Ruutvõrrandid. Täielik ja mittetäielik ruutvõrrand. Mittetäielike ruutvõrrandite definitsioon ja näited Ruutvõrrandi väljendamine juurtega

Kaasaegses ühiskonnas võib ruudukujulist muutujat sisaldavate võrranditega opereerimise võimalus olla kasulik paljudes tegevusvaldkondades ning seda kasutatakse praktikas laialdaselt teaduse ja tehnika arengus. Seda võib tõestada mere- ja jõelaevade, lennukite ja rakettide konstruktsioon. Selliste arvutuste abil määratakse erinevate kehade, sealhulgas kosmoseobjektide liikumise trajektoorid. Ruutvõrrandi lahendusega näiteid kasutatakse mitte ainult majandusprognoosides, hoonete projekteerimisel ja ehitamisel, vaid ka kõige tavalisemates igapäevastes oludes. Neid võib vaja minna telkimisreisidel, spordiüritustel, kauplustes ostlemisel ja muudes väga levinud olukordades.

Jagame avaldise komponentteguriteks

Võrrandi astme määrab antud avaldises sisalduva muutuja astme maksimaalne väärtus. Kui see on võrdne 2-ga, nimetatakse sellist võrrandit ruutvõrrandiks.

Kui rääkida valemikeeles, siis saab need avaldised, vaatamata sellele, kuidas nad välja näevad, alati viia vormile, kui avaldise vasak pool koosneb kolmest liikmest. Nende hulgas: ax 2 (see tähendab muutuja ruudus oma koefitsiendiga), bx (tundmatu ilma ruuduta koos koefitsiendiga) ja c (vaba komponent, see tähendab tavaline arv). See kõik võrdub paremal pool 0. Juhul, kui sellisel polünoomil pole ühtki selle koostisosa, välja arvatud ax 2, nimetatakse seda mittetäielikuks ruutvõrrandiks. Esmalt tuleks vaadelda näiteid selliste ülesannete lahendamisega, mille puhul pole muutujate väärtust raske leida.

Kui avaldis näeb välja nii, et avaldise paremal küljel on kaks liiget, täpsemalt ax 2 ja bx, on x-i kõige lihtsam leida muutuja sulgudes. Nüüd näeb meie võrrand välja selline: x(ax+b). Edasi saab selgeks, et kas x=0 või taandub probleem muutuja leidmisele järgmisest avaldisest: ax+b=0. Selle määrab üks korrutamise omadusi. Reegel ütleb, et kahe teguri korrutis on 0 ainult siis, kui üks neist on null.

Näide

x = 0 või 8x - 3 = 0

Selle tulemusena saame võrrandi kaks juurt: 0 ja 0,375.

Seda tüüpi võrrandid võivad kirjeldada kehade liikumist gravitatsiooni mõjul, mis hakkasid liikuma teatud lähtepunktiks võetud punktist. Siin on matemaatiline tähistus järgmine: y = v 0 t + gt 2 /2. Asendades vajalikud väärtused, võrdsustades parema poole 0-ga ja leides võimalikud tundmatud, saate teada nii aja, mis kulus keha tõusust kuni langemiseni, kui ka palju muid suurusi. Aga sellest räägime hiljem.

Avaldise faktoriseerimine

Ülalkirjeldatud reegel võimaldab neid probleeme lahendada ka keerulisematel juhtudel. Vaatleme näiteid seda tüüpi ruutvõrrandite lahendamise kohta.

X2 – 33x + 200 = 0

See ruudukujuline kolmik on valmis. Esiteks teisendame avaldise ja jagame selle teguriteks. Neid on kaks: (x-8) ja (x-25) = 0. Selle tulemusena on meil kaks juurt 8 ja 25.

Näited ruutvõrrandite lahendamisega 9. klassis võimaldavad sellel meetodil leida muutuja mitte ainult teist, vaid isegi kolmandat ja neljandat järku avaldistes.

Näiteks: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Parema poole faktoristamisel muutujaga teguriteks on neid kolm, st (x + 1), (x-3) ja (x + 3).

Selle tulemusena saab selgeks, et sellel võrrandil on kolm juurt: -3; -üks; 3.

