Hogyan készítsünk beolvasást - egy adott méretű kúp vagy csonka kúp mintája. Egyszerű sweep számítás. A kúp térfogata, számítása A kúp bajuszának térfogata

A geometriai testek sokfélesége közül az egyik legérdekesebb a kúp. Egy derékszögű háromszög forgatásával jön létre az egyik lába körül.

Hogyan találjuk meg a kúp térfogatát - alapfogalmak

Mielőtt elkezdené a kúp térfogatának kiszámítását, meg kell ismerkednie az alapfogalmakkal.

• Kör alakú kúp - egy ilyen kúp alapja egy kör. Ha az alap ellipszis, parabola vagy hiperbola, akkor az ábrákat elliptikus, parabolikus vagy hiperbolikus kúpoknak nevezzük. Érdemes megjegyezni, hogy az utolsó két kúptípus végtelen térfogatú.
• A csonka kúp egy kúp része, amely az alap és az alappal párhuzamos sík között helyezkedik el, a teteje és az alapja között.
• Magasság - az alapra merőleges szegmens, felülről szabadítva.
• A kúp generatrixa egy szegmens, amely összeköti az alap és a csúcs határát.

Kúp térfogata

A kúp térfogatának kiszámításához a V=1/3*S*H képletet használjuk, ahol S az alapterület, H a magasság. Mivel a kúp alapja egy kör, területét az S= nR^2 képlet határozza meg, ahol n = 3,14, R a kör sugara.

Előfordulhat olyan helyzet, amikor néhány paraméter ismeretlen: magasság, sugár vagy generatrix. Ebben az esetben érdemes a Pitagorasz-tételhez folyamodni. A kúp tengelyirányú metszete egy egyenlő szárú háromszög, amely két derékszögű háromszögből áll, ahol l a hipotenusz, H és R pedig a lábak. Ekkor l=(H^2+R^2)^1/2.

Csonkakúp térfogata

A csonka kúp egy levágott tetejű kúp.

Egy ilyen kúp térfogatának meghatározásához a következő képletre van szüksége:

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

ahol n=3,14, r a metszetkör sugara, R a nagy alap sugara, H a magasság.

A csonka kúp tengelyirányú metszete egyenlő szárú trapéz lesz. Ezért, ha meg kell találni egy kúp generatrixának hosszát vagy valamelyik kör sugarát, akkor érdemes képletekkel megkeresni a trapéz oldalait és alapjait.

Határozzuk meg egy kúp térfogatát, ha magassága 8 cm, az alap sugara pedig 3 cm.

Adott: H=8 cm, R=3 cm.

Először keresse meg az alap területét az S=nR^2 képlet alkalmazásával.

S=3,14*3^2=28,26cm^2

Most a V=1/3*S*H képlet segítségével megtaláljuk a kúp térfogatát.

V=1/3*28,26*8=75,36 cm^3

Kúp alakú figurák mindenhol megtalálhatók: parkolókúpok, épülettornyok, lámpabúra. Ezért a kúp térfogatának megtalálása néha jól jöhet mind a szakmai, mind a mindennapi életben.

A „minta” szó helyett néha „sweep” is előfordul, de ez a kifejezés kétértelmű: például a dörzsár egy furat átmérőjének növelésére szolgáló eszköz, az elektronikai technikában pedig a dörzsár fogalma. Ezért, bár köteles vagyok a „kúpseprés” szavakat használni, hogy a keresőmotorok ezeket a cikket megtalálják, a „minta” szót fogom használni.

A kúp mintájának elkészítése egyszerű dolog. Tekintsünk két esetet: egy teljes kúp és egy csonka kúp esetében. A képen (kattints a kinagyításhoz) az ilyen kúpok és mintáik vázlatai láthatók. (Rögtön megjegyzem, hogy csak kerek alappal rendelkező egyenes kúpokról beszélünk. A következő cikkekben az ovális alappal és ferde kúpokkal foglalkozunk).

1. Teljes kúpos

Megnevezések:

A mintaparaméterek kiszámítása a következő képletekkel történik:
;
;
ahol .

2. Csonkakúp

Megnevezések:

Képletek a mintaparaméterek kiszámításához:
;
;
;
ahol .
Megjegyzendő, hogy ezek a képletek a teljes kúpra is alkalmasak, ha behelyettesítjük.

Néha egy kúp megalkotásakor a csúcsánál (vagy a képzeletbeli csúcsnál, ha a kúp csonka) a szög értéke alapvető. A legegyszerűbb példa az, amikor szüksége van egy kúpnak, hogy szorosan illeszkedjen a másikba. Jelöljük ezt a szöget betűvel (lásd a képet).
Ebben az esetben használhatjuk a három bemeneti érték valamelyike ​​helyett: , vagy . Miért "együtt ról ről", nem együtt e"? Mert három paraméter elegendő egy kúp felépítéséhez, és a negyedik értékét a másik három értékei alapján számítják ki. Hogy miért pont három, és nem kettő vagy négy, az a kérdés, amely túlmutat e cikk keretein. Egy titokzatos hang azt mondja nekem, hogy ez valahogy összefügg a „kúp” objektum háromdimenziósságával. (Hasonlítsa össze a kétdimenziós körszakasz objektum két kezdeti paraméterével, amelyből a cikkben az összes többi paraméterét kiszámítottuk.)

Az alábbiakban bemutatjuk azokat a képleteket, amelyekkel a kúp negyedik paramétere meghatározható, ha három adott.

4. Mintázat készítésének módszerei

• Számolja ki az értékeket a számológépen, és készítsen mintát papírra (vagy közvetlenül fémre) iránytű, vonalzó és szögmérő segítségével.
• Írja be a képleteket és a forrásadatokat egy táblázatba (például Microsoft Excel). A kapott eredményt egy grafikus szerkesztő (például CorelDRAW) segítségével minta készítésére használják.
• használd a programomat, ami a képernyőre rajzol és kiír egy mintát egy kúphoz a megadott paraméterekkel. Ez a minta vektorfájlként menthető és importálható a CorelDRAW-ba.

5. Nem párhuzamos alapok

Ami a csonka kúpokat illeti, a Cones program továbbra is olyan kúpokhoz készít mintákat, amelyeknek csak párhuzamos alapjaik vannak.
Azok számára, akik keresik a módját, hogyan készítsenek csonka kúpmintát nem párhuzamos alapokkal, az alábbi linket az egyik oldal látogatója adta:
Csonka kúp, nem párhuzamos alapokkal.

A kúp felületének kialakulása egy lapos alakzat, amelyet úgy kapunk, hogy a kúp oldalfelületét és alapját egy bizonyos síkkal kombináljuk.

Sweep építési lehetőségek:

Jobb körkúp kialakítása

A jobb oldali körkúp oldalfelületének kialakulása egy körszektor, amelynek sugara megegyezik az l kúpos felület generatrixának hosszával, és a φ középponti szöget a φ=360*R/ képlet határozza meg. l, ahol R a kúp alapja kerületének sugara.

A leíró geometria számos problémájában az előnyös megoldás a kúp közelítése (helyettesítése) egy beleírt gúlával, és egy hozzávetőleges sweep felépítése, amelyen kényelmesen lehet kúpos felületen fekvő vonalakat húzni.

Építési algoritmus

1. A kúpos felületbe sokszögű gúlát írunk. Minél több oldallapja van a beírt piramisnak, annál pontosabb a megfelelés a tényleges és a hozzávetőleges letapogatás között.
2. Háromszög módszerrel elkészítjük a piramis oldalfelületének fejlesztését. A kúp alapjához tartozó pontokat sima görbe köti össze.

Példa

Az alábbi ábrán egy szabályos hatszögletű SABCDEF piramis van beírva egy derékszögű körkúpba, és oldalfelületének hozzávetőleges alakulása hat egyenlő szárú háromszögből áll - a piramis lapjaiból.

Tekintsünk egy S 0 A 0 B 0 háromszöget. S 0 A 0 és S 0 B 0 oldalainak hossza megegyezik a kúpos felület l generatrixával. Az A 0 B 0 érték az A'B' hossznak felel meg. Az S 0 A 0 B 0 háromszög felépítéséhez a rajz tetszőleges helyén félretesszük az S 0 A 0 =l szakaszt, amely után S 0 B 0 =l és A 0 B 0 = sugarú köröket rajzolunk. A'B' az S 0 és A 0 pontokból. A B 0 körök metszéspontját összekötjük A 0 és S 0 pontokkal.

A SABCDEF piramis S 0 B 0 C 0, S 0 C 0 D 0, S 0 D 0 E 0, S 0 E 0 F 0, S 0 F 0 A 0 lapjai az S 0 A 0 háromszöghöz hasonlóan épülnek fel. B 0.

A kúp alján fekvő A, B, C, D, E és F pontokat egy sima görbe köti össze - egy körív, amelynek sugara l.

Ferde kúpfejlődés

Tekintsük a ferde kúp oldalsó felületének közelítési módszerrel történő sweepjének megalkotásának eljárását.

Algoritmus

1. A kúp alapjának körébe beírjuk az 123456 hatszöget, kössük össze az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 pontokat az S csúcsgal. Az így megszerkesztett S123456 gúla bizonyos közelítéssel a kúpos felület helyettesítője, és így további konstrukciókban használatos.
2. A piramis éleinek természetes értékeit a vetületi vonal körüli forgatás módszerével határozzuk meg: a példában az i-tengelyt használjuk, amely merőleges a vízszintes vetítési síkra és áthalad az S csúcson.
   Tehát az S5 él elforgatása következtében új, S'5' 1 vízszintes vetülete olyan helyzetbe kerül, amelyben párhuzamos a π 2 homloksíkkal. Ennek megfelelően S''5'' 1 az S5 természetes értéke.
3. Megszerkesztjük az S123456 gúla oldalfelületének hat háromszögből álló fejlesztését: 0 1 0 . Minden háromszög felépítése három oldalon történik. Például △S 0 1 0 6 0 hossza S 0 1 0 =S''1'' 0, S 0 6 0 =S''6'' 1, 1 0 6 0 =1'6'.

A hozzávetőleges sweep és a tényleges megfelelési fok a beírt gúla lapjainak számától függ. Az arcok számát a rajz könnyű olvashatósága, a pontosság követelményei, a jellegzetes pontok és vonalak megléte alapján választják ki, amelyeket át kell vinni a szkennelésbe.

Egy vonal átvitele a kúp felületéről egy fejlesztésre

A kúp felületén fekvő n egyenes egy bizonyos síkkal való metszés eredményeként jön létre (alábbi ábra). Tekintsük az n egyenes felépítésének algoritmusát a sweepen.

Algoritmus

1. Határozzuk meg az A, B és C pontok vetületeit, amelyekben az n egyenes metszi az S123456 kúpba írt gúla éleit!
2. Az SA, SB, SC szakaszok tényleges méretét a vetületi vonal körüli elforgatással határozzuk meg. Ebben a példában SA=S''A'', SB=S''B''1, SC=S''C''1.
3. Az S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 szakaszokat félretéve a gúla megfelelő élein megtaláljuk az A 0, B 0, C 0 pontok helyzetét, S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. Az A 0, B 0, C 0 pontokat sima vonallal kötjük össze.

Csonkakúp fejlődése

A jobb oldali kör alakú csonkakúp sweepének elkészítésére szolgáló, alább ismertetett módszer a hasonlóság elvén alapul.

A geometriában a csonka kúp olyan test, amely egy téglalap alakú trapéznak az alapra merőleges oldala körüli elforgatásával jön létre. Hogyan számolnak csonkakúp térfogata, mindenki ismeri az iskolai geometria tanfolyamról, és a gyakorlatban ezt az ismeretet gyakran használják különféle gépek és mechanizmusok tervezői, egyes fogyasztási cikkek fejlesztői, valamint építészek.

Csonkakúp térfogatának kiszámítása

A csonka kúp térfogatának kiszámításának képlete

A csonka kúp térfogatát a következő képlettel számítjuk ki:

h- kúp magassága

r- a felső alap sugara

R- alsó alapsugár

V- a csonkakúp térfogata

π - 3,14

Olyan geometriai testekkel, mint csonka kúpok, a mindennapi életben mindenki elég gyakran találkozik, ha nem is folyamatosan. Formájukban a mindennapi életben széles körben használt tartályok széles választéka található: vödrök, poharak, néhány pohár. Magától értetődik, hogy a tervezők, akik kifejlesztették őket, bizonyára olyan képletet használtak, amely kiszámítja csonkakúp térfogata, mivel ez az érték ebben az esetben nagyon fontos, mert meghatároz egy olyan fontos jellemzőt, mint a termék kapacitása.

Mérnöki szerkezetek, amelyek csonka kúpok, gyakran látható nagy ipari vállalkozásoknál, valamint hő- és atomerőműveknél. Ez a formája a hűtőtornyoknak – olyan eszközök, amelyek nagy mennyiségű víz hűtésére szolgálnak a légköri levegő ellenáramának kikényszerítésével. Leggyakrabban ezeket a kialakításokat olyan esetekben használják, amikor nagy mennyiségű folyadék hőmérsékletét rövid időn belül jelentősen csökkenteni kell. Ezen struktúrák fejlesztőinek meg kell határozniuk csonkakúp térfogata a számítási képlet meglehetősen egyszerű, és mindenki számára ismert, aki valaha jól tanult a középiskolában.

Az ilyen geometriai alakzatú részletek gyakran megtalálhatók a különféle műszaki eszközök tervezésében. Például az olyan rendszerekben használt fogaskerekek, ahol meg kell változtatni a kinetikus átvitel irányát, leggyakrabban kúpfogaskerekekkel valósítják meg. Ezek az alkatrészek a sebességváltók széles választékának, valamint a modern autókban használt automata és kézi sebességváltóknak szerves részét képezik.

A csonka kúp alakjában vannak olyan vágószerszámok, amelyeket széles körben használnak a gyártásban, például marószerszámok. Segítségükkel megmunkálhatja a ferde felületeket egy bizonyos szögben. Fém- és famegmunkáló berendezések maróinak élezéséhez gyakran használnak csiszolókorongokat, amelyek szintén csonka kúpok. Kívül, csonkakúp térfogata meg kell határozni az eszterga- és marógépek tervezőit, amelyek kúpos szárral felszerelt forgácsolószerszám (fúró, dörzsára stb.) rögzítését foglalják magukban.