Równania kwadratowe. Pełne i niepełne równanie kwadratowe. Definicja i przykłady niepełnych równań kwadratowych Wyraź równanie kwadratowe za pomocą pierwiastków

We współczesnym społeczeństwie umiejętność operowania na równaniach zawierających zmienną kwadratową może być przydatna w wielu dziedzinach działalności i jest szeroko stosowana w praktyce w rozwoju naukowym i technicznym. Świadczyć o tym może konstrukcja statków morskich i rzecznych, samolotów i rakiet. Za pomocą takich obliczeń określa się trajektorie ruchu różnych ciał, w tym obiektów kosmicznych. Przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych są wykorzystywane nie tylko w prognozowaniu ekonomicznym, projektowaniu i budowie budynków, ale także w najbardziej zwyczajnych codziennych okolicznościach. Mogą być potrzebne na biwakach, imprezach sportowych, w sklepach podczas zakupów oraz w innych bardzo częstych sytuacjach.

Podzielmy wyrażenie na czynniki składowe

Stopień równania jest określony przez maksymalną wartość stopnia zmiennej zawartej w danym wyrażeniu. Jeśli jest równe 2, to takie równanie nazywa się równaniem kwadratowym.

Jeśli mówimy językiem formuł, to wyrażenia te, niezależnie od tego, jak wyglądają, zawsze można sprowadzić do postaci, w której lewa strona wyrażenia składa się z trzech wyrazów. Wśród nich: ax 2 (czyli zmienna podniesiona do kwadratu ze swoim współczynnikiem), bx (niewiadoma bez kwadratu ze swoim współczynnikiem) i c (składowa swobodna, czyli liczba zwykła). Wszystko to jest równe 0. W przypadku, gdy taki wielomian nie ma jednego ze swoich składników składowych, z wyjątkiem osi 2, nazywa się to niepełnym równaniem kwadratowym. W pierwszej kolejności należy rozważyć przykłady rozwiązań takich problemów, w których znalezienie wartości zmiennych nie jest trudne.

Jeśli wyrażenie wygląda tak, jakby miało dwa wyrazy po prawej stronie wyrażenia, a dokładniej ax 2 i bx, najłatwiej jest znaleźć x, umieszczając zmienną w nawiasach. Teraz nasze równanie będzie wyglądać następująco: x(ax+b). Dalej staje się oczywiste, że albo x=0, albo problem sprowadza się do znalezienia zmiennej z następującego wyrażenia: ax+b=0. Jest to podyktowane jedną z właściwości mnożenia. Reguła mówi, że iloczyn dwóch czynników daje 0 tylko wtedy, gdy jeden z nich jest równy zero.

Przykład

x=0 lub 8x - 3 = 0

W rezultacie otrzymujemy dwa pierwiastki równania: 0 i 0,375.

Równania tego rodzaju mogą opisywać ruch ciał pod działaniem grawitacji, które zaczęły się poruszać od pewnego punktu, przyjętego za początek. Tutaj notacja matematyczna przyjmuje następującą postać: y = v 0 t + gt 2 /2. Podstawiając niezbędne wartości, przyrównując prawą stronę do 0 i znajdując możliwe niewiadome, możesz poznać czas, jaki upłynął od momentu, gdy ciało unosi się do momentu, w którym opada, a także wiele innych wielkości. Ale o tym porozmawiamy później.

Faktoryzacja wyrażenia

Opisana powyżej reguła umożliwia rozwiązanie tych problemów w bardziej złożonych przypadkach. Rozważ przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych tego typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Ten trójmian kwadratowy jest kompletny. Najpierw przekształcamy wyrażenie i rozkładamy je na czynniki. Są ich dwa: (x-8) i (x-25) = 0. W rezultacie mamy dwa pierwiastki 8 i 25.

Przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych w klasie 9 pozwalają tej metodzie znaleźć zmienną w wyrażeniach nie tylko drugiego, ale nawet trzeciego i czwartego rzędu.

Na przykład: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Rozkładając prawą stronę na czynniki ze zmienną, są ich trzy, to znaczy (x + 1), (x-3) i (x + 3).

W rezultacie staje się oczywiste, że to równanie ma trzy pierwiastki: -3; -jeden; 3.

