez górne! Co znaczy, podzielić jedno równanie przez drugie? Bardzo prosta. Bierzemy lewa strona jedno równanie (niższe) i dzielimy ją na lewa strona inne równanie (górne). Prawa strona jest podobna: prawa strona jedno równanie dzielimy na prawa strona inne.

Cały proces podziału wygląda następująco:

Teraz, redukując wszystko, co jest zredukowane, otrzymujemy:

q 3 = -8

Co jest dobrego w tej metodzie? Tak, ponieważ w procesie takiego podziału wszystko, co złe i niewygodne, można bezpiecznie zredukować i pozostaje całkowicie nieszkodliwe równanie! Dlatego tak ważne jest, aby mieć tylko mnożenia w co najmniej jednym z równań układu. Nie ma mnożenia - nie ma co zmniejszać, tak ...

Ogólnie rzecz biorąc, ta metoda (podobnie jak wiele innych nietrywialnych sposobów rozwiązywania układów) zasługuje nawet na osobną lekcję. Na pewno przyjrzę się temu bliżej. Pewnego dnia…

Jednak bez względu na to, jak rozwiążesz system, w każdym razie teraz musimy rozwiązać wynikowe równanie:

q 3 = -8

Nie ma problemu: wyodrębniamy korzeń (sześcienny) i - gotowe!

Należy pamiętać, że nie jest konieczne umieszczanie tutaj plusa / minusa podczas rozpakowywania. Mamy pierwiastek nieparzysty (trzeciego) stopnia. I odpowiedź jest taka sama, tak.

Tak więc mianownik progresji został znaleziony. Minus dwa. Doskonały! Proces jest w toku.)

Dla pierwszego wyrazu (powiedzmy z górnego równania) otrzymujemy:

Doskonały! Znamy pierwszy wyraz, znamy mianownik. A teraz mamy możliwość znalezienia dowolnego członka progresji. W tym drugi.)

Dla drugiego członka wszystko jest dość proste:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odpowiedź: -6

Opracowaliśmy więc algebraiczny sposób rozwiązania problemu. Trudny? Niewiele, zgadzam się. Długie i nudne? Tak, zdecydowanie. Ale czasami możesz znacznie zmniejszyć ilość pracy. Do tego istnieje graficzny sposób. Stare dobre i znane nam przez .)

Narysujmy problem!

TAk! Dokładnie. Ponownie przedstawiamy nasz postęp na osi liczbowej. Niekoniecznie linijką, nie trzeba zachowywać równych odstępów między członkami (które zresztą nie będą takie same, bo progresja jest geometryczna!), ale po prostu schematycznie narysuj nasz ciąg.

Mam to tak:

Teraz spójrz na obrazek i pomyśl. Ile równych czynników „q” ma udział czwarty oraz siódmy członkowie? Właśnie, trzy!

Dlatego mamy pełne prawo napisać:

-24q 3 = 192

Stąd teraz łatwo jest znaleźć q:

q 3 = -8

q = -2

To świetnie, mianownik jest już w naszej kieszeni. A teraz ponownie patrzymy na obrazek: ile takich mianowników znajduje się pomiędzy druga oraz czwarty członkowie? Dwa! Dlatego, aby zarejestrować związek między tymi członkami, podniesiemy mianownik do kwadratu.

Tutaj piszemy:

b 2 · q 2 = -24 , gdzie b 2 = -24/ q 2

Podstawiamy znaleziony mianownik do wyrażenia na b 2 , liczymy i otrzymujemy:

Odpowiedź: -6

Jak widać, wszystko jest znacznie prostsze i szybsze niż przez system. Co więcej, tutaj w ogóle nie musieliśmy liczyć pierwszego terminu! W ogóle.)

