Тойрогтой шүргэгч. Бүрэн хичээлүүд - Мэдлэгийн хайпермаркет. Шүргэдэг шугам Шүргэдэг өнцөг гэж юу вэ

1. Тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас их байна.Энэ тохиолдолд шугамын бүх цэгүүд тойргийн гадна байрладаг.


2. Тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас бага байна.Энэ тохиолдолд шулуун шугам нь тойрог дотор байрлах цэгүүдтэй бөгөөд шулуун шугам нь хоёр чиглэлд хязгааргүй тул тойрогтой 2 цэгээр огтлолцдог.


3. Тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү байна.Шулуун шугам нь шүргэгч юм.

Тойрогтой нэг л нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг нэрлэдэг шүргэгчтойрог руу.

Энэ тохиолдолд нийтлэг цэгийг нэрлэдэг холбоо барих цэг.

Тойргийн аль ч цэгээр шүргэгч байх боломжийг дараах теоремоор нотолж байна.

Теорем. Хэрэв шугам нь тойрог дээр хэвтэж буй төгсгөлийн радиустай перпендикуляр байвал энэ шулуун шүргэгч болно.

O (fig) нь зарим тойргийн төв, зарим радиус нь OA байг. А төгсгөлөөр нь бид MN ^ OA зурдаг.

MN шугам нь шүргэгч гэдгийг батлах шаардлагатай, i.e. Энэ шулуун нь тойрогтой зөвхөн нэг нийтлэг А цэгтэй байна.

Үүний эсрэгээр гэж үзье: MN тойрогтой өөр нэг нийтлэг цэгтэй байя, жишээ нь Б.

Дараа нь OB шулуун шугам нь радиус байх тул OA-тай тэнцүү байна.

Гэхдээ энэ нь байж болохгүй, учир нь хэрэв OA перпендикуляр бол OB нь MN руу налуу байх ёстой бөгөөд налуу нь перпендикуляраас их байна.

Эсрэг теорем. Хэрэв шугам нь тойрогтой шүргэгч байвал шүргэлтийн цэг рүү татсан радиус нь түүнд перпендикуляр байна.

Тойргийн шүргэгч нь MN, шүргэлтийн цэг нь А, тойргийн төв нь O байг.

OA^MN гэдгийг нотлох шаардлагатай.

Эсрэгээр нь гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. О-оос MN руу унасан перпендикуляр нь OA биш, харин өөр шугам, жишээлбэл, OB байх болно гэж үзье.

BC = AB гэж аваад OS-г хийцгээе.

Дараа нь OA болон OS нь налуу, перпендикуляр OB-ээс ижил зайд байх болно, тиймээс OS = OA.

Эндээс харахад тойрог нь бидний таамаглалыг харгалзан MN шугамтай хоёр нийтлэг цэгтэй болно: A ба C, өөрөөр хэлбэл. MN нь шүргэгч биш, харин секант байх бөгөөд энэ нь нөхцөлтэй зөрчилддөг.

Үр дагавар. Тойрог дээрх ямар ч өгөгдсөн цэгээр дамжуулан энэ тойрог руу шүргэгч зурж болох бөгөөд зөвхөн нэгийг нь зурж болно, учир нь энэ цэгээр дамжуулан түүнд татсан радиус руу перпендикуляр, зөвхөн нэгийг зурж болно.

Теорем. Хөвчтэй параллель шүргэгч нь хөвчний дагуух нумыг шүргэх цэг дээр хоёр хуваана.

AB шулуун шугам (зураг) нь M цэг дээрх тойрогт хүрч, CD хөвчтэй параллель байг.

Бид ÈCM = ÈMD гэдгийг батлах хэрэгтэй.

Шүргэх цэгээр ME диаметрийг зурж, бид дараахь зүйлийг олж авна: EM ^ AB, тиймээс EM ^ CB.

Тиймээс CM = MD.

Даалгавар.Өгөгдсөн цэгээр дамжуулан өгөгдсөн тойрог руу шүргэгч зур.

Хэрэв өгөгдсөн цэг тойрог дээр байгаа бол түүгээр радиус, радиусын төгсгөлд перпендикуляр шулуун шугам зур. Энэ шугам нь хүссэн тангенс байх болно.

Тойргийн гадна цэг өгсөн тохиолдлыг авч үзье.

А цэгээр дамжуулан О төвтэй тойрог руу шүргэгч зурах шаардлагатай (Зураг.)

Үүнийг хийхийн тулд А цэгээс төв гэж AO радиустай нумыг дүрсэлж, төв гэж О цэгээс өгөгдсөн тойргийн диаметртэй тэнцэх луужингийн нээлхий бүхий энэ нумыг B ба C цэгүүдээр огтолно. .

Дараа нь OB ба OS хөвчийг зурсны дараа бид А цэгийг D ба E цэгүүдтэй холбодог бөгөөд эдгээр хөвчүүд нь өгөгдсөн тойрогтой огтлолцдог.

AD ба AE шугамууд нь О тойрогтой шүргэнэ.

Үнэн хэрэгтээ, AOB ба AOC хоолойнууд нь OB ба OS сууриуд нь О тойргийн диаметртэй тэнцүү тэгш өнцөгт (AO = AB = AC) байгаа нь барилгын ажлаас тодорхой харагдаж байна.

OD ба OE нь радиусууд тул D нь OB-ийн дунд, E нь OS-ийн дунд байдаг бөгөөд энэ нь AD ба AE нь тэгш өнцөгт хоолойн суурь руу татсан медианууд, тиймээс эдгээр суурийн перпендикуляр гэсэн үг юм. Хэрэв DA ба EA шулуунууд нь OD ба OE радиустай перпендикуляр байвал тэдгээр нь шүргэгч болно.

