Řada se složitými pojmy. Řady v komplexní oblasti Číselné řady s komplexními čísly

463. Jaký je geometrický význam nerovností: 1) Re z > 0; 2) jsem z< 0 ?

2. Řady se složitými členy. Zvažte posloupnost komplexních čísel z 1, z 2 , z 3, ..., kde zp = x p + iу p (p = 1, 2, 3, ...). Konstantní číslo c = a + bi volal omezit sekvence z 1, z 2 , z 3 , ..., pokud je pro libovolné libovolně malé číslo δ>0 existuje takové číslo N, jaký je význam z p s čísly n > N uspokojit nerovnost \z str-S\< δ . V tomto případě píšou .

Nutná a postačující podmínka pro existenci limity posloupnosti komplexních čísel je následující: číslo c=a+bi je limita posloupnosti komplexních čísel x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, … tehdy a jen tehdy, .

(1)

jehož členy jsou komplexní čísla se nazývá konvergentní, Li nthčástečný součet řady S n at p → ∞ směřuje k určité konečné hranici. Jinak se volá řada (1). divergentní.

Řada (1) konverguje právě tehdy, když řada s reálnými členy konverguje

(2) Zkoumejte konvergenci řady Tato řada, jejíž členy tvoří nekonečně klesající geometrickou posloupnost, konverguje; proto daná řada s komplexními členy konverguje absolutně. ^

474. Najděte oblast konvergence řady

Přepis

1 Federální agentura pro vzdělávání Tomská státní univerzita architektury a stavitelství ŘADY S KOMPLEXNÍMI ČLENY Pokyny pro samostatnou práci Sestavili LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 řady s komplexními členy: metodické pokyny / Sestavil LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomsk: Nakladatelství Státní univerzity architektury a stavitelství v Tomsku, s Recenzent profesor NN Belov Editor EY Glotova Metodické pokyny jsou určeny pro samostudium studentů 1. ročníku všech odborná témata „Řada s komplexními členy“ oboru JNF „Matematika“ Zveřejněno podle rozhodnutí metodického semináře katedry vyšší matematiky, protokol 4. března Schváleno a uvedeno v platnost prorektorem pro akademické záležitosti VV Dzyubo od 5 do 55 Původní layout připravil autor Podepsáno pro tisk Formát 6 84/6 Ofsetový papír Typeface Times Vzdělávací publikace l, 6 Náklad 4 Objednávka Nakladatelství TGASU, 64, Tomsk, Solyanaya sq., Vytištěno z původního layoutu v OOP TGASU 64, Tomsk, Partizanskaya ul., 5

3 ŘADA S KOMPLEXNÍMI POJMY TÉMA Číselné řady s komplexními členy Připomeňme, že komplexní čísla jsou čísla ve tvaru z = x y, kde x a y jsou reálná čísla a imaginární jednotka definovaná rovností = - Čísla x a y se nazývají reálné a imaginární části čísla z a označují x = Rez, y = Imz Je zřejmé, že mezi body M(x, y) roviny XOU s kartézským ortogonálním systémem souřadnic a komplexními čísly tvaru z = x y, existuje korespondence jedna ku jedné Rovina XOU se nazývá komplexní rovina a z se nazývá bod této roviny Reálná čísla odpovídají ose úsečky, nazývané reálná osa, a čísla tvaru z = y odpovídají k ose pořadnice, která se nazývá imaginární osa. Označíme-li polární souřadnice bodu M(x,y) r a j, pak x = r cosj, y = r s j a číslo z zapíšeme do tvar: z = r (cosj sj), kde r = x y Tento tvar zápisu komplexního čísla se nazývá trigonometrický, zápis z ve tvaru z = x y se nazývá algebraický tvar zápisu Číslo r se nazývá modul čísla. z, číslo j je argument (v bodě z = pojem argumentu není rozšířen) Modul čísla z je jednoznačně určen vzorcem z = x y Argument j je jednoznačně určen pouze za dodatečné podmínky - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 čísla z (obr.) Význam tohoto je třeba mít na paměti, že y arq z - π je vyjádřeno pomocí< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, pokud x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, jestliže x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (obr.) М y r = j = p x Obr V trigonometrickém tvaru bude číslo z = - zapsáno ve tvaru: - = сos π s π и Operace s komplexními čísly doporučujeme zopakovat sami. vzpomeňte si na vzorec pro zvýšení čísla z na mocninu: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Klíčové otázky teorie Stručné odpovědi Definice řady s komplexními pojmy Pojem konvergence řady Nutná podmínka pro konvergenci Definice Nechť je dána posloupnost z ) = ( x y ) = z, z, z, komplexních čísel A symbol tvaru ( å = z se nazývá řada, z je obecný člen řady Pojmy dílčích součtů řady S, její konvergence a divergence plně odpovídají podobným pojmům pro řady s reálnými členy. Posloupnost dílčích součty řady mají tvar: S = z; S = z z; S = z z z; Je-li $lm S a tato limita je konečná a rovna číslu S , řada se nazývá konvergentní a číslo S se nazývá součet řady, jinak se řada nazývá divergentní Připomeňme, že definice limity posloupnosti komplexních čísel, kterou jsme použili, se formálně neliší od definice limity posloupnosti reálných čísel: def (lm S = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 nula obecného členu z řady at To znamená, že pokud je tato podmínka porušena, tedy pokud lm z ¹, řada diverguje, ale pokud lm z =, otázka konvergence řady zůstává otevřená. je možné studovat řadu å (x = pro konvergenci zkoumáním x a å = pro konvergenci řady å = s reálnými členy? y, a pokud å x = S = kde å S = (x y) = å = x u , a y = S, pak S = S S, konverguje - Příklad Ujistěte se, že řada å = è () xia, a najděte její součet 7

8 Řešení Řada å konverguje, t k ~ = () () když součet S této řady je roven (Kapitola, téma, n) Řada å konverguje jako nekonečně klesající geometrická = progrese, přičemž å = () и S b = - q = konverguje a jeho součet Řada S = Příklad Řada å diverguje, t k diverguje = è! harmonická řada å V tomto případě prozkoumejte řadu å = pro konvergenci! nedává smysl Příklad Řada å π tg diverguje, protože pro = è řada å π tg je porušena nutná podmínka konvergence = π lm tg = p ¹ и 8

9 Jaké vlastnosti mají konvergentní řady s komplexními členy? Vlastnosti jsou stejné jako u konvergentních řad s reálnými členy, doporučujeme vlastnosti zopakovat 4 Existuje pojem absolutní konvergence pro řadu s komplexními členy? Věta (dostatečná podmínka pro konvergenci řady) Konverguje-li řada å = z, bude konvergovat i řada å = z. Pojem absolutní konvergence řady å = z formálně vypadá úplně stejně jako u řady s reálným pojmy Definice Řada å = z se nazývá absolutně konvergentní, jestliže řada konverguje å = z Příklad Dokažte absolutní konvergenci řady () () () 4 8 Řešení Použijme trigonometrický tvar zápisu čísla: 9

10 π π = r (cosj s j) = cos s и 4 4 Potom π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Zbývá prozkoumat řadu å z pro konvergenci = = Toto je nekonečně klesající geometrická posloupnost se jmenovatelem; taková posloupnost konverguje, a proto řada konverguje absolutně Při dokazování absolutní konvergence se často používá věta Věta Aby řada å = y (x) konvergovala absolutně, je nutné a postačující, aby obě řady å = byly absolutně Příklad Řada å = (-) è cosπ ! x a å = y konverguje absolutně, t k konverguje absolutně å (-) a absolutní konvergence = řady å cosπ je snadno dokázána: =!

11 cosπ a řádek je å!! =! konverguje podle d'Alembertova kritéria Podle srovnávacího kritéria řada å cosπ konverguje Þ řada å =! konverguje absolutně cosπ =! Řešení problémů Prozkoumejte konvergenci řady 4: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Řešení å = è l l Řada diverguje, protože řada å diverguje, což lze snadno zjistit srovnávacím testem: >, a harmonická = l l řada å, jak známo, diverguje. Všimněte si, že s = v tomto případě řada å na základě integrálního Cauchyho testu = l konverguje å (-) = è! l

12 Řada konverguje, takže k å =! konverguje na základě d'Alembertova limitního testu a řada å (-) konverguje podle věty = l Leibniz å α π - π cos tg = и и Chování řady bude samozřejmě záviset na exponentu α Let zapíšeme řadu pomocí vzorce β - cosβ = s: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Řada α å и и 4 = bude konvergovat za předpokladu, že α >, tj. pro α > a bude divergovat pro α nebo pro bude konvergovat, protože pro π π tg ~ α Řada å = α α π tg α

13 Původní řada tedy bude konvergovat a divergovat v α 4 å = и и! α > Řada å se zkoumá na konvergenci pomocí = è Cauchyho limitního testu: lm = lm = > Þ è řada diverguje Þ e è Þ bude divergovat a původní řada 5 řada 5 6 je zkoumána na absolutní konvergenci π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = Řešení 5 å = π cos()! å = - π cos konverguje absolutně, takže k (-)! konverguje podle srovnávacího kritéria: π cos a řady å (-)! (-)! = (-)! konverguje podle d'Alembertova testu

14 4 6 å =!) 8 (Do řady!) 8 (å = použijte d'Alembertovo znamení:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Prozkoumejte řadu 7 na absolutní konvergenci 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Odpovědi: 7, 8 konvergují absolutně , 9 diverguje, nekonverguje absolutně

16 TÉMA Mocninné řady se složitými členy Při studiu části „Funkční řady“ byly podrobně zvažovány řady, jejichž členy byly členy určité posloupnosti funkcí reálné proměnné.Nejatraktivnější (zejména aplikačně) byly mocninné řady, tj. řady tvaru å = a (x-x) Bylo dokázáno (Abelova věta), že každá mocninná řada má interval konvergence (x - R, x R), ve kterém součet S (x) řady je spojitá a že mocninné řady v rámci konvergenčního intervalu lze členit po členu a integrovat člen po členu. Tyto pozoruhodné vlastnosti mocninných řad otevřely nejširší možnosti pro jejich četné aplikace. V tomto tématu se budeme zabývat mocninnými řadami ne s reálnými, ale s komplexními pojmy 6 Klíčové otázky teorie Krátké odpovědi Definice mocninné řady Mocninná řada je funkční řada tvaru å = a (z - z), () kde a a z jsou daná komplexní čísla, a z je komplexní proměnná. Ve speciálním případě, kdy z =, má mocninná řada tvar å = a z ()