Wyciąganie pierwiastka kwadratowego

Innym przypadkiem niepełnego równania drugiego rzędu jest wyrażenie napisane językiem liter w taki sposób, że prawa strona jest zbudowana ze składowych ax 2 i c. Tutaj, aby uzyskać wartość zmiennej, wolny termin jest przenoszony na prawą stronę, a następnie pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z obu stron równości. Należy zauważyć, że w tym przypadku zwykle występują dwa pierwiastki równania. Jedynymi wyjątkami są równości, które w ogóle nie zawierają wyrazu c, gdzie zmienna jest równa zeru, oraz warianty wyrażeń, gdy prawa strona okazuje się ujemna. W tym drugim przypadku w ogóle nie ma rozwiązań, ponieważ powyższych czynności nie można wykonać z korzeniami. Należy rozważyć przykłady rozwiązań równań kwadratowych tego typu.

W takim przypadku pierwiastkami równania będą liczby -4 i 4.

Obliczanie powierzchni gruntu

Potrzeba tego rodzaju obliczeń pojawiła się już w starożytności, gdyż rozwój matematyki w tamtych odległych czasach wynikał w dużej mierze z konieczności jak najdokładniejszego określania powierzchni i obwodów działek.

Należy również rozważyć przykłady z rozwiązaniem równań kwadratowych zestawionych na podstawie tego rodzaju problemów.

Załóżmy więc, że istnieje prostokątny kawałek ziemi, którego długość jest o 16 metrów większa niż szerokość. Powinieneś znaleźć długość, szerokość i obwód terenu, jeśli wiadomo, że jego powierzchnia wynosi 612 m 2.

Zabierając się do pracy, najpierw wykonamy niezbędne równanie. Oznaczmy szerokość przekroju jako x, wtedy jego długość będzie wynosić (x + 16). Z tego, co napisano, wynika, że ​​pole wyznacza wyrażenie x (x + 16), które zgodnie z warunkiem naszego problemu wynosi 612. Oznacza to, że x (x + 16) \u003d 612.

Rozwiązanie pełnych równań kwadratowych, a to wyrażenie jest właśnie tym, nie może być wykonane w ten sam sposób. Czemu? Chociaż lewa strona nadal zawiera dwa czynniki, ich iloczyn wcale nie jest równy 0, więc stosuje się tutaj inne metody.

dyskryminujący

W pierwszej kolejności dokonamy niezbędnych przekształceń, następnie wygląd tego wyrażenia będzie wyglądał następująco: x 2 + 16x - 612 = 0. Oznacza to, że otrzymaliśmy wyrażenie w postaci odpowiadającej podanemu wcześniej standardowi, gdzie a=1, b=16, c= -612.

Może to być przykład rozwiązywania równań kwadratowych przez dyskryminator. Tutaj wykonuje się niezbędne obliczenia zgodnie ze schematem: D = b 2 - 4ac. Ta wartość pomocnicza nie tylko umożliwia znalezienie pożądanych wartości w równaniu drugiego rzędu, ale określa liczbę możliwych opcji. W przypadku D>0 jest ich dwóch; dla D=0 istnieje jeden pierwiastek. w przypadku D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O korzeniach i ich formule

W naszym przypadku wyróżnikiem jest: 256 - 4(-612) = 2704. Oznacza to, że nasz problem ma rozwiązanie. Jeśli wiesz, że rozwiązanie równań kwadratowych należy kontynuować, korzystając z poniższego wzoru. Pozwala obliczyć pierwiastki.

Oznacza to, że w przedstawionym przypadku: x 1 = 18, x 2 = -34. Druga opcja w tym dylemacie nie może być rozwiązaniem, ponieważ wielkość działki nie może być mierzona wartościami ujemnymi, co oznacza, że ​​x (czyli szerokość działki) wynosi 18 m. Stąd obliczamy długość: 18+16=34, a obwód 2(34+18) = 104 (m2).

Przykłady i zadania

Kontynuujemy badanie równań kwadratowych. Przykłady i szczegółowe rozwiązanie kilku z nich zostaną podane poniżej.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Przenieśmy wszystko na lewą stronę równości, dokonajmy transformacji, czyli otrzymamy postać równania, które zwykle nazywa się standardowym, i przyrównamy do zera.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po dodaniu podobnych określamy dyskryminator: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Zatem nasze równanie będzie miało dwa pierwiastki. Obliczamy je według powyższego wzoru, co oznacza, że ​​pierwszy z nich będzie równy 4/3, a drugi 1.

