Nekonečně se snižující geometrická progrese online. Vzorec pro součet prvních n členů GP. Problémy pro výpočet složeného úročení

ČÍSELNÉ SEKVENCE VI

§ l48. Součet nekonečně klesající geometrické progrese

Až dosud jsme u součtů vždy předpokládali, že počet členů v těchto součtech je konečný (například 2, 15, 1000 atd.). Ale při řešení některých problémů (zejména vyšší matematiky) se člověk musí vypořádat se součty nekonečného počtu členů

S= A 1 + A 2 + ... + A n + ... . (1)

Jaké jsou tyto částky? Podle definice součet nekonečného počtu členů A 1 , A 2 , ..., A n , ... se nazývá limita součtu S n První P čísla kdy P -> ∞ :

S=S n = (A 1 + A 2 + ... + A n ). (2)

Limit (2) samozřejmě může a nemusí existovat. Podle toho se říká, že součet (1) existuje nebo neexistuje.

Jak zjistit, zda v každém konkrétním případě existuje součet (1)? Obecné řešení této otázky daleko přesahuje rámec našeho programu. Je zde však jeden důležitý zvláštní případ, který nyní musíme zvážit. Budeme mluvit o součtu členů nekonečně klesající geometrické posloupnosti.

Nechat A 1 , A 1 q , A 1 q 2, ... je nekonečně klesající geometrický průběh. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P členů této progrese se rovná

Ze základních vět o limitách proměnných (viz § 136) získáme:

Ale 1 = 1, a q n = 0. Proto

Součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti se tedy rovná prvnímu členu tohoto postupu dělenému jednou mínus jmenovatel tohoto postupu.

1) Součet geometrické posloupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a součet geometrické posloupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... se rovná

2) Jednoduchý periodický zlomek 0,454545 ... se změní na obyčejný.

Abychom tento problém vyřešili, reprezentujeme tento zlomek jako nekonečný součet:

Pravá strana této rovnosti je součtem nekonečně klesající geometrické posloupnosti, jejíž první člen je 45/100 a jmenovatel je 1/100. Proto

Popsaným způsobem lze také získat obecné pravidlo pro převod jednoduchých periodických zlomků na obyčejné zlomky (viz kapitola II, § 38):

Chcete-li převést jednoduchý periodický zlomek na obyčejný, musíte postupovat následovně: vložte období desetinného zlomku do čitatele a do jmenovatele - číslo skládající se z devítek zabraných tolikrát, kolik je číslic v období desetinného zlomku.

3) Smíšený periodický zlomek 0,58333 .... přeměnit na obyčejný zlomek.

Představme si tento zlomek jako nekonečný součet:

Na pravé straně této rovnosti tvoří všechny členy počínaje 3/1000 nekonečně klesající geometrickou posloupnost, jejíž první člen je 3/1000 a jmenovatel je 1/10. Proto

Popsaným způsobem lze získat i obecné pravidlo pro přeměnu smíšených periodických frakcí na běžné frakce (viz kapitola II, § 38). Záměrně to sem nezařazujeme. Není třeba se učit nazpaměť toto těžkopádné pravidlo. Je mnohem užitečnější vědět, že jakýkoli smíšený periodický zlomek může být reprezentován jako součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti a nějakého čísla. A vzorec

pro součet nekonečně klesající geometrické progrese je třeba si samozřejmě pamatovat.

Jako cvičení vás vyzýváme, abyste se kromě níže uvedených problémů č. 995-1000 ještě jednou obrátili na problém č. 301 § 38.

Cvičení

995. Jak se nazývá součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti?

996. Najděte součty nekonečně klesajících geometrických posloupností:

997. Za jaké hodnoty X postup

nekonečně klesá? Najděte součet takového průběhu.

998. V rovnostranném trojúhelníku se stranou A nový trojúhelník je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto trojúhelníku vepsán nový trojúhelník a tak dále ad infinitum.

a) součet obvodů všech těchto trojúhelníků;

b) součet jejich ploch.

999. Ve čtverci se stranou A nový čtverec je vepsán spojením středů jeho stran; stejným způsobem je do tohoto čtverce vepsán čtverec a tak dále ad infinitum. Najděte součet obvodů všech těchto čtverců a součet jejich ploch.

1000. Proveďte nekonečně klesající geometrickou posloupnost tak, aby její součet byl roven 25 / 4 a součet druhých mocnin jejích členů se rovnal 625 / 24.

Geometrická posloupnost je číselná posloupnost, jejíž první člen je nenulový a každý další člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem.

