Квадрат тэгшитгэл. Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт ба жишээ Квадрат тэгшитгэлийг язгуураар илэрхийлэх

Орчин үеийн нийгэмд квадрат хувьсагч агуулсан тэгшитгэл дээр ажиллах чадвар нь үйл ажиллагааны олон салбарт хэрэг болох бөгөөд шинжлэх ухаан, техникийн хөгжилд практикт өргөн хэрэглэгддэг. Үүнийг далайн болон голын хөлөг онгоц, нисэх онгоц, пуужингийн хийцээр нотолж болно. Ийм тооцооллын тусламжтайгаар янз бүрийн биетүүд, түүний дотор сансрын биетүүдийн хөдөлгөөний траекторийг тодорхойлдог. Квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээг зөвхөн эдийн засгийн таамаглал, барилга байгууламжийг төлөвлөх, барихад төдийгүй өдөр тутмын хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Тэд кемпийн аялал, спортын арга хэмжээ, дэлгүүрт дэлгүүр хэсэх үед болон бусад нийтлэг нөхцөл байдалд хэрэгтэй байж болно.

Илэрхийлэлийг бүрэлдэхүүн хүчин зүйл болгон хуваацгаая

Тэгшитгэлийн зэрэг нь өгөгдсөн илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагчийн зэрэглэлийн хамгийн их утгаар тодорхойлогддог. Хэрэв энэ нь 2-той тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид томьёоны хэлээр ярих юм бол эдгээр илэрхийлэл нь хэрхэн харагдахаас үл хамааран илэрхийллийн зүүн тал нь гурван нэр томъёоноос бүрдэх үед үргэлж хэлбэрт орж болно. Үүнд: ax 2 (өөрөөр хэлбэл коэффициенттэй нь квадрат хувьсагч), bx (коэффиценттэй квадратгүй үл мэдэгдэх) ба c (чөлөөт бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл энгийн тоо). Энэ бүхэн баруун талд 0-тэй тэнцүү байна.Ийм олон гишүүнтэд сүх 2-оос бусад гишүүний аль нэг нь байхгүй бол түүнийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэнэ. Хувьсагчийн утгыг олоход хэцүү биш ийм асуудлыг шийдэх жишээг эхлээд авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв илэрхийлэл нь илэрхийллийн баруун талд хоёр гишүүн, илүү нарийвчлалтай ax 2 ба bx байгаа юм шиг байвал хувьсагчийг хаалтанд оруулснаар х-г олох нь хамгийн хялбар юм. Одоо бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно: x(ax+b). Цаашилбал, x=0, эсвэл асуудал нь дараах илэрхийллээс хувьсагч олоход багассан нь тодорхой болно: ax+b=0. Энэ нь үржүүлэх шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. Дүрэмд зааснаар хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэг байвал 0 болно.

Жишээ

x=0 эсвэл 8x - 3 = 0

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг олж авна: 0 ба 0.375.

Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь таталцлын нөлөөн дор биетүүдийн хөдөлгөөнийг дүрсэлж болох бөгөөд энэ нь тодорхой цэгээс хөдөлж эхэлсэн бөгөөд эх үүсвэр болгон авсан. Энд математикийн тэмдэглэгээ дараах хэлбэртэй байна: y = v 0 t + gt 2 /2. Шаардлагатай утгуудыг орлуулж, баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, байж болох үл мэдэгдэхийг олсноор бие босохоос доош унах хүртэл өнгөрсөн хугацаа болон бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ бид энэ талаар дараа ярих болно.

Илэрхийллийн факторинг

Дээр дурдсан дүрэм нь эдгээр асуудлыг илүү төвөгтэй тохиолдолд шийдвэрлэх боломжтой болгодог. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээг авч үзье.

X2 - 33x + 200 = 0

Энэ дөрвөлжин гурвалж дууссан. Эхлээд бид илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйл болгон задалдаг. Тэдгээрийн хоёр нь байна: (x-8) ба (x-25) = 0. Үүний үр дүнд бид 8 ба 25 гэсэн хоёр үндэстэй болно.