2) Teraz odkryjemy zagadki innego rodzaju.

Sprawdźmy, czy w ogóle są tu pierwiastki x 2 - 4x + 5 = 1? Aby uzyskać wyczerpującą odpowiedź, doprowadzamy wielomian do odpowiedniej znanej postaci i obliczamy dyskryminator. W tym przykładzie nie jest konieczne rozwiązywanie równania kwadratowego, ponieważ w ogóle nie ma w tym istoty problemu. W tym przypadku D \u003d 16 - 20 \u003d -4, co oznacza, że ​​\u200b\u200btak naprawdę nie ma korzeni.

Twierdzenie Viety

Wygodne jest rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą powyższych wzorów i dyskryminatora, gdy pierwiastek kwadratowy jest wyodrębniany z wartości tego ostatniego. Ale nie zawsze tak się dzieje. Istnieje jednak wiele sposobów na uzyskanie wartości zmiennych w tym przypadku. Przykład: rozwiązywanie równań kwadratowych z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Został nazwany na cześć człowieka, który mieszkał w XVI-wiecznej Francji i zrobił błyskotliwą karierę dzięki talentowi matematycznemu i koneksjom na dworze. Jego portret można zobaczyć w artykule.

Wzór, który zauważył słynny Francuz, był następujący. Udowodnił, że suma pierwiastków równania jest równa -p=b/a, a ich iloczyn odpowiada q=c/a.

Przyjrzyjmy się teraz konkretnym zadaniom.

3x2 + 21x - 54 = 0

Dla uproszczenia przekształćmy wyrażenie:

x 2 + 7x - 18 = 0

Korzystając z twierdzenia Vieta, otrzymamy co następuje: suma pierwiastków wynosi -7, a ich iloczyn wynosi -18. Stąd otrzymujemy, że pierwiastkami równania są liczby -9 i 2. Po sprawdzeniu upewnimy się, że te wartości zmiennych naprawdę pasują do wyrażenia.

Wykres i równanie paraboli

Pojęcia funkcji kwadratowej i równań kwadratowych są ze sobą ściśle powiązane. Przykłady tego zostały już podane wcześniej. Przyjrzyjmy się teraz bliżej niektórym łamigłówkom matematycznym. Każde równanie opisanego typu można przedstawić wizualnie. Taka zależność, narysowana w postaci wykresu, nazywana jest parabolą. Jego różne rodzaje pokazano na poniższym rysunku.

Każda parabola ma wierzchołek, czyli punkt, z którego wychodzą jej gałęzie. Jeśli a>0, idą wysoko do nieskończoności, a gdy a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Wizualne reprezentacje funkcji pomagają rozwiązywać dowolne równania, w tym kwadratowe. Ta metoda nazywa się graficzną. A wartością zmiennej x jest współrzędna odciętych w punktach, w których linia wykresu przecina się z 0x. Współrzędne wierzchołka można znaleźć za pomocą podanego wzoru x 0 = -b / 2a. I podstawiając wynikową wartość do pierwotnego równania funkcji, możesz znaleźć y 0, czyli drugą współrzędną wierzchołka paraboli należącego do osi y.

Przecięcie gałęzi paraboli z osią odciętych

Istnieje wiele przykładów rozwiązań równań kwadratowych, ale są też ogólne wzorce. Rozważmy je. Oczywiste jest, że przecięcie wykresu z osią 0x dla a>0 jest możliwe tylko wtedy, gdy y 0 przyjmuje wartości ujemne. i za<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inaczej D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z wykresu paraboli można również wyznaczyć pierwiastki. Odwrotnie jest również prawdą. Oznacza to, że jeśli nie jest łatwo uzyskać wizualną reprezentację funkcji kwadratowej, możesz zrównać prawą stronę wyrażenia z 0 i rozwiązać wynikowe równanie. A znając punkty przecięcia z osią 0x łatwiej jest wykreślić.

Z historii

Za pomocą równań zawierających zmienną kwadratową w dawnych czasach nie tylko wykonywano obliczenia matematyczne i określano powierzchnię kształtów geometrycznych. Starożytni potrzebowali takich obliczeń do wielkich odkryć w dziedzinie fizyki i astronomii, a także do sporządzania prognoz astrologicznych.