Koncept geometrické progrese

Geometrická posloupnost je označena b1,b2,b3, …, bn, … .

Poměr libovolného členu geometrické chyby k jeho předchozímu členu se rovná stejnému číslu, tj. b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/mld = …. To vyplývá přímo z definice aritmetické progrese. Toto číslo se nazývá jmenovatel geometrické posloupnosti. Obvykle se jmenovatel geometrické posloupnosti označuje písmenem q.

Součet nekonečné geometrické posloupnosti pro |q|<1

Jedním ze způsobů, jak nastavit geometrickou posloupnost, je nastavit její první člen b1 a jmenovatele geometrické chyby q. Například b1=4, q=-2. Tyto dvě podmínky dávají geometrický průběh 4, -8, 16, -32, … .

Jestliže q>0 (q se nerovná 1), pak je průběh monotónní posloupností. Například posloupnost 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónně rostoucí posloupnost (b1=2, q=2).

Pokud je v geometrické chybě jmenovatel q=1, pak si všechny členy geometrické posloupnosti budou navzájem rovny. V takových případech se říká, že progrese je konstantní sekvence.

Aby byla číselná posloupnost (bn) geometrickou posloupností, je nutné, aby každý její člen, počínaje druhým, byl geometrickým průměrem sousedních členů. To znamená, že je nutné splnit následující rovnici
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pro libovolné n>0, kde n patří do množiny přirozených čísel N.

Nyní dejme (Xn) - geometrický průběh. Jmenovatel geometrické posloupnosti q s |q|∞).
Pokud nyní označíme S součet nekonečné geometrické posloupnosti, bude platit následující vzorec:
S=xl/(l-q).

Zvažte jednoduchý příklad:

Najděte součet nekonečné geometrické posloupnosti 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

K nalezení S použijeme vzorec pro součet nekonečně aritmetické posloupnosti. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Geometrická posloupnost je číselná posloupnost, jejíž první člen je nenulový a každý další člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem.

Označuje se geometrická progrese b1,b2,b3, …, bn, … .

Monotónní a konstantní sekvence

Pokud q>0 (q se nerovná 1), pak je průběh monotónní sekvence. Například posloupnost 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónně rostoucí posloupnost (b1=2, q=2).

Pokud je v geometrické chybě jmenovatel q=1, pak si všechny členy geometrické posloupnosti budou navzájem rovny. V takových případech se říká, že progrese je konstantní posloupnost.

Vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti

Vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti je:

bn=b1*q^(n-1),

kde n patří do množiny přirozených čísel N.

Vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti

Vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti je:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kde q se nerovná 1.

Zvažte jednoduchý příklad:

V geometrickém postupu b1=6, q=3, n=8 najděte Sn.

K nalezení S8 použijeme vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti.

S8= (6*(3^8-1))/(3-1) = 19680.

Vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti je velmi jednoduchá věc. Jak významově, tak obecně. Pro vzorec n-tého členu jsou ale nejrůznější problémy – od velmi primitivních až po docela vážné. A v procesu našeho seznamování je určitě zvážíme. No, sejdeme se?)

Takže pro začátek vlastně vzorecn

Tady je:

b n = b 1 · q n -1

Vzorec jako vzorec, nic nadpřirozeného. Vypadá ještě jednodušeji a kompaktněji než podobný vzorec pro . Význam vzorce je také jednoduchý, jako plstěná bota.

Tento vzorec vám umožňuje najít JAKÝKOLIV člen geometrické posloupnosti PODLE JEHO ČÍSLA " n".

Jak vidíte, význam je úplná analogie s aritmetickým postupem. Známe číslo n – pod tímto číslem můžeme vypočítat i člen. Co chceme. Nenásobení postupně "q" mnohokrát, mnohokrát. To je celý smysl.)

Chápu, že na této úrovni práce s progresemi by vám již měly být jasné všechny veličiny zahrnuté ve vzorci, ale považuji za svou povinnost každou rozluštit. Jen pro případ.

Tak pojďme:

b 1 – prvníčlen geometrické posloupnosti;

q – ;

n– členské číslo;

b n – n-tý (nth)člen geometrické progrese.

Tento vzorec spojuje čtyři hlavní parametry jakékoli geometrické progrese - bn, b 1 , q a n. A kolem těchto čtyř klíčových postav se točí všechny úkoly.

"A jak se to zobrazuje?"- Slyšel jsem zvláštní otázku... Základní! Koukni se!

Co se rovná druhýčlen progrese? Žádný problém! Píšeme přímo:

b 2 = b 1 q

A třetí člen? Ani to není problém! Vynásobíme druhý člen znovu zapnutoq.

