Végtelenül csökkenő geometriai progresszió online. A háziorvos első n tagjának összegének képlete. Problémák a kamatos kamat számításánál

SZÁMSZORVÁNYOK VI

l48. §. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege

Mostanáig, ha összegekről beszélünk, mindig azt feltételeztük, hogy ezekben az összegekben a tagok száma véges (például 2, 15, 1000 stb.). De bizonyos feladatok (különösen a felsőbb matematika) megoldása során végtelen számú tag összegével kell számolni.

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Mik ezek az összegek? Definíció szerint végtelen számú tag összege a 1 , a 2 , ..., a n , ... az S összeg határának nevezzük n első P számok mikor P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Limit (2) természetesen létezhet vagy nem. Ennek megfelelően az (1) összegről azt mondjuk, hogy létezik vagy nem létezik.

Hogyan lehet megtudni, hogy az (1) összeg minden egyes esetben létezik-e? A kérdés általános megoldása messze túlmutat programunk keretein. Van azonban egy fontos különleges eset, amelyet most figyelembe kell vennünk. Egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió tagjainak összegzéséről lesz szó.

Hadd a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió. Ez azt jelenti, hogy | q |< 1. Сумма первых P tagja ennek a progressziónak egyenlő

A változók határaira vonatkozó alaptételekből (lásd 136. §) a következőket kapjuk:

De 1 = 1, a q n = 0. Ezért

Tehát egy végtelenül csökkenő geometriai haladás összege egyenlő ennek a haladásnak az első tagjával, osztva eggyel mínusz ennek a haladásnak a nevezője.

1) Az 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... geometriai haladás összege

és egy geometriai progresszió összege 12; -6; 3; - 3/2, ... egyenlő

2) Egy egyszerű periodikus tört 0,454545 ... közönséges törtté alakul.

A probléma megoldásához ezt a törtet végtelen összegként ábrázoljuk:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldala egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összege, melynek első tagja 45/100, nevezője pedig 1/100. Ezért

A leírt módon beszerezhető az egyszerű periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §):

Egy egyszerű periódusos tört közönségessé alakításához a következőképpen kell eljárnia: a tizedes tört periódusát írja be a számlálóba, a nevezőbe pedig - egy kilencből álló számot, ahány számjegy van a periódusban. a tizedes tört.

3) Vegyes periodikus tört 0,58333 .... közönséges törtté alakul.

Képzeljük el ezt a törtet végtelen összegként:

Ennek az egyenlőségnek a jobb oldalán minden tag 3/1000-től kezdve végtelenül csökkenő geometriai progressziót alkot, melynek első tagja 3/1000, nevezője pedig 1/10. Ezért

A leírt módon beszerezhető a vegyes periodikus törtek közönséges törtekké való átalakításának általános szabálya is (lásd II. fejezet, 38. §). Szándékosan nem vesszük ide. Nem szükséges megjegyezni ezt a nehézkes szabályt. Sokkal hasznosabb tudni, hogy bármely kevert periodikus tört ábrázolható egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió és valamilyen szám összegeként. És a képlet

egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegéhez természetesen emlékeznünk kell.

Gyakorlatként felkérjük Önt, hogy az alábbi 995-1000-es számú problémák mellett ismét forduljon a 301. számú probléma 38. §-ához.

Feladatok

995. Mit nevezünk egy végtelenül csökkenő geometriai progresszió összegének?

996. Keresse meg a végtelenül csökkenő geometriai progressziók összegét:

997. Milyen értékekre x progresszió

végtelenül csökken? Keresse meg egy ilyen haladás összegét.

998. Egyenlő oldalú háromszögben a egy új háromszöget írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a háromszögbe ugyanúgy új háromszöget írunk, és így tovább a végtelenségig.

a) ezen háromszögek kerületeinek összege;

b) területeik összege.

999. Egy oldallal rendelkező négyzetben a új négyzetet írunk fel oldalai felezőpontjainak összekapcsolásával; ebbe a négyzetbe ugyanúgy négyzetet írnak, és így tovább a végtelenségig. Határozzuk meg ezen négyzetek kerületének összegét és területük összegét!

1000. Készíts végtelenül csökkenő geometriai progressziót úgy, hogy összege 25/4, tagjai négyzetösszege pedig 625/24 legyen.

A geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden következő tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal.

A geometriai progresszió fogalma

A geometriai progressziót b1,b2,b3, …, bn, … jelöli.

A geometriai hiba bármely tagjának az előző tagjához viszonyított aránya azonos számmal, azaz b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Ez közvetlenül következik az aritmetikai sorozat definíciójából. Ezt a számot nevezzük a geometriai progresszió nevezőjének. Általában a geometriai progresszió nevezőjét q betűvel jelöljük.

A |q| végtelen geometriai progressziójának összege<1

A geometriai progresszió beállításának egyik módja, ha beállítjuk annak első tagját b1 és a q geometriai hiba nevezőjét. Például b1=4, q=-2. Ez a két feltétel 4, -8, 16, -32, … geometriai progresszióját adja.

Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).

Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai haladás minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progressziót állandó sorozatnak mondják.

Ahhoz, hogy a (bn) numerikus sorozat geometriai progresszió legyen, szükséges, hogy minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok geometriai átlaga legyen. Vagyis teljesíteni kell a következő egyenletet
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), bármely n>0 esetén, ahol n az N természetes számok halmazához tartozik.

Most tegyük fel (Xn) - geometriai progressziót. A q geometriai haladás nevezője |q|∞).
Ha most S-vel jelöljük egy végtelen geometriai haladás összegét, akkor a következő képlet teljesül:
S=x1/(1-q).

Vegyünk egy egyszerű példát:

Határozzuk meg a 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... végtelen geometriai haladás összegét.

Az S megtalálásához egy végtelenül aritmetikai haladás összegének képletét használjuk. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

A geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden következő tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal.

A geometriai progressziót jelöljük b1,b2,b3, …, bn, … .

Monoton és állandó sorrend

Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió az monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).

Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai haladás minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progresszióról azt mondják állandó sorrend.

Egy geometriai sorozat n-edik tagjának képlete

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete a következő:

bn=b1*q^(n-1),

ahol n az N természetes számok halmazához tartozik.

Egy geometriai folyamat első n tagjának összegének képlete

A geometriai folyamat első n tagjának összegének képlete:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), ahol q nem egyenlő 1-gyel.

Vegyünk egy egyszerű példát:

Geometriai haladásban b1=6, q=3, n=8 keresse meg Sn-t.

Az S8 meghatározásához a geometriai folyamat első n tagjának összegének képletét használjuk.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete nagyon egyszerű dolog. Értelemben és általánosságban egyaránt. De az n-edik tag képletével mindenféle probléma adódik – a nagyon primitívtől az egészen komolyig. Ismerkedésünk során pedig mindenképpen figyelembe vesszük mindkettőt. Nos, találkozzunk?)

Szóval kezdésnek tulajdonképpen képletn

Ott van:

b n = b 1 · q n -1

Képlet mint képlet, semmi természetfeletti. Még egyszerűbbnek és kompaktabbnak tűnik, mint a . A képlet jelentése is egyszerű, mint egy filccsizma.

Ez a képlet lehetővé teszi, hogy megtalálja a geometriai progresszió BÁRMELY tagját a SZÁMA SZERINT " n".

Amint látja, a jelentés teljes analógia a számtani progresszióval. Ismerjük az n számot – ez alatt a szám alatt is kiszámolhatjuk a tagot. Amit akarunk. Nem szorozva szekvenciálisan "q"-val sokszor-sokszor. Ez az egész lényeg.)

Megértem, hogy a progressziós munka ezen a szintjén a képletben szereplő összes mennyiségnek már világosnak kell lennie az Ön számára, de kötelességemnek tartom mindegyiket megfejteni. Csak abban az esetben.

Akkor gyerünk:

b 1 – az első egy geometriai progresszió tagja;

q – ;

n- tag szám;

b n – nth (nth) egy geometriai progresszió tagja.

Ez a képlet összekapcsolja bármely geometriai progresszió négy fő paraméterét - bn, b 1 , qés n. E négy kulcsfigura körül pedig minden folyamatban lévő feladat forog.

– És hogyan jelenik meg?- Hallok egy kíváncsi kérdést... Elemi! Néz!

Amivel egyenlő második progresszió tagja? Nincs mit! Közvetlenül írjuk:

b 2 = b 1 q

És a harmadik tag? Nem is probléma! A második tagot megszorozzuk újra bekapcsolvaq.

Mint ez:

B 3 \u003d b 2 q

Emlékezzünk most vissza, hogy a második tag viszont egyenlő b 1 q-val, és helyettesítsük ezt a kifejezést az egyenlőségünkkel:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Kapunk:

B 3 = b 1 q 2

Most pedig olvassuk el orosz nyelvű bejegyzésünket: harmadik tag egyenlő az első taggal, megszorozva q in-vel második fokozat. Érted? Még nem? Oké, még egy lépés.

Mi a negyedik kifejezés? Minden a régi! Szorozni előző(azaz a harmadik tag) a q-n:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Teljes:

B 4 = b 1 q 3

És ismét lefordítjuk oroszra: negyedik tag egyenlő az első taggal, megszorozva q in-vel harmadik fokozat.

Stb. Szóval hogy is van ez? Elkaptad a mintát? Igen! Bármilyen számmal rendelkező tag esetén a q egyenlő tényezők száma (azaz a nevező hatványa) mindig eggyel kevesebb, mint a kívánt tag száman.

Ezért a képletünk a következő lesz, opciók nélkül:

b n =b 1 · q n -1

Ez minden.)

Nos, oldjuk meg a problémákat, jó?)

Feladatok megoldása képlet alapjánnegy geometriai progresszív tag.

Kezdjük szokás szerint a képlet közvetlen alkalmazásával. Itt van egy tipikus probléma:

Exponenciálisan ismert, hogy b 1 = 512 és q = -1/2. Keresse meg a progresszió tizedik tagját.

Természetesen ez a probléma képletek nélkül is megoldható. Akárcsak egy geometriai progresszió. De be kell melegednünk az n-edik tag képletével, nem? Itt szakítunk.

Adataink a képlet alkalmazásához a következők.

Az első kifejezés ismert. Ez az 512.

b 1 = 512.

A progresszió nevezője is ismert: q = -1/2.

Már csak azt kell kitalálni, hogy mennyivel egyenlő az n tag száma. Nincs mit! Érdekel minket a tizedik ciklus? Tehát az általános képletben n helyett tízet helyettesítünk.

És gondosan számolja ki az aritmetikát:

Válasz: -1

Mint látható, a progresszió tizedik tagja mínuszosnak bizonyult. Nem csoda: a progresszió nevezője -1/2, azaz. negatív szám. És ez azt mutatja, hogy a fejlődésünk jelei váltakoznak, igen.)

Itt minden egyszerű. És itt van egy hasonló probléma, de egy kicsit bonyolultabb a számítások szempontjából.

A geometriai progresszióban tudjuk, hogy:

b 1 = 3

Keresse meg a progresszió tizenharmadik tagját.

Minden a régi, csak ezúttal a progresszió nevezője - irracionális. Kettő gyökere. Hát nem nagy ügy. A képlet univerzális dolog, bármilyen számmal megbirkózik.

Közvetlenül a következő képlet szerint dolgozunk:

A képlet természetesen úgy működött, ahogy kell, de... néhányan itt fognak lógni. Mi a teendő ezután a gyökérrel? Hogyan emeljünk gyökeret a tizenkettedik hatványra?

Hogyan-hogyan... Meg kell értened, hogy minden képlet természetesen jó dolog, de az összes korábbi matematika tudása nem szűnik meg! Hogyan neveljünk? Igen, emlékezz a fokok tulajdonságaira! Változtassuk meg a gyökeret erre töredékes fokés - a hatalom hatalommá emelésének képletével.

Mint ez:

Válasz: 192

És minden.)

Mi a fő nehézség az n-edik tagképlet közvetlen alkalmazásában? Igen! A fő nehézség az diplomával dolgozz! Mégpedig a negatív számok, törtek, gyökök és hasonló konstrukciók hatványozása. Tehát akinek ezzel gondja van, annak sürgős kérése a fokozatok és tulajdonságaik ismételgetése! Különben lelassul ebben a témában, igen...)

Most oldjuk meg a tipikus keresési problémákat a képlet egyik eleme ha az összes többi adott. Az ilyen problémák sikeres megoldásához a recept egyszerű és borzalomig egyszerű - írd le a képletetnth tag általában! Közvetlenül a füzetben az állapot mellett. Aztán a feltételből kitaláljuk, hogy mi adatik nekünk és mi nem elég. És a képletből fejezzük ki a kívánt értéket. Minden!

Például egy ilyen ártalmatlan probléma.

A 3-as nevezővel rendelkező geometriai sorozat ötödik tagja 567. Keresse meg ennek a haladásnak az első tagját.

Semmi bonyolult. Közvetlenül a varázslat szerint dolgozunk.

Felírjuk az n-edik tag képletét!

b n = b 1 · q n -1

Mi adatik nekünk? Először is megadjuk a progresszió nevezőjét: q = 3.

Ezen kívül megadatott nekünk ötödik tagja: b 5 = 567 .

Minden? Nem! Nekünk is az n számot adjuk! Ez egy ötös: n = 5.

Remélem, már érted, mi van a jegyzőkönyvben b 5 = 567 két paraméter egyszerre el van rejtve - ez maga az ötödik tag (567) és annak száma (5). Egy hasonló leckében már beszéltem erről, de úgy gondolom, hogy nem felesleges itt emlékeztetni.)

Most behelyettesítjük adatainkat a képletbe:

567 = b 1 3 5-1

Figyelembe vesszük az aritmetikát, egyszerűsítjük és egyszerű lineáris egyenletet kapunk:

81 b 1 = 567

Megoldjuk és megkapjuk:

b 1 = 7

Mint látható, nincs probléma az első tag megtalálásával. De amikor a nevezőt keresem qés számok n lehetnek meglepetések. És ezekre is fel kell készülni (meglepetések), igen.)

Például egy ilyen probléma:

Egy pozitív nevezővel rendelkező geometriai haladás ötödik tagja 162, ennek a haladásnak az első tagja pedig 2. Keresse meg a haladás nevezőjét!

Ezúttal az első és az ötödik tagot kapjuk, és megkérjük, hogy találjuk meg a progresszió nevezőjét. Itt kezdjük.

Felírjuk a képletetntag!

b n = b 1 · q n -1

Kiinduló adataink a következők lesznek:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nem elég érték q. Nincs mit! Most keressük meg.) Mindent behelyettesítünk a képletbe, amit tudunk.

Kapunk:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Egy egyszerű negyedik fokú egyenlet. De most - gondosan! A megoldás ezen szakaszában sok diák azonnal örömmel húzza ki a gyökeret (a negyedik fokozatból), és megkapja a választ q=3 .

Mint ez:

q4 = 81

q = 3

De általában ez egy befejezetlen válasz. Vagy inkább hiányos. Miért? A lényeg az, hogy a válasz q = -3 is illik: (-3) 4 is 81 lenne!

Ez azért van, mert a hatványegyenlet x n = a mindig van két ellentétes gyökér nál nél mégn . Plusz és mínusz:

Mindkettő passzol.

Például a megoldás (pl. második fok)

x2 = 9

Valamiért nem lep meg a megjelenés két gyökök x=±3? Itt is ugyanaz. És bármely mással még fokozat (negyedik, hatodik, tizedik stb.) ugyanaz lesz. Részletek - a témában kb

Tehát a helyes megoldás a következő lenne:

q 4 = 81

q= ±3

Oké, kitaláltuk a jeleket. Melyik a helyes - plusz vagy mínusz? Nos, keresve újra elolvastuk a probléma feltételét további információ. Természetesen lehet, hogy nem létezik, de ebben a problémában ilyen információ elérhető. A mi állapotunkban közvetlenül ki van írva, hogy progressziót adnak pozitív nevező.

Tehát a válasz egyértelmű:

q = 3

Itt minden egyszerű. Ön szerint mi történne, ha a problémameghatározás a következő lenne:

Egy geometriai sorozat ötödik tagja 162, és ennek a haladásnak az első tagja 2. Keresse meg a haladás nevezőjét!

Mi a különbség? Igen! Az állapotában semmi szó sincs a nevezőről. Sem közvetlenül, sem közvetve. És itt már meg is lenne a probléma két megoldás!

q = 3 és q = -3

Igen igen! És pluszban és mínuszban.) Matematikailag ez a tény azt jelentené, hogy vannak két progresszió amelyek megfelelnek a feladatnak. És mindegyiknek - a saját nevezője. A szórakozás kedvéért gyakorold és írd le mindegyik első öt kifejezését.)

Most gyakoroljuk a tagszám megtalálását. Ez a legnehezebb, igen. De kreatívabb is.

Adott egy geometriai progresszió:

3; 6; 12; 24; …

Milyen szám a 768 ebben a folyamatban?

Az első lépés ugyanaz: írd le a képletetntag!

b n = b 1 · q n -1

És most szokás szerint behelyettesítjük az általunk ismert adatokat. Hm... nem illik! Hol az első tag, hol a nevező, hol van minden más?!

Hol, hol... Miért van szükségünk szemre? Rebbenő szempillák? A haladást ezúttal közvetlenül a formában kapjuk meg sorozatok. Láthatjuk az első kifejezést? Látjuk! Ez egy hármas (b 1 = 3). Mi a helyzet a nevezővel? Még nem látjuk, de nagyon könnyű megszámolni. Ha persze megérted.

Itt mérlegeljük. Közvetlenül a geometriai progresszió jelentése szerint: vesszük bármelyik tagját (az első kivételével), és elosztjuk az előzővel.

Legalábbis így:

q = 24/12 = 2

Mit tudunk még? Ismerünk ennek a haladásnak néhány tagját is, ami egyenlő 768-cal. Valamely n szám alatt:

b n = 768

Nem tudjuk a számát, de a mi feladatunk pontosan az, hogy megtaláljuk.) Tehát keressük. A képletben már letöltöttük a helyettesítéshez szükséges összes adatot. Észrevehetetlenül.)

Itt helyettesítjük:

768 = 3 2n -1

Elemieket készítünk - mindkét részt elosztjuk hárommal, és átírjuk az egyenletet a szokásos formában: az ismeretlen a bal oldalon, az ismert a jobb oldalon.

Kapunk:

2 n -1 = 256

Itt van egy érdekes egyenlet. Meg kell találnunk az "n"-t. Mi a szokatlan? Igen, nem vitatkozom. Valójában ez a legegyszerűbb. Azért hívják, mert az ismeretlen (jelen esetben ez a szám n) áll be indikátor fokozat.

A geometriai haladással való ismerkedés szakaszában (ez a kilencedik osztály) az exponenciális egyenleteket nem tanítják megoldani, igen... Ez egy középiskolai téma. De nincs semmi szörnyű. Még ha nem is tudja, hogyan oldják meg az ilyen egyenleteket, próbáljuk meg megtalálni a miénket n egyszerű logika és józan ész vezérelve.

Elkezdünk tárgyalni. A bal oldalon van egy kettőnk bizonyos mértékig. Még nem tudjuk, hogy pontosan mi ez a diploma, de ez nem ijesztő. De másrészt határozottan tudjuk, hogy ez a fok egyenlő 256-tal! Emlékszünk tehát, hogy a kettes milyen mértékben ad nekünk 256-ot. Emlékszel? Igen! NÁL NÉL nyolcadik fokok!

256 = 2 8

Ha nem emlékszel vagy a probléma fokozatainak felismerésével, akkor az sem baj: csak egymás után emeljük a kettőt négyzetre, kockára, negyedik hatványra, ötödikre stb. Valójában a választék, de ezen a szinten, elég nagy menet.

Így vagy úgy, a következőket kapjuk:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tehát a 768 kilencedik fejlődésünk tagja. Ennyi, a probléma megoldva.)

Válasz: 9

Mit? Unalmas? Eleged van az elemiből? Egyetértek. És én is. Lépjünk a következő szintre.)

Bonyolultabb feladatok.

És most hirtelenebb megoldjuk a rejtvényeket. Nem éppen szupermenő, de amin egy kicsit dolgozni kell, hogy a válaszhoz juss.

Például így.

Határozzuk meg egy geometriai progresszió második tagját, ha a negyedik tagja -24, a hetedik tagja pedig 192.

Ez a műfaj klasszikusa. A progresszió két különböző tagja ismert, de még egy tagot kell találni. Ráadásul minden tag NEM szomszéd. Ami elsőre zavar, igen...

Ahogyan itt is, két módszert vizsgálunk az ilyen problémák megoldására. Az első út univerzális. Algebrai. Hibátlanul működik bármilyen forrásadattal. Tehát itt kezdjük.)

Minden kifejezést a képlet szerint festünk ntag!

Minden pontosan ugyanaz, mint az aritmetikai sorozatnál. Ezúttal csak együtt dolgozunk egy másikáltalános képlet. Ennyi.) De a lényeg ugyanaz: veszünk és viszont kiinduló adatainkat behelyettesítjük az n-edik tag képletébe. Minden tagnak - a saját.

A negyedik kifejezésre ezt írjuk:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Van. Egy egyenlet teljes.

A hetedik tagra ezt írjuk:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Összesen két egyenletet kaptunk a ugyanaz a progresszió .

Összeállítunk belőlük egy rendszert:

Félelmetes megjelenése ellenére a rendszer meglehetősen egyszerű. A megoldás legkézenfekvőbb módja a szokásos helyettesítés. kifejezzük b 1 a felső egyenletből, és helyettesítse az alsóval:

Egy kis babrálás az alsó egyenlettel (a kitevők csökkentése és -24-gyel való osztás) a következő eredményt kapja:

q 3 = -8

Ugyanezt az egyenletet egyébként egyszerűbben is meg lehet kapni! Mit? Most egy másik titkos, de nagyon szép, erőteljes és hasznos módszert mutatok be az ilyen rendszerek megoldására. Olyan rendszerek, amelyek egyenleteiben ülnek csak működik. Legalábbis az egyikben. hívott terminus felosztás módszere egyik egyenlet a másikhoz.

Tehát van egy rendszerünk:

Mindkét egyenletben a bal oldalon - munka, a jobb oldalon pedig csak egy szám. Ez nagyon jó jel.) Vegyük és ... osszuk el mondjuk az alsó egyenletet a felsővel! Mit jelent, elosztjuk az egyik egyenletet a másikkal? Nagyon egyszerű. Veszünk bal oldal egy egyenlet (alsó) és osztunk rajta bal oldal egy másik egyenlet (felső). A jobb oldal hasonló: jobb oldal egy egyenlet osztunk a jobb oldal egy másik.

A teljes felosztási folyamat így néz ki:

Most mindent lecsökkentve, ami csökkent, azt kapjuk:

q 3 = -8

Mi a jó ebben a módszerben? Igen, mert egy ilyen felosztás során minden rossz és kellemetlen biztonságosan csökkenthető, és egy teljesen ártalmatlan egyenlet marad! Ezért olyan fontos, hogy legyen csak szorzások a rendszer legalább egyik egyenletében. Nincs szorzás - nincs mit csökkenteni, igen ...

Általában ez a módszer (mint sok más nem triviális rendszermegoldási mód) még külön leckét is megérdemel. Mindenképpen meg fogom nézni közelebbről. Majd egyszer…

Azonban nem számít, hogyan oldja meg a rendszert, mindenesetre most meg kell oldanunk a kapott egyenletet:

q 3 = -8

Nem probléma: kivonjuk a gyökeret (köbös) és - kész!

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a kibontáskor nem szükséges ide plusz/mínusz jelet tenni. Van egy páratlan (harmadik) fokú gyökünk. És a válasz ugyanaz, igen.

Tehát megvan a progresszió nevezője. Mínusz kettő. Kiváló! A folyamat folyamatban van.)

Az első tagra (mondjuk a felső egyenletből) a következőket kapjuk:

Kiváló! Ismerjük az első tagot, ismerjük a nevezőt. És most lehetőségünk van megtalálni a progresszió bármely tagját. Beleértve a másodikat is.)

A második tag esetében minden nagyon egyszerű:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Válasz: -6

Tehát megválasztottuk a probléma megoldásának algebrai módját. Nehéz? Nem sok, egyetértek. Hosszú és unalmas? Igen határozottan. De néha jelentősen csökkentheti a munka mennyiségét. Erre van grafikus módon. Régi jó és ismerős számunkra.)

Rajzoljuk le a problémát!

Igen! Pontosan. Ismét ábrázoljuk a haladást a számtengelyen. Nem feltétlenül vonalzóval, nem szükséges egyenlő távolságokat betartani a tagok között (ami egyébként nem lesz ugyanaz, mert a progresszió geometriai!), hanem egyszerűen sematikusan rajzold le a sorozatunkat.

Én így kaptam:

Most nézd meg a képet és gondolkozz. Hány egyenlő tényező osztozik a "q"-on negyedikés hetedik tagok? Így van, három!

Ezért minden jogunk megvan ahhoz, hogy ezt írjuk:

-24q 3 = 192

Innen már könnyű megtalálni a q-t:

q 3 = -8

q = -2

Ez remek, a nevező már a zsebünkben van. És most újra megnézzük a képet: hány ilyen nevező között ül másodikés negyedik tagok? Két! Ezért a tagok közötti kapcsolat rögzítéséhez emeljük a nevezőt négyzet alakú.

Itt írjuk:

b 2 · q 2 = -24 , ahol b 2 = -24/ q 2

A talált nevezőnket behelyettesítjük a b 2 kifejezésbe, megszámoljuk és megkapjuk:

Válasz: -6

Mint látható, minden sokkal egyszerűbb és gyorsabb, mint a rendszeren keresztül. Ráadásul itt egyáltalán nem is kellett az első tagot számolnunk! Egyáltalán.)

Itt van egy ilyen egyszerű és vizuális út-fény. De van egy komoly hátránya is. Kitalálta? Igen! Csak nagyon rövid szakaszokra jó. Azok, ahol nem túl nagyok a távolságok a számunkra érdekes tagok között. De minden más esetben már nehéz képet rajzolni, igen... Akkor analitikusan, rendszeren keresztül oldjuk meg a problémát.) A rendszerek pedig univerzális dolog. Bármely számmal foglalkozz.

Még egy epikus:

A geometriai progresszió második tagja 10-zel nagyobb, mint az első, a harmadik tagja pedig 30-zal több, mint a második. Keresse meg a progresszió nevezőjét!

Mi a jó? Egyáltalán nem! Minden a régi. Ismét lefordítjuk a feladat feltételét tiszta algebrára.

1) Minden kifejezést a képlet szerint festünk ntag!

Második tag: b 2 = b 1 q

Harmadik tag: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Felírjuk a tagok közötti kapcsolatot a probléma feltételéből.

A feltétel elolvasása: "A geometriai progresszió második tagja 10-zel több, mint az első."Állj, ez értékes!

Tehát ezt írjuk:

b 2 = b 1 +10

És ezt a kifejezést lefordítjuk tiszta matematikára:

b 3 = b 2 +30

Két egyenletet kaptunk. Összevonjuk őket egy rendszerbe:

A rendszer egyszerűnek tűnik. De nagyon sok különböző index létezik a betűkre. Helyettesítsük kifejezésük második és harmadik tagját az első tagon és nevezőn keresztül! Hiába, vagy mi, lefestettük őket?

Kapunk:

De egy ilyen rendszer már nem ajándék, igen... Hogyan lehet ezt megoldani? Sajnos, az univerzális titkos varázslat megoldani bonyolult nem lineáris A matematikában nincsenek rendszerek, és nem is lehetnek. Ez fantasztikus! De az első dolog, ami eszébe kell jutnia, amikor megpróbálja feltörni egy ilyen kemény diót, az az, hogy rájöjjön De vajon nem redukálódik-e a rendszer egyik egyenlete szép formára, ami megkönnyíti például az egyik változó kifejezését egy másikkal?

Tippeljünk. A rendszer első egyenlete egyértelműen egyszerűbb, mint a második. Megkínozzuk.) Miért ne próbálhatnánk meg az első egyenletből valami keresztül kifejezni valami? Mivel meg akarjuk találni a nevezőt q, akkor számunkra a legelőnyösebb lenne kifejezni b 1 keresztül q.

Tehát próbáljuk meg ezt az eljárást az első egyenlettel elvégezni, a régi jó egyenletekkel:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Minden! Itt fejeztük ki szükségtelen nekünk a változót (b 1) keresztül szükséges(q). Igen, nem a legegyszerűbb kifejezés. Valamiféle töredék... De a rendszerünk megfelelő szintű, igen.)

Tipikus. Mit tegyünk – tudjuk.

ODZ-t írunk (szükségszerűen!) :

q ≠ 1

Mindent megszorozunk a nevezővel (q-1), és csökkentjük az összes törtet:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Mindent elosztunk tízzel, kinyitjuk a zárójeleket, összegyűjtünk mindent a bal oldalon:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Megoldjuk az eredményt, és két gyökeret kapunk:

q 1 = 1

q 2 = 3

Csak egy végső válasz van: q = 3 .

Válasz: 3

Amint láthatja, a legtöbb probléma megoldásának módja a geometriai progresszió n-edik tagjának képletére mindig ugyanaz: olvassuk gondosan a probléma feltételét, és az n-edik tag képletével minden hasznos információt tiszta algebrává fordítunk.

Ugyanis:

1) A feladatban megadott tagokat külön-külön írjuk a képlet szerintnth tagja.

2) A feladat feltételéből a tagok közötti kapcsolatot lefordítjuk matematikai formára. Összeállítunk egy egyenletet vagy egyenletrendszert.

3) Megoldjuk a kapott egyenletet vagy egyenletrendszert, megkeressük a progresszió ismeretlen paramétereit.

4) Félreérthető válasz esetén figyelmesen olvassuk el a probléma feltételét, hogy további információkat keressünk (ha van ilyen). A kapott választ az ODZ feltételeivel is ellenőrizzük (ha van ilyen).

És most felsoroljuk azokat a fő problémákat, amelyek leggyakrabban hibákhoz vezetnek a geometriai progressziós problémák megoldása során.

1. Elemi számtan. Műveletek törtekkel és negatív számokkal.

2. Ha e három pont közül legalább egy probléma, akkor elkerülhetetlenül tévedsz ebben a témában. Sajnos... Szóval ne légy lusta, és ismételd meg a fentebb említetteket. És kövesse a linkeket - menjen. Néha segít.)

Módosított és ismétlődő képletek.

És most nézzünk meg néhány tipikus vizsgaproblémát a feltétel kevésbé ismert bemutatásával. Igen, igen, kitaláltad! azt módosítottés visszatérő az n-edik tag képletei. Találkoztunk már ilyen képletekkel, és dolgoztunk aritmetikai haladásban. Itt minden hasonló. A lényeg ugyanaz.

Például egy ilyen probléma az OGE-től:

A geometriai progressziót a képlet adja meg b n = 3 2 n . Keresse meg az első és a negyedik tag összegét!

Ezúttal nem egészen a megszokott módon kapjuk meg a továbbjutást. Valamiféle képlet. És akkor mi van? Ez a képlet az képlet isntag! Mindannyian tudjuk, hogy az n-edik tag képlete felírható általános formában, betűkkel és for-ral is specifikus progresszió. TÓL TŐL különleges első tag és nevező.

Esetünkben tulajdonképpen egy általános kifejezési képletet kapunk egy geometriai progresszióra a következő paraméterekkel:

b 1 = 6

q = 2

Ellenőrizzük?) Írjuk fel általános alakban az n-edik tag képletét, és cseréljük be b 1 és q. Kapunk:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Leegyszerűsítjük a faktorizáció és a teljesítmény tulajdonságait, és megkapjuk:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Amint látja, minden igazságos. De nem az a célunk veled, hogy bemutassuk egy konkrét képlet származtatását. Ez így van, lírai kitérő. Pusztán a megértés kedvéért.) Célunk a probléma megoldása a feltételben adott képlet szerint. Felfogod?) Tehát közvetlenül a módosított képlettel dolgozunk.

Az első tagot számoljuk. Helyettes n=1 az általános képletbe:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Mint ez. Egyébként nem vagyok lusta, és ismét felhívom a figyelmet egy tipikus baklövésre az első tag számításánál. NE nézd a képletet b n= 3 2n, azonnal rohanj leírni, hogy az első tag trojka! Ez nagy hiba, igen...)

Folytatjuk. Helyettes n=4 és vegyük figyelembe a negyedik kifejezést:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

És végül kiszámítjuk a szükséges mennyiséget:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Válasz: 54

Még egy probléma.

A geometriai progressziót a következő feltételek adják meg:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Keresse meg a progresszió negyedik tagját.

Itt a progressziót az ismétlődő képlet adja meg. Hát rendben.) Hogyan kell dolgozni ezzel a képlettel - mi is tudjuk.

Itt cselekszünk. Lépésről lépésre.

1) kettőt számolva egymást követő a progresszió tagja.

Az első kifejezés már adott nekünk. Mínusz hét. De a következő, második tag könnyen kiszámítható a rekurzív képlet segítségével. Természetesen, ha érti a működését.)

Itt a második kifejezést vesszük figyelembe a híres első szerint:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Tekintsük a progresszió nevezőjét

Szintén nincs probléma. Egyenesen, oszd meg második fasz az első.

Kapunk:

q = -21/(-7) = 3

3) Írd le a képletet!nth tag a szokásos formában, és vegye figyelembe a kívánt tagot.

Tehát ismerjük az első tagot, a nevezőt is. Itt írjuk:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Válasz: -189

Amint láthatja, az ilyen képletekkel való munkavégzés a geometriai sorozathoz lényegében nem különbözik az aritmetikai sorozatétól. Csak az a fontos, hogy megértsük e képletek általános lényegét és jelentését. Nos, a geometriai progresszió jelentését is meg kell érteni, igen.) És akkor nem lesznek hülye hibák.

Nos, döntsünk mi magunk?)

Egészen elemi feladatok, bemelegítéshez:

1. Adott egy geometriai progresszió, amelyben b 1 = 243, és q = -2/3. Keresse meg a progresszió hatodik tagját.

2. A geometriai progresszió közös tagját a képlet adja meg b n = 5∙2 n +1 . Keresse meg a haladás utolsó háromjegyű tagjának számát!

3. A geometriai progressziót a feltételek adják meg:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Keresse meg a progresszió ötödik tagját.

Kicsit bonyolultabb:

4. Adott egy geometriai progresszió:

b 1 =2048; q =-0,5

Mi ennek a hatodik negatív tagja?

Mi tűnik rendkívül nehéznek? Egyáltalán nem. A logika és a geometriai progresszió jelentésének megértése megment. Nos, természetesen az n-edik tag képlete.

5. A geometriai haladás harmadik tagja -14, a nyolcadik tagja pedig 112. Keresse meg a haladás nevezőjét!

6. Egy geometriai sorozat első és második tagjának összege 75, a második és harmadik tag összege 150. Határozzuk meg a haladás hatodik tagját!

Válaszok (rendetlenségben): 6; -3888; -egy; 800; -32; 448.

Ez majdnem minden. Már csak meg kell tanulni számolni egy geometriai sorozat első n tagjának összege igen felfedezni végtelenül csökkenő geometriai progresszióés annak mennyisége. Amúgy nagyon érdekes és szokatlan dolog! Erről bővebben a későbbi leckékben.)

A geometriai progresszió olyan numerikus sorozat, amelynek első tagja nem nulla, és minden következő tag egyenlő az előző taggal, megszorozva ugyanazzal a nullától eltérő számmal. A geometriai progressziót b1,b2,b3, …, bn, …

A geometriai progresszió tulajdonságai

Ha q>0 (q nem egyenlő 1-gyel), akkor a progresszió monoton sorozat. Például a 2, 4,8,16,32, ... sorozat egy monoton növekvő sorozat (b1=2, q=2).

Ha a geometriai hibában a nevező q=1, akkor a geometriai haladás minden tagja egyenlő lesz egymással. Ilyen esetekben a progressziót állandó sorozatnak mondják.

A progresszió n-edik tagjának képlete

Ahhoz, hogy a (bn) numerikus sorozat geometriai progresszió legyen, szükséges, hogy minden tagja a másodiktól kezdve a szomszédos tagok geometriai átlaga legyen. Vagyis teljesíteni kell a következő egyenletet - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), bármely n>0 esetén, ahol n az N természetes számok halmazához tartozik.

A geometriai progresszió n-edik tagjának képlete a következő:

bn=b1*q^(n-1), ahol n az N természetes számok halmazába tartozik.

Vegyünk egy egyszerű példát:

Geometriai haladásban b1=6, q=3, n=8 keresse meg bn-t.

Használjuk a geometriai sorozat n-edik tagjának képletét.