Ruutjuure ekstraheerimine

Teine mittetäieliku teist järku võrrandi juhtum on avaldis, mis on kirjutatud tähtede keeles nii, et parem pool on üles ehitatud komponentidest ax 2 ja c. Siin kantakse muutuja väärtuse saamiseks vaba liige paremale poole ja pärast seda eraldatakse ruutjuur mõlemalt võrdsuse poolelt. Tuleb märkida, et sel juhul on võrrandil tavaliselt kaks juurt. Ainsad erandid on võrdsused, mis ei sisalda üldse terminit c, kus muutuja on võrdne nulliga, samuti avaldiste variandid, kui parem pool osutub negatiivseks. Viimasel juhul pole lahendusi üldse, kuna ülaltoodud toiminguid ei saa juurtega teha. Kaaluda tuleks seda tüüpi ruutvõrrandite lahenduste näiteid.

Sel juhul on võrrandi juurteks numbrid -4 ja 4.

Maa pindala arvutamine

Vajadus sedalaadi arvutuste järele tekkis iidsetel aegadel, sest matemaatika areng neil kaugetel aegadel oli suuresti tingitud vajadusest määrata suurima täpsusega maatükkide pindalad ja perimeetrid.

Kaaluda tuleks ka näiteid seda laadi ülesannete põhjal koostatud ruutvõrrandite lahendamisega.

Oletame, et on ristkülikukujuline maatükk, mille pikkus on 16 meetrit suurem kui laius. Peaksite leidma platsi pikkuse, laiuse ja ümbermõõdu, kui on teada, et selle pindala on 612 m 2.

Asja juurde asudes koostame kõigepealt vajaliku võrrandi. Tähistame lõigu laiust kui x, siis on selle pikkus (x + 16). Kirjutatust järeldub, et pindala määrab avaldis x (x + 16), mis vastavalt meie ülesande tingimusele on 612. See tähendab, et x (x + 16) \u003d 612.

Täielike ruutvõrrandite lahendamist ja see avaldis just nii ongi, ei saa samamoodi teha. Miks? Kuigi selle vasak pool sisaldab endiselt kahte tegurit, ei ole nende korrutis üldse 0, seega kasutatakse siin muid meetodeid.

Diskrimineeriv

Kõigepealt teeme vajalikud teisendused, seejärel näeb selle avaldise välimus välja selline: x 2 + 16x - 612 = 0. See tähendab, et oleme saanud avaldise eelnevalt määratud standardile vastaval kujul, kus a = 1, b = 16, c = -612.

See võib olla näide ruutvõrrandite lahendamisest diskriminandi kaudu. Siin tehakse vajalikud arvutused vastavalt skeemile: D = b 2 - 4ac. See abiväärtus mitte ainult ei võimalda leida teist järku võrrandis soovitud väärtusi, vaid määrab võimalike valikute arvu. Juhul D>0 on neid kaks; D=0 puhul on üks juur. Juhul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Juurtest ja nende valemist

Meie puhul on diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. See näitab, et meie probleemil on vastus. Kui teate, tuleb ruutvõrrandite lahendamist jätkata alloleva valemi abil. See võimaldab teil arvutada juured.

See tähendab, et antud juhul: x 1 =18, x 2 =-34. Teine variant selles dilemmas ei saa olla lahendus, sest maatüki suurust ei saa mõõta negatiivsetes väärtustes, mis tähendab, et x (ehk krundi laius) on 18 m. Siit arvutame pikkuse: 18+16=34 ja ümbermõõt 2(34+18) = 104 (m 2).

Näited ja ülesanded

Jätkame ruutvõrrandite uurimist. Allpool on toodud näited ja üksikasjalik lahendus mitmele neist.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Viime kõik võrdsuse vasakule poolele, teeme teisenduse ehk saame võrrandi kuju, mida tavaliselt nimetatakse standardseks, ja võrdsustame selle nulliga.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Pärast sarnaste lisamist määrame diskriminandi: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Seega on meie võrrandil kaks juurt. Arvutame need ülaltoodud valemi järgi, mis tähendab, et esimene neist võrdub 4/3 ja teine ​​1.

2) Nüüd paljastame teistsuguseid mõistatusi.

Uurime, kas siin on üldse juured x 2 - 4x + 5 = 1? Ammendava vastuse saamiseks viime polünoomi vastavale tuttavale kujule ja arvutame diskriminandi. Selles näites pole ruutvõrrandit vaja lahendada, sest ülesande olemus ei seisne selles. Sel juhul D \u003d 16 - 20 \u003d -4, mis tähendab, et tegelikult pole juuri.