9-р ангийн квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээнүүд нь энэ аргыг зөвхөн хоёр дахь төдийгүй гурав, дөрөв дэх эрэмбийн илэрхийлэлд хувьсагчийг олох боломжийг олгодог.

Жишээ нь: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Баруун талыг хувьсагчтай хүчин зүйлүүдэд хуваахдаа (х + 1), (х-3) ба (х +) гурав байна. 3).

Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болох нь тодорхой болно: -3; - нэг; 3.

Квадрат язгуурыг гаргаж байна

Бүрэн бус хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн өөр нэг тохиолдол бол баруун тал нь ax 2 ба c бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс баригдсан үсгийн хэлээр бичигдсэн илэрхийлэл юм. Энд хувьсагчийн утгыг олж авахын тулд чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, дараа нь тэгш байдлын хоёр талаас квадрат язгуурыг гаргаж авдаг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Цорын ганц үл хамаарах зүйл бол хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх c гэсэн нэр томъёог огт агуулаагүй тэгш байдал, мөн баруун тал нь сөрөг болж хувирсан илэрхийллийн хувилбарууд юм. Сүүлчийн тохиолдолд дээрх үйлдлүүдийг үндэсээр хийх боломжгүй тул ямар ч шийдэл байхгүй. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь -4 ба 4 тоонууд байх болно.

Газрын талбайн тооцоо

Энэ төрлийн тооцоолол хийх хэрэгцээ нь эрт дээр үед гарч ирсэн, учир нь тэр үед математикийн хөгжил нь газрын талбайн хэмжээ, периметрийг хамгийн нарийвчлалтай тодорхойлох хэрэгцээ шаардлагаас ихээхэн шалтгаалсан юм.

Энэ төрлийн бодлогын үндсэн дээр эмхэтгэсэн квадрат тэгшитгэлийн шийдлийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Тэгэхээр урт нь өргөнөөсөө 16 метрээр илүү тэгш өнцөгт газар байна гэж бодъё. Талбай нь 612 м 2 гэдгийг мэддэг бол сайтын урт, өргөн, периметрийг олох хэрэгтэй.

Ажилдаа орохдоо эхлээд бид шаардлагатай тэгшитгэлийг хийх болно. Хэсгийн өргөнийг x гэж тэмдэглэвэл урт нь (x + 16) болно. Бичсэн зүйлээс харахад талбай нь x (x + 16) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь бидний асуудлын нөхцөлийн дагуу 612 байна. Энэ нь x (x + 16) \u003d 612 гэсэн үг юм.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийн шийдэл, энэ илэрхийлэл нь яг ийм байдлаар хийгдэх боломжгүй юм. Яагаад? Хэдийгээр түүний зүүн тал нь хоёр хүчин зүйлийг агуулж байгаа ч тэдгээрийн үржвэр нь 0-тэй огт тэнцүү биш тул энд бусад аргуудыг ашигладаг.

Ялгаварлан гадуурхагч

Юуны өмнө бид шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийнэ, дараа нь энэ илэрхийллийн харагдах байдал дараах байдалтай байна: x 2 + 16x - 612 = 0. Энэ нь бид өмнө нь заасан стандартад тохирсон хэлбэрээр илэрхийлэл хүлээн авсан гэсэн үг юм. a=1, b=16, c= -612.

Энэ нь квадрат тэгшитгэлийг дискриминантаар шийдвэрлэх жишээ байж болно. Энд шаардлагатай тооцооллыг схемийн дагуу хийсэн болно: D = b 2 - 4ac. Энэхүү туслах утга нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлээс хүссэн утгыг олох боломжийг олгодог төдийгүй боломжит хувилбаруудын тоог тодорхойлдог. D>0 тохиолдолд тэдгээрийн хоёр нь байна; D=0 хувьд нэг үндэс байна. тохиолдолд Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Үндэс ба тэдгээрийн томъёоны тухай

Манай тохиолдолд ялгаварлагч нь: 256 - 4(-612) = 2704. Энэ нь бидний асуудал хариулттай болохыг харуулж байна. Хэрэв та мэдэж байгаа бол квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг дараах томъёогоор үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ нь үндсийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Энэ нь танилцуулсан тохиолдолд: x 1 =18, x 2 =-34 гэсэн үг юм. Энэ хүндрэлийн хоёр дахь хувилбар нь шийдэл байж чадахгүй, учир нь газрын талбайн хэмжээг хасах утгаараа хэмжих боломжгүй, энэ нь x (өөрөөр хэлбэл талбайн өргөн) 18 м байна. Эндээс бид уртыг тооцоолно. 18+16=34, периметр 2(34+ 18) = 104 (м 2).

