Ердийн таван өнцөгт барих. Техникийн зураг. Тогтмол олон өнцөгт байгуулах Тогтмол таван өнцөгтийн схем

Энэ зураг нь талбайг хавтанцар хийхэд ашиглах боломжгүй хамгийн бага тооны булантай олон өнцөгт юм. Зөвхөн таван өнцөгт нь талуудтай ижил тооны диагональтай байдаг. Дурын ердийн олон өнцөгтийн томъёог ашигласнаар та пентагонд байгаа бүх шаардлагатай параметрүүдийг тодорхойлж болно. Жишээлбэл, өгөгдсөн радиустай тойрог хэлбэрээр бичнэ үү, эсвэл өгөгдсөн хажуу тал дээр үндэслэн байгуулна.

Цацрагыг хэрхэн зөв зурах вэ, танд ямар зургийн хэрэгсэл хэрэгтэй вэ? Цаасан хуудас аваад хаана ч байсан цэг тэмдэглээрэй. Дараа нь захирагчийг хавсаргаж, заасан цэгээс хязгааргүй хүртэл шугам зур. Шулуун шугам зурахын тулд "Shift" товчийг дараад хүссэн урттай шугамыг зур. Зурж дууссаны дараа "Формат" таб нээгдэнэ. Мөрийн сонголтыг хасвал мөрний эхэнд цэг гарч ирэхийг харах болно. Бичээс үүсгэхийн тулд "Бичээс зурах" товчийг дарж, бичээс байрлах талбарыг үүсгэ.

Пентагон барих эхний арга нь илүү "сонгодог" гэж тооцогддог. Үүссэн зураг нь ердийн таван өнцөгт байх болно. Додекагон нь үл хамаарах зүйл биш тул түүнийг барих нь луужин ашиглахгүйгээр боломжгүй юм. Ердийн таван өнцөгт барих ажлыг тойргийг таван тэнцүү хэсэгт хуваах даалгавар болгон бууруулсан. Та хамгийн энгийн хэрэгслийг ашиглан пентаграм зурж болно.

Би үүнд хүрэхийн тулд удаан хугацаанд тэмцэж, бие даан хувь хэмжээ, хамаарлыг олох гэж оролдсон боловч амжилтанд хүрсэнгүй. Алдарт математикчдын боловсруулсан ердийн таван өнцөгтийг бүтээх хэд хэдэн өөр хувилбарууд байдаг нь тогтоогджээ. Сонирхолтой зүйл бол энэ асуудлыг арифметикийн хувьд зөвхөн ойролцоогоор яг л шийдэж болно, учир нь иррационал тоог ашиглах шаардлагатай болно. Гэхдээ үүнийг геометрийн аргаар шийдэж болно.

Тойрог хуваах. Эдгээр шугамын тойрогтой огтлолцох цэгүүд нь дөрвөлжингийн оройнууд юм. R радиустай тойрогт (1-р алхам) босоо диаметрийг зур. Шугаман ба тойргийн N холболтын цэг дээр шугам нь тойрогтой шүргэнэ.

Туузан цаасаар хүлээн авах

Ердийн зургаан өнцөгтийг T-квадрат болон 30X60 ° квадрат ашиглан барьж болно. Ийм гурвалжны оройг луужин болон 30 ба 60 ° өнцөгтэй дөрвөлжин эсвэл зөвхөн нэг луужин ашиглан барьж болно. 2-3-р талыг барихын тулд T-квадратыг тасархай шугамаар харуулсан байрлалд тохируулж, 2-р цэгээр шулуун шугам татах ба энэ нь гурвалжны гурав дахь оройг тодорхойлох болно. Бид тойрог дээр 1-р цэгийг тэмдэглэж, таван өнцөгтийн оройн нэг гэж авдаг. Бид олсон оройг бие биентэйгээ цувралаар холбодог. Долоон өнцөгтийг F туйлаас туяа татаж, босоо диаметртэй сондгой хуваалтаар хийж болно.

Мөн утаснуудын нөгөө үзүүрт харандаа тавьж, сэтгэлээр унасан байдаг. Хэрэв та од зурахыг мэддэг ч таван өнцөгт зурахаа мэдэхгүй байгаа бол харандаагаар од зурж, одны зэргэлдээх хэсгүүдийг хооронд нь холбож, дараа нь одыг өөрөө арилга. Дараа нь хуудас цаас тавь (дөрвөн товчлуур эсвэл зүүгээр ширээн дээр засах нь дээр). Эдгээр 5 туузыг цаасан дээр зүү эсвэл зүүгээр зүүж, хөдөлгөөнгүй хэвээр үлдээнэ. Дараа нь үүссэн таван өнцөгтийг дугуйлж, хуудаснаас эдгээр судлуудыг арилгана.

Жишээлбэл, ЗХУ-ын өнгөрсөн үеийн тухай эсвэл Хятадын өнөөгийн тухай зураг зурахдаа бид таван хошуут од (пентаграм) зурах хэрэгтэй. Үнэн бол үүний тулд та хэтийн төлөвийн одны зургийг бүтээх чадвартай байх хэрэгтэй. Үүний нэгэн адил та цаасан дээр харандаагаар дүрс зурах боломжтой болно. Одыг хэрхэн зөв зурах вэ, ингэснээр жигд, үзэсгэлэнтэй харагдах болно, та тэр даруй хариулахгүй.

Төвөөс 2 цацрагийг тойрог руу буулгаж, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 72 градус байна (протектор). Тойргийг таван хэсэгт хуваахыг ердийн луужин эсвэл протектор ашиглан гүйцэтгэдэг. Ердийн таван өнцөгт нь алтан зүсэлтийн харьцааг агуулсан дүрсүүдийн нэг тул зураач, математикчид түүнийг бүтээхийг эртнээс сонирхож ирсэн. Луужин, шулуун шугам ашиглан барих эдгээр зарчмуудыг Евклидийн элементүүдэд тусгасан болно.