Vieta teoreem

Ruutvõrrandeid on mugav lahendada ülaltoodud valemite ja diskriminandi kaudu, kui viimase väärtusest eraldatakse ruutjuur. Kuid see ei juhtu alati. Siiski on sel juhul muutujate väärtuste saamiseks palju võimalusi. Näide: ruutvõrrandite lahendamine Vieta teoreemi abil. See on nime saanud mehe järgi, kes elas 16. sajandi Prantsusmaal ja tegi hiilgava karjääri tänu oma matemaatilisele andele ja sidemetele õukonnas. Tema portree on näha artiklis.

Muster, mida kuulus prantslane märkas, oli järgmine. Ta tõestas, et võrrandi juurte summa on võrdne -p=b/a ja nende korrutis vastab q=c/a.

Vaatame nüüd konkreetseid ülesandeid.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lihtsuse huvides teisendame väljendit:

x 2 + 7x - 18 = 0

Vieta teoreemi kasutades saame järgmise tulemuse: juurte summa on -7 ja nende korrutis on -18. Siit saame, et võrrandi juurteks on numbrid -9 ja 2. Pärast kontrollimist veendume, et need muutujate väärtused tõesti avaldisesse mahuvad.

Parabooli graafik ja võrrand

Ruutfunktsiooni ja ruutvõrrandi mõisted on omavahel tihedalt seotud. Näiteid selle kohta on juba varem toodud. Vaatame nüüd mõnda matemaatilist mõistatust veidi üksikasjalikumalt. Kõiki kirjeldatud tüüpi võrrandeid saab esitada visuaalselt. Sellist sõltuvust, mis on joonistatud graafiku kujul, nimetatakse parabooliks. Selle erinevad tüübid on näidatud alloleval joonisel.

Igal paraboolil on tipp, st punkt, kust selle harud väljuvad. Kui a>0, tõusevad nad kõrgelt lõpmatuseni ja kui a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Funktsioonide visuaalne esitus aitab lahendada mis tahes võrrandeid, sealhulgas ruutvõrrandeid. Seda meetodit nimetatakse graafikaks. Ja muutuja x väärtus on abstsisskoordinaat punktides, kus graafiku joon lõikub 0x-ga. Tipu koordinaadid saab leida just antud valemiga x 0 = -b / 2a. Ja asendades saadud väärtuse funktsiooni algse võrrandiga, saate teada y 0, see tähendab y-teljele kuuluva parabooli tipu teise koordinaadi.

Parabooli harude ristumiskoht abstsissteljega

Ruutvõrrandite lahendamise kohta on palju näiteid, kuid on ka üldisi mustreid. Vaatleme neid. On selge, et graafiku lõikumine 0x teljega a>0 korral on võimalik ainult siis, kui y 0 võtab negatiivsed väärtused. Ja a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Muidu D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Parabooli graafikult saate määrata ka juured. Tõsi on ka vastupidine. See tähendab, et kui ruutfunktsiooni visuaalset esitust pole lihtne saada, saate avaldise parema poole võrdsustada 0-ga ja lahendada saadud võrrandi. Ja teades lõikepunkte 0x teljega, on lihtsam joonistada.

Ajaloost

Ruudukujulist muutujat sisaldavate võrrandite abil ei tehtud vanasti mitte ainult matemaatilisi arvutusi ja määrati geomeetriliste kujundite pindala. Muistsed vajasid selliseid arvutusi suurejoonelisteks avastusteks füüsika ja astronoomia vallas, aga ka astroloogiliste prognooside tegemiseks.

Nagu tänapäeva teadlased väidavad, olid Babüloni elanikud esimeste seas, kes ruutvõrrandid lahendasid. See juhtus neli sajandit enne meie ajastu tulekut. Loomulikult erinesid nende arvutused põhimõtteliselt praegu aktsepteeritutest ja osutusid palju primitiivsemaks. Näiteks Mesopotaamia matemaatikutel polnud negatiivsete arvude olemasolust aimugi. Nad ei tundnud ka muid nende peensusi, mida ükski meie aja õpilane teadis.