Jak sugerują współcześni naukowcy, mieszkańcy Babilonu jako jedni z pierwszych rozwiązali równania kwadratowe. Stało się to cztery wieki przed nadejściem naszej ery. Oczywiście ich obliczenia zasadniczo różniły się od obecnie akceptowanych i okazały się znacznie bardziej prymitywne. Na przykład mezopotamscy matematycy nie mieli pojęcia o istnieniu liczb ujemnych. Nie byli również zaznajomieni z innymi subtelnościami znanymi każdemu studentowi naszych czasów.

Być może nawet wcześniej niż uczeni babilońscy, mędrzec z Indii, Baudhayama, zajął się rozwiązywaniem równań kwadratowych. Stało się to około ośmiu wieków przed nadejściem ery Chrystusa. To prawda, że ​​\u200b\u200brównania drugiego rzędu, metody rozwiązywania, które podał, były najprostsze. Oprócz niego w dawnych czasach podobnymi zagadnieniami interesowali się również chińscy matematycy. W Europie równania kwadratowe zaczęto rozwiązywać dopiero na początku XIII wieku, ale później wykorzystali je w swojej pracy tak wielcy naukowcy, jak Newton, Kartezjusz i wielu innych.

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki pierwiastków rzeczywistych, wielokrotnych i złożonych. Faktoryzacja trójmianu kwadratowego. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoryzacji.

Zobacz też: Rozwiązywanie równań kwadratowych online

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) określają wzory:
; .
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony):
.

Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważać dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wówczas faktoryzacja trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona ;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeżeli wykreślimy funkcję
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Gdy , wykres przecina oś odciętych (osi) w dwóch punktach ().
Gdy , wykres styka się z osią x w jednym punkcie ().
Gdy , wykres nie przecina osi x ().

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):




,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Z tego widać, że równanie

wykonywane o godz
oraz .
To znaczy i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Przecina oś x (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wówczas faktoryzacja trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniany dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się wielokrotnością. Oznacza to, że uważają, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy pierwotne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Wyróżnik jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Temat ten może początkowo wydawać się skomplikowany ze względu na wiele niezbyt prostych formuł. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie wpisy, ale pierwiastki można również znaleźć za pomocą dyskryminatora. W sumie są trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.

Ogólny widok równania kwadratowego

Tutaj proponuje się ich wyraźny zapis, gdy najpierw zapisywany jest największy stopień, a następnie - w kolejności malejącej. Często zdarzają się sytuacje, w których warunki różnią się od siebie. Wtedy lepiej przepisać równanie w malejącej kolejności stopnia zmiennej.

Wprowadźmy notację. Przedstawiono je w tabeli poniżej.

Jeśli przyjmiemy te notacje, wszystkie równania kwadratowe zostaną zredukowane do następującej notacji.

Ponadto współczynnik a ≠ 0. Niech ten wzór oznaczymy liczbą jeden.

Kiedy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:

• rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
• odpowiedzią będzie jedna liczba;
• Równanie w ogóle nie ma pierwiastków.

I choć decyzja nie jest doprowadzona do końca, trudno zrozumieć, która z opcji wypadnie w konkretnej sprawie.

Rodzaje zapisów równań kwadratowych

Zadania mogą mieć różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać jak ogólny wzór równania kwadratowego. Czasami będzie brakować niektórych warunków. To, co napisano powyżej, to pełne równanie. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci wyraz, otrzymasz coś innego. Te zapisy są również nazywane równaniami kwadratowymi, tylko niekompletnymi.

Co więcej, tylko terminy, dla których współczynniki „b” i „c” mogą zniknąć. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zeru. Ponieważ w tym przypadku wzór zamienia się w równanie liniowe. Wzory dla niepełnej postaci równań będą następujące:

Istnieją więc tylko dwa typy, oprócz pełnych, istnieją również niekompletne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie numerem dwa, a druga liczbą trzy.

Wyróżnik i zależność liczby pierwiastków od jej wartości

Ta liczba musi być znana, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można to obliczyć, bez względu na to, jaki jest wzór równania kwadratowego. Aby obliczyć wyróżnik, musisz skorzystać z zapisanej poniżej równości, która będzie miała cyfrę cztery.

Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru można uzyskać liczby o różnych znakach. Jeśli odpowiedź brzmi „tak”, to odpowiedzią na równanie będą dwa różne pierwiastki. Przy liczbie ujemnej pierwiastki równania kwadratowego będą nieobecne. Jeśli jest równa zeru, odpowiedź będzie wynosić jeden.

Jak rozwiązuje się pełne równanie kwadratowe?

W rzeczywistości rozpatrzenie tej kwestii już się rozpoczęło. Bo najpierw trzeba znaleźć dyskryminator. Po wyjaśnieniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego i znana jest ich liczba, należy użyć wzorów dla zmiennych. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować taką formułę.

Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać w inny sposób.

Formuła piąta. Z tego samego zapisu widać, że jeśli dyskryminator wynosi zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.

Jeśli rozwiązanie równań kwadratowych nie zostało jeszcze opracowane, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem wzorów dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ten moment nie będzie sprawiał trudności. Ale już na samym początku panuje zamieszanie.

Jak rozwiązuje się niepełne równanie kwadratowe?

Tutaj wszystko jest znacznie prostsze. Nawet nie ma potrzeby stosowania dodatkowych formuł. I nie będziesz potrzebować tych, które zostały już napisane dla wybrednych i nieznanych.

Najpierw rozważ niepełne równanie numer dwa. W tej równości ma wyjąć nieznaną wartość z nawiasu i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasie. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza jest koniecznie równa zeru, ponieważ istnieje czynnik składający się z samej zmiennej. Drugi uzyskuje się przez rozwiązanie równania liniowego.

Niepełne równanie pod numerem trzy rozwiązuje się, przenosząc liczbę z lewej strony równania na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik przed nieznanym. Pozostaje tylko wyodrębnić pierwiastek kwadratowy i nie zapomnij zapisać go dwukrotnie z przeciwnymi znakami.

Poniżej przedstawiono kilka czynności, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać wszelkiego rodzaju równania, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia są przyczyną słabych ocen podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (klasa 8)”. Następnie czynności te nie będą musiały być stale wykonywane. Ponieważ będzie stały nawyk.

• Najpierw musisz napisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw wyraz o największym stopniu zmiennej, a potem - bez stopnia i na końcu - tylko liczba.

• Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu, aby studiować równania kwadratowe. Lepiej się go pozbyć. W tym celu wszystkie równości należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie wyrazy zmienią znak na przeciwny.

• W ten sam sposób zaleca się pozbycie się ułamków. Po prostu pomnóż równanie przez odpowiedni współczynnik, aby mianowniki się zniosły.

Przykłady

Należy rozwiązać następujące równania kwadratowe:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Pierwsze równanie: x 2 - 7x \u003d 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je w sposób opisany dla wzoru numer dwa.

Po nawiasach okazuje się: x (x - 7) \u003d 0.

Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 \u003d 0. Drugi można znaleźć z równania liniowego: x - 7 \u003d 0. Łatwo zauważyć, że x 2 \u003d 7.

Drugie równanie: 5x2 + 30 = 0. Ponownie niepełne. Tylko to jest rozwiązywane w sposób opisany dla trzeciego wzoru.

Po przeniesieniu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się, że: x 2 = 6. Odpowiedziami będą liczby: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Trzecie równanie: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Tutaj i poniżej rozwiązanie równań kwadratowych rozpocznie się od przepisania ich do postaci standardowej: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Teraz nadszedł czas, aby użyć drugiego przydatna wskazówka i pomnóż wszystko przez minus jeden . Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Zgodnie z czwartą formułą musisz obliczyć dyskryminację: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. To jest Liczba dodatnia. Z tego, co powiedziano powyżej, wynika, że ​​równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć zgodnie z piątym wzorem. Zgodnie z nim okazuje się, że x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Następnie x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x \u003d 0 jest konwertowane na to: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jego dyskryminator jest równy tej wartości: -23. Ponieważ ta liczba jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie następujący wpis: „Nie ma korzeni”.

Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać w następujący sposób: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na wyróżnik otrzymujemy liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden pierwiastek, a mianowicie: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Szóste równanie (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że przed otwarciem nawiasów należy wprowadzić wyrazy podobne. W miejsce pierwszego pojawi się takie wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po równości pojawi się wpis: x 2 + 3x + 2. Po podliczeniu wyrazów podobnych równanie przyjmie postać: x 2 - x \u003d 0. Stało się niekompletne . Podobny do niego został już uznany za nieco wyższy. Pierwiastkami tego będą liczby 0 i 1.

”, czyli równania pierwszego stopnia. W tej lekcji będziemy badać co to jest równanie kwadratowe i jak to rozwiązać.

Co to jest równanie kwadratowe

Ważny!

Stopień równania jest określony przez najwyższy stopień, do którego stoi niewiadoma.

Jeśli maksymalny stopień, w jakim stoi niewiadoma, wynosi „2”, to masz równanie kwadratowe.

Przykłady równań kwadratowych

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Ważny! Ogólna postać równania kwadratowego wygląda następująco:

ZA x 2 + b x + do = 0

• „a” - pierwszy lub starszy współczynnik;
• „b” - drugi współczynnik;
• „c” jest wolnym członkiem.

Aby znaleźć „a”, „b” i „c” Musisz porównać swoje równanie z ogólną postacią równania kwadratowego „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

Poćwiczmy wyznaczanie współczynników „a”, „b” i „c” w równaniach kwadratowych.

• a = -1
• b = 1
• do =

  1

  3

• za = 1
• b = 0,25
• do = 0

• za = 1
• b = 0
• do = −8

Jak rozwiązywać równania kwadratowe

W przeciwieństwie do równań liniowych do rozwiązywania równań kwadratowych stosuje się specjalne równanie. wzór na znalezienie korzeni.

Pamiętać!

Aby rozwiązać równanie kwadratowe, potrzebujesz:

• doprowadzić równanie kwadratowe do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c \u003d 0”. Oznacza to, że tylko „0” powinno pozostać po prawej stronie;
• skorzystaj ze wzoru na pierwiastki:

Użyjmy przykładu, aby dowiedzieć się, jak zastosować wzór, aby znaleźć pierwiastki równania kwadratowego. Rozwiążmy równanie kwadratowe.

X 2 - 3x - 4 = 0

Równanie „x 2 - 3x - 4 = 0” zostało już sprowadzone do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c = 0” i nie wymaga dodatkowych uproszczeń. Aby go rozwiązać, musimy tylko złożyć wniosek wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego.

Zdefiniujmy współczynniki „a”, „b” i „c” dla tego równania.

Za jego pomocą rozwiązywane jest każde równanie kwadratowe.

We wzorze „x 1; 2 \u003d” wyrażenie root jest często zastępowane
„b 2 − 4ac” na literę „D” i nazywa się dyskryminatorem. Pojęcie dyskryminatora zostało omówione bardziej szczegółowo w lekcji „Co to jest dyskryminator”.

Rozważ inny przykład równania kwadratowego.

x 2 + 9 + x = 7x

W tej postaci raczej trudno jest określić współczynniki „a”, „b” i „c”. Najpierw sprowadźmy równanie do postaci ogólnej „ax 2 + bx + c \u003d 0”.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz możesz użyć wzoru na korzenie.

X 1;2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x=

Są chwile, kiedy nie ma pierwiastków w równaniach kwadratowych. Taka sytuacja ma miejsce, gdy we wzorze pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna.

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest niezbędna.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Zanim przestudiujemy konkretne metody rozwiązywania, zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. nie mieć korzeni;
2. Mają dokładnie jeden pierwiastek;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś wspaniałego - dyskryminujący.

dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Tę formułę trzeba znać na pamięć. Skąd to się bierze, nie jest teraz ważne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: na podstawie znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie wcale ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy dyskryminator:
za = 1, b = −8, do = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Zatem wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w ten sam sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Wyróżnik jest ujemny, nie ma pierwiastków. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Wyróżnik jest równy zeru - pierwiastek będzie równy jeden.

Zauważ, że dla każdego równania zostały wypisane współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna - ale nie mieszasz szans i nie popełniasz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - generalnie nie tak bardzo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeśli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ za = 1; b = −2; c = -3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znowu ma dwa pierwiastki. Znajdźmy ich

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ za = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy występują, gdy w formule są zastępowane współczynniki ujemne. Tutaj znowu pomoże technika opisana powyżej: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i bardzo szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z wyrazów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywamy niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zeru.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, wtedy otrzymamy niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Ponieważ arytmetyczny pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko wtedy, gdy (−c / a ) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeśli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych w ogóle nie ma skomplikowanych obliczeń. W zasadzie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemna, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których element swobodny jest równy zeru. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiąż równania kwadratowe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.