Энгийн таван өнцөгт нь таван ижил өнцөг үүсгэсэн таван шулуун шугамын огтлолцлоос үүссэн геометрийн дүрс юм. Энэ тоог Пентагон гэдэг. Зураачдын бүтээл нь таван өнцөгттэй нягт холбоотой байдаг - тэдний зургууд нь ердийн геометрийн дүрс дээр суурилдаг. Үүнийг хийхийн тулд та таван өнцөгтийг хэрхэн хурдан бүтээх талаар мэдэх хэрэгтэй.

Энэ тоо яагаад сонирхолтой вэ? Барилга нь таван өнцөгт хэлбэртэй Америкийн Нэгдсэн Улсын Батлан ​​хамгаалах яам. Үүнийг нислэгийн өндрөөс авсан гэрэл зургуудаас харж болно. Байгальд ямар ч талст, чулуу байдаггүй бөгөөд хэлбэр нь таван өнцөгттэй төстэй байдаг. Зөвхөн энэ зураг дээр нүүрний тоо нь диагональуудын тоотой давхцаж байна.

Энгийн таван өнцөгтийн параметрүүд

Тэгш өнцөгт таван өнцөгт нь геометрийн дүрс бүрийн нэгэн адил өөрийн гэсэн параметртэй байдаг. Шаардлагатай томьёог мэдсэнээр та эдгээр параметрүүдийг тооцоолж болох бөгөөд энэ нь пентагон барих үйл явцыг хөнгөвчлөх болно. Тооцооллын арга, томъёо:

• олон өнцөгтийн бүх өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Ердийн таван өнцөгтийн хувьд бүх өнцөг нь тэнцүү, төв өнцгийг дараах байдлаар олно: 360/5 \u003d 72 градус;
• дотоод буланг ийм байдлаар олно: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 градус. Бүх дотоод өнцгүүдийн нийлбэр: 108*5 = 540 градус.

Асуудлын мэдэгдэлд аль хэдийн өгөгдсөн параметрүүдийг ашиглан таван өнцөгтийн талыг олно.

• хэрэв пентагоныг тойруулан тойрог дүрсэлсэн бөгөөд түүний радиус нь мэдэгдэж байвал талыг дараах томъёоны дагуу олно: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1.1756 * Р.
• Хэрэв таван өнцөгт дотор бичигдсэн тойргийн радиус нь мэдэгдэж байгаа бол олон өнцөгтийн талыг тооцоолох томъёо нь: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1.453*r. .
• Пентагоны мэдэгдэж буй диагональтай бол түүний талыг дараах байдлаар тооцоолно: a \u003d D / 1.618.

Пентагоны талбай, түүний хажуугийн нэгэн адил аль хэдийн олдсон параметрүүдээс хамаарна:

• бичээстэй тойргийн мэдэгдэж буй радиусыг ашиглан талбайг дараах байдлаар олно: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r.
• пентагоныг тойрсон тойрог нь дараахь томъёог ашиглан талбайг олох боломжийг олгоно: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2.3776 * R2.
• таван өнцөгтийн талаас хамаарч: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1.7205* a2.

Пентагоныг барьж байна

Та захирагч, луужин ашиглан ердийн таван өнцөгтийг дотор нь зурсан тойрог эсвэл аль нэг тал дээр үндэслэн барьж болно.

Хэрхэн бичээстэй тойрог дээр тулгуурлан таван өнцөгт зурах вэ? Үүнийг хийхийн тулд луужин болон захирагч дээр нөөцөлж, дараах алхмуудыг хийгээрэй.

1. Эхлээд та төв O цэгтэй тойрог зурах хэрэгтэй, дараа нь үүн дээр цэг, A - таван өнцөгтийн дээд хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Төвөөс дээд тал руу шугам татсан.
2. Дараа нь OA шулуун шугаманд перпендикуляр сегментийг барьж, энэ нь мөн тойргийн төв болох O-оор дамждаг. Түүний тойрогтой огтлолцох цэгийг B цэгээр тэмдэглэв. O.V. сегментийг C цэгээр хуваасан.
3. С цэг нь А-г дайран өнгөрөх шинэ тойргийн төв болно. D цэг нь эхний зургийн хил доторх OB шулуун шугамтай огтлолцох цэг юм.
4. Үүний дараа гурав дахь тойрог нь D-ээр дамжсан бөгөөд түүний төв нь А цэг юм. Энэ нь эхний дүрстэй хоёр цэгээр огтлолцох бөгөөд тэдгээрийг E ба F үсгээр тэмдэглэх ёстой.
5. Дараагийн тойрог нь E цэг дээр төвтэй бөгөөд А цэгийг дайран өнгөрөх ба анхны тойрогтой огтлолцох нь шинэ G цэг дээр байна.
6. Энэ зургийн сүүлчийн тойрог нь F төвтэй А цэгээр татагдсан байна. H цэгийг эхний тойрогтой огтлолцсон хэсэгт байрлуулна.
7. Эхний тойрог дээр хийсэн бүх алхамын дараа сегментүүдээр холбогдсон байх ёстой таван цэг гарч ирэв. Ийнхүү энгийн таван өнцөгт AE GH F-ийг олж авав.

Ердийн таван өнцөгтийг хэрхэн өөр аргаар барих вэ? Захирагч болон луужингийн тусламжтайгаар таван өнцөгтийг арай хурдан барьж болно. Үүний тулд танд хэрэгтэй:

1. Эхлээд та луужин ашиглан тойрог зурах хэрэгтэй бөгөөд түүний төв нь О цэг юм.
2. OA радиусыг зурсан - тойрог дээр зурсан сегмент. Энэ нь В цэгээр хуваагдана.
3. ОА радиустай перпендикуляр OS сегментийг зурж, В ба С цэгүүдийг шулуун шугамаар холбосон.
4. Дараагийн алхам бол BC сегментийн уртыг диаметрийн шугам дээр луужингаар зурах явдал юм. D цэг нь OA сегментэд перпендикуляр харагдаж байна. B ба D цэгүүд хоорондоо холбогдож шинэ сегмент үүсгэнэ.
5. Пентагоны хажуугийн хэмжээг авахын тулд C ба D цэгүүдийг холбох хэрэгтэй.
6. Луужингийн тусламжтайгаар D нь тойрог руу шилжиж, E цэгээр тэмдэглэгдсэн байна. E ба C-г холбосноор та ердийн таван өнцөгтийн эхний талыг авч болно. Энэхүү зааврын дагуу та ижил талуудтай таван өнцөгтийг хэрхэн хурдан бүтээхийг сурч, түүний бусад талыг эхнийх шиг үргэлжлүүлэн барьж болно.

Ижил талуудтай таван өнцөгтийн диагональууд нь тэнцүү бөгөөд таван хошуут од үүсгэдэг бөгөөд үүнийг пентаграм гэж нэрлэдэг. Алтан харьцаа нь диагональ хэмжээг таван өнцөгтийн хажуу талтай харьцуулсан харьцаа юм.

Пентагон нь онгоцыг бүрэн дүүргэхэд тохиромжгүй. Энэ хэлбэрийн аливаа материалыг ашиглах нь цоорхойг үлдээх эсвэл хэлбэрийг давхцуулдаг. Хэдийгээр ийм хэлбэрийн байгалийн талстууд байгальд байдаггүй ч гөлгөр зэсийн бүтээгдэхүүний гадаргуу дээр мөс үүсэх үед гинжээр холбогдсон таван өнцөгт хэлбэртэй молекулууд гарч ирдэг.

Туузан цааснаас ердийн таван өнцөгтийг авах хамгийн хялбар арга бол үүнийг зангидаж, бага зэрэг дарах явдал юм. Энэ арга нь бага насны хүүхдээ геометрийн дүрсийг танихыг заах хүсэлтэй сургуулийн өмнөх насны эцэг эхчүүдэд хэрэгтэй.

Видео

Та таван өнцөгтийг хэрхэн хурдан зурж болохыг хараарай.

Тойрог дотор бичээстэй ердийн зургаан өнцөгтийг барих.

Зургаан өнцөгтийг бүтээх нь түүний тал нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиустай тэнцүү байх явдал дээр суурилдаг. Тиймээс барихын тулд тойргийг зургаан тэнцүү хэсэгт хувааж, олсон цэгүүдийг хооронд нь холбоход хангалттай.

Ердийн зургаан өнцөгтийг T-квадрат болон 30X60 ° квадрат ашиглан барьж болно. Энэхүү барилгын ажлыг гүйцэтгэхийн тулд бид тойргийн хэвтээ диаметрийг 1 ба 4 өнцгийн биссектрис болгон авч, 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 ба 7 - 2 талуудыг барьж, дараа нь 5 - 6, 3 талуудыг зурна. - 2.

Ийм гурвалжны оройг луужин болон 30 ба 60 ° өнцөгтэй дөрвөлжин эсвэл зөвхөн нэг луужин ашиглан барьж болно. Тойрог дотор бичээстэй тэгш талт гурвалжинг бүтээх хоёр аргыг авч үзье.

Эхний арга(Зураг. 61, а) гурвалжны бүх гурван өнцөг 7, 2, 3 тус бүр 60 ° агуулсан, 7 цэгээр дамжуулан зурсан босоо шугам өндөр болон өнцгийн 1-ийн биссектриса аль аль нь байна гэдгийг дээр суурилсан. 0 - 1 - 2 өнцөг нь 30 ° -тай тэнцүү бол 1 - 2 талыг олохын тулд 1-р цэг ба 0 - 1 талаас 30 ° өнцгийг барихад хангалттай. Үүнийг хийхийн тулд зурагт үзүүлсэн шиг T-дөрвөлжин ба квадратыг тохируулж, 1 - 2 шугамыг зурж, энэ нь хүссэн гурвалжны талуудын нэг байх болно. 2 - 3-р талыг барихын тулд T-квадратыг тасархай зураасаар харуулсан байрлалд тохируулж, 2-р цэгээр шулуун шугам татах ба энэ нь гурвалжны гурав дахь оройг тодорхойлно.

Хоёр дахь арга замХэрэв та тойрог дотор бичээстэй ердийн зургаан өнцөгтийг барьж, дараа нь оройг нь нэгээр нь холбовол тэгш талт гурвалжин үүснэ гэсэн баримт дээр үндэслэсэн болно.

Гурвалжин байгуулахын тулд бид 1-р оройн цэгийг голч дээр тэмдэглэж, 1 - 4 диаметртэй шугамыг зурна. Цаашилбал, 4-р цэгээс D / 2-тэй тэнцүү радиустай, 3-р цэгт тойрогтой огтлолцох хүртэл нумыг дүрсэлнэ. ба 2. Үүссэн цэгүүд нь хүссэн гурвалжны өөр хоёр орой болно.

Энэ барилгын ажлыг дөрвөлжин болон луужин ашиглан хийж болно.

Эхний аргадөрвөлжингийн диагональууд нь хүрээлэгдсэн тойргийн төвд огтлолцох ба түүний тэнхлэгүүд рүү 45° өнцгөөр налуу байна гэдэг дээр үндэслэсэн. Үүний үндсэн дээр бид T-дөрвөлжин ба 45 ° өнцгөөр дөрвөлжин суулгана. 62, a, 1 ба 3-р цэгүүдийг тэмдэглэнэ. Цаашлаад эдгээр цэгүүдээр дамжуулан бид 4 - 1 ба 3 -2 квадратын хэвтээ талуудыг T квадратын тусламжтайгаар зурна. Дараа нь дөрвөлжингийн хөлийн дагуу T-дөрвөлжин ашиглан бид 1 - 2 ба 4 - 3 квадратын босоо талыг зурна.

Хоёр дахь арга замдөрвөлжингийн оройнууд нь диаметрийн төгсгөлүүдийн хооронд хүрээлэгдсэн тойргийн нумуудыг хоёр хуваасан баримт дээр суурилдаг. Бид хоёр харилцан перпендикуляр диаметрийн төгсгөлд A, B, C цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрээс y радиустай нумуудыг огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг.