Võib-olla isegi varem kui Babüloni teadlased, asus Indiast pärit tark Baudhayama ruutvõrrandite lahendamisele. See juhtus umbes kaheksa sajandit enne Kristuse ajastu tulekut. Tõsi, teist järku võrrandid, mille lahendamise meetodid ta esitas, olid kõige lihtsamad. Lisaks temale tundsid vanasti samalaadsed küsimused huvi ka Hiina matemaatikud. Euroopas hakati ruutvõrrandeid lahendama alles 13. sajandi alguses, kuid hiljem kasutasid neid oma töös sellised suured teadlased nagu Newton, Descartes ja paljud teised.

Ruutvõrrandi juurte valemid. Vaadeldakse tegelike, mitmekordsete ja keerukate juurte juhtumeid. Ruuttrinoomi faktoriseerimine. Geomeetriline tõlgendus. Juurte määramise ja faktoriseerimise näited.

Vaata ka: Ruutvõrrandite lahendamine võrgus

Põhivalemid

Mõelge ruutvõrrandile:
(1) .
Ruutvõrrandi juured(1) määratakse järgmise valemiga:
; .
Neid valemeid saab kombineerida järgmiselt:
.
Kui ruutvõrrandi juured on teada, saab teise astme polünoomi esitada tegurite korrutisena (faktoreeritud):
.

Lisaks eeldame, et need on reaalarvud.
Kaaluge ruutvõrrandi diskriminant:
.
Kui diskriminant on positiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks erinevat reaaljuurt:
; .
Siis on ruudukujulise trinoomi faktoriseerimine järgmine:
.
Kui diskriminant on null, siis ruutvõrrandil (1) on kaks mitmekordset (võrdset) reaaljuurt:
.
Faktoriseerimine:
.
Kui diskriminant on negatiivne, on ruutvõrrandil (1) kaks keerulist konjugaatjuurt:
;
.
Siin on imaginaarne ühik ;
ja need on juurte tegelikud ja kujuteldavad osad:
; .
Siis

.

Graafiline tõlgendus

Kui joonistame funktsiooni graafiku
,
mis on parabool, siis on graafiku lõikepunktid teljega võrrandi juurteks
.
Kui , ristub graafik abstsisstelljega (teljega) kahes punktis ().
Kui , puudutab graafik x-telge ühes punktis ().
Kui , graafik ei ristu x-teljega ().

Kasulikud ruutvõrrandiga seotud valemid

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Ruutvõrrandi juurte valemi tuletamine

Teostame teisendusi ja rakendame valemeid (f.1) ja (f.3):




,
kus
; .

Niisiis saime teise astme polünoomi valemi kujul:
.
Sellest on näha, et võrrand

esines kl
ja .
See tähendab, ja on ruutvõrrandi juured
.

Näited ruutvõrrandi juurte määramisest

Näide 1

(1.1) .

.
Võrreldes meie võrrandiga (1.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on positiivne, on võrrandil kaks tegelikku juurt:
;
;
.

Siit saame ruudukujulise trinoomi lagunemise teguriteks:

.

Funktsiooni y = graafik 2 x 2 + 7 x + 3 ristub kahes punktis x-teljega.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ristub x-teljega kahes punktis:
ja .
Need punktid on algse võrrandi (1.1) juured.

;
;
.

Näide 2

Leidke ruutvõrrandi juured:
(2.1) .

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
.
Võrreldes algse võrrandiga (2.1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Kuna diskriminant on null, on võrrandil kaks mitmekordset (võrdset) juurt:
;
.

Siis on trinoomi faktoriseerimisel järgmine vorm:
.

Funktsiooni y = x graafik 2–4 x + 4 puudutab ühes punktis x-telge.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See puudutab x-telge (telge) ühes punktis:
.
See punkt on algse võrrandi (2.1) juur. Kuna see juur arvutatakse kaks korda:
,
siis nimetatakse sellist juurt mitmekordseks. See tähendab, et nad arvavad, et on kaks võrdset juurt:
.

;
.

Näide 3

Leidke ruutvõrrandi juured:
(3.1) .

Kirjutame ruutvõrrandi üldkujul:
(1) .
Kirjutame algse võrrandi (3.1) ümber:
.
Võrreldes punktiga (1), leiame koefitsientide väärtused:
.
Diskriminandi leidmine:
.
Diskriminant on negatiivne, . Seetõttu pole tõelisi juuri.

