Arkhimédész törvénye: vízbe merített test. Szórakoztató Tudományok Akadémia. Fizika. Videó. Lebeg a tojás?

Az egyik első fizikai törvény, amelyet középiskolás diákok tanulmányoztak. Minden felnőtt legalább megközelítőleg emlékszik erre a törvényre, függetlenül attól, hogy milyen messze van a fizikától. De néha hasznos visszatérni a pontos definíciókhoz és megfogalmazásokhoz – és megérteni ennek a törvénynek az esetleg feledésbe merült részleteit.

Mit mond Arkhimédész törvénye?

Egy legenda szerint az ókori görög tudós fürdés közben fedezte fel híres törvényét. A színültig vízzel teli edénybe merülve Arkhimédész észrevette, hogy a víz kifröccsent – ​​és megvilágosodott, azonnal megfogalmazva a felfedezés lényegét.

Valószínűleg a valóságban más volt a helyzet, és a felfedezést hosszú megfigyelések előzték meg. De ez nem annyira fontos, mert mindenesetre Archimedesnek sikerült felfedeznie a következő mintát:

• bármilyen folyadékba merülve a testek és tárgyak egyszerre több többirányú, de a felületükre merőleges erőt fejtenek ki;
• ezeknek az erőknek a végső vektora felfelé irányul, így bármely tárgy vagy test, ha nyugalmi állapotban folyadékban találja magát, lökést tapasztal;
• ebben az esetben a felhajtóerő pontosan megegyezik azzal az együtthatóval, amelyet akkor kapunk, ha a tárgy térfogatának és a folyadék sűrűségének szorzatát megszorozzuk a szabadesés gyorsulásával.

Tehát Arkhimédész megállapította, hogy a folyadékba merített test olyan térfogatú folyadékot szorít ki, amely megegyezik a test térfogatával. Ha a testnek csak egy része van folyadékba merítve, akkor az kiszorítja a folyadékot, amelynek térfogata csak az elmerült rész térfogatával lesz egyenlő.

Ugyanez az elv vonatkozik a gázokra is - csak itt a test térfogatának korrelálnia kell a gáz sűrűségével.

Kicsit egyszerűbben is megfogalmazhat egy fizikai törvényt – az erő, amely egy tárgyat a folyadékból vagy gázból kiszorít, pontosan megegyezik annak a folyadéknak vagy gáznak a tömegével, amelyet ez a tárgy a merítés során kiszorít.

A törvény a következő képlet formájában van megírva:

Mi a jelentősége Arkhimédész törvényének?

Az ókori görög tudós által felfedezett minta egyszerű és teljesen nyilvánvaló. Ugyanakkor a mindennapi életben betöltött fontosságát nem lehet túlbecsülni.

A testek folyadékok és gázok általi tolásának ismeretének köszönhetően tudunk folyami és tengeri hajókat, valamint léghajókat és léggömböket építeni a repüléshez. A nehézfém hajók azért nem süllyednek el, mert tervezésük figyelembe veszi Arkhimédész törvényét és annak számos következményét – úgy vannak megépítve, hogy a víz felszínén lebeghessenek, és ne süllyedjenek el. A repülés hasonló elven működik - a levegő felhajtóerejét használják fel, így a repülés során mintegy könnyebbé válnak.

Kiegészítők

A gravitációs erővel ellentétes irányú felhajtó- vagy emelőerő hat a test által folyadékból vagy gázból kiszorított térfogat súlypontjára.

Általánosítások

Arkhimédész törvényének egy bizonyos analógja is érvényes minden olyan erőtérben, amely eltérően hat egy testre és egy folyadékra (gázra), vagy egy nem egyenletes térben. Ez például a tehetetlenségi erők mezőjére vonatkozik (például a centrifugális erőtérre) - a centrifugálás ezen alapul. Példa egy nem mechanikus természetű mezőre: a vákuumban lévő diamágneses anyag egy nagyobb intenzitású mágneses tér tartományából egy kisebb intenzitású területre tolódik el.

Arkhimédész törvényének levezetése tetszőleges alakú testre

Hidrosztatikus nyomás p (\displaystyle p) mélységben h (\displaystyle h), amelyet a folyadék sűrűsége fejt ki ρ (\displaystyle \rho ) a testen van p = ρ g h (\displaystyle p=\rho gh). Hagyja, hogy a folyadék sűrűsége ( ρ (\displaystyle \rho )) és a gravitációs térerősség ( g (\displaystyle g)) állandók, és h (\displaystyle h)- paraméter. Vegyünk egy tetszőleges alakú testet, amelynek térfogata nem nulla. Vezessünk be egy jobb oldali ortonormális koordináta-rendszert O x y z (\displaystyle Oxyz), és válassza ki a z tengely irányát úgy, hogy egybeessen a vektor irányával g → (\displaystyle (\vec (g))). A folyadék felületén a z tengely mentén nullát állítunk be. Válasszunk ki egy elemi területet a test felületén d S (\displaystyle dS). A testbe irányított folyadéknyomás erő hat rá, d F → A = − p d S → (\displaystyle d(\vec (F))_(A)=-pd(\vec (S))). A testre ható erő meghatározásához vigye át az integrált a felületre:

A felületi integrálról a térfogatintegrálra való átmenet során az általánosított értéket használjuk

És statikus gázok.

Enciklopédiai YouTube

• 1 / 5

  Arkhimédész törvénye a következőképpen fogalmazódik meg: a folyadékba (vagy gázba) merített testre a bemerült testrész térfogatában lévő folyadék (vagy gáz) tömegével megegyező felhajtóerő hat. Az erőt ún Arkhimédész erejével:

  F A = ​​ρ g V , (\displaystyle (F)_(A)=\rho (g)V,)

  Ahol ρ (\displaystyle \rho )- a folyadék (gáz) sűrűsége, g (\displaystyle (g)) a szabadesés gyorsulása, és V (\displaystyle V)- a víz alá süllyedt testrész (vagy a test térfogatának felszín alatti része) térfogata. Ha egy test a felszínen lebeg (egyenletesen mozog felfelé vagy lefelé), akkor a felhajtóerő (más néven arkhimédeszi erő) egyenlő nagyságú (és ellentétes irányú) a folyadék (gáz) térfogatára ható gravitációs erővel. a test elmozdítja, és ennek a térfogatnak a súlypontjára vonatkozik.

  Meg kell jegyezni, hogy a testet teljesen körül kell venni a folyadékkal (vagy kereszteznie kell a folyadék felületét). Így például Arkhimédész törvénye nem alkalmazható olyan kockára, amely egy tartály alján fekszik, és hermetikusan érinti az alját.

  Egy gázban, például levegőben lévő test esetében az emelőerő meghatározásához a folyadék sűrűségét a gáz sűrűségével kell helyettesíteni. Például egy hélium ballon felfelé repül, mivel a hélium sűrűsége kisebb, mint a levegő sűrűsége.

  Arkhimédész törvénye a hidrosztatikus nyomás különbségével magyarázható egy négyszögletes test példáján.

  P B − P A = ρ g h (\displaystyle P_(B)-P_(A)=\rho gh) F B − F A = ​​ρ g h S = ρ g V , (\displaystyle F_(B)-F_(A)=\rho ghS=\rho gV,)

  Ahol P A, P B- nyomás a pontokon AÉs B, ρ - folyadék sűrűsége, h- pontok közötti szintkülönbség AÉs B, S- a test vízszintes keresztmetszete, V- a bemerült testrész térfogata.

  Az elméleti fizikában Arkhimédész törvényét integrál formában is használják:

  F A =∬ S p d S (\megjelenítési stílus (F)_(A)=\iint \limits _(S)(p(dS))),

  Ahol S (\displaystyle S)- felszíni terület, p (\displaystyle p)- nyomás tetszőleges ponton, az integráció a test teljes felületén történik.

  Gravitációs tér hiányában, vagyis súlytalanság állapotában Arkhimédész törvénye nem működik. Az űrhajósok jól ismerik ezt a jelenséget. Különösen nulla gravitáció esetén nincs (természetes) konvekció jelensége, ezért például az űrhajók lakótereinek levegőhűtését és szellőztetését ventilátorok erőszakkal végzik.

  Általánosítások

  Arkhimédész törvényének egy bizonyos analógja is érvényes minden olyan erőtérben, amely eltérően hat egy testre és egy folyadékra (gázra), vagy egy nem egyenletes térben. Ez például a tehetetlenségi erők mezőjére vonatkozik (például centrifugális erő) - a centrifugálás ezen alapul. Példa egy nem mechanikus természetű mezőre: a vákuumban lévő diamágneses anyag egy nagyobb intenzitású mágneses tér tartományából egy kisebb intenzitású területre tolódik el.

  Arkhimédész törvényének levezetése tetszőleges alakú testre

  A folyadék hidrosztatikus nyomása a mélységben h (\displaystyle h) Van p = ρ g h (\displaystyle p=\rho gh). Ugyanakkor mérlegeljük ρ (\displaystyle \rho ) folyadékok és a gravitációs térerő állandó értékek, és h (\displaystyle h)- paraméter. Vegyünk egy tetszőleges alakú testet, amelynek térfogata nem nulla. Vezessünk be egy jobb oldali ortonormális koordináta-rendszert O x y z (\displaystyle Oxyz), és válassza ki a z tengely irányát úgy, hogy egybeessen a vektor irányával g → (\displaystyle (\vec (g))). A folyadék felületén a z tengely mentén nullát állítunk be. Válasszunk ki egy elemi területet a test felületén d S (\displaystyle dS). A testbe irányított folyadéknyomás erő hat rá, d F → A = − p d S → (\displaystyle d(\vec (F))_(A)=-pd(\vec (S))). A testre ható erő meghatározásához vigye át az integrált a felületre:

  F → A = − ∫ S p d S → = − ∫ S ρ g h d S → = − ρ g ∫ S h d S → = ∗ − ρ g ∫ V g r a d (h) d V = ∗ ∗ − ρ g ∫ V e → z d V = − ρ g e → z ∫ V d V = (ρ g V) (− e → z) (\displaystyle (\vec (F))_(A)=-\int \limits _(S)(p \,d(\vec (S)))=-\int \limits _(S)(\rho gh\,d(\vec (S)))=-\rho g\int \limits _(S)( h\,d(\vec (S)))=^(*)-\rho g\int \limits _(V)(grad(h)\,dV)=^(**)-\rho g\int \limits _(V)((\vec (e))_(z)dV)=-\rho g(\vec (e))_(z)\int \limits _(V)(dV)=(\ rho gV)(-(\vec (e))_(z)))

  Amikor a felületi integrálról a térfogatintegrálra lépünk, az általánosított Ostrogradsky-Gauss tételt használjuk.

  ∗ h (x, y, z) = z; ∗ ∗ g r a d (h) = ∇ h = e → z (\displaystyle ()^(*)h(x,y,z)=z;\quad ^(**)grad(h)=\nabla h=( \vec (e))_(z))

  Azt találjuk, hogy az Arkhimédész erő modulusa egyenlő ρ g V (\displaystyle \rho gV), és a gravitációs térintenzitásvektor irányával ellentétes irányba irányul.

  Egy másik megfogalmazás (hol ρ t (\displaystyle \rho _(t))- testsűrűség, ρ s (\displaystyle \rho _(s))- a közeg sűrűsége, amelybe belemerül).

  8. szám

  A Szórakoztató Tudományok Akadémia fizika videóóráján Daniil Edisonovics professzor az ókori görög tudósról, Arkhimédészről és néhány csodálatos felfedezéséről fog beszélni. Honnan tudod, hogy az arany tiszta? Hogyan úsznak a többtonnás hajók az óceán hullámain? Életünk tele van rejtélyes jelenségekkel és trükkös rejtvényekkel. Néhányukhoz a fizika támpontokat adhat. A nyolcadik fizika videó óra megtekintése után megismerkedhet Arkhimédész törvényével és Arkhimédész erejével, valamint felfedezésük történetével.

  Arkhimédész törvénye

  Miért kisebbek a tárgyak a vízben, mint a szárazföldön? Egy személy számára a vízben való tartózkodás a súlytalansághoz hasonlítható. Az űrhajósok ezt használják kiképzésük során. De miért történik ez? A tény az, hogy a vízbe merített testek felhajtóerőnek vannak kitéve, amelyet az ókori görög filozófus, Arkhimédész fedezett fel. Arkhimédész törvénye így hangzik: a folyadékba merített test annyi súlyt veszít, amennyit kiszorít a víz térfogatából. A felhajtóerőt Archimedesnek nevezték el, a felfedező tiszteletére. Archimedes az ókori Görögország egyik legnagyobb tudósa volt. Ez a zseniális matematikus és szerelő Szirakuzában élt a Kr.e. 3. században. e. Ebben az időben Hiero király uralkodott Siracusában. Egy napon Hieron, miután megkapta a kézművesektől rendelt aranykoronát, kételkedett tisztességükben. Úgy tűnt neki, hogy az előállításhoz adott arany egy részét elrejtették, és ezüsttel helyettesítették. De hogyan kaphatják el az ékszerészeket a hamisításon? Hiero utasította Arkhimédészt, hogy állapítsa meg, van-e ezüstkeverék az aranykoronában. Arkhimédész folyamatosan megoldást keresett a problémára, és soha nem állt meg ezen gondolkodni, amikor más dolgokat csinált. És meglett a megoldás... a fürdőben. Arkhimédész hamuval beszappanozta magát, és bemászott a fürdőkádba. És történt valami, ami minden alkalommal megtörténik, amikor bárki, még egy tudós sem, leül bármelyik fürdőkádba, még csak nem is egy márványba - a víz felemelkedik benne. De valami, amire Arkhimédész általában nem figyelt, hirtelen felkeltette. Felállt - leesett a vízszint, újra leült - a víz felemelkedett; és a test süllyedésével emelkedett. És abban a pillanatban felvirradt Arkhimédészre. Az elvégzett kísérletben tucatszor látott utalást arra, hogy a test térfogata hogyan viszonyul a súlyához. És rájöttem, hogy Hieron király feladata megoldható. És annyira boldog volt a véletlen felfedezésén, hogy meztelenül, hamumaradványokkal a testén, hazarohant a városon keresztül, és tele kiáltásokkal az utcát: „Eureka! Eureka!". A legenda szerint Arkhimédész így találta meg a megoldást Hiero problémájára. Arkhimédész két tuskót kért a királytól - ezüstöt és aranyat. Mindegyik tuskó súlya megegyezett a korona súlyával. Miután először egy ezüst, majd egy arany tuskót helyezett egy színültig vízzel töltött edénybe, a tudós megmérte az egyes tuskó által kiszorított víz térfogatát. Az arany kevesebb vizet szorított ki, mint az ezüst. És mindez azért, mert egy aranydarab térfogata kisebb volt, mint egy azonos súlyú ezüstdarab. Végül is az arany nehezebb, mint az ezüst. Arkhimédész ezután belemerítette a koronát az edénybe, és megmérte az általa kiszorított víz térfogatát. A korona kevesebb vizet szorított ki, mint egy ezüsttömb. de több mint egy rúd arany. Így kiderült az ékszerész csalása. Arkhimédész erejének köszönhetően több százezer tonnás óriáshajók is képesek vitorlázni. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy nagy elmozdulásuk van. Vagyis térfogatuk olyan, hogy hatalmas mennyiségű vizet kiszorít. És amint emlékszel, minél nagyobb a test térfogata, annál erősebb az Arkhimédész-erő hat rá.

  A folyadékban lévő különböző tárgyak eltérően viselkednek. Néhányan megfulladnak, mások a felszínen maradnak és lebegnek. Hogy ez miért történik, azt Arkhimédész törvénye magyarázza, amelyet nagyon szokatlan körülmények között fedezett fel, és a hidrosztatika alaptörvényévé vált.

  Hogyan fedezte fel Arkhimédész a törvényét

  

  A legenda szerint Arkhimédész véletlenül fedezte fel törvényét. Ezt a felfedezést pedig a következő esemény előzte meg.

  Hiero szirakúzai király, aki 270-215 között uralkodott. Kr.e. meggyanúsította ékszerészét, hogy bizonyos mennyiségű ezüstöt kevert az általa megrendelt aranykoronába. A kétségek eloszlatására Arkhimédészt kérte, hogy erősítse meg vagy cáfolja meg gyanúját. Arkhimédészt igazi tudósként lenyűgözte ez a feladat. Megoldásához meg kellett határozni a korona súlyát. Hiszen ha ezüstöt kevernének bele, akkor más lenne a súlya, mint ha tiszta aranyból lenne. Az arany fajsúlya ismert volt. De hogyan kell kiszámítani a korona térfogatát? Végül is szabálytalan geometriai alakja volt.

  A legenda szerint egy napon Arkhimédész fürdés közben egy problémán gondolkodott, amit meg kellett oldania. A tudós hirtelen észrevette, hogy a fürdőkád vízszintje magasabb lett, miután elmerült benne. Ahogy emelkedett, a víz szintje csökkent. Arkhimédész észrevette, hogy testével bizonyos mennyiségű vizet szorít ki a fürdőből. És ennek a víznek a térfogata megegyezett a saját testének térfogatával. És akkor rájött, hogyan oldja meg a problémát a koronával. Elég csak egy vízzel teli edénybe meríteni és megmérni a kiszorított víz térfogatát. Azt mondják, annyira boldog volt, hogy "Eureka!" („Megtaláltam!”) fel sem öltözve ugrott ki a fürdőből.

  Nem számít, hogy ez valóban megtörtént-e vagy sem. Arkhimédész megtalálta a módját a bonyolult geometriai alakzatú testek térfogatának mérésére. Először a fizikai testek sűrűségnek nevezett tulajdonságaira hívta fel a figyelmet, nem egymással, hanem a víz súlyával hasonlítva össze őket. De ami a legfontosabb, nyitva állt előttük felhajtóerő elve .

  Arkhimédész törvénye

  

  Tehát Arkhimédész megállapította, hogy a folyadékba merített test olyan térfogatú folyadékot szorít ki, amely megegyezik a test térfogatával. Ha a testnek csak egy része van folyadékba merítve, akkor az kiszorítja a folyadékot, amelynek térfogata csak az elmerült rész térfogatával lesz egyenlő.

  Magára a folyadékban lévő testre pedig olyan erő hat, amely a felszínre löki. Értéke megegyezik az általa kiszorított folyadék tömegével. Ezt az erőt ún Arkhimédész erejével .

  Folyadék esetén Arkhimédész törvénye így néz ki: a folyadékba merült testre felfelé irányuló felhajtóerő hat, amely egyenlő a test által kiszorított folyadék tömegével.

  Az Archimedes-erő nagyságát a következőképpen számítjuk ki:

  F A = ρ ɡ V ,

  Ahol ρ - folyadék sűrűsége,

  ɡ - a gravitáció gyorsulása

  V – a folyadékba merített test térfogata, vagy a test térfogatának a folyadék felszíne alatt elhelyezkedő része.

  Az Archimedes-erő mindig a térfogat súlypontjára vonatkozik, és a gravitációs erővel ellentétes irányban irányul.

  Azt kell mondani, hogy ennek a törvénynek a teljesüléséhez egy feltételnek kell teljesülnie: a test vagy metszi a folyadék határát, vagy minden oldalról körülveszi ez a folyadék. A fenéken fekvő és hermetikusan hozzáérő testre Arkhimédész törvénye nem érvényes. Tehát, ha az aljára teszünk egy kockát, amelynek az egyik lapja szorosan érintkezik az aljával, nem fogjuk tudni alkalmazni Arkhimédész törvényét.

  Arkhimédész erejét is nevezik felhajtóerő .

  Ez az erő természeténél fogva a folyadékból a belemerült test felületére ható összes nyomóerő összege. A felhajtóerő a folyadék különböző szintjein lévő hidrosztatikus nyomás különbségéből adódik.

  

  Tekintsük ezt az erőt egy kocka vagy paralelogramma alakú test példáján.

  P 2 – P 1 = ρ ɡ h

  F A = ​​​​F 2 – F 1 = ρɡhS = ρɡhV

  Arkhimédész törvénye a gázokra is vonatkozik. De ebben az esetben a felhajtóerőt emelőerőnek nevezzük, és ennek kiszámításához a képletben a folyadék sűrűségét a gáz sűrűségével helyettesítjük.

  A test lebegő állapota

  A gravitáció és az Arkhimédész-erő értékeinek aránya határozza meg, hogy a test lebeg, süllyed vagy lebeg.

  Ha az Arkhimédész-erő és a gravitációs erő egyenlő nagyságú, akkor egy folyadékban lévő test egyensúlyi állapotban van, amikor nem úszik fel és nem süllyed. Állítólag folyadékban úszik. Ebben az esetben F T = F A .

  

  Ha a gravitációs erő nagyobb, mint Arkhimédész ereje, a test elsüllyed vagy elsüllyed.

  Itt F T˃ F A .

  

  És ha a gravitáció értéke kisebb, mint Arkhimédész ereje, a test felúszik. Ez akkor történik, amikor F T˂ F A .

  

  De nem úszik fel a végtelenségig, hanem csak addig a pillanatig, amíg a gravitációs ereje és Arkhimédész ereje egyenlővé válik. Ezt követően a test lebegni fog.

  Miért nem fullad meg minden test?

  

  Ha vízbe teszünk két azonos alakú és méretű rudat, amelyek közül az egyik műanyag, a másik acél, akkor láthatjuk, hogy az acélrúd elsüllyed, míg a műanyag rúd a felszínen marad. Ugyanez történik, ha bármilyen más, azonos méretű és alakú, de eltérő súlyú tárgyat, például műanyag és fém golyókat vesz. A fémgolyó lesüllyed az aljára, és a műanyag golyó lebeg.

  De miért viselkednek másképp a műanyag és az acélrudak? Hiszen a mennyiségük megegyezik.

  Igen, a térfogatok azonosak, de maguk a rudak különböző anyagokból készülnek, amelyek különböző sűrűségűek. Ha pedig az anyag sűrűsége nagyobb, mint a víz sűrűsége, akkor a tömb elsüllyed, ha pedig kisebb, akkor lebeg, amíg el nem éri a víz felszínét. Ez nem csak a vízre igaz, hanem minden más folyadékra is.

  Ha a test sűrűségét jelöljük P t , és annak a közegnek a sűrűsége, amelyben található P s , akkor ha

  P t ˃ Ps (a test sűrűsége nagyobb, mint a folyadék sűrűsége) – a test elsüllyed,

  Pt = Ps (a test sűrűsége megegyezik a folyadék sűrűségével) – a test lebeg a folyadékban,

  P t ˂ Ps (a test sűrűsége kisebb, mint a folyadék sűrűsége) – a test felfelé úszik, amíg el nem éri a felszínt. Utána lebeg.

  Arkhimédész törvénye még a súlytalanság állapotában sem teljesül. Ebben az esetben nincs gravitációs mező, és ezért nincs gravitációs gyorsulás.

  A folyadékba merített testnek azt a tulajdonságát, hogy egyensúlyban marad anélkül, hogy lebegne vagy süllyedne tovább, nevezzük felhajtóerő .