Takhle:

B 3 \u003d b 2 q

Připomeňme si nyní, že druhý člen je zase roven b 1 q a dosaďte tento výraz do naší rovnosti:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dostaneme:

B 3 = b 1 q 2

Nyní si přečteme náš záznam v ruštině: Třetíčlen se rovná prvnímu členu vynásobenému qin druhý stupeň. Chápeš to? Ještě ne? Dobře, ještě jeden krok.

Jaký je čtvrtý termín? Pořád to samé! Násobit předchozí(tj. třetí termín) dne q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Celkový:

B 4 = b 1 q 3

A znovu překládáme do ruštiny: Čtvrtýčlen se rovná prvnímu členu vynásobenému qin Třetí stupeň.

A tak dále. Jak to tedy je? Chytili jste vzor? Ano! Pro jakýkoli člen s libovolným číslem bude počet stejných faktorů q (tj. mocnina jmenovatele) vždy o jeden menší než počet požadovaného členan.

Náš vzorec tedy bude bez možností:

b n =b 1 · q n -1

To je vše.)

No, pojďme řešit problémy, ano?)

Řešení úloh na vzorcinčlen geometrické posloupnosti.

Začněme jako obvykle přímou aplikací vzorce. Zde je typický problém:

To je známo exponenciálně b 1 = 512 a q = -1/2. Najděte desátý termín postupu.

Tento problém lze samozřejmě vyřešit zcela bez vzorců. Stejně jako geometrický postup. Ale musíme se zahřát vzorcem n-tého členu, ne? Tady se rozcházíme.

Naše data pro aplikaci vzorce jsou následující.

První termín je znám. Toto je 512.

b 1 = 512.

Známý je také jmenovatel progrese: q = -1/2.

Zbývá jen zjistit, čemu se rovná číslo členu n. Žádný problém! Zajímá nás desátý termín? Do obecného vzorce tedy dosadíme deset místo n.

A pečlivě vypočítejte aritmetiku:

Odpověď: -1

Jak vidíte, desátý termín progrese dopadl s mínusem. Není divu: jmenovatel progrese je -1/2, tzn. negativníčíslo. A to nám říká, že známky našeho vývoje se střídají, ano.)

Všechno je zde jednoduché. A tady je podobný problém, ale trochu složitější z hlediska výpočtů.

V geometrickém postupu víme, že:

b 1 = 3

Najděte třináctý termín postupu.

Všechno je stejné, jen tentokrát jmenovatel progrese - iracionální. Kořen dvou. No nic moc. Vzorec je univerzální věc, poradí si s jakýmikoli čísly.

Pracujeme přímo podle vzorce:

Vzorec samozřejmě fungoval, jak měl, ale ... tady budou někteří viset. Co dělat dál s rootem? Jak pozvednout kořen k dvanácté mocnině?

Jak-jak... Musíte pochopit, že jakýkoli vzorec je samozřejmě dobrá věc, ale znalost veškeré předchozí matematiky není zrušena! Jak zvýšit? Ano, zapamatujte si vlastnosti stupňů! Změňme kořen na zlomkový stupeň a - vzorcem povýšení moci na moc.

Takhle:

Odpověď: 192

A všechny věci.)

Jaká je hlavní potíž v přímé aplikaci vzorce n-tého členu? Ano! Hlavní obtíž je práce s tituly! Konkrétně umocňování záporných čísel, zlomků, odmocnin a podobných konstrukcí. Takže kdo s tím má problémy, naléhavá žádost o opakování stupňů a jejich vlastností! Jinak v tomto tématu zpomalíte, ano ...)

Nyní vyřešíme typické problémy s vyhledáváním jeden z prvků vzorce pokud jsou dány všechny ostatní. Pro úspěšné řešení takových problémů je recept jednoduchý a jednoduchý až hrůza - napište vzorecnčlen obecně! Přímo v sešitě vedle stavu. A pak z podmínky zjistíme, co je nám dáno a co nestačí. A ze vzorce vyjádříme požadovanou hodnotu. Všechno!

Třeba takový neškodný problém.

Pátý člen geometrické posloupnosti se jmenovatelem 3 je 567. Najděte první člen této posloupnosti.

Nic složitého. Pracujeme přímo podle kouzla.

Napíšeme vzorec n-tého členu!

b n = b 1 · q n -1

Co je nám dáno? Nejprve je dán jmenovatel progrese: q = 3.

Navíc je nám dáno pátý člen: b 5 = 567 .

Všechno? Ne! Máme také číslo n! Toto je pětka: n = 5.