Võite leida keerukaid juuri:
;
;
.

Siis


.

Funktsiooni graafik ei ristu x-teljega. Päris juuri pole.

Joonistame funktsiooni
.
Selle funktsiooni graafik on parabool. See ei ületa abstsissi (telge). Seetõttu pole tõelisi juuri.

Päris juuri pole. Keerulised juured:
;
;
.

See teema võib paljude mitte nii lihtsate valemite tõttu alguses tunduda keeruline. Ruutvõrrandid ise ei sisalda mitte ainult pikki kirjeid, vaid ka juured leitakse diskriminandi kaudu. Kokku on kolm uut valemit. Ei ole väga lihtne meelde jätta. See on võimalik alles pärast selliste võrrandite sagedast lahendamist. Siis jäävad kõik valemid iseenesest meelde.

Ruutvõrrandi üldvaade

Siin pakutakse välja nende selgesõnaline märge, kui kõigepealt kirjutatakse suurim aste ja seejärel - kahanevas järjekorras. Sageli on olukordi, kus terminid erinevad üksteisest. Siis on parem võrrand ümber kirjutada muutuja astme järgi kahanevas järjekorras.

Tutvustame tähistust. Need on esitatud allolevas tabelis.

Kui aktsepteerime neid tähistusi, taandatakse kõik ruutvõrrandid järgmisele tähistusele.

Veelgi enam, koefitsient a ≠ 0. Olgu see valem tähistatud numbriga üks.

Kui võrrand on antud, pole selge, mitu juurt vastuses on. Kuna üks kolmest valikust on alati võimalik:

• lahusel on kaks juurt;
• vastuseks on üks number;
• Võrrandil pole üldse juuri.

Ja kuigi otsust ei jõuta lõpuni, on raske aru saada, milline variant konkreetsel juhul välja kukub.

Ruutvõrrandite kirjete tüübid

Ülesannetel võivad olla erinevad kirjed. Need ei näe alati välja nagu ruutvõrrandi üldvalem. Mõnikord puuduvad sellel mõned terminid. Eespool kirjutatu on täielik võrrand. Kui eemaldate sellest teise või kolmanda termini, saate midagi muud. Neid kirjeid nimetatakse ka ruutvõrranditeks, ainult mittetäielikeks.

Pealegi võivad kaduda ainult need terminid, mille koefitsiendid "b" ja "c". Arv "a" ei saa mingil juhul olla võrdne nulliga. Sest sel juhul muutub valem lineaarvõrrandiks. Valemid võrrandite mittetäieliku vormi jaoks on järgmised:

Seega on ainult kahte tüüpi, lisaks täielikele on ka mittetäielikke ruutvõrrandeid. Olgu esimene valem number kaks ja teine ​​number kolm.

Diskriminant ja juurte arvu sõltuvus selle väärtusest

See arv peab olema teada, et arvutada võrrandi juured. Seda saab alati välja arvutada, olenemata ruutvõrrandi valemist. Diskriminandi arvutamiseks peate kasutama allpool kirjutatud võrdsust, millel on number neli.

Pärast koefitsientide väärtuste asendamist sellesse valemisse saate erinevate märkidega numbreid. Kui vastus on jah, on võrrandi vastuseks kaks erinevat juurt. Negatiivse arvu korral ruutvõrrandi juured puuduvad. Kui see on võrdne nulliga, on vastus üks.

Kuidas lahendatakse täielik ruutvõrrand?

Tegelikult on selle küsimuse arutamine juba alanud. Sest kõigepealt tuleb leida diskrimineerija. Pärast seda, kui on selgitatud, et ruutvõrrandil on juured ja nende arv on teada, peate kasutama muutujate valemeid. Kui on kaks juurt, peate rakendama sellist valemit.

Kuna see sisaldab ±-märki, on sellel kaks väärtust. Avaldis ruutjuure märgi all on diskriminant. Seetõttu saab valemi teistmoodi ümber kirjutada.

Vormel viis. Samast kirjest on näha, et kui diskriminant on null, siis saavad mõlemad juured samad väärtused.

Kui ruutvõrrandite lahendust pole veel välja töötatud, on parem enne diskrimineeriva ja muutuva valemi rakendamist kõigi koefitsientide väärtused üles kirjutada. Hiljem see hetk raskusi ei tekita. Kuid kohe alguses on segadus.