Oto taki prosty i wizualny sposób - światło. Ale ma też poważną wadę. Zgadłeś? TAk! Jest to dobre tylko dla bardzo krótkich fragmentów progresji. Takich, gdzie odległości między interesującymi nas członkami nie są zbyt duże. Ale we wszystkich innych przypadkach już trudno jest narysować obraz, tak ... Następnie rozwiązujemy problem analitycznie, za pomocą systemu.) A systemy są rzeczą uniwersalną. Zajmij się dowolną liczbą.

Kolejny epicki:

Drugi człon ciągu geometrycznego jest o 10 dłuższy od pierwszego, a trzeci człon jest o 30 dłuższy od drugiego. Znajdź mianownik progresji.

co jest fajne? Zupełnie nie! Wszystkie takie same. Ponownie przekładamy warunek problemu na czystą algebrę.

1) Malujemy każdy termin zgodnie ze wzorem nczłonek!

Drugi wyraz: b 2 = b 1 q

Trzeci termin: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Zapisujemy relacje między członkami ze stanu problemu.

Odczyt warunku: „Drugi wyraz postępu geometrycznego jest o 10 dłuższy niż pierwszy”. Przestań, to jest cenne!

Więc piszemy:

b 2 = b 1 +10

I tłumaczymy to zdanie na czystą matematykę:

b 3 = b 2 +30

Otrzymaliśmy dwa równania. Łączymy je w system:

System wygląda na prosty. Ale istnieje wiele różnych indeksów liter. Podstawmy zamiast drugiego i trzeciego członu ich wyrażenia przez pierwszy człon i mianownik! Na próżno, czy co, malowaliśmy je?

Otrzymujemy:

Ale taki system to już nie prezent, tak... Jak to rozwiązać? Niestety, uniwersalne tajne zaklęcie do rozwiązywania jest skomplikowane nieliniowy W matematyce nie ma systemów i być nie może. To jest fantastyczne! Ale pierwszą rzeczą, która powinna przyjść ci do głowy, gdy próbujesz złamać tak twardy orzech, jest rozgryźć Ale czy jedno z równań układu nie jest sprowadzone do pięknej postaci, która ułatwia na przykład wyrażenie jednej ze zmiennych w kategoriach drugiej?

Zgadnijmy. Pierwsze równanie układu jest wyraźnie prostsze niż drugie. Będziemy go torturować.) Dlaczego nie spróbować od pierwszego równania coś wyrazić przez coś? Ponieważ chcemy znaleźć mianownik q, to najkorzystniejsze byłoby dla nas wyrażenie b 1 poprzez q.

Spróbujmy więc wykonać tę procedurę z pierwszym równaniem, używając starych dobrych równań:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Wszystko! Tutaj wyraziliśmy niepotrzebny nam zmienną (b 1) przez niezbędny(q). Tak, nie najprostsze otrzymane wyrażenie. Jakiś ułamek ... Ale nasz system jest na przyzwoitym poziomie, tak.)

Typowy. Co robić - wiemy.

Piszemy ODZ (koniecznie!) :

q ≠ 1

Wszystko mnożymy przez mianownik (q-1) i skracamy wszystkie ułamki:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Dzielimy wszystko przez dziesięć, otwieramy nawiasy, zbieramy wszystko po lewej stronie:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rozwiązujemy wynik i otrzymujemy dwa pierwiastki:

q 1 = 1

q 2 = 3

Jest tylko jedna ostateczna odpowiedź: q = 3 .

Odpowiedź: 3

Jak widać, sposób rozwiązania większości problemów dla wzoru n-tego elementu ciągu geometrycznego jest zawsze taki sam: czytamy ostrożnie warunek problemu i korzystając ze wzoru na n-ty wyraz, tłumaczymy wszystkie przydatne informacje na czystą algebrę.

Mianowicie:

1) Piszemy osobno każdego członka podanego w problemie zgodnie ze wzoremnczłonek.

2) Ze stanu problemu tłumaczymy związek między prętami na postać matematyczną. Tworzymy równanie lub układ równań.

3) Rozwiązujemy otrzymane równanie lub układ równań, znajdujemy nieznane parametry progresji.

4) W przypadku niejednoznacznej odpowiedzi dokładnie czytamy stan problemu w poszukiwaniu dodatkowych informacji (jeśli takie istnieją). Otrzymaną odpowiedź sprawdzamy również z warunkami ODZ (jeśli takie istnieją).

A teraz wymieniamy główne problemy, które najczęściej prowadzą do błędów w procesie rozwiązywania problemów z postępem geometrycznym.

1. Arytmetyka elementarna. Operacje na ułamkach zwykłych i liczbach ujemnych.

2. Jeśli co najmniej jeden z tych trzech punktów stanowi problem, nieuchronnie popełnisz błąd w tym temacie. Niestety... Więc nie bądź leniwy i powtórz to, co zostało wspomniane powyżej. I podążaj za linkami - idź. Czasem pomaga.)

Zmodyfikowane i powtarzające się formuły.

A teraz spójrzmy na kilka typowych problemów egzaminacyjnych z mniej znaną prezentacją stanu. Tak, tak, zgadliście! to zmodyfikowane oraz nawracający formuły n-tego członka. Spotkaliśmy się już z takimi formułami i pracowaliśmy w postępie arytmetycznym. Tutaj wszystko jest podobne. Esencja jest ta sama.

Na przykład taki problem z OGE:

Postęp geometryczny jest określony wzorem b rz = 3 2 n . Znajdź sumę pierwszego i czwartego wyrazu.

Tym razem progresja jest nam dana nie tak jak zwykle. Jakaś formuła. Więc co? Ta formuła jest też formułanczłonek! Wszyscy wiemy, że formułę n-tego terminu można zapisać zarówno w formie ogólnej, literami, jak i dla konkretny postęp. Z konkretny pierwszy wyraz i mianownik.

W naszym przypadku mamy w rzeczywistości podany ogólny wzór na postęp geometryczny z następującymi parametrami:

b 1 = 6

q = 2

Sprawdźmy?) Zapiszmy wzór n-tego wyrazu w postaci ogólnej i podstawmy do niego b 1 oraz q. Otrzymujemy:

b rz = b 1 · q n -1

b rz= 6 2n -1

Upraszczamy, używając faktoryzacji i właściwości mocy, i otrzymujemy:

b rz= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Jak widać, wszystko jest sprawiedliwe. Ale naszym celem nie jest zademonstrowanie wyprowadzenia określonej formuły. To taka liryczna dygresja. Czysto dla zrozumienia.) Naszym celem jest rozwiązanie problemu zgodnie z formułą podaną nam w warunku. Łapiesz?) Więc pracujemy bezpośrednio ze zmodyfikowaną formułą.

Liczymy pierwszy wyraz. Zastąpić n=1 do ogólnego wzoru:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Lubię to. Przy okazji, nie jestem zbyt leniwy i jeszcze raz zwrócę uwagę na typową pomyłkę przy obliczaniu pierwszego wyrazu. NIE patrz na formułę b rz= 3 2n, natychmiast spiesz się, aby napisać, że pierwszy członek to trojka! To duży błąd, tak...)

Kontynuujemy. Zastąpić n=4 i rozważ czwarty wyraz:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

I na koniec obliczamy wymaganą kwotę:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odpowiedź: 54

Kolejny problem.

Postęp geometryczny jest określony przez warunki:

b 1 = -7;

b rz +1 = 3 b rz

Znajdź czwarty wyraz progresji.

Tutaj progresja jest określona przez rekurencyjną formułę. Cóż, dobrze.) Jak pracować z tą formułą - my też wiemy.

Tutaj działamy. Krok po kroku.

1) licząc dwa kolejny członek progresji.

Pierwszy termin jest już nam dany. Minus siedem. Ale następny, drugi wyraz, można łatwo obliczyć za pomocą wzoru rekurencyjnego. Oczywiście, jeśli rozumiesz, jak to działa.)