17 Je zřejmé, že řada () je redukována na řadu () zavedením nové proměnné W = z - z, takže se budeme zabývat především řadami tvaru () Abelova věta Konverguje-li mocninná řada () v z = z ¹, pak konverguje a navíc absolutně pro libovolné z, pro které z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abelova věta má důsledek, který říká, že pokud řada å = a z diverguje pro * z = z, pak bude divergovat i pro libovolné z, pro které * z > z Existuje pojem poloměr pro mocninné řady () a ( ) konvergence? Ano, existuje poloměr konvergence R, číslo, které má vlastnost, že pro všechna z, pro která z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, řada () diverguje 4 Jaká je oblast konvergence řady ()? Jestliže R je poloměr konvergence řady (), pak množina bodů z, pro které z< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Je možné zjistit poloměr konvergence a pomocí vzorců R = lm a R = lm, a a, která proběhla pro mocninné řady s reálnými členy? Je to možné, pokud tyto limity existují Pokud se ukáže, že R =, bude to znamenat, že řada () konverguje pouze v bodě z = nebo z = z pro řadu () Když R = bude řada konvergovat na celé komplexní rovina Příklad Najděte poloměr konvergence řady å z = a Řešení R = lm = lm = a Řada tedy konverguje uvnitř kružnice o poloměru Příklad je zajímavý, protože na hranici kružnice x y< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Připomeňme, že mocninné řady å = a x v rámci svého konvergenčního intervalu konvergují nejen absolutně, ale i rovnoměrně. Pro řadu å = a z platí obdobné tvrzení: jestliže mocninná řada konverguje a poloměr její konvergence je roven R, pak tato řada v libovolném uzavřeném kruhu z r za předpokladu, že r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 v kružnici o poloměru R > konvergence řady, pak tato řada je Taylorova řada funkce f (z), tj. f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Koeficienty řady å = () f (z) a =! f () a (z - z) se počítají podle vzorce Připomeňme, že definice derivace f (z) je formálně dána úplně stejně jako u funkce f (x) reálné proměnné, tedy f (z). ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Pravidla pro derivování funkce f (z) jsou stejná jako pravidla pro derivování funkce reálné proměnné 7 V jakém případě je funkce f (z) nazývané analytické v bodě z? Pojem funkce analytické v bodě z je dán analogií s pojmem funkce f (x), která je reálně analytická v bodě x. Definice Funkce f (z) se nazývá analytická v bodě z, pokud existuje R > takové, že v kruhu z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Ještě jednou zdůrazňujeme, že zobrazení funkce f (z) analytické v bodě z ve formě mocninné řady je jedinečné a tato řada je její Taylorovou řadou, to znamená, že koeficienty řady se počítají pomocí vzorec () f (z) a =! 8 Základní elementární funkce komplexní proměnné V teorii mocninných řad funkcí reálné proměnné byl získán řadový rozvoj funkce e x: = å x x e, xî(-,) =! Při řešení příkladu bodu 5 jsme se přesvědčili, že na celé komplexní rovině konverguje řada å z. Ve speciálním případě pro z = x je její součet roven e x Z této skutečnosti vychází - =! následující myšlenka: pro komplexní hodnoty z je funkce е z podle definice považována za součet řady å z Tedy =! z e () def å z = =! Definice funkcí ch z a sh z x - x Protože ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23 a funkce e z je nyní definována pro všechna komplexní z, pak je přirozené vzít ch z = na celé komplexní rovině, def z - z e e def z - z e - e sh z = Tedy: z -z k e - e z sh z = = hyperbolický sinus ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hyperbolický kosinus; k = (k)! shz th z = hyperbolická tečna; chz chz cth z = hyperbolický kotangens shz Definice funkcí s z a cos z Použijme dříve získaná rozšíření: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! řady konvergují na celé číselné ose Při nahrazení x v těchto řadách za z získáme mocninné řady s komplexními členy, které, jak je snadné ukázat, konvergují v celé komplexní rovině. To nám umožňuje určit pro libovolný komplex z funkce s z a cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Vztah mezi exponenciální funkcí a goniometrickými funkcemi v komplexní rovině Záměna v řadě å z z e = =! z pomocí z a poté pomocí z dostaneme: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Protože e ()) e k k = (-, budeme mít: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Tedy: z -z z -z e e e - сos z = s z = (6) Ze získaných vzorců vyplývá další pozoruhodný vzorec: z сos z s z = e (7) Vzorce (6) a (7) se nazývají Eulerovy vzorce Všimněte si, že tyto vzorce platí i pro reálné z. Ve speciálním případě pro z = j, kde j je reálné číslo, bude mít formule (7) tvar: j cos j sj = e (8) Pak komplexní číslo z = r (cos j s j) budeme psát ve tvaru : j z = re (9) Vzorec (9) se nazývá exponenciální tvar zápisu komplexního čísla z 4

25 Vzorce spojující goniometrické a hyperbolické funkce Snadno dokážou tyto vzorce: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, cos z = cos z Dokažme první a čtvrtý vzorec (doporučuje se dokázat druhý a třetí sebe) Použijme vzorce ( 6) Euler: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z Pomocí vzorců sh z = s z a ch z = cos z lze snadno dokázat na první pohled překvapivou vlastnost funkcí s z a cos z. Na rozdíl od funkcí y = s x a y = cos x, funkce s z a cos z nejsou omezeny v absolutní hodnotě. Ve skutečnosti, pokud v uvedených vzorcích zejména z = y, pak s y = sh y, cos y = ch y To znamená, že na pomyslná osa s z a cos z nejsou omezeny v absolutní hodnotě Zajímavé je, že pro s z a cos z platí všechny vzorce, podobně jako vzorce pro goniometrické funkce s x a cos x. Uvedené vzorce se při studiu poměrně často používají. řada pro konvergenci Příklad Dokažte absolutní konvergenci řady å s = Řešení Zkoumáme řadu å pro konvergenci s = Jak bylo uvedeno, funkce s z ohraničená na imaginární ose není 5

26 je, proto nemůžeme použít srovnávací kritérium. Použijeme vzorec s = sh. Potom å = å s sh = = Řady å sh = studujeme pomocí D'Alembertova kritéria: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm = lm =< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () protože lm =, z modulů konverguje za podmínky 8 - = 8 = Tedy řada z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >body kružnice z = -, budou konvergovat, a mimo tuto kružnici, tedy řada diverguje Studujeme chování řady v z =, jejíž rovnice má v kartézském souřadnicovém systému tvar x (y) = Při z = 9 bude mít řada absolutních hodnot tvar: å 8 - = å = = že tato řada v uzavřeném kruhu Výsledná řada konverguje, to znamená z konverguje absolutně Dokažte, že funkce å z z e = je periodické s periodou π (tato vlastnost funkce e z výrazně odlišuje =! od funkce e x) Důkaz Použijeme definici periodické funkce a formule (6) Musíme se ujistit, že z z e π = e, kde z = x y Ukažme, že je to tak: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Takže, e z je a periodická funkce!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Získejte vzorec, který spojuje čísla e a π Řešení Použijme exponenciální formu zápisu j komplexní číslo: z = re Pro z = - budeme mít r =, j = π a tedy π e = - () Úžasný vzorec a to přesto, že vzhled každého z čísel π, e a nemá v matematice nic společného se vzhledem ostatních dvou! Vzorec () je také zajímavý, protože se ukazuje, že exponenciální funkce e z může na rozdíl od funkce e x nabývat záporných hodnot e x 5 Najděte součet řady å cos x =! Řešení Transformujme řadu x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Při řešení jsme použili vzorec = cos x s x dvakrát a řadový rozvoj funkce (e x) e 6 Rozšiřte funkci f (x) = e x cos x na mocninnou řadu, pomocí řadového rozšíření. funkce x() x x x x e = e e = e cos x e s x Řešení x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Výsledná řada konverguje na celé číselné ose, tedy k x π (x) () cos a řadě å (x)! 4! =! X< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Najděte poloměr R a kružnici konvergence řady 4 Vyšetřete chování řady na hraničních bodech kružnice konvergence (v bodech ležících na kružnici) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Odpovědi:) R =, řada konverguje v bodě z = - ;) R =, řada konverguje absolutně v uzavřeném kruhu z se středem v bodě z = - nebo podléhá x (y) ;) R =, řada konverguje absolutně v uzavřeném kruhu z nebo podléhá x y ; 4) R =, řada konverguje absolutně v uzavřeném kruhu z nebo za podmínky x y 9 7 Rozšiřte funkci f (x) = e x s x, () x na mocninnou řadu pomocí řady rozšíření funkce e 8 Ujistěte se, že pro jakýkoli komplex z budou platit vzorce: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (použijte Eulerovy vzorce)

31 SEZNAM DOPORUČENÉ ČTENÍ Základní literatura Piskunov, NS Diferenciální a integrální počet pro vysoké školy / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Základy matematické analýzy / GM Fichtengolts T - St. Petersburg: Lan, 9 48 NN Teorie řádky / NN Vorobyov - Petrohrad: Lan, 8 48 s 4 Písemná, DT Poznámky k přednáškám z vyšší matematiky Ch / DT Písemná M: Iris-press, 8 5 Vyšší matematika ve cvičeních a úlohách Ch / PE Danko, AG Popov , TY Kozhevnikova [ atd.] M: ONICS, 8 C Doplňková literatura Kudryavtsev, LD Kurz matematické analýzy / LD Kudryavtsev TM: Vyšší škola, 98 C Khabibullin, MV Komplexní čísla: směrnice / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6 s Moldovanova , EA Rows a komplexní analýza: učebnice / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federální agentura pro vzdělávání Tomská státní univerzita architektury a stavebního inženýrství FOURIER SERIES FOURIER INTEGRAL JAKO LIMITOVANÝ PŘÍPAD FOURIER SERIES Pokyny pro samostatnou práci

POŘADÍ Chabarovsk 4 4 ČÍSELNÁ ŘADA Číselná řada je výraz, kde čísla tvořící nekonečnou číselnou řadu, obecný člen řady, kde N (N je množina přirozených čísel) Příklad

Federální agentura pro vzdělávání Státní technická univerzita Archangelsk Stavební fakulta HODNOCENÍ Pokyny pro plnění úkolů pro samostatnou práci Archangelsk

MOSKVA STÁTNÍ TECHNICKÁ UNIVERZITA CIVILNÍHO LETECTVÍ V.M. Ljubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov MATEMATICKÁ PŘÍRUČKA pro studium oboru a zadání testů

5 Mocninná řada 5 Mocninná řada: definice, oblast konvergence Funkční řada tvaru (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kde, a, a, K, a ,k jsou některá čísla nazývaná mocninná řada Čísla

Federální agentura pro vzdělávání MOSKVA STÁTNÍ UNIVERZITA GEODEZIE A KARTOGRAFIE (MIIGAiK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymzhiev TUTORIAL PRO STUDENTY NEZÁVISLÉHO STUDIA

Téma Komplexní číselná řada Uvažujme číselnou řadu k ak s komplexními čísly tvaru A řada se nazývá konvergentní, jestliže posloupnost S jejích dílčích součtů S a k k konverguje. Navíc limita S posloupnosti

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ RUSKÉ FEDERACE TEORIE FUNKCÍ KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ Metodická příručka Zpracoval: MDUlymzhiev LIInkheyeva IBYumov SZhyumova Recenze metodické příručky k teorii funkcí

8 Komplexní číselná řada Uvažujme číselnou řadu s komplexními čísly tvaru k a, (46) kde (a k) je daná číselná řada s komplexními členy k Řada (46) se nazývá konvergentní, jestliže

Přednášky připravil docent Musina MV Definice Vyjádření tvaru Číselná a funkční řada Číselná řada: základní pojmy (), kde se nazývá číselná řada (nebo jednoduše řada) Čísla, členové řady (závisí

Metalurgická fakulta Katedra vyšší matematiky HODNOTY Metodické pokyny Novokuzněck 5 Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání Novgorodská státní univerzita pojmenovaná po

Federální agentura pro vzdělávání Federální státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání JIŽNÍ FEDERÁLNÍ UNIVERZITA R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodický

Číselná řada Číselná řada Def Číselná řada je číselná funkce definovaná na množině přirozených čísel x - obecný člen posloupnosti x =, x =, x =, x =,

Federální agentura pro vzdělávání Moskevská státní univerzita geodézie a kartografie (MIIGAiK) METODICKÉ POKYNY A ÚKOLY PRO SAMOSTATNOU PRÁCI v kurzu VYŠŠÍ MATEMATIKA Numerická

METODICKÉ POKYNY PRO VÝPOČTOVÉ ÚLOHY V KURZU VYŠŠÍ MATEMATIKY „ŘADY OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE DVOJINTÉ INTEGRÁLY“ TÉMA ČÁST ŘADA Obsah Řada Číselná řada Konvergence a divergence

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání Novgorodská státní univerzita pojmenovaná po Yaroslavovi Moudrý institut elektroniky

Ministerstvo školství Běloruské republiky Vitebská státní technologická univerzita Téma. "Řádky" Katedra teoretické a aplikované matematiky. vyvinutý doc. E.B. Dunina. Základní

MINISTERSTVO DOPRAVY RUSKÉ FEDERACE FEDERÁLNÍ STÁTNÍ VZDĚLÁVACÍ ÚSTAV VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ ULJANOVSK VYŠŠÍ LETECKÁ ŠKOLA CIVILNÍHO LETECTVÍ

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Tomská státní architektura a stavebnictví

Sgups Katedra vyšší matematiky Metodické pokyny pro provádění standardních výpočtů „Řada“ Novosibirsk 006 Některé teoretické informace Číselná řada Let u ; u ; u ; ; u ; existuje nekonečný počet

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE KAZAN STÁTNÍ ARCHITEKTONICKÁ A STAVEBNÍ UNIVERZITA Katedra vyšší matematiky NUMERICKÁ A FUNKČNÍ ŘADA Směrnice pro

PŘEDNÁŠKA N 7. Mocninné řady a Taylorovy řady.. Mocninné řady..... Taylorovy řady.... 4. Rozšíření některých elementárních funkcí do Taylorovy a Maclaurinovy ​​řady.... 5 4. Aplikace mocninných řad... 7. Napájení

Modul Téma Funkční posloupnosti a řady Vlastnosti rovnoměrné konvergence posloupností a řad Mocninné řady Přednáška Definice funkčních posloupností a řad Jednotně

BĚLORUSKÁ STÁTNÍ EKONOMICKÁ UNIVERZITA FAKULTA KATEDRA EKONOMICKÝCH INFORMACÍ A MATEMATICKÉ EKONOMIE Řádky Poznámky k přednáškám a workshop pro studenty ekonomie

Ministerstvo školství Ruské federace Uljanovská státní technická univerzita NUMERICKÁ A FUNKČNÍ ŘADA FOURIER ŘADA Uljanovsk MDT 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 Recenzent Kandidát fyziky a matematiky

3724 VÍCENÁSOBNÉ ŘADY A KŘIVOVÉ INTEGRÁLY 1 PRACOVNÍ PROGRAM SEKCÍ „VÍCENÁSOBNÉ ŘADY A KŘIVOVÉ INTEGRÁLY“ 11 Číselná řada Pojem číselné řady Vlastnosti číselné řady Nutný znak konvergence

Kapitola Řady Formální zápis součtu členů nějaké číselné řady Číselné řady se nazývají číselné řady Součty S se nazývají dílčí součty řady Pokud existuje limita lim S, S pak řada

Přednáška. Funkční řada. Definice funkční řady Řada, jejíž členy jsou funkcemi x, se nazývá funkcionál: u = u (x) + u + K+ u + K = Dáme-li x určitou hodnotu x,

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin 1 Power série. Poloměr konvergence a interval konvergence. Povaha konvergence. Integrace a diferenciace. 1.1 Poloměr konvergence a interval konvergence. Funkční rozsah

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Sibiřská státní průmyslová univerzita“

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Sibiřská státní průmyslová univerzita“

Matematická analýza Sekce: Číselné a funkční řady Téma: Mocninné řady. Rozšíření funkce do mocninné řady Přednášející Rozhkova S.V. 3 34. Mocninná řada Mocninná řada je řada mocnin

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE FEDERÁLNÍ STÁTNÍ ROZPOČET VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ „SAMARA STÁTNÍ LETECKÁ UNIVERZITA“

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ A VĚDY RUSKÉ FEDERACE Národní výzkum Státní univerzita Nižnij Novgorod pojmenovaná po NI Lobačevského NP Semerikova AA Dubkov AA Charčeva ŘADY ANALYTICKÝCH FUNKCÍ

„Řada“ Testy pro autotest Nezbytný znak konvergence řady Věta nezbytná známka konvergence Pokud řada konverguje, pak lim + Důsledek je postačující podmínkou pro divergenci řady Pokud lim, řada diverguje

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Achinsk pobočka Federální státní autonomní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "Sibiřská federální univerzita" MATEMATIKA

(funkční řada mocninná řada doména konvergence pořadí hledání intervalu konvergence - příklad poloměr intervalu konvergence příklady) Nechť je dána nekonečná posloupnost funkcí, Funkcionál

Řada Číselná řada Obecné pojmy Definice Je-li každé přirozené číslo podle určitého zákona spojeno s určitým číslem, pak se množina číslovaných čísel nazývá číselná řada,

Ministerstvo školství Ruské federace MATI - RUSKÁ STÁTNÍ TECHNOLOGICKÁ UNIVERZITA pojmenovaná po KETSIOLKOVSKIJ Katedra vyšší matematiky HODNOTY Pokyny pro práci v kurzu Sestavil:

Přednáška 3 Taylorova a Maclaurinova řada Aplikace mocninných řad Rozšíření funkcí do mocninných řad Taylorova a Maclaurinova řada Pro aplikace je důležité umět danou funkci rozšířit na mocninnou řadu, ty funkce

STÁTNÍ ÚSTAV VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ "BĚLORUSKO-RUSKÁ UNIVERZITA" Katedra "Vyšší matematiky" VYŠŠÍ MATEMATIKA MATEMATIKA MATEMATICKÁ ANALÝZA POŘADÍ Metodická doporučení

Číselné a mocninné řady Lekce. Číselná řada. Součet série. Znaky konvergence.. Vypočítejte součet řady. 6 Řešení. Součet členů nekonečné geometrické posloupnosti q se rovná, kde q je jmenovatel posloupnosti.

Ministerstvo školství Běloruské republiky Vzdělávací instituce "Mogilev State University of Food" Katedra vyšší matematiky VYŠŠÍ MATEMATIKA Pokyny pro praxi

Přednáška 6. Expanze funkce do mocninné řady Jednoznačnost rozšíření Taylorovy a Maclaurinovy ​​řady Rozšíření do mocninné řady některých elementárních funkcí Aplikace mocninných řad V předchozích přednáškách

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Tomská státní architektura a stavebnictví

4 Funkční řada 4 Základní definice Nechť nekonečnou posloupnost funkcí se společným definičním oborem X u), u (), K, u (),K (DEFINICE Výraz u) + u () + K + u () +

PRVKY TEORIE FUNKCÍ KOMPLEXNÍHO PROMĚNNÉHO OPERAČNÍHO POČTU V důsledku studia tohoto tématu se student musí naučit: najít goniometrické a exponenciální formy komplexního čísla podle

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání "Uralská státní pedagogická univerzita" Katedra matematiky

STÁTNÍ UNIVERZITA KAZAN Katedra matematické statistiky ČÍSELNÁ ŘADA Vzdělávací a metodická příručka KAZAN 008 Vydána rozhodnutím sekce Vědecko-metodické rady Kazaňské univerzity

Funkční řada Funkční řada, její součet a definiční obor funkcionálu o Nechť je dána posloupnost funkcí k v definičním oboru Δ reálných nebo komplexních čísel (k 1 Funkční řada je tzv.

Federální agentura pro vzdělávání MOSKVA STÁTNÍ UNIVERZITA GEODEZIE A KARTOGRAFIE (MIIGAiK) O. V. Isaková L. A. Sayková NÁVOD PRO STUDENTY PRO SAMOSTATNÉ STUDIUM SEKCE

Kapitola Mocninná řada a a a Řady tvaru a a a a a () se nazývá mocninná řada, kde a, jsou konstanty zvané koeficienty řady Někdy se uvažuje mocninná řada obecnějšího tvaru: a a(a) a(a) a(a) (), kde

PŘEDNÁŠKA N34. Číselné řady se složitými pojmy. Mocninné řady v komplexní oblasti. Analytické funkce. Inverzní funkce..numerické řady s komplexními členy.....mocninné řady v komplexní oblasti....

Možnost Úkol Vypočítejte hodnotu funkce, uveďte odpověď v algebraickém tvaru: a sh ; b l Řešení a Použijme vzorec pro spojení mezi goniometrickým sinem a hyperbolickým sinem: ; sh -s Get

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání Státní technická univerzita Ukhta KOMPLEXNÍ ČÍSLA Pokyny

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace FEDERÁLNÍ STÁTNÍ ROZPOČTOVÉ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ „SAMARA STÁTNÍ TECHNICKÁ UNIVERZITA“ Katedra aplikované matematiky

Funkční řada Přednášky 7-8 1 Oblast konvergence 1 Řada ve tvaru u () u () u () u (), 1 2 u (), kde jsou funkce definovány na určitém intervalu, se nazývá funkční řada . Sada všech bodů

Federální agentura pro vzdělávání Státní vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání Státní technická univerzita Ukhta (USTU) LIMITNÍ FUNKCE Metodický

PŘEDNÁŠKA Ekvivalentní infinitezimály První a druhá pozoruhodná limita Porovnání nekonečně velkých a nekonečně malých funkcí Funkce f () se nazývá infinitezimální v bodě a (v a) jestliže (

Ministerstvo školství a vědy Ruské federace Federální státní rozpočtová vzdělávací instituce vyššího odborného vzdělávání „Tomská státní architektura a stavebnictví

Přednáška Číselné řady Znaky konvergence Číselné řady Znaky konvergence Nekonečné vyjádření číselné řady + + + +, složené z členů nekonečné jedničky, se nazývá číselná řada Čísla,

EV Nebogina, OS Afanasyeva SÉRIE PRAKTIKUM VYŠŠÍ MATEMATIKY Samara 9 FEDERÁLNÍ AGENTURA PRO VZDĚLÁVÁNÍ STÁTNÍ VZDĚLÁVACÍ INSTITUCE VYSOKÉHO ODBORNÉHO VZDĚLÁVÁNÍ „SAMARSKY“

Kapitola III INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ NĚKOLIKA PROMĚNNÝCH, FUNKCE KOMPLEXNÍ PROMĚNNÉ, ŘADY Dvojné integrály LITERATURA: , kap. ,glii; , Kapitola XII, 6 Pro řešení problémů na toto téma je nutné,