Kuidas lahendatakse mittetäielik ruutvõrrand?

Siin on kõik palju lihtsam. Isegi täiendavaid valemeid pole vaja. Ja te ei vaja neid, mis on juba kirjutatud diskrimineerijale ja tundmatule.

Esiteks kaaluge mittetäielikku võrrandit number kaks. Selles võrdsuses peaks tundmatu väärtuse sulust välja võtma ja lahendama lineaarvõrrandi, mis jääb sulgudesse. Vastusel on kaks juurt. Esimene on tingimata võrdne nulliga, sest seal on tegur, mis koosneb muutujast endast. Teine saadakse lineaarvõrrandi lahendamisel.

Mittetäielik võrrand numbril kolm lahendatakse, viies võrrandi vasakust küljest paremale. Siis peate jagama tundmatu ees oleva koefitsiendiga. Jääb vaid ruutjuur eraldada ja ärge unustage seda kaks korda vastupidiste märkidega üles kirjutada.

Järgnevalt on toodud mõned toimingud, mis aitavad teil õppida lahendama igasuguseid ruutvõrranditeks muutuvaid võrdusi. Need aitavad õpilasel vältida tähelepanematusest tingitud vigu. Need puudused on kehvade hinnete põhjuseks ulatuslikku teemat "Ruudvõrrandid (8. klass)" uurides. Seejärel ei pea neid toiminguid pidevalt tegema. Sest tekib stabiilne harjumus.

• Kõigepealt peate kirjutama võrrandi standardvormis. See tähendab, et kõigepealt on muutuja suurima astmega termin ja seejärel - ilma astmeta ja viimane - lihtsalt arv.

• Kui koefitsiendi "a" ette ilmub miinus, võib see algaja ruutvõrrandite uurimise töö keerulisemaks muuta. Parem on sellest lahti saada. Selleks tuleb kogu võrdsus korrutada "-1"-ga. See tähendab, et kõik terminid muudavad märgi vastupidiseks.

• Samamoodi soovitatakse murdosadest lahti saada. Lihtsalt korrutage võrrand sobiva teguriga, nii et nimetajad tühistaksid.

Näited

On vaja lahendada järgmised ruutvõrrandid:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Esimene võrrand: x 2 - 7x \u003d 0. See on mittetäielik, seetõttu lahendatakse see valemis number kaks kirjeldatud viisil.

Pärast sulgumist selgub: x (x - 7) \u003d 0.

Esimene juur võtab väärtuse: x 1 \u003d 0. Teine leitakse lineaarvõrrandist: x - 7 \u003d 0. On lihtne näha, et x 2 = 7.

Teine võrrand: 5x2 + 30 = 0. Jällegi mittetäielik. Ainult see lahendatakse nii, nagu on kirjeldatud kolmanda valemi puhul.

Pärast 30 ülekandmist võrrandi paremale poolele: 5x 2 = 30. Nüüd peate jagama 5-ga. Selgub: x 2 = 6. Vastused on numbrid: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Kolmas võrrand: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Siin ja allpool alustatakse ruutvõrrandite lahendamist, kirjutades need ümber standardkujule: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nüüd on aeg kasutada teist kasulik näpunäide ja korrutage kõik miinus ühega. Selgub x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Neljanda valemi järgi peate arvutama diskrimineerija: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. See on positiivne arv. Eespool öeldu põhjal selgub, et võrrandil on kaks juurt. Neid tuleb arvutada viienda valemi järgi. Selle järgi selgub, et x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Siis x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Neljas võrrand x 2 + 8 + 3x \u003d 0 teisendatakse järgmiseks: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Selle diskriminant on võrdne selle väärtusega: -23. Kuna see arv on negatiivne, on selle ülesande vastus järgmine kirje: "Juured puuduvad."

Viies võrrand 12x + x 2 + 36 = 0 tuleks ümber kirjutada järgmiselt: x 2 + 12x + 36 = 0. Pärast diskriminandi valemi rakendamist saadakse arv null. See tähendab, et sellel on üks juur, nimelt: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Kuues võrrand (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) nõuab teisendusi, mis seisnevad selles, et enne sulgude avamist tuleb tuua sarnased terminid. Esimese asemel on järgmine avaldis: x 2 + 2x + 1. Võrdsuse järel kuvatakse järgmine kirje: x 2 + 3x + 2. Pärast sarnaste liikmete loendamist on võrrand järgmisel kujul: x 2 - x \u003d 0. See on muutunud mittetäielikuks. Sarnast sellele on juba peetud veidi kõrgemaks. Selle juurteks on numbrid 0 ja 1.

”, see tähendab esimese astme võrrandeid. Selles õppetükis uurime mis on ruutvõrrand ja kuidas seda lahendada.

Mis on ruutvõrrand

Tähtis!

Võrrandi aste määratakse tundmatu kõrgeima astme järgi.

Kui tundmatu suurim aste on "2", on teil ruutvõrrand.

Ruutvõrrandite näited

• 5x2 – 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Tähtis! Ruutvõrrandi üldvorm näeb välja selline:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - esimene või vanem koefitsient;
• "b" - teine ​​koefitsient;
• "c" on vabaliige.

"a", "b" ja "c" leidmiseks peate oma võrrandit võrdlema ruutvõrrandi "ax 2 + bx + c \u003d 0" üldkujuga.

Harjutame ruutvõrrandites kordajate "a", "b" ja "c" määramist.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = −8

Kuidas lahendada ruutvõrrandid

Erinevalt lineaarvõrranditest kasutatakse ruutvõrrandite lahendamiseks spetsiaalset võrrandit. juurte leidmise valem.

Pea meeles!

Ruutvõrrandi lahendamiseks on vaja:

• viige ruutvõrrand üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0". See tähendab, et paremale küljele peaks jääma ainult "0";
• kasutage juurte jaoks valemit:

Kasutame näidet, et välja selgitada, kuidas rakendada ruutvõrrandi juurte leidmiseks valemit. Lahendame ruutvõrrandi.

X 2 - 3x - 4 = 0

Võrrand "x 2 - 3x - 4 = 0" on juba taandatud üldkujule "ax 2 + bx + c = 0" ega vaja täiendavaid lihtsustusi. Selle lahendamiseks peame ainult taotlema valem ruutvõrrandi juurte leidmiseks.

Määratleme selle võrrandi koefitsiendid "a", "b" ja "c".

Tema abiga lahendatakse mis tahes ruutvõrrand.

Valemis "x 1; 2 \u003d" asendatakse sageli juuravaldis
"b 2 − 4ac" täheks "D" ja seda nimetatakse diskrimineerivaks. Diskriminandi mõistest on täpsemalt juttu tunnis „Mis on diskriminant“.

Vaatleme teist ruutvõrrandi näidet.

x 2 + 9 + x = 7x

Sellisel kujul on koefitsiente "a", "b" ja "c" üsna raske määrata. Toome kõigepealt võrrandi üldkujule "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 – 6x + 9 = 0

Nüüd saate kasutada juurte valemit.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

On aegu, mil ruutvõrranditel pole juuri. Selline olukord tekib siis, kui juure all olevas valemis on negatiivne arv.

Ruutvõrrandeid õpitakse 8. klassis, seega pole siin midagi keerulist. Oluline on oskus neid lahendada.

Ruutvõrrand on võrrand kujul ax 2 + bx + c = 0, kus koefitsiendid a , b ja c on suvalised arvud ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete lahendusmeetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid võib jagada kolme klassi:

1. ei oma juuri;
2. Neil on täpselt üks juur;
3. Neil on kaks erinevat juurt.

See on oluline erinevus ruut- ja lineaarvõrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja kordumatu. Kuidas teha kindlaks, mitu juurt võrrandil on? Selle jaoks on imeline asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Olgu antud ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0. Siis on diskriminandiks lihtsalt arv D = b 2 − 4ac .

See valem peab olema peast teada. Kust see tuleb, pole praegu oluline. Oluline on veel üks asi: diskriminandi märgi abil saate määrata ruutvõrrandi juurte arvu. Nimelt:

1. Kui D< 0, корней нет;
2. Kui D = 0, on täpselt üks juur;
3. Kui D > 0, on kaks juurt.

Pange tähele: diskriminant näitab juurte arvu ja mitte üldse nende märke, nagu paljud inimesed mingil põhjusel arvavad. Vaadake näiteid ja saate ise kõigest aru:

Ülesanne. Kui palju juuri on ruutvõrranditel:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 – 6x + 9 = 0.

Kirjutame esimese võrrandi koefitsiendid ja leiame diskriminandi:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Seega on diskriminant positiivne, seega on võrrandil kaks erinevat juurt. Analüüsime teist võrrandit samal viisil:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant on negatiivne, juured puuduvad. Viimane võrrand jääb alles:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant on võrdne nulliga - juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi jaoks on koefitsiendid välja kirjutatud. Jah, see on pikk, jah, see on tüütu – aga te ei aja koefitsiente segamini ega tee rumalaid vigu. Valige ise: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui "täidate oma käe", ei pea te mõne aja pärast enam kõiki koefitsiente välja kirjutama. Selliseid toiminguid teete oma peas. Enamik inimesi hakkab seda tegema kuskil pärast 50-70 lahendatud võrrandit - üldiselt mitte nii palju.

Ruutvõrrandi juured

Liigume nüüd lahenduse juurde. Kui diskriminant D > 0, saab juured leida valemite abil:

Ruutvõrrandi juurte põhivalem

Kui D = 0, võite kasutada mõnda neist valemitest – saate sama arvu, mis on vastuseks. Lõpuks, kui D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ võrrandil on kaks juurt. Leiame need:

Teine võrrand:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ võrrandil on jällegi kaks juurt. Otsime nad üles

\[\begin(joona) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(joonda)\]

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ võrrandil on üks juur. Kasutada võib mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui tead valemeid ja oskad lugeda, siis probleeme ei teki. Kõige sagedamini tekivad vead negatiivsete koefitsientide asendamisel valemis. Siin aitab jällegi ülalkirjeldatud tehnika: vaadake valemit sõna otseses mõttes, värvige iga samm - ja vabanege vigadest väga kiiresti.

Mittetäielikud ruutvõrrandid

Juhtub, et ruutvõrrand erineb definitsioonis esitatust mõnevõrra. Näiteks:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 – 16 = 0.

On lihtne näha, et nendes võrrandites puudub üks terminitest. Selliseid ruutvõrrandeid on isegi lihtsam lahendada kui standardseid: nende jaoks pole vaja isegi diskriminanti arvutada. Nii et tutvustame uut kontseptsiooni:

Võrrandit ax 2 + bx + c = 0 nimetatakse mittetäielikuks ruutvõrrandiks, kui b = 0 või c = 0, s.t. muutuja x ehk vaba elemendi koefitsient on võrdne nulliga.

Muidugi on väga keeruline juhtum võimalik, kui mõlemad koefitsiendid on võrdsed nulliga: b \u003d c \u003d 0. Sel juhul on võrrand kujul ax 2 \u003d 0. Ilmselgelt on sellisel võrrandil üks juur: x \u003d 0.

Vaatleme teisi juhtumeid. Olgu b \u003d 0, siis saame mittetäieliku ruutvõrrandi kujul ax 2 + c \u003d 0. Teisendame seda veidi:

Kuna aritmeetiline ruutjuur eksisteerib ainult mittenegatiivsest arvust, on viimasel võrrandil mõtet ainult siis, kui (−c / a ) ≥ 0. Järeldus:

1. Kui mittetäielik ruutvõrrand kujul ax 2 + c = 0 rahuldab ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0, on kaks juurt. Valem on toodud ülal;
2. Kui (-c / a )< 0, корней нет.

Nagu näete, ei olnud diskriminant vaja - mittetäielike ruutvõrrandite puhul pole keerulisi arvutusi üldse. Tegelikult pole isegi vaja meeles pidada ebavõrdsust (−c / a ) ≥ 0. Piisab kui väljendada x 2 väärtust ja vaadata, mis on võrdusmärgi teisel poolel. Kui on positiivne arv, on kaks juurt. Kui see on negatiivne, pole juuri üldse.

Nüüd käsitleme võrrandeid kujul ax 2 + bx = 0, milles vaba element on võrdne nulliga. Siin on kõik lihtne: alati on kaks juurt. Piisab polünoomi faktoriseerimisest:

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga. Siit tulevad juured. Kokkuvõtteks analüüsime mõnda neist võrranditest:

Ülesanne. Lahendage ruutvõrrandid:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Juured puuduvad, sest ruut ei saa olla võrdne negatiivse arvuga.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.