Lekciju konspekts par tau. Vēsturiskais pamatojums Lekciju automātiskās vadības teorija

Automātiskās vadības teorija(TAU) ir zinātniska disciplīna, kas pēta dažādas fizikālās dabas objektu automātiskās vadības procesus. Vienlaikus ar matemātisko līdzekļu palīdzību tiek apzinātas automātiskās vadības sistēmu īpašības un izstrādāti ieteikumi to projektēšanai.

Stāsts

Pirmo reizi informācija par automātiem parādījās mūsu ēras sākumā Aleksandrijas Herona darbos “Pneimatika” un “Mehānika”, kuros aprakstīti paša Herona un viņa skolotāja Ktesibija radītie automāti: pneimatiskā automātiskā mašīna tempļa durvju atvēršanai. , ūdens ērģeles, automātiskā iekārta svētītā ūdens tirdzniecībai u.c. Herona idejas ievērojami apsteidza savu laiku un viņa laikmetā netika izmantotas.

Lineāro sistēmu stabilitāte

Ilgtspējība- automātiskās vadības sistēmas spēja pēc jebkādiem traucējumiem atgriezties noteiktā vai tuvu tam līdzsvara stāvoklī.

Ilgtspējīgi pašpiedziņas ieroči- sistēma, kurā pārejoši procesi tiek slāpēti.

Operatora forma linearizēta vienādojuma rakstīšanai.

y(t) = y mute(t)+y P= y ārā(t)+y Sv.

y mute(y ārā) ir īpašs linearizētā vienādojuma risinājums.

y P(y Sv.) ir linearizēta vienādojuma kā homogēna diferenciālvienādojuma vispārīgs risinājums, tas ir

ACS ir stabila, ja pārejošie procesi n (t), ko izraisa jebkādi traucējumi, laika gaitā samazināsies, tas ir, kad

Atrisinot diferenciālvienādojumu vispārējā gadījumā, iegūstam sarežģītas saknes p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Katrs komplekso konjugētu sakņu pāris atbilst šādam pārejas procesa vienādojuma komponentam:

No iegūtajiem rezultātiem ir skaidrs, ka:

Stabilitātes kritēriji

Routa kritērijs

Lai noteiktu sistēmas stabilitāti, tiek veidotas veidlapas tabulas:

Lai sistēma būtu stabila, ir nepieciešams, lai visiem pirmās kolonnas elementiem būtu pozitīvas vērtības; ja pirmajā kolonnā ir negatīvi elementi, sistēma ir nestabila; ja vismaz viens elements ir nulle un pārējie ir pozitīvi, tad sistēma atrodas uz stabilitātes robežas.

Hurvica kritērijs

Hurwitz noteicējs

Teorēma: Slēgtas ACS stabilitātei ir nepieciešams un pietiekami, lai Hurwitz determinants un visi tā minori būtu pozitīvi pie

Mihailova kritērijs

Aizstāsim , kur ω ir svārstību leņķiskā frekvence, kas atbilst šī raksturīgā polinoma tīri iedomātajai saknei.

Kritērijs: n-tās kārtas lineāras sistēmas stabilitātei ir nepieciešams un pietiekami, lai Mihailova līkne, kas veidota koordinātēs, iet secīgi caur n kvadrantiem.

Apskatīsim attiecības starp Mihailova līkni un tās sakņu pazīmēm(α>0 un β>0)

1) Raksturīgā vienādojuma sakne ir negatīvs reālais skaitlis

2) Raksturīgā vienādojuma sakne ir pozitīvs reālais skaitlis

Dotajai saknei atbilstošs koeficients ir

3) Raksturīgā vienādojuma sakne ir komplekss skaitļu pāris ar negatīvu reālo daļu

Dotajai saknei atbilstošs koeficients ir

4) Raksturīgā vienādojuma sakne ir komplekss skaitļu pāris ar pozitīvu reālo daļu

Dotajai saknei atbilstošs koeficients ir

Nyquist kritērijs

Nyquist kritērijs ir grafiski analītisks kritērijs. Tā raksturīgā iezīme ir tāda, ka secinājums par slēgta cikla sistēmas stabilitāti vai nestabilitāti tiek izdarīts atkarībā no atvērtā cikla sistēmas amplitūdas fāzes vai logaritmisko frekvenču raksturlielumu veida.

Atvērtās cilpas sistēma tiks attēlota kā polinoms

tad mēs veicam aizstāšanu un iegūstam:

Ērtākai hodogrāfa konstrukcijai n>2 reducējam vienādojumu (*) līdz “standarta” formai:

Ar šo attēlojumu modulis A(ω) = | W(jω)| ir vienāds ar skaitītāja un saucēja absolūto vērtību attiecību, un arguments (fāze) ψ(ω) ir atšķirība starp to argumentiem. Savukārt komplekso skaitļu reizinājuma modulis ir vienāds ar moduļu reizinājumu, un arguments ir vienāds ar argumentu summu.

Pārneses funkcijas faktoriem atbilstošie moduļi un argumenti

Pēc tam konstruēsim hodogrāfu palīgfunkcijai, kuram mainīsimies

Pie un plkst (kopš n

Lai noteiktu iegūto griešanās leņķi, mēs atrodam atšķirību starp skaitītāja un saucēja argumentiem

Palīgfunkcijas skaitītāja polinomam ir tāda pati pakāpe kā tā saucēja polinomam, kas nozīmē , tāpēc iegūtais palīgfunkcijas griešanās leņķis ir 0. Tas nozīmē, ka slēgtas sistēmas stabilitātei hodogrāfs palīgfunkcijas vektoram nevajadzētu aptvert oriģinālu, bet funkcijas hodogrāfam attiecīgi punktu ar koordinātām

1. daļa. Automātiskās vadības teorija (TAC)

Lekcija 1. TAU pamattermini un definīcijas. (2 stundas)

Pamatjēdzieni.

Mūsdienu ķīmisko tehnoloģisko procesu vadības sistēmas raksturo liels tehnoloģisko parametru skaits, kuru skaits var sasniegt vairākus tūkstošus. Lai saglabātu nepieciešamo darbības režīmu un galu galā produktu kvalitāti, visi šie daudzumi ir jāuztur nemainīgi vai jāmaina saskaņā ar noteiktu likumu.

Tiek saukti fizikālie lielumi, kas nosaka tehnoloģiskā procesa gaitu procesa parametri . Piemēram, procesa parametri var būt: temperatūra, spiediens, plūsma, spriegums utt.

Tiek saukts tehnoloģiskā procesa parametrs, kas jāuztur nemainīgs vai jāmaina saskaņā ar noteiktu likumu kontrolēts mainīgais vai regulējams parametrs .

Tiek izsaukta kontrolētā daudzuma vērtība aplūkotajā laika momentā momentānā vērtība .

Kontrolējamā daudzuma vērtību, kas iegūta aplūkotajā laika momentā, pamatojoties uz kādas mērierīces datiem, sauc par to izmērītā vērtība .

1. piemērs.Žāvēšanas skapja manuālās temperatūras kontroles shēma.

Nepieciešams manuāli uzturēt temperatūru žāvēšanas skapī iestatītajā T līmenī.

Cilvēka operators atkarībā no dzīvsudraba termometra RT rādījumiem ieslēdz vai izslēdz sildelementu H, izmantojot slēdzi P. ¨

Pamatojoties uz šo piemēru, varat ievadīt definīcijas:

Kontroles objekts (regulācijas objekts, OU) – iekārta, kuras nepieciešamais darbības režīms ārēji jāatbalsta ar īpaši organizētām vadības darbībām.

Kontrole – vadības darbību veidošana, kas nodrošina nepieciešamo op-amp darbības režīmu.

regula – konkrēts vadības veids, ja uzdevums ir nodrošināt operētājsistēmas pastiprinātāja jebkuras izejas vērtības noturību.

Automātiska vadība – kontrole, kas veikta bez cilvēku tiešas līdzdalības.

Ievades ietekme(X)– ietekme uz sistēmas vai ierīces ievadi.

Izejas ietekme(Y)– trieciens, ko rada sistēmas vai ierīces izvade.

Ārējā ietekme – ārējās vides ietekme uz sistēmu.

Vadības sistēmas blokshēma, piemēram, 1, ir parādīta attēlā. 1.2.

3. piemērs. Temperatūras ASR ķēde ar mērīšanas tiltu.

Kad objekta temperatūra ir vienāda ar doto, mērījumu tilts M (sk. 1.4. att.) ir līdzsvarots, elektroniskā pastiprinātāja ieejā netiek saņemts signāls un sistēma atrodas līdzsvarā. Temperatūrai novirzoties, mainās termistora R T pretestība un tiek izjaukts tilta līdzsvars. EC ieejā parādās spriegums, kura fāze ir atkarīga no temperatūras novirzes zīmes no iestatītās. EC pastiprinātais spriegums tiek piegādāts motoram D, kas pārvieto autotransformatora AT motoru atbilstošā virzienā. Kad temperatūra sasniegs iestatīto vērtību, tilts tiks līdzsvarots un dzinējs izslēgsies.

Definīcijas:

Ietekmes iestatīšana (tāda pati kā ievades ietekme X) - ietekme uz sistēmu, kas nosaka nepieciešamo kontrolējamā mainīgā izmaiņu likumu).

Kontroles darbība (u) - vadības ierīces ietekme uz kontrolējamo objektu.

Vadības ierīce (CD) - ierīce, kas ietekmē vadības objektu, lai nodrošinātu nepieciešamo darbības režīmu.

Traucējoša ietekme f) – ietekme, kurai ir tendence izjaukt vajadzīgo funkcionālo attiecību starp atsauces ietekmi un kontrolēto mainīgo.

Kontroles kļūda (e = x - y) - starpība starp kontrolētā mainīgā noteikto (x) un faktisko (y) vērtībām.

Regulators (P) - ierīču kopums, kas savienots ar regulējamu objektu un nodrošina tā vadāmā mainīgā iestatītās vērtības automātisku uzturēšanu vai tā automātisku maiņu saskaņā ar noteiktu likumu.

Automātiskā vadības sistēma (ASR) - automātiska sistēma ar slēgtu ietekmes ķēdi, kurā vadība (u) tiek ģenerēta, salīdzinot y patieso vērtību ar doto x vērtību.

Papildu savienojums ASR strukturālajā shēmā, kas vērsts no izejas uz ietekmes ķēdes aplūkojamās sadaļas ieeju, tiek saukts par atgriezenisko saiti (FE). Atsauksmes var būt negatīvas vai pozitīvas.

ASR klasifikācija.

1. Pēc mērķa (pēc uzdevuma izmaiņu rakstura):

· stabilizē ASR - sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu uzturēt kontrolēto mainīgo nemainīgā vērtībā (x = const);

· programmatūra ASR - sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu mainīt vadāmo mainīgo atbilstoši iepriekš noteiktai funkcijai (x tiek mainīts ar programmatūras palīdzību);

· ASR izsekošana - sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu mainīt kontrolēto mainīgo atkarībā no iepriekš nezināmas vērtības ACP ieejā (x = var).

2. Pēc ķēžu skaita:

· vienas ķēdes - satur vienu ķēdi,

· daudzķēžu - satur vairākas kontūras.

3. Atbilstoši kontrolēto daudzumu skaitam:

· viendimensionāls - sistēmas ar 1 kontrolētu mainīgo,

· daudzdimensionāls - sistēmas ar vairākiem regulējamiem daudzumiem.

Savukārt daudzdimensiju ASR iedala sistēmās:

a) nesaistīts regulējums, kurā regulatori nav tieši saistīti un var mijiedarboties tikai ar kopēja kontroles objekta starpniecību;

b) saistītais regulējums, kurā viena un tā paša tehnoloģiskā procesa dažādu parametru regulatori ir savstarpēji saistīti ārpus regulēšanas objekta.

4. Pēc funkcionālā mērķa:

Temperatūras, spiediena, plūsmas, līmeņa, sprieguma utt. ASR.

5. Pēc kontrolei izmantoto signālu veida:

· nepārtraukts,

· diskrēts (relejs, impulss, digitāls).

6. Pēc matemātisko attiecību būtības:

· lineārs, kuram ir spēkā superpozīcijas princips;

· nelineārs.

Superpozīcijas princips (pārklājums): ja objekta ievadei tiek piemērotas vairākas ievades ietekmes, tad objekta reakcija uz ievades ietekmju summu ir vienāda ar objekta reakciju summu uz katru ietekmi atsevišķi:

L(x 1 + x 2) = L(x 1) + L(x 2),

kur L ir lineāra funkcija (integrācija, diferenciācija utt.).

7. Pēc regulēšanai izmantotās enerģijas veida:

· pneimatiskā,

· hidrauliskā,

· elektriskā,

· mehāniskās u.c.

8. Saskaņā ar regulēšanas principu:

· pēc novirzes :

Lielākā daļa sistēmu ir veidotas pēc atgriezeniskās saites principa – regulēšana ar novirzi (skat. 1.7. att.).

Elementu sauc par summētāju. Tā izejas signāls ir vienāds ar ieejas signālu summu. Melnais sektors norāda, ka šis ieejas signāls ir jāuzņem ar pretēju zīmi.

· aiz sašutuma .

Šīs sistēmas var izmantot, ja ir iespējams izmērīt traucējošo ietekmi (sk. 1.8. att.). Diagramma parāda K - pastiprinātājs ar pastiprinājumu K.

· apvienots - apvienot iepriekšējo ASR funkcijas.

Ar šo metodi (skat. 1.9. att.) tiek panākta augsta kvalitātes kontrole, taču tās pielietojumu ierobežo tas, ka traucējošo ietekmi f ne vienmēr var izmērīt.

Pamata modeļi.

Normatīvās sistēmas darbību var aprakstīt mutiski. Tādējādi 1.1. punktā ir aprakstīta žāvēšanas skapja temperatūras kontroles sistēma. Verbāls apraksts palīdz izprast sistēmas darbības principu, tās mērķi, darbības īpatnības utt. Taču, pats galvenais, tas nesniedz kvantitatīvus regulējuma kvalitātes aprēķinus, tāpēc nav piemērots sistēmu raksturlielumu izpētei un automatizētu vadības sistēmu veidošanai. Tā vietā TAU izmanto precīzākas matemātiskās metodes, lai aprakstītu sistēmu īpašības:

· statiskās īpašības,

· dinamiskās īpašības,

· diferenciālvienādojumi,

· pārsūtīšanas funkcijas,

· frekvences raksturlielumi.

Jebkurā no šiem modeļiem sistēmu var attēlot kā saiti ar ieejas ietekmi X, traucējumiem F un izejas ietekmi Y

Šo ietekmju ietekmē izvades vērtība var mainīties. Šajā gadījumā, kad jauns uzdevums nonāk sistēmas ieejā, tam ar noteiktu precizitātes pakāpi ir jānodrošina jaunā kontrolētā mainīgā vērtība līdzsvara stāvoklī.

Miera stāvoklis - šis ir režīms, kurā neatbilstība starp kontrolētā mainīgā patieso vērtību un tā iestatīto vērtību laika gaitā būs nemainīga.

Statiskās īpašības.

Statiskais raksturlielums elements ir izvades daudzuma līdzsvara stāvokļa vērtību atkarība no daudzuma vērtības sistēmas ieejā, t.i.

y mute = j(x).

Statiskais raksturlielums (sk. 1.11. att.) bieži tiek attēlots grafiski kā līkne y(x).

Statisks ir elements, kurā ar nemainīgu ievades ietekmi laika gaitā tiek noteikta nemainīga izvades vērtība. Piemēram, ja sildītāja ieejai tiek pielietotas dažādas sprieguma vērtības, tas uzkarst līdz temperatūras vērtībām, kas atbilst šiem spriegumiem.

Astatiska ir elements, kurā pie pastāvīgas ieejas darbības izejas signāls nepārtraukti pieaug nemainīgā ātrumā, paātrinājumā utt.

Lineārs statisks elements sauc par elementu bez inerces, kam ir lineāra statiskā raksturlielums:

y mute = K*x + a 0 .

Kā redzat, elementa statiskais raksturlielums šajā gadījumā ir taisnas līnijas forma ar slīpuma koeficientu K.

Lineāros statiskos raksturlielumus, atšķirībā no nelineārajiem, ir ērtāk pētīt to vienkāršības dēļ. Ja objekta modelis ir nelineārs, tad to parasti pārvērš lineārā formā ar linearizāciju.

Pašpiedziņas pistoli sauc statisks , ja ar nemainīgu ievades ietekmi vadības kļūda e tiecas uz nemainīgu vērtību atkarībā no ietekmes lieluma.

Pašpiedziņas pistoli sauc astatiska , ja ar nemainīgu ievades ietekmi kontroles kļūdai ir tendence uz nulli, neatkarīgi no ietekmes lieluma.

Laplass pārveido.

ASR izpēte ir ievērojami vienkāršota, izmantojot lietišķās matemātiskās operacionālā aprēķina metodes. Piemēram, noteiktas sistēmas darbību apraksta formas diferenciālvienādojums

, (2.1)

kur x un y ir ievades un izvades lielumi. Ja šajā vienādojumā x(t) un y(t) vietā mēs aizstājam kompleksa mainīgā s funkcijas X(s) un Y(s) tā, ka

Un , (2.2)

tad sākotnējais DE nulles sākuma apstākļos ir līdzvērtīgs lineārajam algebriskajam vienādojumam

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Tādu pāreju no diferenciālvienādojuma uz algebrisko vienādojumu sauc Laplasa transformācija , attiecīgi formulas (2.2). Laplasa transformācijas formulas , un iegūtais vienādojums ir operatora vienādojums .

Tiek izsauktas jaunās funkcijas X(s) un Y(s). attēlus x(t) un y(t) ir Laplass, savukārt x(t) un y(t) ir oriģināli attiecībā uz X(-iem) un Y(-iem).

Pāreja no viena modeļa uz citu ir diezgan vienkārša un sastāv no diferenciāļu zīmju aizstāšanas ar operatoriem s n , integrāļu zīmes ar faktoriem un paši x(t) un y(t) ar attēliem X(s) un Y(s). ).

Lai mainītu pāreju no operatora vienādojuma uz laika funkcijām, tiek izmantota metode apgrieztā Laplasa transformācija . Vispārīga formula apgrieztajai Laplasa transformācijai:

, (2.3)

kur f(t) ir oriģināls, F(jw) ir attēls pie s = jw, j ir iedomātā vienība, w ir frekvence.

Šī formula ir diezgan sarežģīta, tāpēc ir izstrādātas speciālas tabulas (skat. 1.1. un 1.2. tabulu), kurās apkopotas biežāk sastopamās funkcijas F(s) un to oriģināli f(t). Tie ļauj atteikties no tiešas formulas (2.3) lietošanas.

1.2. tabula. Laplasa transformācijas

1.2. tabula — Formulas apgrieztajai Laplasa transformācijai (saskaitījums)

Izejas signāla maiņas likums parasti ir funkcija, kas jāatrod, un ieejas signāls parasti ir zināms. Daži tipiski ievades signāli tika apspriesti 2.3. sadaļā. Šeit ir viņu attēli:

viena soļa darbībai ir attēls X(s) = ,

delta funkcija X(s) = 1,

lineārais trieciens X(s) = .

Piemērs. DE risināšana, izmantojot Laplasa transformācijas.

Pieņemsim, ka ieejas signālam ir viena soļa efekta forma, t.i. x(t) = 1. Tad ieejas signāla attēls X(s) = .

Mēs pārveidojam sākotnējo diferenciālvienādojumu saskaņā ar Laplasu un aizstājam X(-us):

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2 s + 12,

Y(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12.

Y izteiksme ir definēta:

.

Saņemtās funkcijas oriģināls nav oriģinālu un attēlu tabulā. Lai atrisinātu tās atrašanas problēmu, daļdaļa tiek sadalīta vienkāršo daļskaitļu summā, ņemot vērā, ka saucēju var attēlot kā s(s + 2)(s + 3):

= = + + =

Salīdzinot iegūto daļu ar sākotnējo, varat izveidot trīs vienādojumu sistēmu ar trim nezināmajiem:

M 1 + M 2 + M 3 = 0 M 1 = 2

5 . M 1 + 3. M 2 + 2. M 3 = 2 à M 2 = -4

6. M 1 = 12 M 3 = 2

Tāpēc daļu var attēlot kā trīs daļu summu:

= - + .

Tagad, izmantojot tabulas funkcijas, tiek noteikta sākotnējā izvades funkcija:

y(t) = 2-4. e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

Pārsūtīšanas funkcijas.

Tipisku saišu piemēri.

Sistēmas saite ir sistēmas elements, kam ir noteiktas dinamiskas īpašības. Vadības sistēmu saitēm var būt atšķirīgs fiziskais pamats (elektriskās, pneimatiskās, mehāniskās u.c. saites), taču tās pieder pie vienas grupas. Attiecības starp ieejas un izejas signāliem vienas grupas saitēs apraksta ar vienādām pārsūtīšanas funkcijām.

Vienkāršākās tipiskās saites:

· pastiprinās,

· integrācija,

diferencējot

· periodiski,

· svārstīgs,

· kavējas.

1) Pastiprinošā saite.

Saite pastiprina ieejas signālu K reizes. Saites vienādojums y = K*x, pārsūtīšanas funkcija W(s) = K. Tiek izsaukts parametrs K iegūt .

Šādas saites izejas signāls precīzi atkārto ieejas signālu, kas tiek pastiprināts par K reizes (sk. 1.15. att.).

Šādu saišu piemēri ir: mehāniskās transmisijas, sensori, bezinerces pastiprinātāji utt.

2) Integrēšana.

2.1) Ideāla integrācija.

Ideālas integrējošās saites izejas vērtība ir proporcionāla ievades vērtības integrālim.

; W(s) =

Kad ieejai tiek pielietota ietekmes saite, izejas signāls pastāvīgi palielinās (skat. 1.16. att.).

Šī saite ir astatiska, t.i. nav līdzsvara stāvokļa.

2.2) Reāla integrācija.

Šīs saites pārsūtīšanas funkcijai ir šāda forma:

Pārejas reakcija, atšķirībā no ideālas saites, ir līkne (sk. 1.17. att.).

Integrējošās saites piemērs ir līdzstrāvas motors ar neatkarīgu ierosmi, ja statora barošanas spriegums tiek ņemts par ieejas efektu un rotora griešanās leņķis tiek ņemts par izejas efektu.

3) Diferencēšana.

3.1) Ideāls diferenciators.

Izvades daudzums ir proporcionāls ievades laika atvasinājumam:

Ar pakāpenisku ievades signālu izejas signāls ir impulss (d-funkcija).

3.2) Reāla diferencēšana.

Ideālas atšķirības saites nav fiziski realizējamas. Lielākā daļa objektu, kas attēlo diferencējošās saites, pieder pie reālām diferencējošām saitēm. Šīs saites pārejošajai reakcijai un pārsūtīšanas funkcijai ir šāda forma:

4) Aperiodisks (inerciāls).

Šī saite atbilst tālvadības pultij un veidlapas PF:

; W(s) = .

Noteiksim šīs saites izejas vērtības izmaiņu raksturu, kad ievadei tiek piemērots pakāpenisks vērtības x 0 efekts.

Soļa efekta attēls: X(s) = . Tad izvades daudzuma attēls ir:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Sadalīsim daļu galvenajās daļās:

= + = = - = -

Pirmās daļas oriģināls saskaņā ar tabulu: L -1 ( ) = 1, otrais:

Tad mēs beidzot saņemam:

y(t) = K x 0 (1 - ).

Tiek saukta konstante T laika konstante.

Lielākā daļa termisko objektu ir periodiskas saites. Piemēram, pieliekot spriegumu elektriskās krāsns ieejai, tās temperatūra mainīsies pēc līdzīga likuma (sk. 1.19. att.).

5) Svārstību saite ir veidlapas DE un PF

,

W(s) = .

Kad ievadei tiek piemērots soļa efekts ar amplitūdu x 0, pārejas līkne būs

ir viens no diviem veidiem: periodisks (pie T 1 ³ 2T 2) vai svārstīgs (pie T 1< 2Т 2).

6) Kavēšanās.

y(t) = x(t - t), W(s) = e - t s.

Izvades vērtība y precīzi atkārto ievades vērtību x ar zināmu aizkavi t. Piemēri: kravas kustība pa konveijeru, šķidruma kustība pa cauruļvadu.

Saites savienojumi.

Tā kā pētāmais objekts, lai vienkāršotu tā funkcionēšanas analīzi, ir sadalīts saitēs, tad pēc pārsūtīšanas funkciju noteikšanas katrai saitei rodas uzdevums tās apvienot vienā objekta pārsūtīšanas funkcijā. Objekta pārsūtīšanas funkcijas veids ir atkarīgs no saišu savienojumu secības:

1) Seriālais savienojums.

W apgr. = W 1. W2. W 3...

Kad saites ir savienotas virknē, to pārsūtīšanas funkcijas tiek reizinātas.

2) Paralēlais savienojums.

W apv. = W 1 + W 2 + W 3 + …

Ja saites ir savienotas paralēli, to pārsūtīšanas funkcijas summējas.

3) Atsauksmes

Pārsūtīšanas funkcija pēc atsauces (x):

“+” atbilst negatīvai OS,

"-" - pozitīvs.

Lai noteiktu objektu ar sarežģītākiem saišu savienojumiem pārsūtīšanas funkcijas, tiek izmantota vai nu ķēdes secīga palielināšana, vai arī tās tiek pārveidotas, izmantojot Mezona formulu.

ASR pārsūtīšanas funkcijas.

Pētījumiem un aprēķiniem ASR strukturālā diagramma, izmantojot līdzvērtīgas transformācijas, tiek samazināta līdz vienkāršākajai standarta formai “objekts - kontrolieris”.

Tas ir nepieciešams, pirmkārt, lai noteiktu sistēmas matemātiskās atkarības, un, otrkārt, šādai standarta struktūrai parasti tiek piemērotas visas regulatoru iestatījumu aprēķināšanas un noteikšanas inženierijas metodes.

Vispārīgā gadījumā jebkuru viendimensionālu ASR ar galveno atgriezenisko saiti var pievienot šai formai, pakāpeniski palielinot saites.

Ja sistēmas y izvade netiek ievadīta tās ieejā, mēs iegūstam atvērtā cikla vadības sistēmu, kuras pārsūtīšanas funkcija tiek definēta kā reizinājums:

W ¥ = W p . G g

(W p - regulatora PF, W y - vadības objekta PF).

Tas ir, saišu secību W p un W y var aizstāt ar vienu saiti ar W ¥ . Slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcija parasti tiek apzīmēta kā Ф(s). To var izteikt ar W ¥:

Šī pārsūtīšanas funkcija Фз(s) nosaka y atkarību no x un tiek saukta par slēgtas cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkciju pa atsauces darbības kanālu (pēc atsauces).

ASR ir arī pārsūtīšanas funkcijas, izmantojot citus kanālus:

Ф e (s) = = - kļūdas dēļ,

Ф in (s) = = - ar traucējumiem.

Tā kā atklātā cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcija vispārīgā gadījumā ir daļēja-racionāla funkcija formā W ¥ = , slēgta cikla sistēmas pārsūtīšanas funkcijas var pārveidot:

Ф z (s) = = , Ф e (s) = = .

Kā redzat, šīs pārsūtīšanas funkcijas atšķiras tikai ar to skaitītāju izteiksmēm. Tiek saukta saucēja izteiksme slēgtas sistēmas raksturīga izpausme un tiek apzīmēts kā D з (s) = A(s) + B(s), savukārt atvērtās cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkcijas W ¥ skaitītājā atrodamo izteiksmi sauc raksturīga atvērtās cilpas sistēmas izpausme B(s).

Frekvences raksturlielumi.

LCH piemēri.

1. Zemas caurlaidības filtrs (LPF)

LACHH LFCH Ķēdes piemērs

Zemfrekvences filtrs ir paredzēts augstfrekvences ietekmes nomākšanai.

2. Augstas caurlaidības filtrs (HPF)

LACHH LFCH Ķēdes piemērs

Augstfrekvences filtrs ir paredzēts zemas frekvences ietekmes nomākšanai.

3. Barjeras filtrs.

Apturēšanas filtrs nomāc tikai noteiktu frekvenču diapazonu

LFC un LFCH Ķēdes piemērs

Stabilitātes kritēriji.

Ilgtspējība.

Svarīgs ASR rādītājs ir stabilitāte, jo tā galvenais mērķis ir uzturēt konstantu kontrolētā parametra vērtību vai mainīt to saskaņā ar noteiktu likumu. Ja kontrolētais parametrs novirzās no norādītās vērtības (piemēram, traucējumu vai iestatījuma izmaiņu ietekmē), regulators iedarbojas uz sistēmu tā, lai novērstu šo novirzi. Ja šīs ietekmes rezultātā sistēma atgriežas sākotnējā stāvoklī vai nonāk citā līdzsvara stāvoklī, tad šādu sistēmu sauc ilgtspējīgu . Ja notiek svārstības ar arvien pieaugošu amplitūdu vai monotons kļūdas e pieaugums, tad sistēmu sauc nestabils .

Lai noteiktu, vai sistēma ir stabila vai nē, tiek izmantoti stabilitātes kritēriji:

1) saknes kritērijs,

2) Stodola kritērijs,

3) Hurwitz kritērijs,

4) Nyquist kritērijs,

5) Mihailova u.c. kritērijs.

Pirmie divi kritēriji ir nepieciešami atsevišķu saišu un atvērtā cikla sistēmu stabilitātes kritēriji. Hurwitz kritērijs ir algebrisks un tika izstrādāts, lai bez kavēšanās noteiktu slēgta cikla sistēmu stabilitāti. Pēdējie divi kritēriji pieder pie frekvenču kritēriju grupas, jo tie nosaka slēgto sistēmu stabilitāti, pamatojoties uz to frekvences raksturlielumiem. To iezīme ir iespēja lietot slēgtās sistēmās ar aizkavi, kas ir lielākā daļa vadības sistēmu.

Saknes kritērijs.

Saknes kritērijs nosaka sistēmas stabilitāti pēc pārsūtīšanas funkcijas veida. Sistēmas dinamiskais raksturlielums, kas raksturo uzvedības pamatīpašības, ir raksturīgais polinoms, kas atrodas pārneses funkcijas saucējā. Nosakot saucēju uz nulli, var iegūt raksturīgu vienādojumu, kura saknes var izmantot stabilitātes noteikšanai.

Raksturīgā vienādojuma saknes var būt reālas vai kompleksas, un, lai noteiktu stabilitāti, tās tiek attēlotas uz kompleksās plaknes (sk. 1.34. att.).

(Simbols norāda vienādojuma saknes.)

Raksturīgā vienādojuma sakņu veidi:

Derīgs:

pozitīvs (saknes numurs 1);

negatīvs (2);

nulle (3);

Komplekss

kompleksie konjugāti (4);

tīri iedomāts (5);

Daudzkārtības secībā saknes ir:

viens (1, 2, 3);

konjugāts (4, 5): s i = a ± jw;

reizinājums (6) s i = s i +1 = …

Saknes kritērijs ir formulēts šādi:

Lineārais ASR ir stabils, ja visas raksturīgā vienādojuma saknes atrodas kreisajā pusplaknē. Ja vismaz viena sakne atrodas uz iedomātās ass, kas ir stabilitātes robeža, tad saka, ka sistēma atrodas uz stabilitātes robežas. Ja vismaz viena sakne atrodas labajā pusplaknē (neatkarīgi no sakņu skaita kreisajā pusē), tad sistēma ir nestabila.

Citiem vārdiem sakot, visām reālajām saknēm un sarežģīto sakņu reālajām daļām jābūt negatīvām. Pretējā gadījumā sistēma ir nestabila.

Piemērs 3.1. Sistēmas pārsūtīšanas funkcijai ir šāda forma:

.

Raksturīgais vienādojums: s 3 + 2 s 2 + 2,25 s + 1,25 = 0.

Saknes: s 1 = -1; s2 = -0,5 + j; s 3 = -0,5 - j.

Tāpēc sistēma ir stabila. ¨

Stodola kritērijs.

Šis kritērijs ir sekas iepriekšējam un formulēts šādi: Lineāra sistēma ir stabila, ja visi raksturīgā polinoma koeficienti ir pozitīvi.

Tas ir, pārneses koeficientam no 3.1. piemēra saskaņā ar Stodol kritēriju tas atbilst stabilai sistēmai.

Hurvica kritērijs.

Hurwitz kritērijs darbojas ar slēgtas cikla sistēmas raksturīgo polinomu. Kā zināms, ĀKK blokshēma kļūdaini izskatās (skatīt attēlu)

W p - kontroliera pārsūtīšanas funkcija,

W y ir vadības objekta pārsūtīšanas funkcija.

Noteiksim pārsūtīšanas funkciju tiešai komunikācijai (atvērtas cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkcija, sk. 2.6.4. punktu): W ¥ = W p W y.

.

Parasti atvērtās cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkcijai ir daļēji racionāla forma:

.

Tad pēc aizstāšanas un pārveidošanas mēs iegūstam:

.

No tā izriet, ka slēgtas cikla sistēmas (CPPS) raksturīgo polinomu var definēt kā skaitītāja un saucēja W ¥ summu:

D з (s) = A(s) + B(s).

Lai noteiktu Hurwitz stabilitāti, matrica tiek konstruēta tā, ka gar galveno diagonāli atrodas HPZS koeficienti no n +1 līdz 0. Pa labi un pa kreisi no tā ir uzrakstīti koeficienti ar indeksiem, kas atdalīti ar 2 (a 0, a 2, a 4 ... vai 1, a 3, a 5 ...). Tad stabilai sistēmai ir nepieciešams un pietiekami, ka determinants un visas matricas galvenās diagonālās minorās ir lielākas par nulli.

Ja vismaz viens determinants ir vienāds ar nulli, tad sistēma atradīsies uz stabilitātes robežas.

Ja vismaz viens determinants ir negatīvs, tad sistēma ir nestabila neatkarīgi no pozitīvo vai nulles determinantu skaita.

Piemērs. Ir dota atvērtās cilpas sistēmas pārsūtīšanas funkcija

.

Ir nepieciešams noteikt slēgtas cikla sistēmas stabilitāti, izmantojot Hurwitz kritēriju.

Šim nolūkam HPZ ir definēts:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Tā kā HPLC pakāpe ir n = 4, matricas izmērs būs 4x4. HPZ koeficienti ir a 4 = 2, a 3 = 5, a 2 = 10, a 1 = 6 un 0 = 1.

Matrica izskatās šādi:

(Ņemiet vērā matricas rindu līdzību: 1 ar 3 un 2 ar 4). Kvalifikācijas:

Δ 1 = 5 > 0,

,

Δ 4 = 1 * Δ 3 = 1 * 209 > 0.

Tā kā visi noteicošie faktori ir pozitīvi, tad ACP stabils. ♦

Mihailova kritērijs.

Iepriekš aprakstītie stabilitātes kritēriji nedarbojas, ja sistēmas pārsūtīšanas funkcijai ir aizkave, tas ir, to var ierakstīt formā

,

kur t ir kavēšanās.

Šajā gadījumā slēgtās sistēmas raksturīgā izteiksme nav polinoms, un tā saknes nevar noteikt. Lai noteiktu stabilitāti šajā gadījumā, tiek izmantoti Mihailova un Nyquist frekvences kritēriji.

Mihailova kritērija piemērošanas procedūra:

1) Slēgtai sistēmai raksturīgā izteiksme ir uzrakstīta:

D з (s) = A(s) + B(s). e - t s .

KRIEVIJAS FEDERĀCIJAS IZGLĪTĪBAS UN ZINĀTNES MINISTRIJA

Federālā valsts autonomā augstākās profesionālās izglītības iestāde

"Sanktpēterburgas Valsts Aviācijas un kosmosa instrumentu universitāte"

_________________________________________________________________

M. V. Burakovs

Automātiskās vadības teorija.

Apmācība

Sanktpēterburga

Recenzenti:

Tehnisko zinātņu kandidāts D. O. Jakimovskis (Federālais valsts uzņēmums “Komandierīču pētniecības institūts”). Tehnisko zinātņu kandidāts asociētais profesors A. A. Martynovs

(Sanktpēterburgas Valsts Aviācijas un kosmosa instrumentu universitāte)

Apstiprinājusi Universitātes redakcijas un izdevējdarbības padome

kā mācību līdzeklis

Burakovs M.V.

D79 Automātiskās vadības teorija: mācību grāmata. pabalstu. 1.daļa / M. V. Burakovs;– Sanktpēterburga: GUAP, 2013. -258 lpp.: ill.

Mācību grāmatā aplūkoti automātiskās vadības teorijas pamati – pamatkurss inženieru sagatavošanai automatizācijas un vadības jomā.

Tiek prezentēti vadības pamatjēdzieni un principi, aplūkoti lineāro un diskrēto vadības sistēmu analīzes un sintēzes matemātiskie modeļi, kas balstīti uz pārvades funkciju aparātu.

Mācību grāmata paredzēta bakalauru un maģistrantu sagatavošanai virzienā 220400 “Vadība tehniskajās sistēmās”, kā arī citu specialitāšu studentiem, kuri apgūst disciplīnas “Automātiskās vadības teorija” un “Vadības teorijas pamati”.

− PAMATJĒDZIENI UN DEFINĪCIJAS

o Īsa automātikas teorijas attīstības vēsture

skogo vadība

Automātiskās vadības teoriju var definēt kā zinātni par metodēm, kā noteikt jebkuru objektu vadības likumus, kurus var īstenot, izmantojot tehniskos līdzekļus.

Pirmās automātiskās ierīces cilvēks izstrādāja senatnē, par ko liecina rakstveida liecības, kas nonākušas pie mums. Sengrieķu un romiešu zinātnieku darbos sniegti dažādu automātisko ierīču apraksti: hodometrs - automātiska distances mērīšanas ierīce, kuras pamatā ir ratu riteņa apgriezienu skaita pārrēķins; Mašīnas durvju atvēršanai un ūdens pārdošanai tempļos; automātiskie kinoteātri ar izciļņu mehānismiem; ierīce bultu mešanai ar automātisko padevi. Mūsu laikmetu mijā arābi ūdenspulksteņus aprīkoja ar pludiņa līmeņa regulatoru (1.1. att.).

Viduslaikos attīstījās “android” automatizācija, kad mehānikas dizaineri radīja ierīces, kas imitēja atsevišķas cilvēka darbības. Nosaukums “android” uzsver mašīnas humanoīdo raksturu. Androids darbojās, pamatojoties uz pulksteņa mehānismiem.

Var identificēt vairākus faktorus, kuru dēļ 17. – 18. gadsimtā bija jāizstrādā kontroles sistēmas:

1. pulksteņu ražošanas attīstība, ko veicina strauji attīstošas ​​kuģniecības vajadzības;

2. miltu malšanas nozares attīstība un nepieciešamība regulēt ūdensdzirnavu darbību;

3. tvaika dzinēja izgudrojums.

Rīsi. 1.1. Ūdens pulksteņu dizains

Lai gan ir zināms, ka centrbēdzes ātruma izlīdzinātājus ūdens miltu dzirnavās izmantoja vēl viduslaikos, par pirmo atgriezeniskās saites kontroles sistēmu tiek uzskatīta holandieša Kornēlija Drebela (1600) temperatūras regulators. 1675. gadā X. Huygens pulkstenī iebūvēja svārsta regulatoru. Deniss Papēns 1681. gadā izgudroja pirmo spiediena regulatoru tvaika katliem.

Tvaika dzinējs kļuva par pirmo mērķi rūpnieciskajiem regulatoriem, jo ​​​​tai nebija iespējas stabili darboties atsevišķi, t.i. nebija “pašlīmeņošanās”

mēs” (1.2. att.).

1.2.att. Tvaika dzinējs ar regulatoru

Pirmie industriālie regulatori ir 1765. gadā I. I. Polzunova būvētais automātiskais pludiņregulators tvaika dzinēja katla padevei un centrbēdzes apgriezienu regulators tvaika dzinējam, par kuru J. Vats 1784. gadā saņēma patentu (1.3. att.) .

Šie pirmie regulatori bija tiešās vadības sistēmas, t.i., regulatoru iedarbināšanai nebija nepieciešami papildu enerģijas avoti - jutīgais elements tieši kustināja regulatoru (mūsdienu vadības sistēmas ir netiešās vadības sistēmas, jo kļūdas signāla jauda gandrīz vienmēr ir nepietiekama, lai kontrolētu regulatoru ķermenis).

Rīsi. 1.3. Vata centrbēdzes regulators.

Tā nebija nejaušība, ka tvaika dzinējs kļuva par pirmo tehnoloģiju un vadības teorijas pielietošanas objektu, jo tam nebija spēju stabili strādāt patstāvīgi un tai nebija pašizlīdzināšanas.

Jāatzīmē arī pirmās programmatūras ierīces izveides nozīme aušanas stelles vadīšanai, izmantojot perfokarti (rakstu atveidošanai uz paklājiem), ko 1808. gadā uzbūvēja J. Žakarda.

Polzunova izgudrojums nebija nejaušs, jo 18. gadsimta beigās Krievijas metalurģijas nozare ieņēma vadošo vietu pasaulē. Pēc tam krievu zinātnieki un inženieri turpināja dot lielu ieguldījumu automātiskās vadības teorijas attīstībā.

Pirmais darbs par regulēšanas teoriju parādījās 1823. gadā, un to uzrakstīja Sanktpēterburgas universitātes profesors Čižovs.

IN 1854 K.I. Konstantinovs ierosināja tvaika dzinējos koniskā svārsta vietā izmantot viņa izstrādāto “elektromagnētisko ātruma regulatoru”. Centrbēdzes mehānisma vietā tas izmanto elektromagnētu, lai kontrolētu tvaika plūsmu iekārtā. Konstantinova piedāvātajam regulatoram bija lielāka jutība nekā koniskajam svārstam.

IN 1866. gads A.I.Špakovskis izstrādāja regulatoru tvaika katlam, kas tika uzkarsēts, izmantojot sprauslas. Degvielas padeve caur sprauslām bija proporcionāla tvaika spiediena izmaiņām katlā. Ja spiediens pazeminājās, palielinājās degvielas plūsma caur sprauslām, kas izraisīja temperatūras paaugstināšanos un līdz ar to spiediena palielināšanos.

IN 1856. gadā Maskavā Aleksandra III kronēšanas laikā tika uzstādītas sešas jaudīgas elektriskās loka lampas ar automātisku Špakovska regulatoru. Šī bija pirmā praktiskā pieredze virknes elektromehānisko regulatoru instalācijas izgatavošanā un ilgstošā darbībā.

No 1869. līdz 1883. gadam V. N. Čikolevs izstrādāja vairākus elektromehāniskos regulatorus, tostarp diferenciālo regulatoru loka lampām, kam bija nozīmīga loma regulēšanas tehnoloģiju vēsturē.

Par automātiskās vadības teorijas (ATC) dzimšanas datumu parasti sauc 1868. gadu, kad tika publicēts Dž.Maksvela darbs “Par regulatoriem”, kurā diferenciālvienādojums izmantots kā kontrollera paraugs.

Lielu ieguldījumu TAU attīstībā sniedza krievu matemātiķis un inženieris I. A. Višņegradskis. Savā darbā “Par regulatoru vispārīgo teoriju”, kas publicēts 1876. gadā, viņš aplūkoja tvaika dzinēju un centrbēdzes regulatoru kā vienotu dinamisku sistēmu. Višņegradskis izdarīja praktiski svarīgākos secinājumus par stabilu sistēmu kustību. Vispirms viņš ieviesa diferenciālvienādojumu linearizācijas jēdzienu, tādējādi būtiski vienkāršojot pētījumu matemātisko aparātu.

“MANEKĻU” AUTOMĀTISKĀS VADĪBAS TEORIJA

K.Yu. Poļakovs

Sanktpēterburga

© K.Yu. Poļakovs, 2008

“Augstskolā materiāls ir jāsniedz augstā profesionālā līmenī. Bet tā kā šis līmenis iet krietni virs vidusmēra studenta galvas, paskaidrošu uz pirkstiem. Tas nav īpaši profesionāli, bet tas ir saprotams.

Nezināms skolotājs

Priekšvārds

Šī rokasgrāmata ir paredzēta pirmajai iepazīšanai ar tēmu. Tās uzdevums ir izskaidrot pamatjēdzienus “uz pirkstiem” automātiskās vadības teorija un pārliecinies, ka pēc izlasīšanas varēsi uztvert profesionālo literatūru par šo tēmu. Šī rokasgrāmata jāuzskata tikai par pamatu, starta platformu nopietnas tēmas nopietnai izpētei, kas var kļūt ļoti interesanta un aizraujoša.

Ir simtiem mācību grāmatu par automātisko vadību. Bet visa problēma ir tā, ka, uztverot jaunu informāciju, smadzenes meklē kaut ko pazīstamu, uz ko tās var “uzķerties”, un uz šī pamata jauno “saista” ar jau zināmiem jēdzieniem. Prakse rāda, ka mūsdienu skolēnam ir grūti lasīt nopietnas mācību grāmatas. Nav pie kā ķerties. Un aiz stingriem zinātniskiem pierādījumiem bieži vien neizpaliek lietas būtība, kas parasti ir diezgan vienkārša. Autore mēģināja “nolaisties” zemākā līmenī un izveidot ķēdi no “ikdienišķajiem” jēdzieniem līdz vadības teorijas jēdzieniem.

Prezentācija ik uz soļa cieš no stingrības trūkuma, netiek sniegti pierādījumi, formulas tiek izmantotas tikai tur, kur bez tām nav iespējams. Matemātiķis šeit atradīs daudz neatbilstību un izlaidumu, jo (saskaņā ar rokasgrāmatas mērķiem) starp stingrību un saprotamību izvēle vienmēr tiek veikta par labu saprotamībai.

No lasītāja puses ir nepieciešamas nelielas priekšzināšanas. Vajag būt idejai

O dažas augstākās matemātikas kursa sadaļas:

1) atvasinājumi un integrāļi;

2) diferenciālvienādojumi;

3) lineārā algebra, matricas;

4) kompleksie skaitļi.

Pateicības

Autore izsaka dziļu pateicību Dr. A.N. Čurilovs, Ph.D. V.N. Kaļiņičenko un Ph.D. IN. Rybinsky, kurš rūpīgi izlasīja rokasgrāmatas sākotnējo versiju un sniedza daudz vērtīgu komentāru, kas ļāva uzlabot prezentāciju un padarīt to saprotamāku.

© K.Yu. Poļakovs, 2008

© K.Yu. Poļakovs, 2008

1. Pamatjēdzieni

1.1. Ievads

Kopš seniem laikiem cilvēks ir vēlējies izmantot dabas objektus un spēkus saviem mērķiem, tas ir, lai tos kontrolētu. Jūs varat kontrolēt nedzīvus objektus (piemēram, akmens ripināšanu uz citu vietu), dzīvniekus (apmācība), cilvēkus (priekšnieks - padotais). Daudzi vadības uzdevumi mūsdienu pasaulē ir saistīti ar tehniskajām sistēmām – automašīnām, kuģiem, lidmašīnām, darbgaldiem. Piemēram, jums ir jāsaglabā noteikts kuģa kurss, lidmašīnas augstums, dzinēja apgriezienu skaits vai temperatūra ledusskapī vai cepeškrāsnī. Ja šie uzdevumi tiek atrisināti bez cilvēka līdzdalības, tie runā par automātiskā vadība.

Vadības teorija mēģina atbildēt uz jautājumu "kā vadīties?" Līdz 19. gadsimtam vadības zinātne nepastāvēja, lai gan jau pastāvēja pirmās automātiskās vadības sistēmas (piemēram, vējdzirnavas tika “mācītas” pagriezties pret vēju). Vadības teorijas attīstība sākās industriālās revolūcijas laikā. Sākumā šo virzienu zinātnē izstrādāja mehānika, lai atrisinātu regulēšanas problēmas, tas ir, uzturētu noteiktu griešanās ātruma, temperatūras, spiediena vērtību tehniskajās ierīcēs (piemēram, tvaika dzinējos). No šejienes cēlies nosaukums “automātiskās regulēšanas teorija”.

Vēlāk izrādījās, ka vadības principus var veiksmīgi pielietot ne tikai tehnoloģijās, bet arī bioloģijā, ekonomikā, sociālajās zinātnēs. Kibernētikas zinātne pēta vadības un informācijas apstrādes procesus jebkura rakstura sistēmās. Viena no tās sadaļām, kas galvenokārt saistīta ar tehniskajām sistēmām, tiek saukta automātiskās vadības teorija. Papildus klasiskajām kontroles problēmām tas nodarbojas arī ar kontroles likumu optimizāciju un adaptācijas (adaptācijas) jautājumiem.

Dažreiz nosaukumi “automātiskās vadības teorija” un “automātiskās vadības teorija” tiek lietoti kā sinonīmi. Piemēram, mūsdienu ārzemju literatūrā jūs atradīsiet tikai vienu terminu - kontroles teorija.

1.2. Kontroles sistēmas

1.2.1. No kā sastāv kontroles sistēma?

IN Pārvaldības uzdevumos vienmēr ir divi objekti – pārvaldītais un vadītājs. Parasti tiek izsaukts pārvaldītais objektskontroles objekts jeb vienkārši objekts, bet vadības objekts – regulators. Piemēram, kontrolējot rotācijas ātrumu, vadības objekts ir dzinējs (elektromotors, turbīna); kuģa kursa stabilizēšanas problēmā - ūdenī iegremdēts kuģis; skaļuma līmeņa uzturēšanas uzdevumā – dinamisks

© K.Yu. Poļakovs, 2008

ka. Mūsdienu automašīna ir burtiski “piepildīta” ar vadības elektroniku, līdz pat borta datoriem.

Parasti regulators iedarbojas uz vadāmo objektu nevis tieši, bet caur izpildmehānismiem (piedziņas), kas var pastiprināt un pārveidot vadības signālu, piemēram, elektriskais signāls var “pārveidoties” vārsta kustībā, kas regulē degvielas patēriņu, vai pagriežot stūri noteiktā leņķī.

Lai regulators “redzētu”, kas patiesībā notiek ar objektu, nepieciešami sensori. Sensori visbiežāk tiek izmantoti, lai izmērītu tos objekta raksturlielumus, kas jākontrolē. Turklāt pārvaldības kvalitāti var uzlabot, ja tiek iegūta papildu informācija – izmērot objekta iekšējās īpašības.

1.2.2. Sistēmas struktūra

Tātad tipiskā vadības sistēma ietver iekārtu, kontrolieri, izpildmehānismu un sensorus. Tomēr šo elementu kopums vēl nav sistēma. Lai pārveidotos par sistēmu, ir nepieciešami komunikācijas kanāli, caur kuriem notiek informācijas apmaiņa starp elementiem. Informācijas pārraidei var izmantot elektrisko strāvu, gaisu (pneimatiskās sistēmas), šķidrumu (hidrauliskās sistēmas) un datortīklus.

Savstarpēji saistītie elementi jau ir sistēma, kurai (sakarā ar savienojumiem) ir īpašas īpašības, kuru nav atsevišķiem elementiem un jebkurai to kombinācijai.

Galvenā menedžmenta intriga ir saistīta ar to, ka vide ietekmē objektu - ārējie traucējumi, kas “traucē” regulatoram veikt tai uzticēto uzdevumu. Lielākā daļa traucējumu ir iepriekš neparedzami, tas ir, tiem ir nejaušs raksturs.

Turklāt sensori nemēra parametrus precīzi, bet ar zināmu kļūdu, kaut arī nelielu. Šajā gadījumā viņi runā par “mērīšanas troksni” pēc analoģijas ar troksni radiotehnikā, kas kropļo signālus.

Apkopojot, mēs varam uzzīmēt šādu vadības sistēmas blokshēmu:

Piemēram, kuģa kursa kontroles sistēmā

kontroles objekts- tas ir pats kuģis, kas atrodas ūdenī; lai kontrolētu tā kursu, tiek izmantota stūre, lai mainītu ūdens plūsmas virzienu;

regulators – digitālais dators;

piedziņa - stūres iekārta, kas pastiprina vadības elektrisko signālu un pārvērš to stūres rotācijā;

sensori - mērīšanas sistēma, kas nosaka faktisko kursu;

ārējie traucējumi- tie ir jūras viļņi un vējš, kas novirza kuģi no dotā kursa;

mērījumu troksnis ir sensora kļūdas.

Informācija vadības sistēmā it kā “iet pa apli”: regulators izdod signālu

vadība uz piedziņas, kas iedarbojas tieši uz objektu; tad informācija par objektu caur sensoriem tiek atgriezta atpakaļ uz kontrolieri un viss sākas no jauna. Viņi saka, ka sistēmai ir atgriezeniskā saite, tas ir, regulators izmanto informāciju par objekta stāvokli, lai izstrādātu kontroli. Atgriezeniskās saites sistēmas sauc par slēgtām, jo ​​informācija tiek pārraidīta slēgtā ciklā.

© K.Yu. Poļakovs, 2008

1.2.3. Kā darbojas regulators?

Kontrolieris salīdzina iestatījuma signālu (“uzdotā vērtība”, “uzdotā vērtība”, “vēlamā vērtība”) ar atgriezeniskās saites signāliem no sensoriem un nosaka neatbilstība(kontroles kļūda) – starpība starp doto un faktisko stāvokli. Ja tas ir nulle, kontrole nav nepieciešama. Ja ir atšķirība, regulators izdod vadības signālu, kas cenšas samazināt neatbilstību līdz nullei. Tāpēc daudzos gadījumos regulatora ķēdi var izveidot šādi:

Atsauksmes

Šī diagramma parāda kļūdu kontrole(vai ar novirzi). Tas nozīmē, ka, lai regulators sāktu darboties, kontrolētajai vērtībai ir jāatšķiras no iestatītās vērtības. Bloks, kas apzīmēts ar ≠, atrod neatbilstību. Vienkāršākajā gadījumā tas atņem atgriezeniskās saites signālu (izmērīto vērtību) no dotās vērtības.

Vai ir iespējams vadīt objektu, neizraisot kļūdu? Reālās sistēmās nē. Pirmkārt, ārēju ietekmju un iepriekš nezināmu trokšņu dēļ. Turklāt vadības objektiem ir inerce, tas ir, tie nevar uzreiz pāriet no viena stāvokļa uz otru. Kontroliera un piedziņu iespējas (tas ir, vadības signāla jauda) vienmēr ir ierobežotas, tāpēc arī vadības sistēmas ātrums (pārejas ātrums uz jaunu režīmu) ir ierobežots. Piemēram, stūrējot kuģi, stūres leņķis parasti nepārsniedz 30 - 35°, tas ierobežo kursa maiņas ātrumu.

Mēs apsvērām iespēju, kad atgriezeniskā saite tiek izmantota, lai samazinātu atšķirību starp norādīto un faktisko vadības objekta stāvokli. Šādu atgriezenisko saiti sauc par negatīvu atgriezenisko saiti, jo atgriezeniskās saites signāls tiek atņemts no komandas signāla. Vai varētu būt otrādi? Izrādās, ka jā. Šajā gadījumā atsauksmes sauc par pozitīvu, tas palielina neatbilstību, tas ir, tai ir tendence “satricināt” sistēmu. Praksē pozitīva atgriezeniskā saite tiek izmantota, piemēram, ģeneratoros, lai uzturētu neslāpētas elektriskās svārstības.

1.2.4. Atvērtā cikla sistēmas

Vai ir iespējams kontrolēt, neizmantojot atgriezenisko saiti? Principā tas ir iespējams. Šajā gadījumā kontrolieris nesaņem nekādu informāciju par objekta reālo stāvokli, tāpēc ir precīzi jāzina, kā šis objekts uzvedas. Tikai tad var iepriekš aprēķināt, kā tas jāvada (izveidot nepieciešamo kontroles programmu). Tomēr nav garantijas, ka uzdevums tiks izpildīts. Šādas sistēmas sauc programmu vadības sistēmas vai atvērtās cilpas sistēmas, jo informācija netiek pārraidīta slēgtā ciklā, bet tikai vienā virzienā.

Arī akls vai nedzirdīgs vadītājs var vadīt automašīnu. Kādu brīdi. Kamēr viņš atceras ceļu un var pareizi aprēķināt savu vietu. Līdz brīdim, kad viņš ceļā sastopas ar gājējiem vai citām automašīnām, par kurām iepriekš nevar zināt. No šī vienkāršā piemēra ir skaidrs, ka bez

© K.Yu. Poļakovs, 2008

atgriezeniskā saite (informācija no sensoriem) nav iespējams ņemt vērā nezināmu faktoru ietekmi un mūsu zināšanu nepilnības.

Neskatoties uz šiem trūkumiem, praksē tiek izmantotas atvērtās cilpas sistēmas. Piemēram, informācijas dēlis dzelzceļa stacijā. Vai arī vienkārša dzinēja vadības sistēma, kurā nav nepieciešams ļoti precīzi uzturēt griešanās ātrumu. Taču no vadības teorijas viedokļa atvērtā cikla sistēmas maz interesē, un par tām vairs nerunāsim.

1.3. Kādi vadības sistēmu veidi pastāv?

Automātiskā sistēma ir sistēma, kas darbojas bez cilvēka iejaukšanās. Vai ir vēl daži automatizēti sistēmas, kurās rutīnas procesus (informācijas vākšanu un analīzi) veic dators, bet visu sistēmu kontrolē cilvēks-operators, kurš pieņem lēmumus. Tālāk pētīsim tikai automātiskās sistēmas.

1.3.1. Kontroles sistēmu mērķi

Automātiskās vadības sistēmas tiek izmantotas, lai atrisinātu trīs veidu problēmas:

stabilizācija, tas ir, noteiktā darbības režīma uzturēšana, kas ilgstoši nemainās (iestatīšanas signāls ir nemainīgs, bieži vien nulle);

programmatūras kontrole– vadība pēc iepriekš zināmas programmas (iestatījuma signāls mainās, bet ir zināms iepriekš);

nezināma galvenā signāla izsekošana.

UZ stabilizācijas sistēmas ietver, piemēram, autopilotus uz kuģiem (noteiktā kursa uzturēšanu), turbīnu ātruma kontroles sistēmas. Programmētās vadības sistēmas tiek plaši izmantotas sadzīves tehnikā, piemēram, veļas mašīnās. Servo sistēmas kalpo signālu pastiprināšanai un konvertēšanai, tās tiek izmantotas piedziņās un komandu pārsūtīšanai pa sakaru līnijām, piemēram, caur internetu.

1.3.2. Viendimensionālas un daudzdimensiju sistēmas

Atbilstoši ieeju un izeju skaitam ir

viendimensijas sistēmas, kurām ir viena ieeja un viena izeja (tās tiek aplūkotas tā sauktajā klasiskajā vadības teorijā);

daudzdimensiju sistēmas ar vairākām ieejām un/vai izejām (mūsdienu vadības teorijas galvenais studiju priekšmets).

Mēs pētīsim tikai viendimensijas sistēmas, kur gan objektam, gan kontrollerim ir viens ieejas un viens izejas signāls. Piemēram, stūrējot kuģi pa kursu, varam pieņemt, ka ir viena vadības darbība (stūres pagriešana) un viens vadāmais mainīgais (kurss).

Tomēr patiesībā tas nav pilnīgi taisnība. Fakts ir tāds, ka, mainoties kursam, mainās arī kuģa rullis un apdare. Viendimensijas modelī šīs izmaiņas mēs ignorējam, lai gan tās var būt ļoti nozīmīgas. Piemēram, strauja pagrieziena laikā ripināšana var sasniegt nepieņemamu vērtību. Savukārt vadībai var izmantot ne tikai stūri, bet arī dažādus dzinekļus, soļa stabilizatorus u.c., proti, objektam ir vairākas ieejas. Tādējādi reālā kursa kontroles sistēma ir daudzdimensionāla.

Daudzdimensionālu sistēmu izpēte ir diezgan sarežģīts uzdevums un ir ārpus šīs rokasgrāmatas darbības jomas. Tāpēc inženiertehniskajos aprēķinos viņi dažreiz mēģina vienkāršot daudzdimensiju sistēmu kā vairākas viendimensijas, un diezgan bieži šī metode noved pie panākumiem.

1.3.3. Nepārtrauktas un diskrētas sistēmas

Atbilstoši sistēmas signālu raksturam tie var būt

nepārtraukts, kurā visi signāli ir nepārtraukta laika funkcijas, kas definētas noteiktā intervālā;

diskrēta, kurā tiek izmantoti diskrēti signāli (skaitļu secības), kas definēti tikai noteiktos laika punktos;

© K.Yu. Poļakovs, 2008

nepārtraukts-diskrēts, kas satur gan nepārtrauktus, gan diskrētus signālus. Nepārtrauktas (vai analogās) sistēmas parasti apraksta ar diferenciālvienādojumiem. Tās visas ir kustību kontroles sistēmas, kurās nav datoru vai citu elementu.

diskrētas darbības ierīces (mikroprocesori, loģiskās integrālās shēmas). Mikroprocesori un datori ir diskrētas sistēmas, jo tajos ir visa informācija

Mācija tiek glabāta un apstrādāta diskrētā formā. Dators nevar apstrādāt nepārtrauktus signālus, jo tas darbojas tikai ar sekvences cipariem. Diskrētu sistēmu piemērus var atrast ekonomikā (pārskata periods – ceturksnis vai gads) un bioloģijā (plēsoņa-laupījuma modelis). To aprakstīšanai tiek izmantoti diferenciālvienādojumi.

Ir arī hibrīdi nepārtraukts-diskrēts sistēmas, piemēram, datorsistēmas kustīgu objektu (kuģu, lidmašīnu, automašīnu uc) vadīšanai. Tajos daži elementi ir aprakstīti ar diferenciālvienādojumiem, bet daži ar diferenciālvienādojumiem. No matemātiskā viedokļa tas rada lielas grūtības to pētīšanai, tāpēc daudzos gadījumos nepārtraukti diskrētas sistēmas tiek reducētas uz vienkāršotiem tīri nepārtrauktiem vai tīri diskrētiem modeļiem.

1.3.4. Stacionāras un nestacionāras sistēmas

Pārvaldībai ļoti svarīgs ir jautājums par to, vai objekta īpašības laika gaitā mainās. Sistēmas, kurās visi parametri paliek nemainīgi, sauc par stacionārām, kas nozīmē "laikā nemainās". Šī apmācība attiecas tikai uz stacionārām sistēmām.

Praktiskajās problēmās lietas bieži vien nav tik rožainas. Piemēram, lidojoša raķete patērē degvielu un līdz ar to mainās tās masa. Tādējādi raķete ir nestacionārs objekts. Tiek izsauktas sistēmas, kurās objekta vai kontrollera parametri laika gaitā mainās nestacionārs. Lai gan nestacionāro sistēmu teorija pastāv (formulas ir uzrakstītas), to pielietot praksē nav tik vienkārši.

1.3.5. Noteiktība un nejaušība

Vienkāršākais variants ir pieņemt, ka visi objekta parametri ir noteikti (iestatīti) precīzi, tāpat kā ārējās ietekmes. Šajā gadījumā mēs runājam par deterministisks sistēmas, kas tika aplūkotas klasiskajā vadības teorijā.

Tomēr reālajās problēmās mums nav precīzu datu. Pirmkārt, tas attiecas uz ārējām ietekmēm. Piemēram, lai izpētītu kuģa šūpošanos pirmajā posmā, mēs varam pieņemt, ka vilnim ir zināmas amplitūdas un frekvences sinusa forma. Šis ir deterministisks modelis. Vai tā ir taisnība praksē? Dabiski, ka nē. Izmantojot šo pieeju, var iegūt tikai aptuvenus, aptuvenus rezultātus.

Saskaņā ar mūsdienu koncepcijām viļņu formu aptuveni raksturo kā sinusoīdu summu, kurām ir nejaušas, tas ir, iepriekš nezināmas, frekvences, amplitūdas un fāzes. Traucējumi un mērījumu troksnis arī ir nejauši signāli.

Tiek izsauktas sistēmas, kurās darbojas nejauši traucējumi vai objekta parametri var nejauši mainīties stohastisks(iespējams). Stohastisko sistēmu teorija ļauj iegūt tikai varbūtības rezultātus. Piemēram, jūs nevarat garantēt, ka kuģa novirze no kursa vienmēr būs ne lielāka par 2°, taču jūs varat mēģināt nodrošināt šādu novirzi ar zināmu varbūtību (99% varbūtība nozīmē, ka prasība tiks izpildīta 99 gadījumos no 100 ).

1.3.6. Optimālas sistēmas

Bieži sistēmas prasības var formulēt kā optimizācijas problēmas. Optimālajās sistēmās regulators ir paredzēts, lai nodrošinātu kādu kvalitātes kritēriju minimumu vai maksimumu. Jāatceras, ka izteiciens “optimāla sistēma” nenozīmē, ka tā patiešām ir ideāla. Visu nosaka pieņemtais kritērijs - ja tas ir veiksmīgi izvēlēts, sistēma izrādīsies laba, ja nē, tad otrādi.

© K.Yu. Poļakovs, 2008

1.3.7. Īpašas sistēmu klases

Ja objekta vai traucējumu parametri nav precīzi zināmi vai var mainīties laika gaitā (nestacionārās sistēmās), tiek izmantoti adaptīvi vai pašregulējoši kontrolieri, kuros mainoties apstākļiem mainās vadības likums. Vienkāršākajā gadījumā (ja ir vairāki iepriekš zināmi darbības režīmi) notiek vienkārša pārslēgšanās starp vairākiem vadības likumiem. Bieži vien adaptīvajās sistēmās kontrolieris reāllaikā novērtē objekta parametrus un attiecīgi maina vadības likumu atbilstoši noteiktajam noteikumam.

Pašregulējošo sistēmu, kas mēģina noregulēt regulatoru tā, lai “atrastu” kāda kvalitātes kritērija maksimumu vai minimumu, tiek saukta par ekstrēmu (no vārda extremum, kas nozīmē maksimumu vai minimumu).

Tiek izmantotas daudzas mūsdienu sadzīves tehnikas (piemēram, veļas mašīnas). izplūdušie kontrolieri, kas veidota pēc izplūdušās loģikas principiem. Šī pieeja ļauj formalizēt cilvēka lēmumu pieņemšanas veidu: "ja kuģis ir aizgājis pārāk tālu pa labi, stūre ir jāpārvieto ļoti tālu pa kreisi."

Viens no populārākajiem virzieniem mūsdienu teorijā ir mākslīgā intelekta sasniegumu izmantošana tehnisko sistēmu vadīšanai. Regulators ir izveidots (vai vienkārši konfigurēts), pamatojoties uz neironu tīklu, kuru iepriekš apmāca cilvēku eksperts.

© K.Yu. Poļakovs, 2008

2. Matemātiskie modeļi

2.1. Kas jums jāzina, lai pārvaldītu?

Jebkuras vadības mērķis ir mainīt objekta stāvokli vēlamajā veidā (atbilstoši uzdevumam). Automātiskās vadības teorijai ir jāatbild uz jautājumu: "kā izveidot regulatoru, kas var kontrolēt noteiktu objektu tā, lai sasniegtu mērķi?" Lai to izdarītu, izstrādātājam jāzina, kā vadības sistēma reaģēs uz dažādām ietekmēm, tas ir, ir nepieciešams sistēmas modelis: objekts, piedziņa, sensori, sakaru kanāli, traucējumi, troksnis.

Modelis ir objekts, ko izmantojam, lai pētītu citu objektu (oriģinālu). Modelim un oriģinālam ir jābūt kaut kādā veidā līdzīgiem, lai modeļa izpētes rezultātā izdarītos secinājumus varētu (ar zināmu varbūtību) pārnest uz oriģinālu. Mūs galvenokārt interesēs matemātiskie modeļi, izteiktas kā formulas. Turklāt zinātnē tiek izmantoti arī aprakstošie (verbālie), grafiskie, tabulu un citi modeļi.

2.2. Ieejas un izejas savienojums

Jebkurš objekts mijiedarbojas ar ārējo vidi, izmantojot ieejas un izejas. Ieejas ir iespējama ietekme uz objektu, izejas ir tie signāli, kurus var izmērīt. Piemēram, elektromotoram ieejas var būt barošanas spriegums un slodze, un izejas

– vārpstas griešanās ātrums, temperatūra.

Ievades ir neatkarīgas, tās “nāk” no ārējās vides. Kad informācija ieejā mainās, iekšējā objekta stāvoklis(tā tiek sauktas tā mainīgās īpašības) un rezultātā tiek izvadīti:

Tas nozīmē, ka ir kāds noteikums, saskaņā ar kuru elements pārveido ievadi x par izvadi y. Šo noteikumu sauc par operatoru. Ierakstot y = U, tiek saņemta izvade y

operatora U pielietošanas rezultāts ievadei x.

Izveidot modeli nozīmē atrast operatoru, kas savieno ieejas un izejas. Ar tās palīdzību jūs varat paredzēt objekta reakciju uz jebkuru ievades signālu.

Apsveriet līdzstrāvas elektromotoru. Šī objekta ievade ir barošanas spriegums (voltos), izeja ir griešanās ātrums (apgriezienos sekundē). Pieņemsim, ka pie 1 V sprieguma griešanās frekvence ir 1 apgr./min, bet pie sprieguma 2 V – 2 apgr./min, tas ir, rotācijas frekvence pēc lieluma ir vienāda ar spriegumu1. Ir viegli redzēt, ka šāda operatora darbību var ierakstīt formā

U[x] = x .

Tagad pieņemsim, ka tas pats motors griež riteni, un mēs esam izvēlējušies riteņa apgriezienu skaitu attiecībā pret sākotnējo stāvokli (mirklī t = 0) kā objekta izvadi. Šajā gadījumā ar vienmērīgu rotāciju reizinājums x ∆ t dod mums apgriezienu skaitu laikā ∆ t, tas ir, y (t) = x ∆ t (šeit apzīmējums y (t) skaidri apzīmē izejas atkarību laikā

ne t). Vai varam uzskatīt, ka esam definējuši operatoru U ar šo formulu? Acīmredzot nē, jo iegūtā atkarība ir spēkā tikai pastāvīgam ieejas signālam. Ja spriegums pie ieejas x(t) mainās (nav svarīgi, kā!), griešanās leņķis tiks ierakstīts kā integrālis

1 Protams, tas būs spēkā tikai noteiktā sprieguma diapazonā.

AUTOMĀTISKĀS VADĪBAS TEORIJA

Lekciju piezīmes

IEVADS

Tu iemācīsies:

· Kas ir automātiskās vadības (TAC) teorija.

· Kāds ir TAU studiju objekts, priekšmets un mērķis.

· Kāda ir galvenā pētījuma metode TAU.

· Kāda ir TAU vieta citu zinātņu vidū.

· Kāda ir TAU vēsture.

· Kāpēc TAU izpēte ir svarīga?

· Kādas ir pašreizējās tendences ražošanas automatizācijā.

Kāda ir automātiskās vadības teorija?

TAU jēdziens uzkrāj tā nosaukumā ietvertos terminus:

· teoriju – zināšanu kopums, kas noteiktos apstākļos ļauj iegūt ticamus rezultātus

· kontrole – ietekme uz objektu, lai sasniegtu noteiktu mērķi;

· automātiskā vadība – kontrole bez cilvēka iejaukšanās, izmantojot tehniskos līdzekļus.

Tāpēc

TAU– zināšanu kopums, kas ļauj izveidot un ieviest automātiskās procesu vadības sistēmas ar noteiktām īpašībām.

Kāds ir TAU studiju priekšmets, priekšmets un mērķis?

Pētījuma objekts TAU– automātiskā vadības sistēma (ACS).

Studiju priekšmets TAU– procesi, kas notiek automatizētajā vadības sistēmā.

TAU studiju mērķis– iegūto zināšanu ņemšana vērā praktiskajā darbībā automatizēto vadības sistēmu projektēšanas, ražošanas, uzstādīšanas, nodošanas ekspluatācijā un ekspluatācijas laikā.

Galvenā pētījuma metode TAU.

Pētot vadības procesus TAU, tie abstrahējas no automatizētās vadības sistēmas fiziskajām un dizaina iezīmēm un reālu automātiskās vadības sistēmu vietā ņem vērā to adekvātus matemātiskos modeļus. Tāpēc galvenā pētījuma metode TAU ir matemātiskā modelēšana.

TAU vieta citu zinātņu vidū.

TAU kopā ar vadības sistēmas elementu (sensoru, regulatoru, izpildmehānismu) funkcionēšanas teoriju veido plašāku zinātnes nozari - automatizācija. Savukārt automatizācija ir viena no sadaļām tehniskā kibernētika. Tehniskā kibernētika pēta sarežģītas tehnoloģisko procesu (APCS) un uzņēmumu (APCS) automatizētās vadības sistēmas, kas veidotas, izmantojot vadības elektroniskos datorus.

TAU vēsture.

Pirmie teorētiskie darbi automātiskās vadības jomā parādījās 19. gadsimta beigās, kad rūpniecībā plaši izplatījās tvaika dzinēju regulatori, un praktiskie inženieri sāka saskarties ar grūtībām šo regulatoru projektēšanā un uzstādīšanā. Tieši šajā periodā tika veikti vairāki pētījumi, kuros pirmo reizi tvaika dzinējs un tā regulators tika analizēti ar matemātiskām metodēm kā vienota dinamiska sistēma.

Līdz aptuveni 20. gadsimta vidum tvaika dzinēju un katlu regulatoru teorija attīstījās kā lietišķās mehānikas nozare. Vienlaikus tika izstrādātas elektrotehnikas automātisko ierīču analīzes un aprēķināšanas metodes. TAU veidošanās par neatkarīgu zinātnes un izglītības disciplīnu notika laika posmā no 1940. līdz 1950. gadam. Šajā laikā tika izdotas pirmās monogrāfijas un mācību grāmatas, kurās, izmantojot vienotas metodes, tika aplūkotas dažādas fiziskas dabas automātiskās ierīces.

Šobrīd TAU līdzās jaunākajām tā sauktās vispārējās vadības teorijas sadaļām (operāciju izpēte, sistēmu inženierija, spēļu teorija, rindas teorija) ieņem nozīmīgu lomu ražošanas vadības pilnveidošanā un automatizācijā.

Kāpēc TAU izpēte ir svarīga?

Automatizācija ir viens no galvenajiem zinātnes un tehnoloģiju progresa virzieniem un nozīmīgs ražošanas efektivitātes paaugstināšanas līdzeklis. Mūsdienu rūpniecisko ražošanu raksturo tehnoloģisko procesu mēroga un sarežģītības pieaugums, atsevišķu vienību un iekārtu vienības jaudas palielināšanās, intensīvu, ātrgaitas režīmu izmantošana tuvu kritiskajam, pieaugošās prasības attiecībā uz produktu kvalitāti, personāla drošību, aprīkojumu un vidi.

Sarežģītu tehnisko objektu ekonomisku, uzticamu un drošu ekspluatāciju iespējams nodrošināt, izmantojot tikai vismodernākos tehniskos līdzekļus, kuru izstrāde, izgatavošana, uzstādīšana, nodošana ekspluatācijā un ekspluatācija nav iedomājama bez TAU zināšanām.

Mūsdienu tendences ražošanas automatizācijā.

Mūsdienu ražošanas automatizācijas tendences ir:

- plaši izplatīta datoru izmantošana kontrolei;

- mašīnu un iekārtu izveide ar iebūvētiem mikroprocesoru mērīšanas, kontroles un regulēšanas līdzekļiem;

- pāreja uz decentralizētām (izkliedētām) vadības struktūrām ar mikrodatoriem;

- cilvēka-mašīnas sistēmu ieviešana;

- ļoti uzticamu tehnisko līdzekļu izmantošana;

- automatizēta vadības sistēmu projektēšana.

1. ACS KONSTRUKCIJAS VISPĀRĪGIE PRINCIPI

Jūs satiksiet:

· Ar pamatjēdzieniem un definīcijām.

· Ar ACS struktūru.

· Ar ACS klasifikāciju.

1.1. Pamatjēdzieni un definīcijas

Ierīces (sistēmas) darbības algoritms– instrukciju kopums, kas nodrošina pareizu tehniskā procesa ieviešanu ierīcē vai ierīču komplektā (sistēmā).

Piemēram, elektriskā sistēma– ierīču kopums, kas nodrošina elektroenerģijas ražošanas, pārveidošanas, pārvades, sadales un patēriņa procesu vienotību, vienlaikus nodrošinot virkni prasību darbības parametriem (frekvence, spriegums, jauda utt.). Elektrosistēma ir projektēta tā, lai normālos ekspluatācijas apstākļos šīs prasības tiktu ievērotas, t.i. Pa labi tika veikts tehniskais process. Šajā gadījumā funkcionējošais algoritms elektriskās sistēmas ierīkošana tiek realizēta to veidojošo ierīču (ģeneratoru, transformatoru, elektropārvades līniju u.c.) projektēšanā un noteiktā to pieslēgšanas shēmā.

Tomēr ārēji apstākļi (trieciens) var traucēt ierīces (sistēmas) pareizu darbību. Piemēram, elektrosistēmai šādas ietekmes var būt: elektroenerģijas patērētāju slodzes izmaiņas, elektrotīkla konfigurācijas izmaiņas pārslēgšanas rezultātā, īssavienojumi, vadu pārrāvumi utt. Līdz ar to uz ierīci (sistēmu) ir jāveic īpašas ietekmes, kuru mērķis ir kompensēt ārējās ietekmes nevēlamās sekas un izpildīt darbības algoritmu. Šajā sakarā tiek ieviesti šādi jēdzieni:

Vadības objekts (OU)– ierīce (sistēma), kas veic tehnisku procesu un kuras darbības algoritma ieviešanai nepieciešama īpaši organizēta ārējā ietekme.

Vadības objekti ir, piemēram, gan atsevišķas elektriskās sistēmas ierīces (turboģeneratori, elektroenerģijas, slodžu jaudas pārveidotāji), gan elektrosistēma kopumā.

Kontroles algoritms– instrukciju kopums, kas nosaka ārējās ietekmes raksturu uz vadības objektu, nodrošinot tā funkcionēšanas algoritmu.

Vadības algoritmu piemēri ir algoritmi sinhronā ģeneratora ierosmes un tvaika plūsmas maiņai to turbīnās, lai kompensētu patērētāja slodzes izmaiņu nevēlamo ietekmi uz sprieguma līmeņiem elektriskās sistēmas mezglos un šī sprieguma frekvenci. .

Vadības ierīce (CU)– ierīce, kas saskaņā ar vadības algoritmu ietekmē vadāmo objektu.

Vadības ierīču piemēri ir automātiskais ierosmes regulators (AEC) un sinhronā ģeneratora automātiskais ātruma regulators (ARCV).

Automātiskā vadības sistēma (ACS)– mijiedarbojošu vadības objektu un vadības ierīču kopums.

Tāda ir, piemēram, sinhronā ģeneratora automātiskā ierosmes sistēma, kas satur mijiedarbojošu ARV un pašu sinhrono ģeneratoru.

Rīsi. 1.1. Vispārināta automatizētās vadības sistēmas blokshēma

x( t) - kontrolēts daudzums – fiziskais lielums, kas raksturo objekta stāvokli.

Bieži vien kontroles objektam ir vairāki kontrolēti lielumi x 1 (t), x 2 (t)... x n (t), tad viņi runā par n-objekta stāvokļa dimensiju vektors x(t) ar iepriekš uzskaitītajām sastāvdaļām. Vadības objektu šajā gadījumā sauc par daudzdimensionālu.

Kontrolējamo daudzumu piemēri elektriskajā sistēmā ir: strāva, spriegums, jauda, ​​ātrums utt.

z o (t), z d (t) – attiecīgi galvenais(iedarbojoties uz vadības objektu ) un papildu ( iedarbojoties uz vadības ierīci ) traucējoša ietekme.

Galvenās traucējošās ietekmes piemēri z o (t) ir sinhronā ģeneratora slodzes izmaiņas, tā dzesēšanas līdzekļa temperatūra utt., kā arī papildu traucējošā ietekme z d (t) – dzesēšanas apstākļu maiņa UU, barošanas avotu sprieguma nestabilitāte UU un tā tālāk.

Rīsi. 1.2. Automātiskās vadības sistēmas uzbūve

Rīsi. 1.3. Automatizētās vadības sistēmas funkcionālā shēma

Algoritmiskā struktūra (shēma) – struktūra (shēma), kas ir savstarpēji saistītu algoritmisku saišu kopums un raksturo algoritmus informācijas pārvēršanai automatizētās vadības sistēmās.

kurā,

algoritmiskā saite- daļa no automatizētās vadības sistēmas algoritmiskās struktūras, kas atbilst noteiktam matemātiskajam vai loģiskajam signāla pārveidošanas algoritmam.

Ja algoritmiskā saite veic vienu vienkāršu matemātisko vai loģisko darbību, tad tā tiek izsaukta elementāri algoritmiskā saite. Diagrammās algoritmiskās saites tiek attēlotas ar taisnstūriem, kuru iekšpusē ir ierakstīti atbilstošie signāla pārveidošanas operatori. Dažreiz operatoru vietā formulas formā tiek doti grafiki par izvades vērtības atkarību no ievades vai pārejas funkciju grafiki.

Izšķir šādus algoritmisko saišu veidus:

· statisks;

· dinamisks;

· aritmētika;

· loģiski.

Statiskā saite -saite, kas ieejas signālu uzreiz (bez inerces) pārvērš izejas signālā.

Savienojumu starp statiskās saites ieejas un izejas signāliem parasti apraksta ar algebrisko funkciju. Statiskās saites ietver dažādus bezinerces pārveidotājus, piemēram, pretestības sprieguma dalītāju. 1.4.a attēlā parādīts parasts statiskās saites attēls algoritmiskā diagrammā.

Dinamiskā saite– saite, kas pārvērš ieejas signālu izejas signālā atbilstoši integrācijas un diferenciācijas operācijām laikā.

Savienojumu starp dinamiskās saites ieejas un izejas signāliem apraksta parastie diferenciālvienādojumi.

Dinamisko saišu klasē ietilpst automatizētas vadības sistēmas elementi, kuriem ir iespēja uzkrāt jebkura veida enerģiju vai vielu, piemēram, integrators, kura pamatā ir elektriskais kondensators.

Aritmētiskā saite– saite, kas veic kādu no aritmētiskajām operācijām: summēšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu.

Automātikā visizplatītākā aritmētiskā saite, kas veic signālu algebrisko summēšanu, tiek saukta papildinātājs.

Loģiska saite– saite, kas veic jebkuru loģisku darbību: loģiskā reizināšana (“AND”), loģiskā saskaitīšana (“OR”), loģiskā noliegšana (“NOT”) utt.

Loģiskās saites ieejas un izejas signāli parasti ir diskrēti un tiek uzskatīti par loģiskiem mainīgajiem.

1.4. attēlā parādīti elementāru algoritmisko saišu konvencionālie attēli.

1.4.attēls. Parastie elementāru algoritmisko saišu attēli:

A- statisks; b– dinamisks; V– aritmētika; G– loģiski

Strukturālā struktūra (diagramma) – struktūra (diagramma), kas atspoguļo automatizētās vadības sistēmas konkrēto shēmu, dizainu un citu dizainu.

Strukturālās diagrammas ietver: ierīču kinemātiskās diagrammas, elektrisko savienojumu shēmas un elektroinstalācijas shēmas utt. Tā kā TAU nodarbojas ar automatizēto vadības sistēmu matemātiskajiem modeļiem, konstruktīvās diagrammas interesē daudz mazāk nekā funkcionālās un algoritmiskās.

1.3. ACS klasifikācija

Automātisko vadības sistēmu klasifikāciju var veikt pēc dažādiem principiem un raksturlielumiem, kas raksturo sistēmu mērķi un konstrukciju, izmantotās enerģijas veidu, izmantotos vadības un darbības algoritmus utt.

Vispirms aplūkosim automatizēto vadības sistēmu klasifikāciju pēc vadības teorijai svarīgākajām pazīmēm, kas raksturo automātiskās vadības sistēmas darbības algoritmu un vadības algoritmu.

Atkarībā no atsauces ietekmes izmaiņu rakstura laika gaitā ACS ir sadalīta trīs klasēs:

· stabilizējošs;

· programmatūra;

· izsekošana.

Stabilizējoša automatizēta vadības sistēma– sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu uzturēt kontrolētā daudzuma konstantu vērtību:

x(t) » x з = konst.(1.3)

Pierakstīties » nozīmē, ka kontrolētais daudzums tiek uzturēts noteiktā līmenī ar zināmu kļūdu.

Stabilizējošās automatizētās vadības sistēmas ir visizplatītākās rūpnieciskajā automatizācijā. Tos izmanto dažādu fizikālu lielumu stabilizēšanai, kas raksturo tehnoloģisko objektu stāvokli. Stabilizējošas automātiskās vadības sistēmas piemērs ir ierosmes vadības sistēma sinhronajam ģeneratoram (sk. 1.2. att.).

Programmatūras automatizēta vadības sistēma– sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu mainīt kontrolēto daudzumu saskaņā ar iepriekš noteiktu laika funkciju:

x(t) » x s (t) = f p (t).(1.4)

Programmatūras automatizētas vadības sistēmas piemērs ir sistēma sinhronā ģeneratora slodzes aktīvās jaudas regulēšanai elektrostacijā dienas laikā. Kontrolējamais daudzums sistēmā ir aktīvās slodzes jauda R R z(iestatījuma ietekme) ir definēta kā laika funkcija t dienas laikā (skat. 1.5. att.).

Rīsi. 1.5. Aktīvās jaudas atskaites maiņas likums

Izsekošanas automatizētā vadības sistēma– sistēma, kuras darbības algoritms satur norādījumu mainīt kontrolēto daudzumu atbilstoši iepriekš nezināmai laika funkcijai:

x(t) » x s (t) = f s (t).(1.5)

Izsekošanas automatizētās vadības sistēmas piemērs ir sistēma sinhronā ģeneratora slodzes aktīvās jaudas regulēšanai elektrostacijā dienas laikā. Kontrolējamais daudzums sistēmā ir aktīvās slodzes jauda Rģenerators Aktīvās jaudas atskaites maiņas likums R z(iestatījuma ietekmi) nosaka, piemēram, energosistēmas dispečers un dienas laikā ir nenoteikta rakstura.

Stabilizējot, programmējot un izsekojot automatizētās vadības sistēmas, kontroles mērķis ir nodrošināt kontrolētā daudzuma vienlīdzību vai tuvumu. x(t) līdz iestatītajai vērtībai x z (t). Šāda pārvaldība, kas veikta ar mērķi saglabāt

x(t) » x з (t),(1.6)

sauca regulējumu.

Vadības ierīci, kas veic regulēšanu, sauc regulators un pati sistēma - regulēšanas sistēma.

Atkarībā no ietekmes ķēdes konfigurācijas Pastāv trīs veidu automatizētās vadības sistēmas:

· ar atvērtu ietekmju ķēdi (atvērta sistēma);

· ar slēgtu ietekmju ķēdi (slēgta sistēma);

· ar kombinētu ietekmju ķēdi (kombinētā sistēma).

Atvērtā cikla automatizētā vadības sistēma– sistēma, kurā netiek veikta kontrolētā mainīgā lieluma kontrole, t.i. tās vadības ierīces ieejas ietekmes ir tikai ārējās (galvenās un traucējošās) ietekmes.

Atvērtā cikla automatizētās vadības sistēmas savukārt var iedalīt divos veidos:

· kontroles veikšana saskaņā ar izmaiņām tikai iestatījuma ietekmē (1.6. att., a);

· kontroles veikšana saskaņā ar izmaiņām gan iestatījumos, gan traucējošos iedarbībās (1.6. att., b).

Rīsi. 2.1. Signālu veidi

Pētot automatizētās vadības sistēmas un to elementus, virkne standarta signāli, zvanīja tipiskas ietekmes . Šīs ietekmes ir aprakstītas ar vienkāršām matemātiskām funkcijām, un tās ir viegli reproducējamas, pētot automatizētās vadības sistēmas. Standarta ietekmju izmantošana ļauj unificēt dažādu sistēmu analīzi un atvieglo to pārneses īpašību salīdzināšanu.

TAU visplašāk izmanto šādus tipiskos efektus:

· pakāpās;

· pulsējošs;

· harmonisks;

· lineārs.

Pakāpenisks trieciens– trieciens, kas acumirklī palielinās no nulles līdz noteiktai vērtībai un pēc tam paliek nemainīgs (2.2. att., a).

Rīsi. 2.2. Tipisko triecienu veidi

Pēc izejas vērtības izmaiņu rakstura laika gaitā Izšķir šādus ACS elementa režīmus:

· statisks;

· dinamisks.

Statiskais režīms– ACS elementa stāvoklis, kurā izejas vērtība laika gaitā nemainās, t.i., y(t) = const.

Ir skaidrs, ka statiskais režīms (vai līdzsvara stāvoklis) var rasties tikai tad, ja ievades ietekme ir nemainīga laikā. Sakarību starp ieejas un izvades lielumiem statiskā režīmā apraksta ar algebriskiem vienādojumiem.

Dinamiskais režīms– ACS elementa stāvoklis, kurā ievades daudzums laika gaitā nepārtraukti mainās, t.i., y(t) = var.

Dinamiskais režīms rodas, kad elementā pēc ieejas ietekmes pielietošanas notiek noteikta stāvokļa noteikšanas procesi vai noteiktas izejas vērtības izmaiņas. Šos procesus parasti apraksta ar diferenciālvienādojumiem.

Savukārt dinamiskie režīmi ir sadalīti:

· nestabils (pārejošs);

· vienmērīgs (kvazi-stabils).

Nestabils (pārejošs) režīms– režīms, kas pastāv no ieejas ietekmes maiņas brīža līdz brīdim, kad izejas vērtība sāk mainīties atbilstoši šīs ietekmes likumam.

Miera stāvoklis– režīms, kas rodas pēc tam, kad izejas vērtība sāk mainīties saskaņā ar to pašu likumu kā ievades efekts, t.i., tas notiek pēc pārejas procesa beigām.

Stabilā stāvoklī elements tiek pakļauts piespiedu kustībai. Ir skaidrs, ka statiskais režīms ir īpašs vienmērīgā (piespiedu) režīma gadījums plkst x(t) = konst.

Jēdzieni" pārejas režīms" Un " miera stāvoklis» ilustrē izvades vērtības izmaiņu grafiki y(t) ar divām tipiskām ievades ietekmēm x(t)(2.3. att.). Robeža starp pārejas Un izveidota režīmi ir parādīti ar vertikālu punktētu līniju.

Rīsi. 2.3. Pārejoši un līdzsvara režīmi tipisku triecienu gadījumā

2.3. Elementu statiskās īpašības

Elementu un automātiskās vadības sistēmu pārneses īpašības statiskā režīmā ir aprakstītas, izmantojot statiskos raksturlielumus.

Elementa statiskā īpašība– izlaides daudzuma atkarība y elements no ievades x

y = f(x) = y(x)(2.10)

vienmērīgā statiskā režīmā.

Konkrēta elementa statisko raksturlielumu var norādīt analītiskā formā (piemēram, y = kx 2) vai grafika veidā (2.4. att.).

Rīsi. 2.4. Elementa statiskā īpašība

Parasti saikne starp ievades un izvades lielumiem ir nepārprotama. Elementu ar šādu savienojumu sauc statisks (pozicionāls) (2.5. att. A). Neviennozīmīgs elements - astatiska (2.5. att. b).

Rīsi. 2.5. Statisko raksturlielumu veidi

Pamatojoties uz statisko raksturlielumu veidu, elementus iedala:

· lineārs;

· nelineārs.

Līnijas elements– elements, kuram ir statisks raksturlielums lineāras funkcijas veidā (2.6. att.):

y = b + ax.(2.11)

Rīsi. 2.6. Lineāro funkciju veidi

Nelineārs elements– elements ar nelineāru statisku raksturlielumu.

Nelineāro statisko raksturlielumu parasti analītiski izsaka pakāpju funkciju, pakāpju polinomu, daļskaitļu racionālo funkciju un sarežģītāku funkciju veidā (2.7. att.).

Rīsi. 2.7. Nelineāro funkciju veidi

Savukārt nelineāros elementus iedala:

· elementi ar ievērojami nelineāru statisko raksturlielumu;

· elementi ar nebūtiski nelineāru statisko raksturlielumu;

Neatbilstošs nelineārs statiskais raksturlielums– raksturlielums, ko raksturo nepārtraukta diferencējama funkcija.

Praksē šis matemātiskais nosacījums nozīmē, ka funkcijas grafiks y = f(x) jābūt gludai formai (2.5. att., A).Ierobežotā ievades vērtības izmaiņu diapazonā xšādu raksturlielumu var aptuveni aizstāt (tuvināt) ar lineāru funkciju. Tiek saukta aptuvena nelineāras funkcijas aizstāšana ar lineāru linearizācija. Nelineāra raksturlieluma linearizācija ir likumīga, ja elementa darbības laikā tā ievades vērtība mainās nelielā diapazonā ap noteiktu vērtību x = x 0.

Būtībā nelineāra statiskā reakcija– raksturlielums, ko apraksta funkcija, kurai ir novirzes vai pārtraukumi.

Būtiski nelineāra statiskā raksturlieluma piemērs ir releja raksturlielums (2.5. att., V), kas, sasniedzot ievades signālu x(strāva releja tinumā) ar kādu vērtību x 1 mainīs izejas signālu y(spriegums ieslēgtajā ķēdē) no līmeņa y 1 līdz līmenim y 2. Šāda raksturlieluma aizstāšana ar taisnu līniju ar nemainīgu slīpuma leņķi novestu pie nozīmīgs neatbilstība starp elementa matemātisko aprakstu un elementā notiekošo reālo fizisko procesu. Tāpēc būtībā nelineāro statisko raksturlielumu nevar linearizēt.

Gludu (neatbilstoši nelineāru) statisko raksturlielumu linearizāciju var veikt vai nu ar tangentes metode , vai līdz sekanta metode .

Tā, piemēram, linearizācija, izmantojot pieskares metodi, ir funkcijas paplašināšana y(x) intervālā ap noteiktu punktu x 0 Taylor sērijā un pēc tam ņemot vērā šīs sērijas pirmos divus nosacījumus:

y(x) » y(x 0) + y¢(x 0) (x – x 0),(2.12) kur y¢(x 0) – funkcijas atvasinājuma vērtība y(x) noteiktā punktā A ar koordinātām x 0 Un g 0 .

Rīsi. 2.8. Statiskā raksturlieluma linearizācija ar tangentes metodi

Analizējot automatizētās vadības sistēmas, ir ērti ņemt vērā lineāros statiskos raksturlielumus mainīgo lielumu novirzēs x Un y no vērtībām x 0 Un g 0:

Dy = y - y 0 ; (2.13)

Dx = x - x 0 . (2.14)

Rīsi. 2.9. Četrpola ķēde ar lineāriem elementiem

Nelineārs diferenciālvienādojums– vienādojums, kurā funkcija Ф satur mainīgo y(t), x(t) un to atvasinājumu reizinājumus, koeficientus, pakāpes utt.

Piemēram, ir aprakstītas četru portu tīkla pārsūtīšanas īpašības ar nelineāro rezistoru (2.10. att.). nelineārs formas diferenciālvienādojums

0. (2.18)

Rīsi. 2.10. Četru spaiļu ķēde ar nelineāru rezistoru

Lai funkcionētu F (diferenciālvienādojums) ietver arī saucamos daudzumus parametrus . Viņi saista argumentus kopā ( y(t), y¢(t),… y (n) (t); x(t),…x (m) (t), t) un raksturo elementa īpašības no kvantitatīvās puses. Piemēram, parametrus ir ķermeņa masa, aktīvā pretestība, vadītāja induktivitāte un kapacitāte utt.

Lielāko daļu reālo elementu apraksta ar nelineāriem diferenciālvienādojumiem, kas būtiski sarežģī turpmāko automatizētās vadības sistēmas analīzi. Tāpēc viņi cenšas pāriet no formas nelineāriem uz lineāriem vienādojumiem

Visiem reālajiem elementiem nosacījums m £ n ir izpildīts.

Likmes a 0, a 1 …a n Un b 0 , b 1 …b m vienādojumā (2.19) sauc parametrus. Dažreiz parametri mainās laika gaitā, tad elements tiek izsaukts nestacionārs vai ar mainīgiem parametriem . Tāds, piemēram, ir četru termināļu tīkls, kura diagramma ir parādīta attēlā. 2.10.

Tomēr turpmākajās diskusijās mēs apsvērsim tikai elementus ar pastāvīgs parametrus.

Ja, sastādot lineāro diferenciālvienādojumu, elementa statiskais raksturlielums tika linearizēts, tad tas ir spēkā tikai linearizācijas punkta tuvumā un ir ierakstāms mainīgo (2.13...2.16) novirzēs. Tomēr, lai vienkāršotu apzīmējumu, mainīgo novirzes linearizētajā vienādojumā tiks apzīmētas ar tādiem pašiem simboliem kā sākotnējā nelineārajā vienādojumā, bet bez simbola D .

Svarīgākā praktiskā priekšrocība lineārs vienādojums (2.19) ir izmantošanas iespēja superpozīcijas princips, saskaņā ar kuru izejas vērtības izmaiņas y(t), kas rodas, ja elements tiek pakļauts vairākiem ievades signāliem xi(t), ir vienāds ar izlaides daudzumu izmaiņu summu yi(t) ko izraisa katrs signāls xi(t) atsevišķi (2.11. att.).

Rīsi. 2.11. Superpozīcijas principa ilustrācija

2.4.2. Laika raksturlielumi

Diferenciālvienādojums nesniedz vizuālu elementa dinamisko īpašību attēlojumu, bet šādu attēlojumu nodrošina funkcija y(t), t.i., šī vienādojuma risinājums.

Tomēr vienam un tam pašam diferenciālvienādojumam var būt daudz risinājumu atkarībā no sākotnējiem nosacījumiem un ievades darbības veida x(t), kas ir neērti, salīdzinot dažādu elementu dinamiskās īpašības. Tāpēc tika nolemts raksturot tikai šīs elementa īpašības viens diferenciālvienādojuma atrisinājums, kas iegūts ar nulle sākotnējie nosacījumi un viens no tipisks ietekmes: viens solis, delta funkcija, harmoniska, lineāra. Elementa dinamisko īpašību vizuālo attēlojumu sniedz tā pārejas funkcija h(t).

Elementa pārejas funkcija h(t).– elementa izejas vērtības y(t) laika izmaiņas ar vienu darbību un nulles sākuma nosacījumiem.

Pārejas funkciju var norādīt:

· grafika veidā;

· analītiskā formā.

Pārejas funkcijai, tāpat kā jebkuram nehomogēna (ar labās puses) diferenciālvienādojuma (2.19) risinājumam, ir divas sastāvdaļas:

· piespiedu h in (t) (vienāds ar izvades daudzuma līdzsvara stāvokļa vērtību);

· brīvais h ar (t) (viendabīga vienādojuma risinājums).

Piespiedu komponentu var iegūt, atrisinot vienādojumu (2.19) ar nulle atvasinājumi un x(t) = 1

(2.20)

Mēs iegūstam brīvo komponentu, atrisinot vienādojumu (2.19) pie null labā puse

h ar (t) =(2.21)

Kur p k – raksturīgā vienādojuma k-tā sakne(parasti komplekss skaitlis); Ar k - k-to integrācijas konstanti(atkarīgs no sākotnējiem nosacījumiem).

Raksturīgais vienādojums– algebriskais vienādojums, kura pakāpe un koeficienti sakrīt ar lineārā diferenciālvienādojuma formas (2.19.) kreisās puses secību un koeficientiem.

a 0 p n + a 1 p n –1 +…+ a n = 0.(2.22)

2.4.3. Pārraides funkcija

Visizplatītākā metode automātiskās vadības sistēmu aprakstīšanai un analīzei ir darbības metode (operācijas aprēķinu metode), kas balstās uz tiešo integrālo Laplasa transformāciju nepārtrauktām funkcijām.

F(p) = Z{ f(t)} = f(t) e -pt dt . (2.23)

Šī transformācija nosaka atbilstību starp reāla mainīgā funkciju t un kompleksa mainīgā funkcija p = a + jb. Funkcija f(t), tiek izsaukts Laplasa integrālī (2.23). oriģināls, un integrācijas rezultāts ir funkcija F(p) – attēlu funkcijas f(t) saskaņā ar Laplasu.

Transformācija ir iespējama tikai vienādām funkcijām nulle plkst t< 0. Formāli šis nosacījums TAU tiek nodrošināts, reizinot funkciju f(t) uz soļa vienības funkciju 1 (t) vai izvēloties laika skaitīšanas sākumu no brīža līdz kuram f(t) = 0.

Laplasa transformācijas svarīgākās īpašības nulle Sākotnējie nosacījumi ir:

Z{ f¢(t)} = pF(p);(2.24)

Z{ f(t)dt} = F(p)/p.(2.25)

Darbības metode TAU ir kļuvusi plaši izplatīta, jo to izmanto, lai noteiktu t.s pārsūtīšanas funkcija, kas ir viskompaktākais elementu un sistēmu dinamisko īpašību aprakstīšanas veids.

Piemērojot tiešo Laplasa transformāciju diferenciālvienādojumam (2.19), izmantojot īpašību (2.24), iegūstam algebrisko vienādojumu

D(p)Y(p) = K(p)X(p),(2.26)

D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 +…+ a n - savs operators; (2.27)

K(p) = b 0 p m + b 1 p m-1 +…+ b m - ievades operators. (2.28)

Ieviesīsim pārsūtīšanas funkcijas jēdzienu.

Pārraides funkcija– izejas daudzuma attēla attiecība pret ievades daudzuma attēlu nulles sākuma apstākļos:

(2.29)

Tad, ņemot vērā vienādojumu (2.26) un apzīmējumu (2.27, 2.28), pārsūtīšanas funkcijas izteiksme iegūst šādu formu:

(2.30)

Mainīga vērtība p, W(p) iet uz bezgalību, sauc pārsūtīšanas funkcijas pols . Acīmredzot stabi ir pareizā operatora saknes D(p).

Mainīga vērtība p, pie kuras pārsūtīšanas funkcija W(p) iet uz nulli, sauc nulles pārsūtīšanas funkcija . Acīmredzot nulles ir ievades operatora saknes K(p).

Ja koeficients a 0 ¹ 0, tad pārsūtīšanas funkcijai nav nulles pola ( p = 0), ar to raksturotais elements tiek saukts astatiska un šī elementa pārsūtīšanas funkcija pie p = 0 (t = ¥) vienāds ar pārraides koeficients

(2.31)

2.4.4. Frekvences raksturlielumi

Frekvences raksturlielumi raksturo elementu un automātiskās vadības sistēmu pārneses īpašības līdzsvara stāvokļa harmonisko svārstību režīmā, ko izraisa ārējā harmoniskā ietekme. Tie atrod pielietojumu TAU, jo reālus traucējumus un līdz ar to arī elementa vai automātiskās vadības sistēmas reakcijas uz tiem var attēlot kā harmonisku signālu summu.

Apsvērsim būtība Un šķirnes frekvences raksturlielumi. Ļaujiet lineārā elementa ievadei (2.12. att., A) uz doto brīdi t = 0 pielietotā harmoniskā ietekme ar frekvenci w

x(t) = x m sinw t. (2.32)

Rīsi. 2.12. Diagramma un līknes, kas izskaidro frekvences raksturlielumu būtību

Pēc pārejas procesa pabeigšanas tiks izveidots piespiedu svārstību režīms un izejas vērtība y(t) mainīsies saskaņā ar to pašu likumu kā ievade x(t), bet vispārīgā gadījumā ar citu amplitūdu g m un ar fāzes nobīdi j pa laika asi attiecībā pret ieejas signālu (2.12. att., b):

y(t) = y m sin(w t + j) . (2.33)

Pēc līdzīga eksperimenta veikšanas, bet ar atšķirīgu biežumu w, var redzēt, ka amplitūda g m un fāzes nobīde j ir mainījušies, t.i., tie ir atkarīgi no frekvences. Varat arī pārliecināties, ka citam elementam parametru atkarības g m Un j no frekvences w citi. Tāpēc šādas atkarības var kalpot kā elementu dinamisko īpašību raksturojums.

TAU visbiežāk izmanto šādus frekvences raksturlielumus:

· amplitūdas frekvences reakcija (AFC);

· fāzes frekvences reakcija (PFC);

· amplitūdas fāzes frekvences reakcija (APFC).

Amplitūdas frekvences reakcija (AFC)– izejas un ieejas signālu amplitūdu attiecības atkarība no frekvences

Frekvences reakcija parāda, kā elements pārraida dažādu frekvenču signālus. Frekvences reakcijas piemērs ir parādīts attēlā. 2.13, A.

Rīsi. 2.13. Frekvences raksturlielumi:

A - amplitūda; b- fāze; V– amplitūda-fāze; g – logaritmisks

Fāzes frekvences reakcijas reakcija– fāzes nobīdes starp ieejas un izejas signāliem atkarība no frekvences.

Fāzes reakcijas raksturlielums parāda, cik lielu izejas signāla nobīdi vai virzību fāzē elements rada dažādās frekvencēs. Fāzes reakcijas piemērs ir parādīts attēlā. 2.13, b.

Amplitūdas un fāzes raksturlielumus var apvienot vienā kopīgā - amplitūdas fāzes frekvences reakcija (APFC). AFC ir sarežģīta mainīgā funkcija jw :

W(jw) = A(w) e j j (w) (eksponenciāla forma), (2.35)

Kur A(w)– funkciju modulis; j(w)– funkcijas arguments.

Katra fiksētās frekvences vērtība w i atbilst kompleksam skaitlim W(jw i), kuru kompleksajā plaknē var attēlot ar vektoru ar garumu A(w i) un griešanās leņķi j(wi)(2.13. att., V). Negatīvās vērtības j(w), kas atbilst izejas signāla nobīdei no ieejas signāla, parasti tiek skaitīts pulksteņrādītāja virzienā no reālās ass pozitīvā virziena.

Mainot frekvenci no nulles uz bezgalību