Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks. Technische Zeichnung. Konstruktion regelmäßiger Polygone Schema eines regelmäßigen Fünfecks

Diese Figur ist ein Polygon mit der minimalen Anzahl von Ecken, die nicht zum Kacheln einer Fläche verwendet werden können. Nur ein Fünfeck hat gleich viele Diagonalen wie seine Seiten. Mit den Formeln für ein beliebiges regelmäßiges Vieleck können Sie alle notwendigen Parameter bestimmen, die das Fünfeck hat. Schreiben Sie es beispielsweise in einen Kreis mit einem bestimmten Radius ein oder bauen Sie es auf der Grundlage einer bestimmten Seitenfläche.

Wie zeichnet man einen Balken richtig und welches Zeichenmaterial braucht man? Nehmen Sie ein Blatt Papier und markieren Sie irgendwo einen Punkt. Bringen Sie dann ein Lineal an und ziehen Sie eine Linie vom angegebenen Punkt bis ins Unendliche. Um eine gerade Linie zu zeichnen, drücken Sie die „Shift“-Taste und ziehen Sie eine Linie der gewünschten Länge. Unmittelbar nach dem Zeichnen öffnet sich die Registerkarte "Format". Deaktivieren Sie die Zeile und Sie werden sehen, dass am Anfang der Zeile ein Punkt erscheint. Um eine Inschrift zu erstellen, klicken Sie auf die Schaltfläche "Inschrift zeichnen" und erstellen Sie ein Feld, in dem sich die Inschrift befinden wird.

Die erste Art, ein Fünfeck zu konstruieren, gilt als eher "klassisch". Die resultierende Figur ist ein regelmäßiges Fünfeck. Das Zwölfeck ist keine Ausnahme, daher ist seine Konstruktion ohne die Verwendung eines Kompasses unmöglich. Die Aufgabe, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, reduziert sich auf die Aufgabe, einen Kreis in fünf gleiche Teile zu teilen. Sie können ein Pentagramm mit den einfachsten Werkzeugen zeichnen.

Ich habe lange gekämpft, um dies zu erreichen und selbstständig Proportionen und Abhängigkeiten zu finden, aber es ist mir nicht gelungen. Es stellte sich heraus, dass es verschiedene Möglichkeiten gibt, ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, das von berühmten Mathematikern entwickelt wurde. Interessant ist, dass dieses Problem arithmetisch nur annähernd exakt gelöst werden kann, da irrationale Zahlen verwendet werden müssen. Aber es kann geometrisch gelöst werden.

Aufteilung der Kreise. Die Schnittpunkte dieser Linien mit dem Kreis sind die Eckpunkte des Quadrats. Zeichnen Sie in einem Kreis mit Radius R (Schritt 1) ​​einen vertikalen Durchmesser. Am Konjugationspunkt N einer Linie und eines Kreises ist die Linie eine Tangente an den Kreis.

Empfangen mit einem Papierstreifen

Ein regelmäßiges Sechseck kann mit einem T-Winkel und einem 30X60°-Winkel konstruiert werden. Die Eckpunkte eines solchen Dreiecks können mit einem Kompass und einem Quadrat mit Winkeln von 30 und 60 ° oder nur einem Kompass konstruiert werden. Um Seite 2-3 zu bauen, stellen Sie das T-Quadrat auf die Position, die durch die gestrichelten Linien angezeigt wird, und ziehen Sie eine gerade Linie durch Punkt 2, die den dritten Eckpunkt des Dreiecks definiert. Wir markieren Punkt 1 auf dem Kreis und nehmen ihn als eine der Ecken des Fünfecks. Wir verbinden die gefundenen Knoten in Reihe miteinander. Das Siebeneck kann konstruiert werden, indem Strahlen vom F-Pol und durch ungerade Teilungen des vertikalen Durchmessers gezogen werden.

Und am anderen Ende des Fadens ist der Bleistift gesetzt und besessen. Wenn Sie wissen, wie man einen Stern zeichnet, aber nicht, wie man ein Fünfeck zeichnet, zeichnen Sie einen Stern mit einem Bleistift, verbinden Sie dann die benachbarten Enden des Sterns miteinander und löschen Sie dann den Stern selbst. Legen Sie dann ein Blatt Papier (es ist besser, es mit vier Knöpfen oder Nadeln auf dem Tisch zu befestigen). Stecken Sie diese 5 Streifen mit Stiften oder Nadeln auf ein Blatt Papier, so dass sie bewegungslos bleiben. Kreisen Sie dann das resultierende Fünfeck ein und entfernen Sie diese Streifen vom Blatt.

Zum Beispiel müssen wir einen fünfzackigen Stern (Pentagramm) für ein Bild über die sowjetische Vergangenheit oder über die Gegenwart Chinas zeichnen. Richtig, dafür müssen Sie in der Lage sein, eine perspektivische Zeichnung eines Sterns zu erstellen. Ebenso können Sie eine Figur mit Bleistift auf Papier zeichnen. Wie man einen Stern richtig zeichnet, damit er gleichmäßig und schön aussieht, werden Sie nicht sofort beantworten.

Senken Sie von der Mitte aus 2 Strahlen auf den Kreis, sodass der Winkel zwischen ihnen 72 Grad beträgt (Winkelmesser). Die Aufteilung eines Kreises in fünf Teile erfolgt mit einem gewöhnlichen Kompass oder Winkelmesser. Da ein regelmäßiges Fünfeck zu den Figuren gehört, die die Proportionen des goldenen Schnitts enthalten, interessieren sich Maler und Mathematiker seit langem für seine Konstruktion. Diese Konstruktionsprinzipien mit Zirkel und Lineal wurden in den Euklidischen Elementen dargelegt.

