Korrapärase viisnurga ehitus. Tehniline joonistus. Korrapäraste hulknurkade ehitus Korrapärase viisnurga skeem

See joonis on minimaalse arvu nurkadega hulknurk, mida ei saa kasutada ala plaadistamiseks. Ainult viisnurgal on sama palju diagonaale kui selle külgedel. Kasutades suvalise korrapärase hulknurga valemeid, saate määrata kõik vajalikud parameetrid, mis viisnurgal on. Näiteks kirjutage see etteantud raadiusega ringi või ehitage see etteantud külgkülje põhjal.

Kuidas tala õigesti joonistada ja milliseid joonistusvahendeid vajate? Võtke paberitükk ja märkige kuhugi punkt. Seejärel kinnitage joonlaud ja tõmmake näidatud punktist joon lõpmatuseni. Sirge joone tõmbamiseks vajutage klahvi "Shift" ja tõmmake soovitud pikkusega joon. Kohe pärast joonistamist avaneb vahekaart "Format". Tühistage rea valik ja näete, et rea algusesse on ilmunud punkt. Pealdise loomiseks klõpsake nuppu "Joonista kiri" ja looge väli, kus pealdis asub.

Esimest viisi viisnurga konstrueerimiseks peetakse "klassikalisemaks". Saadud kujund on tavaline viisnurk. Kahenurk pole erand, seega on selle ehitamine ilma kompassi kasutamiseta võimatu. Korrapärase viisnurga konstrueerimise ülesanne on taandatud ülesandeks jagada ring viieks võrdseks osaks. Pentagrammi saate joonistada kõige lihtsamate tööriistade abil.

Ma nägin pikka aega vaeva, püüdes seda saavutada ja iseseisvalt proportsioone ja sõltuvusi leida, kuid see ei õnnestunud. Selgus, et kuulsate matemaatikute poolt välja töötatud tavalise viisnurga konstrueerimiseks on mitu erinevat võimalust. Huvitav on see, et aritmeetiliselt saab seda ülesannet lahendada ainult ligikaudu täpselt, kuna selleks tuleb kasutada irratsionaalseid arve. Kuid seda saab lahendada geomeetriliselt.

Ringide jagunemine. Nende sirgete lõikepunktid ringiga on ruudu tipud. Ringi raadiusega R (1. samm) tõmmake vertikaalne läbimõõt. Sirge ja ringi konjugatsioonipunktis N on sirge ringjoone puutuja.

Vastuvõtmine paberiribaga

Tavalise kuusnurga saab konstrueerida T-ruudu ja 30X60° ruudu abil. Sellise kolmnurga tippe saab konstrueerida kompassi ja 30 ja 60 ° nurkade ruudu või ainult ühe kompassi abil. Külje 2-3 ehitamiseks seadke T-ruut katkendjoontega näidatud asendisse ja tõmmake läbi punkti 2 sirgjoon, mis määrab kolmnurga kolmanda tipu. Märgime ringile punkti 1 ja võtame selle üheks viisnurga tipuks. Leitud tipud ühendame üksteisega järjestikku. Seitsenurka saab konstrueerida kiirte tõmbamisega F-poolusest ja vertikaalse läbimõõdu paaritute jaotuste kaudu.

Ja niidi teises otsas on pliiats sätitud ja kinnisideeks. Kui teate, kuidas joonistada tähte, kuid ei tea, kuidas joonistada viisnurka, joonistage täht pliiatsiga, seejärel ühendage tähe külgnevad otsad kokku ja kustutage täht ise. Seejärel pange paberileht (parem on see nelja nupu või nõelaga lauale kinnitada). Kinnitage need 5 riba tihvtide või nõeltega paberile nii, et need jääksid liikumatuks. Seejärel ring ümber saadud viisnurk ja eemalda need triibud lehelt.

Näiteks nõukogude minevikust või Hiina olevikust rääkiva pildi jaoks peame joonistama viieharulise tähe (pentagrammi). Tõsi, selleks peate suutma luua perspektiivis tähe joonise. Samamoodi saate joonistada paberile pliiatsiga figuuri. Kuidas tähte õigesti joonistada, et see ühtlane ja ilus välja näeks, ei vasta te kohe.

Keskelt langetage 2 kiirt ringile nii, et nende vaheline nurk oleks 72 kraadi (nurknurk). Ringi jagamine viieks osaks toimub tavalise kompassi või kraadiklaasi abil. Kuna tavaline viisnurk on üks kujundeid, mis sisaldab kuldlõike proportsioone, on maalikunstnikud ja matemaatikud selle ehitamise vastu juba pikka aega huvi tundnud. Need kompassi ja sirgjoonega ehitamise põhimõtted on sätestatud Eukleidilises elemendis.

Regulaarne viisnurk on geomeetriline kujund, mis moodustub viie sirge lõikepunktist, mis loovad viis identset nurka. Seda kuju nimetatakse Pentagoniks. Kunstnike looming on tihedalt seotud viisnurgaga – nende joonistused põhinevad korrapärastel geomeetrilistel kujunditel. Selleks peate teadma, kuidas kiiresti viisnurka ehitada.

Miks see näitaja huvitav on? Hoone on viisnurga kujuline Ameerika Ühendriikide kaitseministeerium. Seda on näha lennu kõrguselt tehtud fotodelt. Looduses ei leidu kristalle ja kive, mille kuju meenutaks viisnurka. Ainult sellel joonisel langeb tahkude arv kokku diagonaalide arvuga.

Korrapärase viisnurga parameetrid

Ristkülikukujulisel viisnurgal, nagu igal geomeetria kujundil, on oma parameetrid. Teades vajalikke valemeid, saate need parameetrid arvutada, mis hõlbustab viisnurga ehitamise protsessi. Arvutusmeetodid ja valemid:

• hulknurkade kõigi nurkade summa on 360 kraadi. Tavalises viisnurgas on kõik nurgad võrdsed, kesknurk leitakse järgmiselt: 360/5 \u003d 72 kraadi;
• sisenurk leitakse nii: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 kraadi. Kõikide sisenurkade summa: 108*5 = 540 kraadi.

Viisnurga külg leitakse parameetrite abil, mis on juba ülesande avalduses antud:

• kui ringjoon on ümbritsetud viisnurga ümber ja selle raadius on teada, leitakse külg järgmise valemi järgi: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Kui viisnurka kantud ringi raadius on teada, siis on hulknurga külje arvutamise valem: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Teadaoleva viisnurga diagonaali korral arvutatakse selle külg järgmiselt: a \u003d D / 1,618.

Viisnurga pindala, nagu selle külg, sõltub juba leitud parameetritest:

• kasutades sissekirjutatud ringi teadaolevat raadiust, leitakse ala järgmiselt: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• viisnurga ümber olev ringjoon võimaldab teil ala leida järgmise valemi abil: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• olenevalt viisnurga küljelt: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Pentagoni ehitamine

Tavalise viisnurga saate ehitada joonlaua ja kompassi abil, võttes aluseks selle sisse kirjutatud ringi või ühe külje.

Kuidas joonistada sisse kirjutatud ringi põhjal viisnurka? Selleks varuge endale kompass ja joonlaud ning toimige järgmiselt.

1. Kõigepealt peate joonistama ringi keskpunktiga O, seejärel valige sellel punkt, A - viisnurga ülaosa. Keskelt ülespoole tõmmatakse joon.
2. Seejärel konstrueeritakse sirgjoonega OA risti olev lõik, mis läbib samuti O - ringi keskpunkti. Selle lõikepunkti ringjoonega näitab punkt B. Lõik O.V poolitab punktiga C.
3. Punkt C saab A-d läbiva uue ringi keskpunktiks. Punkt D on selle lõikepunkt sirgjoonega OB esimese kujundi piires.
4. Pärast seda tõmmatakse läbi D kolmas ring, mille keskpunkt on punkt A. See lõikub esimese kujundiga kahes punktis, neid tuleb tähistada tähtedega E ja F.
5. Järgmise ringi keskpunkt on punktis E ja läbib A ning selle ristumiskoht algse ringiga on uues punktis G.
6. Selle joonise viimane ringjoon on tõmmatud läbi punkti A, mille keskpunkt on F. Punkt H asetatakse selle lõikepunkti esialgsega.
7. Esimesel ringil ilmus pärast kõiki tehtud samme viis punkti, mis tuleb segmentidega ühendada. Nii saadi korrapärane viisnurk AE G H F.

Kuidas ehitada tavalist viisnurka teistmoodi? Joonlaua ja sirkli abil saab viisnurka ehitada veidi kiiremini. Selleks vajate:

1. Kõigepealt tuleb kompassiga joonistada ring, mille keskpunkt on punkt O.
2. Joonistatakse raadius OA – lõik, mis joonistatakse ringile. Selle poolitab punkt B.
3. Lõik OS joonistatakse risti raadiusega OA, punktid B ja C on ühendatud sirgjoonega.
4. Järgmine samm on lõigu BC pikkuse joonistamine kompassiga diametraaljoonele. Punkt D on risti lõiguga OA. Punktid B ja D on ühendatud, moodustades uue lõigu.
5. Viisnurga külje suuruse saamiseks peate ühendama punktid C ja D.
6. D kantakse kompassi abil ringile ja seda tähistab punkt E. Ühendades E ja C, saad tavalise viisnurga esimese külje. Seda juhist järgides saate õppida, kuidas kiiresti ehitada võrdsete külgedega viisnurka, jätkates selle teiste külgede ehitamist nagu esimene.

Samade külgedega viisnurgas on diagonaalid võrdsed ja moodustavad viieharulise tähe, mida nimetatakse pentagrammiks. Kuldne suhe on diagonaali ja viisnurga külje suuruse suhe.

Pentagon ei sobi lennuki täielikuks täitmiseks. Mis tahes materjali kasutamine sellisel kujul jätab lüngad või vormid kattuvad. Kuigi sellise kujuga looduslikke kristalle looduses ei eksisteeri, tekivad siledate vasesaaduste pinnale jääl viisnurga kujulised molekulid, mis on ahelateks ühendatud.

Lihtsaim viis paberiribast tavalise viisnurga saamiseks on see sõlme siduda ja veidi alla vajutada. See meetod on kasulik eelkooliealiste laste vanematele, kes soovivad õpetada oma väikelapsi geomeetrilisi kujundeid ära tundma.

Video

Vaadake, kuidas saate kiiresti viisnurka joonistada.

Ringi sisse kirjutatud korrapärase kuusnurga ehitus.

Kuusnurga ehitus põhineb asjaolul, et selle külg on võrdne piiritletud ringi raadiusega. Seetõttu piisab ehitamiseks jagada ring kuueks võrdseks osaks ja ühendada leitud punktid omavahel.

Tavalise kuusnurga saab konstrueerida T-ruudu ja 30X60° ruudu abil. Selle konstruktsiooni teostamiseks võtame nurkade 1 ja 4 poolitajaks ringi horisontaalse läbimõõdu, ehitame küljed 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 ja 7 - 2, mille järel joonistame küljed 5 - 6 ja 3 - 2.

Sellise kolmnurga tippe saab konstrueerida kompassi ja 30 ja 60 ° nurkade ruudu või ainult ühe kompassi abil. Vaatleme kahte võimalust ringi sisse kirjutatud võrdkülgse kolmnurga konstrueerimiseks.

Esimene viis(joonis 61, a) põhineb asjaolul, et kolmnurga 7, 2, 3 kõik kolm nurka sisaldavad igaüks 60 ° ja läbi punkti 7 tõmmatud vertikaaljoon on nii nurga 1 kõrgus kui ka poolitaja. nurk 0 - 1 - 2 võrdub 30°, siis külje 1 - 2 leidmiseks piisab punktist 1 ja küljest 0 - 1 nurga 30° konstrueerimisest. Selleks määrake T-ruut ja ruut, nagu joonisel näidatud, tõmmake joon 1–2, mis on soovitud kolmnurga üks külgedest. Külje 2–3 ehitamiseks seadke T-ruut katkendjoontega näidatud asendisse ja tõmmake läbi punkti 2 sirgjoon, mis määrab kolmnurga kolmanda tipu.

Teine viis põhineb asjaolul, et kui ehitada korrapärane ringikujuline kuusnurk ja seejärel ühendada selle tipud läbi ühe, saate võrdkülgse kolmnurga.

Kolmnurga ehitamiseks märgime läbimõõdule tipu punkti 1 ja tõmbame diameetrilise joone 1 - 4. Edasi, punktist 4, mille raadius on võrdne D / 2-ga, kirjeldame kaare, kuni see lõikub ringiga punktides 3 ja 2. Saadud punktid on kaks teist soovitud kolmnurga tippu.

Seda konstruktsiooni saab teha ruudu ja kompassi abil.

Esimene viis põhineb asjaolul, et ruudu diagonaalid lõikuvad piiritletud ringi keskpunktis ja on selle telgede suhtes 45° nurga all. Selle põhjal paigaldame T-ruudu ja 45 ° nurgaga ruudu, nagu on näidatud joonisel fig. 62, a ja märgi punktid 1 ja 3. Edasi joonistame nende punktide kaudu T-ruudu abil ruudu horisontaalsed küljed 4 - 1 ja 3 -2. Seejärel joonistame T-ruudu abil piki ruudu jalga ruudu vertikaalsed küljed 1–2 ja 4–3.

Teine viis põhineb asjaolul, et ruudu tipud poolitavad läbimõõdu otste vahele jääva ringi kaared. Märgime punktid A, B ja C kahe vastastikku risti asetseva läbimõõdu otstesse ning nendest raadiusega y kirjeldame kaare kuni nende ristumiseni.

Edasi joonistame läbi kaare ristumispunktide abijooned, mis on joonisel märgitud pidevate joontega. Nende lõikepunktid ringiga määratlevad tipud 1 ja 3; 4 ja 2. Sel viisil saadud soovitud ruudu tipud ühendatakse üksteisega järjestikku.

Ringi sisse kirjutatud korrapärase viisnurga ehitus.

Korrapärase viisnurga kirjutamiseks ringis teeme järgmised konstruktsioonid. Märgime ringile punkti 1 ja võtame selle üheks viisnurga tipuks. Jagage segment AO pooleks. Selleks kirjeldame raadiusega AO punktist A punktides M ja B kulgevat kaare ristmikuni ringiga. Ühendades need punktid sirgjoonega, saame punkti K, mille seejärel ühendame punktiga 1. Raadiusega, mis on võrdne lõiguga A7, kirjeldame kaare punktist K kuni lõikepunktini diametraaljoonega AO ​​punktis H. Ühendades punkti 1 punktiga H, saame viisnurga külje. Seejärel, kompassi avaga, mis on võrdne segmendiga 1H, kirjeldades kaare tipust 1 kuni ringiga lõikumiskohani, leiame tipud 2 ja 5. Olles teinud tippudest 2 ja 5 sama kompassi avaga sälgud, saame ülejäänud osa tipud 3 ja 4. Leitud punktid ühendame üksteisega järjestikku.

Tavalise viisnurga ehitamine, arvestades selle külge.

Korrapärase viisnurga konstrueerimiseks piki selle antud külge (joonis 64) jagame lõigu AB kuueks võrdseks osaks. Punktidest A ja B raadiusega AB kirjeldame kaare, mille lõikepunktist saab punkti K. Läbi selle punkti ja jaotuse 3 sirgele AB tõmbame vertikaalse sirge. Selle sirge punktist K kaugemale eraldame lõigu, mis on võrdne 4/6 AB. Saame punkti 1 - viisnurga tipp. Seejärel kirjeldame raadiusega, mis on võrdne AB-ga, punktist 1 kaare kuni lõikepunktini punktidest A ja B eelnevalt tõmmatud kaaredega. Kaarte lõikepunktid määravad viisnurga tipud 2 ja 5. Ühendame leitud tipud üksteisega jadas.

Ringi sisse kirjutatud korrapärase seitsenurga ehitus.

Olgu antud ring läbimõõduga D; peate sellesse kirjutama tavalise seitsenurkse (joonis 65). Jagage ringi vertikaalne läbimõõt seitsmeks võrdseks osaks. Punktist 7, mille raadius on võrdne ringi D läbimõõduga, kirjeldame kaare, kuni see lõikub horisontaalse läbimõõdu jätkuga punktis F. Punkti F nimetatakse hulknurga pooluseks. Võttes seitsenurga üheks tipuks punkti VII, tõmbame poolusest F läbi vertikaalse läbimõõdu ühtlaste jaotustega kiired, mille ristumine ringiga määrab seitsenurga tipud VI, V ja IV. Punktidest IV, V ja VI tippude / - // - /// saamiseks tõmbame horisontaaljooni, kuni need ristuvad ringiga. Leitud tipud ühendame üksteisega järjestikku. Seitsenurka saab konstrueerida kiirte tõmbamisega F-poolusest ja vertikaalse läbimõõdu paaritute jaotuste kaudu.

Ülaltoodud meetod sobib mistahes arvu külgedega korrapäraste hulknurkade konstrueerimiseks.

Ringi jagamist suvaliseks arvuks võrdseteks osadeks saab teha ka tabelis olevate andmete abil. 2, mis näitab koefitsiente, mis võimaldavad määrata korrapäraste sissekirjutatud hulknurkade külgede mõõtmeid.

Korrapärase sissekirjutatud hulknurkade küljepikkused.

Selle tabeli esimene veerg näitab korrapärase sissekirjutatud hulknurga külgede arvu ja teine ​​veerg näitab koefitsiente. Antud hulknurga külje pikkus saadakse antud ringi raadiuse korrutamisel teguriga, mis vastab selle hulknurga külgede arvule.

Ožegovi selgitavas sõnastikus on öeldud, et viisnurk on piiritletud viie ristuva sirgjoonega, mis moodustavad viis sisenurka, samuti mis tahes sarnase kujuga objekt. Kui antud hulknurgal on kõik ühesugused küljed ja nurgad, siis nimetatakse seda korrapäraseks (viisnurgaks).

Mis on tavalises viisnurgas huvitavat?

Just sellisel kujul ehitati Ameerika Ühendriikide kaitseministeeriumi tuntud hoone. Mahulistest korrapärastest hulktahukatest on ainult dodekaeedril viisnurga kujulised tahud. Ja looduses puuduvad täiesti kristallid, mille näod meenutaksid tavalist viisnurka. Lisaks on see joonis minimaalse arvu nurkadega hulknurk, mida ei saa kasutada ala plaadistamiseks. Ainult viisnurgal on sama palju diagonaale kui selle külgedel. Nõus, see on huvitav!

Põhiomadused ja valemid

Kasutades suvalise korrapärase hulknurga valemeid, saate määrata kõik vajalikud parameetrid, mis viisnurgal on.

• Kesknurk α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Sisenurk β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Vastavalt sellele on sisenurkade summa 540°.
• Diagonaali ja külje suhe on (1+√5)/2, st (ligikaudu 1,618).
• Tavalise viisnurga külje pikkuse saab arvutada ühe kolmest valemist, sõltuvalt sellest, milline parameeter on juba teada:

• kui ringjoon on selle ümber piiratud ja selle raadius R on teada, siis a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• juhul, kui ring raadiusega r on kantud korrapärasesse viisnurka, siis a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• juhtub, et raadiuste asemel on teada diagonaali D väärtus, siis määratakse külg järgmiselt: a ≈ D / 1,618.

• Regulaarse viisnurga pindala määratakse jällegi sõltuvalt sellest, millist parameetrit me teame:
• kui on sisse kirjutatud või piiritletud ring, kasutatakse ühte kahest valemist:

S \u003d (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r või S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• pindala saab määrata ka teades ainult külje a pikkust:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Regulaarne viisnurk: ehitus

Seda geomeetrilist kujundit saab konstrueerida erineval viisil. Näiteks kirjutage see etteantud raadiusega ringi või ehitage see etteantud külgkülje põhjal. Tegevuste jada kirjeldati Eukleidese Elementides umbes 300 eKr. Igal juhul vajame kompassi ja joonlauda. Mõelge ehitusmeetodile antud ringi abil.

1. Valige suvaline raadius ja tõmmake ring, märkides selle keskpunkti punktiga O.

2. Vali ringjoonel punkt, mis on üks meie viisnurga tippudest. Olgu selleks punkt A. Ühendage punktid O ja A sirgjoonega.

3. Joonistage joon läbi punkti O, mis on risti sirgega OA. Märkige punktiks B punkt, kus see sirge lõikub ringjoonega.

4. Ehitage punktide O ja B vahemaa keskele punkt C.

5. Nüüd tõmmake ring, mille keskpunkt on punktis C ja mis läbib punkti A. Selle ristumiskohaks sirgega OB (see on kõige esimese ringi sees) on punkt D.

6. Ehitage D läbiv ring, mille keskpunkt on punktis A. Selle lõikumiskohad algse ringjoonega tuleb tähistada punktidega E ja F.

7. Nüüd ehitage ring, mille keskpunkt on punktis E. Seda tuleb teha nii, et see läbiks punkti A. Tuleb märkida selle teine ​​ristmik algse ringiga

8. Lõpuks tõmmake ringjoon läbi A, mille keskpunkt on punktis F. Märkige veel üks algse ringjoone lõikepunkt punktiga H.

9. Nüüd jääb üle vaid ühendada tipud A, E, G, H, F. Meie tavaline viisnurk saab valmis!

5.3. kuldne viisnurk; Eukleidese ehitus.

Imeline näide "kuldlõikest" on korrapärane viisnurk - kumer ja tähekujuline (joon. 5).

Pentagrammi ehitamiseks peate ehitama tavalise viisnurga.

Olgu O ringi keskpunkt, A ringjoone punkt ja E lõigu OA keskpunkt. Punktis O taastatud risti raadiusega OA lõikub ringiga punktis D. Märkige kompassi abil läbimõõdule lõik CE = ED. Regulaarse viisnurga ringi sisse kirjutatud külje pikkus on DC. Jätame ringil kõrvale lõigud DC ja saame viis punkti tavalise viisnurga joonistamise eest. Ühendame viisnurga nurgad läbi ühe diagonaali ja saame pentagrammi. Kõik viisnurga diagonaalid jagavad üksteist kuldlõikega ühendatud segmentideks.

Viisnurkse tähe kumbki ots on kuldne kolmnurk. Selle küljed moodustavad ülaosas 36° nurga ja küljele asetatud alus jagab selle proportsionaalselt kuldse lõikega.

Samuti on olemas kuldne risttahukas - see on ristkülikukujuline rööptahukas, mille servad on pikkusega 1,618, 1 ja 0,618.

Nüüd kaaluge tõestust, mille Eukleides elementides pakub.

piiritletud ringi keskpunktist. Alustame sellest

segment ABE, jagatud keskel ja

Nii et olgu AC = AE. Tähistame a-ga võrdsed nurgad EBC ja CEB. Kuna AC=AE, on nurk ACE samuti võrdne a-ga. Teoreem, et kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi, võimaldab leida nurga KÕIK: see on 180-2a ja nurk EAC on 3a - 180. Kuid siis on nurk ABC 180-a. Summeerides kolmnurga ABC nurgad, saame

180=(3a-180) + (3a-180) + (180-a)

Kust 5a=360, seega a=72.

Seega on kõik kolmnurga BEC aluse nurgad kaks korda suuremad kui ülaosas, võrdne 36 kraadiga. Seetõttu on korrapärase viisnurga konstrueerimiseks vaja joonestada ainult suvaline ring, mille keskpunkt on punktis E ja mis lõikub punktis X EC ja punktis Y külje EB: lõik XY on üks korrapärase viisnurga külgedest. ring; Kogu ringil ringi minnes leiate kõik teised küljed.

Nüüd tõestame, et AC=AE. Oletame, et tipp C on sirgjoonega ühendatud lõigu BE keskpunktiga N. Pange tähele, et kuna CB = CE, siis nurk CNE on täisnurk. Pythagorase teoreemi järgi:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 = a 2 (1-4j 2)

Seega on meil (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Niisiis, AC = ja = jAB = AE, mida tuli tõestada

5.4 Archimedese spiraal.

Kuldsetest ristkülikutest lõpmatuseni välja lõigates ruudud järjestikku, ühendades iga kord vastaspunkte veerandi ringiga, saame üsna elegantse kõvera. Esimese tähelepanu juhtis talle Vana-Kreeka teadlane Archimedes, kelle nime ta kannab. Ta uuris seda ja tuletas selle spiraali võrrandi.

Praegu kasutatakse Archimedese spiraali tehnoloogias laialdaselt.

6. Fibonacci numbrid.

Kaudselt seostub kuldlõikega Itaalia matemaatiku Leonardo nimi Pisast, kes on rohkem tuntud hüüdnime Fibonacci järgi (Fibonacci on filius Bonacci ehk Bonacci poja lühend).

Aastal 1202 ta kirjutas raamatu "Liber abacci", see tähendab "Abakuse raamat". "Liber abacci" on mahukas teos, mis sisaldab peaaegu kõiki tolleaegseid aritmeetika- ja algebrateadmisi ning mängis olulist rolli matemaatika arengus Lääne-Euroopas järgmistel sajanditel. Eelkõige said eurooplased sellest raamatust tuttavaks hinduistlike ("araabia") numbritega.

Raamatus esitatud materjali on selgitatud paljude probleemide kohta, mis moodustavad olulise osa sellest traktaadist.

Mõelge ühele sellisele probleemile:

Mitu paari küülikuid sünnib ühest paarist ühe aasta jooksul?

Keegi pani küülikupaari kindlasse kohta, mis oli igast küljest seinaga piiratud, et teada saada, mitu paari küülikuid selle aasta jooksul ilmale tuleb, kui küülikute olemus on selline, et kuu aja pärast tuleb paar küülikut ilmale. küülikud paljunevad teist ja küülikud poegivad teisest kuust pärast sündi "

Liigume nüüd küülikute juurest numbrite juurde ja kaalume järgmist numbrilist järjestust:

u 1 , u 2 … u n

milles iga liige on võrdne kahe eelneva summaga, s.o. mis tahes n>2 jaoks

u n \u003d u n -1 + u n -2.

See järjestus asümptootiliselt (läheneb üha aeglasemalt) kaldub mingisse püsivasse seosesse. See suhe on aga irratsionaalne, see tähendab, et see on arv, mille murdosas on lõpmatu, ettearvamatu kümnendnumbrite jada. Seda ei saa täpselt väljendada.

Kui Fibonacci jada mõni liige jagada sellele eelnevaga (näiteks 13:8), on tulemuseks väärtus, mis kõigub irratsionaalse väärtuse 1,61803398875 ümber... ja mõnikord ületab seda, mõnikord ei jõua selleni.

Jada asümptootiline käitumine, selle suhte summutatud kõikumised irratsionaalarvu Φ ümber võivad muutuda arusaadavamaks, kui näidata jada mitme esimese liikme suhteid. See näide näitab teise liikme seost esimesega, kolmanda ja teise, neljanda ja kolmandaga jne.

1:1 = 1,0000, mis on 0,6180 võrra väiksem kui phi

2:1 = 2,0000, mis on 0,3820 phi võrra rohkem

3:2 = 1,5000, mis on phi-st 0,1180 võrra väiksem

5:3 = 1,6667, mis on 0,0486 phi võrra rohkem

8:5 = 1,6000, mis on 0,0180 võrra väiksem kui phi

Kui liigute mööda Fibonacci summeerimisjada, jagab iga uus termin järgmise järjest enam ligikaudselt saavutamatule F-le.

Inimene otsib alateadlikult jumalikku proportsiooni: seda on vaja tema mugavusvajaduse rahuldamiseks.

Jagades Fibonacci jada mis tahes liikme järgmisega, saame pöördarvu 1,618 (1: 1,618=0,618). Kuid see on ka väga ebatavaline, isegi tähelepanuväärne nähtus. Kuna algne suhe on lõpmatu murd, ei tohiks ka sellel suhtel olla lõppu.

Jagades iga arvu järgmisega, saame arvuks 0,382

Sel viisil suhtarvud valides saame Fibonacci koefitsientide põhikomplekti: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236. Nimetame ka 0,5. Kõik need mängivad looduses ja eriti tehnilises analüüsis erilist rolli.

Siinkohal tuleb märkida, et Fibonacci meenutas inimkonnale ainult tema järjestust, kuna seda tunti iidsetel aegadel kuldlõike nime all.

Kuldne läbilõige, nagu nägime, tekib seoses tavalise viisnurgaga, nii et Fibonacci numbrid mängivad rolli kõiges, mis on seotud tavaliste viisnurkadega – kumerate ja tähekujulistega.

Fibonacci seeria oleks võinud jääda vaid matemaatiliseks vahejuhtumiks, kui poleks olnud tõsiasja, et kõik taime- ja loomamaailma kuldse jaotuse uurijad, rääkimata kunstist, oleks alati jõudnud sellesse seeriasse kui kuldse jaotuse seaduse aritmeetilise väljenduse juurde. . Teadlased jätkasid Fibonacci arvude ja kuldse lõike teooria aktiivset arendamist. Yu. Matiyasevitš lahendab Fibonacci arvude abil Hilberti 10. ülesande (Diofantiini võrrandite lahendamise kohta). Mitmete küberneetiliste probleemide (otsingu teooria, mängud, programmeerimine) lahendamiseks on olemas elegantsed meetodid, kasutades Fibonacci numbreid ja kuldset lõiku. USA-s luuakse isegi Mathematical Fibonacci Association, mis annab välja spetsiaalset ajakirja alates 1963. aastast.

Üks selle valdkonna saavutusi on üldistatud Fibonacci arvude ja üldistatud kuldsete suhete avastamine. Fibonacci seeria (1, 1, 2, 3, 5, 8) ja tema poolt avastatud kahendarvude jada 1, 2, 4, 8, 16 ... (see tähendab numbrite jada kuni n , kus iga naturaalarvu, mis on väiksem kui n, saab esitada selle seeria mõne arvu summana), on need esmapilgul täiesti erinevad. Kuid nende ehitamise algoritmid on üksteisega väga sarnased: esimesel juhul on iga arv eelmise arvu summa iseendaga 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., teises - see on kahe eelmise numbri summa 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Kas see on võimalik et leida üldine matemaatiline valem, millest ja " binaarrida ja Fibonacci seeria?

Tõepoolest, paneme paika numbrilise parameetri S, mis võib võtta mis tahes väärtused: 0, 1, 2, 3, 4, 5... eraldatuna eelmisest S sammu võrra. Kui selle rea n-ndat liiget tähistada S (n), siis saame üldvalemi S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Ilmselgelt, kui S = 0, saame sellest valemist "binaarrea", S = 1 - Fibonacci jada, mille S = 2, 3, 4. Uued arvude jadad, mida nimetatakse S-Fibonacci numbriteks.

Üldiselt on kuldne S-proportsioon kuldse S-lõike võrrandi x S+1 – x S – 1 = 0 positiivne juur.

Lihtne on näidata, et S = 0 korral saadakse lõigu jagamine pooleks ja S = 1 korral tuttav klassikaline kuldsuhe.

Absoluutse matemaatilise täpsusega naaber Fibonacci S-arvude suhted langevad piirväärtuses kokku kuldsete S-proportsioonidega! See tähendab, et kuldsed S-lõiked on Fibonacci S-arvude arvulised invariandid.

7. Kuldlõik kunstis.

7.1. Kuldlõik maalikunstis.

Pöördudes maalikunsti "kuldlõike" näidete poole, ei saa jätta tähelepanuta Leonardo da Vinci loomingut. Tema identiteet on üks ajaloo mõistatusi. Leonardo da Vinci ise ütles: "Ärgu keegi, kes pole matemaatik, julge minu teoseid lugeda."

Pole kahtlustki, et Leonardo da Vinci oli suurepärane kunstnik, tema kaasaegsed tunnistasid seda juba, kuid tema isiksust ja tegevust varjab mõistatus, kuna ta ei jätnud järeltulijatele mitte oma ideede ühtset esitlust, vaid ainult arvukalt käsitsi kirjutatud visandeid, märkmeid. mis ütlevad "mõlemad kõik maailmas".

Monna Lisa (Gioconda) portree on aastaid pälvinud teadlaste tähelepanu, kes avastasid, et joonise kompositsioon põhineb kuldsetel kolmnurkadel, mis on tavalise tähe viisnurga osad.

Samuti ilmub Shishkini maalil kuldlõike osakaal. Sellel kuulsal I. I. Šiškini maalil on kuldse lõike motiivid selgelt näha. Eredalt valgustatud mänd (seisab esiplaanil) jagab pildi pikkuse vastavalt kuldlõikele. Männipuust paremal on päikese käes valgustatud küngas. See jagab pildi parema külje horisontaalselt vastavalt kuldsele lõikele.

Raphaeli maalil "Süütute veresaun" on näha veel üks kuldlõike element – ​​kuldne spiraal. Raffaeli ettevalmistaval visandil on joonistatud punased jooned, mis jooksevad kompositsiooni semantilisest keskpunktist – punktist, kus sõdalase sõrmed sulgusid ümber lapse pahkluu – piki lapse figuure, naine hoiab teda enda küljes, sõdalane oma kätega. tõstetud mõõk ja seejärel mööda sama rühma figuure sketši paremal küljel . Pole teada, kas Raphael ehitas kuldse spiraali või tundis seda.

T. Cook kasutas kuldlõiget Sandro Botticelli maali "Veenuse sünd" analüüsides.

7.2. Kuldse lõike püramiidid.

Püramiidide, eriti kuldlõike, meditsiinilised omadused on laialt tuntud. Mõnede levinumate arvamuste kohaselt tundub ruum, kus selline püramiid asub, suurem ja õhk on läbipaistvam. Unenäod hakkavad paremini meelde jääma. Teada on ka see, et kuldlõiget kasutati laialdaselt arhitektuuris ja skulptuuris. Selle näiteks oli: Pantheon ja Parthenon Kreekas, arhitektide Bazhenovi ja Malevitši hooned

8. Järeldus.

Peab ütlema, et kuldlõikel on meie elus suurepärane rakendus.

On tõestatud, et inimkeha jaguneb võrdeliselt kuldse lõikega vööjoonega.

Nautiluse kest on keerdunud nagu kuldne spiraal.

Tänu kuldsele lõikele avastati Marsi ja Jupiteri vaheline asteroidivöö – proportsionaalselt peaks seal olema veel üks planeet.

Stringi ergastamine seda jagavas punktis kuldse jaotuse suhtes ei pane stringi vibreerima, st see on kompensatsioonipunkt.

Elektromagnetiliste energiaallikatega lennukitel luuakse kuldse lõigu osakaaluga ristkülikukujulised elemendid.

Gioconda on ehitatud kuldsetele kolmnurkadele, kuldne spiraal on olemas Raphaeli maalil "Süütute veresaun".

Sandro Botticelli maalilt "Veenuse sünd" leitud proportsioon

Kuldlõiget kasutades on ehitatud palju arhitektuurimälestisi, sealhulgas Ateena Pantheon ja Parthenon, arhitektide Bazhenovi ja Malevitši hooned.

John Keplerile, kes elas viis sajandit tagasi, kuulub väide: "Geomeetrial on kaks suurt aaret. Esimene on Pythagorase teoreem, teine ​​on lõigu jagamine äärmise ja keskmise suhtega."

Bibliograafia

1. D. Pidow. Geomeetria ja kunst. – M.: Mir, 1979.

2. Ajakiri "Teadus ja tehnoloogia"

3. Ajakiri "Quantum", 1973, nr 8.

4. Ajakiri "Matemaatika koolis", 1994, nr 2; Number 3.

5. Kovaljov F.V. Kuldlõik maalikunstis. K .: Vyscha kool, 1989.

6. Stahhov A. Kuldlõike koodid.

7. Vorobjov N.N. "Fibonacci numbrid" - M.: Nauka 1964

8. "Matemaatika – entsüklopeedia lastele" M .: Avanta +, 1998

9. Info Internetist.

Fibonacci maatriksid ja nn "kuldsed" maatriksid, uus arvutiaritmeetika, uus kodeerimise teooria ja uus krüptograafiateooria. Uue teaduse olemus on kogu matemaatika revideerimine kuldlõike vaatepunktist, alustades Pythagorasest, mis toob loomulikult kaasa uusi ja kindlasti väga huvitavaid matemaatilisi tulemusi teoorias. Praktilises mõttes - "kuldne" arvutistamine. Ja kuna...

Seda tulemust see ei mõjuta. Kuldlõike aluseks on rekursiivsete suhtarvude 4 ja 6 invariant. See näitab kuldlõike "stabiilsust", elusaine organiseerimise üht põhimõtet. Samuti on kuldlõike aluseks kahe eksootilise rekursiivse jada lahendus (joon. 4.) Joon. 4 rekursiivset Fibonacci jada, nii et...

Kõrv on j5 ja kaugus kõrvast võrani on j6. Seega näeme selles kujus geomeetrilist progressiooni nimetajaga j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (joonis 9). Seega on kuldlõige Vana-Kreeka kunsti üks põhiprintsiipe. Südame ja aju rütmid. Inimese süda lööb ühtlaselt – puhkeolekus umbes 60 lööki minutis. Süda surub kokku nagu kolb...