Цаашилбал, нумануудын огтлолцлын цэгүүдээр бид зурган дээр хатуу шугамаар тэмдэглэгдсэн туслах шугамуудыг зурдаг. Тэдний тойрогтой огтлолцох цэгүүд нь 1 ба 3-р оройг тодорхойлно; 4 ба 2. Ийм аргаар олж авсан хүссэн квадратын оройг бие биентэйгээ цуваа холбоно.

Тойрог дотор бичээстэй ердийн таван өнцөгт барих.

Тойрог дотор ердийн таван өнцөгтийг бичихийн тулд бид дараах бүтээн байгуулалтуудыг хийдэг. Бид тойрог дээр 1-р цэгийг тэмдэглэж, таван өнцөгтийн оройн нэг гэж авдаг. AO сегментийг хагасаар хуваа. Үүнийг хийхийн тулд A цэгээс AO радиустай, бид M ба B цэгүүд дэх тойрогтой огтлолцох нумыг дүрсэлдэг. Эдгээр цэгүүдийг шулуун шугамаар холбосноор бид K цэгийг олж аваад дараа нь 1-р цэгт холбоно. A7 сегменттэй тэнцүү радиустай бид нумыг K цэгээс AO диаметрийн шугамтай H цэгийн огтлолцол хүртэл дүрсэлдэг. 1 цэгийг H цэгтэй холбосноор бид таван өнцөгтийн талыг олж авна. Дараа нь 1H сегменттэй тэнцүү луужингийн нээлхийтэй, 1-р оройноос тойрогтой огтлолцох цэг хүртэлх нумыг дүрслэн бид 2 ба 5-р оройг олно. Ижил луужингийн нээлхийтэй 2 ба 5-р оройноос ховил гаргасны дараа бид үлдсэн хэсгийг авна. орой 3 ба 4. Бид олсон цэгүүдийг бие биетэйгээ дараалан холбоно.

Хажуу талыг нь өгсөн ердийн таван өнцөгт барих.

Өгөгдсөн талын дагуу ердийн таван өнцөгтийг барихын тулд (Зураг 64) бид AB хэрчмийг зургаан тэнцүү хэсэгт хуваана. AB радиустай А ба В цэгүүдээс бид нумуудыг дүрсэлсэн бөгөөд тэдгээрийн огтлолцол нь K цэгийг өгөх болно. Энэ цэг ба AB шугамын 3-р хуваагдлаар бид босоо шугамыг зурна. Энэ шулуун шугамын K цэгээс цааш бид 4/6 AB-тай тэнцүү сегментийг тусгаарлав. Бид 1-р цэгийг авдаг - пентагоны орой. Дараа нь AB-тэй тэнцүү радиустай, 1-р цэгээс бид нумыг A ба B цэгүүдээс өмнө нь зурсан нумуудтай огтлолцох цэг хүртэл дүрсэлдэг. Нумануудын огтлолцох цэгүүд нь 2 ба 5-р пентагоны оройг тодорхойлно. Бид олдсоныг холбоно. оройнууд бие биетэйгээ цуваа.

Тойрог дотор сийлсэн ердийн долоон өнцөгтийг бүтээх.

D диаметртэй тойргийг өгье; та ердийн долоон өнцөгтийг дотор нь оруулах хэрэгтэй (Зураг 65). Тойргийн босоо диаметрийг долоон тэнцүү хэсэгт хуваа. D тойргийн диаметртэй тэнцүү радиустай 7-р цэгээс бид нумыг F цэг дээрх хэвтээ диаметрийн үргэлжлэлтэй огтлолцох хүртэл дүрсэлдэг. F цэгийг олон өнцөгтийн туйл гэж нэрлэдэг. VII цэгийг долоон өнцөгтийн оройн нэг болгон авч, бид F туйлаас босоо диаметрийн тэгш хуваагдлаар туяа татдаг бөгөөд тэдгээрийн тойрогтой огтлолцол нь долоон өнцөгтийн VI, V, IV оройг тодорхойлно. IV, V, VI цэгүүдээс оройг / - // - /// авахын тулд бид тойрогтой огтлолцох хүртэл хэвтээ шугамыг зурна. Бид олсон оройг бие биентэйгээ цувралаар холбодог. Долоон өнцөгтийг F туйлаас туяа татаж, босоо диаметртэй сондгой хуваалтаар хийж болно.

Дээрх арга нь хэдэн талтай ердийн олон өнцөгтийг барихад тохиромжтой.

Хүснэгтийн өгөгдлийг ашиглан тойргийг дурын тооны тэнцүү хэсгүүдэд хуваах боломжтой. Ердийн бичээстэй олон өнцөгтүүдийн талуудын хэмжээсийг тодорхойлох боломжийг олгодог коэффициентүүдийг харуулсан 2.

Энгийн бичээстэй олон өнцөгтүүдийн хажуугийн урт.

Энэ хүснэгтийн эхний баганад ердийн бичээстэй олон өнцөгтийн талуудын тоог, хоёр дахь баганад коэффициентийг харуулав. Өгөгдсөн олон өнцөгтийн талын уртыг тухайн тойргийн радиусыг энэ олон өнцөгтийн талуудын тоонд харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлснээр олно.

Ожеговын тайлбар толь бичигт таван өнцөгт нь таван дотоод өнцгийг бүрдүүлдэг огтлолцсон таван шулуун шугам, түүнчлэн ижил төстэй хэлбэрийн аливаа объектоор хязгаарлагддаг гэж хэлдэг. Хэрэв өгөгдсөн олон өнцөгт бүх тал ба өнцгүүд нь ижил байвал түүнийг ердийн (пентагон) гэж нэрлэдэг.

Ердийн таван өнцөгт ямар сонирхолтой вэ?

Энэ хэлбэрээр АНУ-ын Батлан ​​хамгаалах яамны алдартай барилга баригдсан юм. Эзэлхүүнтэй ердийн полиэдрүүдээс зөвхөн додекаэдр нь таван өнцөгт хэлбэртэй нүүртэй байдаг. Мөн байгальд талстууд огт байдаггүй бөгөөд нүүр нь ердийн таван өнцөгттэй төстэй байдаг. Үүнээс гадна, энэ зураг нь талбайг хавтанцар хийхэд ашиглах боломжгүй хамгийн бага тооны булантай олон өнцөгт юм. Зөвхөн таван өнцөгт нь талуудтай ижил тооны диагональтай байдаг. Зөвшөөрч байна, сонирхолтой байна!