Tutaj rozważamy drugą kadencję według słynnego pierwszego:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Bierzemy pod uwagę mianownik progresji

Również nie ma problemu. Prosto, podziel się druga chuj na pierwszy.

Otrzymujemy:

q = -21/(-7) = 3

3) Napisz wzórntego członka w zwykłej formie i rozważ pożądanego członka.

Znamy więc pierwszy wyraz, mianownik też. Tutaj piszemy:

b rz= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Odpowiedź: -189

Jak widać, praca z takimi wzorami dla postępu geometrycznego zasadniczo nie różni się od tego dla postępu arytmetycznego. Ważne jest jedynie zrozumienie ogólnej istoty i znaczenia tych formuł. Cóż, znaczenie postępu geometrycznego również należy zrozumieć, tak.) I wtedy nie będzie głupich błędów.

Cóż, zdecydujmy sami?)

Dość elementarne zadania, na rozgrzewkę:

1. Biorąc pod uwagę postęp geometryczny, w którym b 1 = 243 i q = -2/3. Znajdź szósty wyraz progresji.

2. Wspólny termin postępu geometrycznego jest określony wzorem b rz = 5∙2 n +1 . Znajdź numer ostatniego trzycyfrowego członka tej progresji.

3. Postęp geometryczny jest określony przez warunki:

b 1 = -3;

b rz +1 = 6 b rz

Znajdź piąty wyraz progresji.

Trochę bardziej skomplikowane:

4. Biorąc pod uwagę postęp geometryczny:

b 1 =2048; q =-0,5

Jaki jest szósty wyraz ujemny?

Co wydaje się super trudne? Zupełnie nie. Logika i zrozumienie znaczenia postępu geometrycznego uratuje. Cóż, oczywiście formuła n-tego wyrazu.

5. Trzeci wyraz ciągu geometrycznego to -14, a ósmy to 112. Znajdź mianownik ciągu.

6. Suma pierwszego i drugiego wyrazu ciągu geometrycznego jest równa 75, a suma drugiego i trzeciego wyrazu to 150. Znajdź szósty wyraz ciągu.

Odpowiedzi (w nieładzie): 6; -3888; -jeden; 800; -32; 448.

To prawie wszystko. Pozostaje tylko nauczyć się liczyć suma pierwszych n wyrazów postępu geometrycznego tak odkryć nieskończenie malejący postęp geometryczny i jego ilość. Nawiasem mówiąc, bardzo interesująca i niezwykła rzecz! Więcej na ten temat w późniejszych lekcjach.)

Postęp geometryczny to ciąg liczbowy, którego pierwszy wyraz jest niezerowy, a każdy kolejny wyraz jest równy poprzedniemu wyrazowi pomnożonemu przez tę samą liczbę różną od zera. Postęp geometryczny jest oznaczony przez b1,b2,b3, …, bn, …

Własności postępu geometrycznego

Jeśli q>0 (q nie jest równe 1), to postęp jest ciągiem monotonicznym. Na przykład ciąg 2, 4,8,16,32, ... jest ciągiem rosnącym monotonicznie (b1=2, q=2).

Jeżeli mianownik q=1 w błędzie geometrycznym, to wszystkie elementy ciągu geometrycznego będą sobie równe. W takich przypadkach mówi się, że postęp jest ciągłą sekwencją.

Formuła n-tego członka progresji

Aby ciąg liczbowy (bn) był postępem geometrycznym, konieczne jest, aby każdy jego element, począwszy od drugiego, był średnią geometryczną sąsiednich elementów. Czyli trzeba spełnić równanie - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), dla dowolnego n>0, gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Wzór na n-tego członka ciągu geometrycznego to:

bn=b1*q^(n-1), gdzie n należy do zbioru liczb naturalnych N.

Rozważ prosty przykład:

W postępie geometrycznym b1=6, q=3, n=8 znajdź bn.

Skorzystajmy ze wzoru n-tego elementu ciągu geometrycznego.