Ein regelmäßiges Fünfeck ist eine geometrische Figur, die durch den Schnittpunkt von fünf geraden Linien gebildet wird, die fünf identische Winkel bilden. Diese Figur wird das Pentagon genannt. Die Arbeit von Künstlern ist eng mit dem Fünfeck verbunden - ihre Zeichnungen basieren auf regelmäßigen geometrischen Formen. Dazu müssen Sie wissen, wie man schnell ein Fünfeck baut.

Warum ist diese Zahl interessant? Das Gebäude hat die Form eines Fünfecks Verteidigungsministerium der Vereinigten Staaten von Amerika. Dies ist auf den Fotos zu sehen, die aus der Höhe des Fluges aufgenommen wurden. In der Natur gibt es keine Kristalle und Steine, deren Form einem Fünfeck ähneln würde. Nur in dieser Figur stimmt die Anzahl der Flächen mit der Anzahl der Diagonalen überein.

Parameter eines regelmäßigen Fünfecks

Ein rechteckiges Fünfeck hat, wie jede Figur in der Geometrie, seine eigenen Parameter. Wenn Sie die erforderlichen Formeln kennen, können Sie diese Parameter berechnen, was den Bau eines Fünfecks erleichtert. Berechnungsmethoden und Formeln:

• Die Summe aller Winkel in Polygonen beträgt 360 Grad. In einem regelmäßigen Fünfeck sind alle Winkel gleich, der Mittelwinkel wird auf diese Weise ermittelt: 360/5 \u003d 72 Grad;
• Die innere Ecke wird auf diese Weise gefunden: 180 * (n - 2) / n = 180 * (5 - 2) / 5 = 108 Grad. Die Summe aller Innenwinkel: 108*5 = 540 Grad.

Die Seite des Fünfecks wird mit den Parametern gefunden, die bereits in der Problemstellung angegeben sind:

• Wenn ein Kreis um das Fünfeck herumbeschrieben wird und sein Radius bekannt ist, wird die Seite gemäß der folgenden Formel gefunden: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 *R.
• Wenn der Radius des dem Fünfeck einbeschriebenen Kreises bekannt ist, lautet die Formel zur Berechnung der Polygonseite: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Bei bekannter Diagonale des Fünfecks wird seine Seite wie folgt berechnet: a \u003d D / 1,618.

Die Fläche des Fünfecks, wie seine Seite, hängt von den bereits gefundenen Parametern ab:

• Unter Verwendung des bekannten Radius des eingeschriebenen Kreises wird die Fläche wie folgt ermittelt: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• Mit dem umschriebenen Kreis um das Fünfeck können Sie die Fläche mit der folgenden Formel ermitteln: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• abhängig von der Seite des Fünfecks: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Bau des Pentagons

Sie können ein regelmäßiges Fünfeck mit einem Lineal und einem Kompass bauen, basierend auf einem darin eingeschriebenen Kreis oder einer der Seiten.

Wie zeichnet man ein Fünfeck basierend auf einem eingeschriebenen Kreis? Besorgen Sie sich dazu einen Kompass und ein Lineal und führen Sie die folgenden Schritte aus:

1. Zuerst müssen Sie einen Kreis mit dem Mittelpunkt O zeichnen und dann einen Punkt darauf auswählen, A - die Spitze des Fünfecks. Von der Mitte nach oben wird eine Linie gezogen.
2. Dann wird eine Strecke senkrecht zur Geraden OA konstruiert, die auch durch O - den Kreismittelpunkt - verläuft. Sein Schnittpunkt mit dem Kreis wird durch Punkt B angezeigt. Das Segment O.V. wird durch Punkt C halbiert.
3. Punkt C wird zum Mittelpunkt eines neuen Kreises, der durch A verläuft. Punkt D ist sein Schnittpunkt mit der geraden Linie OB innerhalb der Grenzen der ersten Figur.
4. Danach wird ein dritter Kreis durch D gezogen, dessen Mittelpunkt Punkt A ist. Er schneidet die erste Figur an zwei Punkten, sie müssen mit den Buchstaben E und F bezeichnet werden.
5. Der nächste Kreis hat seinen Mittelpunkt am Punkt E und verläuft durch A, und sein Schnittpunkt mit dem ursprünglichen liegt am neuen Punkt G.
6. Der letzte Kreis in dieser Abbildung wird durch einen Punkt A mit einem Mittelpunkt F gezeichnet. Punkt H wird an seinem Schnittpunkt mit dem Anfangspunkt platziert.
7. Auf dem ersten Kreis sind nach all den Schritten fünf Punkte erschienen, die durch Segmente verbunden werden müssen. So wurde ein regelmäßiges Fünfeck AE G H F erhalten.

Wie kann man ein regelmäßiges Fünfeck auf andere Weise bauen? Mithilfe von Lineal und Zirkel lässt sich das Fünfeck etwas schneller bauen. Dazu benötigen Sie:

1. Zuerst müssen Sie mit einem Kompass einen Kreis zeichnen, dessen Mittelpunkt Punkt O ist.
2. Der Radius OA wird gezeichnet - ein Segment, das auf einem Kreis aufgetragen ist. Es wird durch Punkt B halbiert.
3. Ein Segment OS wird senkrecht zum Radius OA gezeichnet, die Punkte B und C werden durch eine gerade Linie verbunden.
4. Der nächste Schritt besteht darin, die Länge des Segments BC mit einem Kompass auf der diametralen Linie zu zeichnen. Punkt D erscheint senkrecht zum Segment OA. Die Punkte B und D sind verbunden und bilden ein neues Segment.
5. Um die Größe der Seite des Fünfecks zu erhalten, müssen Sie die Punkte C und D verbinden.
6. D wird mit Hilfe eines Zirkels in einen Kreis übertragen und durch den Punkt E angezeigt. Durch Verbinden von E und C erhalten Sie die erste Seite eines regelmäßigen Fünfecks. Wenn Sie dieser Anleitung folgen, können Sie lernen, wie Sie schnell ein Fünfeck mit gleichen Seiten bauen und seine anderen Seiten wie das erste bauen.

Bei einem Fünfeck mit gleichen Seiten sind die Diagonalen gleich und bilden einen fünfzackigen Stern, den man Pentagramm nennt. Der Goldene Schnitt ist das Verhältnis der Größe der Diagonalen zur Seite des Fünfecks.

Das Pentagon ist nicht dazu geeignet, das Flugzeug komplett auszufüllen. Die Verwendung jeglichen Materials in dieser Form hinterlässt Lücken oder bildet Überlappungen. Obwohl natürliche Kristalle dieser Form in der Natur nicht vorkommen, erscheinen bei der Bildung von Eis auf der Oberfläche glatter Kupferprodukte Moleküle in Form eines Fünfecks, die in Ketten verbunden sind.

Der einfachste Weg, ein regelmäßiges Fünfeck aus einem Papierstreifen zu bekommen, besteht darin, es zu einem Knoten zu binden und ein wenig nach unten zu drücken. Diese Methode ist nützlich für Eltern von Vorschulkindern, die ihren Kleinkindern beibringen möchten, geometrische Formen zu erkennen.

Video

Sehen Sie, wie Sie schnell ein Fünfeck zeichnen können.

Konstruktion eines regelmäßigen Sechsecks, das einem Kreis einbeschrieben ist.

Die Konstruktion eines Sechsecks basiert darauf, dass seine Seite gleich dem Radius des umschriebenen Kreises ist. Zum Bauen reicht es daher aus, den Kreis in sechs gleiche Teile zu teilen und die gefundenen Punkte miteinander zu verbinden.

Ein regelmäßiges Sechseck kann mit einem T-Winkel und einem 30X60°-Winkel konstruiert werden. Um diese Konstruktion auszuführen, nehmen wir den horizontalen Durchmesser des Kreises als Winkelhalbierende der Winkel 1 und 4, bauen die Seiten 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 und 7 - 2, danach zeichnen wir die Seiten 5 - 6 und 3 - 2.

Die Eckpunkte eines solchen Dreiecks können mit einem Kompass und einem Quadrat mit Winkeln von 30 und 60 ° oder nur einem Kompass konstruiert werden. Betrachten Sie zwei Möglichkeiten, ein gleichseitiges Dreieck zu konstruieren, das einem Kreis einbeschrieben ist.

Erster Weg(Abb. 61, a) basiert auf der Tatsache, dass alle drei Winkel des Dreiecks 7, 2, 3 jeweils 60 ° enthalten und die durch den Punkt 7 gezogene Vertikale sowohl die Höhe als auch die Winkelhalbierende des Winkels 1 ist. Da der Winkel 0 - 1 - 2 gleich 30° ist, dann genügt es, um die Seite 1 - 2 zu finden, einen Winkel von 30° aus Punkt 1 und Seite 0 - 1 zu konstruieren. Stellen Sie dazu das T-Quadrat und das Quadrat wie in der Abbildung gezeigt ein und zeichnen Sie eine Linie 1 - 2, die eine der Seiten des gewünschten Dreiecks sein wird. Um Seite 2 - 3 zu bauen, stellen Sie das T-Quadrat auf die Position, die durch die gestrichelten Linien angezeigt wird, und ziehen Sie eine gerade Linie durch Punkt 2, die den dritten Eckpunkt des Dreiecks definiert.

Zweiter Weg basiert auf der Tatsache, dass, wenn Sie ein regelmäßiges Sechseck bauen, das in einen Kreis eingeschrieben ist, und dann seine Eckpunkte durch eins verbinden, Sie ein gleichseitiges Dreieck erhalten.

Um ein Dreieck zu bauen, markieren wir den Scheitelpunkt 1 auf dem Durchmesser und zeichnen eine diametrale Linie 1 - 4. Außerdem beschreiben wir von Punkt 4 mit einem Radius von D / 2 den Bogen, bis er den Kreis an den Punkten 3 schneidet und 2. Die resultierenden Punkte sind zwei andere Eckpunkte des gewünschten Dreiecks.

Diese Konstruktion kann mit einem Winkel und einem Zirkel durchgeführt werden.

Erster Weg beruht darauf, dass sich die Diagonalen des Quadrats im Mittelpunkt des umschriebenen Kreises schneiden und unter einem Winkel von 45° zu dessen Achsen geneigt sind. Darauf aufbauend installieren wir einen T-Winkel und einen Winkel mit Winkeln von 45 °, wie in Abb. 62, a, und markieren Sie die Punkte 1 und 3. Weiter zeichnen wir durch diese Punkte die horizontalen Seiten des Quadrats 4 - 1 und 3 - 2 mit Hilfe eines T-Quadrats. Dann zeichnen wir mit einem T-Quadrat entlang des Beins des Quadrats die vertikalen Seiten des Quadrats 1 - 2 und 4 - 3.

Zweiter Weg basiert auf der Tatsache, dass die Eckpunkte des Quadrats die Kreisbögen halbieren, die zwischen den Enden des Durchmessers eingeschlossen sind. Wir markieren die Punkte A, B und C an den Enden zweier zueinander senkrechter Durchmesser und beschreiben von ihnen mit einem Radius y die Bögen, bis sie sich schneiden.

Außerdem zeichnen wir durch die Schnittpunkte der Bögen Hilfslinien, die in der Figur mit durchgezogenen Linien markiert sind. Ihre Schnittpunkte mit dem Kreis definieren die Eckpunkte 1 und 3; 4 und 2. Die Eckpunkte des auf diese Weise erhaltenen gewünschten Quadrats werden miteinander in Reihe geschaltet.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist.

Um ein regelmäßiges Fünfeck in einen Kreis einzuschreiben, machen wir die folgenden Konstruktionen. Wir markieren Punkt 1 auf dem Kreis und nehmen ihn als eine der Ecken des Fünfecks. Segment AO halbieren. Dazu beschreiben wir mit dem Radius AO von Punkt A den Bogen zum Schnittpunkt mit dem Kreis an den Punkten M und B. Verbinden dieser Punkte mit einer Geraden erhalten wir den Punkt K, den wir dann mit Punkt 1 verbinden. Mit einem Radius gleich dem Segment A7 beschreiben wir den Bogen vom Punkt K bis zum Schnittpunkt mit der diametralen Linie AO ​​am Punkt H. Wenn wir Punkt 1 mit Punkt H verbinden, erhalten wir die Seite des Fünfecks. Dann finden wir mit einer Kompassöffnung, die dem Segment 1H entspricht und den Bogen von Scheitelpunkt 1 bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis beschreibt, die Scheitelpunkte 2 und 5. Nachdem wir Kerben von den Scheitelpunkten 2 und 5 mit der gleichen Kompassöffnung gemacht haben, erhalten wir den Rest Knoten 3 und 4. Wir verbinden die gefundenen Punkte nacheinander miteinander.

Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit gegebener Seite.

Um ein regelmäßiges Fünfeck entlang seiner gegebenen Seite zu konstruieren (Abb. 64), teilen wir die Strecke AB in sechs gleiche Teile. Von den Punkten A und B mit dem Radius AB beschreiben wir Bögen, deren Schnittpunkt den Punkt K ergibt. Durch diesen Punkt und die Teilung 3 auf der Linie AB ziehen wir eine vertikale Linie. Weiter vom Punkt K auf dieser geraden Linie nehmen wir ein Segment gleich 4/6 AB. Wir bekommen Punkt 1 - die Spitze des Fünfecks. Dann beschreiben wir mit einem Radius gleich AB von Punkt 1 den Bogen bis zum Schnittpunkt mit den zuvor von den Punkten A und B gezeichneten Bögen. Die Schnittpunkte der Bögen bestimmen die Eckpunkte des Fünfecks 2 und 5. Wir verbinden das Gefundene Eckpunkte in Reihe zueinander.

Konstruktion eines regelmäßigen Siebenecks, das in einen Kreis eingeschrieben ist.

Gegeben sei ein Kreis vom Durchmesser D; Sie müssen ein regelmäßiges Siebeneck hineinschreiben (Abb. 65). Teilen Sie den vertikalen Durchmesser des Kreises in sieben gleiche Teile. Von Punkt 7 mit einem Radius gleich dem Durchmesser des Kreises D beschreiben wir den Bogen, bis er sich mit der Fortsetzung des horizontalen Durchmessers bei Punkt F schneidet. Punkt F wird als Pol des Polygons bezeichnet. Wenn wir den Punkt VII als einen der Eckpunkte des Siebenecks nehmen, zeichnen wir Strahlen vom Pol F durch gleichmäßige Teilungen des vertikalen Durchmessers, deren Schnittpunkt mit dem Kreis die Eckpunkte VI, V und IV des Siebenecks bestimmt. Um die Eckpunkte / - // - /// von den Punkten IV, V und VI zu erhalten, zeichnen wir horizontale Linien, bis sie sich mit dem Kreis schneiden. Wir verbinden die gefundenen Knoten in Reihe miteinander. Das Siebeneck kann konstruiert werden, indem Strahlen vom F-Pol und durch ungerade Teilungen des vertikalen Durchmessers gezogen werden.

Das obige Verfahren eignet sich zum Konstruieren regelmäßiger Polygone mit einer beliebigen Anzahl von Seiten.

Die Teilung eines Kreises in beliebig viele gleiche Teile kann auch mit den Daten in Tabelle erfolgen. 2, die die Koeffizienten zeigt, die es ermöglichen, die Abmessungen der Seiten von regelmäßig einbeschriebenen Polygonen zu bestimmen.

Seitenlängen von regelmäßig einbeschriebenen Polygonen.

Die erste Spalte dieser Tabelle zeigt die Anzahl der Seiten eines regelmäßig einbeschriebenen Polygons und die zweite Spalte zeigt die Koeffizienten. Die Länge einer Seite eines gegebenen Polygons erhält man durch Multiplizieren des Radius eines gegebenen Kreises mit einem Faktor, der der Anzahl der Seiten dieses Polygons entspricht.

Ozhegovs erklärendes Wörterbuch sagt, dass ein Fünfeck ein von fünf sich schneidenden geraden Linien begrenztes ist, die fünf Innenwinkel bilden, sowie jedes Objekt mit ähnlicher Form. Wenn ein bestimmtes Polygon alle dieselben Seiten und Winkel hat, wird es als regelmäßiges (Fünfeck) bezeichnet.

Was ist an einem regelmäßigen Fünfeck interessant?

In dieser Form wurde das bekannte Gebäude des US-Verteidigungsministeriums gebaut. Von den voluminösen regelmäßigen Polyedern hat nur das Dodekaeder fünfeckige Flächen. Und in der Natur fehlen Kristalle völlig, deren Flächen einem regelmäßigen Fünfeck ähneln würden. Außerdem ist diese Figur ein Polygon mit einer minimalen Anzahl von Ecken, die nicht zum Kacheln einer Fläche verwendet werden können. Nur ein Fünfeck hat gleich viele Diagonalen wie seine Seiten. Stimmen Sie zu, es ist interessant!

Grundlegende Eigenschaften und Formeln

Mit den Formeln für ein beliebiges regelmäßiges Vieleck können Sie alle notwendigen Parameter bestimmen, die das Fünfeck hat.

• Zentriwinkel α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Innenwinkel β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Dementsprechend beträgt die Summe der Innenwinkel 540°.
• Das Verhältnis der Diagonale zur Seite ist (1+√5)/2, also (ungefähr 1,618).
• Die Seitenlänge eines regelmäßigen Fünfecks kann mit einer von drei Formeln berechnet werden, je nachdem, welcher Parameter bereits bekannt ist:

• wenn ein Kreis umschrieben wird und dessen Radius R bekannt ist, dann ist a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• falls einem regelmäßigen Fünfeck ein Kreis mit Radius r eingeschrieben ist, gilt a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• kommt es vor, dass anstelle von Radien der Wert der Diagonale D bekannt ist, dann wird die Seite wie folgt bestimmt: a ≈ D / 1,618.

• Die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks wird wiederum abhängig davon bestimmt, welche Parameter wir kennen:
• Wenn es einen eingeschriebenen oder umschriebenen Kreis gibt, wird eine von zwei Formeln verwendet:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r oder S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• der Flächeninhalt kann auch bestimmt werden, wenn man nur die Länge der Seite a kennt:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Regelmäßiges Fünfeck: Konstruktion

Diese geometrische Figur kann auf verschiedene Arten konstruiert werden. Schreiben Sie es beispielsweise in einen Kreis mit einem bestimmten Radius ein oder bauen Sie es auf der Grundlage einer bestimmten Seitenfläche. Der Handlungsablauf wurde um 300 v. Chr. in Euklids Elementen beschrieben. Auf jeden Fall brauchen wir einen Zirkel und ein Lineal. Betrachten Sie die Konstruktionsmethode unter Verwendung eines gegebenen Kreises.

1. Wählen Sie einen beliebigen Radius und zeichnen Sie einen Kreis, dessen Mittelpunkt Sie mit Punkt O markieren.

2. Wählen Sie auf der Kreislinie einen Punkt aus, der als einer der Eckpunkte unseres Fünfecks dienen soll. Sei dies Punkt A. Verbinde die Punkte O und A mit einer geraden Linie.

3. Zeichnen Sie eine Linie durch den Punkt O senkrecht zur Linie OA. Markieren Sie den Schnittpunkt dieser Linie mit der Kreislinie als Punkt B.

4. Bauen Sie in der Mitte des Abstands zwischen den Punkten O und B Punkt C.

5. Zeichnen Sie nun einen Kreis, dessen Mittelpunkt bei Punkt C liegt und der durch Punkt A verläuft. Der Ort seines Schnittpunkts mit der Linie OB (er wird sich innerhalb des allerersten Kreises befinden) ist Punkt D.

6. Konstruieren Sie einen durch D verlaufenden Kreis, dessen Mittelpunkt bei A liegt. Die Schnittpunkte mit dem ursprünglichen Kreis müssen mit den Punkten E und F markiert werden.

7. Bauen Sie nun einen Kreis, dessen Mittelpunkt in E liegt. Sie müssen dies tun, damit er durch A verläuft. Sein anderer Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises muss angegeben werden

8. Zeichnen Sie zum Schluss einen Kreis durch A, dessen Mittelpunkt Punkt F ist. Markieren Sie einen weiteren Schnittpunkt des ursprünglichen Kreises mit Punkt H.

9. Jetzt müssen nur noch die Eckpunkte A, E, G, H, F verbunden werden. Unser regelmäßiges Fünfeck ist fertig!

5.3. goldenes Fünfeck; Konstruktion von Euklid.

Ein wunderbares Beispiel für den "Goldenen Schnitt" ist ein regelmäßiges Fünfeck - konvex und sternförmig (Abb. 5).

Um ein Pentagramm zu bauen, musst du ein normales Fünfeck bauen.

Sei O der Mittelpunkt des Kreises, A ein Punkt auf dem Kreis und E der Mittelpunkt der Strecke OA. Die Senkrechte zum Radius OA, wiederhergestellt im Punkt O, schneidet den Kreis im Punkt D. Markieren Sie mit einem Zirkel das Segment CE = ED auf dem Durchmesser. Die Länge einer Seite eines regelmäßigen Fünfecks, das einem Kreis einbeschrieben ist, ist DC. Wir legen Segmente DC auf dem Kreis beiseite und erhalten fünf Punkte für das Zeichnen eines regelmäßigen Fünfecks. Wir verbinden die Ecken des Fünfecks durch eine Diagonale und erhalten ein Pentagramm. Alle Diagonalen des Fünfecks teilen sich gegenseitig in Segmente, die durch den Goldenen Schnitt verbunden sind.

Jedes Ende des fünfeckigen Sterns ist ein goldenes Dreieck. Ihre Seiten bilden oben einen Winkel von 36°, und die auf die Seite gelegte Basis teilt sie proportional zum goldenen Schnitt.

Es gibt auch einen goldenen Quader - das ist ein rechteckiges Parallelepiped mit Kantenlängen von 1,618, 1 und 0,618.

Betrachten Sie nun den Beweis, den Euklid in den Elementen anbietet.

vom Mittelpunkt des umschriebenen Kreises. Lass uns beginnen mit

Segment ABE, in der Mitte geteilt u

Also sei AC = AE. Bezeichne mit a die gleichen Winkel EBC und CEB. Da AC = AE ist, ist auch der Winkel ACE gleich a. Der Satz, dass die Summe der Winkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt, ermöglicht es Ihnen, den Winkel ALL zu finden: Er ist 180-2a und der Winkel EAC ist 3a - 180. Aber dann ist der Winkel ABC 180-a. Wenn wir die Winkel des Dreiecks ABC zusammenfassen, erhalten wir

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Daraus ergibt sich 5a=360, also a=72.

Jeder der Winkel an der Basis des Dreiecks BEC ist also doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze, also gleich 36 Grad. Um ein regelmäßiges Fünfeck zu konstruieren, ist es daher nur notwendig, einen beliebigen Kreis zu zeichnen, dessen Mittelpunkt der Punkt E ist und der EC am Punkt X und die Seite EB am Punkt Y schneidet: Das Segment XY ist eine der Seiten des regelmäßigen Fünfecks, das in einbeschrieben ist Kreis; Wenn Sie den gesamten Kreis umrunden, können Sie alle anderen Seiten finden.

Wir beweisen nun, dass AC=AE ist. Angenommen, der Scheitelpunkt C ist durch ein gerades Liniensegment mit dem Mittelpunkt N des Segments BE verbunden. Beachten Sie, dass wegen CB = CE der Winkel CNE ein rechter Winkel ist. Nach dem Satz des Pythagoras:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Also haben wir (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Also AC = ja = jAB = AE, was zu beweisen war

5.4 Spirale von Archimedes.

Wenn wir nacheinander Quadrate von goldenen Rechtecken bis ins Unendliche abschneiden und jedes Mal gegenüberliegende Punkte mit einem Viertelkreis verbinden, erhalten wir eine ziemlich elegante Kurve. Die erste Aufmerksamkeit erregte der antike griechische Wissenschaftler Archimedes, dessen Namen sie trägt. Er studierte es und leitete die Gleichung dieser Spirale ab.

Derzeit ist die Archimedes-Spirale in der Technologie weit verbreitet.

6. Fibonacci-Zahlen.

Der Name des italienischen Mathematikers Leonardo aus Pisa, besser bekannt unter seinem Spitznamen Fibonacci (Fibonacci ist eine Abkürzung für filius Bonacci, also der Sohn von Bonacci), wird indirekt mit dem Goldenen Schnitt in Verbindung gebracht.

Im Jahr 1202 er schrieb das Buch „Liber abacci“, also „Das Buch des Abakus“. "Liber abacci" ist ein umfangreiches Werk, das fast das gesamte arithmetische und algebraische Wissen dieser Zeit enthält und in den folgenden Jahrhunderten eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der Mathematik in Westeuropa spielte. Insbesondere aus diesem Buch lernten die Europäer hinduistische ("arabische") Ziffern kennen.

Das in dem Buch berichtete Material wird zu einer großen Anzahl von Problemen erläutert, die einen wesentlichen Teil dieser Abhandlung ausmachen.

Betrachten Sie ein solches Problem:

Wie viele Kaninchenpaare werden in einem Jahr aus einem Paar geboren?

Jemand hat ein Kaninchenpaar an einen bestimmten Ort gestellt, der von allen Seiten von einer Mauer umgeben ist, um herauszufinden, wie viele Kaninchenpaare in diesem Jahr geboren werden, wenn die Kaninchennatur so ist, dass in einem Monat ein Paar Kaninchen geboren wird Kaninchen reproduzieren ein anderes, und Kaninchen gebären ab dem zweiten Monat nach ihrer Geburt "

Gehen wir nun von Hasen zu Zahlen über und betrachten die folgende Zahlenfolge:

u 1 , u 2 … u n

wobei jeder Term gleich der Summe der beiden vorherigen ist, d.h. für jedes n > 2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Diese Folge tendiert asymptotisch (immer langsamer nähernd) zu einer konstanten Beziehung. Dieses Verhältnis ist jedoch irrational, d. h. es handelt sich um eine Zahl mit einer unendlichen, nicht vorhersagbaren Folge von Dezimalziffern im Bruchteil. Es kann nicht genau ausgedrückt werden.

Wenn ein beliebiges Glied der Fibonacci-Folge durch das davor geteilt wird (z. B. 13:8), ist das Ergebnis ein Wert, der um den irrationalen Wert 1,61803398875 herum schwankt ... und ihn manchmal überschreitet, manchmal nicht erreicht.

Das asymptotische Verhalten der Folge, die gedämpften Schwankungen ihres Verhältnisses um eine irrationale Zahl Φ werden verständlicher, wenn wir die Verhältnisse mehrerer erster Glieder der Folge zeigen. Dieses Beispiel zeigt die Beziehung des zweiten Terms zum ersten, des dritten zum zweiten, des vierten zum dritten usw.:

1:1 = 1,0000, was um 0,6180 kleiner als Phi ist

2:1 = 2,0000, das sind 0,3820 mehr phi

3:2 = 1,5000, was um 0,1180 kleiner als phi ist

5:3 = 1,6667, das sind 0,0486 mehr phi

8:5 = 1,6000, was um 0,0180 kleiner als Phi ist

Wenn Sie sich entlang der Fibonacci-Summierungssequenz bewegen, wird jeder neue Term den nächsten mit immer größerer Annäherung an das unerreichbare F teilen.

Ein Mensch sucht unbewusst nach dem göttlichen Verhältnis: Es wird benötigt, um sein Bedürfnis nach Komfort zu befriedigen.