Үндсэн шинж чанар ба томъёо

Дурын ердийн олон өнцөгтийн томъёог ашигласнаар та пентагонд байгаа бүх шаардлагатай параметрүүдийг тодорхойлж болно.

• Төвийн өнцөг α = 360 / n = 360/5 = 72 °.
• Дотоод өнцөг β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Үүний дагуу дотоод өнцгийн нийлбэр нь 540 ° байна.
• Диагональ ба хажуугийн харьцаа нь (1+√5)/2, өөрөөр хэлбэл (ойролцоогоор 1.618).
• Энгийн таван өнцөгтийн хажуугийн уртыг аль параметр нь аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран гурван томьёоны аль нэгийг ашиглан тооцоолж болно.

• хэрэв тойргийг тойруулан хүрээлж, түүний радиус R нь мэдэгдэж байгаа бол a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1.1756*R;
• энгийн таван өнцөгт r радиустай тойрог сийлсэн тохиолдолд a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1.453*r;
• Энэ нь радиусын оронд диагональ D-ийн утгыг мэддэг бол талыг дараах байдлаар тодорхойлно: a ≈ D / 1.618.

• Ердийн таван өнцөгтийн талбайг бидний мэдэх параметрээс хамааран дахин тодорхойлно.
• Хэрэв бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойрог байгаа бол хоёр томъёоны аль нэгийг ашиглана:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2.5 * a * r эсвэл S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2.3776 * R 2;

• Зөвхөн хажуугийн уртыг мэдэхийн тулд талбайг тодорхойлж болно:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1.7205 * a 2.

Ердийн таван өнцөгт: барилгын ажил

Энэхүү геометрийн дүрсийг янз бүрийн аргаар хийж болно. Жишээлбэл, өгөгдсөн радиустай тойрог хэлбэрээр бичнэ үү, эсвэл өгөгдсөн хажуу тал дээр үндэслэн байгуулна. Үйлдлийн дарааллыг МЭӨ 300 оны үед Евклидийн элементүүдэд дүрсэлсэн байдаг. Ямар ч байсан бидэнд луужин, захирагч хэрэгтэй. Өгөгдсөн тойрог ашиглан барилгын аргыг авч үзье.

1. Дурын радиусыг сонгоод тойрог зурж, төвийг нь О цэгээр тэмдэглэнэ.

2. Тойргийн шугаман дээр манай таван өнцөгтийн оройн нэг болох цэгийг сонго. Үүнийг А цэг гэж үзье. О ба А цэгүүдийг шулуун шугамаар холбоно.

3. ОА шулуунд перпендикуляр О цэгээр шулуун зур. Энэ шулуун тойргийн шугамтай огтлолцох цэгийг В цэг гэж тэмдэглэ.

4. О ба В цэгийн хоорондох зайн дунд С цэгийг байгуулна.

5. Одоо төв нь С цэгт байх ба А цэгийг дайран өнгөрөх тойрог зурна.Түүний OB шулуунтай огтлолцох газар (энэ нь хамгийн эхний тойрог дотор байх болно) D цэг болно.

6. D цэгийг дайран өнгөрч, төв нь А цэгт байх тойрог байгуул. Түүний анхны тойрогтой огтлолцох газруудыг E ба F цэгээр тэмдэглэнэ.

7. Одоо тойрог барь, түүний төв нь E-д байх болно. Та үүнийг А-г дайран өнгөрөхийн тулд үүнийг хийх хэрэгтэй. Түүний анхны тойргийн бусад огтлолцлыг зааж өгөх ёстой.

8. Эцэст нь F цэг дээр төвлөрсөн А цэгээр тойрог зурна. Анхны тойргийн өөр огтлолцлыг Н цэгээр тэмдэглэнэ.

9. Одоо зөвхөн A, E, G, H, F оройнуудыг холбоход л үлдлээ. Манай ердийн таван өнцөгт бэлэн болно!

5.3. алтан таван өнцөгт; Евклидийн барилга.

"Алтан хэсэг" -ийн гайхалтай жишээ бол ердийн таван өнцөгт - гүдгэр ба од хэлбэртэй (Зураг 5).

Пентаграм барихын тулд ердийн таван өнцөгтийг бүтээх хэрэгтэй.

О-г тойргийн төв, А-г тойргийн цэг, Е-г ОА сегментийн дунд цэг гэж үзье. О цэг дээр сэргээгдсэн OA радиустай перпендикуляр нь D цэг дээрх тойрогтой огтлолцоно. Луужин ашиглан диаметр дээр CE = ED сегментийг тэмдэглэ. Тойрог дотор бичээстэй энгийн таван өнцөгтийн хажуугийн урт нь DC байна. Бид тойрог дээр DC сегментүүдийг байрлуулж, ердийн таван өнцөгт зурахдаа таван оноо авдаг. Бид таван өнцөгтийн булангуудыг нэг диагональаар холбож, пентаграммыг авдаг. Пентагоны бүх диагональууд нь бие биенээ алтан харьцаагаар холбосон сегментүүдэд хуваадаг.

Таван өнцөгт одны төгсгөл бүр нь алтан гурвалжин юм. Хажуу талууд нь дээд талдаа 36 ° өнцгийг үүсгэдэг бөгөөд хажуу талд нь тавьсан суурь нь алтан зүсэлттэй пропорциональ хуваагдана.

Мөн алтан шоо хэлбэртэй байдаг - энэ нь 1.618, 1, 0.618 урттай ирмэг бүхий тэгш өнцөгт параллелепипед юм.

Одоо Элемент дэх Евклидийн санал болгосон нотолгоог авч үзье.

хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөс. -ээс эхэлье

сегмент ABE, дунд болон хуваагдсан

Тэгэхээр AC = AE гэж үзье. EBC ба CEB-ийн тэнцүү өнцгөөр тэмдэглэ. AC=AE тул ACE өнцөг нь мөн a-тэй тэнцүү байна. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градус гэсэн теорем нь БҮХ өнцгийг олох боломжийг олгодог: энэ нь 180-2a, EAC өнцөг нь 3a - 180. Харин дараа нь ABC өнцөг 180-a байна. ABC гурвалжны өнцгийг нэгтгэн дүгнэвэл бид олж авна

180=(3a -180) + (3а-180) + (180 - а)

Эндээс 5a=360, тэгвэл a=72.

Тэгэхээр BEC гурвалжны суурь дээрх өнцөг бүр нь дээд талын өнцгөөс хоёр дахин их буюу 36 градустай тэнцүү байна. Иймд жирийн таван өнцөгтийг байгуулахын тулд Е цэг дээр төвтэй, X цэг дээр EC, EB тал Y цэг дээр огтлолцох дурын тойрог зурахад л хангалттай: XY хэрчм нь ердийн таван өнцөгтийн нэг тал юм. тойрог; Бүхэл бүтэн тойргийг тойроод бусад бүх талыг олж болно.

Одоо бид AC=AE гэдгийг баталж байна. С оройг BE сегментийн N дунд цэгтэй шулуун шугамаар холбосон гэж үзье. CB = CE тул CNE өнцөг нь зөв өнцөг гэдгийг анхаарна уу. Пифагорын теоремын дагуу:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Эндээс бид (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2 байна.

Тэгэхээр нотлох ёстой байсан AC = ja = jAB = AE

5.4.Архимедийн спираль.

Алтан тэгш өнцөгтөөс хязгааргүй хүртэл квадратуудыг дараалан таслах, эсрэг талын цэгүүдийг тойргийн дөрөвний нэгээр холбох бүрт бид нэлээд гоёмсог муруйг олж авдаг. Анхны анхаарлыг түүний нэрийг эртний Грекийн эрдэмтэн Архимед татсан. Тэр үүнийг судалж, энэ спираль тэгшитгэлийг гаргасан.

Одоогийн байдлаар Архимедийн спираль технологид өргөн хэрэглэгддэг.

6. Фибоначчийн тоо.

Италийн математикч Пизагийн Леонардогийн нэр нь Фибоначчи (Фибоначчи нь filius Bonacci-ийн товчлол, өөрөөр хэлбэл Боначчийн хүү) хочоороо илүү алдартай бөгөөд алтан харьцаатай шууд бус холбоотой байдаг.

1202 онд тэр "Liber abacci", өөрөөр хэлбэл "Абакусын ном" номыг бичсэн. "Liber abacci" нь тухайн үеийн бараг бүх арифметик, алгебрийн мэдлэгийг агуулсан асар том бүтээл бөгөөд дараагийн хэдэн зуунд Баруун Европын математикийн хөгжилд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн юм. Ялангуяа энэ номноос Европчууд Хинду ("Араб") тоонуудтай танилцсан.

Номонд дурдсан материалыг энэхүү судалгааны ажлын чухал хэсгийг бүрдүүлдэг олон тооны асуудлын талаар тайлбарласан болно.

Ийм нэг асуудлыг авч үзье:

Нэг хосоос нэг жилд хэдэн хос туулай төрөх вэ?

Хэн нэгэн хос туулайг тодорхой газар, бүх талаас нь хананд хүрээлүүлэн байрлуулж, энэ жил хэдэн хос туулай төрөхийг мэдэхийн тулд, хэрэв туулайн шинж чанар нь нэг сард нэг хос туулай болох бол. туулай өөр үржих бөгөөд туулай төрснөөс хойш хоёр дахь сараас эхлэн төллөнө "

Одоо туулайнаас тоо руу шилжиж, дараах тоон дарааллыг авч үзье.

u 1 , u 2 … u n

Үүнд нэр томъёо бүр нь өмнөх хоёрын нийлбэртэй тэнцүү байна, i.e. ямар ч n>2 хувьд

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Энэ дараалал нь асимптотик байдлаар (илүү удаан ойртож) ямар нэгэн тогтмол хамаарал руу чиглэдэг. Гэсэн хэдий ч энэ харьцаа нь иррациональ, өөрөөр хэлбэл бутархай хэсэгт аравтын оронтой тоонуудын хязгааргүй, урьдчилан тааварлашгүй дараалал бүхий тоо юм. Үүнийг яг таг илэрхийлэх боломжгүй.

Хэрэв Фибоначчийн дарааллын аль нэг гишүүнийг өмнөхтэй (жишээ нь, 13:8) хуваавал үр дүн нь 1.61803398875... иррационал утгын эргэн тойронд хэлбэлзэж, заримдаа түүнээс хэтрэх, заримдаа түүнд хүрэхгүй утга гарна.

Дарааллын асимптот шинж чанар, иррационал Φ тооны эргэн тойронд түүний харьцааны бууруулсан хэлбэлзэл нь дарааллын хэд хэдэн эхний гишүүний харьцааг харуулбал илүү ойлгомжтой болно. Энэ жишээ нь хоёр дахь нэр томъёоны эхнийх, гурав дахь нь хоёр дахь, дөрөв дэх нь гурав дахь гэх мэт харилцааг харуулж байна:

1:1 = 1.0000, энэ нь phi-ээс 0.6180-аар бага байна

2:1 = 2.0000, энэ нь 0.3820 phi илүү байна

3:2 = 1.5000, энэ нь phi-ээс 0.1180-аар бага байна

5:3 = 1,6667, энэ нь 0,0486 phi илүү байна

8:5 = 1.6000, энэ нь phi-ээс 0.0180-аар бага байна

Фибоначчийн нийлбэрийн дарааллаар шилжих үед шинэ нэр томъёо бүр дараагийнхыг хүрэх боломжгүй F-д илүү ойртуулж хуваана.

Хүн ухамсартайгаар бурханлаг хувь хэмжээг эрэлхийлдэг: энэ нь түүний тайтгарлын хэрэгцээг хангахад шаардлагатай байдаг.