Үр дагавар. Нэг цэгээс тойрог руу татсан хоёр шүргэгч тэнцүү бөгөөд энэ цэгийг төвтэй холбосон шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ.

Тэгэхээр AD=AE ба ÐOAD = ÐOAE (Зураг.), учир нь тэгш өнцөгт tr-ki AOD ба AOE нь нийтлэг гипотенузтай AO ба тэнцүү OD ба OE хөлтэй (радиус хэлбэрээр) тэнцүү байна.

Энд "шүргэх" гэдэг нь өгөгдсөн цэгээс хүрэх цэг хүртэлх бодит "шүргээний сегмент" гэсэн утгатай болохыг анхаарна уу.

Даалгавар.Өгөгдсөн AB шулуун шугамтай параллель О тойрогт шүргэгч зурна (Зураг).

Бид О төвөөс AB руу перпендикуляр OS буулгаж, энэ перпендикуляр тойрогтой огтлолцох D цэгээр дамжуулан EF || AB.

Бидний хайж буй тангенс нь EF байх болно.

Үнэхээр OS ^ AB ба EF ||-ээс хойш AB, дараа нь EF ^ OD, тойрог дээр хэвтэж буй түүний төгсгөлд радиустай перпендикуляр шулуун нь шүргэгч байна.

Даалгавар. O ба O 1 гэсэн хоёр тойрогт нийтлэг шүргэгч зур (Зураг).

Шинжилгээ. Асуудал шийдэгдсэн гэж бодъё.

AB нь нийтлэг шүргэгч, A ба B шүргэлтийн цэгүүд байг.

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв бид эдгээр цэгүүдийн аль нэгийг, жишээлбэл, А-г олвол нөгөөг нь хялбархан олох болно.

OA ба O 1 B радиусуудыг зуръя. Эдгээр радиусууд нь нийтлэг шүргэгчтэй перпендикуляр тул бие биентэйгээ параллель байна.

Тиймээс хэрэв O 1-ээс бид O 1 C || зурна BA, дараа нь дамжуулах хоолой OCO 1 нь С орой дээр тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.

Үүний үр дүнд, хэрэв бид О цэгээс тойргийг OS радиустай төв гэж тайлбарлавал энэ нь C цэг дээрх O 1 C шулуун шугамд хүрнэ.

Энэхүү туслах тойргийн радиус нь мэдэгдэж байна: энэ нь OA - CA = OA - O 1 B, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. энэ нь эдгээр тойргийн радиусуудын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Барилга. O төвөөс бид эдгээр радиусуудын зөрүүтэй тэнцүү радиустай тойргийг дүрсэлдэг.

O 1-ээс бид энэ тойрог руу O 1 C шүргэгчийг зурдаг (өмнөх асуудалд заасан аргаар).

С шүргэгч цэгээр дамжуулан бид OS радиусыг зурж, өгөгдсөн тойрогтой А цэгт хүрэх хүртэл үргэлжлүүлнэ. Эцэст нь А цэгээс CO 1-тэй параллель AB-ийг зурна.

Яг ижил аргаар бид өөр нэг нийтлэг шүргэгч A 1 B 1 (Зураг) байгуулж болно. AB ба A 1 B 1 шууд шугамууд гэж нэрлэгддэг гаднанийтлэг шүргэгч.

Та дахиад хоёрыг зарцуулж болно дотоодшүргэгч нь дараах байдалтай байна.

Шинжилгээ.Асуудлыг шийдсэн гэж үзье (Зураг). AB-г хүссэн тангенс гэж үзье.

OA ба O 1 B радиусуудыг A ба B шүргэгч цэгүүд рүү татъя. Эдгээр радиусууд хоёулаа нийтлэг шүргэгчтэй перпендикуляр тул бие биентэйгээ параллель байна.

Тиймээс хэрэв O 1-ээс бид O 1 C || зурна BA ба OA-г C цэг хүртэл үргэлжлүүлбэл OS нь O 1 C-д перпендикуляр болно.

Үүний үр дүнд О цэгээс OS-ийн радиусаар тодорхойлсон тойрог нь төв нь С цэг дээрх O 1 C шулуун шугамд хүрнэ.

Энэ туслах тойргийн радиус нь мэдэгдэж байна: энэ нь OA+AC = OA+O 1 B, i.e. энэ нь өгөгдсөн тойргийн радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Барилга.О цэгээс төв нь бид эдгээр радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү радиустай тойргийг дүрсэлдэг.

O 1-ээс бид энэ тойрог руу O 1 C шүргэгч зурна.

Бид C контактын цэгийг О-той холбодог.

Эцэст нь OS нь өгөгдсөн тойрогтой огтлолцдог А цэгээр дамжуулан бид AB = O 1 C зурна.

Үүнтэй адилаар бид өөр дотоод шүргэгч A 1 B 1 үүсгэж болно.

Тангенсийн ерөнхий тодорхойлолт

AT шүргэгч ба зарим AM секантыг А цэгээр дамжуулан төвтэй тойрог руу татъя (Зураг).

Энэ секантыг А цэгийн эргэн тойронд эргүүлье, тэгвэл нөгөө уулзвар B цэг нь А цэг рүү улам ойртох болно.

Дараа нь төвөөс секант руу буулгасан перпендикуляр OD нь OA радиус руу улам бүр ойртох бөгөөд AOD өнцөг нь ямар ч жижиг өнцгөөс бага болж болно.

Секант ба шүргэгчээс үүссэн MAT өнцөг нь AOD өнцөгтэй тэнцүү байна (тэдгээрийн талуудын перпендикуляр байдлаас шалтгаалан).

Иймээс В цэг А цэгт хязгааргүй ойртох тусам MAT өнцөг мөн дур зоргоороо жижиг болж болно.

Үүнийг өөр үгээр дараах байдлаар илэрхийлнэ.

Хоёр дахь огтлолцлын цэг нь шүргэлтийн цэг рүү хязгааргүй ойртох үед шүргэгч цэгээр татсан зүсэгчийн чиглэх хязгаарлах байрлалыг шүргэгч гэнэ.

Энэ шинж чанарыг аливаа муруйн тухай ярихдаа шүргэгчийн тодорхойлолт болгон авдаг.

Иймд AB муруйтай шүргэгч (Зураг) нь P огтлолцлын цэг M хязгааргүй ойртох үед MN секантын чиглэх хязгаарлах байрлал MT байна.

Ийм байдлаар тодорхойлсон шүргэгч нь муруйтай нэгээс олон нийтлэг цэгтэй байж болохыг анхаарна уу (зураг дээр харж болно).

Шууд ( М.Н), тойрогтой зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй байх ( А), дуудсан шүргэгч тойрог руу.

Энэ тохиолдолд нийтлэг цэгийг нэрлэдэг холбоо барих цэг.

Орших боломж шүргэгч, мөн, үүнээс гадна, ямар ч цэгээр дамжуулан зурсан тойрог, шүргэлтийн цэг болох нь дараах байдлаар нотлогддог теорем.

Үүнийг хэрэгжүүлэхийг шаардах болтугай тойрогтөвтэй О шүргэгчцэгээр дамжуулан А. Үүнийг цэгээс нь хийхийн тулд А,төвөөс бид тайлбарлаж байна нуманрадиус А.О., мөн цэгээс О, төвийн хувьд бид энэ нумыг цэгүүдээр огтолно БТэгээд ХАМТөгөгдсөн тойргийн диаметртэй тэнцүү луужингийн шийдэл.

Дараа нь зарцуулсны дараа хөвч О.Б.Тэгээд OS, цэгийг холбоно уу Ацэгүүдтэй ДТэгээд Э, эдгээр хөвчүүд нь өгөгдсөн тойрогтой огтлолцдог. Шууд МЭТэгээд А.Э. - тойрог руу шүргэнэ О. Үнэхээр бүтээн байгуулалтаас харахад энэ нь ойлгомжтой гурвалжин AOBТэгээд AOC тэгш өнцөгт(AO = AB = AC) суурьтай О.Б.Тэгээд OS, тойргийн диаметртэй тэнцүү байна О.

Учир нь О.Д.Тэгээд О.Э.- тэгвэл радиус Д - дунд О.Б., А Э- дунд OS, гэсэн үг МЭТэгээд А.Э. - медианууд, тэгш өнцөгт гурвалжны суурь руу зурсан тул эдгээр сууриудтай перпендикуляр байна. Хэрэв шулуун бол Д.А.Тэгээд Э.А.радиустай перпендикуляр О.Д.Тэгээд О.Э., дараа нь тэд - шүргэгч.

Үр дагавар.

Нэг цэгээс тойрог руу татсан хоёр шүргэгч тэнцүү бөгөөд энэ цэгийг төвтэй холбосон шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ..

Тэгэхээр AD=AEболон ∠ OAD = ∠OAEучир нь зөв гурвалжин AODТэгээд AOE, нийтлэг байх гипотенуз А.О.ба тэнцүү хөл О.Д.Тэгээд О.Э.(радиусын хувьд) тэнцүү байна. Энд "шүргэх" гэдэг үг нь үнэндээ "" гэсэн утгатай болохыг анхаарна уу. шүргэгч сегмент” өгөгдсөн цэгээс холбоо барих цэг хүртэл.

Тойрогтой зөвхөн нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугамыг тойрогтой шүргэгч, тэдгээрийн нийтлэг цэгийг шулуун ба тойргийн шүргэгч цэг гэнэ.

Теорем (тойрог шүргэгчийн шинж чанар)

Тойрогтой шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна.

Өгсөн

A - холбоо барих цэг

Нотлох:p OA

Баталгаа.

Үүнийг зөрчилдөөнөөр баталъя.

p нь OA, тэгвэл OA нь p шулуун руу налуу байна гэж үзье.

Хэрэв бид O цэгээс p шулуун шугам руу OH перпендикуляр зурвал түүний урт нь радиусаас бага байх болно: OH.< ОА=r

Тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь p (OH) нь радиусаас (r) бага болохыг олж мэдсэн бөгөөд энэ нь p шулуун шугам нь огтлолцсон (өөрөөр хэлбэл тойрогтой хоёр нийтлэг цэгтэй) гэсэн үг юм. Энэ нь теоремын нөхцөлтэй зөрчилддөг (p нь шүргэгч).

Энэ нь таамаглал буруу гэсэн үг, тиймээс p шулуун шугам нь OA-д перпендикуляр байна.

Теорем (Нэг цэгээс татсан шүргэгч хэрчмүүдийн өмч)

Нэг цэгээс татсан тойрог руу шүргэгч хэсгүүд нь тэнцүү бөгөөд энэ цэг ба тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ.

Өгсөн: ойролцоогоор. (Эсвэл)

AB ба АС нь хүрээлэн буй орчны шүргэгч юм. (Эсвэл)

Нотлох: AB=AC

Баталгаа

1) OB AB, OS AC, шүргэгч цэг рүү зурсан радиусууд (шүргэх шинж чанар)

2) tr-г авч үзье. AOB гэх мэт. AOS - p/u

ХК - ерөнхий

OB=OS (радиус хэлбэрээр)

Энэ нь ABO = AOC (гипотенуз ба хөлөөр) гэсэн үг юм. Тиймээс,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Теорем (Тагенциал тест)

Хэрэв тойрог дээр байрлах радиусын төгсгөлийг дайран өнгөрч, энэ радиустай перпендикуляр байвал энэ нь шүргэгч болно.

Өгсөн: OA – тойргийн радиус

Нотлох: p- тойрогтой шүргэгч

Баталгаа

OA – тойргийн радиус (нөхцөлийн дагуу) (OA=r)

OA – О-оос p шулуун шугам руу перпендикуляр (OA =d)

Энэ нь r=OA=d гэсэн үг бөгөөд энэ нь шулуун шугам p ба тойрог нь нэг нийтлэг цэгтэй гэсэн үг юм.

Тиймээс p шугам нь тойрогтой шүргэнэ. гэх мэт.

3.Хөрд ба секантын шинж чанар.

Тангенс ба секантын шинж чанарууд

ТОДОРХОЙЛОЛТ

Тойрогнь нэг цэгээс ижил зайд орших цэгүүдийн байрлал бөгөөд үүнийг тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугамын сегментийг нэрлэдэг хөвч(зураг дээр энэ нь сегмент юм). Тойргийн төвөөр дамжин өнгөрөх хөвчийг нэрлэдэг диаметртойрог.

1. Шүргэх нь хүрэх цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна.

2. Нэг цэгээс татсан шүргэгч хэрчмүүд тэнцүү байна.

3. Хэрэв тойргийн гадна байрлах цэгээс шүргэгч ба секантыг зурсан бол шүргэгчийн уртын квадрат нь зүсэлт ба түүний гадна хэсгийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Ихэнх тохиолдолд геометрийн асуудлууд нь өргөдөл гаргагч, төгсөгч, математикийн олимпиадад оролцогчдод бэрхшээл учруулдаг. Хэрэв та 2010 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын статистикийг харвал нийт оролцогчдын 12 орчим хувь нь геометрийн бодлого С4-ийг эхлүүлж, оролцогчдын дөнгөж 0.2 хувь нь бүрэн оноо авч, ерөнхийдөө асуудал нь дараах байдалтай болсон болохыг харж болно. санал болгож буй бүх хүмүүсийн хамгийн хэцүү нь.

Бид сургуулийн сурагчдад асуудлыг шийдэх сайхан эсвэл гэнэтийн аргуудыг хэдий чинээ хурдан санал болгох тусам тэдний сонирхлыг татах, нухацтай, удаан хугацаанд татах магадлал өндөр байх нь ойлгомжтой. Гэхдээ геометрийн хичээлийг системтэй судалж эхэлж байгаа 7-р ангийн түвшинд сонирхолтой, төвөгтэй бодлогуудыг олоход хичнээн хэцүү вэ. Зөвхөн гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг, зэргэлдээ болон босоо өнцгийн шинж чанарыг мэддэг математикийн сонирхолтой оюутанд юу санал болгож болох вэ? Гэсэн хэдий ч тойрогтой нэг нийтлэг цэгтэй шулуун шугам болох тойрогтой шүргэгч гэсэн ойлголтыг танилцуулж болно; хүрэлцэх цэг рүү татсан радиус шүргэгчтэй перпендикуляр байна гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, тэгээс дөрөв хүртэл зурж болох хоёр тойрог, тэдгээрийн нийтлэг шүргэгчийг байрлуулах бүх тохиолдлуудыг авч үзэх нь зүйтэй. Доор санал болгож буй теоремуудыг нотолсоноор та долдугаар ангийн сурагчдын бодлогуудыг нэлээд өргөжүүлж чадна. Үүний зэрэгцээ замдаа чухал эсвэл зүгээр л сонирхолтой, зугаатай баримтуудыг нотлох хэрэгтэй. Түүгээр ч зогсохгүй сургуулийн сурах бичигт олон мэдэгдлийг оруулаагүй тул тойргийн ангиудад болон төгсөгчидтэй төлөвлөгөөний хэмжилтийг давтах үед ярилцаж болно. Эдгээр баримтууд өнгөрсөн хичээлийн жилд хамааралтай болсон. Оношлогооны олон ажил, Улсын нэгдсэн шалгалтын ажил нь өөрөө асуудалтай байсан тул үүнийг шийдвэрлэхийн тулд дор дурдсан шүргэгч сегментийн өмчийг ашиглах шаардлагатай байв.

Т 1 Тойрог руу чиглэсэн шүргэгч хэсгүүд
нэг цэгтэй тэнцүү (Зураг 1)

Энэ бол долдугаар ангийнханд эхлээд танилцуулах теорем юм.
Баталгаажуулах явцад бид тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын тэмдгийг ашигласан бөгөөд тойргийн төв нь өнцгийн биссектриса дээр байрладаг гэж дүгнэсэн. BSA.
Замдаа бид өнцгийн биссектриса нь өнцгийн дотоод муж дахь цэгүүдийн байрлал, хажуу талаас нь ижил зайд оршдог гэдгийг бид санаж байсан. Өчүүхэн төдий зүйлээс хол байгаа асуудлын шийдэл нь эдгээр баримтууд дээр үндэслэсэн бөгөөд геометрийг дөнгөж судалж эхэлж буй хүмүүст ч хүртээмжтэй байдаг.

1. Өнцгийн биссектриса А, INТэгээд ХАМТгүдгэр дөрвөлжин A B C Dнэг цэг дээр огтлолцоно. Цацраг ABТэгээд DCцэг дээр огтлолцоно Э, мөн туяа
НарТэгээд МЭцэг дээр Ф. Гүдгэр бус дөрвөлжин гэдгийг батал AECFэсрэг талын уртуудын нийлбэр тэнцүү байна.

Шийдэл (Зураг 2).Болъё ТУХАЙ– эдгээр биссектрисийн огтлолцлын цэг. Дараа нь ТУХАЙдөрвөн өнцөгтийн бүх талаас ижил зайд A B C D, тэр бол
нь дөрвөлжин дотор бичээстэй тойргийн төв юм. Теоремоор 1 Дараах тэгш байдал үнэн байна. AR = А.К., ЭР = Э.П., Ф.Т. = FK. Зүүн ба баруун талуудыг гишүүнээр нь нэмээд зөв тэгш байдлыг олж авцгаая:

(AR + ЭР) + Ф.Т. = (А.К. +FK) + Э.П.; А.Э. + (F.C. + C.T.) = А.Ф. + (ЕХ + PC). Учир нь ST = RS, Тэр А.Э + F.C. = А.Ф. + ЕХ, энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Ер бусын томъёололтой асуудлыг авч үзье, үүнийг шийдвэрлэхийн тулд теоремыг мэдэхэд хангалттай. 1 .

2. Байна уу n- талууд нь дараалсан 1, 2, 3, ... гурвалжин, n, аль тойрогт дүрс бичиж болох вэ?

Шийдэл. Үүнийг хэлье n-гон байдаг. А 1 А 2 =1, …, А n-1 А n= n– 1,А n А 1 = n. Б 1 , …, Б n - харгалзах холбоо барих цэгүүд. Дараа нь теорем 1-ээр А 1 Б 1 = А 1 Б n< 1, n – 1 < А n Б n< n.Шүргэдэг сегментийн шинж чанараар А n Б n= А n Б n-1. Гэхдээ, А n Б n-1< А n-1 А n= n - 1. Зөрчилдөөн. Тиймээс үгүй n-Асуудлын нөхцөлийг хангаж байна.

Т 2Дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талуудын нийлбэрүүд
тойрог тэнцүү байна (Зураг 3)

Сургуулийн сурагчид дүрмээр бол тайлбарласан дөрвөлжингийн энэ өмчийг амархан нотлодог. Теоремыг баталсны дараа 1 , энэ нь сургалтын дасгал юм. Бид энэ баримтыг ерөнхийд нь дүгнэж болно - нэг талыг нь дайруулан тойрсон тэгш гурвалжны талуудын нийлбэр тэнцүү байна. Жишээлбэл, зургаан өнцөгтийн хувьд ABCDEFбаруун: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Шийдэл (Зураг 1). ABEF ба ECDF дөрвөн өнцөгт нь мөчлөгтэй тул 2-р теоремын дагуу P ABEF = 2(AB + EF) ба P ECDF = 2(CD + EF) нөхцөлөөр

P ABEF – P ECDF = 2(AB + EF) – 2(CD + EF) = 2х. AB – CD = х. AB = a + p.

Шийдэл (Зураг 5).Теорем 1-ээр MV = MX ба RS = RH.Тиймээс гурвалжны периметр AMRсегментүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байна ABТэгээд АС.Эсвэл гурвалжингийн тойрог руу татсан давхар шүргэгч AMR . MOP өнцгийн утгыг өнцгийн хагасаар хэмждэг VOS, энэ нь цэгийн сонголтоос хамаардаггүй X.

Шийдэл (Зураг 6). Нэгдүгээр арга (алгебр). Болъё AK = AN = x,Дараа нь BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC,Дараа нь бид тэгшитгэл үүсгэж болно x: b = x + (a – c + x).Хаана .

Хоёр дахь арга (геометр). Диаграмыг харцгаая. Нэг нэгээр нь авсан тэнцүү шүргэгч хэсгүүд нь хагас периметр хүртэл нийлдэг
гурвалжин. Улаан, ногоон нь хажуу талыг бүрдүүлдэг А.Дараа нь бидний сонирхож буй сегмент x = p – a.Мэдээжийн хэрэг, олж авсан үр дүн нь давхцаж байна.

. З

4. Хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг ол а, бба гипотенуз -тай. Шийдэл (Зураг 8). Тза яаж OMCN -квадрат, дараа нь бичээстэй тойргийн радиус нь CN шүргэгч сегменттэй тэнцүү байна. .

5. Гурвалжны хажуугийн хажуугийн бичээс ба тойргийн шүргэлтийн цэгүүд нь энэ талын дунд тэгш хэмтэй байгааг батал.

Шийдэл (Зураг 9). AK нь гурвалжингийн тойргийн шүргэгч сегмент гэдгийг анхаарна уу ABC.Томъёоны дагуу (2) . VM- шугамын сегмент гурвалжингийн тойрогт шүргэгч ABC.Томъёоны дагуу (1) . AK = VM,мөн энэ нь оноо гэсэн үг юм К ба Мхажуугийн дундаас ижил зайд AB, Q.E.D.

6. Хоёр ерөнхий гаднах шүргэгч ба нэг дотоод шүргэгчийг хоёр тойрогт зурсан. Дотоод шүргэгч нь гаднах шүргэгчийг цэгээр огтолж байна А, Бмөн цэгүүдийн тойрогт хүрнэ А 1Тэгээд ДАХЬ 1.Үүнийг нотол AA 1 = BB 1.

Шийдэл (Зураг 10). Зогс... Шийдвэрлэх зүйл юу байна? Энэ бол өмнөх асуудлын өөр томъёолол юм. Мэдээжийн хэрэг, тойргийн нэг нь бичээстэй, нөгөө нь тодорхой гурвалжинд зориулагдсан тойрог юм ABC.Мөн сегментүүд AA 1 ба BB 1сегментүүдэд тохирно АКТэгээд VMдаалгавар 5. Сургуулийн сурагчдад зориулсан Бүх Оросын математикийн олимпиадад дэвшүүлсэн асуудлыг ийм ойлгомжтой байдлаар шийдсэн нь анхаарал татаж байна.

7. Таван өнцөгтийн хажуу талууд нь 5, 6, 10, 7, 8. Энэ таван өнцөгт дотор тойрог бичиж болохгүйг батал.

Шийдэл (Зураг 11). Үүнийг таван өнцөгт гэж бодъё ABCDEта тойрог бичиж болно. Түүнээс гадна талууд AB, МЭӨ, CD, Д.ЭТэгээд EAнь 5, 6, 10, 7, 8-тай тэнцүү байна. Шүргэдэг цэгүүдийг дарааллаар нь тэмдэглэе - Ф, Г, Х, МТэгээд Н. Сегментийн уртыг үзье А.Ф.тэнцүү X.

Дараа нь Б.Ф. = FD – А.Ф. = 5 – x = Б.Г.. Г.Ч. = МЭӨ – Б.Г. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Гэх мэт: HD = ДМ = 9 – x; М.Э. = EN = x – 2, АН = 10 – X.

Гэхдээ, А.Ф. = АН. Энэ нь 10 - X = X; X= 5. Гэсэн хэдий ч шүргэгч сегмент А.Ф.тэнцүү тал байж болохгүй AB. Үүний үр дүнд үүссэн зөрчилдөөн нь өгөгдсөн таван өнцөгт тойрог бичиж болохгүй гэдгийг баталж байна.

8. Дугуйг зургаан өнцөгт хэлбэрээр бичсэн бөгөөд түүний талуудыг тойрсон дарааллаар нь 1, 2, 3, 4, 5. Зургаа дахь талын уртыг ол.

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, бид шүргэгч сегментийг гэж тодорхойлж болно X, өмнөх бодлогын адил тэгшитгэл үүсгээд хариултыг авна. Гэхдээ теоремын тэмдэглэлийг ашиглах нь илүү үр дүнтэй бөгөөд үр дүнтэй байдаг 2 : хүрээлэгдсэн зургаан өнцөгтийн талуудын нийлбэрүүд хоорондоо тэнцүү байна.

Дараа нь 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Хаана X- үл мэдэгдэх зургаа дахь тал, X = 3.

Шийдэл (Зураг 12). Бүх талын урт нь бүхэл тоо тул хэрчмүүдийн уртын бутархай хэсгүүд тэнцүү байна. BT, B.P., ДМ, Д.Н, А.К.Тэгээд AT. Бидэнд байгаа AT + ТВ= 1 ба сегментийн уртын бутархай хэсгүүд ATТэгээд сүрьеэтэнцүү байна. Энэ нь зөвхөн үед л боломжтой AT + ТВ= 0.5. Теоремоор 1 В.Т + VR.
гэсэн үг, VR= 0.5. нөхцөл байгааг анхаарна уу CD= 3 нь нэхэмжлээгүй байна. Асуудлыг зохиогчид өөр шийдэлд хүрсэн нь ойлгомжтой. Хариулт: 0.5.

10. Дөрвөлжин хэлбэртэй ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5.Гурвалжинд бичээстэй тойрог АНУТэгээд CBDсегментэд хүрнэ үү Б.Дцэгүүдэд МТэгээд Нтус тус. Хэсгийн уртыг ол М.Н.

Шийдэл (Зураг 13). MN = DN – DM.Гурвалжны хувьд (1) томъёоны дагуу DBAТэгээд DBCүүний дагуу бидэнд байна:

11. Дөрвөлжин хэлбэртэй A B C Dта тойрог бичиж болно. Гурвалжинд бичээстэй тойрог АНУТэгээд CBDрадиустай РТэгээд rтус тус. Эдгээр тойргийн төвүүдийн хоорондох зайг ол.

Шийдэл (Зураг 13). Нөхцөлөөр бол дөрвөлжин A B C Dтеоремоор бичээстэй 2 бидэнд байгаа: AB + DC = AD + BC.Өмнөх асуудлыг шийдэх санааг ашиглацгаая. . Энэ нь тойрогтой харьцах цэгүүд сегменттэй байна гэсэн үг юм ДМтаарах. Тойргийн төвүүдийн хоорондох зай нь радиусуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Хариулт: R+r.

Ер нь бол дөрвөлжин хэлбэртэй гэдэг нь батлагдсан A B C Dта нөхцөлтэй тэнцэх тойрог бичиж болно - гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй A B C Dгурвалжин дотор бичээстэй тойрог ABCТэгээд ADCбие биедээ хүрэх. Харин эсрэгээрээ.

Эдгээр хоёр бие биенээсээ урвуу мэдэгдлийг дараах бодлогод нотлохыг санал болгож байгаа бөгөөд үүнийг ерөнхийд нь дүгнэсэн гэж үзэж болно.

12. Гүдгэр дөрвөн өнцөгт A B C D (будаа. 14) гурвалжин дотор бичээстэй тойрог ABCТэгээд ADCбие биедээ хүрэх. Тойрог гурвалжин дотор бичээстэй болохыг батал АНУТэгээд BDCбас бие биедээ хүрнэ.

13. Гурвалжинд ABCталуудтай а, бТэгээд вталд Нарцэгийг тэмдэглэсэн ДИнгэснээр тойрог нь гурвалжин дотор бичигдсэн байна АНУТэгээд ACDсегментэд хүрнэ үү МЭнэг цэг дээр. Хэсгийн уртыг ол Б.Д.

Шийдэл (Зураг 15). Гурвалжинд (1) томъёог хэрэглэцгээе ADCТэгээд А.Д.Б., тооцоолох ДМхоёр

болж байна, Д– хажуу талтай холбогдох цэг Наргурвалжин дотор бичээстэй тойрог ABC. Үүний эсрэгээр: хэрэв гурвалжны орой нь эсрэг талын бичээстэй тойргийн шүргэгч цэгтэй холбогдсон бол үүссэн гурвалжинд бичээстэй тойрог бие биендээ хүрнэ.

14. Төвүүд ТУХАЙ 1 , ТУХАЙ 2 ба ТУХАЙГурвалжны орой дээр ижил радиустай огтлолцдоггүй гурван тойрог байрладаг. Онооноос ТУХАЙ 1 , ТУХАЙ 2 , ТУХАЙ 3, эдгээр тойргийн шүргэгчийг зурагт үзүүлсэн шиг зурсан.

Эдгээр шүргэгч нь хоорондоо огтлолцож, гүдгэр зургаан өнцөгт үүссэн нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд талууд нь улаан, цэнхэр өнгөөр ​​будагдсан байдаг. Улаан хэрчмүүдийн уртын нийлбэр нь цэнхэр хэсгүүдийн уртын нийлбэртэй тэнцүү болохыг батал.

Шийдэл (Зураг 16). Өгөгдсөн тойрог нь ижил радиустай гэдгийг хэрхэн ашиглахыг ойлгох нь чухал юм. Сегментүүд гэдгийг анхаарна уу BRТэгээд ДМтэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлаас үүсэлтэй тэнцүү байна ТУХАЙ 1 BRТэгээд О 2 Б.М.. Үүний нэгэн адил Д.Л. = Д.П., ФН = FK. Бид тэгшитгэлийн гишүүнийг гишүүнээр нэмж, үр дүнгийн нийлбэрээс оройн цэгүүдээс татсан шүргэгчийн ижил хэсгүүдийг хасна. А, ХАМТ, Мөн Эзургаан өнцөгт ABCDEF: ARТэгээд А.К., C.L.Тэгээд С.М., ENТэгээд Э.П.. Бид хэрэгтэй зүйлээ авдаг.

Ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан "А.Н. Колмогоровын дурсгалд зориулсан цом" олон улсын математикийн XII тэмцээнд санал болгосон стереометрийн асуудлын жишээг энд оруулав.

16. Таван өнцөгт пирамид өгөгдсөн SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 .Бөмбөрцөг байна w,Энэ нь пирамидын бүх ирмэг болон өөр бөмбөрцөгт хүрдэг w 1,Энэ нь суурийн бүх талыг шүргэдэг A 1 A 2 A 3 A 4 A 5мөн хажуугийн хавирганы үргэлжлэл SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5суурийн оройноос цааш. Пирамидын орой нь суурийн оройноос ижил зайд байгааг батал. (Берлов С.Л., Карпов Д.В.)

17. Улсын нэгдсэн шалгалт. Оношлогооны ажил 12/8/2009, P–4.Трапец өгөгдсөн A B C D, түүний үндэс суурь BC = 44,МЭ = 100, AB = CD= 35. Шугамтай шүргэгч тойрог МЭТэгээд А.С., хажуу тийшээ хүрнэ CDцэг дээр К. Хэсгийн уртыг ол CK.BDC болон BDA, хажуу талыг нь хүр ВДцэгүүдэд ЭТэгээд Ф. Хэсгийн уртыг ол Э.Ф..

Шийдэл. Хоёр тохиолдол боломжтой (Зураг 20 ба 21-р зураг). (1) томъёог ашиглан бид сегментүүдийн уртыг олно Д.ЭТэгээд DF.

Эхний тохиолдолд МЭ = 0,1АС, CD = 0,9А.С.. Хоёр дахь нь - МЭ = 0,125АС, CD = 1,125А.С.. Бид өгөгдлийг орлуулж, хариултыг авна: 4.6 эсвэл 5.5.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал/

1. Тойрог тойруулан хүрээлэгдсэн ижил өнцөгт трапецын периметр нь тэнцүү байна 2 урэх.Трапецын диагоналын том суурь дээрх проекцийг ол. (1/2р)

2. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын бодлогын нээлттэй банк. AT 4. Гурвалжинд бичээстэй тойрог руу ABC (Зураг 22),гурван шүргэгч зурсан. Зүссэн гурвалжнуудын периметрүүд 6, 8, 10. Энэ гурвалжны периметрийг ол. (24)

3. Гурвалжин руу ABCтойрог бичигдсэн байна. MN -тойрогтой шүргэгч, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15.Гурвалжны периметрийг ол MNC. (12)

4. А талтай дөрвөлжин дотор бичээстэй тойрог руу түүний хоёр талыг огтолж буй шүргэгч зурсан. Зүссэн гурвалжны периметрийг ол. (A)

5. Хажуу талуудтай таван өнцөгт тойрог бичээстэй А, г, в, гТэгээд д. Шүргэх цэг нь талыг тэнцүү хуваах хэрчмүүдийг ол А.

6. Тойрог 6, 10, 12 талтай гурвалжинд бичжээ. Тойрог руу шүргэгч зурсан бөгөөд энэ нь хоёр урт талыг огтолно. Зүссэн гурвалжны периметрийг ол. (16)

7. CD- гурвалжны медиан ABC. Гурвалжинд бичээстэй тойрог ACDТэгээд BCD, сегмент дээр хүрнэ үү CDцэгүүдэд МТэгээд Н. Хай М.Н, Хэрэв АС – Нар = 2. (1)

8. Гурвалжинд ABCталуудтай а, бТэгээд вталд Нарцэгийг тэмдэглэсэн Д. Гурвалжинд бичээстэй тойрог руу АНУТэгээд ACD, нийтлэг шүргэгчийг огтлолцон зурсан МЭцэг дээр М. Хэсгийн уртыг ол AM. (Урт AMцэгийн байрлалаас хамаарахгүй ДТэгээд
½-тэй тэнцүү ( c + b - a))

9. Радиустай тойргийг тэгш өнцөгт гурвалжинд бичжээ А. Гипотенуз ба хөлний суналттай шүргэгч тойргийн радиус нь тэнцүү байна Р.Гипотенузын уртыг ол. ( Р-а)

10. Гурвалжинд ABCталуудын урт нь мэдэгдэж байна: AB = -тай, АС = б, Нар = А. Гурвалжинд бичээстэй тойрог нь хажуу тийшээ хүрнэ ABцэг дээр C 1. Тойрог нь хажуугийн сунгалтанд хүрдэг ABцэг тутамд Ацэг дээр C 2. Сегментийн уртыг тодорхойл C 1 C 2. (б)

11. Гурвалжны талуудын уртыг 3 см радиустай тойргийн шүргэлтийн цэгээр 4 см ба 3 см (тэгш өнцөгт гурвалжинд 7, 24, 25 см) хэсгүүдэд хуваасан уртыг ол.