Doufám, že už chápete, co je v záznamu b 5 = 567 jsou skryty dva parametry najednou - jedná se o samotný pátý člen (567) a jeho číslo (5). V podobné lekci jsem o tom již mluvil, ale myslím, že není zbytečné to zde připomínat.)

Nyní dosadíme naše data do vzorce:

567 = b 1 3 5-1

Zvažujeme aritmetiku, zjednodušíme a získáme jednoduchou lineární rovnici:

81 b 1 = 567

Vyřešíme a dostaneme:

b 1 = 7

Jak vidíte, s nalezením prvního člena nejsou žádné problémy. Ale při hledání jmenovatele q a čísla n může dojít k překvapení. A také na ně musíte být připraveni (překvapení), ano.)

Například takový problém:

Pátý člen geometrické posloupnosti s kladným jmenovatelem je 162 a první člen této posloupnosti je 2. Najděte jmenovatele posloupnosti.

Tentokrát jsme dostali prvního a pátého člena a byli požádáni, abychom našli jmenovatele postupu. Tady začínáme.

Napíšeme vzorecnčlen!

b n = b 1 · q n -1

Naše počáteční data budou následující:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Nedostatečná hodnota q. Žádný problém! Teď to najdeme.) Do vzorce dosadíme vše, co známe.

Dostaneme:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Jednoduchá rovnice čtvrtého stupně. Ale teď - opatrně! V této fázi řešení mnoho studentů okamžitě radostně vyjme kořen (čtvrtého stupně) a dostane odpověď q=3 .

Takhle:

q4 = 81

q = 3

Ale obecně je to nedokončená odpověď. Nebo spíše neúplné. Proč? Jde o to, že odpověď q = -3 také se hodí: (-3) 4 by bylo také 81!

Je to kvůli mocenské rovnici x n = A vždy má dva protilehlé kořeny v dokoncen . Plus a mínus:

Oba sedí.

Například řešení (tj. druhý stupně)

x2 = 9

Z nějakého důvodu vás nepřekvapí vzhled dva kořeny x=±3? Tady je to stejné. A s jakýmkoli jiným dokonce stupně (čtvrtého, šestého, desátého atd.) bude stejný. Podrobnosti - v tématu o

Správné řešení by tedy bylo:

q 4 = 81

q= ±3

Dobře, známe znaky. Která je správná - plus nebo mínus? Při hledání jsme si znovu přečetli stav problému dodatečné informace. To samozřejmě nemusí existovat, ale v tomto problému takové informace dostupný. V našem stavu je přímo uvedeno, že progrese je dána s kladný jmenovatel.

Takže odpověď je jasná:

q = 3

Všechno je zde jednoduché. Co si myslíte, že by se stalo, kdyby problémové prohlášení bylo toto:

Pátý člen geometrické posloupnosti je 162 a první člen této posloupnosti je 2. Najděte jmenovatele posloupnosti.

Jaký je v tom rozdíl? Ano! Ve stavu nicžádná zmínka o jmenovateli. Ani přímo, ani nepřímo. A tady by už problém nastal dvě řešení!

q = 3 a q = -3

Ano ano! A s plusem a mínusem.) Matematicky by tato skutečnost znamenala, že existují dvě progrese které odpovídají úkolu. A pro každého - jeho vlastní jmenovatel. Pro zábavu si procvičte a zapište si prvních pět termínů každého z nich.)

Nyní si procvičme hledání čísla člena. Tohle je nejtěžší, ano. Ale také kreativnější.

Při geometrickém postupu:

3; 6; 12; 24; …

Jaké číslo je 768 v tomto postupu?

První krok je stejný: napište vzorecnčlen!

b n = b 1 · q n -1

A nyní do něj jako obvykle dosadíme nám známá data. Hm... to se nehodí! Kde je první člen, kde je jmenovatel, kde je všechno ostatní?!

Kde, kde... Proč potřebujeme oči? Mávající řasy? Tentokrát je nám postup dán přímo ve formuláři sekvence. Můžeme vidět první termín? Vidíme! Jedná se o trojici (b 1 = 3). A co jmenovatel? Zatím to nevidíme, ale je to velmi snadné spočítat. Pokud samozřejmě rozumíte.

Zde uvažujeme. Přímo podle smyslu geometrické posloupnosti: vezmeme libovolný její člen (kromě prvního) a vydělíme předchozím.

Alespoň takto:

q = 24/12 = 2

Co ještě víme? Známe také nějaký člen této posloupnosti, rovný 768. Pod nějakým číslem n:

b n = 768

Neznáme jeho číslo, ale naším úkolem je právě ho najít.) Takže hledáme. Všechny potřebné údaje pro substituci jsme již ve vzorci stáhli. Nepostřehnutelně.)

Zde nahrazujeme:

768 = 32n -1

Uděláme elementární - obě části vydělíme třemi a rovnici přepíšeme do obvyklého tvaru: vlevo neznámá, vpravo známá.

Dostaneme:

2 n -1 = 256

Zde je zajímavá rovnice. Musíme najít "n". Co je neobvyklé? Ano, nehádám se. Vlastně je to nejjednodušší. Říká se tomu tak, protože neznámá (v tomto případě je to číslo n) zastupuje indikátor stupeň.

Ve fázi seznamování s geometrickým postupem (to je devátá třída) se exponenciální rovnice neučí řešit, že ano...To je téma pro střední školu. Ale není nic hrozného. I když nevíte, jak se takové rovnice řeší, zkusme najít naše nřídí se jednoduchou logikou a zdravým rozumem.

Začínáme diskutovat. Nalevo máme dvojku do určité míry. Zatím nevíme, co přesně tento stupeň je, ale není to děsivé. Ale na druhou stranu pevně víme, že tento stupeň se rovná 256! Takže si pamatujeme, do jaké míry nám dvojka dává 256. Pamatujete? Ano! V osmý stupně!

256 = 2 8

Pokud jste si nepamatovali nebo s rozpoznáním stupňů problému, pak je to také v pořádku: prostě postupně zvedneme dvojku na čtverec, na krychli, na čtvrtou mocninu, pátou a tak dále. Výběr je ve skutečnosti, ale na této úrovni, docela jízda.

Tak či onak dostaneme:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Tedy 768 devátýčlen naší progrese. To je vše, problém vyřešen.)

Odpověď: 9

Co? Nudný? Unavený ze základky? Souhlasím. A já taky. Pojďme na další úroveň.)

Složitější úkoly.

A teď řešíme hádanky prudčeji. Ne zrovna super-cool, ale na kterém musíte trochu zapracovat, abyste se dostali k odpovědi.

Například takto.

Najděte druhý člen geometrické posloupnosti, pokud je její čtvrtý člen -24 a sedmý člen je 192.

Tohle je klasika žánru. Jsou známi někteří dva různí členové progrese, ale musí se najít ještě jeden člen. Navíc všichni členové NEJSOU sousedé. Co je na první pohled matoucí, ano...

Stejně jako v , uvažujeme o dvou metodách řešení takových problémů. První způsob je univerzální. Algebraický. Funguje bezchybně s jakýmikoli zdrojovými daty. Takže tím začneme.)

Každý termín malujeme podle vzorce nčlen!

Vše je úplně stejné jako u aritmetického postupu. Pouze tentokrát spolupracujeme další obecný vzorec. To je vše.) Ale podstata je stejná: bereme a v pořadí dosadíme svá výchozí data do vzorce n-tého členu. Pro každého člena - jeho vlastní.

Pro čtvrtý termín píšeme:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Tady je. Jedna rovnice je hotová.

Pro sedmý termín píšeme:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Celkem byly získány dvě rovnice pro stejný progres .

Sestavujeme z nich systém:

Navzdory svému impozantnímu vzhledu je systém poměrně jednoduchý. Nejviditelnějším způsobem řešení je obvyklá substituce. Vyjadřujeme se b 1 z horní rovnice a dosaďte do spodní:

Trocha pohrávání si s nižší rovnicí (snížením exponentů a dělením -24) vede:

q 3 = -8

Mimochodem, ke stejné rovnici lze dospět i jednodušším způsobem! Co? Nyní vám ukážu další tajný, ale velmi krásný, výkonný a užitečný způsob, jak takové systémy řešit. Takové soustavy, v jejichž rovnicích sedí pouze funguje. Alespoň v jednom. volala metoda dělení termínů jedna rovnice na druhou.

Máme tedy systém:

V obou rovnicích vlevo - práce a vpravo je jen číslo. To je velmi dobré znamení.) Vezměme a ... vydělme, řekněme, spodní rovnici horní! Co znamená, dělit jednu rovnici druhou? Velmi jednoduché. Bereme levá strana jedna rovnice (nižší) a rozdělujeme ji na levá strana další rovnice (horní). Pravá strana je podobná: pravá strana jedna rovnice rozdělujeme na pravá strana další.

Celý proces rozdělení vypadá takto:

Nyní, když snížíme vše, co je sníženo, dostaneme:

q 3 = -8

Co je na této metodě dobrého? Ano, protože v procesu takového dělení lze vše špatné a nepohodlné bezpečně omezit a zůstává zcela neškodná rovnice! Proto je tak důležité mít pouze násobení alespoň v jedné z rovnic systému. Neexistuje žádné násobení - není co redukovat, ano ...

Obecně si tato metoda (jako mnoho jiných netriviálních způsobů řešení systémů) dokonce zaslouží samostatnou lekci. Určitě se na to podívám blíže. Někdy…

Bez ohledu na to, jak systém vyřešíte, v každém případě nyní musíme vyřešit výslednou rovnici:

q 3 = -8

Žádný problém: extrahujeme kořen (kubický) a - hotovo!

Vezměte prosím na vědomí, že při extrahování zde není nutné zadávat plus/mínus. Máme kořen lichého (třetího) stupně. A odpověď je stejná, ano.

Je tedy nalezen jmenovatel progrese. Mínus dva. Vynikající! Proces probíhá.)

Pro první člen (řekněme z horní rovnice) dostaneme:

Vynikající! Známe první člen, známe jmenovatele. A nyní máme možnost najít kteréhokoli člena progrese. Včetně druhého.)

Pro druhého člena je vše docela jednoduché:

b 2 = b 1 · q= 3 (-2) = -6

Odpověď: -6

Takže jsme vyřešili algebraický způsob řešení problému. Obtížný? Nic moc, souhlasím. Dlouhé a nudné? Ano, určitě. Ale někdy můžete výrazně snížit množství práce. Pro toto existuje grafickým způsobem. Staré dobré a nám známé.)

Nakreslete problém!

Ano! Přesně tak. Opět znázorňujeme náš postup na číselné ose. Ne nutně pravítkem, není nutné udržovat stejné intervaly mezi členy (které mimochodem nebudou stejné, protože postup je geometrický!), Ale prostě schematicky nakreslete naši sekvenci.

Mám to takhle:

Nyní se podívejte na obrázek a přemýšlejte. Kolik stejných faktorů sdílí "q". Čtvrtý a sedmýčleny? Přesně tak, tři!

Proto máme plné právo napsat:

-24q 3 = 192

Odtud je nyní snadné najít q:

q 3 = -8

q = -2

To je skvělé, jmenovatel už máme v kapse. A nyní se znovu podíváme na obrázek: mezi kolika takovými jmenovateli sedí druhý a Čtvrtýčlenů? Dva! Proto, abychom zaznamenali vztah mezi těmito členy, zvedneme jmenovatele na druhou.

Zde píšeme:

b 2 · q 2 = -24 , kde b 2 = -24/ q 2

Náš nalezený jmenovatel dosadíme do výrazu pro b 2 , spočítáme a dostaneme:

Odpověď: -6

Jak vidíte, vše je mnohem jednodušší a rychlejší než přes systém. Navíc tady jsme první termín vůbec nemuseli počítat! Vůbec.)

Zde je takový jednoduchý a vizuální způsob světla. Má to ale i vážnou nevýhodu. Hádali? Ano! Je to dobré pouze pro velmi krátké úseky progrese. Takové, kde vzdálenosti mezi členy, které nás zajímají, nejsou příliš velké. Ale ve všech ostatních případech je již obtížné nakreslit obrázek, ano ... Pak problém řešíme analyticky, prostřednictvím systému.) A systémy jsou univerzální věc. Vypořádejte se s libovolným číslem.

Další epický:

Druhý člen geometrické posloupnosti je o 10 více než první a třetí člen je o 30 více než druhý. Najděte jmenovatele postupu.

Co je v pohodě? Vůbec ne! Pořád to samé. Znovu převedeme podmínku problému do čisté algebry.

1) Každý výraz vybarvíme podle vzorce nčlen!

Druhý člen: b 2 = b 1 q

Třetí termín: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Vypíšeme vztah mezi členy z podmínky problému.

Čtení stavu: "Druhý člen geometrické progrese je o 10 více než první." Přestaň, tohle je cenné!

Takže píšeme:

b 2 = b 1 +10

A tuto frázi přeložíme do čisté matematiky:

b 3 = b 2 +30

Máme dvě rovnice. Spojujeme je do systému:

Systém vypadá jednoduše. Ale existuje spousta různých indexů pro písmena. Dosaďte místo druhého a třetího členu jejich vyjádření prostřednictvím prvního členu a jmenovatele! Marně, nebo co, natřeli jsme je?

Dostaneme:

Ale takový systém už není dar, to ano... Jak to vyřešit? Bohužel, univerzální tajné kouzlo k vyřešení složitých nelineární V matematice žádné systémy neexistují a ani existovat nemohou. To je fantastické! První, co by vás ale při pokusu o rozlousknutí takového tvrdého oříšku mělo napadnout, je přijít na to Není ale jedna z rovnic soustavy zredukována do krásné podoby, díky které lze například snadno vyjádřit jednu z proměnných pomocí jiné?

Pojďme hádat. První rovnice systému je jednoznačně jednodušší než druhá. Budeme ho mučit.) Proč to nezkusit z první rovnice něco vyjádřit prostřednictvím něco? Protože chceme najít jmenovatele q, pak by pro nás bylo nejvýhodnější vyjádřit b 1 přes q.

Zkusme tedy provést tento postup s první rovnicí pomocí starých dobrých rovnic:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b1 (q-1) = 10

Všechno! Zde jsme se vyjádřili zbytečné nám proměnnou (b 1) přes nutné(q). Ano, není to ten nejjednodušší výraz. Nějaký zlomek... Ale náš systém je na slušné úrovni, ano.)

Typický. Co dělat - víme.

Píšeme ODZ (nezbytně!) :

q ≠ 1

Vše vynásobíme jmenovatelem (q-1) a zredukujeme všechny zlomky:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vše dělíme deseti, otevřeme závorky, shromáždíme vše vlevo:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Vyřešíme výsledek a dostaneme dva kořeny:

q 1 = 1

q 2 = 3

Existuje pouze jedna konečná odpověď: q = 3 .

Odpověď: 3

Jak vidíte, způsob řešení většiny problémů pro vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti je vždy stejný: čteme opatrně stavu problému a pomocí vzorce n-tého členu převedeme všechny užitečné informace do čisté algebry.

A to:

1) Každý člen uvedený v úloze zapíšeme samostatně podle vzorcenčlen.

2) Z podmínky úlohy převedeme spojení mezi členy do matematického tvaru. Skládáme rovnici nebo soustavu rovnic.

3) Vyřešíme výslednou rovnici nebo soustavu rovnic, najdeme neznámé parametry průběhu.

4) V případě nejednoznačné odpovědi si pečlivě přečteme stav problému při hledání dalších informací (pokud existují). Přijatou odpověď také kontrolujeme s podmínkami ODZ (pokud existují).

A nyní uvádíme hlavní problémy, které nejčastěji vedou k chybám v procesu řešení úloh geometrické posloupnosti.

1. Elementární aritmetika. Operace se zlomky a zápornými čísly.

2. Pokud je alespoň jeden z těchto tří bodů problém, pak se v tomto tématu nevyhnutelně zmýlíte. Bohužel... Tak nebuďte líní a zopakujte to, co bylo zmíněno výše. A postupujte podle odkazů - jděte. Někdy to pomůže.)

Upravené a opakující se vzorce.

A nyní se podívejme na pár typických zkouškových problémů s méně známou prezentací stavu. Ano, ano, uhodli jste! to upraveno a opakující se vzorce n-tého členu. S takovými vzorci jsme se již setkali a pracovali jsme v aritmetickém postupu. Tady je vše podobné. Podstata je stejná.

Například takový problém od OGE:

Geometrický průběh je dán vzorcem b n = 32 n . Najděte součet prvního a čtvrtého členu.

Tentokrát nám je postup dán ne úplně jako obvykle. Nějaký druh vzorce. No a co? Tento vzorec je také vzorecnčlen! Všichni víme, že vzorec n-tého členu lze zapsat jak v obecné formě, prostřednictvím písmen, tak pro konkrétní progresi. Z charakteristický první termín a jmenovatel.

V našem případě jsme ve skutečnosti dostali obecný termínový vzorec pro geometrickou posloupnost s následujícími parametry:

b 1 = 6

q = 2

Zkontrolujeme?) Napíšeme vzorec n-tého členu v obecném tvaru a dosadíme do něj b 1 a q. Dostaneme:

b n = b 1 · q n -1

b n= 62n -1

Zjednodušíme pomocí faktorizace a mocninných vlastností a získáme:

b n= 62n -1 = 3 2 2n -1 = 32n -1+1 = 32n

Jak vidíte, vše je spravedlivé. Naším cílem s vámi ale není demonstrovat odvození konkrétního vzorce. Je to tak, lyrická odbočka. Čistě pro pochopení.) Naším cílem je vyřešit problém podle vzorce, který je nám dán v podmínce. Chytáte to?) Takže pracujeme přímo s upraveným vzorcem.

Počítáme první termín. Náhradní n=1 do obecného vzorce:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Takhle. Mimochodem, nejsem líný a ještě jednou vás upozorním na typický trapas s výpočtem prvního termínu. NEDÍVEJTE se na vzorec b n= 32n, hned honem napsat, že prvním členem je trojka! Je to velká chyba, ano...)

Pokračujeme. Náhradní n=4 a zvažte čtvrtý termín:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

A nakonec vypočítáme požadovanou částku:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odpověď: 54

Další problém.

Geometrický průběh je dán podmínkami:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Najděte čtvrtý termín postupu.

Zde je postup dán opakujícím se vzorcem. Dobře.) Jak s tímto vzorcem pracovat - také víme.

Tady jednáme. Krok za krokem.

1) počítat dvě postupnéčlen progrese.

První termín je nám již dán. Mínus sedm. Ale další, druhý člen, lze snadno vypočítat pomocí rekurzivního vzorce. Pokud rozumíte tomu, jak to funguje, samozřejmě.)

Zde uvažujeme o druhém termínu podle slavného prvního:

b 2 = 3 b 1 = 3 (-7) = -21

2) Uvažujeme jmenovatele progrese

Také žádný problém. Přímo, sdílejte druhý péro na první.

Dostaneme:

q = -21/(-7) = 3

3) Napište vzorecnčlen v obvyklém tvaru a zvažte požadovaný člen.

Známe tedy první termín a také jmenovatele. Zde píšeme:

b n= -7 3n -1

b 4 = -7 3 3 = -727 = -189

Odpověď: -189

Jak vidíte, práce s takovými vzorci pro geometrickou posloupnost se v podstatě neliší od práce s aritmetickou posloupností. Důležité je pouze pochopit obecnou podstatu a význam těchto vzorců. No, smysl geometrické progrese je také potřeba pochopit, ano.) A pak nebudou žádné hloupé chyby.

No, rozhodneme se sami?)

Docela základní úkoly na zahřátí:

1. Je dána geometrická posloupnost, ve které b 1 = 243 a q = -2/3. Najděte šestý termín postupu.

2. Společný člen geometrické posloupnosti je dán vzorcem b n = 5∙2 n +1 . Najděte číslo posledního trojciferného člena této posloupnosti.

3. Geometrická posloupnost je dána podmínkami:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Najděte pátý termín postupu.

Trochu složitější:

4. Je-li dán geometrický průběh:

b 1 =2048; q =-0,5

Jaký je její šestý záporný termín?

Co se zdá být super obtížné? Vůbec ne. Logika a pochopení významu geometrické progrese ušetří. No, vzorec n-tého členu, samozřejmě.

5. Třetí člen geometrické posloupnosti je -14 a osmý člen je 112. Najděte jmenovatele průběhu.

6. Součet prvního a druhého členu geometrické posloupnosti je 75 a součet druhého a třetího členu je 150. Najděte šestý člen průběhu.

Odpovědí (v nepořádku): 6; -3888; -jeden; 800; -32; 448.

To je skoro vše. Zbývá jen naučit se počítat součet prvních n členů geometrické posloupnosti ano objevovat nekonečně klesající geometrický postup a jeho výši. Mimochodem velmi zajímavá a neobvyklá věc! Více o tom v dalších lekcích.)

Geometrická posloupnost je číselná posloupnost, jejíž první člen je nenulový a každý další člen je roven předchozímu členu vynásobenému stejným nenulovým číslem. Geometrický průběh se značí b1,b2,b3, …, bn, …

Vlastnosti geometrické posloupnosti

Jestliže q>0 (q se nerovná 1), pak je průběh monotónní posloupností. Například posloupnost 2, 4, 8, 16, 32, ... je monotónně rostoucí posloupnost (b1=2, q=2).

Pokud je v geometrické chybě jmenovatel q=1, pak si všechny členy geometrické posloupnosti budou navzájem rovny. V takových případech se říká, že progrese je konstantní sekvence.

Vzorec n-tého členu posloupnosti

Aby byla číselná posloupnost (bn) geometrickou posloupností, je nutné, aby každý její člen, počínaje druhým, byl geometrickým průměrem sousedních členů. To znamená, že je nutné splnit následující rovnici - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), pro libovolné n>0, kde n patří do množiny přirozených čísel N.

Vzorec pro n-tý člen geometrické posloupnosti je:

bn=b1*q^(n-1), kde n patří do množiny přirozených čísel N.

Zvažte jednoduchý příklad:

V geometrickém postupu b1=6, q=3, n=8 najděte bn.

Použijme vzorec n-tého členu geometrické posloupnosti.