Жишээ ба даалгавар

Бид квадрат тэгшитгэлийн судалгааг үргэлжлүүлж байна. Тэдгээрийн хэд хэдэн жишээ, нарийвчилсан шийдлийг доор өгөх болно.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Бүгдийг тэгш байдлын зүүн талд шилжүүлж, хувиргалт хийцгээе, өөрөөр хэлбэл бид ихэвчлэн стандарт гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн хэлбэрийг авч, тэгтэй тэнцүүлье.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Үүнтэй төстэй зүйлсийг нэмээд бид ялгаварлагчийг тодорхойлно: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Тиймээс бидний тэгшитгэл хоёр үндэстэй болно. Дээрх томъёоны дагуу бид тэдгээрийг тооцоолдог бөгөөд энэ нь эхнийх нь 4/3, хоёр дахь нь 1-тэй тэнцүү байна гэсэн үг юм.

2) Одоо бид өөр төрлийн оньсого илчлэх болно.

Энд ерөөсөө x 2 - 4x + 5 = 1 үндэс байгаа эсэхийг олж мэдье? Нарийвчилсан хариултыг авахын тулд бид олон гишүүнтийг харгалзах танил хэлбэрт оруулж, ялгаварлагчийг тооцоолно. Энэ жишээнд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь асуудлын мөн чанар нь үүнд огт оршдоггүй. Энэ тохиолдолд D \u003d 16 - 20 \u003d -4, энэ нь үнэхээр үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийг дээрх томьёо болон ялгаварлан гадуурхагчаар дамжуулан шийдвэрлэхэд тохиромжтой бөгөөд хожмын утгаас квадрат язгуур гаргаж авна. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгыг авах олон арга бий. Жишээ нь: Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энэ нь 16-р зууны Францад амьдарч байсан, математикийн авъяас чадвар, шүүх дэх харилцааныхаа ачаар гайхалтай карьертай байсан хүний ​​нэрээр нэрлэгдсэн юм. Түүний хөргийг нийтлэлээс харж болно.

Алдарт франц хүний ​​анзаарсан загвар нь дараах байдалтай байв. Тэрээр тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь -p=b/a, тэдгээрийн үржвэр нь q=c/a-тай тохирч байгааг нотолсон.

Одоо тодорхой ажлуудыг авч үзье.

3х2 + 21х - 54 = 0

Энгийн болгохын тулд илэрхийлэлийг өөрчилье:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виета теоремыг ашигласнаар энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгөх болно: язгууруудын нийлбэр нь -7, тэдгээрийн үржвэр нь -18 байна. Эндээс бид тэгшитгэлийн үндэс нь -9 ба 2 гэсэн тоонуудыг олж авна. Шалгасны дараа бид хувьсагчдын эдгээр утгууд нь илэрхийлэлд үнэхээр нийцэж байгаа эсэхийг шалгах болно.

Параболагийн график ба тэгшитгэл

Квадрат функц ба квадрат тэгшитгэлийн тухай ойлголтууд хоорондоо нягт холбоотой. Үүний жишээг өмнө нь өгсөн. Одоо зарим математикийн тааваруудыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Тайлбарласан төрлийн аливаа тэгшитгэлийг нүдээр дүрсэлж болно. График хэлбэрээр зурсан ийм хамаарлыг парабола гэж нэрлэдэг. Түүний төрөл бүрийн төрлийг доорх зурагт үзүүлэв.

Аливаа парабол нь оройтой, өөрөөр хэлбэл мөчрүүд нь гарч ирдэг цэгтэй байдаг. Хэрэв a>0 бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрдэг бөгөөд a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функцийн дүрслэл нь квадрат тэгшитгэлийг оролцуулан аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг график гэж нэрлэдэг. Мөн x хувьсагчийн утга нь графикийн шугам 0x-тэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса координат юм. Оройн координатыг x 0 = -b / 2a гэсэн томъёогоор олж болно. Үүссэн утгыг функцийн анхны тэгшитгэлд орлуулснаар та y 0, өөрөөр хэлбэл у тэнхлэгт хамаарах параболын оройн хоёр дахь координатыг олж мэдэх боломжтой.

Абсцисса тэнхлэгтэй параболын мөчрүүдийн огтлолцол

Квадрат тэгшитгэлийн шийдэлтэй олон жишээ байдаг ч ерөнхий хэв маяг бас байдаг. Тэднийг авч үзье. a>0-ийн хувьд графикийн 0х тэнхлэгтэй огтлолцох нь зөвхөн y 0 сөрөг утгыг авсан тохиолдолд л боломжтой болох нь тодорхой байна. Мөн а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Үгүй бол Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Параболагийн графикаас та үндсийг нь тодорхойлж болно. Урвуу нь бас үнэн юм. Өөрөөр хэлбэл, квадрат функцийн дүрслэлийг авахад амаргүй бол та илэрхийллийн баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Мөн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдсэнээр зурах нь илүү хялбар болно.

Түүхээс

Дөрвөлжин хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийн тусламжтайгаар эрт дээр үед зөвхөн математик тооцоолол хийгээд зогсохгүй геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлдог байв. Эртний хүмүүст физик, одон орон судлалын салбарт томоохон нээлт хийх, мөн зурхайн таамаглал гаргахад ийм тооцоо хэрэгтэй байв.

Орчин үеийн эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны оршин суугчид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн анхны хүмүүсийн нэг байв. Энэ нь манай эрин ирэхээс дөрвөн зууны өмнө болсон. Мэдээжийн хэрэг, тэдний тооцоолол нь одоогийн хүлээн зөвшөөрөгдсөн тооцооноос эрс ялгаатай бөгөөд илүү энгийн байсан. Жишээлбэл, Месопотамийн математикчид сөрөг тоо байдаг талаар ямар ч ойлголтгүй байсан. Тэд манай үеийн аль ч оюутны мэддэг бусад нарийн ширийн зүйлийг мэддэггүй байв.

Магадгүй Вавилоны эрдэмтдээс ч эрт Энэтхэгийн мэргэн Баудхаяама квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг авчээ. Энэ нь Христийн эрин ирэхээс найман зууны өмнө болсон юм. Түүний өгсөн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, шийдвэрлэх аргууд нь хамгийн энгийн байсан нь үнэн. Түүнээс гадна Хятадын математикчид ч эртний үед үүнтэй төстэй асуултуудыг сонирхож байв. Европт квадрат тэгшитгэлийг зөвхөн 13-р зууны эхэн үеэс шийдэж эхэлсэн боловч хожим нь Ньютон, Декарт болон бусад олон эрдэмтэд үүнийг ажилдаа ашигласан.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо. Бодит, олон, төвөгтэй язгуурын тохиолдлыг авч үзнэ. Квадрат гурвалсан тоог үржүүлэх. Геометрийн тайлбар. Үндэс ба хүчин зүйлчлэлийг тодорхойлох жишээ.

Мөн үзнэ үү: Квадрат тэгшитгэлийг онлайнаар шийдвэрлэх

Үндсэн томъёо

Квадрат тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Квадрат тэгшитгэлийн үндэс(1) томъёогоор тодорхойлно:
; .
Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэгтгэж болно.
.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг мэддэг бол хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийг хүчин зүйлийн үржвэрээр (факторт) төлөөлж болно.
.

Цаашилбал, бид үүнийг бодит тоо гэж үздэг.
Санаж үз квадрат тэгшитгэлийн дискриминант:
.
Хэрэв дискриминант эерэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр өөр бодит язгууртай болно.
; .
Дараа нь дөрвөлжин гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Хэрэв дискриминант нь тэг бол квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр олон (тэнцүү) бодит язгууртай байна.
.
Факторчилол:
.
Хэрэв дискриминант нь сөрөг байвал квадрат тэгшитгэл (1) нь хоёр нийлмэл нийлмэл үндэстэй байна.
;
.
Энд төсөөллийн нэгж байна, ;
ба язгуурын бодит ба төсөөллийн хэсгүүд нь:
; .
Дараа нь

.

График тайлбар

Хэрэв бид функцийг графикаар зурвал
,
Энэ нь парабол бол графикийн тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
.
Үед график абсцисса тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр () гатлана.
үед график нь нэг цэгт () х тэнхлэгт хүрнэ.
үед график х тэнхлэгийг огтолдоггүй ().

Квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой ашигтай томьёо

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах

Бид хувиргалтыг хийж (f.1) ба (f.3) томъёог хэрэглэнэ:




,
хаана
; .

Тиймээс бид хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнтийн томъёог дараах хэлбэрээр авсан.
.
Эндээс тэгшитгэл болохыг харж болно

дээр гүйцэтгэсэн
болон .
Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм
.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлох жишээ

Жишээ 1

(1.1) .

.
Бидний (1.1) тэгшитгэлтэй харьцуулбал коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр жинхэнэ үндэстэй байна.
;
;
.

Эндээс бид квадрат гурвалжны задралыг хүчин зүйл болгон олж авна.

.

y = функцийн график 2 x 2 + 7 x + 3х тэнхлэгийг хоёр цэгээр гаталж байна.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь х тэнхлэгийг (тэнхлэг) хоёр цэгээр гаталж байна.
болон .
Эдгээр цэгүүд нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (1.1).

;
;
.

Жишээ 2

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(2.1) .

Бид квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичнэ.
.
Анхны тэгшитгэл (2.1)-тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Дискриминант нь тэг тул тэгшитгэл нь хоёр олон (тэнцүү) үндэстэй байна.
;
.

Дараа нь гурвалсан тоог үржүүлэх нь дараах хэлбэртэй байна.
.

y = x функцийн график 2 - 4 x + 4нэг цэгт х тэнхлэгт хүрнэ.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь x тэнхлэгт (тэнхлэг) нэг цэгт хүрдэг:
.
Энэ цэг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм (2.1). Энэ үндсийг хоёр удаа хүчин зүйлээр ялгасан тул:
,
тэгвэл ийм язгуурыг олон тоо гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, тэд хоёр ижил үндэстэй гэж үздэг.
.

;
.

Жишээ 3

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
(3.1) .

Бид квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр бичнэ.
(1) .
Анхны тэгшитгэлийг (3.1) дахин бичье.
.
(1) -тэй харьцуулбал бид коэффициентүүдийн утгыг олно.
.
Ялгаварлагчийг олох нь:
.
Ялгаварлагч нь сөрөг, . Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Та нарийн төвөгтэй үндэс олж болно:
;
;
.

Дараа нь


.

Функцийн график нь х тэнхлэгийг огтолдоггүй. Жинхэнэ үндэс байхгүй.

Функцийн графикийг зурцгаая
.
Энэ функцийн график нь парабол юм. Энэ нь абсцисса (тэнхлэг) -ийг огтолдоггүй. Тиймээс жинхэнэ үндэс байхгүй.

Жинхэнэ үндэс байхгүй. Нарийн төвөгтэй үндэс:
;
;
.

Энэ сэдэв нь маш энгийн биш олон томъёоны улмаас эхлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт оруулгатай төдийгүй үндсүүд нь ялгаварлан гадуурхагчаар олддог. Нийтдээ гурван шинэ томъёо бий. Санахад тийм ч амар биш. Энэ нь ийм тэгшитгэлийг байнга шийдсний дараа л боломжтой юм. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.

Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт

Энд хамгийн том зэргийг эхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичсэн тохиолдолд тэдгээрийн тод тэмдэглэгээг санал болгож байна. Ихэнхдээ нэр томьёо нь тусдаа байх тохиолдол байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.

Тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.

Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.

Мөн коэффициент a ≠ 0. Энэ томьёог нэг тоогоор тэмдэглэе.

Тэгшитгэлийг өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй байна. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:

• шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
• хариулт нь нэг тоо байх болно;
• Тэгшитгэл нь огт үндэсгүй.

Шийдвэр эцэслэн шийдэгдээгүй ч тодорхой тохиолдолд аль хувилбар нь унахыг ойлгоход хэцүү байдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд

Даалгаврууд өөр өөр оруулгатай байж болно. Тэд үргэлж квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёо дутагдалтай байдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.

Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициентүүд алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.

Тэгэхээр зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн гүйцэдээс гадна бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд бас байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байх ёстой.

Ялгаварлан гадуурхах ба язгуурын тооноос түүний утгаас хамаарал

Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд энэ тоог мэддэг байх ёстой. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Дискриминантыг тооцоолохын тулд доор бичигдсэн тэгш байдлыг ашиглах шаардлагатай бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.

Коэффициентийн утгыг энэ томьёонд орлуулсны дараа та өөр өөр тэмдэг бүхий тоонуудыг авч болно. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Сөрөг тоотой бол квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол хариулт нь нэг болно.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийддэг вэ?

Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчдын томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та ийм томъёог хэрэглэх хэрэгтэй.

Энэ нь "±" тэмдгийг агуулж байгаа тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөр аргаар дахин бичиж болно.

Формула тав. Хэрэв ялгаварлагч нь тэг байвал хоёр үндэс нь ижил утгыг авна гэдгийг ижил бүртгэлээс харж болно.

Хэрэв квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг хараахан боловсруулж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээс өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Тэр ч байтугай нэмэлт томъёолол хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст зориулж аль хэдийн бичигдсэн тэдгээр нь танд хэрэггүй болно.

Нэгдүгээрт, хоёр дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх утгыг авч, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх ёстой бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх хүчин зүйл байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олддог.

Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлэх замаар шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэхийн өмнө коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Энэ нь зөвхөн дөрвөлжин үндсийг задлахад л үлддэг бөгөөд үүнийг эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ бүү мартаарай.

Дараах нь квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад туслах зарим үйлдлүүд юм. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь "Квадрат тэгшитгэл (8-р анги)" өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээний шалтгаан болдог. Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой зуршил бий болно.

• Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь - зэрэггүй, сүүлчийнх нь - зүгээр л тоо.

• Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл квадрат тэгшитгэлийг судлах эхлэгчдэд энэ нь ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Үүнээс салсан нь дээр. Энэ зорилгоор бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.

• Үүнтэй адилаар фракцаас салахыг зөвлөж байна. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.

Жишээ

Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Эхний тэгшитгэл: x 2 - 7x \u003d 0. Энэ нь бүрэн бус тул үүнийг хоёр дахь томьёоны дагуу шийддэг.

Хаалтанд орсны дараа энэ нь гарч ирнэ: x (x - 7) \u003d 0.

Эхний үндэс нь утгыг авна: x 1 \u003d 0. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Хоёр дахь тэгшитгэл: 5х2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.

30-ыг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Гурав дахь тэгшитгэл: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Энд ба доор квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь тэдгээрийг стандарт хэлбэрт дахин бичих замаар эхэлнэ: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах цаг болжээ. ашигтай зөвлөгөө бөгөөд бүгдийг хасах нэгээр үржүүлээрэй. Энэ нь x 2 + 2x - 15 \u003d 0 болж байна. Дөрөв дэх томъёоны дагуу та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Энэ нь эерэг тоо. Дээр хэлсэн зүйлээс харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томъёоны дагуу тооцоолох шаардлагатай. Үүний дагуу x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5 байна.

Дөрөв дэх тэгшитгэлийг x 2 + 8 + 3x \u003d 0 болгон хувиргав: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь дараах оруулга байх болно: "Ямар ч үндэс байхгүй."

Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг юм, тухайлбал: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Зургаа дахь тэгшитгэл (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) нь хаалт нээхээс өмнө ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрах шаардлагатай гэсэн өөрчлөлтийг шаарддаг. Эхнийх нь оронд ийм илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x \u003d 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй адил зүйлийг аль хэдийн арай өндөр гэж үзсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.

”, өөрөөр хэлбэл нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээлээр бид судлах болно квадрат тэгшитгэл гэж юу вэмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ

Чухал!

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэг нь "2" байвал квадрат тэгшитгэлтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5х2 - 14х + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Чухал! Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - эхний буюу ахлах коэффициент;
• "b" - хоёр дахь коэффициент;
• "c" бол чөлөөт гишүүн юм.

"A", "b" ба "c" -ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c \u003d 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Шугаман тэгшитгэлээс ялгаатай нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд тусгай тэгшитгэлийг ашигладаг. үндсийг олох томъёо.

Санаж байна уу!

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• квадрат тэгшитгэлийг "ax 2 + bx + c \u003d 0" ерөнхий хэлбэрт аваачна. Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;
• үндэсийн томъёог ашиглана уу:

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёог хэрхэн хэрэглэхийг жишээгээр олж мэдье. Квадрат тэгшитгэлээ шийдье.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" тэгшитгэлийг "ax 2 + bx + c = 0" ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.

Энэ тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентүүдийг тодорхойлъё.

Түүний тусламжтайгаар аливаа квадрат тэгшитгэлийг шийддэг.

"x 1; 2 \u003d" томъёонд үндэс илэрхийлэл нь ихэвчлэн солигддог
"b 2 − 4ac" -ийг "D" үсэг хүртэл, ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.

x 2 + 9 + x = 7x

Энэ хэлбэрээр "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлоход хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг "ax 2 + bx + c \u003d 0" ерөнхий хэлбэрт аваачъя.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Квадрат тэгшитгэлд язгуур байхгүй тохиолдол байдаг. Үндэс дор томьёонд сөрөг тоо гарч ирэхэд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

Квадрат тэгшитгэлийг 8-р ангид судалдаг тул энд төвөгтэй зүйл байхгүй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх чадвар нь маш чухал юм.

Квадрат тэгшитгэл нь ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд a , b ба c коэффициентүүд нь дурын тоо, a ≠ 0 байна.

Тодорхой шийдлийн аргуудыг судлахын өмнө бид бүх квадрат тэгшитгэлийг гурван ангилалд хувааж болохыг анхаарна уу.

1. Үндэсгүй байх;
2. Тэд яг нэг үндэстэй;
3. Тэд хоёр өөр үндэстэй.

Энэ нь квадрат болон шугаман тэгшитгэлийн хоорондох чухал ялгаа бөгөөд үндэс нь үргэлж байдаг бөгөөд өвөрмөц байдаг. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг хэрхэн тодорхойлох вэ? Үүнд гайхалтай зүйл бий - ялгаварлагч.

Ялгаварлан гадуурхагч

ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг өгье.Тэгвэл дискриминант нь зүгээр л D = b 2 − 4ac тоо болно.

Энэ томъёог цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ нь хаанаас ирсэн нь одоо чухал биш. Өөр нэг чухал зүйл бол ялгаварлагчийн тэмдгээр квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тодорхойлж болно. Тухайлбал:

1. Хэрэв Д< 0, корней нет;
2. Хэрэв D = 0 бол яг нэг үндэс байна;
3. Хэрэв D > 0 бол хоёр үндэс байх болно.

Анхаарна уу: ялгаварлан гадуурхагч нь ямар нэг шалтгааны улмаас олон хүн боддог шиг тэдгээрийн шинж тэмдгийг огт биш харин язгуурын тоог заадаг. Жишээнүүдийг харвал та өөрөө бүх зүйлийг ойлгох болно:

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5х2 + 3х + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Бид эхний тэгшитгэлийн коэффициентийг бичиж, ялгаварлагчийг олно.
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Тэгэхээр дискриминант эерэг тул тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй. Бид хоёр дахь тэгшитгэлийг ижил аргаар шинжилнэ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ялгаварлан гадуурхагч нь сөрөг, үндэс байхгүй. Сүүлийн тэгшитгэл хэвээр байна:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү - үндэс нь нэг байх болно.

Тэгшитгэл бүрийн хувьд коэффициентүүдийг бичсэн болохыг анхаарна уу. Тийм ээ, энэ нь урт, тийм ээ, уйтгартай, гэхдээ та боломжуудыг хольж, тэнэг алдаа гаргахгүй байх болно. Өөртөө зориулж сонгох: хурд эсвэл чанар.