Фибоначчийн дарааллын аль нэг гишүүнийг дараагийнх руу нь хуваахад бид 1.618 (1: 1.618=0.618)-ийн эсрэг хариуг авна. Гэхдээ энэ нь бас маш ер бусын, бүр гайхалтай үзэгдэл юм. Анхны харьцаа нь хязгааргүй бутархай тул энэ харьцаа нь мөн төгсгөлгүй байх ёстой.

Тоо бүрийг араас нь дараагийн тоонд хуваахад 0.382 гэсэн тоо гарна

Ийм байдлаар харьцааг сонгосноор бид Фибоначчийн коэффициентүүдийн үндсэн багцыг олж авдаг: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Мөн бид 0.5-ыг дурьдаж байна.Тэд бүгд байгальд, ялангуяа техникийн шинжилгээнд онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг.

Эрт дээр үед Алтан хэсэг нэрээр мэдэгдэж байсан тул Фибоначчи зөвхөн хүн төрөлхтөнд түүний дарааллыг сануулсан гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй.

Бидний харж байгаагаар алтан харьцаа нь ердийн таван өнцөгттэй холбоотой үүсдэг тул Фибоначчийн тоо нь гүдгэр ба од хэлбэртэй ердийн таван өнцөгттэй холбоотой бүх зүйлд үүрэг гүйцэтгэдэг.

Ургамал, амьтны ертөнцийн алтан хуваагдлыг судалдаг бүх судлаачид энэ цувралд алтан хуваах хуулийн арифметик илэрхийлэл болгон ирээгүй бол Фибоначчийн цуврал зөвхөн математикийн тохиолдол хэвээр үлдэх байсан. . Эрдэмтэд Фибоначчийн тоо болон алтан харьцааны онолыг идэвхтэй хөгжүүлсээр байв. Ю.Матиясевич Фибоначчийн тоог ашиглан Гильбертийн 10-р бодлогыг (Диофантын тэгшитгэлийн шийдэл дээр) шийддэг. Фибоначчийн тоо, алтан хэсгийг ашиглан кибернетикийн хэд хэдэн асуудлыг (хайлтын онол, тоглоом, програмчлал) шийдвэрлэх гоёмсог аргууд байдаг. АНУ-д 1963 оноос хойш тусгай сэтгүүл гаргаж байсан Математик Фибоначчийн холбоо хүртэл байгуулагдаж байна.

Энэ чиглэлийн ололт амжилтуудын нэг бол Фибоначчийн ерөнхий тоо, ерөнхий алтан харьцааг нээсэн явдал юм. Фибоначчийн цуврал (1, 1, 2, 3, 5, 8) ба түүний нээсэн "хоёртын" цуврал тоонууд 1, 2, 4, 8, 16 ... (өөрөөр хэлбэл n хүртэлх тооны цуврал) , n-ээс бага ямар ч натурал тоог энэ цувралын зарим тоонуудын нийлбэрээр илэрхийлж болно) эхлээд харахад тэдгээр нь огт өөр юм. Гэхдээ тэдгээрийг бүтээх алгоритмууд нь хоорондоо маш төстэй байдаг: эхний тохиолдолд тоо бүр нь өмнөх тооны нийлбэр бөгөөд өөрөө 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., хоёрдугаарт - энэ нь өмнөх хоёр тооны нийлбэр юм 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Энэ боломжтой юу Ерөнхий математикийн томьёог олохын тулд аль болон "хоёртын цуврал ба Фибоначчийн цуврал"?

Үнэн хэрэгтээ ямар ч утгыг авч болох S тоон параметрийг тохируулъя: 0, 1, 2, 3, 4, 5... өмнөхөөсөө S алхамаар тусгаарлагдсан. Хэрэв бид энэ цувралын n-р гишүүнийг S (n) гэж тэмдэглэвэл S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1) ерөнхий томъёог авна.

Мэдээжийн хэрэг, S = 0-тэй бол энэ томъёоноос бид "хоёртын" цувралыг авах болно, S = 1 - Фибоначчийн цуврал, S = 2, 3, 4. шинэ цуврал тоонуудыг S-Фибоначчийн тоо гэж нэрлэдэг.

Ерөнхийдөө алтан S-пропорц нь S-хэсгийн x S+1 – x S – 1 = 0 тэгшитгэлийн эерэг язгуур юм.

S = 0 үед сегментийг хагасаар хуваахыг, S = 1 үед танил болсон сонгодог алтан харьцааг олж авахыг харуулахад хялбар байдаг.

Математикийн үнэмлэхүй нарийвчлалтай хөрш зэргэлдээх Фибоначчийн S тоонуудын харьцаа нь алтан S-пропорцтой хязгаарт давхцаж байна! Өөрөөр хэлбэл, алтан S-хэсэг нь Фибоначчийн S тоонуудын тоон инвариантууд юм.

7. Урлагт алтан хэсэг.

7.1. Уран зургийн алтан хэсэг.

Уран зургийн "алтан хэсэг" -ийн жишээнүүдийг харахад Леонардо да Винчигийн бүтээлд анхаарлаа хандуулахгүй байх аргагүй юм. Түүний хэн болох нь түүхийн нууцуудын нэг юм. Леонардо да Винчи өөрөө "Математикч биш хэн ч миний бүтээлүүдийг уншиж зүрхлэхийг бүү зөвшөөр" гэж хэлсэн байдаг.

Леонардо да Винчи бол агуу зураач байсан гэдэгт эргэлзэхгүй байна, түүний үеийнхэн үүнийг аль хэдийн хүлээн зөвшөөрсөн боловч түүний зан чанар, үйл ажиллагаа нь нууцлаг хэвээр байх болно, учир нь тэрээр хойч үедээ санаагаа уялдуулахгүй, зөвхөн гараар бичсэн олон тойм зургуудыг үлдээсэн. "дэлхий дээрх бүх хүн хоёулаа" гэж хэлдэг.

Монна Лизагийн (Жиоконда) хөрөг олон жилийн турш судлаачдын анхаарлыг татсаар ирсэн бөгөөд тэд зургийн бүтэц нь ердийн од таван өнцөгтийн хэсэг болох алтан гурвалжинд үндэслэсэн болохыг тогтоожээ.

Түүнчлэн, алтан хэсгийн эзлэх хувь Шишкиний зураг дээр харагдаж байна. И.И.Шишкиний энэхүү алдартай зурагт алтан хэсгийн хээнүүд тод харагдаж байна. Хурц гэрэлтдэг нарс мод (урд талд зогсож байгаа) нь зурган дээрх уртыг алтан харьцаагаар хуваадаг. Нарс модны баруун талд наранд гэрэлтсэн толгод байдаг. Зургийн баруун талыг алтан харьцаагаар хэвтээ байдлаар хуваана.

Рафаэлийн "Гэмгүй хүмүүсийн хядлага" зураг нь алтан харьцааны өөр нэг элемент болох алтан эргүүлгийг харуулж байна. Рафаэлийн бэлтгэл тойм зураг дээр зохиолын утгын төвөөс дайчдын хуруунууд хүүхдийн шагайг хаасан цэгээс эхлэн хүүхдийн дүрсийн дагуу, эмэгтэй түүнийг өөртөө тэврээд, дайчин тэнхлэгээр зурсан байна. сэлэм өргөөд, дараа нь ноорог зургийн баруун талд ижил бүлгийн дүрсүүдийн дагуу. Рафаэль алтан спираль барьсан уу эсвэл мэдэрсэн үү гэдэг нь тодорхойгүй байна.

Т.Кук Сандро Боттичеллигийн "Сугар гаригийн төрөлт" зургийг шинжлэхдээ алтан хэсгийг ашигласан.

7.2. Алтан хэсгийн пирамидууд.

Пирамидуудын анагаах ухааны шинж чанарууд, ялангуяа алтан хэсэг нь өргөн тархсан байдаг. Хамгийн нийтлэг үзэл бодлын дагуу ийм пирамид байрладаг өрөө нь илүү том, агаар нь илүү тунгалаг байдаг. Зүүд илүү сайн санаж эхэлдэг. Алтан харьцаа нь архитектур, уран барималд өргөн хэрэглэгддэг байсан нь мэдэгдэж байна. Үүний нэг жишээ бол Грекийн Пантеон, Парфенон, архитектор Баженов, Малевич нарын барилгууд байв.

8. Дүгнэлт.

Алтан харьцаа нь бидний амьдралд маш их хэрэглэгддэг гэдгийг хэлэх ёстой.

Хүний бие алтан харьцаатай пропорциональ бүсний шугамаар хуваагддаг нь батлагдсан.

Наутилусны бүрхүүл нь алтан спираль шиг мушгирсан байна.

Алтан харьцааны ачаар Ангараг ба Бархасбадийн хоорондох астероидын бүс нээгдсэн - пропорциональ хэмжээгээр тэнд өөр гариг ​​байх ёстой.

Алтан хуваалттай холбоотой утсыг хуваах цэгийн өдөөлт нь утсыг чичиргээнд хүргэхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь нөхөн олговор өгөх цэг юм.

Цахилгаан соронзон энергийн эх үүсвэр бүхий онгоцонд алтан зүсэлтийн харьцаатай тэгш өнцөгт эсүүд үүсдэг.

Жоконда нь алтан гурвалжин дээр баригдсан бөгөөд алтан спираль нь Рафаэлийн "Гэмгүй хүмүүсийн хядлага" зурагт байдаг.

Сандро Боттичеллигийн "Сугар гаригийн төрөлт" зурагнаас олдсон хувь хэмжээ

Афин дахь Пантеон, Парфенон, архитектор Баженов, Малевич нарын барилгууд зэрэг алтан харьцаагаар баригдсан олон архитектурын дурсгалууд байдаг.

Таван зууны тэртээ амьдарч байсан Жон Кеплер "Геометр хоёр агуу эрдэнэстэй. Эхнийх нь Пифагорын теорем, хоёр дахь нь сегментийг туйлын болон дундаж харьцаагаар хуваах" гэсэн мэдэгдлийг эзэмшдэг.

Ном зүй

1. Д.Пидоу. Геометр ба урлаг. - М.: Мир, 1979.

2. "Шинжлэх ухаан, технологи" сэтгүүл

3. "Квант" сэтгүүл, 1973, No8.

4. "Сургуулийн математик" сэтгүүл, 1994, No2; Дугаар 3.

5. Ковалев Ф.В. Уран зургийн алтан хэсэг. К .: Выша сургууль, 1989 он.

6. Стахов А. Алтан харьцааны кодууд.

7. Воробьев Н.Н. "Фибоначчийн тоо" - М.: Наука 1964

8. "Математик - Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг" М .: Аванта +, 1998

9. Интернетээс авсан мэдээлэл.

Фибоначчийн матрицууд ба "алтан" матрицууд, компьютерийн шинэ арифметик, шинэ кодчиллын онол, криптографийн шинэ онол. Шинэ шинжлэх ухааны мөн чанар нь Пифагороос эхлээд бүх математикийг алтан хэсгийн үүднээс авч үзэх явдал бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг онолын хувьд шинэ бөгөөд маш сонирхолтой математик үр дүнг авчрах болно. Практикийн хувьд - "алтан" компьютержуулалт. Тэгээд учир нь...

Энэ үр дүнд нөлөөлөхгүй. Алтан харьцааны үндэс нь 4 ба 6-р рекурсив харьцааны инвариант юм. Энэ нь амьд материйн зохион байгуулалтын зарчмуудын нэг болох алтан хэсгийн "тогтвортой байдлыг" харуулж байна. Мөн алтан харьцааны үндэс нь хоёр чамин рекурсив дарааллын шийдэл юм (Зураг 4.) Зураг. 4 рекурсив Фибоначчийн дараалал Тиймээс...

Чих нь j5, чихнээс титэм хүртэлх зай нь j6. Ийнхүү энэ хөшөөнд бид j хуваарьтай геометрийн прогрессийг харж байна: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Зураг 9). Тиймээс алтан харьцаа нь эртний Грекийн урлагийн үндсэн зарчмуудын нэг юм. Зүрх ба тархины хэмнэл. Хүний зүрх жигд цохилдог - тайван үед минутанд 60 орчим цохилт. Зүрх яг л поршений шахдаг...