Wenn wir ein beliebiges Mitglied der Fibonacci-Folge durch das nächste dividieren, erhalten wir nur den Kehrwert von 1,618 (1: 1,618 = 0,618). Aber auch das ist ein sehr ungewöhnliches, ja bemerkenswertes Phänomen. Da das ursprüngliche Verhältnis ein unendlicher Bruch ist, sollte dieses Verhältnis auch kein Ende haben.

Wenn wir jede Zahl durch die nächstfolgende dividieren, erhalten wir die Zahl 0,382

Wenn wir auf diese Weise die Verhältnisse wählen, erhalten wir die Hauptgruppe der Fibonacci-Koeffizienten: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236, wir erwähnen auch 0,5, die alle eine besondere Rolle in der Natur und insbesondere in der technischen Analyse spielen.

An dieser Stelle sei angemerkt, dass Fibonacci die Menschheit nur an seine Folge erinnerte, da sie in der Antike unter dem Namen Goldener Schnitt bekannt war.

Der Goldene Schnitt entsteht, wie wir gesehen haben, im Zusammenhang mit dem regelmäßigen Fünfeck, die Fibonacci-Zahlen spielen also bei allem eine Rolle, was mit regelmäßigen Fünfecken zu tun hat – konvex und sternförmig.

Die Fibonacci-Reihe hätte nur ein mathematisches Ereignis bleiben können, wenn nicht alle Erforscher der goldenen Teilung in der Pflanzen- und Tierwelt, ganz zu schweigen von der Kunst, ausnahmslos auf diese Reihe als arithmetischen Ausdruck des Gesetzes der goldenen Teilung gestoßen wären . Wissenschaftler haben die Theorie der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen Schnitts aktiv weiterentwickelt. Yu Matiyasevich löst mithilfe von Fibonacci-Zahlen Hilberts 10. Problem (über die Lösung diophantischer Gleichungen). Es gibt elegante Methoden, um eine Reihe kybernetischer Probleme (Suchtheorie, Spiele, Programmierung) mit Fibonacci-Zahlen und dem Goldenen Schnitt zu lösen. In den USA entsteht sogar die Mathematical Fibonacci Association, die seit 1963 eine Fachzeitschrift herausgibt.

Eine der Errungenschaften auf diesem Gebiet ist die Entdeckung verallgemeinerter Fibonacci-Zahlen und verallgemeinerter Goldener Schnitte. Die Fibonacci-Reihe (1, 1, 2, 3, 5, 8) und die von ihm entdeckte „binäre“ Zahlenreihe 1, 2, 4, 8, 16 ... (also eine Zahlenreihe bis n , wobei sich jede natürliche Zahl kleiner als n als Summe einiger Zahlen dieser Reihe darstellen lässt) auf den ersten Blick völlig verschieden. Aber die Algorithmen für ihre Konstruktion sind einander sehr ähnlich: Im ersten Fall ist jede Zahl die Summe der vorherigen Zahl mit sich selbst 2 = 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., im zweiten - das ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Ist es möglich eine allgemeine mathematische Formel zu finden, aus der und " binäre Reihen und die Fibonacci-Reihe?

Stellen wir in der Tat einen numerischen Parameter S ein, der beliebige Werte annehmen kann: 0, 1, 2, 3, 4, 5... getrennt vom vorherigen durch S Schritte. Bezeichnen wir das n-te Glied dieser Reihe mit S (n), so erhalten wir die allgemeine Formel S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Offensichtlich erhalten wir mit S = 0 aus dieser Formel eine „binäre“ Reihe, mit S = 1 - eine Fibonacci-Reihe, mit S = 2, 3, 4. neue Zahlenreihen, die S-Fibonacci-Zahlen genannt werden.

Allgemein ausgedrückt ist der goldene S-Anteil die positive Wurzel der Gleichung des goldenen S-Abschnitts x S+1 – x S – 1 = 0.

Es ist leicht zu zeigen, dass bei S = 0 die Teilung des Segments in zwei Hälften erhalten wird und bei S = 1 der bekannte klassische Goldene Schnitt erhalten wird.

Die Verhältnisse benachbarter Fibonacci-S-Zahlen stimmen mit absoluter mathematischer Genauigkeit im Limit mit den goldenen S-Verhältnissen überein! Das heißt, goldene S-Abschnitte sind numerische Invarianten von Fibonacci-S-Zahlen.

7. Goldener Schnitt in der Kunst.

7.1. Goldener Schnitt in der Malerei.

Wenn man sich den Beispielen des „Goldenen Schnitts“ in der Malerei zuwendet, kann man nicht umhin, seine Aufmerksamkeit auf das Werk von Leonardo da Vinci zu lenken. Seine Identität ist eines der Geheimnisse der Geschichte. Leonardo da Vinci selbst sagte: „Niemand, der kein Mathematiker ist, soll es wagen, meine Werke zu lesen.“

Zweifellos war Leonardo da Vinci ein großer Künstler, seine Zeitgenossen erkannten dies bereits, aber seine Persönlichkeit und sein Wirken werden im Dunkeln bleiben, da er der Nachwelt keine zusammenhängende Darstellung seiner Ideen hinterließ, sondern nur zahlreiche handschriftliche Skizzen, Notizen die sagen "sowohl alle auf der Welt."

Das Porträt von Monna Lisa (Gioconda) zieht seit vielen Jahren die Aufmerksamkeit von Forschern auf sich, die herausfanden, dass die Komposition der Zeichnung auf goldenen Dreiecken basiert, die Teile eines regelmäßigen Sternenfünfecks sind.

Auch der Anteil des Goldenen Schnitts erscheint in Shishkins Gemälde. In diesem berühmten Gemälde von I. I. Shishkin sind die Motive des Goldenen Schnitts deutlich sichtbar. Die hell erleuchtete Kiefer (im Vordergrund stehend) teilt die Bildlänge nach dem Goldenen Schnitt. Rechts von der Kiefer befindet sich ein von der Sonne beleuchteter Hügel. Es teilt die rechte Seite des Bildes horizontal nach dem Goldenen Schnitt.

Raffaels Gemälde „Das Massaker an den Unschuldigen“ zeigt ein weiteres Element des Goldenen Schnitts – die goldene Spirale. Auf der vorbereitenden Skizze Raffaels sind rote Linien gezeichnet, die vom semantischen Zentrum der Komposition – dem Punkt, an dem sich die Finger des Kriegers um den Knöchel des Kindes schlossen – entlang der Figuren des Kindes, der Frau, die es an sich drückt, des Kriegers mit a erhobenes Schwert und dann entlang der Figuren der gleichen Gruppe auf der rechten Seite der Skizze . Ob Raffael die goldene Spirale gebaut oder gefühlt hat, ist nicht bekannt.

T. Cook verwendete den Goldenen Schnitt bei der Analyse des Gemäldes „Die Geburt der Venus“ von Sandro Botticelli.

7.2. Pyramiden des Goldenen Schnitts.

Die medizinischen Eigenschaften der Pyramiden, insbesondere des Goldenen Schnitts, sind weithin bekannt. Nach einigen der gängigsten Meinungen erscheint der Raum, in dem sich eine solche Pyramide befindet, größer und die Luft ist transparenter. Träume werden besser erinnert. Es ist auch bekannt, dass der Goldene Schnitt in der Architektur und Bildhauerei weit verbreitet war. Ein Beispiel dafür war: das Pantheon und Parthenon in Griechenland, die Gebäude der Architekten Bazhenov und Malevich

8. Fazit.

Es muss gesagt werden, dass der Goldene Schnitt eine große Anwendung in unserem Leben hat.

Es ist erwiesen, dass der menschliche Körper proportional zum goldenen Schnitt durch die Gürtellinie geteilt wird.

Die Schale des Nautilus ist wie eine goldene Spirale gedreht.

Dank des Goldenen Schnitts wurde der Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter entdeckt – proportional müsste dort ein weiterer Planet stehen.

Die Erregung der Saite an dem Punkt, der sie in Bezug auf den goldenen Teiler teilt, wird die Saite nicht zum Schwingen bringen, das heißt, dies ist der Punkt der Kompensation.

Bei Flugzeugen mit elektromagnetischen Energiequellen entstehen rechteckige Zellen mit dem Anteil des Goldenen Schnitts.

Gioconda ist auf goldenen Dreiecken aufgebaut, die goldene Spirale ist in Raffaels Gemälde "Massacre of the Innocents" vorhanden.

Proportion gefunden in dem Gemälde von Sandro Botticelli "Die Geburt der Venus"

Es gibt viele architektonische Denkmäler, die nach dem Goldenen Schnitt gebaut wurden, darunter das Pantheon und der Parthenon in Athen, die Gebäude der Architekten Bazhenov und Malevich.

John Kepler, der vor fünf Jahrhunderten lebte, besitzt die Aussage: „Die Geometrie hat zwei große Schätze. Der erste ist der Satz des Pythagoras, der zweite ist die Teilung eines Segments im extremen und mittleren Verhältnis.“

Referenzliste

1. D. Pidow. Geometrie und Kunst. – M.: Mir, 1979.

2. Zeitschrift "Wissenschaft und Technik"

3. Zeitschrift "Quantum", 1973, Nr. 8.

4. Zeitschrift "Mathematik in der Schule", 1994, Nr. 2; Nummer 3.

5. Kovalev F.V. Goldener Schnitt in der Malerei. K.: Vyscha-Schule, 1989.

6. Stakhov A. Codes des Goldenen Schnitts.

7. Worobjow N.N. "Fibonacci-Zahlen" - M.: Nauka 1964

8. "Mathematik - Enzyklopädie für Kinder" M .: Avanta +, 1998

9. Informationen aus dem Internet.

Fibonacci-Matrizen und die sogenannten "goldenen" Matrizen, neue Computerarithmetik, eine neue Codierungstheorie und eine neue Theorie der Kryptographie. Das Wesen der neuen Wissenschaft ist die Überarbeitung der gesamten Mathematik unter dem Gesichtspunkt des Goldenen Schnitts, beginnend mit Pythagoras, was natürlich neue und sicherlich sehr interessante mathematische Ergebnisse in der Theorie nach sich ziehen wird. In der Praxis - "goldene" Computerisierung. Und weil...

Dieses Ergebnis wird nicht beeinflusst. Die Basis des Goldenen Schnitts ist eine Invariante der rekursiven Verhältnisse 4 und 6. Dies zeigt die "Stabilität" des Goldenen Schnitts, eines der Prinzipien der Organisation lebender Materie. Auch die Grundlage des Goldenen Schnitts ist die Lösung zweier exotischer rekursiver Folgen (Abb. 4). 4 rekursive Fibonacci-Folgen also...

Das Ohr ist j5 und der Abstand vom Ohr zum Scheitel ist j6. In dieser Statue sehen wir also eine geometrische Progression mit dem Nenner j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Abb. 9). Somit ist der Goldene Schnitt eines der Grundprinzipien in der Kunst des antiken Griechenlands. Rhythmen des Herzens und des Gehirns. Das menschliche Herz schlägt gleichmäßig – im Ruhezustand etwa 60 Schläge pro Minute. Das Herz komprimiert sich wie ein Kolben...