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та "гараа дүүргэвэл" хэсэг хугацааны дараа бүх коэффициентийг бичих шаардлагагүй болно. Та толгой дээрээ ийм үйлдлүүдийг хийх болно. Ихэнх хүмүүс үүнийг 50-70 шийдэгдсэн тэгшитгэлийн дараа хаа нэгтээ хийж эхэлдэг - ерөнхийдөө тийм ч их биш.

Квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Одоо шийдэл рүүгээ явцгаая. Дискриминант D > 0 бол үндсийг дараах томъёогоор олно.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын үндсэн томъёо

D = 0 үед та эдгээр томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно - та ижил тоог авах бөгөөд энэ нь хариулт болно. Эцэст нь хэрэв Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Эхний тэгшитгэл:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Тэднийг олцгооё:

Хоёр дахь тэгшитгэл:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ тэгшитгэл дахин хоёр үндэстэй. Тэднийг олъё

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \баруун))=3. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь гурав дахь тэгшитгэл:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй. Ямар ч томьёог ашиглаж болно. Жишээлбэл, эхнийх нь:

Жишээнүүдээс харахад бүх зүйл маш энгийн. Томьёо мэддэг, тоолж чаддаг бол ямар ч асуудал гарахгүй. Ихэнх тохиолдолд сөрөг коэффициентийг томъёонд орлуулах үед алдаа гардаг. Энд дахин хэлэхэд дээр дурдсан техник нь туслах болно: томъёог шууд утгаар нь харж, алхам бүрийг будаж, алдаанаасаа хурдан ангижрах болно.

Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Квадрат тэгшитгэл нь тодорхойлолтод өгөгдсөнөөс арай өөр байх тохиолдол гардаг. Жишээлбэл:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Эдгээр тэгшитгэлд нэг нэр томъёо дутуу байгааг харахад хялбар байдаг. Ийм квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь стандарт тэгшитгэлээс илүү хялбар байдаг: тэд ялгаварлагчийг тооцоолох шаардлагагүй болно. Ингээд шинэ ойлголтыг танилцуулъя:

ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлийг b = 0 эсвэл c = 0 бол бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. хувьсагч х буюу чөлөөт элементийн коэффициент тэгтэй тэнцүү байна.

Мэдээжийн хэрэг, эдгээр коэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү байх үед маш хэцүү тохиолдол гарч болзошгүй: b \u003d c \u003d 0. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь ax 2 \u003d 0 хэлбэртэй байна. Мэдээжийн хэрэг, ийм тэгшитгэл нь нэг утгатай байна. үндэс: x \u003d 0.

Бусад тохиолдлыг авч үзье. b \u003d 0 гэж үзье, тэгвэл бид ax 2 + c \u003d 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг авна. Үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

Арифметик квадрат язгуур нь зөвхөн сөрөг бус тооноос л байдаг тул сүүлчийн тэгшитгэл нь (−c / a ) ≥ 0 үед л утга учиртай болно. Дүгнэлт:

1. ax 2 + c = 0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг хангаж байвал хоёр үндэстэй болно. Томъёог дээр дурдсан болно;
2. Хэрэв (−c / a)< 0, корней нет.

Таны харж байгаагаар ялгаварлагч шаардлагагүй байсан - бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд нарийн төвөгтэй тооцоо огт байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ (−c / a ) ≥ 0 тэгш бус байдлыг санах ч шаардлагагүй. x 2-ын утгыг илэрхийлж, тэнцүү тэмдгийн нөгөө талд юу байгааг харахад хангалттай. Хэрэв эерэг тоо байвал хоёр үндэстэй болно. Хэрэв сөрөг байвал үндэс байхгүй болно.

Одоо чөлөөт элемент нь тэгтэй тэнцүү ax 2 + bx = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзье. Энд бүх зүйл энгийн: үргэлж хоёр үндэс байх болно. Олон гишүүнтийг хүчинжүүлэхэд хангалттай:

Хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Үндэс нь эндээс гардаг. Эцэст нь хэлэхэд бид эдгээр тэгшитгэлийн хэд хэдэн зүйлийг шинжлэх болно.

Даалгавар. Квадрат тэгшитгэлийг шийд:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5х2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Үндэс байхгүй, учир нь квадрат нь сөрөг тоотой тэнцүү байж болохгүй.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.