12. Соросын олимпиад 1996, 2-р шат, 11-р анги. Гурвалжин өгөгдсөн ABC, талууд дээр цэгүүд тэмдэглэгдсэн байна A 1, B 1, C 1. Гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1тэнцүү байна r. Гурвалжинд бичээстэй тойргийн радиус A 1 B 1 C 1тэнцүү байна Р. Гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиусыг ол ABC. (Р +r).

4-8-р бодлогуудыг Р.К.Гордины “Геометр. Планиметри." Москва. MCNMO хэвлэлийн газар. 2004 он.

Тойрогтой шүргэгчийн тухай ойлголт

Тойрог шулуун шугамтай харьцуулахад харьцангуй гурван боломжит байрлалтай:

Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас бага байвал шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцох хоёр цэгтэй байна.

Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиустай тэнцүү бол шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцох хоёр цэгтэй байна.

Хэрэв тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас их байвал шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцох хоёр цэгтэй байна.

Одоо тойрог руу шүргэгч шулуун гэдэг ойлголтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 1

Тойрогтой шүргэгч гэдэг нь нэг огтлолцох цэгтэй шугам юм.

Тойрог ба шүргэгчийн нийтлэг цэгийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг (Зураг 1).

Зураг 1. Тойрогтой шүргэгч

Тойрог шүргэгчийн тухай ойлголттой холбоотой теоремууд

Теорем 1

Тангенсийн шинж чанарын теорем: тойрогтой шүргэгч нь шүргэлтийн цэг рүү татсан радиустай перпендикуляр байна.

Баталгаа.

$O$ төвтэй тойргийг авч үзье. $A$ цэг дээр $a$ тангенс зурцгаая. $OA=r$ (Зураг 2).

$a\bot r$ гэдгийг баталцгаая

Бид теоремыг зөрчилдөөнөөр батлах болно. $a$ тангенс нь тойргийн радиустай перпендикуляр биш гэж бодъё.

Зураг 2. Теорем 1-ийн дүрслэл

Өөрөөр хэлбэл, $OA$ нь шүргэгч рүү чиглэсэн байна. $a$ шулууны перпендикуляр нь ижил шулуун руу чиглэсэн налуугаас үргэлж бага байдаг тул тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусаас бага байна. Бидний мэдэж байгаагаар энэ тохиолдолд шулуун шугам нь тойрогтой огтлолцох хоёр цэгтэй байдаг. Энэ нь шүргэгчийн тодорхойлолттой зөрчилдөж байна.

Тиймээс шүргэгч нь тойргийн радиустай перпендикуляр байна.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 2

Шүргэх шинж чанарын теоремын эсрэг: Тойргийн радиусын төгсгөлийг дайран өнгөрөх шулуун нь радиустай перпендикуляр байвал энэ шулуун энэ тойрогтой шүргэнэ.

Баталгаа.

Асуудлын нөхцлийн дагуу бид радиус нь тойргийн төвөөс өгөгдсөн шулуун шугам руу татсан перпендикуляр байна. Тиймээс тойргийн төвөөс шулуун шугам хүртэлх зай нь радиусын урттай тэнцүү байна. Бидний мэдэж байгаагаар энэ тохиолдолд тойрог нь энэ шугамтай огтлолцох цорын ганц цэгтэй байдаг. 1-р тодорхойлолтоор бид энэ шугам нь тойрогтой шүргэгч байгааг олж мэдэв.

Теорем нь батлагдсан.

Теорем 3

Нэг цэгээс татсан тойрог руу шүргэгч хэсгүүд нь тэнцүү бөгөөд энэ цэг ба тойргийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тэнцүү өнцөг үүсгэнэ.

Баталгаа.

$O$ цэг дээр төвтэй тойрог өгье. $A$ цэгээс (бүх тойрог дээр байрладаг) хоёр өөр шүргэгчийг зурсан. Холбоо барих цэгээс $B$ ба $C$ тус тус (Зураг 3).

$\angle BAO=\angle CAO$, $AB=AC$ гэдгийг баталцгаая.

Зураг 3. Теорем 3-ын дүрслэл

Теорем 1-ээр бид дараах байдалтай байна.

Тиймээс $ABO$ ба $ACO$ гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм. $OB=OC=r$ ба гипотенуз $OA$ нийтлэг байдаг тул эдгээр гурвалжнууд нь гипотенуз болон хөлөөрөө тэнцүү байна.

Эндээс бид $\ өнцөг BAO = \ өнцөг CAO $ ба $ AB = AC $ болно.

Теорем нь батлагдсан.

Тойрогтой шүргэгчийн тухай асуудлын жишээ

Жишээ 1

Төв нь $O$ цэг, радиус $r=3\ см$ байх тойрог өгөгдсөн. $AC$ шүргэгч нь $C$ шүргэгч цэгтэй. $AO=4\ см$. $AC$ олох.

Шийдэл.

Эхлээд зураг дээрх бүх зүйлийг дүрсэлцгээе (Зураг 4).

Зураг 4.

$AC$ нь шүргэгч, $OC$ нь радиус тул 1-р теоремоор бид $\өнцөг ACO=(90)^(()^\circ )$ болно. Бид $ACO$ гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болохыг олж мэдсэн бөгөөд энэ нь Пифагорын теоремоор бид дараах утгатай байна:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \