Ringi puutuja. Lõpetage õppetunnid – teadmiste hüpermarket. Puutejoon Mis on puutuja nurk

1. Kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on suurem kui raadius. Sel juhul asuvad kõik sirge punktid väljaspool ringi.


2. Kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on väiksem kui raadius. Sel juhul on sirgel punktid, mis asuvad ringi sees ja kuna sirge on mõlemas suunas lõpmatu, siis lõikub see ringjoonega 2 punktis.


3. Kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on võrdne raadiusega. Sirge on puutuja.

Nimetatakse sirget, millel on ringjoonega ainult üks ühine punkt puutuja ringile.

Sel juhul nimetatakse ühispunkti kokkupuutepunkt.

Puutuja olemasolu ja pealegi läbi mis tahes ringi punkti puutepunktina tõmmatud puutuja olemasolu tõestab järgmine teoreem.

Teoreem. Kui sirge on raadiusega risti selle otsas, mis asub ringil, siis on see sirge puutuja.

Olgu O (joonis) mingi ringi keskpunkt ja OA osa selle raadiusest. Läbi selle otsa A tõmbame MN ^ OA.

On vaja tõestada, et sirge MN on puutuja, s.t. et sellel sirgel on ringjoonega ainult üks ühine punkt A.

Oletame vastupidist: olgu MN-l ringjoonega veel üks ühine punkt, näiteks B.

Siis oleks sirge OB raadius ja seega võrdne OA-ga.

Kuid see ei saa olla, sest kui OA on risti, siis OB peab olema MN-i suhtes kaldu ja kaldu on suurem kui risti.

Pöördeteoreem. Kui sirge puutub ringiga, siis puutepunktini tõmmatud raadius on sellega risti.

Olgu MN ringjoone puutuja, A puutepunkt ja O ringi keskpunkt.

On vaja tõestada, et OA^MN.

Oletame vastupidist, s.t. Oletame, et O-st MN-i langetatud risti ei ole OA, vaid mõni muu sirge, näiteks OB.

Võtame BC = AB ja teostame operatsioonisüsteemi.

Siis on OA ja OS kaldus, võrdselt kaugel risti OB-st ja seetõttu OS = OA.

Sellest järeldub, et ringil on meie eeldust arvesse võttes sirgega MN kaks ühist punkti: A ja C, s.o. MN ei ole puutuja, vaid sekant, mis on tingimusega vastuolus.

Tagajärg. Ringjoone suvalise punkti kaudu saab tõmmata sellele ringile puutuja ja ainult ühe, kuna selle punkti kaudu saab tõmmata sellesse tõmmatud raadiusele risti ja ainult ühe.

Teoreem. Kõõluga paralleelne puutuja jagab akordiga kaetud kaare kokkupuutepunktis pooleks.

Laske sirgel AB (joonis) puudutada ringi punktis M ja olla paralleelne kõõluga CD.

Peame tõestama, et ÈCM = ÈMD.

Joonistades läbimõõdu ME läbi puutepunkti, saame: EM ^ AB ja seega EM ^ CB.

Seetõttu CM = MD.

Ülesanne. Joonistage antud punkti kaudu antud ringi puutuja.

Kui antud punkt asub ringil, siis tõmmake sellest läbi raadius ja läbi raadiuse otsa risti sirge. See rida on soovitud puutuja.

Vaatleme juhtumit, kui punkt on antud väljaspool ringi.

Olgu nõutav (joonis) joonestada punkti A läbiva ringi keskpunktiga O puutuja.

Selleks kirjeldame punktist A kui keskpunktist kaare raadiusega AO ja punktist O kui keskpunktist lõikame selle kaare punktides B ja C kompassi avaga, mis on võrdne antud ringi läbimõõduga. .

Olles seejärel tõmmanud akordid OB ja OS, ühendame punkti A punktidega D ja E, kus need akordid ristuvad antud ringiga.

Sirged AD ja AE puutuvad ringiga O.

Tõepoolest, konstruktsioonist on selge, et torud AOB ja AOC on võrdhaarsed (AO = AB = AC), mille alused OB ja OS on võrdsed ringi O läbimõõduga.

Kuna OD ja OE on raadiused, siis D on OB keskpunkt ja E on OS keskpunkt, mis tähendab, et AD ja AE on mediaanid, mis on tõmmatud võrdhaarsete torude aluste külge ja on seetõttu nende alustega risti. Kui sirged DA ja EA on risti raadiustega OD ja OE, siis on need puutujad.

Tagajärg. Kaks ühest punktist ringile tõmmatud puutujat on võrdsed ja moodustavad seda punkti keskpunktiga ühendava sirgjoonega võrdsed nurgad.

Seega AD=AE ja ÐOAD = ÐOAE (joonis), sest ristkülikukujulised tr-ki AOD ja AOE, millel on ühine hüpotenuus AO ja võrdsed jalad OD ja OE (raadiustena), on võrdsed.

Pange tähele, et siin tähendab sõna "puutuja" tegelikku "puutuja segmenti" antud punktist kokkupuutepunktini.

Ülesanne. Joonistage antud ringjoone O puutuja, mis on paralleelne antud sirgega AB (joonis).

Alandame risti OS punkti AB keskpunktist O ja läbi punkti D, kus see rist lõikub ringiga, joonestame EF || AB.

Otsitav puutuja on EF.

Tõepoolest, kuna OS ^ AB ja EF || AB, siis EF ^ OD ja raadiusega risti asetsev sirge selle otsas ringjoonel on puutuja.

Ülesanne. Joonistage kahele ringile O ja O 1 ühine puutuja (joonis).

Analüüs. Oletame, et probleem on lahendatud.

Olgu AB ühispuutuja, A ja B puutepunktid.

Ilmselgelt, kui leiame ühe neist punktidest, näiteks A, siis leiame hõlpsasti ka teise.

Joonistame raadiused OA ja O 1 B. Need raadiused, olles risti ühise puutujaga, on üksteisega paralleelsed.

Seega, kui O 1-st joonistame O 1 C || BA, siis on torujuhe OCO 1 tipus C ristkülikukujuline.

Selle tulemusena, kui kirjeldame ringi O-st kui keskpunkti raadiusega OS, puudutab see punktis C sirgjoont O 1 C.

Selle abiringi raadius on teada: see võrdub OA – CA = OA - O 1 B, s.o. see on võrdne nende ringide raadiuste vahega.

Ehitus. Keskpunktist O kirjeldame ringi, mille raadius on võrdne nende raadiuste erinevusega.

O 1-st tõmbame sellele ringile puutuja O 1 C (eelmises ülesandes näidatud viisil).

Läbi puutujapunkti C tõmbame raadiuse OS ja jätkame seda seni, kuni see kohtub antud ringiga punktis A. Lõpuks joonistame punktist A AB paralleelselt CO 1 -ga.

Täpselt samamoodi saame konstrueerida veel ühe ühise puutuja A 1 B 1 (joonis). Otsejooni AB ja A 1 B 1 kutsutakse välisedühised puutujad.

Võite kulutada veel kaks sisemine puutujad järgmiselt:

Analüüs. Oletame, et probleem on lahendatud (joonis). Olgu AB soovitud puutuja.

Tõmbame puutujapunktidesse A ja B raadiused OA ja O 1 B. Kuna need raadiused on mõlemad risti ühise puutujaga, on nad üksteisega paralleelsed.

Seega, kui O 1-st joonistame O 1 C || BA ja jätkake OA punkti C, siis on OS risti O 1 C-ga.

Selle tulemusena puudutab raadiusega OS punktist O keskpunktina kirjeldatud ringjoon punktis C sirgjoont O 1 C.

Selle abiringi raadius on teada: see võrdub OA+AC = OA+O 1 B, s.o. see on võrdne antud ringide raadiuste summaga.

Ehitus. O-st kui keskpunktist kirjeldame ringi, mille raadius on võrdne nende raadiuste summaga.

O 1-st tõmbame sellele ringile puutuja O 1 C.

Ühendame kontaktpunkti C O-ga.

Lõpuks joonistame läbi punkti A, kus OS lõikub antud ringiga, AB = O 1 C.

Sarnaselt saame konstrueerida veel ühe sisemise puutuja A 1 B 1.

Tangensi üldine määratlus

Läbi punkti A tõmmatakse keskpunktiga ringile puutuja AT ja mingi sekant AM (joonis).

Pöörame seda sekanti ümber punkti A, nii et teine ​​lõikepunkt B liigub punktile A aina lähemale.

Siis läheneb risti asetsev OD, mis on langetatud keskelt sekanti, raadiusele OA üha enam ja nurk AOD võib muutuda väiksemaks kui mis tahes väike nurk.

Sekandi ja puutuja poolt moodustatud nurk MAT on võrdne nurgaga AOD (nende külgede perpendikulaarsuse tõttu).

Seetõttu, kui punkt B läheneb lõputult punktile A, võib ka nurk MAT muutuda meelevaldselt väikeseks.

Seda väljendatakse teiste sõnadega järgmiselt:

puutuja on piirasend, milleni läbi puutepunkti tõmmatud sekant kaldub, kui teine ​​lõikepunkt läheneb piiramatult puutepunktile.

Seda omadust võetakse puutuja määratlusena, kui räägitakse mis tahes kõverast.

Seega on kõvera AB puutuja (joonis.) piirasend MT, mille poole kaldub sekant MN, kui lõikepunkt P läheneb piiranguteta M-le.

Pange tähele, et sel viisil määratletud puutujal võib kõveraga olla rohkem kui üks ühine punkt (nagu on näha joonisel).

Otsene ( MN), millel on ringiga ainult üks ühine punkt ( A), kutsus puutuja ringile.

Sel juhul nimetatakse ühispunkti kokkupuutepunkt.

Olemasolu võimalus puutuja, ja pealegi tõmmatud läbi mis tahes punkti ring, kui puutepunkt, on tõestatud järgmiselt teoreem.

Olgu selle läbiviimine kohustuslik ring keskusega O puutuja punkti kaudu A. Et seda teha punktist A, nagu keskusest, kirjeldame kaar raadius A.O., ja punktist O, kui keskpunkt, lõikame selle kaare punktides B Ja KOOS antud ringi läbimõõduga võrdne kompassi lahendus.

Peale kulutamist siis akordid O.B. Ja OS, ühendage punkt A täppidega D Ja E, kus need akordid ristuvad antud ringiga. Otsene AD Ja A.E. - ringi puutujad O. Tõepoolest, ehitusest on see selge kolmnurgad AOB Ja AOC võrdhaarne(AO = AB = AC) alustega O.B. Ja OS, võrdub ringi läbimõõduga O.

Sest O.D. Ja O.E.- raadiused siis D - keskel O.B., A E- keskmine OS, Tähendab AD Ja A.E. - mediaanid, mis on tõmmatud võrdhaarsete kolmnurkade aluste külge ja on seetõttu nende alustega risti. Kui sirge D.A. Ja E.A. raadiustega risti O.D. Ja O.E., siis nad - puutujad.

Tagajärg.

Kaks ühest punktist ringile tõmmatud puutujat on võrdsed ja moodustavad seda punkti keskpunktiga ühendava sirgjoonega võrdsed nurgad.

Niisiis AD=AE ja ∠ OAD = ∠OAE sest täisnurksed kolmnurgad AOD Ja AOE, millel on ühine hüpotenuus A.O. ja võrdne jalad O.D. Ja O.E.(raadiustena), on võrdsed. Pange tähele, et siin tähendab sõna "tangent" tegelikult " puutuja segment” antud punktist kokkupuutepunkti.

Sirget, millel on ainult üks ringjoonega ühine punkt, nimetatakse ringi puutujaks ning nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi puutujapunktiks.

Teoreem (ringjoone puutuja omadus)

Ringjoone puutuja on puutepunktini tõmmatud raadiusega risti.

Antud

A – kontaktpunkt

Tõesta:p OA

Tõestus.

Tõestame seda vastuoluga.

Oletame, et p on OA, siis OA kaldub sirgele p.

Kui punktist O tõmmatakse sirge p risti OH, siis on selle pikkus väiksem kui raadius: OH< ОА=r

Leiame, et kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni p (OH) on väiksem kui raadius (r), mis tähendab, et sirge p on sekantne (st sellel on ringjoonega kaks ühist punkti), mis on vastuolus teoreemi tingimustega (p on puutuja).

See tähendab, et eeldus on vale, mistõttu sirge p on OA-ga risti.

Teoreem (ühest punktist tõmmatud puutujate segmentide omadus)

Ühest punktist tõmmatud ringi puutujate lõigud on võrdsed ja moodustavad seda punkti ja ringi keskpunkti läbiva sirgjoonega võrdsed nurgad.

Antud: u. (O;r)

AB ja AC on ümbruse puutujad. (O;r)

Tõesta: AB=AC

Tõestus

1) OB AB, OS AC puutepunktini tõmmatud raadiudena (puutuja omadus)

2) Kaaluge tr. AOB jne. AOS – p/u

JSC – üldine

OB=OS (raadiudena)

See tähendab ABO = AOC (hüpotenuusi ja jala järgi). Seega

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Teoreem (tangentsiaalne test)

Kui joon läbib ringil asuva raadiuse otsa ja on selle raadiusega risti, siis on tegemist puutujaga.

Antud: OA – ringi raadius

Tõesta: p- ringi puutuja

Tõestus

OA – ringi raadius (vastavalt tingimusele) (OA=r)

OA – risti O-st sirgjooneni p (OA =d)

See tähendab r=OA=d, mis tähendab, et sirgel p ja ringil on üks ühine punkt.

Seetõttu on sirge p puutuja ringiga. jne.

3. Akordide ja sekantide omadused.

Tangensi ja sekanti omadused

MÄÄRATLUS

Ümbermõõt on ühest punktist võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht, mida nimetatakse ringi keskpunktiks.

Nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kahte ringi punkti akord(joonisel on see segment). Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt ringid.

1. Puutuja on risti raadiusega, mis on tõmmatud kokkupuutepunkti.

2. Ühest punktist tõmmatud puutujalõigud on võrdsed.

3. Kui väljaspool ringi asuvast punktist tõmmatakse puutuja ja sekant, siis on puutuja pikkuse ruut võrdne lõikaja ja selle välimise osa korrutisega.

Enamasti valmistavad taotlejatele, lõpetajatele ja matemaatikaolümpiaadidel osalejatele raskusi just geomeetrilised ülesanded. Kui vaadata 2010. aasta ühtse riigieksami statistikat, siis on näha, et umbes 12% osalejatest alustas geomeetriaülesannet C4 ja ainult 0,2% osalejatest sai täishinde ning üldiselt osutus probleemiks kõige keerulisem kõigist kavandatutest.

Ilmselgelt mida varem pakume koolilastele kauneid või ootamatuid probleemide lahendamise viise, seda suurem on tõenäosus neid tõsiselt ja pikaks ajaks huvitada ja köita. Aga kui raske on leida huvitavaid ja keerulisi ülesandeid 7. klassis, kui geomeetria süstemaatiline õppimine alles algab. Mida saab pakkuda matemaatikahuvilisele õpilasele, kes teab vaid kolmnurkade võrdsusmärke ning külgnevate ja vertikaalnurkade omadusi? Ringjoone puutuja mõistet võib aga juurutada kui sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt; eeldame, et puutepunktini tõmmatud raadius on puutujaga risti. Loomulikult tasub kaaluda kõiki võimalikke kahe ringi paigutuse juhtumeid ja nende ühiseid puutujaid, mida saab tõmmata nullist neljani. Allpool pakutud teoreemide tõestamisega saate märkimisväärselt laiendada seitsmenda klassi õpilaste ülesannete hulka. Samal ajal tõestage oma teel olulisi või lihtsalt huvitavaid ja meelelahutuslikke fakte. Veelgi enam, kuna paljusid väiteid kooliõpikusse ei kajastu, saab neid arutada ringitundides ja planimeetriat korrates lõpetajatega. Need faktid osutusid aktuaalseteks eelmisel õppeaastal. Kuna paljud diagnostikatööd ja ühtse riigieksami töö ise sisaldasid probleemi, mille lahendamiseks oli vaja kasutada allpool tõestatud puutuja segmendi omadust.

T 1 Alates tõmmatud ringi puutujate lõigud
võrdne ühe punktiga (joonis 1)

See on teoreem, mida saate kõigepealt seitsmenda klassi õpilastele tutvustada.
Tõestamisel kasutasime täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märki ja jõudsime järeldusele, et ringi keskpunkt asub nurga poolitajal BSA.
Teel meenus, et nurga poolitaja on punktide asukoht nurga sisepiirkonnas, mis on selle külgedest võrdsel kaugusel. Nendel faktidel põhineb kaugeltki triviaalse probleemi lahendus, mis on kättesaadav ka neile, kes alles hakkavad geomeetriat õppima.

1. Nurgapoolitajad A, IN Ja KOOS kumer nelinurk ABCD ristuvad ühes punktis. Kiired AB Ja DC ristuvad punktis E, ja kiired
Päike Ja AD punktis F. Tõesta, et mittekumer nelinurk AECF vastaskülgede pikkuste summad on võrdsed.

Lahendus (joonis 2). Lase KOHTA– nende poolitajate lõikepunkt. Siis KOHTA võrdsel kaugusel nelinurga kõikidest külgedest ABCD, see on
on nelinurka kantud ringi keskpunkt. Teoreemi järgi 1 järgmised võrdsused on tõesed: AR = A.K., ER = E.P., F.T. = FK. Liidame termini haaval vasak ja parem pool ja saame õige võrdsuse:

(AR + ER) + F.T. = (A.K. +FK) + E.P.; A.E. + (F.C. + C.T.) = A.F. + (EL + PC). Sest ST = RS, See AE + F.C. = A.F. + EL, mida oli vaja tõestada.

Vaatleme ebatavalise sõnastusega ülesannet, mille lahendamiseks piisab teoreemi tundmisest 1 .

2. Kas on olemas n-kolmnurk, mille küljed on järjestikku 1, 2, 3, ..., n, millesse saab kirjutada ringi?

Lahendus. Ütleme nii n-gon on olemas. A 1 A 2 =1, …, A n-1 A n= n– 1,A n A 1 = n. B 1 , …, B n – vastavad kokkupuutepunktid. Siis teoreemi 1 järgi A 1 B 1 = A 1 B n< 1, n – 1 < A n B n< n. Puutujate segmentide omaduse järgi A n B n= A n B n-1. Aga, A n B n-1< A n-1 A n= n – 1. Vastuolu. Seetõttu ei n- rahuldab probleemi tingimused.

T 2 Umbes kirjeldatud nelinurga vastaskülgede summad
ringid on võrdsed (joonis 3)

Koolilapsed tõestavad reeglina kirjeldatud nelinurga seda omadust kergesti. Pärast teoreemi tõestamist 1 , see on treeningharjutus. Seda fakti võib üldistada – piiritletud paariskolmnurga külgede summad, mis on võetud läbi ühe külje, on võrdsed. Näiteks kuusnurga jaoks ABCDEFõige: AB + CD + EF = BC + DE + FA.

Lahendus (joonis 1). Kuna nelinurgad ABEF ja ECDF on tsüklilised, siis teoreemi 2 järgi P ABEF = 2(AB + EF) ja P ECDF = 2(CD + EF), tingimuse järgi

P ABEF – P ECDF = 2 (AB + EF) – 2 (CD + EF) = 2p. AB – CD = p. AB = a + p.

Lahendus (joon. 5). 1. teoreemi järgi MV = MX ja RS = RH. Seetõttu kolmnurga ümbermõõt AMR võrdne segmentide summaga AB Ja AC. Või kolmnurga välisringjoonele tõmmatud topeltpuutuja AMR . MOP-nurga väärtust mõõdetakse poole nurga võrra VOS, mis ei sõltu punkti valikust X.

Lahendus (joonis 6). Esimene meetod (algebraline). Lase AK = AN = x, Siis BK = BM = c – x, CM = CN = a – c + x. AC = AN + NC, siis saame luua võrrandi x: b = x + (a – c + x). Kus .

Teine meetod (geomeetriline). Vaatame diagrammi. Võrdsete puutujate lõigud, mis on võetud ükshaaval, annavad kokku poolperimeetri
kolmnurk. Punane ja roheline moodustavad ühe külje A. Siis meid huvitab segment x = p – a. Loomulikult langevad saadud tulemused kokku.

. Z

4. Leidke jalgadega täisnurksesse kolmnurka kirjutatud ringi raadius a, b ja hüpotenuus Koos. Lahendus (joonis 8). T ok kuidas OMCN – ruut, siis on sisse kirjutatud ringi raadius võrdne puutuja lõiguga CN. .

5. Tõesta, et kolmnurga küljega sissekirjutatud ja eksringi puutumispunktid on selle külje keskkoha ümber sümmeetrilised.

Lahendus (joonis 9). Pange tähele, et AK on kolmnurga avaldaja puutuja segment ABC. Vastavalt valemile (2) . VM- joonelõik kolmnurga siseringjoone puutuja ABC. Vastavalt valemile (1) . AK = VM, ja see tähendab, et punktid K ja M külje keskelt võrdsel kaugusel AB, Q.E.D.

6. Kahele ringile tõmmatakse kaks ühist välist puutujat ja üks sisepuutuja. Sisemine puutuja lõikub punktides väliste puutujatega A, B ja puudutab ringe punktides A 1 Ja IN 1 . Tõesta seda AA 1 = BB 1.

Lahendus (joonis 10). Lõpetage... Mida on siin otsustada? See on lihtsalt eelmise probleemi erinev sõnastus. Ilmselgelt on teatud kolmnurga jaoks üks ringjoontest sisse kirjutatud ja teine ​​​​välisjoon ABC. Ja segmendid AA 1 ja BB 1 vastavad segmentidele AK Ja VMülesanded 5. Tähelepanuväärne on, et ülevenemaalisel koolinoorte matemaatikaolümpiaadil välja pakutud ülesanne lahendatakse nii ilmselgelt.

7. Viisnurga küljed läbimise järjekorras on 5, 6, 10, 7, 8. Tõesta, et sellesse viisnurka ei saa kirjutada ringi.

Lahendus (joonis 11). Oletame, et viisnurgas ABCDE saate kirjutada ringi. Pealegi pooled AB, B.C., CD, DE Ja EA võrdub vastavalt 5, 6, 10, 7 ja 8. Märgistame puutujapunktid järjestikku – F, G, H, M Ja N. Laske segmendi pikkus A.F. võrdne X.

Siis B.F. = FD – A.F. = 5 – x = B.G.. G.C. = B.C. – B.G. = = 6 – (5 – x) = 1 + x = CH. Ja nii edasi: HD = DM = 9 – x; M.E. = ET = x – 2, AN = 10 – X.

Aga, A.F. = AN. See on 10 - X = X; X= 5. Kuid puutuja segment A.F. ei saa võrdne pool AB. Sellest tulenev vastuolu tõestab, et ringjoont ei saa antud viisnurka kirjutada.

8. Kuusnurka on kantud ringjoon, mille küljed ringikujulises järjekorras on 1, 2, 3, 4, 5. Leia kuuenda külje pikkus.

Lahendus. Muidugi võime puutuja segmendi tähistada kui X, nagu eelmises ülesandes, loo võrrand ja saad vastuse. Kuid palju tõhusam ja tulemuslikum on kasutada teoreemi märkust 2 : piiritletud kuusnurga külgede summad, mis on üksteisest läbi võetud, on võrdsed.

Siis 1 + 3 + 5 = 2 + 4 + X, Kus X– tundmatu kuues külg, X = 3.

Lahendus (joonis 12). Kuna kõigi külgede pikkused on täisarvud, on lõikude pikkuste murdosad võrdsed BT, B.P., DM, DN, A.K. Ja AT. Meil on AT + TV= 1 ja segmendi pikkuste murdosad AT Ja TB on võrdsed. See on võimalik ainult siis, kui AT + TV= 0,5. Teoreemi järgi 1 VT + VR.
Tähendab, VR= 0,5. Pange tähele, et tingimus CD= 3 osutus taotlemata. Ilmselt eeldasid ülesande autorid mõnda muud lahendust. Vastus: 0,5.

10. Nelinurgas ABCD AD = DC, AB = 3, BC = 5. Kolmnurkadesse kirjutatud ringid ABD Ja CBD puudutage segmenti BD punktides M Ja N vastavalt. Leidke lõigu pikkus MN.

Lahendus (joonis 13). MN = DN – DM. Kolmnurkade valemi (1) järgi DBA Ja DBC vastavalt on meil:

11. Nelinurga sisse ABCD saate kirjutada ringi. Kolmnurkadesse kirjutatud ringid ABD Ja CBD on raadiused R Ja r vastavalt. Leidke nende ringide keskpunktide vaheline kaugus.

Lahendus (joonis 13). Kuna tingimusel nelinurk ABCD sisse kirjutatud, teoreemi järgi 2 meil on: AB + DC = AD + BC. Kasutame eelmise probleemi lahendamise ideed. . See tähendab, et ringide kokkupuutepunktid segmendiga DM kokku sobima. Ringide keskpunktide vaheline kaugus on võrdne raadiuste summaga. Vastus: R+r.

Tegelikult on tõestatud, et seisund on nelinurgas ABCD võite kirjutada ringi, mis on samaväärne tingimusega - kumerasse nelinurka ABCD kolmnurkadesse kirjutatud ringid ABC Ja ADC puudutage üksteist. Tõsi on vastupidi.

Neid kahte vastastikku vastupidist väidet tehakse ettepanek tõestada järgmises ülesandes, mida võib pidada selle üldistuseks.

12. Kumeras nelinurgas ABCD (riis. 14) kolmnurkadesse kirjutatud ringid ABC Ja ADC puudutage üksteist. Tõesta, et kolmnurkadesse kirjutatud ringid ABD Ja BDC puudutavad ka üksteist.

13. Kolmnurgas ABC osapooltega a, b Ja c küljel Päike punkt märgitud D nii et ringid on kirjutatud kolmnurkadesse ABD Ja ACD puudutage segmenti ADühel hetkel. Leidke lõigu pikkus BD.

Lahendus (joonis 15). Rakendame kolmnurkade jaoks valemit (1). ADC Ja A.D.B., arvutades DM kaks

Tuleb välja, D– kokkupuutepunkt küljega Päike kolmnurka kantud ring ABC. See on vastupidine: kui kolmnurga tipp on ühendatud vastasküljel oleva sisse kirjutatud ringi puutepunktiga, siis saadud kolmnurkadesse kantud ringid puudutavad üksteist.

14. Keskused KOHTA 1 , KOHTA 2 ja KOHTA 3 kolm mittelõikuvat sama raadiusega ringi asuvad kolmnurga tippudes. Punktidest KOHTA 1 , KOHTA 2 , KOHTA 3, on nende ringide puutujad joonistatud joonisel näidatud viisil.

On teada, et need puutujad, lõikuvad, moodustasid kumera kuusnurga, mille küljed on värvitud punaseks ja siniseks. Tõesta, et punaste lõikude pikkuste summa on võrdne siniste lõikude pikkuste summaga.

Lahendus (joonis 16). Oluline on mõista, kuidas kasutada seda, et antud ringidel on võrdsed raadiused. Pange tähele, et segmendid BR Ja DM on võrdsed, mis tuleneb täisnurksete kolmnurkade võrdsusest KOHTA 1 BR Ja O 2 B.M.. Samamoodi D.L. = D.P., FN = FK. Liidame võrdsused liikme kaupa, seejärel lahutame saadud summadest tippudest tõmmatud puutujate identsed segmendid A, KOOS, Ja E kuusnurk ABCDEF: AR Ja A.K., C.L. Ja C.M., ET Ja E.P.. Me saame, mida vajame.

Siin on näide stereomeetria probleemist, mis pakuti välja XII rahvusvahelisel keskkooliõpilaste matemaatikaturniiril “Karikas A. N. Kolmogorovi mälestuseks”.

16. Antud viisnurkne püramiid SA 1 A 2 A 3 A 4 A 5 . Seal on kera w, mis puudutab püramiidi kõiki servi ja teist sfääri w 1, mis puudutab aluse kõiki külgi A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ja külgmiste ribide jätkud SA 1, SA 2, SA 3, SA 4, SA 5 aluse ülaosast kaugemale. Tõesta, et püramiidi tipp on aluse tippudest võrdsel kaugusel. (Berlov S. L., Karpov D. V.)

17. Ühtne riigieksam. Diagnostiline töö 8.12.2009, P–4. Antud trapets ABCD, mille alused eKr = 44,AD = 100, AB = CD= 35. Ringjoonte puutuja AD Ja A.C., puudutab külge CD punktis K. Leidke lõigu pikkus CK.BDC ja BDA, puudutage külgi ВD punktides E Ja F. Leidke lõigu pikkus E.F..

Lahendus. Võimalikud on kaks juhtumit (joonis 20 ja joon. 21). Valemi (1) abil leiame lõikude pikkused DE Ja DF.

Esimesel juhul AD = 0,1AC, CD = 0,9A.C.. Teises - AD = 0,125AC, CD = 1,125A.C.. Asendame andmed ja saame vastuseks: 4.6 või 5.5.

Probleemid iseseisvaks lahendamiseks/

1. Ümberringi ümbritsetud võrdhaarse trapetsi ümbermõõt on võrdne 2 hõõruda. Leidke trapetsi diagonaali projektsioon suuremale alusele. (1/2r)

2. Matemaatika ühtse riigieksami ülesannete avatud pank. KELL 4. Kolmnurga sisse kirjutatud ringile ABC (joonis 22), tõmmatakse kolm puutujat. Lõigatud kolmnurkade ümbermõõt on 6, 8, 10. Leia selle kolmnurga ümbermõõt. (24)

3. Kolmnurga sisse ABC ring on sisse kirjutatud. MN – puutuja ringiga, MÎ AC, NÎ BC, BC = 13, AC = 14, AB = 15. Leidke kolmnurga ümbermõõt MNC. (12)

4. Ringjoonele, mis on kantud ruudule, mille külg on a, tõmmatakse selle kahte külge lõikuv puutuja. Leidke lõigatud kolmnurga ümbermõõt. (A)

5. Ringjoon on kantud külgedega viisnurka A, d, c, d Ja e. Leia lõigud, milleks puutepunkt jagab võrdse külje A.

6. Kolmnurka, mille küljed on 6, 10 ja 12, on ringjoon kirjutatud. Ringjoonele tõmmatakse puutuja nii, et see lõikub kahte pikka külge. Leidke lõigatud kolmnurga ümbermõõt. (16)

7. CD– kolmnurga mediaan ABC. Kolmnurkadesse kirjutatud ringid ACD Ja BCD, puudutage segmenti CD punktides M Ja N. Otsi MN, Kui AC – Päike = 2. (1)

8. Kolmnurgas ABC osapooltega a, b Ja c küljel Päike punkt märgitud D. Kolmnurkadesse kirjutatud ringidele ABD Ja ACD, joonestatakse ühine puutuja ristuvalt AD punktis M. Leidke lõigu pikkus OLEN. (Pikkus OLEN ei sõltu punkti asukohast D Ja
võrdne ½ ( c + b – a))

9. Raadiusega ringjoon on kirjutatud täisnurksesse kolmnurka A. Ringi raadius hüpotenuusi ja jalgade pikenduste suhtes on võrdne R. Leidke hüpotenuusi pikkus. ( R–a)

10. Kolmnurgas ABC külgede pikkused on teada: AB = Koos, AC = b, Päike = A. Kolmnurga sisse kirjutatud ring puudutab külge AB punktis C 1. Excircle puudutab külje pikendust AB punkti kohta A punktis C 2. Määrake segmendi pikkus C 1 C 2. (b)

11. Leidke kolmnurga külgede pikkused, mis on jagatud 3 cm raadiusega kirjutatud ringi puutepunktiga 4 cm ja 3 cm pikkusteks lõikudeks (täisnurksel kolmnurgal 7, 24 ja 25 cm)

12. Sorose olümpiaad 1996, 2. voor, 11. klass. Antud kolmnurk ABC, mille külgedele on märgitud punktid A 1, B 1, C 1. Kolmnurkadesse kantud ringide raadiused AC 1 B 1, BC 1 A 1, SA 1 B 1 võrdne sisse r. Kolmnurka kantud ringi raadius A 1 B 1 C 1 võrdub R. Leidke kolmnurga sisse kirjutatud ringi raadius ABC. (R +r).

Ülesanded 4–8 on võetud R.K. Gordini ülesanneteraamatust „Geomeetria. Planimeetria." Moskva. Kirjastus MCNMO. 2004. aasta.

Ringjoone puutuja mõiste

Ringjoonel on sirge suhtes kolm võimalikku suhtelist asendit:

Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on väiksem kui raadius, siis on sirgel kaks ringiga ristumispunkti.

Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on võrdne raadiusega, siis on sirgel kaks ringiga ristumispunkti.

Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on suurem kui raadius, siis on sirgel ringiga kaks lõikepunkti.

Tutvustame nüüd ringi puutuja kontseptsiooni.

Definitsioon 1

Ringjoone puutuja on sirge, millel on üks lõikepunkt.

Ringjoone ja puutuja ühist punkti nimetatakse puutepunktiks (joonis 1).

Joonis 1. Ringjoone puutuja

Ringjoone puutuja mõistega seotud teoreemid

1. teoreem

Puutujaomaduse teoreem: ringjoone puutuja on puutepunktini tõmmatud raadiusega risti.

Tõestus.

Vaatleme ringi keskpunktiga $O$. Joonistame punktis $A$ puutuja $a$. $OA=r$ (joonis 2).

Tõestame, et $a\bot r$

Tõestame teoreemi vastuoluga. Oletame, et puutuja $a$ ei ole risti ringi raadiusega.

Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon

See tähendab, et $OA$ on puutuja suhtes kaldu. Kuna sirge $a$ risti on alati väiksem kui sama sirge kaldus, on kaugus ringi keskpunktist sirge raadiusest väiksem. Nagu me teame, on sel juhul sirgel kaks ristumispunkti ringiga. Mis on vastuolus puutuja määratlusega.

Seetõttu on puutuja risti ringi raadiusega.

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Puutujaomaduse teoreemi pöörd: Kui ringjoone raadiuse otsa läbiv sirge on raadiusega risti, siis on see sirge selle ringjoone puutuja.

Tõestus.

Vastavalt ülesande tingimustele on meil raadius, mis on tõmmatud ringi keskpunktist antud sirgele. Seetõttu on kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni võrdne raadiuse pikkusega. Nagu me teame, on sel juhul ringil ainult üks lõikepunkt selle sirgega. Definitsiooni 1 järgi leiame, et see sirge puutub ringiga.

Teoreem on tõestatud.

3. teoreem

Ühest punktist tõmmatud ringi puutujate lõigud on võrdsed ja moodustavad seda punkti ja ringi keskpunkti läbiva sirgjoonega võrdsed nurgad.

Tõestus.

Olgu antud ring, mille keskpunkt on punktis $O$. Punktist $A$ (mis asub kogu ringil) tõmmatakse kaks erinevat puutujat. Puutepunktist vastavalt $B$ ja $C$ (joonis 3).

Tõestame, et $\angle BAO=\angle CAO$ ja et $AB=AC$.

Joonis 3. 3. teoreemi illustratsioon

Teoreemi 1 järgi on meil:

Seetõttu on kolmnurgad $ABO$ ja $ACO$ täisnurksed kolmnurgad. Kuna $OB=OC=r$ ja hüpotenuus $OA$ on tavaline, on need kolmnurgad hüpotenuusis ja jalas võrdsed.

Seega saame $\angle BAO=\angle CAO$ ja $AB=AC$.

Teoreem on tõestatud.

Ringjoone puutuja mõiste ülesande näide

Näide 1

Antud ringjoon, mille keskpunkt on punktis $O$ ja raadius $r=3\ cm$. Puutuja $AC$ puutepunkt on $C$. $AO=4\ cm$. Otsige üles $AC$.

Lahendus.

Esmalt kujutame kõike, mis on joonisel (joonis 4).

Joonis 4.

Kuna $AC$ on puutuja ja $OC$ on raadius, siis teoreemi 1 abil saame $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$. Leidsime, et kolmnurk $ACO$ on ristkülikukujuline, mis tähendab Pythagorase teoreemi järgi:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \